根据特征方程，列写系统的赫尔维茨行列式。
由△得各阶子行列式；
8 1 0
16 18 8 1 0 5 16 18 判断系稳定性的方法
一、稳定性判据（时域）
1、 赫尔维茨判据
系统稳定的充分必要条件：特征方程的各项系数全部为正; 将系统特征方程各项系数排列成如下行列式；
当主行列式及其对角线上的各子行列式均大于零时，即
a
n 1
则方程无正根，系统稳定。
赫尔维茨稳定判据之行列式直接由系数排列而成，规律简单明 确，使用也比较方便，但是对六阶以上的系统，很少应用。
试判断系统是否稳定。
解：系统特征方程的各项系数均为正数。
a
n 1
a n
a
n 1
a n
a
n 3 a
n 2 a
n 3 a
n 2 a
n 1
a
n 5 a
n 4 a
n 3
例；若已知系统的特征方程为s 4
8s 3 〔S s 2
16s
1
8 8 0
8 16 0 1 18 5 17280
816 8690
各阶子行列式都大于零，故系统稳定 2、
劳思判据
(1) 劳思判据充要条件:
A 、 系统特征方程的各项系数均大于零，即 a>0;
B 、 劳思计算表第一列各项符号皆相同。
满足上述条件则系统稳定，否则系统不稳定，各项符号变化的 次数就
是不稳定根的数目。
(2) 劳思计算表的求法：
A 列写劳思阵列，
并将系统特征方程的系数按如下形式排列
成列首两行，即:
n s a n
a n 2
a n 4 a n 6 n 1 s
珀1
a n 3
a n 5
a n 7
n 2 s b 1
b 2
b 3
b 4 n 3
s
G
C 2
C 3
C 4
2
s U 1 U 2
1 s V 1
0 s
w
B 、计算劳思表
8 16
1 18
128 0
系数b i 的计算要一直进行到其余的b i 值都等于零为止。
用同样的前两行系数交叉相乘，再除以前一行第一个元素的 方法，可以计算c , d , e 等各行的系数。
C 2
C i
(3)
劳思判据的两种特殊情况
A 、 劳思计算表第一列出现零的情况
因为不能用零作为除数，故第一列出现零时，计算表不能继 续排下去。
为解决该问题，其办法是用一个小的正数£代替 0 进行计算，再令£—0求极限来判别第一列系数的符号。
B 、 劳思计算表中出现某一行各项全为零的情况
此时，劳思表将在全为零的一行处中断，其解决办法是将不 为零的最后一行的各项组成一个“辅助方程式”，将该方程式对 s 求导数，用求得的各项系数代替原来为零的各项，然后按劳
a n i a
n
2
a n a
n
3
a n i
a n i a
n
4
a n a
n
5
a n i
a n i a
n
6
a n a
n
7
a
n i
b i b 2
C i
C 3
bA 7
a
n i b 4
b i
d i
c i b 2 b© b i
b i a
n 5 a
n 1b
3 b i
思计算表的写法继续写完以后各项，对称根可由辅助方程求得。
例1：已知系统特征方程为s 5
2s 4
3s 3
6s 2
2s 1 0
判别系统是否稳定，若不稳定，求不稳定根的数目 角军：根据特征方程可知，其各项系数均为正。
列写劳思计算表并计算得:
故第一列有两次变号，系统特征方程有两个正根，系统不稳定 例2:已知控制系统的特征方程为
s 6
2s 5
8s 4
12s 3
20s 2
16s 16
试判定系统的稳定性。
解:根据系统的特征方程可知，其各项系数均为正。
6
s
1 8 20 16 5 s (
2 12 16) 5 s
1 6 8 列与劳思计算表并计算得： s 4
(2 12 16) 4
s 1 6 8
3
s
0 0
因s3行各项全为零，故以s4行的各项作系数，列写辅助方程如下:
当£ 时,
3
，2 s
As s 4 6s 2 8 将A(s)对s 求导，得:
再将上式的系数代替s3行的各项系数，继续写出以下劳思计算表:
s 1 8 20 16 5 s
1 6
8
4 s
1 6 8 3 s
(4 12)
3 s
1 3
2 s
3 8
1 1
s
3
0 s 8
从劳思表的第一列可以看出, 各项均无符号变化，故特征方程无正根。
但是因s 3
行出现全为零的情况，故必有共轭虚根存在
共轭虚根可通过辅助方程求得 s 4
6s 2
8 0
其共轭虚根为
s 1
， 岳；
%4 2j ，这四个根同时也是原方程的 根，他们位于虚轴上，
因此该控制系统处于临界状态，系统不稳定。
二、根轨迹法(复域)
系统稳定的充要条件：所有的闭环极点都在S 平面的左半平面。
例：已
知系统的开环传递函数为；；厂,二 nJ — 匕，试应用根轨 迹法分析系统
的稳定性。
解：MS) =
=冠 R (K *=2k)
做根轨迹： (a) 有三条根轨迹(n=3 m=0 n-m=3)
(b)
实轴上〔0, - 1〕(- 2, - 8)为根轨迹段
d ds
As 4s 3 12s
(c)渐近线的夹角与坐标:
(2k + 1)托
± 60° , 180° L o a=
n - m
=-1
(d)分离点坐标d:
解得d 1=
d2=(舍去)因为d2不在根轨迹上
(e)与虚轴的交点坐标:
D(S)二十3S? + 更+ K
令S=jw代入到式中得：
Sjw)二(jw)3 + 3(jw)2+ 2(jw) + K
故肌二0川2 二土1「114，的二土1”414,K* 二6,K 二3根轨迹图如下所示:
三、频率特性
1、奈氏判据(奈奎斯特判据)
Z=P-2N 系统稳定时Z=0
由开环传递函数在S平面的极点个数P,奈氏曲线绕
(-1 , j0 )的圈数N,得到闭环传递函数在S平面的极点的个数Z P通过G(S)可知N :顺时针为负，逆时针为正
当V M0时，需要做增补线W:O f0 +
从幅相曲线w二o +位置开始沿逆时针方向画v X 90°的圆弧增补线(理论半径为 )计算圈数时要包括所画圆弧的增补线在内。
例：某单位负反馈系统的开环传递函数为G(S)二吊匕试用奈氏判据判
别闭环稳定性。
解：W 刁
幅值趋于0,相角趋于-270 °。
N=-1, P=0, Z=P-2N=2
故闭环系统不稳定。
2、对数频率判定系统稳定性
在截止频率之前，在对数幅频曲线L(W)>0.对应的频率范围对应的
相角是否穿越-180 °
在V 0时，也需要做增补线，从对数相频特性曲线上W二0 +处开始, 用虚线向上补90°角(补到0°或180°)
例:
已知系统的开环传递函数为G(s)—迤化］］试用对数频率稳定判据判别系统闭环的稳定性。
解: N +二0, N -= 0, P 二0
N=(N+)-(N-)=0-0=P/2。
