专题14 基本不等式(解析版)

浙教版数学八年级上册专题培优讲义专题14最值问题探究【知识梳理】在生活实践中，人们经常面对带有“最”字的问题，如在一定的方案中，距离最近、花费最低、消耗最少、产值最高、获利最大等；解数学题时，我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题，这就是我们要讨论的最值问题．由于最值问题灵活多变，故解决这类问题必须掌握一定的方法和技巧．本专题对求最值的一些常用方法作一些归纳：一、运用变换求最值；二、运用基本不等式求最值；三、借用取值范围求最值；四、利用一次函数的增减性求最值(具体略)．【例题探究】一、运用变换求最值几何问题的最值，通常利用变换，如对称变换、平移变换、旋转变换，把问题转化为两点之间，线段最短问题来解决．下面先介绍一个重要的结论：如图，在直线l的同侧有两个定点A，B，点P是直线l上的动点，试确定点P的位置，使PA＋PB的值最小．【解】画点A关于直线l的对称点C，连结BC，交直线l于点P，则点P就是所求的点．这时PA＋PB＝PC＋PB＝BC为最小．证明：在l上任取一点P1(异于点P)，连结P1A，P1B，P1C.因为P1A＋P1B＝P1C＋P1B>BC(两点之间线段最短)，所以结论成立．【例1】如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，AE＝1．若点P为对角线BD上的一个动点，则△PAE周长的最小值是()A．3B．4C．5D．6【思路点拨】由正方形的对称性知点A关于直线BD的对称点为C，连结AC，CE，CE交BD于点P，此时AP＋PE的值最小，AE为定值，即△PAE的周长最小，只要求出CE 的长，即可得出答案．【例2】如图，∠AOB的内部有一点P，到顶点O的距离为8cm，点M，N分别是射线OA，OB上的动点．若∠AOB＝30°，则△PMN周长的最小值为________cm.【思路点拨】设点P关于OA的对称点为点C，关于OB的对称点为点D，当点M，N 在CD上时，△PMN的周长最小．【例3】求函数y ＝x 2＋4x ＋5＋x 2－4x ＋8的最小值．【思路点拨】y ＝（x ＋2）2＋（0－1）2＋（x －2）2＋（0－2）2．如图，建立平面直角坐标系，点P (x ，0)是x 轴上一点，则（x ＋2）2＋1可以看成点P 与点A (－2，1)的距离，（x －2）2＋4可以看成点P 与点B (2，2)的距离，所以y ＝PA ＋PB ，只要求出P A ＋PB 的最小值即可．【例4】在平面直角坐标系中，将长方形OABC 如图放置，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，且OA ＝6，OC ＝4，点D 为OC 的中点，点E ，F 在线段OA 上，点E 在点F 左侧，EF ＝2．当四边形BDEF 的周长最小时，点E 的坐标是()A ．(12，0)B ．(43，0)C ．(32，0)D ．(2，0)【思路点拨】将线段FB 向左平移2个单位长度得到线段EB ′，作点D 关于x 轴的对称点D ′(0，－2)，连结B ′D ′，与x 轴的交点为E ，此时四边形BDEF 的周长最小，求出直线B ′D ′的解析式即可解决问题．二、运用基本不等式求最值【例5】阅读与应用：我们知道(a－b)2≥0，即a2－2ab＋b2≥0，所以我们可以得到a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时，a2＋b2＝2ab)．类比学习：若a和b为实数且a>0，b>0，则必有a＋b≥2ab，当且仅当a＝b时取等号．其证明如下：∵(a－b)2＝a－2ab＋b≥0，∴a＋b≥2ab(当且仅当a＝b时，有a＋b＝2ab)．例如：求y＝x＋1x(x>0)的最小值，则y＝x＋1x≥2x·1x＝2，此时当且仅当x＝1x，即x＝1时，y的最小值为2.(1)阅读上面材料，当a＝________时，则代数式a＋4a(a>0)的最小值为________；(2)求y＝m2＋2m＋17m＋1(m>－1)的最小值，并求出当y取得最小值时m的值；(3)若0≤x≤4，求代数式x（8－2x）的最大值，并求出此时x的值．【思路点拨】(1)根据阅读材料提供的方法求解即可；(2)先把原式变形成y＝m2＋2m＋17m＋1＝(m＋1)＋16m＋1，再用材料中提供的方法求解；(3)根据x＋(4－x)≥2x（4－x），可求得x（4－x）的最大值，进而求得x（8－2x）的最大值．三、借用取值范围求最值【例6】设a，b，c，d均为整数，b为正整数，且三条直线y＝(a＋b)x－c，y＝(b＋c)x －d，y＝(c＋d)x－a均与x轴相交于点(1，0)，则a＋b＋c＋d的最大值是() A．－1B．－5C．0D．1【思路点拨】将点(1，0)分别代入三条直线，可得a＋b－c＝0，b＋c－d＝0，c＋d－a ＝0，通过各式的加减，将a＋b＋c＋d转化为关于b的关系式，再根据b为正整数，即可求出a＋b＋c＋d的最大值．【例7】设x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7为自然数，且x1<x2<x3<x4<x5<x6<x7，又x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＝159，则x1＋x2＋x3的最大值是________．【思路点拨】由题意可得，x2≥x1＋1，x3≥x1＋2，x4≥x1＋3，x5≥x1＋4，x6≥x1＋5，x7≥x1＋6，根据x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＝159可求得x1的最大值，同理可求得x2，x3的最大值，相加即可．四、枚举、排序与讨论相结合求最值【例8】设x，y都是正整数，且使x－116＋x＋100＝y，则y的最大值是________．【思路点拨】因为x，y是正整数，且x在被开方数中，不易直接讨论，我们先用换元法将它进行有理化处理．【例9】已知自然数x1，x2，x3，x4，x5满足x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝x1x2x3x4x5，求x5的最大值．【思路点拨】因为x1，x2，x3，x4，x5都是自然数，从而有1x2x3x4x5≤1x3x4x5≤1x4x5≤1x5，同样可以得到类似此式的许多不等式链．【答案解析】【知识梳理】在生活实践中，人们经常面对带有“最”字的问题，如在一定的方案中，距离最近、花费最低、消耗最少、产值最高、获利最大等；解数学题时，我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题，这就是我们要讨论的最值问题．由于最值问题灵活多变，故解决这类问题必须掌握一定的方法和技巧．本讲对求最值的一些常用方法作一些归纳：一、运用变换求最值；二、运用基本不等式求最值；三、借用取值范围求最值；四、利用一次函数的增减性求最值(具体略)．【例题探究】一、运用变换求最值几何问题的最值，通常利用变换，如对称变换、平移变换、旋转变换，把问题转化为两点之间，线段最短问题来解决．下面先介绍一个重要的结论：如图，在直线l的同侧有两个定点A，B，点P是直线l上的动点，试确定点P的位置，使PA＋PB的值最小．【解】画点A关于直线l的对称点C，连结BC，交直线l于点P，则点P就是所求的点．这时PA＋PB＝PC＋PB＝BC为最小．证明：在l上任取一点P1(异于点P)，连结P1A，P1B，P1C.因为P1A＋P1B＝P1C＋P1B>BC(两点之间线段最短)，所以结论成立．【例1】如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，AE＝1．若点P为对角线BD上的一个动点，则△PAE周长的最小值是()A．3B．4C．5D．6【解题过程】由正方形的对称性知点A关于直线BD的对称点为C，连接AC，CE，CE交BD于点P，如图．∵四边形ABCD是正方形，边长为4，AE＝1，∴∠CBE＝90°，BE＝3，∴CE＝32＋42＝5.∵AP＝PC，∴△PAE周长的最小值是AP＋PE＋AE＝CE＋AE＝5＋1＝6.故选D.【方法归纳】本题可转化为“在直线BD同侧有两个定点A，E，点P是直线BD上的动点，求PA＋PE的最小值”，利用上面的重要结论即可解决．【例2】如图，∠AOB的内部有一点P，到顶点O的距离为8cm，点M，N分别是射线OA，OB上的动点．若∠AOB＝30°，则△PMN周长的最小值为________cm.【解题过程】如图，分别作点P关于OA，OB的对称点C，D，连结CD，分别交OA，OB于点M，N，连结OC，OD，PM，PN.∵点P关于OA的对称点为点C，∴PM＝CM，OP＝OC，∠COA＝∠POA.∵点P关于OB的对称点为点D，∴PN＝DN，OP＝OD，∠DOB＝∠POB.∴OC＝OD＝OP＝8cm，∠COD＝∠COA＋∠POA＋∠POB＋∠DOB＝2∠POA＋2∠POB＝2∠AOB＝60°.∴△COD是等边三角形．∴CD＝OC＝OD＝8cm.∴△PMN的周长的最小值为PM＋MN＋PN＝CM＋MN＋DN＝CD＝8(cm)．故填8.【方法归纳】本题主要考查轴对称——最短路线问题，综合运用了等边三角形的知识．【例3】求函数y＝x2＋4x＋5＋x2－4x＋8的最小值．【解题过程】如图，设点A关于x轴的对称点为A′(－2，－1)，连结A′B，与x轴交于点P，点P就是使PA＋PB的值最小的位置，最小值为A′B的长度．为此，构造Rt△A′C B．因为A′C＝4，CB＝3，所以A′B＝32＋42＝5，即函数y＝x2＋4x＋5＋x2－4x＋8的最小值为5.【例4】在平面直角坐标系中，将长方形OABC如图放置，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OA＝6，OC＝4，点D为OC的中点，点E，F在线段OA上，点E在点F左侧，EF＝2．当四边形BDEF的周长最小时，点E的坐标是()A ．(12，0)B ．(43，0)C ．(32，0)D ．(2，0)【解题过程】如图，将线段FB 向左平移2个单位长度得到线段EB ′，此时B ′(4，4)，作点D 关于x 轴的对称点D ′(0，－2)，连结B ′D ′，与x 轴的交点为E ，此时四边形BDEF 的周长最小．设直线B ′D ′的表达式为y ＝kx ＋b .把点B ′(4，4)，D ′(0，－2)分别代入，4k ＋b ＝4，b ＝－2.k ＝32，b ＝－2.∴直线B ′D ′的表达式为y ＝32x －2.令y ＝0，得x ＝43.∴点E 的坐标为(430)．故选B.【方法归纳】要求周长的最小值，关键是要分析出确定边长和变化边长．本题的实质是用了两次变换：平移变换和轴对称变换．二、运用基本不等式求最值【例5】阅读与应用：我们知道(a－b)2≥0，即a2－2ab＋b2≥0，所以我们可以得到a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时，a2＋b2＝2ab)．类比学习：若a和b为实数且a>0，b>0，则必有a＋b≥2ab，当且仅当a＝b时取等号．其证明如下：∵(a－b)2＝a－2ab＋b≥0，∴a＋b≥2ab(当且仅当a＝b时，有a＋b＝2ab)．例如：求y＝x＋1x(x>0)的最小值，则y＝x＋1x≥2x·1x＝2，此时当且仅当x＝1x，即x＝1时，y的最小值为2.(1)阅读上面材料，当a＝________时，则代数式a＋4a(a>0)的最小值为________；(2)求y＝m2＋2m＋17m＋1(m>－1)的最小值，并求出当y取得最小值时m的值；(3)若0≤x≤4，求代数式x（8－2x）的最大值，并求出此时x的值．【解题过程】(1)∵a＋4a≥24＝4，∴当a＝2时，代数式a＋4a(a>0)的最小值为4.故填2，4.(2)∵y＝m2＋2m＋17m＋1＝（m＋1）2＋16m＋1＝(m＋1)＋16m＋1，m>－1∴y≥2（m＋1）·16m＋1＝8，当且仅当m＋1＝16m＋1，即m＝3时，y的最小值为8.∴当m＝3时，y取得最小值8.(3)∵0≤x≤4，∴x＋(4－x)≥2x（4－x），∴x（4－x）≤2，∴x（8－2x）＝2·x（4－x）≤22，当且仅当x＝4－x，即x＝2时，x（8－2x）的最大值为22，∴当x＝2时，x（8－2x）的最大值为2 2.【方法归纳】不等式也是求最值的有效方法，常用的不等式有：(1)a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时等号成立)；(2)若a>0，b>0，则a＋b≥2ab(当且仅当a＝b时等号成立)．三、借用取值范围求最值【例6】设a，b，c，d均为整数，b为正整数，且三条直线y＝(a＋b)x－c，y＝(b＋c)x －d，y＝(c＋d)x－a均与x轴相交于点(1，0)，则a＋b＋c＋d的最大值是() A．－1B．－5C．0D．1【解题过程】将点(1，0)分别代入三条直线，可得a＋b－c＝0，b＋c－d＝0，c＋d－a ＝0，∴a＋b＝c，b＋c＝d，c＋d＝a.解得a＝－3b，∴a＋b＋c＋d＝a＋b＋a＝2a＋b＝－5b.∵b为正整数，∴b≥1.∴当b＝1时，a＋b＋c＋d取得最大值，为－5．故选B.【方法归纳】本题考查一次函数图象上点的坐标特征．把a＋b＋c＋d的式子通过消元转化为关于b的关系式是解题的关键．【例7】设x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7为自然数，且x1<x2<x3<x4<x5<x6<x7，又x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＝159，则x1＋x2＋x3的最大值是________．【解题过程】∵x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7为自然数，且x1<x2<x3<x4<x5<x6<x7，∴x2≥x1＋1，∴x3≥x2＋1≥x1＋2，同理，x4≥x1＋3，x5≥x1＋4，x6≥x1＋5，x7≥x1＋6，∵x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＝159，∴x1＋(x1＋1)＋(x1＋2)＋(x1＋3)＋(x1＋4)＋(x1＋5)＋(x1＋6)≤159，解得x1≤195 7，∴x1的最大值为19，∴x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＝140，∴x2＋(x2＋1)＋(x2＋2)＋(x2＋3)＋(x2＋4)＋(x2＋5)≤140，解得x≤205 6，∴x2的最大值为20，同理可得x3的最大值为22，∴x 1＋x 2＋x 3的最大值是61.【方法归纳】要使x 1＋x 2＋x 3最大，先用不等式的性质求出x 1的最大值，再用同样方法求出x 2、x 3的最大值．这里要用到这样一个技巧：若整数x 1，x 2满足x 1<x 2，则x 1＋1≤x 2.四、枚举、排序与讨论相结合求最值【例8】设x ，y 都是正整数，且使x －116＋x ＋100＝y ，则y 的最大值是________．【解题过程】令x －116＝a ，x ＋100＝b ，a ，b 为正整数，则x ＝a 2＋116，x ＝b 2－100.∴a 2＋116＝b 2－100，即b 2－a 2＝216＝23×33.分解因式，得(b ＋a )(b －a )＝23×33.而b ＋a ，b －a 的奇偶性相同，右边是偶数，∴b ＋a ，b －a 同为偶数，且b ＋a >b －a .＋a ＝22×33，－a ＝2，＋a ＝2×33，－a ＝22，＋a ＝22×32，－a ＝2×3，＋a ＝2×32，－a ＝22×3.∴y ＝a ＋b 的最大值为22×33＝108.【方法归纳】(1)对不易直接讨论的题型先作换元处理；(2)排序与讨论是求整数解的一种常用方法．【例9】已知自然数x 1，x 2，x 3，x 4，x 5满足x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝x 1x 2x 3x 4x 5，求x 5的最大值．【解题过程】由x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝x 1x 2x 3x 4x 5，得1＝x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5x 1x 2x 3x 4x 5＝1x 2x 3x 4x 5＋1x 1x 3x 4x 5＋1x 1x 2x 4x 5＋1x 1x 2x 3x 5＋1x 1x 2x 3x 4≤1x 4x 5＋1x 4x 5＋1x 4x 5＋1x 5＋1x 4＝3x 4x 5＋1x 5＋1x 4＝3＋x 4＋x 5x 4x 5.于是有x 4x 5≤3＋x 4＋x 5，x 5≤3＋4x 4x 4－1＝1＋4x 4－1，所以当x 4＝2，x 1＝x 2＝x 3＝1时，x 5有最大值5.【方法归纳】本题予放缩、变形、讨论为一体，具有较强的技巧性，如果不具备敏锐的思维和娴熟的技法是很难解答本题的．。

第一篇热点、难点突破篇专题14空间几何体的结构、面积与体积（练）【对点演练】一、单选题1．（2022秋·北京·高三统考阶段练习）已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O，2O，过直O O的平面截该圆柱所得的截面是面积为12的正方形，则该圆柱的体积为（）线12A．B．12πC．D．则该圆台的体积为（）A．36πB．40πC．42πD．45πOO的长度===，1O为ABC的外接圆的圆心，球O的表面积为64π，则1AB BC AC为（）B．2C．D．3A【答案】C【分析】由已知求得球O的半径4r=，即可求R=，根据正弦定理求出ABC外接圆半径2出结果.O的半径为r，球O的半径为R.【详解】设圆1依题意得ABC 为等边三角形，则由正弦定理得O 的表面积为如图，根据球的截面性质得2d OA ==的扇形，则该圆锥的侧面积为（ ） A ．π B ．3π2C D ．点作球O 的截面，则最小截面的面积为（ ） A ．3π B ．4πC ．5πD ．6π子，其形状可以看成一个正四面体．广东流行粽子里放蛋黄，现需要在四角状粽子内部放入一个蛋黄，蛋黄的形状近似地看成球，当这个蛋黄的表面积是9π时，则该正四面体的高的最小值为（）A．4B．6C．8D．10实物图，石碾子主要由碾盘、碾滚（圆柱形）和碾架组成．碾盘中心设竖轴（碾柱），连碾架，架中装碾滚，以人推或畜拉的方式，通过碾滚在碾盘上的滚动达到碾轧加工粮食作物的目的．若推动拉杆绕碾盘转动2周，碾滚的外边缘恰好滚动了5圈，碾滚与碾柱间的距离忽略不计，则该圆柱形碾滚的高与其底面圆的直径之比约为（）A．3：2B．5：4C．5：3D．4：3一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．若一个直角圆锥的侧面积为，则该圆锥的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．9π中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为h （轨道高度是指卫星到地球表面的距离）.将地球看作是一个球心为O ，半径r 为的球，其上点A 的纬度是指OA 与赤道平面所成角的度数.地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为22(1cos )S r πα=-（单位：2km ），若458h r =，则S 占地球表面积的百分比约为（ ） A ．26% B ．34% C ．42% D ．50%【答案】C【分析】设C 表示卫星，过CO 作截面，截地球得大圆O ，过C 作圆O 的切线,CA CB ，线段CO 交圆O 于E ，得AOC α∠=，在直角三角形中求出cos α后，可计算两者面积比．【详解】设C 表示卫星，过CO 作截面，截地球得大圆O ，过C 作圆O 的切线,CA CB ，线段CO 交圆O 于E ，如图，则AOC α∠=，r OE =，CE h =，OA CA ⊥，二、填空题10．（2022秋·江苏徐州·高三期末）已知圆柱的高为8，该圆柱内能容纳半径最大的球的表面积为36π，则圆柱的体积为______．【答案】72π【分析】先分析半径最大的球不可能为圆柱的内切球，所以此球是与圆柱侧面与下底面相切的球，就能求出圆柱底面半径，然后根据圆柱的体积公式可得.【详解】圆柱内能容纳半径最大的球的表面积为36π，设此球半径为r，则24π36π3r r=⇒=如果圆柱有内切球，又因为圆柱的高为8，所以内切球半径为43>，说明这个圆柱内能容纳半径最大的球，与圆柱侧面和下底面相切，与上底面相离，易得圆柱底面半径为3，圆柱的体积为2π3872π⋅⨯=故答案为：72π【冲刺提升】一、单选题1．（2022秋·广东东莞·高三统考期末）已知一个装满水的圆台形容器的上底半径为6，下底半径为1，高为，若将一个铁球放入该容器中，使得铁球完全没入水中，则可放入的铁球的体积的最大值为（）A．B．C D．108π【答案】B【分析】作出体积最大时的剖面图，分析出此时圆与上底，两腰相切，建立合适直角坐标系，()53，05<<t=-533)32332=模拟预测）某工厂要生产容积为为侧面成本的2倍，为使成本最小，则圆柱的高与底面半径之比应为（）A．1B．1C．2D．4 2圆柱上下底的总面积为3.（2022·浙江·模拟预测）如图，正方体1111的棱长为1，,E F 分别为棱BC ，11的中点，则三棱锥1B AEF -的体积为（ ）A ．524B ．316C ．29D ．181AB ES =因为正方体ABCD A B C D -的棱长为1， 所以111(,1,0),(0,1,1),(1,22AE AB AF =-==-的法向量为(,,)n x y z =112n AE x n AB y z ⎧⋅=-⎪⎨⎪⋅=+⎩所以(2,1,1)n =-，F 平面1AB E 的距离为2AF n n-+⋅=又因为1AB =,121122AB EAB S⎫==⋅⎪⎭所以三棱锥故选：AF ，G ，H 分别是SA ，SB ，BC ，AC 的中点，则四边形EFGH 面积的取值范围是（ ） A ．()0,∞+ B ．⎫∞⎪⎪⎝⎭ C ．⎫+∞⎪⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】画出图形，求出,EF HG ，说明EFHG 是矩形，结合图形，说明S 点在ABC 平面时，面积最小，求出即可得到范围 【详解】如图所示：由正三棱锥S ABC -的底面边长是2，因为E 、F 、G 、H 分别是SA 、SB 、BC 、AC 的中点，设ABC 的中心为SC OA >=所以EFGH 所以四边形且4BC =，6BD =，面ABC 与面BCD 夹角正弦值为1，则空间四边形ABCD 外接球与内切球的表面积之比为（ ）A B C D 【答案】C【分析】根据空间四边形ABCD 的线面关系可得DB ⊥平面ABC ，则空间四边形ABCD 可以内接于圆柱中，根据圆柱的外接球半径求得空间四边形ABCD 的外接球半径R ，又根据内切球的几何性质用等体积法可求得空间四边形ABCD 的内切球半径r ，即可得空间四边形ABCD 外接球与内切球的表面积之比.【详解】解：面ABC 与面BCD 夹角正弦值为1，∴面ABC ⊥面BCD ，又面ABC ⋂面BCD BC =,DB BC DB ⊥⊂面BCD ，DB ∴⊥平面ABC ，则空间四边形ABCD 可以内接于圆柱12O O 中，如下图所示：点在上底面圆周上，ABC三个顶点在下底面圆周上，则圆柱O O的外接球即空间四边连接OA，则球心为为正ABC4sin6032BC=︒1111333ABC ABD ADC BCDS r S r S r S r⋅+⋅+⋅+⋅，，所以()22142132832ADCS=⨯⨯-=，44612ABC ABD ADC BCDS S S S⨯⨯⨯=+++⨯外接球与内切球的表面积之比为6．（2022秋·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）三棱锥A BCD -中，AB BC AD CD BD AC ======，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为（ ）A ．20πB ．28πC ．32πD ．36π23AB AD ==且E 为BD 中点，AE BD ∴⊥，AE AB ∴=又AE CE =120， 过BCD △的外心作平面同理过ABD △l l O ''=，易知连接O E '，O 为BCD △又在OO E '中，603=，∴得27O C O O ''=，即外接球半径7=，故外接球表面积28π=.故选：B7．（2022秋·天津河东·高三统考期末）一个球与一个正三棱柱（底面为等边三角形，侧棱与底面垂直）的两个底面和三个侧面都相切，若棱柱的体积为）A．16πB．4πC．8πD．32π8．（2022秋·黑龙江牡丹江·高三牡丹江一中校考期末）如图截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图，将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为1的截角四面体.则该截角四面体的表面积是______.正六边形每个内角均为2π111A B C 中，点P 在棱1BB 上，且1PA PC ⊥，当1APC 的面积取最小值时，三棱锥-P ABC 的外接球的表面积为______．【答案】28π时，1APC 面积取得最小值，补形后三棱锥的外接球，求出外接球半径和表面积【详解】由勾股定理得：AB =，则16PA =(7x y ++1APC S =2169y +，即2x =其中长方体的外接球的直径为，平面PAB ⊥平面PCD ,则P ABCD -体积的最大值为__________.PO ⊥平面ABCD ,PE CD⊥CD平面POE∴⊥,CD OE底面ABCD是边长为∴⊥,CD BCOE⊂平面ABCD OE BC∴,同理可得:OF∥O E F三点共线故,,∥,且有EF BC设平面PAB⋂平面∥AB CD AB,∴∥∥l AB⊥PE CD平面PAB∴⊥平面PEPF⊂平面∴⊥PE PF不妨设PE22∴+x y且2OP=-即2y m11．（2023·广西梧州·统考一模）边长为1的正方形ABCD 中，点M ，N 分别是DC ，BC 的中点，现将ABN ，ADM △分别沿AN ，AM 折起，使得B ，D 两点重合于点P ，连接PC ，得到四棱锥P AMCN -.(1)证明：平面APN ⊥平面PMN ；(2)求四棱锥P AMCN -的体积. ，所以PMN 为直角三角形，即PMN S=111111222AMN ABN ADM CMN ABCD S S S S S =---=-⨯⨯⨯-⨯正方形设点P 到平面AMN 的距离为h ，由A PMN P V V --=1133PMN AMN S PA S h ⋅=⋅△△，即13188h ⨯=，得h =)AMN MCN S S h +=AMCN 的体积为全国·高三对口高考）如题图，是圆锥底面的圆心，ABC 是底面的内接正三角形．P 为DO 上一点，90APC ∠=︒.(1)求证：PC ⊥平面PAB ；(2)若DO =．求三棱锥-P ABC 的体积． 因为ABC 是底面的内接正三角形，CO AB ⊥，PO OC ⋂AB ⊥平面PC ⊂平面AB PC ⊥，PA AB A =，⊥平面PAB（2）解：设圆锥的母线为l，底面半径为r，则圆锥的侧面积为ππ，即，=603所以，在等腰直角三角形APC。

基本不等式知识点和基本题型基本不等式专题辅导一、知识点总结1、基本不等式原始形式若$a,b\in R$，则$a+b\geq 2ab$，其中$a^2+b^2$为定值。

2、基本不等式一般形式（均值不等式）若$a,b\in R$，则$\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$。

3、基本不等式的两个重要变形若$a,b\in R$，则$a+b\geq 2\sqrt{ab}$，其中$\frac{a+b}{2}\leq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$。

总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最小值。

特别说明：以上不等式中，当且仅当$a=b$时取“=”。

4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”。

5、常用结论若$x>1$，则$\frac{x+1}{2}>\sqrt{x}$（当且仅当$x=1$时取“=”）。

若$x<1$，则$\frac{x+1}{2}<-\frac{1}{x}$（当且仅当$x=-1$时取“=”）。

若$ab>0$，则$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$（当且仅当$a=b$时取“=”）。

若$a,b\in R$，则$a^2+b^2\geq 2ab$，$\frac{a+b}{2}\geq \frac{2ab}{a+b}$，$\frac{a+b}{2}\leq \sqrt{a^2+b^2}$。

6、柯西不等式若$a,b\in R$，则$(a^2+b^2)(1+1)\geq (a+b)^2$。

题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1、设$a,b$均为正数，证明不等式：$ab\geq\frac{a^2+b^2}{2}$。

2、已知$a,b,c$为两两不相等的实数，求证：$a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$。

3、已知$a+b+c=1$，求证：$a^2+b^2+c^2+\frac{9}{4}\geq 2(ab+bc+ca)$。

不等式一．选择题（共15小题）1．（•怀化）下列不等式变形正确的是（）2．（•乐山）下列说法不一定成立的是（）3．（•黄石）当1≤x≤2时，ax+2＞0，则a的取值范围是（）4．（•南充）若m＞n，下列不等式不一定成立的是（）＞5．（•扬州）已知x=2是不等式（x﹣5）（ax﹣3a+2）≤0的解，且x=1不是这个不等式的解，则实数a的取值范围是（）6．（•绥化）关于x的不等式组的解集为x＞1，则a的取值范围是（）解：因为不等式组7．（•桂林）下列数值中不是不等式5x≥2x+9的解的是（）8．（•嘉兴）一元一次不等式2（x+1）≥4的解在数轴上表示为（）B9．（•丽水）如图，数轴上所表示关于x的不等式组的解集是（）10．（•长沙）在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（）B，再分别表示在数轴上即可得11．（•临沂）不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（）．．．．，由①得，12．（•湖北）在数轴上表示不等式2（1﹣x）＜4的解集，正确的是（）B13．（•娄底）一元一次不等式组的解集在数轴上表示出来，正确的是（）．．．．14．（•南宁）不等式2x﹣3＜1的解集在数轴上表示为（）．．C．．15．（•河南）不等式的解集在数轴上表示为（）．．解：∴不等式的解集在数轴上表示为：二．填空题（共12小题）16．（•衢州）写出一个解集为x＞1的一元一次不等式：x﹣1＞0．17．（•茂名）不等式x﹣4＜0的解集是x＜4．18．（•吉林）不等式3+2x＞5的解集是x＞1．19．（•南充）不等式＞1的解集是x＞3．20．（•南昌）不等式组的解集是﹣3＜x≤2．21．（•湖州）解不等式组．22．（•黑龙江）不等式组的解集是2≤x＜4．，解①得23．（•乌鲁木齐）不等式组的解集为﹣2＜x＜1．解：，24．（•营口）不等式组的所有正整数解的和为6．﹣≤1不等式组不等式组25．（•安顺）不等式组的最小整数解是x=﹣3．＞﹣，＜，26．（•广安）不等式组的所有整数解的积为0．x，解不等式②得：27．（•天水）不等式组的所有整数解是0．，解不等式①得，，解不等式②得，x三．解答题（共3小题）28．（•南京）解不等式2（x+1）﹣1≥3x+2，并把它的解集在数轴上表示出来．29．（•安徽）解不等式：＞1﹣．30．（•自贡）解不等式：﹣x＞1，并把解集在数轴上表示出来．。

利用基本不等式求最值8大题型命题趋势基本不等式是高考热点问题，是常考常新的内容，是高中数学中一个重要的知识点，在解决数学问题中有着广泛的应用，尤其是在函数最值问题中。

题型通常为选择题与填空题，但它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，它在高考中常用于大小判断、求最值、求最值范围等。

在高考中经常考察运用基本不等式求函数或代数式的最值，具有灵活多变、应用广泛、技巧性强等特点。

在复习中切忌生搬硬套，在应用时一定要紧扣“一正二定三相等”这三个条件灵活运用。

利用基本不等式求最值的方法1.直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系2.配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式。

3.代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况类型1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法；类型2：分母为多项式时方法1：观察法适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系；方法2：待定系数法，适用于所有的形式，如分母为3a +4b 与a +3b ，分子为a +2b ，设a +2b =λ3a +4b +μa +3b =3λ+μ a +4λ+3μ b∴3λ+μ=14λ+3μ=2 ，解得：λ=15μ=254.消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量或者单变量问题。

5.构造不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值。

热点题型解读【题型1直接法求最值】【例1】(2022春·辽宁锦州·高三校考阶段练习)已知x >0,y >0，且x +y =12，则xy 的最大值为()A.16B.25C.36D.49【答案】C【解析】因为x >0,y >0，x +y =12≥2xy ，即xy ≤36，当且仅当x =y =6时取到等号，故xy的最大值为36.故选：C【变式1-1】(2022·四川广安·广安二中校考模拟预测)已知3x+9y=18，当x+2y取最大值时，则xy的值为( )A.2B.2C.3D.4【答案】B【解析】由已知3x+9y=18可得3x+32y=18，则18=3x+32y≥23x×32y=23x+2y，即3x+2y≤81，所以x+2y≤4，当且仅当x=2y=2时取等号，即x=2，y=1，此时xy=2.故选：B．【变式1-2】(2023·河南郑州·高三校联考阶段练习)已知正数a,b满足a2+2b2=1,则ab2的最大值是()A.13B.33C.39D.19【答案】C【解析】解:由题知1=a2+2b2=a2+b2+b2≥33a2b2b2,∴3a2b4≤1 3,当且仅当a=b=33时取等号，所以ab2≤39．故选:C．【变式1-3】(2022·上海·高三统考学业考试)已知x>1，y>1且lg x+lg y=4，那么lg x·lg y的最大值是( )A.2B.12C.14D.4【答案】D【解析】∵x>1，y>1，∴lg x>0，lg y>0，∴lg x⋅lg y≤lg x+lg y22=42 2=4，当且仅当lg x=lg y=2，即x=y=100时等号成立．故选：D.【变式1-4】(2022春·云南·高三校联考阶段练习)已知正数a,b满足a+5b2a+b=36，则a+2b的最小值为()A.16B.12C.8D.4【答案】D【解析】因为a+5b2a+b≤a+5b+2a+b22，所以9(a+2b)24≥36.又a>0,b>0.所以a+2b≥4，当且仅当a=83,b=23时，等号成立.故选：D【题型2配凑法求最值】【例2】(2022·全国·高三专题练习)已知-3<x<0，则f x =x9-x2的最小值为________．【答案】-9 2【解析】因为-3<x<0，所以f x =x9-x2=-9-x2⋅x2≥-9-x2+x22=-92，当且仅当9-x 2=x 2，即x =-322时取等，所以f x =x 9-x 2的最小值为-92.【变式2-1】(2022春·上海静安·高三上海市市西中学校考期中)函数f (x )=x +9x -1(x >1)的值域为______.【答案】7,+∞【解析】由题知，x >1，所以x -1>0，所以f (x )=x -1 +9x -1+1≥2x -1 ⋅9x -1+1=7，当且仅当x -1=9x -1，即x =4时取等号，所以函数f (x )=x +9x -1(x >1)的值域为7,+∞ .【变式2-2】(2022春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习)已知x >0,y >0，且x +y =7，则1+x 2+y 的最大值为()A.36B.25C.16D.9【答案】B【解析】由x +y =7，得x +1 +y +2 =10，则1+x 2+y ≤1+x +2+y 2 2=25，当且仅当1+x =2+y ，即x =4,y =3时，取等号，所以1+x 2+y 的最大值为25.故选：B .【变式2-3】(2022春·山东济宁·高三统考期中)已知向量m =a -5,1 ,n =1,b +1 ，若a >0,b >0，且m⊥n ，则13a +2b +12a +3b 的最小值为()A.15B.110C.115D.120【答案】A【解析】根据题意，m ⋅n =a -5+b +1=0，即a +b =4，则3a +2b +2a +3b =20，又a >0,b >0，故13a +2b +12a +3b =12013a +2b +12a +3b 3a +2b +2a +3b =1202+2a +3b 3a +2b +3a +2b 2a +3b≥120×2+22a +3b 3a +2b ×3a +2b 2a +3b =15，当且仅当2a +3b 3a +2b =3a +2b2a +3b，且a +b =4，即a =b =2时取得等号.故选：A .【题型3消元法求最值】【例3】(2022春·湖南永州·高三校考阶段练习)设x ≥0,y ≥0,x 2+y 22=1，则x 1+y 2的最大值为()A.1B.22C.324D.2【答案】C【解析】因为x 2+y 22=1，所以y 2=2-2x 2≥0，解得：x ∈0,1 ，故x 1+y 2=x 1+2-2x 2=x 3-2x 2=222x 23-2x 2 ≤22×2x 2+3-2x 22=324，当且仅当2x 2=3-2x 2，即x =32时，等号成立，故x 1+y 2的最大值为324.【变式3-1】(2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习)已知正数a ,b 满足a 2-2ab +4=0，则b-a4的最小值为()A.1 B.2C.2D.22【答案】B【解析】∵a ,b >0,a 2-2ab +4=0，则有b =a 2+2a，∴b -a 4=a 2+2a -a 4=a 4+2a≥2a 4⋅2a =2，当且仅当a 4=2a ，即a =22时等号成立，此时b =322，故选：B .【变式3-2】(2022春·广东广州·高三执信中学校考阶段练习)设正实数x 、y 、z 满足4x 2-3xy +y 2-z =0，则xy z的最大值为()A.0B.2C.1D.3【答案】C【解析】因为正实数x 、y 、z 满足4x 2-3xy +y 2-z =0，则z =4x 2-3xy +y 2，则xy z =xy 4x 2-3xy +y 2=14x y +y x -3≤124x y ⋅y x-3=1，当且仅当y =2x >0时取等号.故xy z 的最大值为1.故选：C .【变式3-3】(2023·全国·高三专题练习)设正实数x ，y ，z 满足x 2-3xy +4y 2-z =0，则当xyz取得最大值时，2x +1y -2z 的最大值为()A.0B.3C.94D.1【答案】D【解析】由正实数x ，y ，z 满足x 2-3xy +4y 2-z =0，∴z =x 2-3xy +4y 2．∴xy z =xy x 2-3xy +4y 2=1x y +4y x -3≤12x y ⋅4y x-3=1，当且仅当x =2y >0时取等号，此时z =2y 2．∴2x +1y -2z =22y +1y -22y2=-1y -1 2+1≤1，当且仅当y =1时取等号，即2x +1y -2z的最大值是1．故选：D 【变式3-4】(2022春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习)(多选)已知a ，b ，c 均为正实数，ab +ac=2，则1a +1b +c +8a +b +c的取值不可能是()A.1B.2C.3D.4【答案】ABC【解析】a ，b ，c 均为正实数，由ab +ac =2得：a b +c =2，即b +c =2a，所以1a +1b +c +8a +b +c =1a +a 2+8a +2a=2+a 22a +8a a 2+2，由基本不等式得：1a +1b +c +8a +b +c =2+a 22a +8a a 2+2≥22+a 22a ⋅8a a 2+2=4，当且仅当2+a 22a =8aa 2+2，即a =2±2时，等号成立.故选：ABC【变式3-5】(2022春·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习)若x 21+y 21=4,x 22+y 22=4,x 1⋅y 2=-2，则x 2⋅y 1的最大值为___________．【答案】2【解析】x 2⋅y 1 2=4-y 22 4-x 21 =4-4x 214-x 21 =20-44x 21+x 21，由y 2=-2x 1，所以y 2 =-2x 1=2x 1≤2，所以1≤x 1 ≤2，所以x 2⋅y 1 2=20-44x 21+x 21≤20-4×24x 21⋅x 21=4，当且仅当|x 1|=2时，等号成立，所以x 2⋅y 1≤2，当且仅当x 2=2,y 1=2或x 2=-2,y 1=-2时取等号，所以x 2⋅y 1的最大值为2．【题型4代换法求最值】【例4】(2022春·上海崇明·高三上海市崇明中学校考阶段练习)已知x >0,y >0，且4x +y =1，则1x +9y的最小值是_____．【答案】25【解析】因为x >0,y >0，且4x +y =1，所以1x +9y =4x +y 1x +9y =4+36xy +y x+9≥13+236x y ⋅y x=25，当且仅当36x y =y x ，即x =110,y =35时，等号成立.【变式4-1】(2022春·江西·高三九江一中校联考阶段练习)已知a >0，b >0，a +b =2，则b a +4b的最小值为_______.【答案】22+2【解析】因为a >0，b >0，且a +b =2，所以b a +4b =b a +4b a +b 2 =b a +2a b +2≥2b a ×2a b+2=22+2，当且仅当b 2=2a 2时取等号故b a +4b 的最小值为22+2【变式4-2】(2022春·江西抚州·高三金溪一中校考阶段练习)若正实数x ，y 满足2x +y =xy ，则x +2y 的最小值为______．【答案】9【解析】由2x +y =xy 得2y +1x=1，又因为x >0，y >0，所以x +2y =x +2y 2y +1x =2xy +2y x +5≥22x y ⋅2y x +5=9，当且仅当x =y =3时等号成立，故x +2y 的最小值为9．【变式4-3】(2022春·黑龙江鹤岗·高三鹤岗一中校考阶段练习)已知x >-2，y >0，2x +y =3，则x +2y +2x +2+7y的最小值为()A.4B.6C.8D.10【答案】B【解析】因为x >-2，y >0，2x +y =3，所以2x +2 +y =7，x +2>0，所以x +2y +2x +2+7y =x +2y +2x +2+2x +2 +y y =2+2y x +2+2x +2 y≥2+22yx +2⋅2x +2 y=6，当且仅当x +2=y ，即x =13，y =73时等号成立，即x +2y +2x +2+7y 的最小值为6，故选：B .【变式4-4】(2022·广西·统考一模)如图，在△ABC 中，M 为线段BC 的中点，G 为线段AM 上一点且AG=2GM ，过点G 的直线分别交直线AB 、AC 于P 、Q 两点，AB =xAP (x >0)，AC =yAQ (y >0)，则1x+1y +1的最小值为()A.34B.1C.43D.4【答案】B【解析】由于M 为线段BC 的中点，则AM =12AB +12AC又AG =2GM ，所以AM =32AG ，又AB =xAP (x >0)，AC =yAQ (y >0)所以32AG=x 2AP +y 2AQ ，则AG =x 3AP +y 3AQ因为G ,P ,Q 三点共线，则x3+y 3=1，化得x +y +1 =4由1x +1y +1=14x +y +1 1x +1y +1 =14x y +1+y +1x+2 ≥142x y +1⋅y +1x+2=1当且仅当x y +1=y +1x 时，即x =2,y =1时，等号成立，1x +1y +1的最小值为1故选：B 【题型5双换元法求最值】【例5】(2022春·天津河西·高三天津市新华中学校考阶段练习)设x >-1,y >-2，且x +y =4，则x 2x +1+y 2y +2的最小值是__________.【答案】167【解析】令x +1=a (a >0)，y +2=b (b >0)，则x =a -1，y =b -2，因为x +y =4，则有a +b =7，所以x 2x +1+y 2y +2=(a -1)2a +(b -2)2b =a +1a -2+b +4b -4=7-2-4+1a +4b=1+17(a +b )1a +4b =1+171+4+b a +4a b≥1+17×5+2b a ×4a b =167当且仅当b =2a ，即a =73,b =143时取等号，则x ,y 分别等于43,83时，x 2x +1+y 2y +2的最小值是167.【变式5-1】(2022春·江西南昌·高三南昌二中校考阶段练习)已知正数x ，y 满足3x +2y y +83x +2y x=1，则xy 的最小值是()A.54B.83C.43D.52【答案】D 【解析】xy =xy 3x +2y y +83x +2y x=3x x +2y +8y 3x +2y ，令x +2y =m ，3x +2y =n ，则x =n -m 2，y =3m -n4，xy =3x x +2y +8y 3x +2y =3n 2m +6m n -72≥23n 2m ⋅6m n -72=52，当且仅当3n 2m =6m n 且3x +2y y +83x +2y x =1，即x =5，y =52时，等号成立，所以xy ≥52，故xy 有最小值52.故选：D .【变式5-2】(2022·全国·高三专题练习)设正实数x ,y 满足x >12,y >1，不等式4x 2y -1+y 22x -1≥m 恒成立，则m 的最大值为()A.8 B.16C.22D.42【答案】A【解析】设y -1=b ,2x -1=a ，则y =b +1b >0 ,x =12a +1 a >0 所以4x 2y -1+y 22x -1=a +1 2b +b +1 2a ≥2a +1b +1 ab =2ab +a +b +1ab=2ab +1ab +a +b ab ≥22ab ⋅1ab +2ab ab=2⋅2+2 =8当且仅当a =b =1即x =2,y =1时取等号所以4x 2y -1+y 22x -1的最小值是8，则m 的最大值为8.故选A【变式5-3】(2022春·浙江·高三浙江省新昌中学校联考期中)已知x >0,y >0，若x +y =1，则33x +2y+11+3y的最小值是___________.【答案】85【解析】设x +y +k =λ3x +2y +μ1+3y ，由对应系数相等得1=3λ1=2λ+3μk =μ，得λ=13k =μ=19所以x +y +19=133x +2y +191+3y整理得1=3103x +2y +1101+3y 即1=1109x +6y +1+3y所以33x +2y +11+3y =1109x +6y +1+3y 33x +2y +11+3y=1+11031+3y 3x +2y +9x +6y 1+3y≥85.经验证当x =y =12时，等号可取到.【题型6齐次化求最值】【例6】(2020春·浙江金华·高三浙江金华第一中学校考阶段练习)已知a ,b 都是负实数，则a a +2b +ba +b的最小值是____________ .【答案】22-2【解析】a a +2b +b a +b =a 2+2ab +2b 2a 2+3ab +2b 2=1-ab a 2+3ab +2b2=1-1a b+2b a +3，因为a ,b 都是负实数，所以a b>0,2ba >0，所以a b +2b a ≥2a b ×2b a =22(当且仅当a b=2b a 时等号成立).所以a b +2b a +3≥22+3，所以1a b+2b a +3≤122+3，所以-1a b +2b a +3≥-122+3=22-3，所以1-1a b+2b a +3≥1+22-3=22-2.即a a +2b +b a +b的最小值是22-2.【变式6-1】(2021春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习)已知对任意正实数x ，y ，恒有x 2+y 2≤a x 2-xy +y 2 ，则实数a 的最小值是___________.【答案】2【解析】因为x >0,y >0，则x 2-xy +y 2=x -y 2+xy >0，则x2+y2≤a x2-xy+y2，即x2+y2x2-xy+y2≤a，又x2+y2x2-xy+y2=11-xyx2+y2，因为x2+y2≥2xy，所以1-xyx2+y2≥12，所以11-xyx2+y2≤2，即x2+y2x2-xy+y2≤2，当且仅当x=y时，取等号，所以x2+y2x2-xy+y2max=2，所以a≥2，即实数a的最小值是2.【变式6-2】(2022·全国·高三专题练习)已知x>0，y>0，则x2+3y2xy+y2的最小值为____．【答案】2【解析】∵x，y>0，则x2+3y2xy+y2=x2y2+3xy+1，设xy=t，t>0，则x2+3y2xy+y2=t2+3t+1=t+12-2t+1+4t+1=(t+1)+4t+1-2≥2t+1×4t+1-2=4-2=2，当且仅当t+1=4t+1，即t=1时取等号，此时x=y，故x2+3y2xy+y2的最小值为2.【题型7构造不等式法求最值】【例7】(2013春·浙江嘉兴·高三阶段练习)已知正实数a，b满足2ab=a+b+12，则ab的最小值是_____ ______.【答案】9【解析】由2ab=a+b+12得，2ab≥2ab+12，化简得ab-3ab+2≥0，解得ab≥9，所以ab的最小值是9.【变式7-1】已知x>0，y>0，2xy=x+y+4，则x+y的最小值为______．【答案】4【解析】由题知x>0,y>0,由基本不等式得xy≤x+y22，即x+y+4≤2×x+y22，令t=x+y，t>0，则有t+4≤2×t22，整理得t2-2t-8≥0，解得t≤-2(舍去)或t≥4，即x+y≥4，当且仅当x=y=2时等号成立，所以x+y的最小值为4.【变式7-2】(2022·全国·高三专题练习)若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是___________．【答案】2105【解析】∵4x 2+y 2+xy =1，∴(2x +y )2-3xy =1≥(2x +y )2-322x +y 2 2=58(2x +y )2，当且仅当2x =y 时，等号成立，此时(2x +y )2≤85，所以2x +y ≤2105，即2x +y 的最大值是2105.【变式7-3】(2020春·天津河北·高三天津外国语大学附属外国语学校校考阶段练习)若x >0，y >0，y +1x+4x +2y =5，则2x +y 的最小值为___________.【答案】8【解析】因为x >0，y >0，所以2x +y >0由y +1x +4x +2y=5两边同时乘xy ，得y 2+y +4x 2+2x =5xy ，即4x 2+y 2+4xy +2x +y =5xy +4xy ，则2x +y 2+2x +y =9xy ，因为2xy ≤2x +y 2 2=2x +y 24，所以9xy =92×2xy ≤92×2x +y 24=982x +y2，故2x +y 2+2x +y ≤982x +y 2，整理得2x +y 2-82x +y ≥0，即2x +y 2x +y -8 ≥0，所以2x +y ≥8或2x +y ≤0(舍去)，故2x +y 的最小值为8.【题型8多次使用不等式求最值】【例8】(2022春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习)已知a >0,b >0，则4b +ba2+2a 的最小值为()A.22 B.42C.42+1D.22+1【答案】B【解析】因为a >0,b >0，所以4b +ba2+2a ≥24b ⋅b a 2+2a =4a+2a ≥24a⋅2a =42，当且仅当4b =b a2且4a =2a ，即a =2,b =22时取等号，即4b +ba2+2a 的最小值为4 2.故选：B .【变式8-1】(2022春·江苏淮安·高三校联考期中)当0<x <2a ,不等式1x 2+12a -x2≥1恒成立，则实数a 的取值范围是()A.2,+∞B.0，2C.0,2D.2,+∞【答案】B【解析】1x 2+12a -x 2≥1恒成立，即1x 2+12a -x 2 min≥1∵0<x <2a ,∴2a -x >0，又1x 2+1(2a -x )2≥21x 2(2a -x )2=2x (2a -x )≥2x +2a -x 22=2a 2，上述两个不等式中，等号均在x =2a -x 时取到，∴1x 2+12a -x 2min=2a 2，∴2a2≥1，解得-2≤a ≤2且a ≠0，又a >0，实数a 的取值范围是0，2 .故选：B .【变式8-2】(2022·全国·模拟预测)已知a >0，b >0，c >1，a +2b =2，则1a +2bc +2c -1的最小值为()A.92B.2C.6D.212【答案】D【解析】1a +2b =121a +2b a +2b =125+2b a +2a b≥125+4 =92，当且仅当a =b =23时等号成立，(应用基本不等式时注意等号成立的条件)所以1a +2bc +2c -1≥92c -1 +2c -1+92≥29c -1 2⋅2c -1+92=212，当且仅当9c -1 2=2c -1，即c =53且a =b =23时，等号成立，故最小值为212，故选：D【变式8-3】(2022春·安徽·高三校联考阶段练习)已知a ,b ,c ∈R +，θ∈-π2,π2，不等式2b a +c a 2+4b 2+c 2≤cos θ恒成立，则θ的取值范围是()A.-π2,π2B.-π3,π3C.-π4,π4D.-π6,π6【答案】C【解析】因为a ,b ,c ∈R +,θ∈-π2,π2 ，不等式2b a +c a 2+4b 2+c 2≤cos θ恒成立，所以2b a +c a 2+4b 2+c 2 max≤cos θ，因为a ,b ,c ∈R +，所以2ab =12×2a 2b ≤12a 2+2b 2 =12a 2+2b 2，当且仅当a =2b 时等号成立；2bc =12×2c 2b ≤12c 2+2b 2 =12c 2+2b 2，当且仅当c =2b 时等号成立.所以2b a +c a 2+4b 2+c 2=2ab +2bc a 2+4b 2+c 2≤12a 2+2b 2 +12c 2+2b 2a 2+4b 2+c 2=22，当且仅当a =2b =c 时等号成立，所以2b a +c a 2+4b 2+c2的最大值为22，所以cos θ≥22，又因为θ∈-π2,π2，所以θ∈-π4,π4.故选：C.【变式8-4】(2023·全国·高三专题练习)若a，b，c均为正实数，则ab+bca2+2b2+c2的最大值为()A.12B.14C.22D.32【答案】A【解析】因为a，b均为正实数，则ab+bca2+2b2+c2=a+ca2+c2b+2b≤a+c2a2+c2b×2b=a+c22a2+c2=12a2+2ac+c22a2+c2=1212+aca2+c2≤1212+ac2a2×c2=12，当且仅当a2+c2b=2b，且a=c，即a=b=c时取等号，则ab+bca2+2b2+c2的最大值为12．故选：A．限时检测(建议用时：60分钟)1.(2022春·江苏徐州·高三学业考试)若正实数x，y满足1x+2y=1，则x+2y的最小值为()A.7B.8C.9D.10【答案】C【解析】因为x，y是正数，所以有1x+2yx+2y=5+2yx+2xy≥5+22yx∙2xy=9，当且仅当2yx=2xy时取等号，即当且仅当x=y=3时取等号，故选：C2.(2022春·广东湛江·高三校考阶段练习)已知x>2,y=x+1x-2，则y的最小值为()A.2B.1C.4D.3【答案】C【解析】因为x>2，所以x-2>0,1x-2>0，由基本不等式得y=x+1x-2=x-2+1x-2+2≥2x-2⋅1x-2+2=4，当且仅当x-2=1x-2，即x=3时，等号成立，则y的最小值为4.故选：C3.(2022春·河南·高三安阳一中校联考阶段练习)已知a>1，b>1，且aln+4bln=2，则a elog+b e4log的最小值为()A.92lg B.212 C.252 D.12【答案】C【解析】a e log =1a ln ，b e 4log =4b ln ，因为a >1，b >1，故a >0ln ,b ln >0，a e log +b e 4log =1a ln +4b ln =12×a ln +4b ln 1a ln +4bln=12×17+4b ln a ln +4a ln bln≥12×17+24b ln a ln ⋅4a ln bln=252，当且仅当a ln =b ln 时，即a =b =e 25时等号成立．所以a e log +b e 4log 的最小值为252．故选：C4.(2022春·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考阶段练习)已知正数a ,b 满足4a +9b =4，则ab 的最大值为()A.19B.16C.13D.12【答案】A【解析】正数a ,b 满足4a +9b =4，由基本不等式得：4a +9b =4≥24a ⋅9b ，解得：ab ≤19，当且仅当4a =9b ，即a =12,b =29时，等号成立，ab 的最大值为19.故选：A 5.(2022春·黑龙江牡丹江·高三牡丹江一中校考期末)已知a >0,b >0，9是3a 与27b 的等比中项，则a 2+2a +3b 2+1b 的最小值为()A.9+26 B.21+264C.7D.14+263【答案】B【解析】由等比中项定义知：3a ⋅27b =3a +3b =92，∴a +3b =4，∴a 2+2a +3b 2+1b =a +3b +2a +1b =4+142a +1b a +3b =4+145+6b a +a b≥4+145+26b a ⋅a b =4+5+264=21+264(当且仅当6b a =ab，即a =46-8，b =43-6 3时取等号)，即a 2+2a +3b 2+1b的最小值为21+264.故选：B .6.(2022春·河南南阳·高三校考阶段练习)在△ABC 中，过重心E 任作一直线分别交AB ，AC 于M ，N 两点，设AM =xAB ,AN =yAC ，(x >0，y >0)，则4x +y 的最小值是()A.43B.103C.3D.2【答案】C【解析】在△ABC 中，E 为重心，所以AE =23⋅12AB +AC =13AB +AC ，设AM =xAB ,AN =yAC ，(x >0，y >0)，所以AB =1x AM ,AC =1y AN ，所以AE =13⋅1x AM +13⋅1yAN .因为M 、E 、N 三点共线，所以13x +13y=1，所以4x +y 13x +13y=43+13+y 3x +4x 3y ≥53+2y 3x ⋅4x 3y =3(当且仅当y 3x =4x 3y ，即x =12，y =1时取等号)．故4x +y 的最小值是3．故选：C ．7.(2022春·四川德阳·高三阶段练习)已知实数a 、b >0，且函数f x =x 2-2a +b x +2a +b -1的定义域为R ，则a 2b +2a 的最小值是()A.4B.6C.22D.2【答案】A【解析】∵f x =x 2-2a +b x +2a +b -1定义域为R ，∴x 2-2a +b x +2a +b -1≥0在R 上恒成立，∴△=-2a +b 2-4×2a +b -1 ≤0，即：a +b 2-2a +b +1≤0∴a +b -1 2≤0，解得：a +b =1又∵a >0,b >0∴a 2b +2a =1-b 2b +2a =12b +2a -12=12b +2a a +b -12=a 2b +2ba +2≥2a 2b ⋅2b a+2=4当且仅当a 2b =2b a ，即a =23,b =13时取等号.故选：A .8.(2022春·江西宜春·高三校考阶段练习)设x >y >z ，且1x -y +1y -z ≥nx -zn ∈N 恒成立，则n 的最大值为()A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】因为x >y >z ，所以x -y >0，y -z >0，x -z >0，所以不等式1x -y +1y -z ≥n x -z 恒成立等价于n ≤x -z 1x -y +1y -z恒成立.因为x -z =x -y +y -z ≥2x -y y -z ，1x -y +1y -z≥21x -y ⋅1y -z ，所以x -z ⋅1x -y +1y -z≥4x -y y -z⋅1x -y ⋅1y -z =4(当且仅当x -y =y -z 时等号成立)，则要使n ≤x -z 1x -y +1y -z恒成立，只需使n ≤4n ∈N ，故n 的最大值为4.故选：C 9.(2022春·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习)(多选)已知实数a ，b 满足4a 2-ab +b 2=1，以下说法正确的是()A.a ≤21515B.a +b <1C.45≤4a 2+b 2≤43D.2a -b ≤2105【答案】ACD【解析】由4a 2-ab +b 2=1，可得b 2-ab +4a 2-1=0，关于b 的方程有解，所以△=-a 2-44a 2-1 ≥0，所以a 2≤415，即a ≤21515，故A 正确；取a =0,b =1，4a 2-ab +b 2=1，则a +b =1，故B 错误；由4a 2-ab +b 2=1，可得4a 2+b 2=ab +1=1+12⋅2ab ，又-4a 2+b 22≤2ab ≤4a 2+b 22，令t=4a 2+b 2，则-t 2≤2t -1 ≤t 2，所以45≤t ≤43，即45≤4a 2+b 2≤43，故C 正确；由4a 2-ab +b 2=1，可得2a -b 2+3ab =1，所以2a -b 2=1-3ab =1+32⋅2a ⋅-b ，令u =2a -b ，由2a ⋅-b ≤2a -b 22，可得u 2≤1+38u 2，所以u 2≤85，即2a -b ≤2105，故D 正确.故选：ACD .10.(2022·浙江·模拟预测)(多选)已知a ，b 为正数，且2a +b -2=0，则()A.a 2+16>8a B.2a +1b≥9 C.a 2+b 2≥255D.32<a +b -5a -2<4【答案】ACD【解析】对于A 选项，a 2+16-8a =a -4 2≥0，当且仅当a =4时等号成立，当a =4时，由于2a +b -2=0，得b =2-2a =2-8=-6，与b 为正数矛盾，故a ≠4，即得a 2+16>8a ，故A 选项正确；对于B 选项，∵2a +b -2=0，∴a +b2=1.又∵a >0,b >0∴2a +1b =2a +1b a +b 2 =2+b a +a b+12≥52+2b a ⋅a b =92，当且仅当b a =a b，即a =b =23时等号成立；故B 选项不正确；对于C 选项，∵2a +b -2=0，∴b =2-2a ，a ∈0,1 .∵a 2+b 2=a 2+2-2a 2=5a 2-8a +4=5a -45 2+45，∴a 2+b 2≥45，当且仅当a =45时等号成立，∴a 2+b 2≥255，故C 选项正确；对于D 选项，∵2a +b -2=0，∴b =2-2a ，a ∈0,1 .∴a +b -5a -2=a +2-2a -5a -2=-a -3a -2=-a -2 -5a -2=-1-5a -20<a <1 ，当0<a <1时，-2<a -2<-1，∴-5<5a -2<-52，得32<-1-5a -2<4，即32<a +b -5a -2<4，故D 选项正确.故选：ACD11.(2022春·山西·高三校联考阶段练习)(多选)若a >b >1，且a +3b =5，则()A.1a -b +4b -1的最小值为24 B.1a -b +4b -1的最小值为25C.ab -b 2-a +b 的最大值为14 D.ab -b 2-a +b 的最大值为116【答案】BD【解析】由a >b >1，可知a -b >0，b -1>0，a -b +4b -1 =a +3b -4=5-4=1，1a -b +4b -1=a -b +4b -1 a -b +4a -b +4b -1 b -1=17+4b -1 a -b +4a -b b -1≥17+24b -1 a -b ⋅4a -b b -1=25当且仅当a -b =b -1=15 时，等号成立，1a -b +4b -1的最小值为25．又1=a -b +4b -1 ≥2a -b ⋅4b -1 =4a -b ⋅b -1 ．当且仅当a -b =4b -1 =12时，等号成立，所以ab -b 2-a +b =a -b ⋅b -1 ≤116，故ab -b 2-a +b 的最大值为116．故选：BD .12.(2022春·山东·高三利津县高级中学校联考阶段练习)(多选)在下列函数中，最小值是4的是()A.y =x +4xB.y =x +5x +1x >0 C.y =x sin +4xsin ，x ∈0,π2D.y =4x +41-x【答案】BD【解析】对于A ，当x >0时，y =x +4x ≥2x ⋅4x =4，当且仅当x =4x，即x =2时取等号；当x <0时，y =x +4x =--x +-4x ≤-2x ⋅4x =-4，当且仅当-x =-4x ，即x =-2时取等号，所以y ∈-∞,-4 ⋃4,+∞ ，A 错误；对于B ，y =x +5x +1=x +1+4x +1=x +1+4x +1，因为x >0，所以x +1>1，x +1+4x +1≥2x +1⋅4x +1=4，当且仅当x +1=4x +1，即x =3时取等号，所以y =x +5x +1x >0 的最小值为4，B 正确；对于C ，因为x ∈0,π2，所以x sin ∈0,1 ，由对勾函数性质可知：y =x sin +4x sin ,x ∈5,+∞ ，C 错误；对于D ，4x >0，y =4x +41-x =4x +44x ≥24x ×44x =4，当且仅当4x =44x ，即x =12时取等号，所以y =4x +41-x 的最小值为4，D 正确.故选：BD13.(2022春·山东·高三利津县高级中学校联考阶段练习)已知正实数x ，y 满足4x +7y =4，则2x +3y+12x +y的最小值为______.【答案】94【解析】因为4x +7y =4，所以2x +3y +12x +y =142x +3y +2x +y 2x +3y +12x +y ，所以2x +3y +12x +y =144+2x +3y 2x +y +22x +y x +3y +1，因为x ,y 为正实数，所以2x +3y 2x +y >0,22x +yx +3y>0，所以2x +3y 2x +y +22x +y x +3y≥22x +3y 2x +y ⋅22x +yx +3y =4，当且仅当x +3y =2x +y 4x +7y =4时等号成立，即x =815,y =415时等号成立，所以2x +3y +12x +y ≥144+4+1 =94，当且仅当x =815,y =415时等号成立，所以2x +3y +12x +y 的最小值为94.14.(2022春·天津静海·高三静海一中校考阶段练习)若a ,b ∈R ，且b 2-a 2=1，则a +b2-a 2b的最大值为___________.【答案】2【解析】由题知，a ,b ∈R ，且b 2-a 2=1，即b 2=a 2+1，所以a +b2-a 2b =a +1b ，当a =0时，b 2=1，即b =±1，此时a +1b =±1，所以a +b 2-a 2b的最大值为1，当a ≠0时，a +1b2=a 2+2a +1b 2=1+2a a 2+1≤1+2a 2a =2，当且仅当a =1时取等号，此时-2≤a +1b ≤2；所以a +a 2-b 2b 的最大值为2.综上，a +a 2-b 2b的最大值为2.15.(2022春·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习)已知正数x ，y 满足83x 2+2xy +3xy +2y 2=1，则xy的最小值是_________．【答案】52【解析】根据题意，由83x 2+2xy +3xy +2y 2=1可得8xy +2y 2 +33x 2+2xy 3x 2+2xy xy +2y 2=1，即16y 2+9x 2+14xy =3x 3y +8x 2y 2+4xy 3=xy 4y 2+3x 2+8xy所以16y 2+9x 2+14xy 4y 2+3x 2+8xy =xy =16y 2x2+9+14y x 4y 2x2+3+8y x ；又因为x ，y 均是正数，令y x =t ∈0,+∞ ，则xy =f t =16t 2+14t +94t 2+8t +3所以， f t =16t 2+14t +94t 2+8t +3=4-18t +34t 2+8t +3=4-14t 2+8t +318t +3令 g t =4t 2+8t +318t +3，则g t =29t +1127+16918t +3=29t +16 +16918t +3+1027≥229t +16 ×16918t +3+1027=1827当且仅当29t +16 =16918t +3，即t =12时，等号成立；所以f t =4-14t 2+8t +318t +3≥4-11827=4518=52所以f t 的最小值为f t min =52;即当t =y x =12,x =2y =5时，即x =5,y =52时，等号成立.16.(2022春·陕西商洛·高三校联考阶段练习)已知正实数a ,b ,c 满足a 2+ab +b 2-12c 2=0，则当a +bx取得最大值时，a -b 2+c 的最大值为______.【答案】916【解析】由a 2+ab +b 2-12c 2=0，可得12c 2=a +b 2-ab ≥a +b 2-a +b 22=34a +b 2，即a +bc≤4，当且仅当a =b 时，等号成立，所以当a +b c 取得最大值时，a =b ，c =a +b 4=a 2，所以a -b 2+c =32a -a 2=-a -342+916，故当a =34,b =34,c =38时，a -b 2+c 取最大值916.。

(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b .知识点二几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R)；(5)2ab a ＋b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)．知识点三算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．知识点四利用基本不等式求最值问题已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)．(2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)．【特别提醒】1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立.2.连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立. 考点一利用基本不等式求最值【典例1】（江西临川一中2019届模拟）已知x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为_______ 【答案】1【解析】因为x ＜54，所以5－4x ＞0， 则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝⎛⎭⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，取等号． 故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1. 【方法技巧】【方法技巧】1.通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．2.通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；(4)利用基本不等式求解最值．利用基本不等式求解最值．【变式1】（山东潍坊一中2019届模拟）已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．【答案】6【解析】由已知得x ＋3y ＝9－xy ，因为x ＞0，y ＞0，所以x ＋3y ≥23xy ，所以3xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0. 令x ＋3y ＝t ，则t ＞0且t 2＋12t －108≥0，得t ≥6，即x ＋3y 的最小值为6.【方法技巧】通过消元法利用基本不等式求最值的策略【方法技巧】通过消元法利用基本不等式求最值的策略当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值．，最后利用基本不等式求最值．考点二 利用基本不等式解决实际问题【典例2】【2019年高考北京卷理数】年高考北京卷理数】李明自主创业，李明自主创业，李明自主创业，在网上经营一家水果店，在网上经营一家水果店，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．【答案】①130 ；②15.【解析】（1）x=10，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付60+80-10=130元.（2）设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元，120y <元时，李明得到的金额为80%y ⨯，符合要求.120y ≥元时，有()80%70%y x y -⨯≥⨯恒成立，即()87,8yy x y x -≥≤，即min 158y x ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭元，所以x 的最大值为15。

专题14：不等式与不等式组（填空题专练）一、填空题1．若a ＜b ，则-5a______-5b(填“＞”“＜”或“=”)．【答案】＞【解析】试题解析：∵a ＜b ，∴-5a ＞-5b ；2．不等式2x+4>0的解集是________．【答案】x>-2【解析】根据一元一次不等式的解法，移项得2x ＞-4，系数化为1，可得x ＞-2.故答案为x ＞-2.3．若不等式()33a x a -≤-的解集在数轴上表示如图所示，则a 的取值范围是__________．【答案】3a <【分析】不等式两边同时除以3a -即可求解不等式，根据不等式的性质可以得到3a -一定小于0，据此即可求解．【解答】由题意得30a -<，解得：3a <，故答案为：3a <．【点评】本题考查了解一元一次不等式，解答此题一定要注意不等式两边同乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．4．若不等式组 x m 1,x 2m 1>+⎧⎨<-⎩ 无解，则 m 的取值范围是___________． 【答案】m≤2【分析】先解不等式，再根据不等式无解判断求解即可；【解答】由不等式组x m 1,x 2m 1>+⎧⎨<-⎩无解可得121m m +≥-， 解得：2m ≤．故答案是2m ≤．【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组的，准确理解计算是解题的关键．5．若a b <，则2ac ______________2bc .【答案】≤【分析】根据不等式的性质得出大小.【解答】∵c 2≥0, a<b ，∴ac 2 ≤bc 2.故答案是：≤.【点评】考查了不等式的性质，解题关键是熟记并利用了不等式的性质.6．如果2m ，m ，1﹣m 这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，那么m 的取值范围是________．【答案】m ＜0【分析】如果2m ，m ，1-m 这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，即已知2m ＜m ，m ＜1-m ，2m ＜1-m ，即可解得m 的范围．【解答】根据题意得：2m ＜m ，m ＜1-m ，2m ＜1-m ，解得：m ＜0，m ＜12，m ＜13， ∴m 的取值范围是m ＜0．故答案为m ＜0．7．不等式4x ﹣6≥7x ﹣12的非负整数解为________________.【答案】0，1，2【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的非负整数即可．【解答】解：移项得：4x －7x ≥－12+6，合并同类项得：－3x ≥－6；化系数为1得： x ≤2；因而不等式的非负整数解是：0，1，2．【点评】正确解不等式，求出解集是解决本题的关键．解不等式要用到不等式的性质：（1）不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．8．不等式组5234x x -≤-⎧⎨-<⎩的解集是______________. 【答案】-1＜x≤3【解析】分析：分别解不等式，找出解集的公共部分即可.详解：解不等式①，得 3x ≤；解不等式②，得1x >-； 原不等式组的解集为13x -<≤．故答案为13x -<≤．点睛：考查解一元一次不等式组，比较容易，分别解不等式，找出解集的公共部分即可.9．已知关于x 的不等式23x a ->-的解集如图所示则a 的值为____________．【答案】1【分析】求出不等式的解集并与图示作比较，可以求得a 的值．【解答】解：解2x −a>−3可得32a x ->， 又由图示可知1x >-，两相比较可得312a -=-，解得： 1a =．故答案为1．【点评】本题考查不等式的解集，熟练掌握不等式解集在数轴上的表示方法是解题关键．10．如果|1|1x x +=+，|32|32x x +=--，那么x 的取值范围是________． 【答案】213x -≤≤- 【分析】根据正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值等于0，建立不等式组求解．【解答】∵|1|1x x +=+，|32|32x x +=--∴10320x x +≥⎧⎨+≤⎩解得213x -≤≤- 故答案为：213x -≤≤-．【点评】本题考查绝对值与不等式组，熟练掌握绝对值的性质建立不等式组是解题的关键．11．方程组431,65x y kx y-=+⎧⎨+=⎩的解x、y满足条件0＜3x－7y＜1，则k的取值范围______．【答案】43＜k＜53【分析】将两个等式相减，可得3x－7y＝3k－4，再根据0＜3x－7y＜1即可解出k的范围.【解答】43165x y kx y-=+⎧⎨+=⎩①，②，①－②，得3x－7y＝3k－4，则0＜3k－4＜1，解得43＜k＜53，故答案是43＜k＜53.【点评】此题主要考察二元一次方程组与不等式的综合，熟知二元一次方程组的解法是解题的关键.12．当y_____，时，代数式324y-的值至少为1.【答案】≤－1 2【分析】根据“至少”的含义是“大于或等于”列夫等式求解即可. 【解答】由题意得32 4y-≥1，解之得y≤－1 2 .故答案为≤－1 2 .【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据题意正确列出不等式是解答本题的关键.13．不等式12x＞－3的解集是______.【答案】x>-6【解析】不等式左右两边同时除以12可得：x＞－6.故答案为x＞－6.点睛：掌握不等式的性质.14．若关于x 的不等式组121x m x m ≤+⎧⎨-⎩＞无解，则m 的取值范围是________ 【答案】m≥2 【解析】试题解析：由于不等式组121x m x m ≤+⎧⎨-⎩＞无解， 所以2m-1≥m+1，解得：m≥2.故答案为m≥2. 15．不等式组2x x a >⎧⎨<⎩无解，则a 的取值范围是_____． 【答案】a ≤2【分析】根据不等式组2x x a >⎧⎨<⎩无解，可得出a≤2，即可得出答案． 【解答】∵不等式组2x x a >⎧⎨<⎩无解， ∴a 的取值范围是a≤2；故答案为a≤2．【点评】本题考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．16．关于x 的不等式30x a -≤只有两个正整数解，则a 的取值范围是_______【答案】6≤a ＜9．【分析】解不等式得x≤3a ，由于只有两个正整数解，即1，2，故可判断3a 的取值范围，求出a 的取值范围． 【解答】原不等式解得x≤3a ， ∵解集中只有两个正整数解，则这两个正整数解是1，2，∴2≤3a ＜3， 解得6≤a ＜9．故答案为6≤a ＜9．【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解．正确解不等式，求出正整数是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．17．不等式442xx->-的最小整数解为_____．【答案】5．【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的最小整数解即可．【解答】442xx ->-，x-4＞8-2x，3x＞12，x＞4，故不等式442xx->-的最小整数解为5．故答案为5．【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．18．把m 个练习本分给n 个学生，如果每人分3本，那么余80本；如果每人分5本，那么最后一个同学有练习本但不足5本，n的值为________.【答案】41或42【分析】不足5本说明最后一个人分的本数应在0和5之间，但不包括5．【解答】由题意可得m=3n+80，0<m-5(n-1)<5，解得40<n<42.5，因为n为整数，所以n值为41或42，故答案为：41或42．【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式组．19．不等式3x﹣2≥4（x﹣1）的所有非负整数解的和为__．【答案】3.【解析】试题解析：3x﹣2≥4（x﹣1），3x﹣2≥4x﹣4，x ≤2，所以不等式的非负整数解为0，1，2，0+1+2=3，【点睛】本题考查了解一元一次不等式，不等式的非负整数解的应用，解此题的关键是能求出不等式的非负整数解，难度适中．20．某商贩卖出两双皮鞋，相比进价，一双盈利30%，另一双亏本10%，两双共卖出200元．商贩在这次销售中要有盈利，则亏本的那双皮鞋的进价必须低于_________元【答案】150【分析】设亏本的那双皮鞋的进价为x 元，则亏本的那双皮鞋的售价为（1-10%）x 元，盈利的那双皮鞋的售价为[200-（1-10%）x]元，盈利的那双皮鞋的进价为200(110%)130%x --+元，根据商贩在这次销售中要有盈利，即可得出关于x 的一元一次不等式，解之即可得出结论．【解答】解：设亏本的那双皮鞋的进价为x 元，则亏本的那双皮鞋的售价为（1-10%）x 元，盈利的那双皮鞋的售价为[200-（1-10%）x]元，盈利的那双皮鞋的进价为200(110%)130%x --+元， 依题意，得：（1-10%）x-x+[200-（1-10%）x]200(110%)130%x ---+＞0， 解得：x ＜150．故答案为：150．【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，找准等量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 21．若关于x 的方程3(4)25x a +=+的解大于关于x 的方程(41)(34)43a x a x +-=的解，则a 的取值范围为________．【答案】718a > 【分析】先求出两个方程的解，然后解关于a 的一元一次不等式，即可得到答案.【解答】解：解方程3(4)25x a +=+，得：273a x -=， 解方程(41)(34)43a x a x +-=， 得：163x a =-． 由题意得：271633a a ->-．解得：718a >． 故答案为：718a >. 【点评】本题考查的是解一元一次方程和解一元一次不等式，根据题意列出关于x 的不等式是解答此题的关键．22．用“>”或“<”填空：（1）如果1a b>，0b >，那么a ________b ； （2）如果1a b<，0b >，那么a ____b ； （3）如果1a b <，0b <，那么a ____b ； （4）当a b >，b ____0时，或者0a <，b ___0时，有0ab >．【答案】> < > > <【分析】（1）根据不等式的性质2进行分析；（2）根据不等式的性质2进行分析；（3）根据不等式的性质3进行分析；（4）根据不等式的性质2和3进行分析；【解答】解：（1）因为1a b >，0b >，在不等式两边同时乘以b ，不等号方向不变， 得a ＞b ，故答案是：＞；（2）因为1a b <，0b >，在不等式两边同时乘以b ，不等号方向不变， 得a ＜b ，故答案是：＜；（3）因为1a b<，0b <，在不等式两边同时乘以b ，不等号方向改变， 得a ＞b ，故答案是：＞；（4）当a b >，b ＞0时，a ＞0，在不等式b ＞0两边同时乘以a ，不等式方向不变，即0ab >；当0a <，b ＜0时，在不等式b ＜0两边同时乘以a ，不等式方向改变，即0ab >．故答案是：＞；＜.【点评】本题考查了不等式的性质2和3：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．要特别注意性质（3），很容易出错.23．若不等式组01x a x a -⎧⎨-⎩-的解集中的任何一个x 的值均不在2≤x ≤5的范围内，则a 的取值范围为________．【答案】a ≤1或a ≥5 【分析】解不等式组01x a x a ->⎧⎨-<⎩，求出x 的范围，根据任何一个x 的值均不在2≤x≤5范围内列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：不等式组01x a x a ->⎧⎨-<⎩的解集为：a ＜x ＜a+1， ∵任何一个x 的值均不在2≤x≤5范围内，∴x ＜2或x ＞5，∴a+1≤2或a≥5，解得，a≤1或a≥5，∴a 的取值范围是：a≤1或a≥5，故答案为：a≤1或a≥5．【点评】本题考查的是不等式的解集的确定，根据不等式的解法正确解出不等式是解题的关键，根据题意列出新的不等式是本题的重点．24．已知不等式3x -0a ≤的正整数解恰是1，2，3，4，那么a 的取值范围是_________________.【答案】1215a ≤<【分析】用含a 的式子表示出不等式的解集，由不等式的正整数解，得到x 的范围，再根据x 与a 的关系列不等式(组)求解.【解答】因为3x －a ≤0，所以x ≤3a ， 因为原不等式的正整数解恰是1，2，3，4，即4353a a ⎧≥⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，解得12≤x ＜15. 故答案为12≤x ＜15.【点评】由不等式(组)的整数解确定所含字母的取值范围的解法是：①解不等式(组)，用字母系数表示出解集；②由不等式(组)的整数解确定不等式(组)的解集；③综合①②列出关于字母系数的不等式(注意是否可取等于)求解.25．一次测验共出5道题，做对一题得一分，已知26人的平均分不少于4.8分，最低的得3分，至少有3人得4分，则得5分的有______ 人．【答案】22【解析】解：设得5分的人数为x 人，得3分的人数为y 人．则可得326531226 4.8x y x y ++=⎧⎨++>⨯⎩，解得：x ＞21.9． ∵一共26人，最低的得3分，至少有3人得4分，∴得5分最多22人，即x ≤22．∴21.9＜x ≤22且x 为整数，所以x =22．故得5分的人数应为22人．故答案为22．点睛：此题考查不等式组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．解题过程中一定要符合题目的意思，以事实为依据．26．我们知道，适合二元一次方程的一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解．类似地，适合二元一次不等式的一对未知数的值叫做这个二元一次不等式的一个解．对于二元一次不等式x ＋2y≤8，它的正整数解有________个．【答案】12【分析】先把y 作为常数，解不等式得82x y ，根据x ，y 是正整数，得820y，求出y 的正整数值，再分情况进行讨论即可．【解答】解：28x y ，82x y ， x ，y 是正整数， 820y ，解得04y <<，即y 只能取1，2，3，当1y =时，06x <，正整数解为：11x y =⎧⎨=⎩，21x y =⎧⎨=⎩，31x y =⎧⎨=⎩，41x y =⎧⎨=⎩，51x y =⎧⎨=⎩，61x y =⎧⎨=⎩， 当2y =时，04x ，正整数解为：12x y =⎧⎨=⎩，22x y =⎧⎨=⎩，32x y =⎧⎨=⎩，42x y =⎧⎨=⎩， 当3y =时，02x <，正整数解为：13x y =⎧⎨=⎩，23x y =⎧⎨=⎩； 综上，它的正整数解有12个．故答案为：12．【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，求出y 的整数值是本题的关键．27．关于x 的不等式()321a x -<的解集是132x a >-，则a 的取值范围是_____． 【答案】32a > 【分析】分析可知符合不等式性质3，320a -<，解出a 即可. 【解答】解：()321a x -<的解集是132x a >-， 320a ∴-<， 解得32a >． 故答案为32a >． 【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．28．关于x 的不等式组23284a x x a ->⎧⎨+>⎩的解集中每一个值均不在18x ≤≤的范围内，则a 的取值范围是____________．【答案】6a ≥或2a ≤【分析】先求出不等式组的解集，根据已知得出关于a 的不等式组，求出不等式组的解集即可．【解答】解：23284a x x a ->⎧⎨+>⎩①②∵解不等式①得23x a <-，解不等式②得24x a >-，∴不等式组的解集是2423a x a -<<-．∵关于x 的不等式组23284a x x a ->⎧⎨+>⎩的解集中每一个值均不在18x ≤≤的范围内， ∴248a -≥或231a -≤，解得6a ≥或2a ≤．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式组的解集和已知得出关于a 的不等式组是解此题的关键．注意理解：解集中每一个值均不在18x ≤≤的范围内的意义.29．如果关于x 的不等式组3020x a x b -≥⎧⎨-≤⎩的整数解仅有1,2,那么适合这个不等式组的整数a ,b 组成的有序数对(),a b 共有_______个；如果关于x 的不等式组px d f qx e g +>⎧⎨+<⎩(其中p ,q 为正整数)的整数解仅有()1212,,,n n c c c c c c <<<,那么适合这个不等式组的整数d ,e 组成的有序数对(),d e 共有______个.(请用含p 、q 的代数式表示)【答案】6 pq【分析】（1）求出不等式组的解集，根据不等式组的解集和已知得出b 232≤<，a 013<≤，求出a b 的值，即可求出答案；（2）求出不等式组的解集，根据不等式组的解集和已知得出111f d c c p --<，1n n g e c c q-<+，即11f pc d p f pc -<+-，n n g qc q e g qc --<-；结合p ，q 为正整数，d ，e 为整数可知整数d 的可能取值有p 个，整数e 的可能取值有q 个，即可求解．【解答】解：（1）解不等式组3020x a x b -≥⎧⎨-≤⎩，得不等式组的解集为：32a b x ， ∵关于x 的不等式组3020x a x b -≥⎧⎨-≤⎩的整数解仅有1，2， ∴b 232≤<，a 013<≤，∴4≤b ＜6，0＜a≤3，即b 的值可以是4或5，a 的值是1或2或3，∴适合这个不等式组的整数a ，b 组成的有序数对（a ，b ）可能是（1，4），（1，5），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），∴适合这个不等式组的整数a ，b 组成的有序数对（a ，b ）共6个；（2）解不等式组px d f qx e g+>⎧⎨+<⎩(其中p ,q 为正整数)， 解得：f d g e x p q--<<， ∵不等式组px d f qx e g +>⎧⎨+<⎩（其中p ，q 为正整数）的整数解仅有c 1，c 2，…，c n （c 1＜c 2＜…＜c n ）， ∴111f d c c p --<，1n n g e c c q-<+， ∴11f pc d p f pc -<+-，n n g qc q e g qc --<-，∵p ，q 为正整数∴整数d 的可能取值有p 个，整数e 的可能取值有q 个，∴适合这个不等式组的整数d ，e 组成的有序数对（d ，e ）共有pq 个；故答案为：6；pq ．【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解题的关键是掌握解一元一次不等式组的一般步骤． 30．一年一度的“八中之星”校园民谣大赛是每年八中艺术节的重要活动之一，吸引了众多才华横溢的八中同学参赛.该比赛裁判小组由若干人组成，每名裁判员给选手的最高分不超过10分.今年大赛一名选手演唱后的得分情况是：全体裁判员所给分数的平均分是9.84分；如果只去掉一个最高分，则其余裁判员所给分数的平均分是9.82分；如果只去掉一个最低分，则其余裁判员所给分数的平均分是9.9分.那么，所有裁判员所给分数中的最低分最少可以是________分.【答案】9.36【分析】设裁判员有x 名，根据全体裁判员所给分数的平均分是9.84分可得总分为9.84x ，如果只去掉一个最高分，则其余裁判员所给分数的平均分是9.82分；如果只去掉一个最低分，则其余裁判员所给分数的平均分是9.9分，可求出最高分的代数式从而列出不等式，得到最高分就能求出最低分．【解答】设裁判员有x 名，那么总分为9.84x ；去掉最高分后的总分为9.82（x-1），由此可知最高分为9.84x-9.82（x-1）=0.02x+9.82；去掉最低分后的总分为9.9（x-1），由此可知最低分为9.84x-9.9（x-1）=9.9-0.06x．因为最高分不超过10，所以0.02x+9.82≤10，即0.02x≤0.18，所以x≤9．当x取7时，最低分有最小值,则最低分为9.9－0.06x=9.9-0.54=9.36．故答案是：9.36.【点评】考查理解题意的能力，关键是表示出最高分的代数式，列出不等式求出最高分，然后求出最低分，根据平均分求出人数．31．若关于x的不等式组1423xxx m+⎧-≥⎪⎨⎪>⎩的所有整数解的和是﹣9，则m的取值范围是_____．【答案】-5≤m＜-4.【解析】【分析】先求出不等式的解集，根据已知不等式组的整数解得和为-9即可得出答案.【解答】解：1423xxx m+⎧-≥⎪⎨⎪>⎩①②解不等式①得：x≤-2，∴m＜x≤-2又∵不等式组的所有整数解得和为-9，∴-4+（-3）+（-2）=-9∴-5≤m＜-4；故答案为：-5≤m＜-4.【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，是一道较为抽象的题，利用数轴就能直观的理解题意，列出关于m的不等式组，临界数-5的取舍是易错的地方，要借助数轴做出正确的取舍.32．关于x的不等式组211x ax-≥⎧⎨-≤⎩只有4个整数解,则a的取值范围是_____．【答案】-3＜a≤-2【解析】【分析】先求不等式组211x ax-≥⎧⎨-≤⎩得解集，然后根据整数解的情况，确定a的范围.【解答】解：解不等式组211x ax-≥⎧⎨-≤⎩得：a≤x≤1组4个整数解为：1，0，-1,-2,所以-3＜a≤-2故答案为：-3＜a≤-2【点评】本题考查了不等式组的解法和根据整数解确定参数，其中解不等式组是解答本题的关键.33．对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为<x>，即已知n为正整数，如果n－12≤x＜n＋12，那么<x>＝n．例如：<0>＝<0.48>＝0，<0.64>＝<1.493>＝1，<2>＝2，<3.5>＝<4.12>＝4，…则满足方程<x>＝1x 1.62+的非负实数x的值为____.【答案】2.8【解析】【分析】设12x+1.6=k，k为非负整数，则x=2k-3.2，根据定义得到共有k的不等式，即可求出k的取值范围，由k为非负整数确定k的值进而确定x的值即可.【解答】设12x+1.6=k，k为非负整数，则x=2k-3.2，由<2k-3.2>=k可得：k-12≤2k-3.2<k+12(k≥0)解得：2.7≤k<3.7，∵k为非负整数，∴k=3，∴x=2×3-3.2=2.8.故答案为：2.8【点评】考查了一元一次不等式的应用，理解定义，列出不等式得出k的取值范围是解题关键.34．若关于x，y的方程组3133x y kx y+=+⎧⎨+=⎩的解为x，y，且－2＜k＜4，则x－y的取值范围是__．【答案】－2＜x－y＜1【解析】根据题意可知：3133x y kx y+=+⎧⎨+=⎩①②，①-②可得2x-2y=k-2，然后由-2＜k＜4，根据不等式的基本性质可得-4＜k-2＜2，所以可得x-y的取值范围为-2＜x-y＜1. 故答案为：－2＜x－y＜1.35．若关于x，y的二元一次方程组32225x y mx y m-=+⎧⎨+=-⎩中x的值为正数，y的值为负数，则m的取值范围为____________.【答案】83＜m＜19【解析】将m看做已知数求出方程组32225x y mx y m-=+⎧⎨+=-⎩的解表示出x=387m-与y=197m-，根据x为正数，y为负数列出不等式组387197mm-⎧⎪⎪⎨-⎪⎪⎩＞＜，求出不等式组的解集即可确定出m的范围83＜m＜19．故答案为：83＜m＜19.点睛：此题考查了二元一次方程组的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．。

专题14 与数列相关的综合问题考纲解读明方向分析解读 1.会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和.2.能综合利用等差、等比数列的基本知识解决相关综合问题.3.数列递推关系、非等差、等比数列的求和是高考热点,特别是错位相减法和裂项相消法求和.分值约为12分,难度中等.2018年高考全景展示1．【2018年浙江卷】已知成等比数列，且．若，则 A. B.C.D.【答案】B【解析】分析:先证不等式，再确定公比的取值范围，进而作出判断. 详解：令则，令得，所以当时，，当时，，因此， 若公比，则，不合题意；若公比，则但，即，不合题意；因此，，选B.点睛：构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如2．【2018年浙江卷】已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________．【答案】27【解析】分析：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值.点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如），符号型（如），周期型（如）. 3．【2018年理数天津卷】设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列.已知，，，.（I）求和的通项公式；（II）设数列的前n项和为，（i）求；（ii）证明.【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)（i）.（ii）证明见解析.【解析】分析：（I）由题意得到关于q的方程，解方程可得，则.结合等差数列通项公式可得（II）（i）由（I），有，则.（ii）因为，裂项求和可得.详解：（I）设等比数列的公比为q.由可得.因为，可得，故.设等差数列的公差为d，由，可得由，可得从而故所以数列的通项公式为，数列的通项公式为（II）（i）由（I），有，故.（ii）因为，所以.点睛：本题主要考查数列通项公式的求解，数列求和的方法，数列中的指数裂项方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．【2018年江苏卷】设，对1，2，···，n的一个排列，如果当s<t时，有，则称是排列的一个逆序，排列的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231的逆序数为2．记为1，2，···，n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数．（1）求的值；（2）求的表达式(用n表示)．【答案】（1）2 5 2）n≥5时，【解析】分析：（1）先根据定义利用枚举法确定含三个元素的集合中逆序数为2的个数，再利用枚举法确定含四个元素的集合中逆序数为2的个数；（2）先寻求含n个元素的集合中逆序数为2与含n+1个元素的集合中逆序数为2的个数之间的关系，再根据叠加法求得结果.详解：解：（1）记为排列abc的逆序数，对1，2，3的所有排列，有，所以．对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，．点睛：探求数列通项公式的方法有观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.寻求相邻项之间的递推关系，是求数列通项公式的一个有效的方法.5．【2018年江苏卷】设是首项为，公差为d的等差数列，是首项为，公比为q的等比数列．（1）设，若对均成立，求d的取值范围；（2）若，证明：存在，使得对均成立，并求的取值范围（用表示）．【答案】（1）d的取值范围为．（2）d的取值范围为，证明见解析。

专题14两个经典不等式的应用逻辑推理是得到数学结论，构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证．利用两个经典不等式解决问题，降低了思考问题的难度，优化了推理和运算过程．1．对数形式：x≥1＋ln x(x>0)，当且仅当x＝1时，等号成立．2．指数形式：e x≥x＋1(x∈R)，当且仅当x＝0时，等号成立．进一步可得到一组不等式链：e x>x＋1>x>1＋ln x(x>0，且x≠1)．注意：选填题可直接使用，解答题必须先证明后再使用．考点一两个经典不等式的应用1．对数形式：x≥1＋ln x(x>0)，当且仅当x＝1时，等号成立．2．指数形式：e x≥x＋1(x∈R)，当且仅当x＝0时，等号成立．【例题选讲】[例1](1)已知对任意x，都有x e2x－ax－x≥1＋ln x，则实数a的取值范围是________．(2)已知函数f(x)＝e x－ax－1，g(x)＝ln x－ax－1，其中0<a<1，e为自然对数的底数，若∃x0∈(0，＋∞)，使f(x0)g(x0)>0，则实数a的取值范围是________．[例2]函数f(x)＝ln(x＋1)－ax，g(x)＝1－e x．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若f(x)≥g(x)在x∈[0，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围．[例3]已知函数f(x)＝e x－a．(1)若函数f(x)的图象与直线l：y＝x－1相切，求a的值；(2)若f(x)－ln x>0恒成立，求整数a的最大值．[例4] 已知函数f (x )＝x 2－(a －2)x －a ln x (a ∈R )． (1)求函数y ＝f (x )的单调区间；(2)当a ＝1时，证明：对任意的x >0，f (x )＋e x >x 2＋x ＋2．[例5] 已知函数f (x )＝x －1－a ln x ． (1)若f (x )≥0，求a 的值；(2)证明：对于任意正整数n ，⎝⎛⎭⎫1＋12⎝⎛⎭⎫1＋122·…·⎝⎛⎭⎫1＋12n <e ．【对点训练】1．已知函数f (x )＝e x ，x ∈R ．证明：曲线y ＝f (x )与曲线y ＝12x 2＋x ＋1有唯一公共点．2．(2018·全国Ⅰ改编)已知函数f (x )＝a e x －ln x －1．(1)设x ＝2是f (x )的极值点，求a 的值并求f (x )的单调区间； (2)求证：当a ＝1e 时，f (x )≥0．3．(2020·山东)已知函数f (x )＝a e x －1－ln x ＋ln a ．(1)当a ＝e 时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； (2)若f (x )≥1，求a 的取值范围．4．已知函数f (x )＝a e x ＋2x －1(其中常数e ＝2．718 28…是自然对数的底数)． (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)证明：对任意的a ≥1，当x >0时，f (x )≥(x ＋a e)x ．5．已知函数f (x )＝a ln x ＋1(a ∈R )．(1)若g (x )＝x －f (x )，讨论函数g (x )的单调性；(2)若t (x )＝12x 2＋x ，h (x )＝e x －1(其中e 是自然对数的底数)，且a ＝1，x ∈(0，＋∞)，求证：h (x )>t (x )>f (x )．6．已知函数f (x )＝kx －ln x －1(k >0)．(1)若函数f (x )有且只有一个零点，求实数k 的值； (2)证明：当n ∈N *时，1＋12＋13＋…＋1n >ln(n ＋1)．考点二 经典不等式的变形不等式的应用－1e x≥1e x ≥e xe 把1去掉ln(x ＋1)≤xx >x把x 换成1x≤ln x1x x－e x ≤11(1)x x -<【例题选讲】[例1] 证明下列不等式(1)e x －1≥x ；(2)ln(x ＋1)≤x ；(3)x 1＋x <ln(1＋x ) (x >0)；(4)e x －ln(x ＋2)>0．[例2] (1)已知函数f (x )＝1ln(x ＋1)－x，则y ＝f (x )的图象大致为( )(2)函数f (x )＝e x －1－12ax 2＋(a －1)x ＋a 2在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是( )A ．{1}B ．{－1，1}C ．{0，1}D ．{－1，0} [例3] 设函数f (x )＝ln x －x ＋1． (1)讨论f (x )的单调性；(2)证明：当x ∈(1，＋∞)时，1<x －1ln x <x ．[例4] 已知函数f (x )＝ln(1＋x )． (1)求证：当x ∈(0，＋∞)时，x1＋x<f (x )<x ； (2)已知e 为自然对数的底数，证明：∀n ∈N *，e<⎝⎛⎭⎫1＋1n 2⎝⎛⎭⎫1＋2n 2·…·⎝⎛⎭⎫1＋nn 2<e ．【对点训练】1．已知函数f (x )＝ln x ＋ax ，a ∈R ．(1)讨论函数f (x )的单调性； (2)当a >0时，证明：f (x )≥2a －1a ．2．已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝x －1． (1)求F (x )＝g (x )－f (x )的单调区间和最值；(2)证明：对大于1的任意自然数n ，都有12＋13＋14＋…＋1n ＜ln n ．。

【热点聚焦】从高考命题看，通过研究函数性质与最值证明一元不等式，是导数综合题常涉及的一类问题. 导数是研究函数的工具，利用导数我们可以方便地求出函数的单调性、极值、最值等，在证明与函数有关的不等式时，我们可以把不等式问题转化为函数的最值问题，也常构造函数，把不等式的证明问题转化为利用导数研究函数的单调性或最值问题【重点知识回眸】（一）证明方法的理论基础（1）若要证()f x C <(C 为常数）恒成立，则只需证明：()max f x C <，进而将不等式的证明转化为求函数的最值（2）已知()(),f x g x 的公共定义域为D ，若()()min max f x g x >，则()(),x D f x g x ∀∈> 证明：对任意的1x D ∈，有()()()()11min max ,f x f x g x g x ≥≤∴由不等式的传递性可得：()()()()11min max f x f x g x g x ≥>>，即()(),x D f x g x ∀∈>（二）证明一元不等式主要的方法1.方法一：将含x 的项或所有项均移至不等号的一侧，将一侧的解析式构造为函数，通过分析函数的单调性得到最值，从而进行证明. 例如：，可通过导数求出，由此可得到对于任意的，均有，即不等式.其优点在于目的明确，构造方法简单，但对于移项后较复杂的解析式则很难分析出单调性2.方法二：利用不等式性质对所证不等式进行等价变形，转化成为()()f x g x >的形式，若能证明()()min max f x g x >，即可得：()()f x g x >，本方法的优点在于对x 的项进行分割变形，可将较复杂的解析式拆成两个简单的解析式.但缺点是局限性较强，如果()min f x 与()max g x 不满足()()min max f x g x >，则无法证明()()f x g x >.（三）常见构造函数方法(1)直接转化为函数的最值问题：把证明f (x )＜g (a )转化为f (x )max ＜g (a ).(2)移项作差构造函数法：把不等式f (x )＞g (x )转化为f (x )－g (x )＞0，进而构造函数h (x )＝f (x )－g (x ).(3)构造双函数法：若直接构造函数求导，难以判断符号，导函数零点不易求得，即函数单调性与极值点都不易获得，可转化不等式为f (x )＞g (x )利用其最值求解.()ln 1f x x x =-+()()min 10f x f ==0x >()()min 0f x f x ≥=ln 1x x ≤-(4)换元法，构造函数证明双变量函数不等式：对于f (x 1，x 2)≥A 的不等式，可将函数式变为与x 1x 2或x 1·x 2有关的式子，然后令t ＝x 1x 2或t ＝x 1x 2，构造函数g (t )求解. (5)适当放缩构造函数法：一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论，如ln x ≤x －1，e x ≥1＋x ，当且仅当x ＝0时取等号，ln x ＜x ＜e x (x ＞0)，1xx +≤ln(x ＋1)≤x (x ＞－1). e x ≥e x ，当且仅当x ＝1时取等号；当x ≥0时，e x ≥1＋x ＋12x 2,当且仅当x ＝0时取等号；当x ≥0时，e x ≥2e x 2＋1, 当且仅当x ＝0时取等号； 1x x -≤ln x ≤x －1≤x 2－x ，当且仅当x ＝1时取等号；当x ≥1时，2(1)1x x -+≤ln x x，当且仅当x ＝1时取等号．(6)构造“形似”函数：对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数等．把不等式左、右两边转化为结构相同的式子，然后根据“相同结构”，构造函数.(7)赋值放缩法：函数中对与正整数有关的不等式，可对已知的函数不等式进行赋值放缩，然后通过多次求和达到证明的目的.【典型考题解析】热点一 直接将不等式转化为函数的最值问题【典例1】（2017·全国·高考真题（文））已知函数2()ln (21)f x x ax a x =+++. （1）讨论()f x 的单调性； （2）当0a <时，证明3()24f x a≤--. 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【分析】（1）先求函数导数(21)(1)'()(0)ax x f x x x++=>，再根据导函数符号的变化情况讨论单调性：当0a ≥时，'()0f x >，则()f x 在(0,)+∞单调递增；当0a <时，()f x 在1(0,)2a-单调递增，在1(,)2a-+∞单调递减. （2）证明3()24f x a≤--，即证max 3()24f x a ≤--，而max 1()()2f x f a =-，所以需证11ln()1022a a-++≤，设g （x ）=ln x -x +1 ，利用导数易得max ()(1)0g x g ==，即得证. 【详解】（1）()f x 的定义域为（0，+∞），()()‘1211)22(1x ax f x ax a x x++=+++=. 若a ≥0，则当x ∈（0，+∞）时，’)(0f x ＞，故f （x ）在（0，+∞）单调递增.若a ＜0，则当10,2x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '＞时；当x ∈1()2a ∞-+，时，’)(0f x <. 故f （x ）在’)(0f x ＞单调递增，在1()2a∞-+，单调递减. （2）由（1）知，当a ＜0时，f （x ）在12x a =-取得最大值，最大值为111()ln()1224f a a a-=---. 所以3()24f x a ≤--等价于113ln()12244a a a ---≤--，即11ln()1022a a-++≤. 设g （x ）=ln x -x +1，则’1(1)g x x=-. 当x ∈（0,1）时，'；当x ∈（1，+∞）时，'.所以g （x ）在（0,1）单调递增，在（1，+∞）单调递减.故当x =1时，g （x ）取得最大值，最大值为g （1）=0.所以当x ＞0时，g （x ）≤0.从而当a ＜0时，11ln()1022a a -++≤，即3()24f x a ≤--.【典例2】（2018年新课标I 卷文）已知函数()e 1x f x a lnx =--．（1）设2x =是()f x 的极值点．求a ，并求()f x 的单调区间； （2）证明：当1ea ≥时，()0f x ≥．【答案】(1) a =212e ；f （x ）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．(2)证明见解析. 【详解】分析：(1)先确定函数的定义域，对函数求导，利用f ′（2）=0，求得a =212e ，从而确定出函数的解析式，之后观察导函数的解析式，结合极值点的位置，从而得到函数的增区间和减区间；(2)结合指数函数的值域，可以确定当a ≥1e 时，f （x ）≥e ln 1exx --，之后构造新函数g （x ）=e ln 1exx --，利用导数研究函数的单调性，从而求得g （x ）≥g （1）=0，利用不等式的传递性，证得结果.详解：（1）f （x ）的定义域为()0+∞，，f ′（x ）=a e x –1x． 由题设知，f ′（2）=0，所以a =212e ． 从而f （x ）=21e ln 12e x x --，f ′（x ）=211e 2e x x-． 当0<x <2时，f ′（x ）<0；当x >2时，f ′（x ）>0．所以f （x ）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．（2）当a ≥1e 时，f （x ）≥e ln 1exx --．设g （x ）=e ln 1e x x --，则()e 1'e x g x x=-．当0<x <1时，g′（x ）<0；当x >1时，g′（x ）>0．所以x =1是g （x ）的最小值点． 故当x >0时，g （x ）≥g （1）=0． 因此，当1a e≥时，()0f x ≥．(1)若证f (x )＞g (a )或f (x )＜g (a )，只需证f (x )min ＞g (a )或f (x )max ＜g (a )． (2)若证f (a )＞M 或f (a )＜M (a ，M 是常数)，只需证f (x )min ＞M 或f (x )max ＜M . 热点二 移项作差构造函数证明不等式【典例3】（辽宁·高考真题（文））设函数f （x ）=x+a 2x +blnx ，曲线y=f （x ）过P （1,0），且在P 点处的切斜线率为2. （I ）求a ，b 的值； （II ）证明：f(x)≤2x -2．【答案】（I ）a ＝－1，b ＝3. （II ）见解析【详解】试题分析： (1)f ′(x)＝1＋2ax ＋b x .由已知条件得(1)0{(1)2f f '==即10{122a ab +=++= 解得a ＝－1，b ＝3. (2)f(x)的定义域为(0，＋∞)， 由(1)知f(x)＝x －x 2＋3lnx.设g(x)＝f(x)－(2x －2)＝2－x －x 2＋3lnx ，则 g′(x)＝－1－2x ＋3x＝－.当0<x<1时，g′(x)>0；当x>1时，g′(x)<0. 所以g(x)在(0,1)单调递增，在(1，＋∞)单调递减． 而g(1)＝0，故当x>0时，g(x)≤0，即f(x)≤2x －2.【典例4】（2022·青海·模拟预测（理））已知函数().(1)求()f x 的最小值；(2)若0x >，证明：()()2e 3f x x x ≥+-.【答案】(1)0； (2)证明见解析.【分析】（1）利用导数求出函数的单调区间即得解；（2）即证2e 1e 2x x x--≥-，设()()2e 10x x h x x x --=>，求出函数()h x 的最小值即得证.(1)解：由题意可得()e 1xf x '=-.由()0f x '>，得0x >；由()0f x '<，得0x <. 则()f x 在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增， 故()()min 00f x f ==. (2)证明：要证()()2e 3f x x x >+-，即证()2e 1e 3x x x x -->+-，即证2e 1e 2x x x--≥-.设()()2e 10x x h x x x --=>，则()()()21e 1x x x h x x---'=. 由（1）可知当0x >时，e 10x x -->.由()0h x '>，得1x >，由()0h x '<，得01x <<， 则()()1e 2h x h ≥=-，当且仅当1x =时，等号成立.即()()2e 3f x x x ≥+-.若证明f (x )＞g (x )，x ∈(a ，b )，可以构造函数h (x )＝f (x )－g (x )．如果能证明h (x )min ＞0，x ∈(a ，b )，即可证明f (x )＞g (x )，x ∈(a ，b )．使用此法证明不等式的前提是h (x )＝f (x )－g (x )易于用导数求最值．热点三 构造双函数证明不等式 【典例5】已知函数f (x )＝e x 2－x ln x . 证明：当x ＞0时，f (x )＜x e x ＋1e. 【答案】见解析 【解析】要证f (x )＜x e x ＋1e ，只需证e x －ln x ＜e x ＋1ex ，即e x －e x ＜ln x ＋1ex. 令h (x )＝ln x ＋1ex (x ＞0)，则h ′(x )＝21ex ex -，易知h (x )在（0，1e ）上单调递减，在（1e ，+∞）上单调递增，则h (x )min ＝h （1e ）＝0，所以ln x ＋1ex≥0. 令φ(x )＝e x －e x ，则φ′(x )＝e －e x ，易知φ(x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，则φ(x )max ＝φ(1)＝0，所以e x －e x ≤0. 因为h (x )与φ(x )不同时为0，所以e x －e x ＜ln x ＋1ex，故原不等式成立． 【典例6】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()e 1xf x x =--.(1)求()f x 的最小值；(2)证明：()22e ln 3f x x x x >+-.【答案】(1)0 (2)证明见解析【分析】（1）用导数法直接求解即可；（2）要证()22ln 3f x e x x x >+-，即证221ln 3x e x e x x x -->+-，即证221ln 2x e x e x x x-->-.构造函数()2ln 2e x g x x =-与()()210x e x h x x x--=>，这问题可转化为()()min max h x g x >，利用导数法即可求解【详解】(1)由题意可得()1xf x e '=-.由()0f x '>，得0x >；由()0f x '<，得0x <.()f x 在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，故()()min 00f x f ==. (2)证明：要证()22ln 3f x e x x x >+-，即证221ln 3x e x e x x x -->+-，即证221ln 2x e x e x x x-->-.设()2ln 2e xg x x =-，则()()221ln e x g x x-'=， 由()0g x '>，得0x e <<，由()0g x '<，得x e >， 则()()2g x g e e ≤=-，当且仅当x e =时，等号成立.设()()210x e x h x x x --=>，则()()()211xx e x h x x ---'=. 由（1）可知当0x >时，10x e x -->.由()0h x '>，得1x >，由()0h x '<，得01x <<， 则()()12h x h e ≥=-，当且仅当1x =时，等号成立.因为2ln 22e xe x-≤-与212x e x e x --≥-等号成立的条件不同，所以221ln 2x e x e x x x -->-，即()22ln 3f x e x x x >+-.(1)若证f (x )＜g (x )，只需证f (x )max ＜g (x )min ； (2)若证f (x )＞g (x )，只需证f (x )min ＞g (x )max . 热点四 适当放缩构造函数证明不等式【典例7】（2022·全国·模拟预测（文））已知函数()sin 2cos xf x x=+在区间()0,a 上单调．(1)求a 的最大值；(2)证明：当0x >时，()31e xf x +<．【答案】(1)23π (2)证明见解析【分析】（1）利用导数的符号求出函数的单调区间，通过单调区间可求得结果． （2）将问题转化为证明e 1()33x x f x -<<，再分别证明1x e x ->及()3x f x <成立即可．(1)由已知得，22cos (2cos )sin sin 2cos 1()(2cos )(2cos )x x x x x f x x x +++'==++， 要使函数()f x 在区间(0,)a 上单调，可知在区间(0,)a 上单调递增， 令()0f x '>，得2cos 10x +>，即1cos 2x >-，解得22(2,2)33x k k ππππ∈-++，（k Z ∈）， 当0k =时满足题意，此时，在区间2(0,)3π上是单调递增的，故a 的最在值为23π.(2)当0x >时，要证明()31e xf x +<，即证明e 1()3x f x -<，而1xe x ->，故需要证明e 1()33x x f x -<<. 先证：e 133x x -<，（0x >）记()e 1x F x x =--，()e 1x F x '=-，,()0x ∈+∞时，()0F x '>，所以()F x 在(0,)+∞上递增，∴()e 1x F x x =--(0)0F >=，故1xe x ->，即e 133x x -<. 再证：()3x f x <，（0x >） 令1()()3G x f x x =-，则sin 1(),2cos 3x G x x x =-+则()()()()222cos 12cos 1132cos 32cos x x G x x x '--+=-=++, 故对于0x ∀>，都有()0'<G x ，因而()G x 在(0，)∞+上递减， 对于0x ∀>，都有()(0)0G x G <=， 因此对于0x ∀>，都有()3xf x <. 所以e 1()33x x f x -<<成立，即e 1()3x f x -<成立，故原不等式成立.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键利用不等式1x e x ->放缩，从而使得问题得以顺利解决. 通过适当放缩可将较复杂的函数变为简单的函数，一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论，如ln x ≤x －1，e x ≥x ＋1，ln x ＜x ＜e x (x ＞0)，1xx +≤ln(x ＋1)≤x (x ＞－1)等. 热点五 利用二阶导数（两次求导）证明不等式【典例8】（2018·全国·高考真题（文））已知函数()21xax x f x e+-=． （1）求曲线()y f x =在点()0,1-处的切线方程； （2）证明：当1a ≥时，()0f x e +≥．【答案】（1）切线方程是210x y --=（2）证明见解析 【分析】（1）求导，由导数的几何意义求出切线方程．（2）当a 1≥时，()12f x e 1x x e x x e +-+≥++-（）,令12gx 1x e x x +=++-，只需证明gx 0≥即可．【详解】（1）()()2212xax a x f x e-++'-=，()02f '=．因此曲线()y f x =在点()0,1-处的切线方程是210x y --=．（2）当1a ≥时，()()211x xf x e x x e e +-+≥+-+．令()211x g x x x e +=+-+，则()121x g x x e +=++'，()120x g x e +''=+>当1x <-时，()()10g x g '-'<=，()g x 单调递减；当1x >-时，()()10g x g '-'>=，()g x 单调递增；所以()g x ()1=0g ≥-．因此()0f x e +≥．【典例9】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()ln 0f x ax x a =≠. (1)讨论函数()f x 的单调性；(2)当1a =时，证明：()e sin 1xf x x <+-.【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析【分析】（1）求导可得()()ln 1f x x '=+，再分0a >和0a <两种情况讨论即可；（2）当01x <≤根据函数的正负证明，当1x >时，转证ln sin 1e 0x x x x --+<，构造函数求导分析单调性与最值即可 (1)依题意知()0,x ∈+∞，()()ln ln 1f x a x a a x '=+=+， 令()0f x '=得1ex =，当0a >时，在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上()0f x '<，()f x 单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增；当0a <时，在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上()0f x '>，()f x 单调递增，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减.(2)依题意，要证ln e sin 1x x x x <+-，①当01x <≤时，ln 0x x ≤，1sin 0e x x -+>，故原不等式成立， ②当1x >时，要证：ln e sin 1x x x x <+-，即证：ln sin 1e 0x x x x --+<，令()()e ln sin 11x h x x x x x =--+>，则()e ln cos 1xh x x x '=--+，()e 1sin 0xh x x x''=-+<， ∴()h x '在()1,+∞单调递减，∴()()11e cos10h x h ''<=--<，∴()h x 在()1,+∞单调递减，∴()()11e sin10h x h <=--<，即ln sin 1e 0x x x x --+<，故原不等式成立.2()(42)4ln ()=-++∈g x mx m x x a R ．(1)当1m =时，求()g x 在点(1,(1))g 处的切线方程；(2)当0m =时，证明：()24e 8x g x x +<-（其中e 为自然对数的底数）． 【答案】(1)5y =-(2)证明见解析【分析】（1）求出函数的导函数，即可求切线的斜率，从而求出切线方程；（2）依题意只需证明e ln 2x x >+，令()e ln 2x h x x =--，(0)x >，利用导数说明函数的单调性，即可得到函数的最小值，再利用基本不等式计算可得； (1)解：当1m =时，2()64ln g x x x x =-+， 所以4()26g x x x=-+'，(1)0g '=，(1)5g =- 故()g x 在点(1,(1))g 处的切线方程是5y =-； (2)解：当0m =时，要证明()24e 8x g x x +<-， 只需证明e ln 2x x >+，令()e ln 2x h x x =--，(0)x >，则1()e x h x x '=-，令()1()e xu x h x x ='=-()21e 0x u x x'=+>，故()h x '在(0,)+∞上单调递增， 又(1)e 10h '=->，1e 202h ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，故存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x '=，即001e 0x x -=，当()00,x x ∈时，()0h x '<，即()h x 单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>，即()h x 单调递增， 故0x x =时，()h x 取得唯一的极小值，也是最小值，即()0000min 0011e ln 22220xh x x x x x x =--=+->⋅-=． 所以e ln 2x x >+，即()24e 8x g x x +<-． 两种做法，一是对函数直接两次求导，求导函数的最值；二是令导函数为一“新函数”，通过对其求导，进一步研究函数的最值． 热点六 构造“形似”函数证明不等式【典例11】（2022·河南·高三开学考试（理））设0.01a =，ln1.01b =，3log 0.01c =，则（ ）A ．a c b <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．c b a <<【答案】D【分析】构造()()()ln 10f x x x x =+-≥，并利用导数、对数的性质研究大小关系即可. 【详解】设函数()()()ln 10f x x x x =+-≥，则()01xf x x '=-≤+，所以()f x 为减函数，则()()0.0100f f <=，即ln1.010.01<，又0c b <<， 所以c b a <<． 故选：D【典例12】（2021·黑龙江·大庆实验中学高三开学考试（理））若08a <<且88a a =，032b <<且3232b b =，03c <<且33c c =，则（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．b a c << D ．a c b <<【答案】A【分析】构造函数()ln xf x x=，求导，根据函数的单调性比大小即可. 【详解】由88a a =，两边同时以e 为底取对数得ln ln 88a a =， 同理可得ln ln 3232b b =，ln ln 33c c =， 设()ln xf x x=，0x >，则()()8f a f =，()()32f b f =，()()3f c f =， ()21ln xf x x-'=，令()0f x '=，解得e x =， 当()0,e x ∈时，()0f x '>，函数()f x 单调递增， 当()e,x ∈+∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 则(),,0,e a b c ∈，且()()()3832f f f >>， 所以()()()f c f a f b >>， 故c a b >>， 故选：A. 根据条件构造“形似”函数，再判断此函数的单调性，最后根据函数的单调性证明不等式． 热点七 “放缩”“赋值”证明与数列有关的不等式【典例13】（2022·全国·高考真题）已知函数()e e ax x f x x =-． (1)当1a =时，讨论()f x 的单调性；(2)当0x >时，()1f x <-，求a 的取值范围； (3)设n *∈N 2221ln(1)1122n n n+>++++．【答案】(1)()f x 的减区间为(),0-∞，增区间为()0,+∞. (2)12a ≤(3)见解析【分析】（1）求出()f x '，讨论其符号后可得()f x 的单调性.（2）设()e e 1ax x h x x =-+，求出()h x ''，先讨论12a >时题设中的不等式不成立，再就102a <≤结合放缩法讨论()h x '符号，最后就0a ≤结合放缩法讨论()h x 的范围后可得参数的取值范围. （3）由（2）可得12ln t t t<-对任意的1t >恒成立，从而可得()21ln 1ln n n n n+-<+对任意的*n N ∈恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式.（1）当1a =时，()()1e x f x x =-，则()e xf x x '=，当0x <时，()0f x '<，当0x >时，()0f x '>，故()f x 的减区间为(),0∞-，增区间为()0,∞+.（2）设()e e 1ax x h x x =-+，则()00h =，又()()1e e ax x h x ax '=+-，设()()1e e ax xg x ax =+-，则()()22e e ax xg x a a x '=+-，若12a >，则()0210g a '=->，因为()g x '为连续不间断函数，故存在()00,x ∈+∞，使得()00,x x ∀∈，总有()0g x '>，故()g x 在()00,x 为增函数，故()()00g x g >=，故()h x 在()00,x 为增函数，故()()01h x h >=-，与题设矛盾.若102a <≤，则()()()ln 11e e ee ax ax ax xx h x ax ++'=+-=-，下证：对任意0x >，总有()ln 1x x +<成立，证明：设()()ln 1S x x x =+-，故()11011x S x x x-'=-=<++，故()S x 在()0,∞+上为减函数，故()()00S x S <=即()ln 1x x +<成立.由上述不等式有()ln 12e e e e e e 0ax ax x ax ax x ax x +++-<-=-≤，故()0h x '≤总成立，即()h x 在()0,∞+上为减函数，所以()()01h x h <=-.当0a ≤时，有()e e e 1100ax x ax h x ax '=-+<-+=， 所以()h x 在()0,∞+上为减函数，所以()()01h x h <=-.综上，12a ≤. （3）取12a =，则0x ∀>，总有12e e 10x x x -+<成立，令12e x t =，则21,e ,2ln x t t x t >==，故22ln 1t t t <-即12ln t t t<-对任意的1t >恒成立.所以对任意的*n N ∈，有112ln 1n n nn n n ++<-+，整理得到：()21ln 1ln n n n n +-<+，故()222111ln 2ln1ln 3ln 2ln 1ln 1122n n n n+++>-+-+++-+++()ln 1n =+，故不等式成立.【典例14】（2022·广东·高三开学考试）已知函数()ln 1f x x x =++，0x >．(1)当4k =时，比较()f x 与2的大小； (2)求证：2222ln(1)35721n n ++++<++，*n ∈N ． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析【分析】（1）当4k =时，求得()f x 导函数()f x '，再根据()12f =，分不同范围讨论即可. （2）由（1）中结论可知，当1x >时，4ln 21x x +>+，然后换元，即可得21ln 21n n n +<+， 结合对数运算从而可证得结论. （1）当4k =时，4()ln 1f x x x =++，,()0x ∈+∞， 所以2222214(1)4(1)()0(1)(1)(1)x x x f x x x x x x x +--'=-==≥+++，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，又因为4(1)ln1211f =+=+，所以当01x <<时，()2f x ，当1x =时，()2f x =，当1x >时，()2f x > （2）由（1）知，当1x >时，4ln 21x x +>+，即2(1)ln 1x x x ->+，令11x n =+，*n ∈N ，则有12ln 121n n ⎛⎫+> ⎪+⎝⎭，即21ln 21n n n +<+， 所以222223412341ln ln ln lnln ln(1)35721123123n n n n n n ++⎛⎫++++<++++=⨯⨯⨯⨯=+ ⎪+⎝⎭，即2222ln(1)35721n n ++++<++，*n ∈N ． 证明与数列有关的不等式的策略(1)证明此类问题时常根据已知的函数不等式，用关于正整数n 的不等式替代函数不等式中的自变量．通过多次求和达到证明的目的．此类问题一般至少有两问，已知的不等式常由第一问根据待证式的特征而得到．(2)已知函数式为指数不等式(或对数不等式)，而待证不等式为与对数有关的不等式(或与指数有关的不等式)，还要注意指、对数式的互化，如e x ＞x ＋1可化为ln(x ＋1)＜x 等．【精选精练】一、单选题1．（2022·广东·高三开学考试）设2ea =2b =24ln 4e c -=，则（ ） A ．a b c <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．b c a <<【答案】A【分析】构造函数ln ()xf x x=，求导得其单调性，再利用()f x 单调性，即可判断出,,a b c 的大小关系. 【详解】设ln ()xf x x=，,()0x ∈+∞， 因为21ln ()xf x x -'=，令()0f x '>，得0e x <<； 令()0f x '<，得e x >．所以()f x 在(0,e)上单调递增，在(e,)+∞上单调递减， 而1(e)2ea f ==，12ln 2ln 4ln 2(2)(4)24b f f =====， 22222e ln 4ln 42ln 2e 2e e e 222c f ⎛⎫--==== ⎪⎝⎭， 因为0e 2e <<<<2e 42<，所以a b c <<． 故选：A ．2．（2022·福建省福安市第一中学高三阶段练习）设2,,ln 2e ea b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．b a c <<C ．a c b <<D ．c a b <<【答案】D【分析】设ln ()(0)xf x x x =>，利用导数求得()f x 的单调性和最值，化简可得2e 2a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(e)b f =，(2)c f =，根据函数解析式，可得ln 4(4)(2)4f f ==且2e e 42<<，根据函数的单调性，分析比较，即可得答案. 【详解】设ln ()(0)xf x x x=>， 则221ln 1ln ()x xx x f x x x ⋅--'==， 当(0,e)x ∈时，()0f x '>，则()f x 为单调递增函数， 当(e,)x ∈+∞时，()0f x '<，则()f x 为单调递减函数，所以max 1()(e)ef x f ==，又222222e ln 4ln42(ln e e 2e e e 22ln 2)a f ⎛⎫-==-== ⎪⎝⎭，1(e)e b f ==，1ln 2ln 2(2)2c f ===， 又2ln 4ln 2ln 2(4)(2)442f f ====，2e e 42<<，且()f x 在(e,)+∞上单调递减，所以2e (2)(4)2f f f ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，所以b a c >>. 故选：D 3．（2021·山东·高三开学考试）已知定义在π02⎡⎫⎪⎢⎣⎭，上的函数()f x 的导函数为()'f x ，且(0)0f =，()cos ()sin 0f x x f x x '+<，则下列判断中正确的是（ ） A ．π6f ⎛⎫ ⎪⎝⎭6π4f ⎛⎫⎪⎝⎭B ．πln 3f ⎛⎫⎪⎝⎭>0C ．π6f ⎛⎫ ⎪⎝⎭π33⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．π4f ⎛⎫ ⎪⎝⎭π23⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】CD【分析】根据题干中的条件，构造出新函数：()()π,0,cos 2f x g x x x ⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭，利用新函数的单调性逐一检查每个选项是否正确. 【详解】令()()π,0,cos 2f x g x x x ⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭，则()()()2cos sin cos f x x f x x g x x +''=， 因为()()cos sin 0f x x f x x '+<，所以()()()2cos sin 0cos f x x f x xg x x+='<'在π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恒成立，因此函数()()cos f x g x x =在π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，故ππ64g g ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即ππ64ππcos cos 64f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>，即π6π624f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错； 又()00=f ，所以()()000cos0f g ==，所以()()0cos f x g x x=≤在π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恒成立，因为ππ0ln1lnln e 132=<<=<，所以πln 03f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，故B 错；又ππ63g g ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ππ63ππcos cos63f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>，即ππ363f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确； 又ππ43g g ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ππ43ππcos cos43f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>，即ππ243f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确. 故选：CD 4．（2023·全国·高三专题练习）已知a ，b 是实数，且e a b <<，其中e 是自然对数的底数，则b a 与a b 的大小关系是__． 【答案】b a a b >##a b b a < 【分析】构造函数()ln xf x x=，0x >，利用导数判断单调性，即得. 【详解】构造函数()ln x f x x =，0x >，则()21ln xf x x -'=， 当e x >时，()0f x '<，()f x 单调递减， ∵e a b <<， ∴ln ln a ba b>，即b ln a ＞a ln b ， 即ln ln b a a b >， 所以b a a b >． 故答案为：b a a b >． 5.（2023·全国·高三专题练习）设函数()e 1xf x a x =--，a R ∈．(1)当1a =时，求()f x 在点()()0,0f 处的切线方程； (2)当x ∈R 时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；(3)求证：当()0,x ∈+∞时，2e 1e xx x->． 【答案】(1)0y = (2)1a ≥ (3)证明见解析【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可. （2）首先将问题转化为1e x a x +≥恒成立，设()1e xx g x +=，再利用导数求出其最大值即可得到答案.（3）首先将问题转化为()0,x ∈+∞，2e e 10xx x -->，设()2=e e 1xx h x x --，利用导数求出()()00h x h >=，即可得到答案.(1)()e 1x f x x =--，()00e 010f =--=，即切线()0,0. ()e 1x f x '=-，()00e 10k f '==-=，则切线方程为：0y =.(2)x ∈R ，0e 1x a x --≥恒成立等价于x ∈R ，1e xa x +≥恒成立. 设()1e x x g x +=，()ex xg x -'=， (),0∈-∞x ，()0g x '>，()g x 为增函数， ()0,x ∈+∞，()0g x '<，()g x 为减函数，所以()()max 01g x g ==，即1a ≥. (3)()0,x ∈+∞，2e 1e xx x->等价于()0,x ∈+∞，2e e 10x x x -->.设()2=e e 1xx h x x --，()0,x ∈+∞，()221=e e 12x x h x x ⎛⎫'-- ⎪⎝⎭，设()21=e 12xk x x --，()0,x ∈+∞，()21=e 102xk x ⎛⎫'-> ⎪⎝⎭，所以()k x 在()0,+∞为增函数，即()()00k x k >=，所以()221=e e 102xx h x x ⎛⎫'--> ⎪⎝⎭，即()h x 在()0,+∞为增函数，即()()00h x h >=，即证：2e 1e xx x->. 6．（2022·全国·长垣市第一中学高三开学考试（理））已知函数(). (1)若函数()f x 在(),a +∞上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)证明：()21e x f x x -≥.【答案】(1)1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭(2)证明见解析【分析】（1）利用导数求得()f x 的单调区间，从而求得a 的取值范围.（2）将()21xf x x e -≥转化为11ln e x x x x-+≥，对不等式的两边分别构造函数，然后结合导数来证得不等式成立.（1）()f x 的定义域为()()0,,ln 1f x x ∞='++.令()0f x '=，可得1e x =.当10ex <<时，()()0,f x f x '<单调递减；当1e x >时，()()0,f x f x '>单调递增，所以()f x 的单调递增区间为1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.因为函数()f x 在(),a +∞上单调递增，所以()1,,e a ∞∞⎡⎫+⊆+⎪⎢⎣⎭.所以1e a ≥.故实数a 的取值范围为1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.（2）因为0x >，所以要证21ln 1e x x x x -+≥，只需证明11ln e x x x x-+≥成立.令()1ln g x x x =+，则()22111x g x x x x-'=-=.令()0g x '=，得1x =，当01x <<时，()()0,g x g x '<单调递减；当1x >时，()()0,g x g x '>单调递增，所以()min ()11g x g ==.令()1e xh x x -=，则()()11e x h x x -=-'，令()0h x '=，得1x =，当01x <<时，()()0,h x h x '>单调递增；当1x >时，()()0,h x h x '<单调递减，所以()max ()11h x h ==.因此()()g x h x ≥，即()21e xf x x -≥，当且仅当1x =时等号成立.(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)证明：当1a ≤ 时，e ()0x f x -> ． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析【分析】（1）求出函数的导数，分类讨论导数的正负，即可求得答案;（2）当1a ≤时，要证e ()0x f x ->,即证e ()x f x >，只需证明e ln 2x x >+ ；构造函数()e ln x h x x =﹣，利用其导数，只需证明min ()()h x h x ≥，即证明min ()2h x >即可.（1）函数()ln (1)1()f x x a x a a =+-++∈R ,定义域：0,+∞（）,11(1)()1a xf x a x x+-'==+- ，①当1a ≥ 时，()0()f x f x '>， 单调递增，②当1a <时，由()0f x '=，得x 11a=-，当x ∈(0，11a -）时，()0()f x f x '>，单调递增；当x ∈(11a -，+∞）时，()0()f x f x '<，单调递减；综上讨论得：①当1a ≥时，()f x 在0,+∞（）单调递增；②当1a <时， 当x ∈(0，11a-）时，()f x 单调递增；当x ∈(11a-，+∞）时，()f x 单调递减；（2）证明：当1a ≤时，要证e ()0x f x ->,即证e ()x f x >，只需证e ln 2x x >+ ； 令()e ln x h x x =﹣ ，则1()e x h x x '=- ，令()e 1x m x x =- ，则2e 0()1xx m x '+=>，∴()h x '在0,+∞（）单调递增，而1()e 20,(1)e 102h h ''=-<=->故方程1e 0xx -=有唯一解0x ，即000011e 0,e x x x x -=∴=，则0000e ,ln x x x x -=∴-=，且0(0,)x x ∈ 时，()0h x '<，()h x 在0(0,)x 单调递减；0(,)x x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 在0(,)x +∞单调递增；∴000001()()e ln 2x x h x x h x x ≥=-=+>，∴e ln 2x x >+，故当1a ≤ 时，e ()0x f x ->. 8．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测（文））已知函数ln 1xf x x ，()1,x ∈+∞， (1)判断函数()f x 的单调性； (2)证明：()211f x x <<+. 【答案】(1)在(1,)∞+上单调递减 (2)证明见解析【分析】（1）求出函数的导数，判断导数的正负，从而判断原函数的单调性； （2）将不等式()2()1,11,f x x x <<∈++∞等价转化为2(1)ln 11x x x x -<<-+，然后构造函数，利用导数判断函数的单调性，从而证明不等式. (1)因为ln ()1xf x x =-，()1,x ∈+∞，所以21ln ()1x xxf x x --'=-（）， 设1()ln x g x x x -=-，则22111()xg x x x x-=-='， 因为(1)x ∈+∞,，故()0g x '<，()g x 在区间(1)+∞,上单调递减， 故()(1)0g x g <=，即()0f x '<， 所以函数()f x 在区间(1)+∞,上单调递减. (2) 证明：()22(1)()11,ln 111,x f x x x x x x -<<⇔<++∞<∈-+； 设()()ln 1,1,p x x x x =-+∈+∞，1()10p x x'=-<，()p x 在区间(1)+∞,上单调递减，(1)x ∈+∞,，()(1)0p x p <=，即ln 1x x <-，即()1f x <；设2(1)()ln 1x q x x x -=-+，()1,x ∈+∞，22214(1)()0(1)(1)x q x x x x x -'=-=≥++，则()q x 在(1)+∞,上单调递增，(1)x ∈+∞,，()(1)0q x q >=，即2(1)ln 1x x x ->+，所以ln 2()11x f x x x =>-+. 综上，2()11f x x <<+. 【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性以及证明函数不等式的问题，解答时要明确导数与函数的单调性之间的关系，解答的关键是对不等式进行合理变形，从而构造函数，利用导数判断单调性，从而证明不等式.9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x a =-.(1)若函数f (x )的图象与直线y ＝x －1相切，求a 的值； (2)若a ≤2，证明f (x )>ln x . 【答案】(1)a ＝2 (2)证明见解析【分析】（1）求导函数，令f ′(x )＝1，得x ＝0，继而有f (0)＝－1，代入可求得答案； （2）由已知得f (x )＝e x －a ≥e x －2，令φ(x )＝e x －x －1，运用导函数分析所令函数的单调性得φ(x )≥0，可证得e x －2≥x －1，当且仅当x ＝0时等号成立，令h (x )＝ln x －x +1，运用导函数分析所令函数的单调性得()()10h x h ≤=，证得ln 1≤-x x ，当且仅当x ＝1时等号成立，从而有e x －2≥x －1≥ln x ，两等号不能同时成立，由此可得证. (1)解：f (x )＝e x －a ，∴f ′(x )＝e x ，令f ′(x )＝1，得x ＝0，而当x ＝0时，y ＝－1，即f (0)＝－1，所以()00e 1f a =-=-，解得a ＝2.(2)证明 ∵a ≤2，∴f (x )＝e x －a ≥e x －2，令φ(x )＝e x －x －1，则φ′(x )＝e x －1，令φ′(x )＝0⇒x ＝0， ∴当x ∈(0，＋∞)时，φ′(x )>0；当x ∈(－∞，0)时，φ′(x )<0， ∴φ(x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， ∴φ(x )min ＝φ(0)＝0，即φ(x )≥0，即e x ≥x ＋1， ∴e x －2≥x －1，当且仅当x ＝0时等号成立，令h (x )＝ln x －x +1，则()111xh x x x-'==－，令h ′(x )＝0⇒x ＝1，∴当x ∈(0，1)时，h ′(x )>0；当x ∈(1，+∞)时，h ′(x )<0， ∴h (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， ∴h(x )max ＝h (1)＝0，即()()10h x h ≤=，即ln 1≤-x x ， ∴ln 1≤-x x ，当且仅当x ＝1时等号成立，∴e x －2≥x －1≥ln x ，两等号不能同时成立， ∴e x －2>ln x ，即证f (x )>ln x .10．（2022·新疆·三模（理））已知函数()sin cos f x x ax x =-，a ∈R (1)若()f x 在0x =处的切线为y x =，求实数a 的值； (2)当13a ≥，[0,)x ∈+∞时，求证：()2.f x ax ≤【答案】(1)0a = (2)证明见解析【分析】（1）由导数的几何意义有()01f '=，求解即可； （2）将()2f x ax ≤变形成sin 02cos x ax x-≤+，故只需证sin ()02cos xg x ax x =-≤+，用导数法证明max ()0g x ≤即可 (1)∵()cos cos sin f x x a x ax x '=-+，∴(0)11f a '=-=，∴0a = (2)要证()2f x ax ≤，即证sin cos 2x ax x ax -≤，只需证sin (2cos )x ax x ≤+，因为2cos 0x +>，也就是要证sin 02cos xax x-≤+，令sin ()2cos xg x ax x=-+，22cos (2cos )sin (sin )2cos 1()(2cos )(2cos )x x x x x g x a a x x +--+'=-=-++∵13a ≥，∴2222cos 11(cos 1)()0(2cos )33(2cos )x x g x x x +--'≤-=≤++ ∴()g x 在[0,)+∞为减函数，∴()(0)0g x g ≤=， ∴sin cos 2x ax x ax -≤，得证(1)若()f x 有两个极值点，求实数a 的取值范围； (2)当0a =时，证明：2()f x x x>-. 【答案】(1)10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)证明见解析【分析】（1）根据函数有两个极值点转化为导函数等于0有两不相等的根，分离参数后，转化为分析ln 1()(0)x g x x x+=>大致图象，根据数形结合求解即可;（2）不等式可转化为2ln 20x x x x+-+>，构造函数，求导后得到函数极小值，转化为求极小值大于0即可.（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，()ln 21f x x ax '=-+，由题意()0f x '=在(0,)+∞上有两解，即ln 210x ax -+=，即ln 12x a x +=有两解.令ln 1()(0)x g x x x+=>，即()g x 的图象与直线2y a =有两个交点.2ln ()0xg x x'-==，得1x =，当(0,1)x ∈时，()0g x '>，()g x 递增；当(1,)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 递减，max ()(1)1g x g ∴==，10g e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0x →时，()g x →-∞；x →+∞时，()0g x →，021a ∴<<，102a ∴<<，∴a 的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. （2）当0a =时，()ln 2f x x x =+，即证2ln 2x x x x+>-，即证2ln 20x x x x+-+>，令2()ln 2(0)h x x x x x x =+-+>，22()ln h x x x ='-，令22()ln m x x x =-，则314()m x x x '=+，当0x >时，()0m x '>，()h x '∴在(0,)+∞递增.(1)20h =-<'，22(e)10e h '=->，∴存在唯一的0(1,e)x ∈，使得00202()ln 0h x x x '=-=，当00(0,)x x ∈时，()0h x '<，()h x 递减；当0(,)x x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 递增，min 0()()h x h x ∴=.又0(1,e)x ∈，0()0h x '=，0202ln 0x x ∴-=，000000000022244()ln 2222e 0e h x x x x x x x x x x ∴=+-+=+-+=-+>-+>，()0h x ∴>，2()f x x x∴>-. 12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x ax =-(e 为自然对数的底数，为常数)的图像在(0，1)处的切线斜率为1-. (1)求a 的值及函数()f x 的极值； (2)证明：当0x >时，2e x x <.【答案】(1)2a =，()f x 极小值22ln 2-，()f x 无极大值 (2)证明见解析【分析】（1）对函数()f x 求导得到()f x '，由导数的几何意义得到()01f '=-，解得a ，再利用导数研究其单调性和极值，即可得出；（2）令()2e x g x x =-，对其求导，结合（1）可得：()0g x '>，得到()g x 的单调性，即可证明. (1)由()e x f x ax =-，得()e xf x a '=-.由题意得，()00e 1f a '=-=-，即2a =，所以()e 2x f x x =-，()e 2xf x '=-.令()0f x '=，得ln 2x =，当ln 2x <时，()0f x '<，则()f x 在(),ln 2-∞上单调递减； 当ln 2x >时，()0f x '>，则()f x 在()ln 2,+∞上单调递增．所以当ln 2x =时，()f x 取得极小值，且极小值为()ln2ln 2e 2ln 222ln 2f =-=-，()f x 无极大值．(2)证明：令()2e x g x x =-，则()e 2xg x x '=-.由(1)知，()()()()ln 222ln 221ln 20g x f x f '=≥=-=->， 故()g x 在R 上单调递增．所以当0x >时，()()010g x g >=>， 即2e x x <.【点睛】本题考查不等式的恒成立问题，常用到以下两个结论： (1)()()f x g x ≥恒成立()()()0F x f x g x ⇔=-≥恒成立()min 0F x ⇔≥； (2)()()f x g x ≤恒成立()()()0F x f x g x ⇔=-≤恒成立()max 0F x ⇔≤. 13．（2023·全国·高三专题练习）已知()sin 2f x k x x =+． (1)当2k =时，判断函数()f x 零点的个数； (2)求证：()sin 2ln 1,(0,)2x x x x π-+>+∈.【答案】(1)1； (2)证明见解析.【分析】（1）把2k =代入，求导得函数()f x 的单调性，再由(0)0f =作答. （2）构造函数()2sin ln(1)g x x x x =--+，利用导数借助单调性证明作答. (1)当2k =时，()2sin 2f x x x =+，()2cos 20f x x '=+≥，当且仅当(21)π,Z x k k =-∈时取“=”， 所以()f x 在R 上单调递增，而(0)0f =，即0是()f x 的唯一零点， 所以函数()f x 零点的个数是1. (2)(0,)2x π∈，令()2sin ln(1)g x x x x =--+，则()12cos 1g x x x =-'-+，因1cos 1,11x x <<+，则()0g x '>，因此，函数()g x 在(0,)2π上单调递增，(0,)2x π∀∈，()(0)0g x g >=，所以当(0,)2x π∈时，()sin 2ln 1x x x -+>+成立.．（全国高三专题练习（文））已知函数()e e f x x =-． (1)当1a =时，讨论()f x 的单调性；(2)当0x >时，()1f x <-，求a 的取值范围； (3)设n *∈N 2221ln(1)1122n n n+>++++．【答案】(1)()f x 的减区间为(),0-∞，增区间为()0,+∞. (2)12a ≤(3)见解析【分析】（1）求出()f x '，讨论其符号后可得()f x 的单调性.（2）设()e e 1ax x h x x =-+，求出()h x ''，先讨论12a >时题设中的不等式不成立，再就102a <≤结合放缩法讨论()h x '符号，最后就0a ≤结合放缩法讨论()h x 的范围后可得参数的取值范围. （3）由（2）可得12ln t t t<-对任意的1t >恒成立，从而可得()21ln 1ln n n n n+-<+对任意的*n N ∈恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式.（1）当1a =时，()()1e x f x x =-，则()e xf x x '=，当0x <时，()0f x '<，当0x >时，()0f x '>，故()f x 的减区间为(),0∞-，增区间为()0,∞+.（2）设()e e 1ax x h x x =-+，则()00h =，又()()1e e ax x h x ax '=+-，设()()1e e ax xg x ax =+-，则()()22e e ax xg x a a x '=+-，若12a >，则()0210g a '=->，因为()g x '为连续不间断函数，故存在()00,x ∈+∞，使得()00,x x ∀∈，总有()0g x '>，故()g x 在()00,x 为增函数，故()()00g x g >=，故()h x 在()00,x 为增函数，故()()01h x h >=-，与题设矛盾.若102a <≤，则()()()ln 11e e ee ax ax ax xx h x ax ++'=+-=-，下证：对任意0x >，总有()ln 1x x +<成立，证明：设()()ln 1S x x x =+-，故()11011x S x x x-'=-=<++，故()S x 在()0,∞+上为减函数，故()()00S x S <=即()ln 1x x +<成立.由上述不等式有()ln 12e e e e e e 0ax ax x ax ax x ax x +++-<-=-≤，故()0h x '≤总成立，即()h x 在()0,∞+上为减函数，所以()()01h x h <=-.当0a ≤时，有()e e e 1100ax x ax h x ax '=-+<-+=， 所以()h x 在()0,∞+上为减函数，所以()()01h x h <=-.综上，12a ≤.。

专题10不等式基本性质1．设{}2560,A x x x x R =--=∈，{}260,B x mx x x R =-+=∈，且A B B ⋂=，则m 的取值范围为 . 【难度】★★【答案】1024m m >=或2．设集合{}{}2135,322,A x a x a B x x A B =+≤≤-=≤≤⊆恒成立，则实数a 的取值范围为 . 【难度】★★ 【答案】(,9]-∞3．设全集{}R y x y x U ∈=,|),(，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=--=,,,123|),(R y x x y y x A ，{}R y x x y y x B ∈+==,,1|),(，则UC AB =.热身练习【难度】★★ 【答案】(){}2,3⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩基本性质比较大小不等式基本性质不等式范围问题不等式综合1.不等式的性质(1)对称性：a >b ⇔b <a ； (2)传递性：a >b ，b >c ⇔a >c ；(3)可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ，a >b ，c >d ⇔a ＋c >b ＋d ；知识梳理模块一：(4)可乘性：a>b，c>0⇔ac>bc；a>b，c<0⇔ac<bc；a>b>0，c>d>0⇔ac>bd；(5)可乘方：a>b>0⇔a n>b n(n⇔N，n≥2)；(6)可开方：a>b>0⇔na>nb(n⇔N，n≥2);(7) a>b,ab>0⇔11a b<；a>b>0,0<c<d⇔a b c d>.【例1】判断下列命题的真假。

（1）若a>b，那么ac>2bc2。

（）（2）若ac>2bc2，那么a>b。

（）（3）若a>b，c>d，那么a-c>b-d。

七年级下册数学《第九章不等式与不等式组》专题不等式与不等式组的含参问题【例题1】若不等式（a﹣3）x＞2的解集是x＜2�−3，则a的取值范围是（）A．a≠3B．a＞3C．a＜3D．a≤3【分析】根据不等式的性质可得a﹣3＜0，由此求出a的取值范围．2�−3，【解答】解：∵（a﹣3）x＞2的解集为x＜∴不等式两边同时除以（a﹣3）时不等号的方向改变，∴a﹣3＜0，∴a＜3．故选：C．【点评】本题考查了不等式的性质：在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．本题解不等号时方向改变，所以a﹣3小于0．【变式1-1】关于x的不等式（a﹣1）x＞b的解集是x＞��−1，则a的取值范围是（）A．a＜0B．a＞0C．a＜1D．a＞1【分析】直接利用不等式的性质，得出a﹣1＞0，进而得出答案．【解答】解：∵不等式（a﹣1）x＞b的解集是x＞��−1，∴a﹣1＞0，解得：a＞1．故选：D．【点评】此题主要考查了不等式的解集，正确得出a﹣1的符号是解题关键．【变式1-2】（2022•南京模拟）如果关于x的不等式（m﹣2）x＞3解集为�＜3�−2，则m的取值范围是（）A．m≤2B．m≥2C．m＜2D．m＞2【分析】利用不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．可得m﹣2＜0，然后进行计算即可解答．【解答】解：∵关于x的不等式（m﹣2）x＞3解集为�＜3�−2，∴m﹣2＜0，解得：m＜2，故选：C．【点评】本题考查了不等式的基本性质，一元一次不等式的解法，掌握“不等式的基本性质”是解本题的关键．【变式1-3】（2022春•南山区期末）关于x的不等式（m+2）x＞（m+2）的解集为x＜1，那么m的取值范围是（）A．m＞0B．m＜0C．m＞﹣2D．m＜﹣2【分析】根据不等式（m+2）x＞（m+2）的解集为x＜1，知m+2＜0，解之即可．【解答】解：∵关于x的不等式（m+2）x＞（m+2）的解集为x＜1，∴m+2＜0，解得m＜﹣2，故选：D．【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．【变式1-4】（2022春•锦江区校级期中）若关于x的不等式（m﹣1）x＜2的解集是x＞2�−1，则m的取值范围是（）A．m＞1B．m＜1C．m≠1D．m≤1【分析】根据不等式的性质得m﹣1＜0，然后解关于m的不等式即可．【解答】解：∵关于x的不等式（m﹣1）x＜2的解集里x＞2�−1，∴m﹣1＜0，∴m＜1．故选：B．【点评】本题考查了解一元一次不等式：根据不等式的性质解一元一次不等式．基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．【变式1-5】（2022•南京模拟）若（a+3）x＞a+3的解集为x＜1，则a必须满足（）A．a＜0B．a＞﹣3C．a＜﹣3D．a＞3【分析】根据已知解集，利用不等式的基本性质判断即可．【解答】解：∵（a+3）x＞a+3的解集为x＜1，∴a+3＜0，解得：a＜﹣3．故选：C．【点评】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．【变式1-6】（2023春•新城区校级月考）当m时，不等式（m+3）x≥2的解集是�≤2�+3．【分析】根据不等式的性质3（不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向要改变）得出m+3＜0，求出即可．【解答】解：∵不等式（m+3）x≥2的解集是x≤2�+3，∴m+3＜0，∴m ＜﹣3，故答案为：＜﹣3．【点评】本题考查的是解一元一次不等式，熟知不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向要改变是解题的关键．【例题2】（2022秋•常德期末）关于x 的不等式组�＞�−1�＞�+2的解集是x ＞﹣1，则m＝．【分析】根据同大取大，可得出关于m 的方程，求出m 的值即可．【解答】解：由�＞�−1�＞�+2的解集是x ＞﹣1，得∵m +2＞m ﹣1，∴m +2＝﹣1，解得m ＝﹣3，故答案为：﹣3．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，利用同大取大是解题关键．【变式2-1】（2023春•北碚区校级月考）关于x 的一元一次不等式13(��−1)＞2−�的解集为x ＜﹣4，则m 的值是．【分析】先用含有m 的式子把原不等式的解集表示出来，然后和已知解集进行比对得出关于m 的方程，解之可得m 的值．【解答】解：13(��−1)＞2−�13��−13＞2−�，13��＞73−�，mx ＞7﹣3m ，∵不等式13(��−1)＞2−�的解集为x ＜﹣4，∴�＜0，�＜7−3��，∴7−3��=−4，∴7﹣3m ＝﹣4m ，∴m ＝﹣7，故答案为：﹣7．【点评】本题主要考查解一元一次不等式，当题中有两个未知字母时，应把关于某个字母的不等式中的字母当成未知数，求得解集，再根据解集进行判断，求得另一个字母的值．【变式2-2】（2022春•顺德区校级期中）关于x 的一元一次不等式�−2�3≤−2的解集为x ≥4，则m 的值为（）A ．14B ．7C ．﹣2D ．2【分析】先用含有m 的式子把原不等式的解集表示出来，然后和已知解集进行比对得出关于m 的方程，解之可得m 的值．【解答】解：解不等式�−2�3≤−2得：x ≥�+62，∵不等式的解集为x ≥4，∴�+62=4，解得m ＝2，故选：D ．【点评】本题主要考查解一元一次不等式，当题中有两个未知字母时，应把关于某个字母的不等式中的字母当成未知数，求得解集，再根据解集进行判断，求得另一个字母的值．【变式2-3】如图，是关于x 的不等式2x ﹣a ≤﹣1的解集，则a 的值为（）A ．a ＝﹣2B ．a ＝﹣1C ．a ≤﹣2D ．a ≤﹣1【分析】解不等式得出x ≤�−12，结合数轴知x ≤﹣1，据此可得关于a 的方程，解之可得答案．【解答】解：由数轴上表示不等式解集的方法可知，此不等式的解集为x ≤﹣1，解不等式2x ﹣a ≤﹣1得，x ≤�−12，即�−12=−1，解得a ＝﹣1．故选：B ．【点评】本题主要考查解一元一次不等式，当题中有两个未知字母时，应把关于某个字母的不等式中的字母当成未知数，求得解集，再根据解集进行判断，求得另一个字母的值．【变式2-4】（2022春•西峡县期中）若关于x 的不等式2�+9＞6�+1�−�＜1的解集为x ＜2，则a 取值范围是．【分析】求出每个不等式的解集，根据已知得出关于k 的不等式，求出不等式的解集即可．【解答】解：解不等式组2�+9＞6�+1①�−�＜1②，得�＜2�＜�+1．∵不等式组2�+9＞6�+1①�−�＜1②的解集为x＜2，∴a+1≥2，解得a≥1．故答案为：a≥1．【点评】本题考查了解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集和已知得出关于k的不等式，难度适中．【变式2-5】（2023•永定区一模）不等式组3�−9＞0�＞�的解集为x＞3，则m的取值范围为．【分析】先求出不等式组的解集，再根据已知条件判断m范围即可．【解答】解：3�−9＞0①�＞�②，解不等式①得：x＞3，又因为不等式组的解集为：x＞3，x＞m，∴m≤3．故答案为：m≤3．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集和已知得出m的范围是解此题的关键．【变式2-6】（2022春•武汉期末）若不等式�+16−2�−54≥1的解都能使不等式4x＜2x+a+1成立，则实数a的取值范围是（）A．a≥1.5B．a＞1.5C．a＜7D．1.5＜a＜7【分析】解不等式�+16−2�−54≥1得x≤54，解不等式4x＜2x+a+1得x＜�+12，根据题意得到关于a 的不等式，再解关于a 的不等式即可得出答案．【解答】解：解不等式�+16−2�−54≥1得x ≤54，解不等式4x ＜2x +a +1得x ＜�+12，∵不等式�+16−2�−54≥1的解都能使不等式4x ＜2x +a +1成立，∴�+12＞54，∴a ＞1.5，故选：B ．【点评】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤和依据及不等式的基本性质．【变式2-7】（2022春•南关区校级期中）关于x 的不等式组3�−6＞0�−�＞−2的解集是2＜x＜5，则a 的值为．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集可得关于a 的方程，解之即可．【解答】解：由3x ﹣6＞0得：x ＞2，由a ﹣x ＞﹣2得：x ＜a +2，∵不等式组的解集为2＜x ＜5，∴a +2＝5，解得a ＝3，故答案为：3．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．【变式2-8】（2022秋•西湖区期中）已知关于x 的不等式组�−1≥�2�−�＜3的解集为3≤x ＜5，则a +b ＝．【分析】先求出不等式组的解集，根据已知不等式组的解集是3≤x ＜5得出a +1＝3，3+�2=5，求出a 、b ，再求出a +b 即可．【解答】解：�−1≥�①2�−�＜3②，解不等式①，得x ≥a +1，解不等式②，得x ＜3+�2，所以不等式组的解集是a +1≤x ＜3+�2，∵关于x 的不等式组�−1≥�2�−�＜3的解集为3≤x ＜5，∴a +1＝3，3+�2=5，∴a ＝2，b ＝7，∴a +b ＝2+7＝9，故答案为：9．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式组的解集得出a +1＝3和3+�2=5是解此题的关键．【变式2-9】若不等式组：�−�＞2�−2�＞0的解集是﹣1＜x ＜1，则（a +b ）2022＝（）A ．﹣1B ．0C ．1D ．2023【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集得出a 、b 的值，再代入计算即可．【解答】解：由x ﹣a ＞2，得x ＞a +2，由b ﹣2x ＞0，得x ＜�2，∵不等式组的解集为﹣1＜x ＜1，∴a +2＝﹣1，�2=1，解得a ＝﹣3，b ＝2，∴（a +b ）2022＝（﹣3+2）2022＝（﹣1）2022＝1，故选：C ．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．【例题3】（2022秋•零陵区期末）若关于x 的不等式组2�−6+�＜04�−�＞0有解，则m 的取值范围是（）A ．m ≤4B ．m ＜4C ．m ≥4D ．m ＞4【分析】先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据不等式组有解得出3−12m ＜�4，再求出不等式的解集即可．【解答】解：2�−6+�＜0①4�−�＞0②，解不等式①，得x ＜3−12m ，解不等式②，得x ＞�4，∵关于x 的不等式组2�−6+�＜04�−�＞0有解，∴3−12m ＞�4，解得：m ＜4，故选：B ．【点评】本题考查了解一元一次不等式组和解一元一次不等式，能得出关于m 的不等式是解此题的关键．【变式3-1】（2022春•漳州期末）若不等式组�−4＜0�≥�有解，则m 的值可以是（）A ．3B ．4C ．5D ．6【分析】先求出不等式①的解集，再根据不等式组有解得出m ＜4，再逐个判断即可．【解答】解：�−4＜0①�≥�②，解不等式①，得x ＜4，∵不等式组�−4＜0�≥�有解，∴m ＜4，A ．∵3＜4，∴m 能为3，故本选项符合题意；B ．∵4＝4，∴m不能为4，故本选项不符合题意；C．∵5＞4，∴m不能为5，故本选项不符合题意；D．∵6＞4，∴m不能为6，故本选项不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式组有解得出m的取值范围是解此题的关键．【变式3-2】（2023春•中原区校级期中）若关于x的不等式组�＜4�−�+8＜0有解，则m的取值范围为．【分析】先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据不等式组有解得出4m≥8，再求出不等式的解集即可．【解答】解：解不等式﹣x+8＜0，得x＞8，∵关于x的不等式组�＜4�−�+8＜0有解，∴4m＞8，解得：m＞2，故答案为：m＞2．【点评】本题考查了解一元一次不等式组和解一元一次不等式，能得出关于m的不等式是解此题的关键．【变式3-3】（2023春•莘县期中）已知关于x的不等式组�−�≥05−2�＞1无解，则实数a的取值范围是．【分析】首先解每个等式，然后根据不等式组无解即可确定关于a的不等式，从而求解．【解答】解：�−�≥0⋯①5−2�＞1⋯②，解①得x≥a，解②得x＜2．根据题意得：a≥2．故答案是：a≥2．【点评】本题考查了一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．【变式3-4】（2022春•兖州区期末）若不等式组�＜�+1�＞2�−1无解，则m的取值范围是（）A．m＜2B．m≤2C．m≥2D．无法确定【分析】根据不等式组无解得出不等式2m﹣1≥m+1，再求出不等式的解集即可．【解答】解：∵不等式组�＜�+1�＞2�−1无解，∴2m﹣1≥m+1，解得：m≥2，故选：C．【点评】本题考查了解一元一次不等式组和解一元一次不等式，能得出关于m的不等式是解此题的关键．【变式3-5】（2022春•都江堰市校级期中）若关于x的一元一次不等式组2�−�＞02�−1+3�2＜1无解，则a的取值范围．【分析】先求出每个不等式的解集，再根据不等式组无解得出关于a的不等式，再求出不等式的解集即可．【解答】解：2�−�＞0①2�−1+3�2＜1②，解不等式①，得x＞�2，解不等式②，得x＜3，∵关于x的一元一次不等式组2�−�＞02�−1+3�2＜1无解，∴�2≥3，解得：a≥6，故答案为：a≥6．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能得出关于a的不等式�2≥3是解此题的关键．【变式3-6】（2022春•齐河县期末）关于x的方程k﹣2x＝3（k﹣2）的解为非负数，且关于x的不等式组�−2(�−1)≤32�+�3≥�有解，则符合条件的整数k的值的和为（）A．4B．5C．2D．3【分析】求出每个不等式的解集，根据不等式组有解得出k≥﹣1，解方程得出x＝﹣k+3，由方程的解为非负数知﹣k+3≥0，据此得k≤3，从而知﹣1≤k≤3，继而可得答案．【解答】解：解不等式x﹣2（x﹣1）≤3，得：x≥﹣1，解不等式2�+�3≥x，得：x≤k，∵不等式组有解，∴k ≥﹣1，解方程k ﹣2x ＝3（k ﹣2），得：x ＝﹣k +3，∵方程的解为非负数，∴﹣k +3≥0，解得k ≤3，则﹣1≤k ≤3，∴符合条件的整数k 的值的和为﹣1+0+1+2+3＝5，故选：B ．【点评】本题考查的是解一元一次方程和一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集和一元一次方程的解是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．【变式3-7】（2022春•大渡口区校级期中）关于x 的方程3（k ﹣2﹣x ）＝3﹣5x 的解为非负数，且关于x 的不等式组�−2(�−1)≥32�+�3≤�无解，则符合条件的整数k 的值的和为（）A ．5B ．2C ．4D ．6【分析】先解出方程的解和不等式组的解集，再根据题意即可确定k 的取值范围，从而可以得到符合条件的整数，然后相加即可．【解答】解：由方程3（k ﹣2﹣x ）＝3﹣5x ，得x =9−3�2，∵关于x 的方程3（k ﹣2﹣x ）＝3﹣5x 的解为非负数，∴9−3�2≥0，得k ≤3，�−2(�−1)≥3①2�+�3≤�②，由不等式①，得：x ≤﹣1，由不等式②，得：x ≥k ，∵关于x 的不等式组�−2(�−1)≥32�+�3≤�无解，∴k ＞﹣1，由上可得，k 的取值范围是﹣1＜k ≤3，∴k 的整数值为0，1，2，3，∴符合条件的整数k 的值的和为：0+1+2+3＝6，故选：D ．【点评】本题考查解一元一次方程、解一元一次不等式组，解答本题的关键是求出k 的取值范围．【变式3-8】（2022秋•北碚区校级期末）若整数a 使关于x 的方程4�+12=4−�−2�2的解为非负数，且使关于y 的不等式组2�−13＜−1+�32�−�4≥0的解集为y ＜﹣2，则符合条件的所有整数a 的和为（）A ．20B ．21C ．27D ．28【分析】先求出方程的解，根据方程的解为非负数得出7−�2≥0，求出a ≤7，求出不等式组中每个不等式的解集，根据不等式组的解集为y ≤﹣2得出﹣2≤2a ，求出a ≥﹣1，得出﹣1≤a ≤7，求出整数a ，再求出和即可．【解答】解：解方程4�+12=4−�−2�2得：x =7−�2，∵整数a 使关于x 的方程4�+12=4−�−2�2的解为非负数，∴7−�2≥0，解得：a ≤7，2�−13＜−1+�3①2�−�4≥0②，解不等式①，得y ＜﹣2，解不等式②，得y ≤2a ，∵不等式组2�−13＜−1+�32�−�4≥0的解集为y ＜−2，∴﹣2≤2a ，∴a ≥﹣1，即﹣1≤a ≤7，∵a 为整数，∴a 为﹣1，0，1，2，3，4，5，6，7，和为﹣1+0+1+2+3+4+5+6+7＝27，故选：C ．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组等知识点，能求出a 的取值范围是解此题的关键．【例题4】（2022秋•余姚市校级期末）已知关于x 的不等式3x ﹣a ≥1只有两个负整数解，则a 的取值范围是（）A ．﹣10＜a ＜﹣7B ．﹣10＜a ≤﹣7C ．﹣10≤a ≤﹣7D ．﹣10≤a ＜﹣7【分析】先解不等式得出�≥�+13，根据不等式只有2个负整数解知其负整数解为﹣1和﹣2，据此得出−3＜�+13≤−2，解之可得答案．【解答】解：∵3x ﹣a ≥1，∴�≥�+13，∵不等式只有2个负整数解，∴不等式的负整数解为﹣1和﹣2，则−3＜�+13≤−2，解得：﹣10＜a ≤﹣7．故选：B ．【点评】本题主要考查一元一次不等式的整数解，解题的关键是熟练掌握解不等式的基本步骤和依据，并根据不等式的整数解的情况得出某一字母的不等式组．【变式4-2】（2023•大庆一模）若关于x 的不等式3x ﹣2m ＜x ﹣m 只有3个正整数解，则m 的取值范围是．【分析】首先解关于x 的不等式，然后根据x 只有3个正整数解，来确定关于m 的不等式组的取值范围，再进行求解即可．【解答】解：由3x ﹣2m ＜x ﹣m 得：�＜�2，关于x不等式3x﹣2m＜x﹣m只有3个正整数解，∴3≤�2＜4，∴6≤m＜8，故答案为：6≤m＜8．【点评】本题考查了解不等式及不等式的整数解，熟练掌握解不等式的步骤是解题的关键．【变式4-3】（2022秋•海曙区期末）若关于x的不等式2﹣m﹣x＞0的正整数解共有3个，则m的取值范围是（）A．﹣1≤m＜0B．﹣1＜m≤0C．﹣2≤m＜﹣1D．﹣2＜m≤﹣1【分析】首先解关于x的不等式，求得不等式的解集，然后根据不等式只有3个正整数解，即可得到一个关于m的不等式组求得m的范围．【解答】解：解不等式2﹣m﹣x＞0得：x＜2﹣m，根据题意得：3＜2﹣m≤4，解得：﹣2≤m＜﹣1．故选：C．【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，此题比较简单，根据x的取值范围正确确定2﹣m的范围是解题的关键．在解不等式时要根据不等式的基本性质．【变式4-4】（2022•贵阳模拟）若关于x的不等式3x﹣m≤0的正整数解是1，2，3，则m的取值范围是（）A．m≥9B．9＜m＜12C．m＜12D．9≤m＜12【分析】解关于x的不等式求得x≤�3，根据不等式的正整数解的情况列出关于m的不等式组，解之可得．【解答】解：移项，得：3x≤m，系数化为1，得：x≤�3，∵不等式的正整数解为1，2，3，∴3≤�3＜4，解得：9≤m＜12，故选：D．【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．【变式4-5】（2023春•涡阳县期中）关于x5)＜3�−8的解集中仅有﹣1和0两个整数解，且10a＝2m+5，则m的取值范围是（）A．﹣2.5＜m≤2.5B．﹣2.5≤m≤2.5C．0＜m≤2.5D．2＜m≤2.5【分析】先根据不等式组的解集中仅有﹣1和0两个整数解，求出a的取值范围，再根据10a＝2m+5，得m的取值范围即可．【解答】解：解不等式组得�＜��＞−2，∵不等式组解集中仅有﹣1和0两个整数解，∴0＜a≤1，∵10a＝2m+5，∴m＝5a﹣2.5，∵﹣2.5＜5a﹣2.5≤2.5，∴m的范围是﹣2.5＜m≤2.5．故选：A ．【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．【变式4-6】（2022秋•巴南区校级期中）若关于x≥2�4(�+1)有解，且最多有3个整数解，且关于y 的方程3y ﹣2=2�−3(8−�)2的解为非负整数，则符合条件的所有整数m 的和为（）A ．23B ．26C ．29D ．39【分析】先解一元一次不等式组，根据题意可得2≤3�10＜5，再解一元一次方程，根据题意可得2�−203≥0且2�−20310≤m ＜503且2�−203为整数，然后进行计算即可解答．≥2�①4(�+1)②，解不等式①得：x ≤3�10，解不等式②得：x ≥32，∵不等式组有解且至多有3个整数解，∴2≤3�10＜5，∴203≤m ＜503，3y ﹣2=2�−3(8−�)2，解得：y =2�−203，∵方程的解为非负整数，∴2�−203≥0且2�−203为整数，∴m ≥10且2�−203为整数，综上所述：10≤m ＜503且2�−203为整数，∴m ＝10，13，16，∴满足条件的所有整数m 的和，10+13+16＝39，故选：D ．【点评】本题考查了一元一次方程的解，一元一次不等式组的整数解，准确熟练地进行计算是解题的关键．【变式4-7】（2022春•兴文县期中）已知关于x 的不等式组2�+4＞03�−�＜6．（1）当k 为何值时，该不等式组的解集为﹣2＜x ＜2？（2）若该不等式组只有4个正整数解，求k 的取值范围．【分析】（1）解不等式组得到其解集，结合已知的解集明确6+�3=2，即可求出k 的值；（2）根据（1）的结论和不等式组只有四个正整数解，可得关于k 的不等式组，再解不等式组即可．【解答】解：（1）不等式组2�+4＞03�−�＜6，解不等式2x +4＞0得：x ＞﹣2，解不等式3x ﹣k ＜6得：�＜6+�3，∴该不等式组的解集为−2＜�＜6+�3．∵﹣2＜x ＜2，∴6+�3=2，∴k ＝0，即k ＝0时，该不等式组的解集为﹣2＜x ＜2．（2）由（1）知，不等式组2�+4＞03�−�＜6的解集为−2＜�＜6+�3，∵该不等式组只有4个正整数解，∴x ＝1，2，3，4，∴4＜6+�3≤5，∴6＜k ≤9．【点评】本题考查解一元一次不等式组，属于常考题型，第2问有一定难度，根据原不等式组解集的情况得出关于k 的不等式组是解题的关键．【变式4-8】（2022春•淮北月考）已知关于x 的不等式组�＞−1�≤1−�（1）当k ＝﹣2时，求不等式组的解集；（2）若不等式组的解集是﹣1＜x ≤4，求k 的值；（3）若不等式组有三个整数解，则k 的取值范围是．【分析】（1）将k ＝﹣2代入不等式组，然后利用“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则确定不等式组的解集；（2）利用“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则确定k 的取值范围；（3）根据不等式组中x ＞﹣1确定不等式组的整数解，然后利用“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则确定k 的取值范围．【解答】解：（1）当k ＝﹣2时，1﹣k ＝1﹣（﹣2）＝3，∴原不等式组解得：x＞−1x≤3，∴不等式组的解集为：﹣1＜x≤3；（2）当不等式组的解集是﹣1＜x≤4时，1﹣k＝4，解得k＝﹣3；（3）由x＞﹣1，当不等式组有三个整数解时，则不等式组的整数解为0、1、2，又∵x≤2且x≤1﹣k，∴2≤1﹣k＜3，1≤﹣k＜2，解得﹣2＜k≤﹣1．故答案为：﹣2＜k≤﹣1．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．【变式4-9】（2022•南京模拟）已知关于x的不等式组5�+1＞3(�−1)12�≤8−32�+2�恰有三个整数解．（1）求a的取值范围．（2）化简|a+3|﹣2|a+2|．【分析】（1）先求出每个不等式的解集，然后求出不等式组的解集，再根据不等式组恰好有三个整数解进行求解即可；（2）根据（1）所求可得a+3≥0，a+2＜0，由此化简绝对值即可．【解答】解：（1）5�+1＞3(�−1)①12�≤8−32�+2�②，解不等式①得：x ＞﹣2，解不等式②得：x ≤4+a ，∴不等式组的解集为﹣2＜x ≤4+a ，∵不等式组前有三个整数解，∴1≤4+a ＜2，∴﹣3≤a ＜﹣2；（2）∵﹣3≤a ＜﹣2，∴a +3≥0，a +2＜0，∴|a +3|﹣2|a +2|＝a +3+2（a +2）＝a +3+2a +4＝3a +7．【点评】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，化简绝对值，正确求出不等式组的解集是解题的关键．【例题5】（2022秋•西湖区校级期中）关于x 的方程组�−�=�−2�+2�=2�+1的解满足2x +y＞2，则m 的取值范围是．【分析】两方程相加得到2x +y ＝3m ﹣1，结合2x +y ＞2列出关于m 的不等式，解之可得【解答】解：�−�=�−2①�+2�=2�+1②，①+②得：2x +y ＝3m ﹣1，∵2x+y＞2，∴3m﹣1＞2，∴m＞1，故答案为：m＞1．【点评】本题主要考查解二元一次方程组，考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键．【变5-1】（2022春•长泰县期中）已知方程组2�+�=3+��+2�=1−�的解满足x﹣y＜0，则（）A．m＞﹣1B．m＞1C．m＜﹣1D．m＜1【分析】方程组两方程相减表示出x﹣y，代入已知不等式求出m的范围即可．【解答】解：2�+�=3+�①�+2�=1−�②，①﹣②得：x﹣y＝2m+2，代入x﹣y＜0得：2m+2＜0，解得：m＜﹣1．故选：C．【点评】此题考查了解一元一次不等式，以及二元一次方程组的解，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．【变5-2】（2022春•建邺区校级期末）若方程组2�+�=3+��+2�=−1−�的解满足x＜y，则a 的取值范围是（）A．a＜﹣2B．a＜2C．a＞﹣2D．a＞2【分析】将方程组中两方程相减，表示出x﹣y，代入x﹣y＜0中，即可求出a的范围．【解答】解：2�+�=3+�①�+2�=−1−�②，①﹣②得：x ﹣y ＝4+2a ，∵x ＜y ，∴x ﹣y ＜0，∴4+2a ＜0，∴a ＜﹣2．故选：A ．【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及解一元一次不等式，表示出x ﹣y 是解本题的关键．【变5-3】（2022春•偃师市校级期中）已知不等式4−5�2−1＜6的负整数解是方程2x ﹣3＝ax 的解．求关于x 的一元一次不等式组7(�−�)−3�＞−1115�+2＜�的解集及其所有整数解的和．【分析】先求出不等式4−5�2−1＜6的负整数解，再解方程求出a 的值，代入不等式组，求出不等式组的解集即可得答案．【解答】解：∵4−5�2−1＜6，4﹣5x ﹣2＜12，﹣5x ＜10，x ＞﹣2，∴不等式的负整数解是﹣1，把x ＝﹣1代入2x ﹣3＝ax 得：﹣2﹣3＝﹣a ，解得：a ＝5，把a＝5代入不等式组得7(�−5)−3�＞−11 15�+2＜5，解不等式组得：6＜x＜15．∴所有整数解的和7+8+9+10+11+12+13+14＝84．【点评】本题考查了解一元一次不等式及整数解，解一元一次方程，解不等式组的应用，主要考查学生的计算能力．【变5-4】（2022春•雁江区校级期中）已知a是不等式组5�−1＞3(�+1)12�−1＜7−32�的整数解，x，y满足方程组��−2�=8�+2�=0，求（x﹣y）（x2+xy+y2）的值．【分析】先解不等式组确定a的整数值，再将a值代入关于x、y的二元一次方程组中求解，最后求得（x+y）（x2﹣xy+y2）的值．【解答】解：解不等式①得：a＞2，解不等式②得：a＜4，∴不等式组的解集是：2＜a＜4，∴不等式组的整数解是3，∴方程组为3�−2�=8�+2�=0，解得�=2�=−1，∴（x+y）（x2﹣xy+y2）＝（﹣1+2）（4+2+1）＝7．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，正确解出不等式组的解集是解决本题的关键．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取大，同小取小，小大大小中间找，大大小小解不了；也考查了解二元一次方程组以及求代数式的值．【变5-5】（2022春•南关区校级期中）若关于x、y的二元一次方程组5�+2�=5�7�+4�=4�的解满足不等式组2�+�＜5�−�＞−9，求出整数a的所有值．【分析】解方程组5�+2�=5�7�+4�=4�得出�=2��=−52�，代入不等式组2�+�＜5�−�＞−9得到关于a的不等式组，解之可得．【解答】解：5�+2�=5�①7�+4�=4�②，①×2﹣②，得：3x＝6a，解得：x＝2a，将x＝2a代入①，得：10a+2y＝5a，解得：y=−52a，∴方程组的解为�=2��=−5 2�．将�=2��=−52�代入不等式组组2�+�＜5�−�＞−9，得：4�−52�＜5 2�+52�＞−9，解得：﹣2＜a＜10 3，∴整数a的所有值为﹣1、0、1、2、3．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．也考查了解二元一次方程组．�+4�=2+�的解满足﹣1＜x+y≤3．【变5-6】（2023春•河南期中）已知方程组2�−�=1+2�（1）求a的取值范围；（2）当a为何整数时，不等式2ax﹣x＞2a﹣1的解集为x＜1？【分析】（1）两个方程相加可得出x+y＝a+1，根据﹣1＜x+y≤3列出关于a的不等式，解之可得答案；（2）根据不等式2ax﹣x＞2a﹣1的解集为x＜1、a为整数和（1）中a的取值范围，可以求得a的值．【解答】解：（1）两个方程相加可得3x+3y＝3a+3，则x+y＝a+1，根据题意，得：﹣1＜a+1≤3，解得﹣2＜a≤2，即a的取值范围是﹣2＜a≤2；（2）由不等式2ax﹣x＞2a﹣1，得（2a﹣1）x＞2a﹣1，∵不等式2ax﹣x＞2a﹣1的解集为x＜1，∴2a﹣1＜0，得a＜0.5，又∵﹣2＜a≤2且a为整数，∴a＝﹣1，0，即a的值是﹣1或0．【点评】本题考查解二元一次方程组、解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确题意，利用不等式的性质解答．【变5-7】（2022春•威远县校级期中）已知方程组�+�=−7−��−�=1+3�的解满足x 为非正数，y 为负数．（1）求m 的取值范围；（2）当m 为何整数时，不等式2mx +x ＜4m +2的解集为x ＞2．【分析】（1）解方程组得�=�−3�=−2�−4，根据x 为非正数，y 为负数得�−3≤0①−2�−4＜0②，解之可得答案；（2）由不等式2mx +x ＜2m +1，即（2m +1）x ＜2m +1的解集为x ＞1知2m +1＜0，解之得出m ＜−12，再从﹣2＜m ≤3中找到符合此条件的整数m 的值即可．【解答】解：（1）解方程组得�=�−3�=−2�−4，∵x 为非正数，y 为负数，∴�−3≤0①−2�−4＜0②，解不等式①，得：m ≤3，解不等式②，得：m ＞﹣2，则不等式组的解集为﹣2＜m ≤3；（2）∵不等式2mx +x ＜4m +2，即（2m +1）x ＜4m +2的解集为x ＞2，∴2m +1＜0，解得m ＜−12，在﹣2＜m ≤3中符合m ＜−12的整数为﹣1．【点评】本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．【变5-8】（2022春•定远县校级期末）已知不等式组3(2�−1)＜2�+8①2+3(�+1)8＞3−�−14②．（1）求此不等式组的解集，并写出它的整数解；（2）若上述整数解满足不等式ax+6≤x﹣2a，化简|a+1|﹣|a﹣1|．【分析】（1）先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后再写出它的整数解即可；（2）将（1）中的结果代入不等式ax+6≤x﹣2a，然后求出a的取值范围，再判断a+1和a ﹣1的正负情况，然后将所求式子去掉绝对值，再化简即可．【解答】解：（1）3(2�−1)＜2�+8①2+3(�+1)8＞3−�−14②，由①得：�＜11 4，由②得：�＞7 5，∴不等式组的解集为75＜�＜114，∴不等式组的整数解为x＝2；（2）将x＝2代入不等式ax+6≤x﹣2a，得：2a+6≤2﹣2a，解得a≤﹣1，∴a+1≤0，a﹣1≤﹣2，∴|a+1|﹣|a﹣1|＝﹣（a+1）﹣（1﹣a）＝﹣a﹣1﹣1+a＝﹣2．【点评】本题考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．【变5-9】（2022春•乐安县期中）若关于x�−13�≤4−�恰有2个整数解，且关于x ，y 的方程组��+�=43�−�=0也有整数解，求出所有符合条件的整数m 的值．【分析】表示出不等式组的解集，由不等式组恰有2个整数解，确定出m 的范围，再由方程组有整数解，确定出符合题意整数m 的值即可．【解答】解：不等式组整理得：�＞−2�≤�+45，∵不等式组恰有2个整数解，∴﹣2＜x ≤�+45，即整数解为﹣1，0，∴0≤�+45＜1，解得：﹣4≤m ＜1，即整数m ＝﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，方程组��+�=4①3�−�=0②，①+②得：（m +3）x ＝4，解得：x =4�+3，把x =4�+3代入②得：y =12�+3，∵方程组的解为整数，∴m ＝﹣4，﹣2，﹣1．【点评】此题考查了解一元一次不等式组的整数解，以及二元一次方程组的解，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．。

专题训练：基本不等式求最值1．若实数,x y 满足：,0,310x y xy x y >---=，则xy 的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】A【解析】因为310xy x y ---=，所以31xy x y -=+，由基本不等式可得312xy x y xy -=+≥，故3210xy xy -≥1xy 13xy -（舍），即1xy ≥ 当且仅当1x y ==时等号成立， 故xy 的最小值为1，故选：A.2．已知,a b 为正实数且2a b +=，则2b ab+的最小值为（ ） A ．32B 21C ．52D ．3 【答案】D【解析】因为,a b 为正实数且2a b +=，所以2b a =-，所以，2221212211ba b a b a b a ab ⎛⎫+=+=+-=+- ⎪⎭-⎝因为()22111122224b a a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当1a b ==时等号成立； 所以2222213b aba b a a b++=+--=≥，当且仅当1a b ==时等号成立；故选：D3．若0x <，则124x x +-有（ ） A ．最小值1- B ．最小值3- C ．最大值1- D ．最大值3- 【答案】D【解析】因为0x <，所以11122223444x x x x x x ⎛⎫+-=--+-≤--⋅=- ⎪--⎝⎭， 当且仅当14x x-=-，即12x =-时等号成立，故124x x+-有最大值3-．故选：D.4．已知42244924x x y y ++=，则2253x y +的最小值是（ ） A ．2 B ．127C ．52 D ．4【答案】D【解析】由42244924x x y y ++=，得()()222222222222425342422x y x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫++++++=≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即()2221653x y ≤+，所以22534x y +≥，当且仅当222242x y x y +=+，即2226,77x y ==时，等号成立，所以2253x y +的最小值是4.故选：D.5．若正实数x,y 满足29x y +=，则14x y--的最大值是（ ） A 642+ B ．642+ C ．642+ D ．642--【答案】B【解析】由题意可得正实数x,y 满足29x y +=，所以1411418642(2)2499y xx y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫++=⨯++=+++≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当8y x x y =即9(21)9(22)x y -==时取等号， 所以14642x y +--≤B ．6．设正实数m ，n 满足2m n +=，则12n m n+的最小值是（ ） A ．32B ．52C ．54D ．94【答案】C【解析】因为正实数m ，n ，2m n +=，所以111522444444n n m n n m n m m n m n m n m n ++=+=++≥⋅=，当且仅当4n m m n =且2m n +=，即43m =，23n =时取等号， 此时取得最小值54，故选：C7．已知正数x 、y 满足()()212x y --=，若不等式2x y m +>恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()8,+∞B ．()4,+∞C ．(),8∞-D ．(),4-∞ 【答案】C【分析】由已知可得出211x y +=，将2x y +与21x y +相乘，利用基本不等式可求得2x y +的最小值，即可得出实数m 的取值范围.【解析】因为0x >，0y >，则()()()21222x y xy x y --=-++=，2x y xy ∴+=，所以，211x y +=，所以()2144224428yxy xx y x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭， 当且仅当4y xx y =时，即4x =，2y =时等号成立．又2x y m +>恒成立，所以8m <．故选：C.8．已知22a b -=，且02a b <+<，则112a b a b++-的最小值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】A【分析】转化后由基本不等式“1”的妙用求解【解析】因为()()222a b a b a b -=++-=，02a b <+<，所以20a b ->，所以()()2111112222222a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ++-+-⎛⎫⎛⎫+=+⋅=++ ⎪ ⎪+-+--+⎝⎭⎝⎭1222222a b a b a b a b ⎛+-≥⨯+⋅= -+⎝， 当且仅当22a b a ba b a b+-=-+，即1a =，0b =时等号成立. 所以112a b a b++-的最小值为2.故选：A9．若0x >，则241xx +的最大值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】A【分析】利用基本不等式求最值即可.【解析】当0x >时，24421112x x x x x x=≤=++⋅， 当且仅当1x x=，即1x =时等号成立.故选：A.10．已知正实数x 、y 满足144x y x y++=+，则x y +的最小值为（ ） A 132 B ．2 C ．213 D ．214【答案】C【分析】在等式144x y x y ++=+的两边同乘以x y +，结合基本不等式可得出关于x y +的二次不等式，即可解得x y +的最小值.【解析】因为正实数x 、y 满足144x y x y ++=+，等式两边同乘以x y +可得()()()()2444545249y x y x x y x y x y x y x y x y+=++++≥+++⋅=++， 所以，()()2490x y x y +-+-≥，因为0x y +>，解得213x y +≥2y x =时，等号成立. 因此，x y +的最小值为213+故选：C.11．设0a >，0b >，若35a b +=131a b ab++的最小值为（ ）A ．3B ．2C ．62D ．3【答案】C3ab abab=再利用基本不等式计算可得.【解析】解：因为0a >，0b >且35a b +=，632362ab ab abababab=≥⋅当且仅当3ab ab=，即2a =，1b =时，等号成立．故选：C ．12．若0a >，0b >，且a b ab +=，则2a b +的最小值为（ ） A ．322+ B ．222+ C ．6 D ．322-【答案】A【分析】由a b ab +=，得111ab+=，利用“1”的代换求最值. 【解析】因为0a >，0b >，且a b ab +=，所以111ab+=，所以()112222332322aba b a b a b a b b a b a ⎛⎫+=++=++≥+⋅=+ ⎪⎝⎭当且仅当2a bb a=时，取等号， 所以2a b +的最小值为322+ A.13．已知正实数,a b ，且22a b +=，则11121a ab ++++ 的最小值是（ ） A ．2 B ．32C ．54D ．43【答案】C【分析】将22a b +=变为(1)(21)4a b +++=，即可得1121(1)141b a a +=+++， 因此将11121a a b ++++变为111211(1)1214121a b a a b a b ++++=++++++，结合基本不等式即可求得答案.【解析】因为正实数,a b ，22a b +=，故(1)(21)4a b +++=，所以111121[(1)(21)](1)14141b a b a a a +=+++⨯=++++， 故11121111211115(1)2121412144121444a b a b a a b a b a b ++++++=++=+⨯+≥+++++++， 当且仅当15,36a b ==时取得等号，故选：C14．已知正实数,a b 满足4111a b b +=++，则2+a b 的最小值为（ ） A ．6 B ．8 C ．10 D ．12【答案】B【分析】令211a b a b b +=+++-，用1a b b +++分别乘4111a b b +=++ 两边再用均值不等式求解即可.【解析】因为4111a b b +=++，且,a b 为正实数 所以1(414(1))41111)(a b b a b b a b b a b b a bb +++=++++++++=+++++4(1)591a b b b a b++≥+⨯=++， 当且仅当4(1)1a b b b a b++=++即2a b =+时等号成立. 所以219,28a b a b ++≥+≥.故选：B.15．设220,0,4x y x y x y >>+-=，则11x y +的最小值等于（ ）A ．2B ．4C ．12 D ．14【答案】B【分析】根据题意得到221144x y x y xy x y xy xy xy+++===+，结合基本不等式，即可求解.【解析】因为224x y x y +-=，可得224x y x y +=+且0,0x y >>，所以221144424x y x y xy xy x y xy xy xy xy+++===+≥⋅=， 当且仅当4xy xy =时，即2xy =等号成立，所以11x y +的最小值为4.故选：B.16．已知x ，y 都是正数，若2x y +=，则14x y +的最小值为（ ）A ．74 B ．92 C ．134D ．1 【答案】B【分析】利用基本不等式求解.【解析】因为2x y +=，所以1414141422x y y x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫++=+⋅=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．因为x ，y 都是正数，由基本不等式有：4424y x y x x y x y+≥⋅， 所以141491422y x x y x y ⎛⎫+=+++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当2,? 2,y x x y =⎧⎨+=⎩ 即2,343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取“＝”．故A ，C ，D 错误.故选：B ．17．已知0a >，0b >，1ab =，则226a b a b+++的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．22D ．42【答案】B【分析】对原式化简，然后根据基本不等式求解. 【解析】因为0a >，0b >，1ab =．所以()()2222264644a b ab a b a b a b a b a b a b a b+-+++++===++≥++++，当且仅当1a b ==时，等号成立．故选：B.18．若不等式()2232a b x a b ++≥+对任意正数a ，b 恒成立，则实数x 的最大值为（ ）A 2B ．3C 3D ．1【答案】C【分析】对原不等式进行化简可得()2262a b x a b ++≤+，再利用基本不等式求最值可得答案.【解析】∵不等式()2232a b x a b ++≥+对任意正数a ，b 恒成立， ∴()2262a b x a b ++≤+（0a >，0b >）恒成立， ∵()()()22266332232244a b a b a b a b a b a b a b a b ++++++≥=+≥⋅++++ 当且仅当a b =且34a b a b+=+，即3a b ==.∴3x ≤故选：C.19．（多选）已知0x >，0y >，且30x y xy ++-=，则（ ） A ．xy 的取值范围是[]1,9 B ．x y +的取值范围是[)2,3 C ．4x y +的最小值是3 D ．2x y +的最小值是423 【答案】BD【分析】根据基本不等式可求得01xy <≤，判断A;将30x y xy ++-=变形为()232x y x y xy +⎛⎫-+=≤ ⎪⎝⎭结合基本不等式，判断B ；由30x y xy ++-=整理得到411x y =-++ 结合基本不等式可判断C,D.【解析】对于A ，因为0x >，0y >，所以2x y xy +≥x y =时取等号，即32xy xy -≥01xy <≤，即01xy <≤，A 错误；对于B, 由0x >，0y >,()232x y x y xy +⎛⎫-+=≤ ⎪⎝⎭，当且仅当x y =时取等号， 得()()24120x y x y +++-≥，所以2x y +≥,又()03x y xy -+=>，所以3x y +<，B 正确； 对于C, 由0x >，0y >，30x y xy ++-=，得34111y x y y -+==-+++， 则()4441441511x y y y y y +=-++=++-++ ()4241531y y ≥⋅+=+， 当且仅当()4411y y =++，即0y =时等号成立,但0y >，所以43x y +>．（等号取不到）,故C 错误； 对于D ，由C 的分析知：0x >，0y >,411x y =-++,()4421221342311x y y y y y +=-++=++-≥++， 当且仅当()4211y y =++，即21y =时等号成立，D 正确， 故选：BD20．（多选）若正实数,a b 满足1a b +=，则下列说法正确的是（ ）A ．ab 有最小值14B a b 2C ．1122a b a b +++有最小值43D ．22a b +有最小值12 【答案】BCD【分析】由已知结合基本不等式及其变形形式分别检验各选项即可判断.【解析】由正实数,a b 满足1a b +=，则2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时，等号成立，所以ab 的最大值为14，故A 选项错误；由()222a ba b ab a b =++≤+=2a b ， 当且仅当12a b ==a b 2B 选项正确；由11111111(33)[(2)(2)]22322322⎛⎫⎛⎫+=++=++++ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭a b a b a b a b a b a b a b a b a b1222322++⎛⎫=++ ⎪++⎝⎭a b a b a b a b 1224223223a b a b a b a b ⎛++≥+⋅= ++⎝， 当且仅当12a b ==时，等号成立，所以1122a b a b +++有最小值43，故C 选项正确； 由222222()1()2()2222a b a b a b a b ab a b ++⎛⎫+=+-≥+-⨯== ⎪⎝⎭， 当且仅当12a b ==时，等号成立，所以22a b +有最小值12，故D 选项正确.故选：BCD.21．（多选）下列说法正确的有（ ） A ．若12x <，则1221x x +-的最大值是-1 B ．若x ，y ，z 都是正数，且2x y z ++=，则411x y z+++的最小值是3 C ．若0x >，0y >，228x y xy ++=，则2x y +的最小值是2D ．若实数x ，y 满足0xy >，则22x yx y x y+++的最大值是422-【答案】ABD 【分析】对1221x x +-进行构造，利用基本不等式即可判断A ； 由2x y z ++=得13x y z +++=，进而将411x y z+++转化为()411531y z x x y z +⎡⎤+++⎢⎥++⎣⎦， 结合基本不等式即可判断B ；由228x y xy ++=得()282xy x y =-+，根据2222x y xy +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭可得()()22824x y x y +-+≤，从而可判断C; 令x y t +=，2x y s +=，原式转化成24s tt s--，结合基本不等式即可判断D【解析】对于A ，因为12x <，所以210x -<，所以120x ->，所以()()1112211121212112x x x x x x ⎡⎤+=-++=--++⎢⎥---⎣⎦()12121112x x≤--⋅=--， 当且仅当11212x x-=-，即0x =时等号成立， 所以1221x x +-的最大值为-1，故A 正确； 对于B ，因为x ，y ，z 都是正数，且2x y z ++=， 所以13x y z +++=， 所以()411411131x y z x y z x y z ⎛⎫+=++++ ⎪++++⎝⎭()()44111155233131y z y z x x x y z x y z ⎡++⎡⎤++=++≥+⋅=⎢⎢⎥++++⎢⎣⎦⎣， 当且仅当()411y z x x y z ++=++，即()12x y z +=+即11x y z =⎧⎨+=⎩时等号成立， 所以411x y z +++的最小值为3，故B 正确；对于C ，因为0x >，0y >，所以2222x y x y +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭，即()2224x y xy +≤（当且仅当2x y =时等号成立），因为228x y xy ++=，所以()282xy x y =-+，所以()()22824x y x y +-+≤，所以()()2242320x y x y +++-≥， 解得28x y +≤-(舍去)或24x y +≥，当且仅当22x y ==时等号成立， 所以2x y +的最小值为4，故C 错误；对于D ，令x y t +=，2x y s +=，则2x t s =-，y s t =-， 因为0xy >，所以x ，y 同号，则s ，t 同号， 所以2224424222x y s t s t x y x y t s t s+=--≤-⋅-++ 当且仅当2s tts=，即2s t 时取等号，所以22xyx y x y +++的最大值是422-D 正确，故选：ABD ．22．（多选）已知实数0a >，0b >，1111a b+=+，则4a b +的值可能是（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 【答案】BCD【分析】根据题中条件配凑，再运用“1”的代换与基本不等式求出原式范围即可得到答案.【解析】因为0a >，0b >，1111a b+=+， 所以()()1141414114114111b a a b a b a b a b a b +⎛⎫⎡⎤+=++-=++⋅+-=+++- ⎪⎣⎦++⎝⎭ 41481b a a b+≥+⋅+， 当且仅当4111111b a a ba b +⎧=⎪⎪+⎨⎪+=⎪+⎩，即232a b =⎧⎪⎨=⎪⎩时取等号，所以48a b +≥，可能为8,9,10. 故选：BCD23．已知(),0,x y ∈+∞，且1x y +=，若不等式2221124x y xy m m ++>+恒成立，则实数m 的取值范围______．【答案】3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】由题意结合基本不等式可得2234x y xy ++≥，则不等式等价于2311424m m >+，由此即可解出m 的取值范围.【解析】因为(),0,x y ∈+∞，且1x y +=，所以()222231124x y x y xy x y xy xy +⎛⎫++=+-=-≥-= ⎪⎝⎭， 当且仅当12x y ==时等号成立，又不等式2221124x y xy m m ++>+恒成立，所以2311424m m >+，即2230m m +-<，解得312m -<<．故答案为：3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭.24．已知正数,a b 满足34318a b a b+++=，则3a b +的最大值是___________. 【答案】936+【分析】设3t a b =+，表达出()18t t -，结合基本不等式求解最值，再根据二次不等式求解即可.【解析】设3t a b =+，则3418t a b+=-， 所以()()3494941831515227bab at t a b a b a b a b ⎛⎫-=++=++≥+⋅ ⎪⎝⎭， 当且仅当23a b =时取等号.所以218270t t -+，解得936936t -+，即3a b +的最大值936+ 当且仅当23a b =，即36a =+262b =. 故答案为：936+25．已知0x >，则423x x--的最大值是_________【答案】243-##432-【分析】直接利用基本不等式求最大值. 【解析】0x，则4442323223243⎛⎫--=-+≤-⋅=- ⎪⎝⎭x x x x x x 当且仅当43x x=即23x = 故答案为：243-.26．若正数a ，b 满足11a b +=1，则41611a b +--的最小值为__． 【答案】16【分析】由条件可得11a b b=-，11ba a =-，代入所求式子，再由基本不等式即可求得最小值，注意等号成立的条件.【解析】因为正数a ，b 满足11ab+=1，则有1a=111b bb--=， 则有11a b b=-，1b =111a a a --=，即有11b a a =-， 则有416416416211b a b aa b a b a bb+=+≥⋅=--16， 当且仅当416b a a b =即有b ＝2a ，又11a b+=1， 即有a 32=，b ＝3，取得最小值，且为16． 故答案为：16．27．若正数a ，b 满足21a b +=，则222a ba b+--的最小值是__． 2212【分析】设22,2u a v b =-=-，得到1231123()()222232a b u v a b u v u v +=+-=++---， 结合基本不等式，即可求解.【解析】设22,2u a v b =-=-，则2,22ua b v -==-，可得3(,0)u v u v +=>， 所以11212311232()()222232ua b v u v a b u v u v u v --+=+=+-=++---123123223221(3)(32)1323222v u v u u v u v =++-≥+⋅-==， 当且仅当632,323v u =-=时，等号成立，取得最小值． 2212．28．设a ，b ≥0，且1a b =，则ab的最小值为___________. 【答案】0 【分析】由题可得()214b a -=，代入ab，结合均值不等式即可得出答案.【解析】因为21a b =，所以()221124b b a --⎛⎫=-=⎪⎝⎭， 所以2(1)1111204442442a b b b b b b b -==+-≥⋅=， 当且仅当0,1a b ==时取等. 所以a b的最小值为0. 故答案为：0.29．（1）已知1x >，求1411x x ++-的最小值； （2）已知01x <<，求()43x x -的最大值． 【答案】（1）9；（2）43． 【分析】（1）由于10x ->，则()114141511x x x x ++=-++--，然后利用基本不等式求解即可，（2）由于01x <<，变形得()()()1433433x x x x -=⋅⋅-，然后利用基本不等式求解即可.【解析】（1）因为1x >，所以10x ->，所以()()111414154159111x x x x x x ++=-++≥-⋅=---， 当且仅当()1411x x -=-，即32x =时取等号，所以1411x x ++-的最小值为9．（2）因为01x <<，所以()()()2113434433433323x x x x x x +-⎛⎫-=⋅⋅-≤= ⎪⎝⎭， 当且仅当343x x =-，即23x =时取等号， 故()43x x -的最大值为43．30．（1）已知01x <<，则()43x x -取得最大值时x 的值为？ （2）已知54x <，则1()4245f x x x =-+-的最大值为？ 【答案】（1）23；（2）1.【分析】（1）根据基本不等式，和为定值求积的最大值，（2）由基本不等式即可求解.【解析】（1）()()()2113(43)4433433323x x x x x x +-⎡⎤-=⨯-≤=⎢⎥⎣⎦， 当且仅当343x x =-，即23x =时取等号． 故所求x 的值为23.（2）因为54x <，所以540x ->，则11()42=(54)323=1.4554f x x x x x =-+--++≤---＋ 当且仅当154=54x x--，即=1x 时，取等号． 故()14245f x x x =-+-的最大值为1。

高考数学复习专题基本不等式全国名校高考数学复优质学案、专题汇编（附详解）高考数学复专题：基本不等式一、基本不等式1.基本不等式：对于任意非负实数 $a$ 和 $b$，有 $a+b \geq 2\sqrt{ab}$，等号成立当且仅当 $a=b$。

2.算术平均数与几何平均数：设 $a>0$，$b>0$，则$a$ 和 $b$ 的算术平均数不小于它们的几何平均数。

3.利用基本不等式求最值问题：1）如果积 $xy$ 是定值 $P$，那么当且仅当 $x=y$ 时，$x+y$ 有最小值 $2\sqrt{P}$。

2）如果和 $x+y$ 是定值 $P$，那么当且仅当 $x=y$ 时，$xy$ 有最大值 $\frac{P}{4}$。

4.常用结论：1）$a+b \geq 2ab$（$a$，$b$ 为任意实数）。

2）$\frac{b^2}{a}+\frac{a^2}{b} \geq 2(a+b)$（$a$，$b$ 为同号实数）。

3）$ab \leq \frac{a^2+b^2}{2} \leq (\frac{a+b}{2})^2$（$a$，$b$ 为任意实数）。

4）$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \geq\frac{3}{2}$（$a$，$b$，$c$ 为正实数）。

5）$2(a+b) \geq \sqrt{2}(a+b)$（$a$，$b$ 为任意实数）。

6）$\frac{a^2+b^2}{a+b} \geq \frac{a+b}{2}$（$a$，$b$ 为任意实数）。

7）$a^2+b^2 \geq ab$（$a>0$，$b>0$）。

二、基本不等式在实际中的应用1.问题的背景是人们关心的社会热点问题，如物价、销售、税收等。

题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解。

2.经常建立的函数模型有正（反）比例函数、一次函数、二次函数、分段函数以及 $y=ax+b$（$a>0$，$b>0$）等。

应用基本不等式求最值【母题来源】2015湖南文7 【母题原题】7、若实数,a b 满足12ab a b+=，则ab 的最小值为( ) A 、2 B 、2 C 、22 D 、4 【答案】C【考点定位】应用基本不等式求最值【试题解析】121212200,2ab a b ab ab a b a b a b ab+=∴=+≥⨯=∴≥QQ ，＞，＞，（当且仅当2b a =时取等号），所以ab 的最小值为22 C.【命题意图】本题考查基本不等式求最值的应用，属于中档题．【方法、技巧、规律】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．【探源、变式、扩展】在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.若使用基本不等式时，等号取不到，可以通过“对勾函数”，利用单调性求最值. 【变式】若,,0a b c >且()423,a a b c bc +++=-则2a b c ++的最小值为 ． 【解析】2321.【无锡市市北高中2014届高三期初考试】若正实数,x y 满足26xy x y =++，则xy 的最小值是 ___ ___． 【答案】182.【2014届江苏苏州市高三调研】已知正实数x ，y 满足24xy x y ++=，则x y 的最小值为 【答案】263-3.【2014届无锡模拟】若一元二次不等式220()ax x b a b ++>>的解集为1{}x x a≠-，则22a b a b +-的最小值是_______． 【答案】224.【2014届南通模拟】已知,a b r r是两个互相垂直的单位向量，且1c a c b •=•=r r r r ，则对任意的正实数t ，1||c ta b t++r r r的最小值是_______．【答案】B5.【2014届江苏省淮安市二模】在ABC ∆中,已知sin sin cos sin sin cos A B C A C B =sin sin cos B C A +,若,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边,则2abc的最大值为 ． 【答案】23 【解析】由正余弦定理得：bc a c b bc ac b c a ac ab c b a ab 222222222222-+⋅+-+⋅=-+⋅ ，化简得.3222c b a =+因此2ab c ,2323322=≤+=ab ab b a ab 即最大值为23.6.【2014届江苏扬州中学高三周练】已知0x >，0y >，1x y +=，则2221x y x y +++的最小值为 ．【答案】147.【2014·南京一模】已知函数f (x )＝log 2(x －2)．若实数m ，n 满足f (m )＋f (2n )＝3，则m ＋n 的最小值是________． 【答案】7.8．【2013·南京三模】若log 2x ＋1og 2y ＝1，则x ＋2y 的最小值是________． 【答案】49.【启东市2014届高三上学期第一次测试】正实数21,x x 及)(x f 满足1414)(+-=x x x f ，且1)()(21=+x f x f ，则)(21x x f +的最小值等于 ． 【答案】4510. 【江苏省诚贤中学2014届高三数学月考试题】过定点P (1,2)的直线在x y 轴与轴正半轴上的截距分别为a b 、,则422a b +的最小值为 ． 【答案】32。

新高考数学复习考点知识与题型专题练习14 指数函数一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．已知函数y ＝2a x －1＋1(a >0且a ≠1)恒过定点A (m ，n )，则m ＋n ＝（ ） A ．1B ．3 C ．4D ．2 【答案】C【解析】由题意知，当x ＝1时，y ＝3，故A (1，3)，m ＋n ＝4, 故选：C.2．已知函数()2xy a =-，且当0x <时，1y >，则实数a 的取值范围是（ ） A ．3a >B ．23a <<C ．4a >D ．34a << 【答案】B【解析】当0x <时，1021y a >∴<-<，， 解得23a <<， 故选：B.3．已知a =0.82b =，0.24c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．b c a << 【答案】B【解析】0.52a ，0.20.442c ==， ∵2x y =递增，且0.40.50.8<<， ∴0.40.50.8222<<，即c a b <<. 故选：B.4．已知11 3xy⎛⎫= ⎪⎝⎭，23xy=，310xy-=，410xy=，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象大致为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】23xy=与410xy=是增函数，11 3xy⎛⎫= ⎪⎝⎭与311010xxy-⎛⎫== ⎪⎝⎭是减函数，在第一象限内作直线1x=，该直线与四条曲线交点的纵坐标的大小对应各底数的大小，易知：选A．故选：A5．若函数f(x)的定义域是[1，＋∞)，则a的取值范围是（）A．[0，1)∪(1，＋∞)B．(1，＋∞)C．(0，1)D．(2，＋∞)【答案】B【解析】∵a x －a ≥0，∴a x ≥a ，∴当a ＞1时，x ≥1．故函数定义域为[1，＋∞)时，a ＞1． 故选：B ．6．已知()xf x a -=（0a >，且1a ≠），且()()23f f ->-，则a 的取值范围是（ ）A ．（0，＋∞）B ．（1，＋∞）C ．（－∞，1）D ．（0，1） 【答案】D【解析】由0a >，且1a ≠，排除AC ； ∵()1xxa f x a-⎛⎫= ⎪⎝⎭=， 当1a >时，()101,f x a<<为单调递减函数，∴()()23f f ->-，与已知矛盾矛盾，故B 错误； 当01a <<时，()11,f x a>为单调递增函数，∴()()23f f ->-，符合题意. 故选：D.7．函数()()(),0()23,0x a x f x a x a x ⎧<⎪=⎨-+≥⎪⎩，满足对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，则a 的取值范围是（ ）A ．()0,1a ∈B ．1,13a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭C ．10,3a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦D ．1,23a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】解：()f x 满足对任意12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-成立，()f x ∴在R 上是减函数，因为()()(),0()23,0x a x f x a x a x ⎧<⎪=⎨-+≥⎪⎩∴00120(2)03a a a a a <<⎧⎪-<⎨⎪-⨯+⎩，解得103a <，a ∴的取值范围是10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦．故选：C ．8．设函数f （x ）＝a －|x |（a ＞0且a ≠1），f （2）＝4，则（ ） A ．f （－1）＞f （－2）B ．f （1）＞f （2） C ．f （2）＜f （－2）D ．f （－3）＞f （－2） 【答案】D【解析】由f （2）＝4得a －2＝4，又∵a ＞0，∴a ＝12，f （x ）＝2|x |，∴函数f （x ）为偶函数，在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增，则A,B 错误，D 正确. 而f (-2)=f (2)，故C 错误. 故选:D.二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．若指数函数x y a =在区间[1,1]-上的最大值和最小值的和为103，则a 的值可能是（ ） A ．12B ．13C ．3D ．2【答案】BC【解析】当1a >时，函数x y a =在区间[1,1]-上为单调递增函数，当1x =时，max y a =，当1x =-时，1min y a -=，所以1103a a -+=，即231030a a -+=，解得3a =或13a =， 因为1a >，所以3a =；当01a <<时，函数x y a =在区间[1,1]-上为单调递减函数，当1x =时，min y a =，当1x =-时，1max y a -=，所以1103a a -+=，即231030a a -+=，解得3a =或13a =，因为01a <<，所以13a =.综上可得，实数a 的值为3或13.故选：BC10．已知函数()1xxf x a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭其中0a >且1a ≠，则下列结论正确的是（ ）A ．函数()f x 是奇函数B ．函数()f x 0=在其定义域上有解C ．函数()f x 的图象过定点()0,1D ．当1a >时，函数()f x 在其定义域上为单调递增函数 【答案】ABD【解析】()1xxx x f x a a a a -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，定义域为R ，()()x x f x a a f x --=-=-，所以()f x 为奇函数，且()00f =，故选项A ，B 正确，选项C 错误；1a >，101a <<，xy a =，1xy a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在R 上均为增函数，()f x 在其定义域上为单调递增函数，所以选项D 正确． 故选：ABD ．11．已知{}2,0,1,2,3a ∈-，则函数()()22e xf x a b =-+为减函数的实数a 的值可以是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】AB【解析】由函数()()22e xf x a b =-+为减函数，得220a -<，即a <<.又{}2,0,1,2,3a ∈-，所以只有0a =，1a =满足题意. 故选：AB.12．对于函数()f x 的定义域中任意的()1212,x x x x ≠，有如下结论:当()2xf x =时，上述结论正确的是（ ）A ．()()()1212f x x f x f x +=⋅B ．()()()1212f x x f x f x ⋅=+C ．()()12120f x f x x x ->-D ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭【答案】ACD【解析】对于A ，()12122x x f x x ++=，()()121212222x x x xf x f x +⋅=⋅=，()()()1212f x x f x f x +=⋅，正确；对于B ，()12122x x f x x ⋅⋅=，()()121222x xf x f x +=+，()()()1212f x x f x f x ⋅≠+，错误；对于C ，()2x f x =在定义域中单调递增，()()12120f x f x x x -∴->，正确；对于D ，()1212122122222x x x x x x f ++⎛⎫==≤+= ⎪⎝⎭()()122f x f x +，又12x x ≠，则()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，正确；故选：ACD三、填空题：本题共4小题．13．已知函数2x y a =⋅和2x b y +=都是指数函数，则a b +=______. 【答案】1【解析】因为函数2x y a =⋅是指数函数，所以1a =， 由2x b y +=是指数函数，所以0b =， 所以1a b +=， 故答案为：1.14．若函数()233xy a a a =-+是指数函数，则a =________.【答案】2【解析】由()233xy a a a =-+是指数函数，可得2331,0,1,a a a a ⎧-+=⎪>⎨⎪≠⎩解得2a =.故答案为：2．15．在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以6.25%的增长率呈指数增长，已知经过30天以后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的6倍，那么经过60天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的_____ 【答案】36倍【解析】某湖泊中的蓝藻每天以6.25%的增长率呈指数增长，经过30天以后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的6倍，设湖泊中原来蓝藻数量为a ，则30(1 6.25%)6a a +=，∴经过60天后该湖泊的蓝藻数量为：26030(1 6.25%)(1 6.25%)36.y a a a ⎡⎤=+=+=⎣⎦∴经过60天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的36倍.故答案为：36倍16．函数f （x ）＝33233x xx x ---++，若有f （a ）＋f （a －2）＞4，则a 的取值范围是________.【答案】（1，＋∞）【解析】设F （x ）＝f （x ）－2，则F （x ）＝3333x x x x ---+，易知F （x ）是奇函数，F （x ）＝3333x x x x ---+＝223131x x-+＝1－2231x +在R 上是增函数， 由f （a ）＋f （a －2）＞4得F （a ）＋F （a －2）＞0， 于是可得F （a ）＞F （2－a ），即a ＞2－a ，解得a ＞1. 答案：（1，＋∞）四、解答题：本题共4小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知函数f (x )＝11x x a a -+(a ＞0，且a ≠1)．（1）若f (2)＝35，求f (x )解析式；（2）讨论f (x )奇偶性．【答案】（1）()2121x x f x -=+；（2）奇函数．【解析】解：（1）()11x x a f x a -=+，()325f =．即221315a a -=+，2a ∴=． 即()2121x x f x -=+．（2）因为f (x )的定义域为R ， 且()()1111x xxxa a f x f x a a -----===-++， 所以f (x )是奇函数． 18．求下列各式的值.（1）指数函数()x f x a =（0a >且1a ≠）的图象经过点()3π，，求π(3)f -的值； （2）211511336622263a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；【答案】（1）1；（2）4a .【解析】（1）因为()xf x a =的图象经过点()3π，， 所以()33πf a ==，所以13πa =于是()xf x =，所以()3π3π1f --=⋅=（2）211511336622263a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()211115326236263ab+-+-=⨯-÷-⎡⎤⎣⎦1044a b a ==19．截止到2018年底，我国某市人口约为130万．若今后能将人口年平均递增率控制在3‰，经过x 年后，此市人口数为y (万)．（1）求y 与x 的函数关系y ＝f (x )，并写出定义域； （2）若按此增长率，2029年年底的人口数是多少？ （3）哪一年年底的人口数将达到135万？【答案】（1）y ＝f (x )＝130(1＋3‰)x (x ∈N *)；（2）134；（3）2031年. 【解析】解：（1）2018年年底的人口数为130万；经过1年，2019年年底的人口数为130＋130×3‰＝130(1＋3‰)(万)；经过2年，2020年年底的人口数为130(1＋3‰)＋130(1＋3‰)×3‰＝130(1＋3‰)2(万)； 经过3年，2021年年底的人口数为130(1＋3‰)2＋130(1＋3‰)2×3‰＝130(1＋3‰)3(万)． ……所以经过的年数与(1＋3‰)的指数相同，所以经过x 年后的人口数为130(1＋3‰)x (万)．即y ＝f (x )＝130(1＋3‰)x (x ∈N *)． （2）2029年年底，经过了11年，过2029年底的人口数为130(1＋3‰)11≈134(万)． （3）由（2）可知，2029年年底的人口数为130(1＋3‰)11≈134<135. 2030年年底的人口数为130(1＋3‰)12≈134.8(万)， 2031年年底的人口数为130(1＋3‰)13≈135.2(万)． 所以2031年年底的人口数将达到135万．20．已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()2(0x x f x g x a a a -+=-+>且1a ≠）， （1）若(2)g a =，求(2)f .（2）记()()()2F x f x g x =+，求()()()2G x F x mF x =-的最小值()G m .【答案】（1）154；（2）()242.4,44m m G m m m -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩. 【解析】（1）()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，∴由()()2x x f x g x a a -+=-+，①得()()()()2x xf xg x f x g x a a --+-=-+=-+，②①+②得()2g x =，①-②得()x xf x a a -=-.又()2g a =，2a ∴=，()22x xf x -∴=-，()22152224f -∴=-=. （2）由（1）可得()()222x x f x g x a a -+=+，故()22x xF x a a -=+，由基本不等式可得()2≥F x ，令()t F x =，则2t ≥且()2G x t mt =-，设()2,2h t t mt t =-≥，当4m ≤即22m≤时，()()min 42G m h t m ==-； 当4m >即22m >时，()()2min 4m G m h t ==-，故()242.4,44m m G m m m -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩.。

例1 【2013江苏高考】已知()f x 是定义在R 上的奇函数. 当0x >时，2()4f x x x =-，则不等式()f x x >的解集用区间表示为 ▲例2 【2012江苏高考】已知函数2()()f x x ax b a b =++∈R ，的值域为[0)+∞，，若关于x的不等式()f x c <的解集为(6)m m +，，则实数c 的值为 ▲ ．【答案】9例 3 【2011江苏高考】已知实数0≠a ，函数⎩⎨⎧≥--<+=1,21,2)(x a x x a x x f ，若)1()1(a f a f +=-，则a 的值为 ▲【答案】43-.【解析】由题意得，当0>a 时，11,11<->+a a ，a a a a 2)1()1(2-+-=+-，解之得23-=a ，不不等式在11-13年多以填空题、解答题的形式进行考查，涉及到分类讨论和数形结合的思想，题目多为中高档题，着重考查学生运算求解能力、推理论证能力、解决实际问题解决问题的能力.不等式常与三角函数、函数、数列、导数等知识结合考查，也可单独设置题目.1.预计14年考查基本不等式和一元二次不等式的解法的可能性较大.2.对于不等式的复习，一要掌握不等式的性质，学会利用不等式的性质作为工具，解决函数与导数等综合问题；二要理解三个“二次”的关系，注意加强对数形结合思想和分类讨论思想的运用.不等式是学好数学的工具，考查的难度较大，复习时应以中档题为主，同时兼顾部分难度较大的题目，加强对不等式与三角函数、函数、数列、导数等知识综合的题目的训练.1.. 【江苏省诚贤中学2014届高三数学月考试题】过定点P (1,2)的直线在x y 轴与轴正半轴上的截距分别为a b 、,则422a b +的最小值为 ． 【答案】32 【解析】2．【南京市、盐城市2014届高三第一次模拟考试】若关于x 的不等式2(20)lg 0aax x-≤对任意的正实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 . 【答案】{}103. 【江苏省通州高级中学2013-2014学年度秋学期期中考试】 已知x ，y 都在区间(0，1]内，且xy ＝13，若关于x ，y 的方程44－x ＋33－y －t ＝0有两组不同的解(x ，y )，则实数t 的取值范围是_ ▲__ . 【答案】1259524t <≤【解析】4. 【江苏省扬州中学2013—2014学年第一学期月考】设y x ,均为正实数，且33122x y+=++，则xy 的最小值为 ． 【答案】16 【解析】5. 【苏北四市2014届高三第一次质量检测】在平面直角坐标系xOy 中，若动点(,)P a b 到两直线1:l y x =和2:1l y x =-+的距离之和为22，则22a b +的最大值是________. 【答案】18 【解析】6. 【江苏省诚贤中学2014届高三数学月考试题】设正实数z y x ,,满足04322=-+-z y xy x ，则当zxy取得最小值时，2x y z +-的最大值为 ． 【答案】2 【解析】7. 【江苏省通州高级中学2013-2014学年度秋学期期中考试】 在ABC ∆中，已知9=⋅AC AB ，C A B sin cos sin ⋅=，6=∆ABC S ，P 为线段AB 上的点，且||||CB CB y CA CA x CP ⋅+⋅=，则xy 的最大值为 ▲_ ．【答案】3 【解析】8. 【苏州市2014届高三调研测试】已知22(0),()(0)x x x f x x x x ⎧+⎪=⎨-+<⎪⎩≥，则不等式2(1)12f x x -+<的解集是 ▲ ．9. 【苏州市2014届高三调研测试】已知正实数x ，y 满足24xy x y ++=，则x + y 的最小值为 ▲10. 【苏州市2014届高三调研测试】 若2101m x mx -<+（m ≠ 0）对一切x ≥4恒成立，则实数m 的取值范围是 ▲ 【答案】12m <-【解析】11. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】不等式0212<---x x 的解集．．是 ． 【答案】(1,1)- 【解析】12. 【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（理）试题】若函数xx x f 1)(+=，则不等式25)(2<≤x f 的解集为 . 【答案】)2,21( 【解析】13.【上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（理卷）】函数32)(2+-=x x x f ，若a x f -)(＜2恒成立的充分条件是21≤≤x ，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】1＜a ＜4 【解析】14. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】已知x y R +∈、，且41x y +=，求19x y+的最小值.某同学做如下解答： 因为 x y R +∈、，所以144x y xy =+≥1992x y xy+≥┄②， ①⨯②得19924224xy x y xy +≥=，所以 19x y+的最小值为24. 判断该同学解答是否正确，若不正确，请在以下空格内填写正确的最小值；若正确，请在以下空格内填写取得最小值时x 、y 的值. . 【答案】13,105x y ==． 【解析】。

3.1 不等式的基本性质【知识点梳理】知识点一、符号法则与比较大小 实数的符号：任意x R ∈，则0x >（x 为正数）、0x =或0x <（x 为负数）三种情况有且只有一种成立．两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质： ①两个同号实数相加，和的符号不变 符号语言：0,00a b a b >>⇒+>；0,00a b a b <<⇒+<②两个同号实数相乘，积是正数 符号语言：0,00a b ab >>⇒>；0,00a b ab <<⇒>③两个异号实数相乘，积是负数 符号语言：0,00a b ab ><⇒<④任何实数的平方为非负数，0的平方为0 符号语言：20x R x ∈⇒≥，200x x =⇔=． 比较两个实数大小的法则： 对任意两个实数a 、b ①0b a b a ->⇔>； ②0b a b a -<⇔<； ③0b a b a -=⇔=．对于任意实数a 、b ，a b >，a b =，a b <三种关系有且只有一种成立．知识点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系．它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据．知识点二、不等式的性质不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分 基本性质有：（1）对称性：a b b a >⇔< （2）传递性：, a b b c a c >>⇒>（3）可加性：a b a c b c >⇔+>+（c ∈R ） （4）可乘性：a >b ，000c ac bc c ac bc c ac bc >⇒>⎧⎪=⇒=⎨⎪<⇒<⎩运算性质有：（1）可加法则：,.a b c d a c b d >>⇒+>+ （2）可乘法则：0,00a b c d a c b d >>>>⇒⋅>⋅> 知识点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据． 知识点三、比较两代数式大小的方法 作差法：任意两个代数式a 、b ，可以作差a b -后比较a b -与0的关系，进一步比较a 与b 的大小．①0b a b a ->⇔>； ②0b a b a -<⇔<； ③0a b a b -=⇔=． 作商法：任意两个值为正的代数式a 、b ，可以作商a b ÷后比较ab与1的关系，进一步比较a 与b 的大小．①1aa b b>⇔>； ②1aa b b<⇔<；③1aa b b=⇔=． 中间量法：若a b >且b c >，则a c >（实质是不等式的传递性）．一般选择0或1为中间量．【题型归纳目录】题型一：用不等式（组）表示不等关系 题型二：作差法比较两数（式）的大小 题型三：利用不等式的性质判断命题真假 题型四：利用不等式的性质证明不等式 题型五：利用不等式的性质比较大小题型六：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围【典型例题】题型一：用不等式（组）表示不等关系例1．（2022·湖南·怀化五中高二期中）用不等式表示，某厂最低月生活费a 不低于300元 （ ）． A ．300a ≤ B ．300a ≥ C ．300a > D ．300a <【答案】B【解析】依题意：生活费a 不低于300元，即300a ≥． 故选：B例2．（2022·全国·高一专题练习）某医院工作人员所需某种型号的口罩可以外购，也可以自己生产．其中外购的单价是每个1．2元，若自己生产，则每月需投资固定成本2000元，并且每生产一个口罩还需要材料费和劳务费共0．8元．设该医院每月所需口罩()n n *∈N 个，则自己生产口罩比外购口罩较合算的充要条件是（ ） A ．800n > B ．5000n >C ．800n <D ．5000n <【答案】B【解析】由0.82000 1.2n n +<，得0.42000n >，即5000n >， 故选：B ．例3．（2022·湖北·华中科技大学附属中学高一阶段练习）如图两种广告牌，其中图（1）是由两个等腰直角三角形构成的，图（2）是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种关系用含字母(),a b a b ≠的不等式表示出来（ ）A ．()2212a b ab +> B ．()2212a b ab +< C ．()2212a b ab +≥ D ．()2212a b ab +≤ 【答案】A【解析】解：图（1）是由两个等腰直角三角形构成的，面积2211122=+S a b ． 图（2）是一个矩形，面积2S ab =． 可得：221()()2a b ab a b +>≠． 故选：A例4．（2022·上海·上外附中高一期中）用锤子以均匀的力敲击铁钉钉入木板，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的()*1N k k∈，已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的47，请从这个实例中提炼出一个不等式组：______．【答案】2441,774441777kk k ⎧+<⎪⎪⎨⎪++≥⎪⎩ 【解析】解：依题意，知第二次敲击铁钉没有全部进入木板，第三次敲击铁钉全部进入木板，所以2441,77444 1.777kk k ⎧+<⎪⎪⎨⎪++≥⎪⎩ 故答案为：2441,77444 1.777kk k⎧+<⎪⎪⎨⎪++≥⎪⎩例5．（2022·全国·高一课时练习）某化工厂制定明年某产品的生产计划，受下面条件的制约：生产此产品的工人数不超过200人；每个工人年工作时间约计2100h ；预计此产品明年销售量至少80000袋；每袋需用4h ；每袋需用原料20kg ；年底库存原料600t ，明年可补充1200t ．试根据这些数据预测明年的产量x （写出不等式（组）即可）为________．【答案】0420021008000000.026001200x x x <≤⨯⎧⎪≥⎨⎪<≤+⎩，， 【解析】由题意可得0420021008000000.026001200x x x <≤⨯⎧⎪≥⎨⎪<≤+⎩，， 故答案为：0420021008000000.026001200x x x <≤⨯⎧⎪≥⎨⎪<≤+⎩，， 【方法技巧与总结】将不等关系表示成不等式（组）的思路 （1）读懂题意，找准不等式所联系的量． （2）用适当的不等号连接． （3）多个不等关系用不等式组表示． 题型二：作差法比较两数（式）的大小例6．（2022·江西·九江县第一中学高二期中（理））若0,01a b ><<，则2,,a ab ab 的大小关系为（ ） A ．2a ab ab >> B ．2a ab ab << C ．2ab a ab >> D ．2ab ab a >>【答案】A【解析】(1)a ab a b -=-，又0,01a b ><<，则(1)0a b ->，则a ab > 2(1)ab ab ab b -=-，又0,01a b ><<，则(1)0ab b ->，则2ab ab >综上，2a ab ab >> 故选：A例7．（2022·江苏·高一）已知a b <，3x a b =-，2y a b a =-，则,x y 的大小关系为（ ） A ．x y > B ．x y < C ．x y =D ．无法确定【答案】B【解析】()()3221x y a b a b a a b a -=--+=-+，因为a b <，所以0a b -<，又210a +>，所以2()(1)0a b a -+<，即x y <． 故选：B例8．（2022·河南河南·高二期末（文））若0a b >>，c 为实数，则下列不等关系不一定成立的是（ ）． A ．22ac bc > B ．11a b< C ．22a b > D ．a c b c +>+【答案】A【解析】A 选项中，若0c ，则不成立； B 选项中，110b aa b ab --=<，所以11a b<，成立； 由不等式的可乘方性知选项C 正确； 由不等式的可加性知选项D 正确． 故选：A例9．（2022·全国·高一专题练习）下列四个代数式①4mn ，①224+m n ，①224m n +，①22m n +，若0m n >>，则代数式的值最大的是______．（填序号）． 【答案】①【解析】①0m n >>，令①-①得：()2224042mn m n m n -=-+＞，①①＞①， 令①-①得：22222244330m n m n m n +--=-＞，①①＞①， 令①-①得：22222430m n m n m +--=＞，①①＞①， ①代数式的值最大的是①． 故答案为：①例10．（2022·江苏·高一）（1）比较231x x -+与221x x +-的大小； （2）已知0c a b >>>，求证：a bc a c b>--． 【解析】（1）由()()222312122x x x x x x -+-+-=-+()2110x =-+>，可得223121x x x x -+>+-． （2）()()()()()()()a cb bc a a b c a bc a c b c a c b c a c b -----==------， ①0c a b >>>，①0a b ->，0c a ->，0c b ->， ①()()()0a b c c a c b ->--，①a bc a c b>--．【方法技巧与总结】 作差法比较大小的步骤题型三：利用不等式的性质判断命题真假例11．（2022·上海崇明·二模）如果0,0a b <>，那么下列不等式中正确的是（ ） A ．22a b < B a b -<C ．a b > D ．11a b< 【答案】D【解析】对A ，若2,1a b =-=，则22a b <a b -AB 错误； 对C ，若1,2a b =-=，则a b >不成立，故C 错误； 对D ，因为110a b<<，故D 正确； 故选：D例12．（2022·上海交大附中模拟预测）已知a b <，0c ≥，则下列不等式中恒成立的是（ ）A ．ac bc <B ．22a c b c ≤C ．22a c b c +<+D ．22ac bc ≤【答案】D【解析】①a b <，0c ≥，①ac bc ≤，则选项A 不正确； 当1a =-，12b =时，即22a b >，①22a c b c ≥和22a c b c +>+成立，则选项B 、C 不正确； ①0c ≥，①2c ≥0，①22ac bc ≤，则选项D 正确； 故选：D ．例13．（2022·山西师范大学实验中学高二阶段练习）若,,a b c ∈R ，且a b >，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．a b b c +≥- B ．ac bc ≥C ．20c a b>-D ．2()0a b c -≥【答案】D【解析】A 显然错误，例如3,2,10a b c ===-，a b b c +<-；0c <时，由a b >得ac bc <，B 错；a b >0a b ⇒->，但0c 时，20c a b=-，C 错；a b >0a b ⇒->，又2c ≥0，所以2()0a b c -≥，D 正确．故选：D ．例14．（2022·江苏南京·模拟预测）设a 、b 均为非零实数且a b <，则下列结论中正确的是（ ） A ．11a b> B ．22a b < C ．2211a b < D ．33a b <【答案】D【解析】对于A ，取1a =-，1b =，则11a b<，A 错误； 对于B ，取1a =-，1b =，则22a b =，B 错误； 对于C ，取1a =-，1b =，则2211a b=，C 错误； 对于D ，因a b <，则33222213()()()[()]024b a b a b ab a b a b a a -=-++=-++>，即33a b <，D 正确． 故选：D【方法技巧与总结】运用不等式的性质判断真假的技巧（1）首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质． （2）解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．题型四：利用不等式的性质证明不等式例15．（2022·全国·高一课时练习）（1）已知a b >，0ab >，求证：11a b<； （2）已知0a b >>，0c d <<，求证：a b c d>． 【解析】（1）因为0ab >，所以10ab>． 又a b >，所以1a b ab ab1⋅>⋅， 即11b a >，因此11a b<．（2）因为0c d <<，根据（1）的结论，得110c d>>．又0a b >>，则11a b c d⋅>⋅，即a b c d >．例16．（2022·河南·濮阳市油田第二高级中学高二阶段练习（文））（1）33a x y =+，22b x y xy =+，其中x ，y 均为正实数，比较a ，b 的大小；（2）证明：已知a b c >>，且0a b c ++=，求证：c ca cb c>--． 【解析】解：（1）因为33a x y =+，22b x y xy =+，所以()()()233223322a b x y x y xy x y x y xy x y x y -=+-+=+--=-+因为0x >，0y >，所以0x y +>，()20x y -≥， 所以0a b -≥，即a b ≥；（2）因为a b c >>，且0a b c ++=，所以0a >，0c <， 所以0a c b c ->->， 所以110a c b c<<--， 所以c c a c b c>--； 例17．（2022·湖南·高一课时练习）利用不等式的性质证明下列不等式： （1）若a b <，0c <，则()0a b c ->； （2）若0a <，10b -<<，则2a ab ab <<． 【解析】（1）证明：a b >，0a b ∴->，又0c <，()0a b c ∴-<；（2）证明：10b -<<，201b ∴<<2101b b ∴>>>>-，又0a <，2a ab ab ∴<<．例18．（2022·全国·高一专题练习）（1）若bc －ad ≥0，bd >0，求证：a b b +≤c dd+； （2）已知c >a >b >0，求证：a bc a c b>-- 【解析】证明：（1）①bc ≥ad ，bd >0，①c ad b≥，①c d ＋1≥a b ＋1，①a b b +≤c dd+． （2）①c >a >b >0，①c －a >0，c －b >0． ①a >b >0，①11a b< 又①c >0，①c c a b <，①c a c b a b--<， 又c －a >0，c －b >0，①a bc a c b>-- ．例19．（2022·全国·高一专题练习）已知三个不等式：①0ab >；①c da b>；①bc ad >．若以其中两个作为条件，余下的一个作为结论，请写出一个真命题，并写出推理过程． 【解析】解法1：①①⇒①，即若0ab >且bc ad >，则c d a b>． 因为c da b>且0ab >， 所以c dab ab bc ad a b⋅>⋅⇒>，则命题成立．解法2：①①⇒①，即若0ab >且c da b>，则bc ad >． 因为0ab >，所以10ab>， 又因为bc ad >， 所以11c d bc ad ab ab a b⋅>⋅⇒>， 则命题成立．例20．（2022·江苏·高一专题练习）（1）设0b a >>，0m >，证明：a a m b b m+<+； （2）设0x >，0y >，0z >，证明：12x y zx y y z z x<++<+++． 【解析】证明：（1）因为0b a >>，0m >，所以0a b -<，0b m +>．所以()()()()()0a b m b a m a b ma a mb b m b b m b b m +-+-+-==<+++， 故得证；（2）由不等式的性质知，,,x x y y z zx y x y z y z x y z z x x y z>>>+++++++++，所以1x y z x y z x y y z z x x y z x y z x y z++>++=+++++++++， 又因为根据（1）的结论可知，,,x x z y x y z y z x y x y z y z x y z z x x y z+++<<<+++++++++， 所以2x y z x z x y y z x y y z z x x y z x y z x y z +++++<++=+++++++++． 所以12x y z x y y z z x<++<+++． 例21．（2022·全国·高一专题练习）若0a b >>，0c d <<，||||b c > （1）求证：0b c +>； （2）求证：22()()b c a da cb d ++<--；（3）在（2）中的不等式中，能否找到一个代数式，满足2()b c a c +<-所求式2()a db d +<-？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由．【解析】（1）因为||||b c >，且0,0b c ><，所以b c >-，所以0b c +>．（2）因为0c d <<，所以0c d ->->．又因为 0a b >>，所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得0a c b d ->->．所以22()()0a c b d ->->． 所以22110()()a c b d <<--，因为,a b d c >>，所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得a d b c +>+． 所以0a d b c +>+>，所以由两边都是正数的同向不等式的相乘可得22()()b c a da cb d ++<--．（3）因为0b c +>，22110()()a c b d <<--，所以22()()b c b ca cb d ++<--，因为0b c a d <+<+，210()b d >-，所以22()()b c a db d b d ++<--， 所以222()()()b c b c a da cb d b d +++<<---．所以在（2）中的不等式中，能找到一个代数式2()b cb d +-满足题意．【方法技巧与总结】对利用不等式的性质证明不等式的说明（1）不等式的性质是证明不等式的基础，对任意两个实数a ，b 有0a b a b ->⇒>；0a b a b -=⇒=；0a b a b -<⇒<．这是比较两个实数大小的依据，也是证明不等式的基础．（2）利用不等式的性质证明不等式，关键要对性质正确理解和运用，要弄清楚每一条性质的条件和结论，注意条件的加强和减弱、条件和结论之间的相互联系．（3）比较法是证明不等式的基本方法之一，是实数大小比较和实数运算性质的直接应用．题型五：利用不等式的性质比较大小例22．（2022·新疆·莎车县第一中学高二期中（文））设2a =73b =62c =则a ，b ，c 的大小关系__________． 【答案】a c b >>【解析】解：因为7373b ==+，6262c + 因为06273<<7362<++b c <， 而22a =，而2262c =8212=-848836=22a ==，所以a c >，所以a c b >>． 故答案为：a c b >>例23．（2022·江西赣州·高二期中（理））已知1t >，且1x t t =+1y t t =-则x ，y 的大小关系是______． 【答案】x y < 【解析】11111t tt tx t t t tt t+++=++++11111t t t t y t t t t t t --=-==+-+-，110t t t t +->， 11t t t t <+++-x y <．故答案为：x y <例24．（2022·浙江·三模）已知,,,a b c d ∈R ，且,,()()()a b c c d a d b d c d c d <<≠---+=，A ．d a <B ．a d b <<C ．b d c <<D ．d c >【答案】B【解析】由题意知：()()()a d b d c d d c ---=-，又c d ≠，则()()10a d b d --=-<，显然,a d b d --异号，又a b <，所以a d b c <<<． 故选：B ．例25．（2022·河南·夏邑第一高级中学高二期中（文））若a 是实数，210P a a +，2264Q a a ++P ，Q 的大小关系是（ ）A ．Q P >B ．P Q =C ．P Q >D ．由a 的取值确定【答案】A【解析】显然P ，Q 都是正数， 又()2222210210210P a aa a a =+=+++()()222222264210264Q a a a aa =++=++++24221021024a a a =++++若a 是负数，则()()222640210aa a ++>>+22Q P >，所以Q P >；若a 是非负数，则2424221021021024a a a a a a +=+++22Q P >，所以Q P >． 综上所述，Q P >． 故选：A ．例26．（多选题）（2022·湖南·长郡中学高二期中）若0a b <<，0c >，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．a c b c +<+ B ．ac bc <C ．c c a b <D ．11a b a b->- 【答案】AB【解析】对于A ，由0a b <<，得a c b c +<+，正确； 对于B ，由0a b <<，0c >，得ac bc <，正确；对于C ，举反例：2a =-，1b =-，2c =，则41c c a b =>=，所以C 项错误； 对于D ，由()11111ab a b a b a b a b b a ab+--+=-+-=-⋅， 因为0a b <<，所以10ab +>，0ab >，0a b -<， 所以()10ab a b ab+-⋅<，所以11a b a b -<-，所以D 项错误；例27．（多选题）（2022·山西运城·高二阶段练习）已知0b a <<，则下列选项正确的是（ ） A ．22a b > B ．a b ab +< C ．||||a b < D ．2ab b >【答案】BC【解析】①0b a <<， ①22b a >，0a b +<，0ab >， ①a b ab +<，A 错误，B 正确； ①||||a b <，C 正确；0b a <<不等式两边同乘以b 得：2ab b <，故D 错误．故选：BC ．例28．（2022·江苏·高一课时练习）（1）已知x ≤1，比较3x 3与3x 2－x ＋1的大小． （2）已知a ，b ，c 是两两不等的实数，p ＝a 2＋b 2＋c 2，q ＝ab ＋bc ＋ca ，试比较p 与q 的大小．【解析】（1） 3x 3－（3x 2－x ＋1）＝（3x 3－3x 2）＋（x －1）＝3x 2（x －1）＋（x －1）＝（3x 2＋1）（x －1）．因为x ≤1，所以x －1≤0，而3x 2＋1>0， 所以（3x 2＋1）（x －1）≤0， 即3x 3≤3x 2－x ＋1．（2） 因为a ， b ， c 互不相等，所以a 2＋b 2－2ab ＝（a －b ）2>0， 即a 2＋b 2>2ab ．同理b 2＋c 2>2ac ， a 2＋c 2>2ac ． 所以2（a 2＋b 2＋c 2）>2（ab ＋bc ＋ac ）， 即a 2＋b 2＋c 2>ab ＋bc ＋ac ，亦即p >q ．例29．（2022·江苏·高一课时练习）已知10x y -<<<，比较1x，1y ，2x ，2y 的大小关系．【解析】因为10x y -<<<，根据实数的性质，可得22110,0,0,0x y x y >><<，由22()()x y x y x y -=+-，且11y x x y xy--=，又由10x y -<<<，可得0,0,0x y x y xy +<-<>， 所以()()0x y x y +->，且0y xxy->，即220x y >>且110x y>>，所以2211x y x y >>>．【方法技巧与总结】 注意点：①记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用；②应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则题型六：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围例30．（2022·福建·厦门市国祺中学高一期中）若13a b -<+<，24a b <-<，23t a b =+，则t 的取值范围为______． 【答案】91322t -<< 【解析】设()()()()t x a b y a b x y a x y b =++-=++-，则23x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得5212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．因为()5515222a b -<+<，()1212a b -<--<-，所以()()951132222a b a b -<+--<，即91322t -<<．故答案为：91322t -<<． 例31．（2022·江苏·苏州大学附属中学高一阶段练习）若实数x ，y 满足121x y -≤+≤且131x y -≤+≤，则9x y +的取值范围是_____________．【答案】[]13,13-【解析】由题意96(2)7(3)x y x y x y +=-+++， 又121x y -≤+≤，131x y -≤+≤，66(2)6x y ∴-≤-+≤，77(3)7x y -≤+≤①13139x y +-≤≤， 故答案为：[]13,13-．例32．（2022·全国·高一期中）已知0b >，且445b a c b a c b -≤-≤-≤-≤，则9a cb-的取值范围是___________． 【答案】[]1,20-【解析】由445b a c b a c b -≤-≤-≤-≤可得：445b a c bb ac b -≤-≤-⎧⎨-≤-≤⎩，令()()94a c m a c n a c -=-+-，整理可得：()()94a c m n a m n c -=+-+， 所以491m n m n +=⎧⎨--=-⎩，解得：5383m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以()()589433a c a c a c -=--+-， 将4b a c b -≤-≤-两边同时乘以53-，可得()5520333b ac b ≤--≤，①将45b a c b -≤-≤两边同时乘以83，可得()88404333b ac b -≤-≤，①两式相加可得：()()585820404333333b b ac a c b b -≤--+-≤+， 即920b a c b -≤-≤， 因为0b >，所以9120a cb--≤≤， 所以9a cb-的取值范围是[]1,20-， 故答案为：[]1,20-．例33．（2022·河北·大名县第一中学高一阶段练习）若实数,αβ满足11αβ-≤+≤，123αβ≤+≤，则3αβ+的取值范围为________．【答案】[]1,7【解析】设()3(2)αβλαβμαβ+++=+，解得1λ=-，2μ= 所以()(322)αβαβαβ++-+=+．又11αβ-≤+≤，123αβ≤+≤，()11αβ∴-≤-+≤，()2226αβ≤+≤ 所以137αβ≤+≤． 故答案为：[]1,7．例34．（2022·河南·西平县高级中学高一阶段练习）已知实数,x y 分别满足，15x <<，27y <<．（1）分别求23x y +与45x y -的取值范围； （2）若,x y <试分别求x y -及xy的取值范围． 【解析】（1）15x <<，27y <<，2210,6321,4420,35510x y x y ∴<<<<<<-<-<-， 82331x y ∴<+<， 314510x y -<-<．（2）由条件则63x y -<-<． 又因为0x y x y <⇒-<， 从而可得60x y -<-<； 由27y <<11172y ⇒<<． 1572x y ⇒<<， 又因为1xx y y<⇒<， 从而117xy⇒<<． 例35．（2022·江苏·高一专题练习）已知15a b ≤+≤，13a b -≤-≤，求32a b -的取值范围．【解析】设()()32a b m a b n a b -=++-，则有：32m n m n +=⎧⎨-=-⎩，解得：1252m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以()()153222a b a b a b -=++-． 因为15a b ≤+≤，所以()115222a b ≤+≤， 因为13a b -≤-≤，所以()5515222a b -≤-≤，所以()()1521022a b a b -≤++-≤， 即23210a b -≤-≤， 所以32a b -的取值范围为．例36．（2022·江苏·高一专题练习）实数,a b 满足32a b -≤+≤，14a b -≤-≤． （1）求实数,a b 的取值范围； （2）求32a b -的取值范围．【解析】（1）由32a b -≤+≤，14a b -≤-≤， 两式相加得，426a -≤≤，则23a -≤≤， 由14a b -≤-≤， 得41a b -≤-+≤， 又32a b -≤+≤，两式相加得，723b -≤≤，即7322b -≤≤；（2）设()()()()32a b m a b n a b m n a m n b -=++-=++-，则32m n m n +=⎧⎨-=-⎩，解得1252m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，①()()153222a b a b a b -=++-， ①32,14a b a b -≤+≤-≤-≤，①()()31551,102222a b a b -≤+≤-≤-≤，则43211a b -≤-≤．例37．（2022·全国·高一专题练习）（1）若1260a ，1536b ，求2a b -，a b的取值范围；（2）已知x ，y 满足1122x y -<-<，01x y <+<，求3x y -的取值范围．【解析】（1）因为1260a ，所以242120a ， 因为1536b ，所以1113615,3615bb ， 所以122105a b -<-<，143ab<<；所以2a b -的取值范围是()12,105-；a b 的取值范围是1,43⎛⎫⎪⎝⎭；（2）设()()()()3x y m x y n x y m n x n m y -=-++=++-，则31m n n m +=⎧⎨-=-⎩，解得21m n =⎧⎨=⎩，所以()()32x y x y x y -=-++， 又因为1122x y -<-<，01x y <+<，所以132x y -<-<，所以3x y -的取值范围是()1,2-例38．（2022·安徽·阜阳市耀云中学高二期中）已知122a b -<+<且34a b <-<，求5a b +的取值范围．【解析】解：设5(2)()a b a b a b λμ+=++-，可得∴251λμλμ+=⎧⎨-=⎩，解之得21λμ=⎧⎨=⎩，得52(2)()a b a b a b +=++-122a b -<+<且34a b <-<，22(2)4a b ∴-<+<，且34a b <-<，两个不等式相加，得12(2)()8a b a b <++-<5a b ∴+的取值范围是()1,8．例39．（2022·全国·高一课时练习）设实数x ，y 满足212xy ≤≤，223x y ≤≤，求47x y的取值范围．【解析】解：()324272x y x y xy ⎛⎫⎪⎝⎭=，32827x y ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，()2214xy ≤≤，4782741x y ∴≤≤，即47227x y ≤≤，47x y∴的取值范围为[]2,27．【方法技巧与总结】利用不等式的性质求取值范围的策略建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围．如已知2030,1518x y x y <+<<-<，要求23x y +的范围，不能分别求出,x y 的范围，再求23x y +的范围，应把已知的“x y +”“x y -”视为整体，即5123()()22x y x y x y +=+--，所以需分别求出51(),()22x y x y +--的范围，两范围相加可得23x y +的范围．“范围”必须对应某个字母变量或代数式，一旦变化出其他的范围问题，则不能再间接得出，必须“直来直去”，即直接找到要求的量与已知的量间的数量关系，然后去求．注意同向（异向）不等式的两边可以相加（相减），这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．【同步练习】一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2022·四川·成都外国语学校高一阶段练习（理））如果实数,a b 满足0a b <<，那么（ ）． A ．0a b ->B ．11a b> C ．ac bc < D ．22a b <【答案】B 【解析】对于A ：因为0a b <<，所以0a b -<，故A 错误； 对于B ：因为0a b <<，所以10,0ab ab>>， 所以11a b ab ab ⋅<⋅，即11a b>，故B 正确； 对于C ：因为0a b <<，当0c ≤时ac bc ≥，故C 错误； 对于D ：因为()()220a b a b a b -=+->，即22a b >，故D 错误；故选：B2．（2022·浙江衢州·高一阶段练习）随着社会的发展，小汽车逐渐成了人们日常的交通工具．小王在某段时间共加92号汽油两次，两次加油单价不同．现在他有两种加油方式：第一种方式是每次加油200元，第二种方式是每次加油30升．我们规定这两次加油哪种加油方式的平均单价低，哪种就更经济，则更经济的加油方式为（ ） A ．第一种 B ．第二种 C ．两种一样 D ．不确定【答案】A【解析】设第一次的油价为1x ，第二次的油价为2x ，且12x x ≠， 第一种加油方式的平均油价为12112122400200200x x y x x x x ==++，第二种加油方式的平均油价为()1212230602x x x x y ++==，因为()()21212122112122022x x x x x xy y x x x x -+-=-=>++，则12y y <，因此，更经济的加油方式为第一种． 故选：A ．3．（2022·宁夏·银川二中高二期中（文））已知0ab >，且()()332a b a b ++=，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．222a b +≤B ．222a b +C ．2a b +D ．2a b +>【答案】A【解析】因为()()()()()23322443344222a b a b a b a b ab a b a b a b ++-+=+++-++()2332220a b ab a b ab a b =+-=-≥，所以，()2222a b +≤，因为2220a b ab +≥>，则222a b +A 对B 错；若1412a b ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则()()332a b a b ++=成立，但134412222a b ⎛⎫+=⨯=> ⎪⎝⎭C 错； 若1412a b ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，则()()332a b a b ++=成立，则2a b +>D 错． 故选：A ．4．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知,a b ∈R 且满足1311a b a b ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，则42a b+的取值范围是（ ） A ．[0,12] B ．[4,10]C ．[2,10]D ．[2,8]【答案】C【解析】设()()42+=++-a b A a b B a b ，可得42+=⎧⎨-=⎩A B A B ，解得31=⎧⎨=⎩A B ，()423+=++-a b a b a b ，因为1311a b a b ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩可得()33911⎧≤+≤⎨-≤-≤⎩a b a b ，所以24210a b ≤+≤． 故选：C ．5．（2022·黑龙江·鹤岗一中高二阶段练习）下列命题中，正确的是（ ） A ．若a b >，c d >， 则 a c b d +>+ B ．若a b >， 则ac bc > C ．若0a b >>，0c d >>， 则a b c d> D ．若a b >，则22a b >【答案】A【解析】解：对于A ：由不等式的性质得，当a b >，c d >，则a c b d +>+，故A 正确； 对于B ：当0c 时0ac bc ==，故B 错误；对于C ：当2,1a b ==，满足0a b >>；当3,0.1c d ==，满足0c d >>，但2103a bc d=<=，故C 错误；对于D ：当1a =，1b =-满足a b >，但是22a b =，故D 错误； 故选：A6．（2022·河南·高二期中（文））已知a ，b ，c ∈R ，a b >，且0ab ≠，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．2a bab +≥B ．2ab b > C ．22ac bc > D ．33a b >【答案】D【解析】当0,0a b <<时，02a bab +<<A 不成立； 0b <时，由a b >得2ab b <，B 不成立；当0c 时，22ac bc =，C 不成立， 由不等式得性质，D 正确． 故选：D ．7．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高二阶段练习（文））已知a ，b ∈R ，0a b >>，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．11a ab b ->- B ．11a b b>- C ．11a ab b +>+ D ．11a b b a->- 【答案】C【解析】对于A ：1(1)(1)1(1)(1)a a ab b a b ab b b b b b ------==---， 因为0a b >>，所以0b a -<，0b >，但1b -的正负不确定， 所以11a ab b ->-不一定成立，即选项A 错误； 对于B ：11()2()()b a b b a a b b b a b b a b ----==---， 因为0a b >>，所以0a b ->，0b >，但2b a -的正负不确定， 所以11a b b>-不一定成立，即选项B 错误； 对于C ：1(1)(1)1(1)(1)a a ab b a a bb b b b b b ++-+--==+++，因为0a b >>，所以0a b ->，0b >，10+>b ， 所以11a ab b ->-一定成立，即选项C 正确； 对于D ：11()(1)()a b ab a b b a ab-----=，因为0a b >>，所以0a b ->，0ab >，但1ab -的正负不确定， 所以11a b b a->-不一定成立，即选项D 错误．故选：C ．8．（2022·浙江金华·高三阶段练习）若非负实数x 、y 、z 满足约束条件3135x y z x y z -+≤⎧⎨+-≥⎩，则3S x y z =++的最小值为（ ） A ．1 B ．3C ．5D ．7【答案】D 【解析】由不等式组可推导出245S y z ≥++，由不等式组结合不等式的基本性质可得出1y z ≥+，进而可得出67S z ≥+，结合0z ≥可求得S 的最小值． 【详解】由35x y z +-≥可得53x y z ≥-+，3533245S x y z y z y z y z ∴=++≥-+++=++， 由31x y z -+≤得31x y z -+-≥-，又35x y z +-≥，由不等式的基本性质可得()()33444x y z x y z y z -+-++-=-≥，即1y z -≥，1y z ∴≥+．()214567S z z z ∴≥+++=+， 0z ≥，677S z ∴≥+≥．因此，S 的最小值为7． 故选：D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）下列命题正确的是（ ） A ．若c ca b>，则a b < B ．若a b <且0ab >，则11a b> C ．若0a b <<，则22a ab b << D ．若0,0a b c d >><<，则ac bd <【答案】BD【解析】对选项A ：可取3a =，2b =，1c =-，则满足c ca b>，但此时a b >，所以选项A 错误；对选项B ：因为0ab >，所以若0b a >>，则11a b >；若0a b <<，则11a b>；所以选项B 正确；对选项C ：若0a b <<，则2a ab >，所以选项C 错误；对选项D ：若0c d <<，所以0c d ->->；又因为0a b >>，所以由同向同正可乘性得：ac bd ->-，所以ac bd <，所以选项D 正确，故选：BD ．10．（2022·浙江·温州市第八高级中学高二期中）已知实数x ，y 满足16x <<，23y <<，则（ ） A ．39x y <+< B ．13x y -<-< C ．218xy << D ．122xy<< 【答案】AC【解析】由16x <<，23y <<，知39x y <+<，218xy <<，A 、C 正确； 32y -<-<-，故24x y -<-<，B 错误；11132y <<，故133x y <<，D 错误．故选：AC ．11．（2022·广西·高一阶段练习）若a ，b 为非零实数，则以下不等式中恒成立的是（ ）． A ．222a b ab +≥B ．()22242a b a b ++≤C ．2a b aba b +≥+ D ．2b aa b+≥【答案】AB【解析】选项A ：由()2222220222a b ab a b a b ab ++-==-≥-，可得222a b ab +≥．判断正确； 选项B ：由()()222222204244a b a b a b a ab b +-++-+--==≤，可得()22242a b a b ++≤．判断正确；选项C ：当1,2a b =-=-时，32223a b ab a b +=-=-+，，由3223-<-，可得2a b aba b +<+．判断错误；选项D ：当1,2a b ==-时，2152122b a a b -+=+=-<-．判断错误． 故选：AB12．（2022·浙江·台州市书生中学高二开学考试）已知0x y z ++=，x y z >>，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．xy xz > B ．xy yz >C ．222x z y +>D ．y y z z >【答案】ACD【解析】因为0x y z ++=，且x y z >>，可得0,0x z ><，y 正负不确定， 对于A 中，由y z >且0x >，所以xy xz >，所以A 正确；对于B 中，由>x z ，但y 正负不确定，所以xy 与yz 大小不确定，所以B 不正确； 对于C 中，由0x y z ++=，可得()y x z =-+，可得2222y x z xz =++，又由22222222)(20x z y x z x z zx xz =+-=-++-+>，所以222x z y +>，所以C 正确；对于D 中，当0y ≥时，可得220,0y y y z z z =≥=-<，所以y y z z >； 当0y <时，可得22,y y y z z z =-=-，因为y z >且0y <，可得0z y ->->，可得22z y >，所以22y z ->-，即y y z z >， 所以D 正确． 故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（2022·辽宁·高二阶段练习）已知13a -<<且24b <<，则2a b -的取值范围___________． 【答案】6,4【解析】由13226a a -<<⇒-<<，由2442b b <<⇒-<-<-，相加得624a b -<-<． 故答案为：6,4．14．（2022·广西壮族自治区北流市高级中学高二阶段练习（文））若7,34(0)P a a Q a a a =+=++≥．则P ，Q 的大小关系__________（用“<”，“≤”，“=”连接两者的大小关系） 【答案】P Q <【解析】依题意可知0,0,0P Q a >>≥，22222727,272712P a a a Q a a a =+++=++++所以22P Q <，所以P Q <． 故答案为：P Q <15．（2022·全国·高三专题练习）能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若222a b c >>，则a b c +>”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为___________．【答案】3-､1-､1（答案不唯一）【解析】令3a =-，1b =-，1c =，则222101a b c +=>=，此时41a b +=-<-，所以a b c +>”是假命题．故答案为：3-､1-､116．（2022·全国·高一课时练习）设,a b ∈R ，则22222a b a b ++≥+中等号成立的充要条件是_______． 【答案】1a =且1b =．【解析】由题设，22222121(1)(1)0a a b b a b -++-+=-+-≥， ①要使等号成立，则1a =且1b =，当1a =且1b =时，有2224,224a b a b ++=+=，即22222a b a b ++=+成立． 综上，1a =且1b =是22222a b a b ++≥+中等号成立的充要条件．故答案为：1a =且1b =．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸． 17．（10分）（2022·上海市大同中学高一期中）设x 、y 是不全为零的实数，试比较222x y +与2x xy +的大小，并说明理由．【解析】解：()()22222223224y y x y x xy x xy y x ⎛⎫+-+=-+=-+ ⎪⎝⎭，若223024y y x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则020y x y ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，可得0x y ==， 但x 、y 是不全为零的实数，矛盾，故223024y y x ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，因此，2222x y x xy +>+． 18．（12分）（2022·全国·高一课时练习）设实数a 、b 、c 满足2234644b c a a c b a a ⎧+=-+⎨-=-+⎩试确定a 、b 、c 的大小关系，并说明理由．【解析】由已知得222451c a a b a ⎧=-+⎨=+⎩， 因为()224420c b a a a -=-+=-≥， 所以c b ≥，当且仅当2a =时取等号， 因为22131024b a a a a ⎛⎫-=+-=-+> ⎪⎝⎭，所以b a >，综上：c b a ≥>． 19．（12分）（2022·广东广雅中学高一阶段练习）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好．设某所公寓的窗户面积为2m a ，地板面积为2m b ，（1）若这所公寓窗户面积与地板面积的总和为2330m ，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？（2）若同时增加相同的窗户面积和地板面积，设增加的面积为2m t ，则公寓的采光效果是变好了还是变坏了？请说明理由．【解析】（1）根据题意可得：33010%a b ab+=⎧⎪⎨≥⎪⎩ ，则330b a =-，所以10%330a a ≥-，解得：30a ≥，所以这所公寓的窗户面积至少为30平方米（2）同时增加窗户面积和地板面积后，比值为a tb t ++，则()()()t b a a t a ab tb ab at b t b b b t b b t -++---==+++，因为0,0,b t b a >>>，所以()()0t b a a t a b t b b b t -+-=>++，所以a t ab t b+>+，所以同时增加相同的窗户面积和地板面积后，公寓的采光效果变好了 20．（12分）（2022·福建·福州三中高一阶段练习）证明下列不等式 （1）若bc -ad ≥0，bd ＞0，求证：a b c db d++≤ （2）已知a ＞0，b ＞0，求证：22a b a b b a++≥【解析】证明：（1）因为()()a b d c d b a b c d ad bcb d bd bd+-+++--==，又bc -ad ≥0，bd ＞0， 所以0ad bc bd-≤，所以a b c db d ++≤；（2）因为()()()2223223+a b a b a b a b a b a b b ab a ab b a +-⎛⎫+-+== ⎝--⎪⎭，又a ＞0，b ＞0，所以()()20a b a b ab+-≥，所以22a b a b b a++≥．21．（12分）（2022·湖北·武汉市钢城第四中学高一阶段练习）已知：实数12,(0,1)x x ∈，求证：不等式121211x x x x +>+ 成立的充分条件是12x x <． 【解析】实数12,(0,1)x x ∈，当12x x <时，120x x -<，1201x x <<， 则12121212121212121212()(1)1111()()()()()0x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ---+-+=-+-=-+=>， 于是得121211x x x x +>+， 所以不等式121211x x x x +>+ 成立的充分条件是12x x <． 22．（12分）（2022·辽宁·建平县实验中学高一阶段练习）（1）比较3x 与21x x -+的大小； （2）已知a b c >>，且0a b c ++=， ①求证：c c a c b c>--．①求ca的取值范围．【解析】解：（1）32322(1)()(1)(1)(1)x x x x x x x x --+=-+-=+-， 当1x =时，2(1)(1)0x x +-=，故321x x x =-+， 当1x >时，2(1)(1)0x x +->，故321x x x >-+， 当1x <时，2(1)(1)0x x +-<，故321x x x <-+； （2）①证明：a b c >>且0a b c ++=，0c ∴<， a b c >>，0a c b c ∴->->，两边取倒数得11a cb c<--， 又0c <， ∴c c a c b c>--，从而得证． ①a b c >>且0a b c ++=，0,0a c ∴><， 所以0ca <，1b a<， 因为0a b c ++=，所以10b ca a ++=，即1bc a a=--， 所以11c a--<，即2ca >-，综上，20c a -<<．。

专题解含绝对值符号的不等式1．阅读：我们知道，00a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩于是要解不等式|3|4x -≤，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法：解：（1）当30x -≥，即3x ≥时：34x -≤解这个不等式，得：7x ≤由条件3x ≥，有：37x ≤≤（2）当30x -<，即3x <时，(3)4x --≤解这个不等式，得：1x ≥-由条件3x <，有：13x -≤<∴如图，综合（1）、（2）原不等式的解为17x -≤≤根据以上思想，请探究完成下列2个小题：（1）|1|2x +≤；（2）|2|1x -≥． 【答案】（1）-3≤x≤1；（2）x≥3或x≤1．【分析】（1）分①x+1≥0，即x≥-1，②x+1＜0，即x ＜-1，两种情况分别求解可得；（2）分①x -2≥0，即x≥2，②x -2＜0，即x ＜2，两种情况分别求解可得．【详解】解：（1）|x+1|≤2，①当x+1≥0，即x≥-1时：x+1≤2，解这个不等式，得：x≤1由条件x≥-1，有：-1≤x≤1；②当x+1＜0，即 x ＜-1时：-（x+1）≤2解这个不等式，得：x≥-3由条件x ＜-1，有：-3≤x ＜-1∴综合①、②，原不等式的解为：-3≤x≤1．（2）|x-2|≥1①当x-2≥0，即x≥2时：x-2≥1解这个不等式，得：x≥3由条件x≥2，有：x≥3；②当x-2＜0，即 x ＜2时：-（x-2）≥1，解这个不等式，得：x≤1，对于含绝对值的不等式3x <，从图1的数轴上看：大于－3而小于3的数的绝对值小于3，所以3x <的解集为33x -<<；对于含绝对值的不等式3x >，从图2的数轴上看：小于－3或大于3的数的绝对值大于3，所以3x >的解集为3x <-或3x >．(1)含绝对值的不等式2x 的解集为______；(2)已知含绝对值的不等式1x a -<的解集为3b x <<，求实数a ，b 的值；(3)已知关于x ，y 的二元一次方程1x y m +=--的解满足2x y +≤，其中m 是正数，求m 的取值范围．【答案】11x -<<##11x >>-【答案】3x >或3x <-【分析】首先算出|x |=3的解，然后根据“大于取两边”的口诀得解 ．【详解】解：由绝对值的意义可得：x =3或x =-3时，|x |=3，∴根据“大于取两边”即可得到｜x ｜＞3的解集为：x >3或 x <−3（如图），故答案为：x >3或 x <−3．【点睛】本题考查绝对值的意义及不等式的求解，熟练掌握有关不等式的求解方法是解题关键．5．若|2a﹣6|＞6﹣2a，则实数a的取值范围是_____．__________.8．不等式组25x ⎧⎨-≤⎩的解集是（ ） A ．52x >- B ．37x -≤≤ C ．572x -<≤ D ．572x -≤≤ 【答案】x ＜0或x ＞4【详解】试题分析：此题是一个带绝对值的复合不等式，应分为x≤1，1＜x≤3，x ＞3，三种情况，再根据绝对值的性质化简原式，解不等式即可.试题解析：当x≤1时，原式可变形为1－x ＋3－x ＝4－2x ＞4，解得x ＜0.注意最后要合并解集．11．解不等式：（1）||2x <（2）|21|3x -≥ 【答案】（1）22x -<<；（2）2x ≥或1x ≤-．【分析】（1）根据绝对值的意义，即可求出不等式的解集；（2）根据绝对值的意义，即可求出不等式的解集.【详解】解：（1）∵||2x <，∴22x -<<．（2）∵|21|3x -≥，原不等式变形为：213x -≥或213x -≤-，解得：2x ≥或1x ≤-．【点睛】本题考查了解不等式，解题的关键是掌握绝对值的意义进行解题.12．解下列不等式：（1）|2|30x +->（2）35572x -+<问题的重要思想方法.例如，代数式2x -的几何意义是数轴上x 所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为()+=--x 1x 1，所以1x +的几何意义就是数轴上x 所对应的点与1-所对应的点之间的距离．⑴. 发现问题：代数式12x x ++-的最小值是多少？⑵. 探究问题：如图，点,,A B P 分别表示的是-1,2,x ，3AB =．∵12x x ++-的几何意义是线段PA 与PB 的长度之和∴当点P 在线段AB 上时，+=PA PB 3;当点点P 在点A 的左侧或点B 的右侧时 +>PA PB 3 ∴12x x ++-的最小值是3．⑶.解决问题：①.-++x 4x 2的最小值是 ；②.利用上述思想方法解不等式：314x x ++->③.当a 为何值时，代数式++-x a x 3的最小值是2． 【答案】①6；②3x <-或1x >；③1a =-或5a =-【分析】(3)①根据绝对值的几何意义可知，变成数轴上的点到-2的距离和到4的距离之和的最小值；②根据题意画出相应的图形，确定出所求不等式的解集即可；③根据原式的最小值为2，得到3左边和右边，且到3距离为2的点即可．【详解】解：(3)①设A 表示的数为4，B 表示的数为-2，P 表示的数为x ，∴|4|x -表示数轴上的点P 到4的距离，用线段PA 表示，|2||(2)|+=--x x 表示数轴上的点P 到-2的距离，用线段PB 表示，∴|4||2|x x -++的几何意义表示为PA+PB ，当P 在线段AB 上时取得最小值为AB ， 且线段AB 的长度为6，∴|4||2|x x -++的最小值为6.故答案为：6.②设A 表示-3，B 表示1，P 表示x ，小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式（含有不等号的式子）中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式.求绝对值不等式3x >的解集（满足不等式的所有解）.小明同学的思路如下：先根据绝对值的定义，求出x 恰好是3时x 的值，并在数轴上表示为点A ，B ，如图所示.观察数轴发现，以点A ，B 为分界点把数轴分为三部分：点A 左边的点表示的数的绝对值大于3；点A ，B 之间的点表示的数的绝对值小于3；点B 右边的点表示的数的绝对值大于3.因此，小明得出结论，绝对值不等式3x >的解集为：3x <-或3x >.参照小明的思路，解决下列问题：（1）请你直接写出下列绝对值不等式的解集.①1x >的解集是；x<的解集是.② 2.5x-+>的解集. （2）求绝对值不等式359（3）直接写出不等式24x>的解集是．∴|x|＞1的解集是x＞1或x＜-1；∴|x|＜2.5的解集是-2.5＜x＜2.5；x-+>的解集为：x＞7或x＜-1；可知：359可知：不等式x2＞4的解集是x＞2或x＜-2．对于绝对值不等式||3x <，从图1的数轴上看：大于3-而小于3的数的绝对值小于3，所以||3x <的解集为33x -<<；对于绝对值不等式||3x >，从图2的数轴上看：小于3-或大于3的数的绝对值大于3，所以||3x >的解集为3x <-或3x >．(1)求绝对值不等式|3|2x ->的解集；(2)已知绝对值不等式|21|x a -<的解集为3b x <<，求2a b -的值；|21|x -<2a x ∴-<解得12a -解集为1a -⎧我们知道x 的几何意义是在数轴上数x 对应的点与原点的距离：0x x =-，也就是说，x 表示在数轴上数x 与数0对应点之间的距离；这个结论可以推广为12x x -表示在数轴上数1x 和数2x 对应的点之间的距离；例1解方程2x =，容易看出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为2±，即该方程的解为2x =±．例2解不等式12x ->，如图，在数轴上找出12x -=的解，即到1的距离为2的点对应的数为1-，3，则12x ->的解集为1x <-或3x >．例3解方程125x x -++=由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和2-的距离之和为5的对应的x 的值.在数轴上，1和2-的距离为3，满足方程的x 对应的点在1的右边或2-的左边，若x 对应的点在1的右边，由下图可以看出2x =；同理，若x 对应的点在2-的左边，可得3x =-，故原方程的解是2x =或3x =-．回答问题：（只需直接写出答案）①解方程34x +=②解不等式34x -≥③解方程328x x -++=③328x x -++=，。