初中数学一元二次方程解法应用中的数学建模思想

建模思想在初中数学教学中的运用建模思想是指将现实生活中的问题抽象化，选择合适的数学模型进行分析和求解的思维方法。

随着时代的发展，建模已经成为数学教学的一种重要手段，尤其在初中数学的教学中，建模思想更是被广泛应用。

本文将从初中数学的几个方面来探讨建模思想在教学中的运用。

一、数学模型与实际问题的联系数学建模需要对实际问题进行抽象化和简化，并将其转化为数学语言。

在初中数学教学中，我们可以选取一些和学生紧密关联的问题，或者是学生平时生活中易于接触的问题来进行建模。

通过这种方式，可以让学生对数学建模的概念和应用进行初步了解，提高他们的兴趣和积极性。

与此同时，还可以帮助学生对实际问题的认识和理解进一步加深。

例如，学生刚刚接触到二次函数的概念，我们可以让他们从实际中找到一些具有二次函数特征的问题，如抛物线运动、塔尖高度等问题。

通过这些问题的探究，不仅使学生对二次函数的定义和图像特征有了更深入的理解，而且也让学生认识到二次函数是实际生活中某些问题的数学模型，这样能够增加学生对数学的兴趣。

二、建模思想与教材内容的结合数学建模思想不仅要针对实际问题进行处理，还需要将其和教材内容相结合，使之成为教学的一部分。

建模思想可以贯穿于教材的各个知识点中，让学生从整体上认识和理解数学知识的构成与作用，提高学生综合运用知识的能力。

例如，在初一学习等比数列时，可以引入与等比数列相关的问题来进行建模，如利润的增长、人口增长率、光强的减弱等。

这样通过建模，可以帮助学生将所学知识应用到实际问题中，同时也可以加深学生对等比数列的理解和掌握。

在初二学习函数时，可以引入与函数有关的问题来进行建模，如路程和时间的关系、投掷问题、股票收益等。

这样可以将数学与实际问题相结合，让学生更多地了解函数的特征和应用，加深学生对函数的理解和掌握。

三、建模思想与推理能力的培养数学建模思想除了可以增加学生的兴趣，还能提高学生的推理能力。

建模思想能够让学生通过分析、推理和解决实际问题的过程，增强他们的逻辑思维能力和解决问题的能力。

数学建模思想在中学数学中的应用在中学数学的学习中，数学建模思想具有重要的地位和作用。

它不仅能够帮助学生更好地理解数学知识，提高解决实际问题的能力，还能培养学生的创新思维和应用意识。

数学建模，简单来说，就是将实际问题转化为数学问题，然后通过建立数学模型来解决问题的过程。

中学数学中的许多知识，如函数、方程、不等式、几何图形等，都可以作为构建数学模型的工具。

以函数为例，在生活中，我们常常会遇到各种各样的变化关系。

比如，汽车行驶的路程与时间的关系、销售商品的利润与销售量的关系等。

这些关系都可以用函数来描述和分析。

通过建立函数模型，我们可以预测未来的趋势，做出合理的决策。

再比如，在几何图形的学习中，数学建模思想也有广泛的应用。

例如，计算一个不规则物体的体积，我们可以通过将其转化为规则几何体的组合，然后利用相应的体积公式来求解。

又如，在测量建筑物的高度时，我们可以利用相似三角形的性质建立数学模型，从而得出准确的结果。

数学建模思想在中学数学应用题中的应用尤为明显。

例如，一道常见的行程问题：甲乙两人分别从 A、B 两地同时出发相向而行，甲的速度为每小时 5 千米，乙的速度为每小时 4 千米，经过 3 小时两人相遇，问 A、B 两地的距离是多少？在解决这道题时，我们可以建立一个简单的线性方程模型。

设 A、B 两地的距离为 x 千米，根据路程=速度×时间，可得到方程：5×3 ＋ 4×3 ＝ x，解得 x ＝ 27 千米。

在解决这类应用题时，关键是要将实际问题中的数量关系转化为数学语言，明确已知量和未知量，然后选择合适的数学模型进行求解。

这需要学生具备较强的阅读理解能力和逻辑思维能力。

数学建模思想的应用还能够激发学生的学习兴趣。

传统的数学教学往往注重理论知识的传授和解题技巧的训练，容易让学生感到枯燥乏味。

而通过引入数学建模，将抽象的数学知识与实际生活紧密联系起来，让学生看到数学的实用性和趣味性，从而提高他们学习数学的积极性和主动性。

(初中数学建模思想的策略研究)数学建模在方程中的教学和应用新课程标准指出，“数学课程不仅要考虑教学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发……数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有知识经验基础之上。

”要将数学与学生的生活紧密联系，真正将数学应用到生活中去。

一、用数学建模的思想去列方程解应用题的重要意义在初中数学教学中，列方程解应用题是一个重点问题同时也是一个难点问题。

应用方程解决问题是数学教学联系实际的重要课题，它对于培养学生分析问题、解决问题的能力具有重要的意义。

在对问题的分析中也培养了学生合作的精神和创新的意识。

通过对多种实际问题中数量关系的分析，使学生初步感受方程是刻画现实世界的有效模型. 用数学建模的思想，让学生经历数学建模的过程，感受数学建模给自己带来的乐趣，增强了学生学习数学的兴趣。

二、在方程应用题的教学中渗透数学建模的思想与思维过程。

教师在教学列方程解应用题的时候，不应急于讲解例题和解题步骤，而应列举一些学生平时生活很熟悉的例子，先让学生说出自己知道的有关实例中的知识，这样学生学习的热情度就高，还可以提高他们学习的兴趣。

通过引导他们用数学建模的数学去思考问题，他们就能快速地找出等量关系，既而就能很快地列出方程。

例如，在教学《8.3实际问题与二元一次方程组》中，探究:养牛场原有30只大牛和15只小牛，1天约用饲料675kg:一周后又购进12只大牛和5只小牛，这时1天约用饲料940kg。

饲养员李大叔估计每只大牛1天约用饲料18,20kg，每只小牛约需饲料7,8kg。

你能否通过计算检验他的估计,教师可提问:(1)、你见过别人养牛吗,(2)、你们知道养牛一般用哪些饲料,(3)、你们猜想一下，大牛和小牛谁吃的饲料多，为什么,(4)、你怎样判断李大叔估算得准不准,(5)、1只大牛和1只小牛1天吃的饲料，怎么算,(6)、假设每只大牛和每只小牛1天各约用饲料xkg和ykg。

数学建模思想在初中数学教学中的应用数学建模是将数学知识和技能应用于实际问题的过程，其重点是解决实际问题，而不是限于某个单一的理论或技巧。

在初中数学教学中，数学建模的思想对学生的数学素养和综合能力的提升有着重要的意义。

数学建模的基本过程数学建模由问题的建立、问题的分析、数学模型的建立、数学模型的求解、在原问题上的应用五个过程组成：1. 问题的建立问题的建立是将实际问题转化为数学语言描述的过程，目的是明确解决的问题，并为问题的研究提供基础。

2. 问题的分析问题的分析是对建立好的问题进行分析，了解问题背景，确定问题的相关因素，明确解决问题的目标。

3. 数学模型的建立数学模型的建立是将问题转化为数学模型的过程，数学模型是实际问题的抽象表示，包括数学公式、符号、变量等元素的组合。

4. 数学模型的求解数学模型的求解是对数学模型进行求解的过程，这一过程重要的是选取合适的数学方法，并利用计算机进行数值计算。

5. 在原问题上的应用在原问题上的应用是将求解好的数学模型反过来应用于原问题的过程，其结果是对于原问题得到了更深刻的认识和理解。

数学建模在初中数学教学中的应用1. 提高学生数学学科素养数学建模是将所学数学理论和技巧应用于现实问题的过程，这种应用不仅是对所学知识和技能的综合运用，也是对所学知识和技能的深度掌握和理解。

数学建模的过程能够培养学生的创新意识，增强解决实际问题的能力，提高学生数学学科素养。

2. 促进跨学科交叉应用数学建模是一种跨学科应用，所建立的模型几乎涉及到所有学科，如物理、化学、生物等。

在初中数学教学中，可以将数学建模思想引入到不同学科中，促进学科之间的交叉应用，提高学生综合能力。

3. 拓宽学生思维方式数学建模可以拓宽学生的思维方式，使其不仅了解基础的数学知识和技能，还能够从问题本身出发，思考问题的本质，寻求解决问题的方法。

这种思维方式不仅对数学学科有益，也对其他学科有着重要的启示意义。

4. 培养学生创新意识数学建模是一种创新的过程，需要学生从问题本身出发，寻找解决问题的方法。

初中数学方程建模思想及解题技巧（一）一元一次方程概念：1.方程：含有未知数的等式就叫做方程.2. 一元一次方程：只含有一个未知数(元)x ，未知数x 的指数都是1(次)去括号法则：(1). 括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同．(2). 括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号改变． 用方程思想解决实际问题的一般步骤(1). 审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间的关系．(2). 设：设未知数(可分直接设法，间接设法)(3). 列：根据题意列方程．(4). 解：解出所列方程．(5). 检：检验所求的解是否符合题意．(6). 答：写出答案(有单位要注明答案)【典型例题】一、一元一次方程的有关概念例1.一个一元一次方程的解为2，请写出这个一元一次方程 . (答案不唯一)二、一元一次方程的解例2.若关于x 的一元一次方程23132x k x k ---=的解是1x =-,则k 的值是（ ）A ． 27B ．1C ．1311- D ．0 例3. 23{32[12(x-1)-3]-3}=3 三、一元一次方程的实际应用例4.某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅．经过测试：同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生就餐．（1）求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐；（2）若7个餐厅同时开放，能否供全校的5300名学生就餐？请说明理由．例5.工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等.该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？（二）一元二次方程概念：1、 定义：2、 一般表达式：3、 方程的解：4、 解法：直接开平方、因式分解法、公式法、配方法5、 解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次。

建模思想在初中数学教学中的运用在初中数学教学中，建模思想是一个十分重要的概念。

建模思想指的是将现实问题抽象成数学模型，并利用模型进行问题的分析和解决。

初中数学教学应该注重培养学生的建模思维能力，让学生在学习数学的同时，能够运用数学知识解决实际问题。

一、建模思想在初中数学教学中的应用1.数学建模的原理数学建模是将实际问题转化成符号语言和数学形式的模型，通过模型的建立和分析，从而解决这些实际问题。

建模的过程可以分为如下几个步骤：（1）确定问题：确定需要研究的问题，明确问题的意义和目的。

（2）建立模型：将问题转化成数学形式，建立数学模型。

（3）解决问题：通过数学模型，运用数学方法和技巧解决问题。

（4）分析结果：根据数学模型的分析和解决结果，对实际问题进行预测和评价。

数学建模的过程可以有多种方法和技巧，但是建模的核心是将具体问题转化成数学形式，运用数学进行分析和解决。

2.建模思想在初中数学中的应用建模思想是初中数学中一个非常重要的思维工具，可以帮助学生更好地理解和应用数学知识。

在初中数学教学中，可以通过以下几个方面来运用建模思想：（1）引导学生建立数学模型在初中数学教学中，教师可以引导学生将实际问题转化成数学形式，建立数学模型。

例如，通过实验和探究，学生可以建立图形的面积和周长之间的关系，理解面积公式和周长公式的含义和意义。

通过实际问题的模拟和设计，学生可以建立函数模型和等式模型，理解函数和方程的应用和意义。

（2）培养学生的问题解决能力通过建模思想的引导和训练，学生可以更好地掌握数学方法和技巧，解决实际问题。

例如，学生可以通过建立数学模型，理解质量和体积之间的关系，计算密度和比重等物理量。

学生还可以通过建模思想，设计折线图、散点图、棒图等图形，分析数量和关系。

（3）促进学生数学思维的发展建模思想可以帮助学生发展创新性和探究性的数学思维，培养学生独立思考和创造性解决问题的能力。

例如，学生可以通过探究和研究，设计各种数学模型，分析和解决数学难题。

数学建模思想在初中数学教学中的应用初探前言在现实中，我们需要通过数学的方法对问题进行建模，并通过数学模型进行求解、分析，从而解决问题。

因此，数学建模思想在日常生活以及各行各业中都有着广泛应用。

在初中数学教学中，也可以通过数学建模思想引导学生解决问题，提高他们的综合能力。

本文将探讨数学建模思想在初中数学教学中的应用，希望对初中数学教育有所帮助。

什么是数学建模思想数学建模思想是指将实际问题化为数学问题并进行求解的思想。

换言之，就是通过数学方法构造数学模型，用来描述问题的本质及其相关规律，并且通过求解数学模型，得出问题的结论。

数学建模思想的核心是将实际问题进行抽象化，并在此基础上构造数学模型。

因此，数学建模思想至少包括以下几个方面：•实际问题的抽象化•数学模型的构造•数学模型的求解•结论的解释及应用数学建模思想在初中数学教学中的应用作为一种综合性强、可以跨学科运用的思维方式，数学建模思想在初中数学教学中也有着广泛的应用。

下面将通过几个例子，来看看数学建模思想在初中数学教学中的具体应用。

案例1：校园巡逻问题某个小区拥有 A、B、C 三座校园，每座校园都有巡逻车辆进行巡逻，校园 A、B 之间距离为 10 千米，校园 B、C 之间距离为 15 千米，校园 A、C 之间距离为 20 千米。

每辆巡逻车都需要在一定时间内来回巡逻一次，并在巡逻间需要停留 30 分钟进行休息（需要注意的是，校园之间的距离不需要考虑往返次数）。

问：巡逻车每次巡逻的最短用时是多少？这是一道数学建模思想所涉及到的问题，需要学生进行抽象化处理。

首先，学生可以将巡逻车的巡逻行程进行抽象化，将其视为从一个节点到另一个节点经过一条边的过程。

这里的节点就是校园，边就是两个校园之间的距离。

然后，学生可以用图形来表示这些节点和边，将其转化为一个图形模型。

然后通过计算，可以得到巡逻车每次巡逻的最短用时。

通过这个例子，我们不仅提供了一个实际问题的解决方案，而且也可以让学生发挥数学建模思想解决实际问题，提高了他们的综合能力。

数学建模思想总结范文初中数学建模是将现实问题转化为数学问题，并通过建立适当的数学模型来分析和求解问题的过程。

在初中阶段，数学建模是培养学生综合应用数学知识和解决实际问题的能力的重要手段。

下面是一个关于数学建模思想的总结范文，希望对你有所帮助。

数学建模是一种抽象思维的过程，首先要将具体的问题进行抽象和简化，建立数学模型。

模型是对实际问题的数学表达，通常用数学符号、方程和不等式等进行表示。

建立模型需要通过观察和实验来提取问题中的关键信息，找到问题的本质和规律。

然后根据问题的特点和要求，选择适当的数学方法和工具进行求解。

最后将数学结果和实际情况进行比较，验证模型的正确性和可行性。

数学建模思想总结起来可以分为以下几个方面：1.问题抽象和建模：数学建模过程中首要的一步是将实际问题进行抽象和简化，抓住问题的本质和关键要素。

通过观察和实验，提取问题中的关键信息，将问题转化为数学符号和方程进行表示。

建立数学模型需要考虑问题的数学特征和要求，选择适当的数学方法和工具。

2.数学工具的运用：在数学建模中，需要运用到各种数学知识和方法。

包括代数、几何、概率、统计等方面的知识，如函数关系、图形表示、数据分析等。

掌握和运用这些数学知识和方法，是解决问题的有效手段。

3.问题求解和验证：建立好数学模型后，需要通过数学方法进行求解。

这个过程中包括使用代数、几何、概率、统计等方法，进行方程求解、图形分析、数据处理等。

求解结果要与实际问题进行比较和验证，检验模型的正确性和可行性。

如果结果不符合实际，需要调整模型和方法，重新求解。

4.模型的评价和应用：数学建模的最终目的是解决实际问题，对建立的模型和求解的结果进行评价和应用。

评价模型要考虑模型的适用性、精确性和实用性，看是否能够解决实际问题。

应用模型要考虑解决实际问题的效果和影响，看是否能够对问题进行预测、优化和决策。

数学建模思想在初中阶段的数学学习中具有重要意义。

通过数学建模，可以培养学生的创新思维、综合运用知识的能力和解决实际问题的能力。

中考数学常见数学思想方法五：数学建模思想方法
数学建模思想是说在具体的问题分析中，尽量通过观察，抽象出主要的参量、参数与有关的定律、原理间建立起的某种关系。

这样，一个具体的实际问题就转化为简化明了的一个数学模型。

典型例题分析5：
某班到毕业时共结余班费1800元，班委会决定拿出不少于270元但不超过300元的资金为老师购买纪念品，其余资金用于在毕业晚会上给50位同学每人购买一件T恤或一本影集作为纪念品．已知每件T 恤比每本影集贵9元，用200元恰好可以买到2件T恤和5本影集．（1）求每件T恤和每本影集的价格分别为多少元？
（2）有几种购买T恤和影集的方案？
考点分析：
一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用；应用题。

题干分析：
（1）通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即每件T恤比每本影集费9元，用200元恰好可以买到2件T恤和5本影集．根据这两个等量关系可列出方程组．
（2）本题存在两个不等量关系，即设购买T恤t件，购买影集（50﹣t）本，则1800﹣300≤35t+26（50﹣t）≤1800﹣270，根据t为正整数，解出不等式再进行比较即可．
解题反思：
本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的实际应用，问题（1）在解决时只需认真分析题意，找出本题存在的两个等量关系，根据这两个等量关系可列出方程组．问题（2）需利用不等式解决，另外要注意，同实际相联系的题目，需考虑字母的实际意义，从而确定具体的取值．再进行比较即可知道方案用于购买老师纪念品的资金更充足。

初中数学一元二次方程解法应用中的数学建模思想一元二次方程是初中数学中的重要内容，也是数学建模的基础。

它在解决实际问题中起着重要的作用。

本文将从数学建模的角度出发，探讨一元二次方程的解法应用中所涉及的数学建模思想。

一、问题的抽象化和建立模型在解决实际问题时，首先需要将问题进行抽象化，找到与问题相关的数学关系。

以求解一元二次方程为例，假设原问题是求解一个矩形的面积等于周长的问题。

我们可以将矩形的长度设为x，宽度设为y，根据矩形的面积和周长的定义，可以得到方程2(x+y)=xy。

这样，我们就建立了一个与原问题等价的一元二次方程模型。

二、数学建模思想的灵活运用在解决问题时，数学建模思想要求我们根据实际情况，灵活选择合适的数学方法和工具。

对于一元二次方程的解法应用来说，常见的方法有因式分解法、配方法和求根公式法等。

根据问题的具体情况，我们可以选择最合适的解法。

比如，在解决一个与物体自由落体相关的问题时，可以运用一元二次方程求根公式法计算物体的时间和高度的关系。

三、模型的验证和调整在建立数学模型之后，我们需要对模型进行验证和调整，确保模型的准确性和可信度。

对于一元二次方程模型来说，我们可以通过代入已知条件验证方程的解是否符合实际情况。

如果模型的解与实际结果相符，则可以认为模型是可行的。

如果不符合，我们需要对模型进行调整，重新建立数学关系，直到得到符合实际问题的解。

四、解的合理性分析在得到一元二次方程的解之后，我们还需要对解进行合理性分析，判断解的意义和适用范围。

特别是在解决实际问题时，要考虑解的物理意义和实际限制条件。

比如，在解决一个与停车收费有关的问题时，一元二次方程的解不能为负数，因为停车费应为正数。

这样，我们就需要对解的合理性进行分析和判断，确定解的适用范围。

综上所述，初中数学一元二次方程解法应用中的数学建模思想是非常重要的。

通过问题的抽象化和建立模型，数学建模思想能够将实际问题转化为数学关系，从而更好地进行求解和分析。

九年级数学《一元二次方程》：化归思想与数学建模九年级数学《一元二次方程》：化归思想与数学建模本章对一元二次方程解法的推导充分运用了化归思想，并提到了数学建模。

一、化归之一：把一元二次方程降次为一元一次方程本章《小结与复习》中说：解一元二次方程的基本思路是：降低次数，转化为两个一元一次方程。

有朋友会认为本章运用的基本思路是转化策略，我不赞成：第一，基本思路应该就是数学基本思想方法，它是战略性的，策略则是受战略指导的、战役性的方法，解题术则是受策略指导的、战术性的具体技巧，因此转化策略不属于基本思路即数学基本思想方法。

第二，转化有二种：一种是等价两物的横向转化，如代数与几何各成一体但等价，用代数方法解几何问题或反之均属横向转化(故应称数形互化另一种是复杂之物向其简单成分的纵向转化，本章所用降次方法是把复杂的一元二次方程转化为较简单的两个一元一次方程，属于纵向转化。

第三，横、纵转化所依据的基本思想方法不同。

横向转化依据的是结构化基本思想方法：代数体系与几何体系虽组成要素不同，但二者的结构关系相同(同构)，其要素与结构关系可相互翻译(以点与数的一一对应为基础)，故可实现代数问题及其解法与几何问题及其解法之间的相互转化。

纵向转化依据的是化归化基本思想方法：新学的较复杂数学知识须能化归为已学的较简单数学知识，如复数实数有理数自然数，复杂图形基本图形，本章则是一元二次方程一元一次方程，它们都属于化归性的纵向转化。

综上可知，本章所运用的基本思路(基本思想方法)是降次这种化归思想方法其价值是化新为旧(化未知为已知)、化繁为简从而化难为易。

运用这一资源对学生进行数学思想方法教育，让学生领悟它的价值，好处多多。

二、化归之二：公式法配方法因式分解法或直接开平方法本章推导一元二次方程多种解法的路线是从简单到复杂：因式分解法与直接开平方法配方法公式法。

因式分解法和直接开平方法可直接利用旧知，但只适于解(axb)2=c这种特殊形式的方程;对一般式ax2+bx+c=0这种较复杂的方程可用配方法，但很多情况下难以配方;最终推出通用的公式法，且靠此法能推出许多其他一元二次方程的性质(如本章介绍的判别式及其意义)。

用建模思想解决一元二次方程的应用问题—“增长率”及“等体积倒药加水”问题数学建模是数学中一种极为重要的数学思想方法，在新课改的理念下，应用数学的意识以及数学素质的培养提高，已成为数学教育的目标．在初中阶段数学活动就是数学模型的建立与处理，在教学中，让学生领会其思想和基本过程，提高学生解决问题的能力和信心，是我们每位数学教师的责任．应用数学解决各类实际问题，建立数学模型是十分关键的一步，同时也是很困难的一步．而建立数学模型的过程，就是把错综复杂的问题简化、抽象为合理的数学结构的过程．本文就利用模型“对应分率×基数=对应量”，来决学生最头痛的一元二次方程中的“增长率”问题以及“等体积倒药加水”问题，真正使建模为大家所用．预备练习题：一种药品每盒60元，问降价l0%后每盒多少元?解法一：60-60×10%=60-6 =54(元)．(所用模型：降价分率×基数=降价钱数)解法二：60 (1-10%) =60×90 %= 54 (元)．(所用模型：降价后余额对应分率×基数-降价后余额数)例题选讲：【例1】某商店1月份的利润是2500元，3月份的利润达到3000 元，这两个月的利润平均月增长的百分率是多少?分析：设这两个月利润平均月增长的百分率为x，则这两个月平均每月利润对应的分率为l+x．1月份的利润是 ：2500 (元) ；2 月份的利润是： 2500 (1 +x ) (元)； (2月份的利润是在1月份 的基础上，因而基数为1月份的利润．所用模型：2月份的利润对应的分率×基数=2月份的利润)．3 月份的利润是： 2500 (1 +x) (1+ x) (元)． (3月份的利润是在2月份的基础上，因而基数为2月份的利润． 所用模型：3月份的利 润对应的分率×基数=3月份的利润)于是，可列方程：2500(1+x)2=3000．【例2】 北师大版初中数学九年级上册208页，有这样一道一元二次方程的应用题：一个容器盛满纯药液20升，第一次倒出若干升后，用水加满，第二次又倒出同样体积的液体，这时容器里只剩下纯药液5升，每次倒出液体是多少升?解 (常规解法)： 设每次倒出溶液x 升，第一次倒出升纯药液后，剩下纯药液 (20-x)升 ，加满水后，药液浓度是20-x 20 ；第二次倒出升药液后，剩下的药液为20-x ，剩下纯药液为20-x 20 ·(20 - x)升．由此可列方程20-x 20 ·(20 - x)=5，解得 x 1=l0， x 2= 30 (不合题意舍去) ．答： 每次倒出的溶液是10升．该题可采用另一种解法，先看以下引例 ．引例：去年我校开运动会期间，某天初二某班服务组为运动员送来茶水20千克，其中加入食盐20克，等当天运动项目结束后，运动员只喝了茶水的3／4，问喝茶水时运动员喝进了20 克食盐的几分之几? 所剩食盐占总食盐的几分之几?分析：因为食盐是均匀的溶解在水中，喝去食盐占总食盐的分率等于喝去茶水占总茶水的分率为3／4，所剩食盐占总食盐的分率等于所剩茶水占总茶水的分率为1／4．根据引例中“喝去食盐占总食盐的分率等于喝去茶水占总茶水的分率”、“所剩食盐占总食盐的分率等于所剩茶水占总茶水的分率”这一结论可知，每次倒出的液体占总液体的分率=每次倒出纯药液占总纯药液的分率，每次倒出后所剩液体占总液体的分率=每次倒出后所剩药液占总纯药液的分率．可得例2的又一解法．解：设每次倒出液体为x升，每次倒出的液体占总液体的分率为x20，每次倒出后所剩液体占总液体的率为1- x20=20-x20每次倒出后所剩纯药液占总纯药液的分率=每次倒出后所剩液体占总液体的分率= 20-x 20．每次倒出后所剩纯药液占总纯药液的分率=每次倒出后所剩液体占总液体的分率= 20-x 20．第一次倒出后所剩纯药液为20-x；第二次倒出后所剩纯药液20-x 20 (20-x) = (第二次倒出 后所剩纯药液对应分率，为所剩纯药液占总纯药液的分率，因而其基数 为第一次倒出后所剩纯药液．所用模型：所剩纯药液对应分率×基数 =所剩纯药液) 于是可列方程为：．如何让学生通过一道例 题应用一种模式，自觉主动地用数学知识解决系列问题是新课程改革的要求之一．本题安排在此，效果已非常明显，它能使学生的数学能力得到充分的展示与发展．此例的方法还可进一步推广，达到使问题简单明了的效果 ．推广一：某工厂1月份的总产量为a 吨，3月份达到b 吨，问两个月平均月增长的百分数为多少?解析：设这两个月平均月增长的百分数为x ，则 2 、3月 份总产量对应的分率为 (1+x)．由 “对应分率×基数=对应量”模型可列方程a(1+x)2=b ．推广二：a 升容积的容器中装满了纯酒精 ，第一次倒出一部分后加满水，又倒出同样多的液体．若此时容器中还有纯酒精 b 升 ，求每次倒出液体的体积是多少?解析： 因每次倒出的体积数相同，则可知每次倒出液体时，酒精减少的分率不变，可设每次倒出升x ，则每次酒精减少率为x a ，每次所剩酒精对应的分率为1- x a .由“对应分率×基数=对应量”模型可列方程 a(1- x a )2 =b ，通过解方程求解．推广三：升容积的容器中装满了浓度为c %酒精溶液，第一次倒 出一部分后加满水，又倒出同样多的液体．若此时容器中还有纯酒精 b 升，求每次倒出液体的体积是多少?解析： 因每次倒出的体积数相同，则可知每次倒出液体时，酒精减少的分率不变，可设每次倒出x 升 ，则每次酒精减少率为x a ，每次所剩酒精对应的分率为1- x a .由“对应分率×基数=对应量”模型可列方程a ·c %(1- x a )2=b ，通过解方程求解．推广四：a 升容积的容器中装满了纯酒精，第一次倒出一部分后 加满水，又倒出第一次倒出的c 倍的液体．若此时容器中还有纯酒精 b 升，求第一次倒出液体的体积是多少?解析：可设第一次倒出x 升，则第一次倒出酒精减少的百分率为x a ，第二次酒精减少率为cx a ， 由“对应分率×基数=对应量”模型可列方程 a (1- x a ) (1- cx a ) =b ，通过解方程求解．。

初中数学方程建模思想及解题技巧（一）一元一次方程概念：1.方程：含有未知数的等式就叫做方程.2. 一元一次方程：只含有一个未知数(元)x ，未知数x 的指数都是1(次)去括号法则：(1). 括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同．(2). 括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号改变． 用方程思想解决实际问题的一般步骤(1). 审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间的关系．(2). 设：设未知数(可分直接设法，间接设法)(3). 列：根据题意列方程．(4). 解：解出所列方程．(5). 检：检验所求的解是否符合题意．(6). 答：写出答案(有单位要注明答案)【典型例题】一、一元一次方程的有关概念例1.一个一元一次方程的解为2，请写出这个一元一次方程 . (答案不唯一)二、一元一次方程的解例2.若关于x 的一元一次方程23132x k x k ---=的解是1x =-,则k 的值是（ ）A ． 27B ．1C ．1311- D ．0 例3. 23{32[12(x-1)-3]-3}=3 三、一元一次方程的实际应用例4.某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅．经过测试：同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生就餐．（1）求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐；（2）若7个餐厅同时开放，能否供全校的5300名学生就餐？请说明理由．例5.工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等.该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？（二）一元二次方程概念：1、 定义：2、 一般表达式：3、 方程的解：4、 解法：直接开平方、因式分解法、公式法、配方法5、 解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次。

建模思想在一元二次方程应用题教学中的实践和运用摘要关键词 建模思想 实践 运用全日制义务教育数学课程标准（修改稿），提出了在“数与代数”的教学中，初步形成模型思想。

体现了模型思想在数学中的基础地位和重要性，对建模思想在数学课堂教学中的贯彻落实提出了明确的要求。

从现实生活或者具体情境中抽象出数学问题，是建立模型的出发点；用符号表示数量关系和变化规律，是建立模型的过程；求出模型的结果并讨论结果的意义，是求解模型的过程。

这些内容有助于培养学生的学习兴趣和应用意识，体会数学建模的过程，树立模型思想。

在教学实践中本人又遵循了以下规律：第一步，从生活问题中抽象出数学模型，主要解决用符号表示数量关系和变化规律，是从特殊到一般的过程。

第二步，用数学模型解决生活问题，主要解决问题中的量与模型的对应关系，用恰当的代数式表示问题中的量，是从一般到特殊的过程。

现谈谈建模思想在一元二次方程教学中的实践和应用。

一、变化率问题；[研究问题]1，某企业2007年盈利1500万元，2009年克服全球金融危机的不利影响，仍实现盈利2160万元。

从2007年到2009年，如果该企业每年盈利的年增长率相同，求：（1）该企业2008年盈利多少万元？（2）若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计2010年盈利多少万元解：（1）设年平均增长率为p. 1500 ×(1+ p)2=2160,2.01150021601=-=P 1150021602--=P (舍去)。

1500×（1+0.2）=1800（万元）（2）2600×（1+0.2）2=3744 （万元）答：该企业2008年盈利1800万元，若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计2010年盈利3744 万元。

如果变化率是下降时，则15002007年2160万元2009年1500×(1+ p)2= 分析：设年平均增长率为p.建立模型① 一次变化：a(1±p) =b ②二次变化：a(1±p)2=b[灵活运用] 2、由于科技水平的提高，某种电子产品的价格呈下降趋势，2009年的价格是两年前的1/4。

借助一元二次方程,感受数学模型魅力纵观“一元一次方程”“二元一次方程”“分式方程”“一元二次方程”等内容，我们要学会的其实是一种数学方法——数学建模。

一元二次方程是初中数学学习的重点，也是学好二次函数不可或缺的条件，更是学好高中数学的基础，还能解决生活中经常遇到的问题。

从每年的中考数学试卷中，我们都能看到一元二次方程实际应用的身影。

下面，就让我们一起来归纳探讨。

一、增长率问题例1 （2021·江苏盐城）劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克。

设平均每年增产的百分率为x，则可列方程为。

可先表示出第一年的产量，那么第二年的产量×（1+增长率）=363。

把相应数值代入即可求解第一年的产量为300×（1+x），第二年的产量在第一年产量的基础上增加x，为300×（1+x）×（1+x），则列出的方程是300（1+x）2=363。

本题考查平均变化率问题，解题的关键在于理解平均变化率。

若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b。

二、销售问题例2 （2021·山东烟台）直播购物逐渐走进了人们的生活。

某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件。

通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件。

（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元。

为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？（1）根据日利润=每件利润_日销售量，可求出售价为60元时的原利润。

设每件售价应定为x元，则每件的利润为（__40）元，日销售量为20+[10（60__）5]=（140-2x）件。

用数学思想方法解一元二次方程问题山东 张立旺数学思想是数学知识的精髓，是数学内容的一种本质认识，它在学习和运用数学知识的过程中，起着观念性的指导作用．下面举例说明数学思想在一元二次方程中的应用．一、转化思想有一些题目按照一般的解题思路去思考，往往比较烦琐．若根据知识间内在的联系，恰当地把题目中的数量关系从一种形式转化为另一种形式，问题就可能比较顺利地得到解决，这就是转化的思想方法．它能够帮助我们打开思路，把一个较复杂或陌生的问题转化成一个已经解过的比较简单或熟悉的问题．例1 解方程4)3)(1(-=-+x x分析：此方程不能直接求解，可将方程整理转化为一般形式，易知方程可直接用因式分解法求解．解：整理，得0122=+-x x ，即0)1(2=-x 所以.121==x x二、整体思想整体的思想方法，就是将注意力和着眼点放在问题的整体上或把一些相互联系的量作为整体来处理的思想方法．有些一元二次方程问题，可根据其特点，采用整体处理的方法，不仅可避免复杂的计算，而且还达到了解决问题的目的．例2 已知532++x x 的值为9，则代数式2932-+x x 的值为（ ）（A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）10解：由532++x x =9得432=+x x ，所以102432)3(329322=-⨯=-+=-+x x x x ．故应选D ．三、分类讨论思想当我们研究的问题包含多种可能情况，不能一概而论时，必须按可能出现的所有情况来区别讨论，得出各种情况下相应的结论，这种处理问题的思想方法称为分类思想．它既是一种数学思想方法，又是一种重要的解题策略．例3 当a 为何值时，关于x 的方程,02)1(2=+++a ax x a 有实数根？解：因为题中没明确方程的次数，需讨论：（1）当01≠+a ，即1-≠a 时，方程为一元二次方程，因方程有实数根，所以.0)1(4)2(2≥⋅+-a a a 解得0≤a ．所以，当0≤a 且1-≠a 时，一元二次方程,02)1(2=+++a ax x a 有实数根（2）当01=+a ，即1-=a 时，方程为.012=--x 实数根为.21-=x总上可知，当0≤a 时，方程,02)1(2=+++a ax x a 有实数根．四、建模思想数学模型是一种常见的解决实际问题的思想方法，其实质是从实际问题中提取出关键性的基本量，将其转化为数学问题来表达，并进行推理、计算、论证等，最后得出结论．例4 市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格．某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率是多少？ 解：设这种药品平均每次降价的百分率是x ，根据题意，得128)1(2002=-x解得8.1,2.021==x x （不合题意，舍去），答：这种药品平均每次降价的百分率是20%．。

积极构型 ,合理建模—论数学模型思想在一元二次方程的应用中渗透【摘要】数学建模是数学中一种极为重要的数学思想方法，在初中阶段数学活动就是数学模型的建立与处理。

通过在一元二次方程的应用教学中培养学生的建模思想，能够让学生有建立方程模型意识，利用方程思想解决实际问题，从而提高数学应用能力。

【关键词】渗透数学思想一元二次方程应用数学模型数学建模，简单的说，建立数学模型的过程就是数学建模，它是一种数学的思考方法，包括对实际问题进行抽象、简化，建立数学模型、求解数学模型、验证数学模型解的全过程。

初中数学的建模显然不能具备以上完整过程。

从初中生的年龄特点、接受能力、储备知识等实际情况出发，初中数学的建模应从狭义角度来理解，并且要求不能太高。

那么，怎样在初中阶段使学生理解数学建模呢？本文就苏教版九年级数学中的一元二次方程的应用中，如何培养学生建立方程模型做些思考与研究。

一、列方程解应用题建立模型的一般步骤列方程解应用题的一般步骤可以归纳为：审、设、找、列、解、验、答。

1、审：审题。

即读懂题目，弄清题意，搞懂已知量有哪些，未知量有哪些，以及哪些语句含有数量关系。

2、设：设未知数。

即设哪个量为未知数，是直接设，还是间接设。

3、找：找等量关系式。

即根据题中含有数量关系的语句，写出等量关系式。

这一步尤为关键，是建立方程模型的关键。

4、列：列方程。

即根据等量关系式列出方程。

5、解：解方程。

即求出未知数的值。

6、验：检验。

即检验方程的解是否符合题意和实际生活。

7、答：即写出完整的答案。

二、一元二次方程应用的常见题型1、增长率问题一元二次方程应用的增长率问题是近年来全国各省市中考的热点问题，在各省市中考中相对一元二次应用的其它问题出现的频率最高。

例1：随着互联网的迅速发展，某购物网站的年销售额从2017年的200万元增长到2018年的392万元。

求该购物网站平均每年销售额增长的百分率。

分析：增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果设平均增长率为x，根据“从2017年的200万元增长到2018年的392万元”，即可得出方程。