18届高考数学二轮复习寒假作业(四)导数的运算及几何意义(注意解题的速度)文

导数的概念及几何意义知识集结知识元导数及其几何意义知识讲解1．导数及其几何意义【知识点的知识】1、导数的定义如果函数f（x）在（a，b）中每一点处都可导，则称f（x）在（a，b）上可导，则可建立f （x）的导函数，简称导数，记为f′（x）；如果f（x）在（a，b）内可导，且在区间端点a处的右导数和端点b处的左导数都存在，则称f（x）在闭区间[a，b]上可导，f′（x）为区间[a，b]上的导函数，简称导数．2、导数的几何意义函数f（x）在x＝x0处的导数就是切线的斜率k．例如：函数f（x）在x0处的导数的几何意义：k切线＝f′（x0）＝．【典型例题分析】题型一：根据切线方程求斜率典例1：已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A．3 B．2 C．1 D．解：设切点的横坐标为（x0，y0）∵曲线的一条切线的斜率为，∴y′＝﹣＝，解得x0＝3或x0＝﹣2（舍去，不符合题意），即切点的横坐标为3故选A．题型二：求切线方程典例2：已知函数其图象在点（1，f（1））处的切线方程为y＝2x+1，则它在点（﹣3，f（﹣3））处的切线方程为（）A．y＝﹣2x﹣3 B．y＝﹣2x+3 C．y＝2x﹣3 D．y＝2x+3解：∵图象在点（1，f（1））处的切线方程为y＝2x+1∴f（1）＝2+1＝3∵f（﹣3）＝f（3﹣2）＝f（1）＝3∴（﹣3，f（﹣3））即为（﹣3，3）∴在点（﹣3，f（﹣3））处的切线过（﹣3，3）将（﹣3，3）代入选项通过排除法得到点（﹣3，3）只满足A故选A．【解题方法点拨】（1）利用导数求曲线的切线方程．求出y＝f（x）在x0处的导数f′（x）；利用直线方程的点斜式写出切线方程为y﹣y0＝f′（x0）（x﹣x0）．（2）若函数在x＝x0处可导，则图象在（x0，f（x0））处一定有切线，但若函数在x＝x0处不可导，则图象在（x0，f（x0））处也可能有切线，即若曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直．（3）注意区分曲线在P点处的切线和曲线过P点的切线，前者P点为切点；后者P点不一定为切点，P点可以是切点也可以不是，一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的公共点，（4）显然f′（x0）＞0，切线与x轴正向的夹角为锐角；f′（x0）＜0，切线与x轴正向的夹角为钝角；f（x0）＝0，切线与x轴平行；f′（x0）不存在，切线与y轴平行．例题精讲导数及其几何意义例1.'已知函数，其中a>0．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，证明：-3<f（x1）+f（x2）<-2．'例2.'求下列函数的导数（1）y=2x3-3x2-4；（2）y=xlnx；（3）．'例3.'已知函数f（x）=ax3-x2（a>0），x∈[0，+∞）．（1）若a=1，求函数f（x）在[0，1]上的最值；（2）若函数y=f'（x）的递减区间为A，试探究函数y=f（x）在区间A上的单调性．'导数的计算知识讲解1．导数的运算【知识点的知识】1、基本函数的导函数①C′＝0（C为常数）②（x n）′＝nx n﹣1（n∈R）③（sin x）′＝cos x④（cos x）′＝﹣sin x⑤（e x）′＝e x⑥（a x）′＝（a x）*lna（a＞0且a≠1）⑦[log a x）]′＝*（log a e）＝（a＞0且a≠1）⑧[lnx]′＝．2、和差积商的导数①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）④[]′＝．3、复合函数的导数设y＝u（t），t＝v（x），则y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）【解题方法点拨】1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误．例题精讲导数的计算例1.已知函数f（x）=2lnx+x，则f'（1）的值为___．例2.已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=e x f′（1）+3lnx，则f′（1）=___．例3.函数f（x）=sin x+e x（e为自然对数的底数），则f′（π）的值为______。

第09天导数的几何意义的应用高考频度：★★★☆☆难易程度：★★★☆☆典例在线设函数f(x)=(a,b∈Z),曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=3.（1）求f(x)的解析式;（2）证明：曲线y=f(x)上任意一点处的切线与直线x=1和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,并求出此定值.【参考答案】（1）f(x)=（2）见试题解析.【试题解析】（1）求导可得f'(x)=由题意,可得212321(2)abab⎧+=⎪+⎪⎨⎪-=+⎪⎩,因为a,b∈Z,故f(x)=（2）在曲线上任取一点(x0,x0由f'(x0)=1知过此点的切线方程为()200200[1111(]1)x xy x xx x-+-=----.令x=1,得y所以切线与直线x=1的交点为令y=x,得y=2x0-1,所以切线与直线y=x的交点为(2x0-1,2x0-1). 显然直线x=1与直线y=x的交点为(1,1).1||2x0-1-1|2x0-2|=2,所以所围成的三角形的面积为定值2.【名师点睛】（1）求曲线在某点处的切线时，要注意切点既是曲线上的点也是切线上的点，即切点的坐标同时适合曲线方程和切线方程，利用这个方法可以确定一些未知的常数．（2）函数()y f x=在某点处的导数、曲线()y f x=在某点处切线的斜率和倾斜角，这三者是可以相互转化的．（3）当曲线()y f x=在点00((),)xf x处的切线垂直于x轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x x=．（4）注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线()y f x=在点00((),)x f x处的切线方程是000()()()yf x f x x x-='-；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解．学霸推荐1ABC D2．已知曲线及曲线上一点P(1，－2)．（1）求曲线在P点处的切线方程；（2）求曲线过P点的切线方程．1．【答案】C【解析】设切点为（,则011axy⎧=⎪⎨⎪=⎩2．【解析】（1）由f(x)＝x3－3x得，f′(x)＝3x2－3.过点P且以P(1，－2)为切点的直线的斜率f′(1)＝0，∴所求切线方程为y＝－2.。

考点9 导数的运算及其几何意义【考点剖析】1.最新考试说明：1.了解导数概念的实际背景；2.理解导数的几何意义；3.会用课本给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单的函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如()f ax b 的导数） 2.命题方向预测：导数的概念、导数的运算、导数的几何意义等是重点知识，基础是导数运算.导数的几何意义为高考热点内容，考查题型多为选择、填空题，也常出现在解答题中前一问，难度较低．归纳起来常见的命题探究角度往往有： (1)求切线方程问题． (2)确定切点坐标问题． (3)已知切线问题求参数． (4)切线的综合应用． 3.课本结论总结：1. 基本初等函数的导数公式2．导数的运算法则（1） [f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；（2） [f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；（3）2()'()()'()()'()()f x f x g x g x f x g x g x ⎡⎤⋅-⋅=⎢⎥⎣⎦(g (x )≠0)． (4) 复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 3. 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数几何意义：函数()y f x =在点0x 处的导数0'()f x 就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线和斜率，即0'()k f x =.相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 4.名师二级结论：当一个函数是多个函数复合而成时，就按照从外层到内层的原则进行求导，求导时要注意分清层次，防止求导不彻底，同时，也要注意分析问题的具体特征，灵活恰当选择中间变量，同时注意可先化简，再求导，实际上，复合函数的求导法则，通常称为链条法则，这是由于求导过程像链条一样，必须一环一环套下去，而不能漏掉其中的任何一环. 5.课本经典习题：(1)新课标A 版选修2-2第6页，例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热.如果在第x h 时，原油的温度（单位：℃）为2()715(08)y f x x x x ==-+≤≤.计算第2h 与第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.【经典理由】结合具体的实例，给出了结论：0'()f x 反映了原油温度在时刻0x 附近的变化情况，阐述了导数的意义：导数可以描述瞬时变化率.(2)新课标A 版选修2-2第17页，例4 求下列函数的导数（1）2(23)y x =+；（2）0.051x y e -+=；（3）sin()y x πϕ=+(其中π，ϕ均为常数)；【经典理由】结合具体的例题，说明了复合函数求导的一般方法. 6.考点交汇展示： (1)导数与函数图象相结合例1.【2018届甘肃省兰州市西北师范大学附属中学高三一调】已知函数()f x 在R 上可导，其部分图象如图所示，设()()4242f f a -=-，则下列不等式正确的是（ ）A. ()()24a f f <'<'B. ()()24f a f '<'<C. ()()42f f a ''<<D. ()()24f f a ''<< 【答案】B【解析】由图象可知，函数的增长越来越快，故函数在该点的斜率越来越大，所以()()()()2,2,4,4f f两点连续的斜率()()4242f f --大小，在点()()2,2f 处的切线斜率()'2f 与点()()4,4f 的切线斜率()'4f 之间， ()()'2'4f a f ∴<<，故选B. (2)导数与不等式相结合例2.【2018届山东省菏泽第一中学高三上第一次月考】已知函数为自然对数的底数. （1）过点的切线斜率为，求实数的值； （2）当时，求证：.【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：(1)对函数求导，由题意可知点A 在函数f(x)图像上，=2可求得a的值。

第三章 导数及其应用第一节 导数的概念及其运算考点2 导数几何意义及应用（2018·江苏卷）记f ′（x ），g ′（x ）分别为函数f （x ），g （x ）的导函数．若存在x 0∈R ，满足f （x 0）＝g （x 0）且f ′（x 0）＝g ′（x 0），则称x 0为函数f （x ）与g （x ）的一个“S 点”．（1）证明：函数f （x ）＝x 与g （x ）＝x 2＋2x －2不存在“S 点”；（2）若函数f （x ）＝ax 2－1与g （x ）＝ln x 存在“S 点”，求实数a 的值；（3）已知函数f （x ）＝－x 2＋a ，g （x ）＝be x x .对任意a ＞0，判断是否存在b ＞0，使函数f （x ）与g （x ）在区间（0，＋∞）内存在“S 点”，并说明理由．【解析】（1）证明 函数f （x ）＝x ，g （x ）＝x 2＋2x －2，则f ′（x ）＝1，g ′（x ）＝2x ＋2.由f （x ）＝g （x ）且f ′（x ）＝g ′（x ），得{x ＝x 2＋2x －2,1＝2x ＋2,此方程组无解， 因此，f （x ）与g （x ）不存在“S 点”．（2）函数f （x ）＝ax 2－1，g （x ）＝ln x ，则f ′（x ）＝2ax ，g ′（x ）＝1x .设x 0为f （x ）与g （x ）的“S 点”，由f （x 0）＝g （x 0）且f ′（x 0）＝g ′（x 0），得{ax 02−1=lnx 0,2ax 0=1x 0,即{ax 02−1=lnx 0,2ax 02=1,（*） 得ln x 0＝－12，即x 0＝e －12，则a ＝12(e−12)2＝e 2. 当a ＝e 2时，x 0＝e －12满足方程组（*）， 即x 0为f （x ）与g （x ）的“S 点”．因此，a 的值为e 2.（3）对任意a ＞0，设h （x ）＝x 3－3x 2－ax ＋A ．因为h （0）＝a ＞0，h （1）＝1－3－a ＋a ＝－2＜0，且h （x ）的图象是不间断的，所以存在x 0∈（0,1），使得h （x 0）＝0.令b ＝2x 03ex 0(1−x 0)，则b ＞0.函数f （x ）＝－x 2＋a ，g （x ）＝be x x ， 则f ′（x ）＝－2x ，g ′（x ）＝be x (x−1)x 2. 由f （x ）＝g （x ）且f ′（x ）＝g ′（x ），得{−x 2+a =be x x ,−2x =be x (x−1)x 2, 即{−x 2+a=2x 03ex 0(1−x 0)·e x x ,−2x =2x 03ex 0(1−x 0)·e x (x−1)x 2,（**） 此时，x 0满足方程组（**），即x 0是函数f （x ）与g （x ）在区间（0,1）内的一个“S 点”．因此，对任意a ＞0，存在b ＞0，使函数f （x ）与g （x ）在区间（0，＋∞）内存在“S 点”．【答案】见解析（2018·全国Ⅱ卷（文））曲线y ＝2ln x 在点（1,0）处的切线方程为________．【解析】因为y ′＝2x ，y ′|x ＝1＝2，所以切线方程为y －0＝2（x －1），即2x －y －2＝0.【答案】2x －y －2＝0（2018·全国Ⅰ卷（文））设函数f （x ）＝x 3＋（a －1）x 2＋ax ，若f （x ）为奇函数，则曲线y ＝f （x ）在点（0,0）处的切线方程为（ ）A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝x 【解析】方法一 ∵f （x ）＝x 3＋（a －1）x 2＋ax ，∴f ′（x ）＝3x 2＋2（a －1）x ＋A ．又f （x ）为奇函数，∴f （－x ）＝－f （x ）恒成立，即－x 3＋（a －1）x 2－ax ＝－x 3－（a －1）x 2－ax 恒成立，∴a ＝1，∴f ′（x ）＝3x 2＋1，∴f ′（0）＝1，∴曲线y ＝f （x ）在点（0,0）处的切线方程为y ＝x .故选D ．方法二 ∵f （x ）＝x 3＋（a －1）x 2＋ax 为奇函数，∴f′（x）＝3x2＋2（a－1）x＋a为偶函数，∴a＝1，即f′（x）＝3x2＋1，∴f′（0）＝1，∴曲线y＝f（x）在点（0,0）处的切线方程为y＝x.故选D．【答案】D。

2023高考数学二轮复习专项训练《导数的概念和几何意义》一、单选题（本大题共12小题，共60分）1.（5分）直线y=x与曲线y=e x+m(m∈R,e为自然对数的底数)相切，则m=()A. 1B. 2C. −1D. −22.（5分）与曲线y=x3−5x相切且过原点的直线的斜率为()A. 2B. −5C. −1D. −23.（5分）曲线y=ax2在点P(1,a)处的切线平行于直线y=2x+1，则a=()A. 1B. 12C. −12D. −14.（5分）在曲线y=x3+x-2的切线中，与直线4x-y=1平行的切线方程是( )A. 4x-y=0B. 4x-y-4=0C. 2x-y-2=0D. 4x-y=0或4x-y-4=05.（5分）若函数f(x)=1x−3ax的图象在x=1处的切线与直线x+4y=0垂直，则a= ()A. −1B. 1C. −712D. −536.（5分）函数f(x)=−x2+3ln x的图象在x=1处的切线倾斜角为α，则cos2α=()A. 13B. 12C. 23D. 347.（5分）已知函数y=3x在x=2处的自变量的增量为Δx=0.1，则Δy为( )A. -0.3B. 0.6C. -0.6D. 0.38.（5分）曲线在点(1,2)处的切线方程为A. B. C. D.9.（5分）曲线y=12x2−2x在点(1,−32)处的切线的倾斜角为()A. −135°B. 45°C. −45°D. 135°10.（5分）已知曲线C：x2−2x+y2+b=0，且曲线C上一点P(2,2)处的切线与直线ax−y+1=0垂直，则a=()A. 2B. 12C. −12D. −211.（5分）设f(x)=x3+(a−1)x2+ax.若f(x)为奇函数，则曲线y=f(x)在点(0 ,0)处的切线方程为()A. y=xB. y=−xC. y=2xD. y=−2x12.（5分）物体运动方程为s=14t4−3，则t=5时的瞬时速率为()A. 5m/sB. 25m/sC. 125m/sD. 625m/s二、填空题（本大题共5小题，共25分）13.（5分）曲线y=x+lnx−1往点(1,0)处的切线方程为______．14.（5分）已知定义在R上的函数f(x)满足f′(x)>0，且f(f(x)−e x)=e+1，若f(x)⩾ax−a+1恒成立，则实数的取值范围是____________.15.（5分）如果质点A的位移s与时间t满足方程s=2t3，则在t=3时的瞬时速度为____．16.（5分）已知函数f(x)={1x,x∈(0,2]f(x−2),x∈(2,+∞)，则f(x)在x=3处的切线方程为______．17.（5分）若函数f(x)=−x2+x在[2,2+Δx](Δx>0)上的平均变化率不大于−1，则Δx的取值范围是____________.三、解答题（本大题共6小题，共72分）18.（12分）已知函数f(x)=x2−2x−alnx+ax，a∈R.(1)若a=1，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)设f(x)的极小值点为x0，且f(x0)<a−a24，求a的取值范围．19.（12分）已知函数f(x)=ln x−ax，其中a为非零常数．(1)当a=1时，求f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在x=1处的切线斜率为−1，求f(x)的极值．20.（12分）已知函数f(x)=−x2+x图像上两点A(2,f(2))、B(2+Δx,f(2+Δx)).(1)若割线AB的斜率不大于−1，求Δx的范围；(2)用导数的定义求函数f(x)=−x2+x在x=2处的导数f′(2)，并求在点A处的切线方程．21.（12分）已知函数y=23x3−2x2+3，(1)求在点(1,53)处的切线方程，(2)求函数在[−1,3]的最值．22.（12分）已知函数f(x)=e x ln x−ae x(a∈R).(1)若f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线y=−e x+1平行，求a的值;(2)若f(x)在(0,+∞)上是单调函数，求实数a的取值范围.23.（12分）已知函数f(x)=ae x，g(x)=ln(ax)+52，a>0．(Ⅰ)若y=f(x)的图象在x=1处的切线过点(3,3)，求a的值并讨论ℎ(x)=xf(x)+m(x2+2x−1)(m∈R)在(0,+∞)上的单调增区间；(Ⅱ)定义：若直线l：y=kx+b与曲线C1：f1(x,y)=0、C2：f2(x,y)=0都相切，则我们称直线l为曲线C1、C2的公切线．若曲线y=f(x)与y=g(x)存在公切线，试求实数a的取值范围．四、多选题（本大题共5小题，共25分）24.（5分）已知函数f(x)=√x−ln x，若f(x)在x=x1和x=x2(x1≠x2)处切线平行，则()A.√x1√x2=12B. x1x2<128C. x1+x2<32D. x12+x22>51225.（5分）函数f(x)的导函数为f′(x)，若已知f′(x)的图像如图，则下列说法不正确的是()A. f(x)存在极大值点B. f(x)在(0,+∞)单调递增C. f(x)一定有最小值D. 不等式f(x)<0一定有解26.（5分）关于函数f(x)=a ln x+2x，下列判断正确的是()A. 函数f(x)的图象在点x=1处的切线方程为(a−2)x−y−a+4=0B. x=2a是函数f(x)的一个极值点C. 当a=1时，f(x)⩾ln2+1D. 当a=−1时，不等式f(2x−1)−f(x)>0的解集为(12,1)27.（5分）已知函数f(x)=ax3+x2+axe x，则()A. 若曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线与x+5y=0相互垂直，则a=5B. 若a=0，则函数f(x)的单调递减区间为(−∞,0)∪(2,+∞)C. 若a=0，则函数f(x)有2个极值点D. 若关于x的不等式函数x2+1⩾f(x)在(0,+∞)上恒成立，则实数a的取值范围为(−∞,e-12]28.（5分）函数f(x)={e x−1,x⩽1,ln(x−1),x>1,若函数g(x)=f(x)−x+a只有一个零点，则a的值可以为()A. 2B. −2C. 0D. 1答案和解析1.【答案】C;【解析】解：设切点为(x,y)，则x=y，∵y=e x+m，∴y′=e x+m∴e x+m=1，即x+m=0，又e x+m=x，∴e0=x，∴x=1，∴m=−1，故选：C.先求导函数，利用直线y=x与曲线y=e x+m相切，可知切线的斜率为1，即切点处的函数值为1，再利用切点处的函数值相等，即可求出a的值本题以直线与曲线相切为载体，考查了利用导数研究曲线上过某点切线方程的斜率，解答该题的关键是正确理解导数的几何意义．2.【答案】B;【解析】解：设切点坐标为P(x0,y0)，由曲线y=f(x)=x3−5x，得f′(x)=3x2−5，所以过原点的切线斜率为k=f′(x0)=3x02−5，所以切线方程为y−y0=(3x02−5)(x−x0)；又切线过原点O(0,0)，所以−x03+5x0=−3x03+5x0，解得x0=0，所以y0=0，则P(0,0)；所以与曲线y=x3−5x相切且过原点的直线的斜率为k=f′(0)=−5．故选：B．设切点为(x0,y0)，求出切线l的斜率为f′(x0)，写出切线l的方程，根据且线1过原点求出切点坐标和斜率．该题考查了导数的几何意义与应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．3.【答案】A;【解析】解：y=ax2的导数为y′=2ax，可得曲线在点P(1,a)处的切线斜率为k=2a，由切线平行于直线y=2x+1，可得k=2，即2a=2，解得a=1，故选：A．求得y=ax2的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件可得a的方程，解方程可得a的值．该题考查导数的几何意义，考查两直线平行的条件，考查方程思想和运算能力，属于基础题．4.【答案】D;【解析】曲线y=x 3+x-2求导可得y′=3x 2+1 设切点为(a ，b)则3a 2+1=4，解得a=1或a=-1 切点为(1，0)或(-1，-4)与直线4x-y-1=0平行且与曲线y=x 3+x-2相切的 直线方程是：4x-y-4=0和4x-y=0 故选D 。

1 4月5日 导数的几何意义及其应用
高考频度：★★★★☆ 难易程度：★★☆☆☆
设a ∈R ，函数f (x )＝e x ＋a ·e －
x 的导函数f ′(x )是奇函数，若曲线y ＝f (x )的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为
A ．－
B ．－ln 2
C ．
D ．ln 2
【参考答案】
D
【解题必备】曲线的切线的求法：若已知曲线过点P (x 0，y 0)，求曲线过点P 的切线，则需分点P (x 0，y 0)是切点和不是切点两种情况求解．
（1）当点P (x 0，y 0)是切点时，切线方程为y −y 0=f ′(x 0)(x −x 0)；
（2）当点P (x 0，y 0)不是切点时，可分以下几步完成：
第一步：设出切点坐标P ′(x 1，f (x 1))；
第二步：写出过P ′(x 1，f (x 1))的切线方程为y −f (x 1)=f ′ (x 1)(x −x 1)；
第三步：将点P 的坐标(x 0，y 0)代入切线方程求出x 1；
第四步：将x 1的值代入方程y −f (x 1)=f ′(x 1)(x −x 1)，可得过点P (x 0，y 0)的切线方程．
1．已知直线是曲线与曲线的一条公切线，与曲线切于点，且是函数的零点，则的解析式可能为。

专题04 导数及其应用（十七）导数及其应用1．导数概念及其几何意义（1）了解导数概念的实际背景.（2）理解导数的几何意义.2．导数的运算（1）能根据导数定义求函数y=C（C为常数），21,,,y x y x yx===的导数.（2）能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.•常见基本初等函数的导数公式：•常用的导数运算法则：法则1:法则2:法则3:3．导数在研究函数中的应用（1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）.4．生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题.与2017年考纲相比没什么变化，而且这部分内容作为高考的必考内容，在2018年的高考中预计仍会以“一小一大”的格局呈现，“一小”即以选择题或填空题的形式考查导数的几何意义和导数在研究函数问题中的直接应用，或以定积分的简单应用为主，难度中等；“一大”即以压轴题的形式呈现，仍会以导数的应用为主，主要考查导数、含参不等式、方程、探索性等方面的综合应用，难度较大.考向一 利用导数研究函数的单调性样题1 （2017新课标全国Ⅰ文科）已知函数()f x =e x (e x −a )−a 2x ．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()0f x ≥，求a 的取值范围．仅当2ln 0a a -≥，即1a ≤时，()0f x ≥．③若0a <，则由（1）得，当ln()2ax =-时，()f x 取得最小值，最小值为23(ln())[ln()]242a a f a -=--．从而当且仅当23[ln()]042a a --≥，即342e a ≥-时()0f x ≥． 综上，a 的取值范围为34[2e ,1]-．【名师点睛】本题主要考查导数两大方面的应用：（1）函数单调性的讨论：运用导数知识来讨论函数单调性时，首先考虑函数的定义域，再求出()f x '，由()f x '的正负，得出函数()f x 的单调区间；（2）函数的最值（极值）的求法：由确认的单调区间，结合极值点的定义及自变量的取值范围，得出函数()f x 的极值或最值．样题2（2017新课标全国Ⅲ文科）已知函数()2(1)ln 2x ax a x f x =+++． （1）讨论()f x 的单调性；（2）当a ﹤0时，证明3()24f x a≤--．从而当a ＜0时，11ln()1022a a -++≤，即3()24f x a≤--.【名师点睛】利用导数证明不等式的常见类型及解题策略：（1）构造差函数()()()h x f x g x =-.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间的大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.考向二 利用导数研究函数的极值问题样题3 若2x =-是函数21()(1)e x f x x ax -=+-的极值点，则()f x 的极小值为A ．1-B ．32e --C ．35e -D ．1【答案】A样题4 （2017山东文科）已知函数()3211,32f x x ax a =-∈R . （1）当a =2时,求曲线()y f x =在点()()3,3f 处的切线方程；（2）设函数()()()cos sin g x f x x a x x =+--,讨论()g x 的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.【解析】（1）由题意2()f x x ax '=-， 所以，当2a =时，(3)0f =，2()2f x x x '=-，①当0a <时，()()(sin )g x x a x x '=--，当(,)x a ∈-∞时，0x a -<，()0g x '>，()g x 单调递增；当(,0)x a ∈时，0x a ->，()0g x '<，()g x 单调递减；当(0,)x ∈+∞时，0x a ->，()0g x '>，()g x 单调递增.所以当x a =时()g x 取到极大值，极大值是31()sin 6g a a a =--， 当0x =时()g x 取到极小值，极小值是(0)g a =-.②当0a =时，()(sin )g x x x x '=-，当(,)x ∈-∞+∞时，()0g x '≥，()g x 单调递增；所以()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，()g x 无极大值也无极小值.③当0a >时，()()(sin )g x x a x x '=--，当(,0)x ∈-∞时，0x a -<，()0g x '>，()g x 单调递增；考向三 导数与不等式恒成立问题样题 5 已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：当0x ≥时，()s i n f x x x=-.若不等式2(4)(2)f t f m m t ->+对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是A ．(,-∞B ．(C ．(,0)(2,)-∞+∞D ．(,(2,)-∞+∞【答案】A【解析】由题意得，当0x ≥时，()1cos 0f x x '=-≥，则()f x 在[0,)+∞上单调递增，又根据奇函数的性质可知，()f x 在R 上单调递增，那么由2(4)(2)f t f m mt ->+可得242t m mt ->+在R 上恒成立，分离参数得242t m t <-+，令24()2t g t t =-+，求导可得，()g t 在(,-∞上单调递增，在(上单调递减，在)+∞上单调递增，故min ()g t g ==min ()m g t g <==.故选A ．【思路点睛】本题主要考查导数的最值应用,奇函数的性质,分离参数的方法，属于中档题.本题有两种方法求解：（1）利用函数是奇函数，可将0x <时的函数解析式求出，再用函数的单调性求解；（2）直接先求出0x ≥时的单调性，再根据奇函数在对称区间上的单调性相同可得出()f x 在R 上单调递增，可得到242t m mt ->+在R 上恒成立，再利用分离参数的方法，可得到242t m t <-+，进而利用求导的方法求出24()2t g t t =-+的最小值即可.此题判断出()f x 在R 上的单调性是解题的关键． 样题6 已知函数()2f x x x =-，()e 1x g x ax =--（e 为自然对数的底数）．（1）讨论函数()g x 的单调性；（2）当0x >时，()()f x g x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．。

典型高考数学试题解读与变式2018版考点十：导数的几何意义【考纲要求】（1）了解导数概念的实际背景.（2） 通过函数图像直观理解导数的几何意义. （3） 根据导数的定义求基本函数的导数.（4） 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如)(b ax f +的复合函数）的导数. 【命题规律】导数的运算是导数应用的基础，一般较少直接考查，而导数的几何意义----切线问题是高考考查的热点. 预计2017年的高考将会继续保持稳定，坚持考查导数的几何意义，命题形式会更加灵活、新颖． 【典型高考试题变式】 （一）求函数的导函数例1.【2017浙江高考改编】已知函数()(x 1f x e x 2-⎛⎫=≥⎪⎝⎭，求()f x 的导函数. 【答案】（I ）()()121)2x x e f x x --=>'；【方法技巧归纳】求函数的导函数要做到：1.基本初等函数的导函数相当熟悉；2.导函数的四则运算要熟练.另外，在求导的过程中，要注意对原式进行变形，使得便于我们求导.【变式1】【函数中含有参数，利用某函数值的导数求参数的值】【2015天津卷（文）】已知函数()()ln ,0,f x ax x x =∈+∞ ，其中a 为实数,()f x '为()f x 的导函数,若()13f '= ,则a 的值为 ． 【答案】3【解析】因为()()1ln f x a x '=+ ,所以()13f a '==.【变式2】【赋值法在求导得应用，题型变为填空题】【2017江西太原高三模考一（文）改编题】已知函数()()()2102x f f f x e x x e'=+-，则)(x f 的最小值为___________________.【答案】1（二）导数的几何意义例2.【2017天津卷（文）】已知a ∈R ，设函数()ln f x ax x =-的图像在点()()1,1f 处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为 .【答案】1【解析】(1)f a =，切点为(1,)a ，1()f x a x'=-，则切线的斜率为(1)1f a '=-，切线方程为：(1)(1)y a a x -=--，令0x =得出1y =，l 在y 轴的截距为1.【方法技巧归纳】切线的斜率就是函数在切点处的导数，倾斜值的正切值就是斜率.【变式1】【已知含参函数的切线斜率，求参数的值（或取值范围）】【2017四川乐山第三次调研考试（理）】已知曲线()221xx f x ee ax =-+-存在两条斜率为3的切线，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()3,+∞B. 73,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 7,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D. ()0,3 【答案】B【解析】由题得()222xx f x ee a '=-+，则方程2223x x e e a -+=有两个解，令x t e =，且()2223g t t t a =-+-，则由图象可知，有()0g t >且0∆>，即30a ->且()4830a -->，解得732a <<，故选B. 【变式2】【函数的切线斜率与切线的倾斜角之间的关系】【2017安徽宣城六校联考改编题】过函数()3213f x x x =-图象上一个动点作函数的切线,则切线倾斜角的范围为 A. 3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. π3π0,,π24⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦C. 3π[,π) 4D. π3π(,24⎤⎥⎦ 【答案】B【解析】由题意得()22k f x x x ==-'=()2111x --≥-,即tan α1k =≥-,解得πα02≥≥或3παπ4≤≤.即切线倾斜角的范围为π3π0,,π24⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.故选B. 【变式3】【两个函数的切线垂直求切点的取值范围】【2015陕西卷（理）】设曲线xy e =在点（0,1）处的切线与曲线1(0)y x x=>上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为 ． 【答案】()1,1【变式4】【两个函数的切线平行求参数的值】【2014江苏】在平面直角坐标系中，若曲线（为常数）过点，且该曲线在点处的切线与直线平行，则.【答案】【解析】曲线过点，则①，又，所以②，由①②解得所以．（三）在一点处的切线方程例3.【2017全国1卷（文）】曲线21y x x=+在点（1，2）处的切线方程为_________________________. 【答案】1y x =+【解析】设()y f x =，则()212f x x x -'=，所以()1211f ='-=， 所以曲线21y x x=+在点()1,2处的切线方程为()211y x -=⨯-，即1y x =+． 【方法技巧归纳】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其求法为：设()00,P x y 是曲线()y f x =上的一点，则以P 为切点的切线方程是()()000y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．【变式1】【例题中增加函数性质】【2016全国3卷（理）】已知()f x 为偶函数，当0x <时，()()ln 3f x x x =-+，则曲线()y f x =在点()1,3-处的切线方程是__________．【答案】21y x =--【变式2】【增加例题中函数的参数，求参数的取值】【2017届衡水中学押题卷3（文）改编题】已知函数()()1e xf x bx a =-+（a ， R b ∈）.若曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为y x =，求a ，b 的值分别为________.学-科网【答案】2,1【解析】函数()f x 的定义域为R ，()()e 1e xxf x b bx =+-' ()1e xbx b =+-.因为曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为y x =，所以()()00,{01,f f '==得10,{11,a b -=-=解得1,{2.a b == （四）过一点的切线方程例4.【2015全国1卷（理）改编题】已知函数，．（1）当为何值时，轴为曲线的切线.【答案】（Ⅰ）；【解析】（Ⅰ）设曲线 与轴相切于点，则，，即，解得.因此，当时，轴是曲线的切线.【方法技巧归纳】对于曲线)(x f y =上“过”点),(n m 的切线问题，一般要先设切点),(00y x ，于是切线为))(('0m x x f n y -=-，再根据切点在曲线上得)(00x f y =，切点在切线上得))(('000m x x f n y -=-.列方程组，可得切点的值.【变式1】【增加例题的难度，求切线的取值范围】【2017甘肃第二次高考诊断考试（理）】若P 是函数()()()1ln 1f x x x =++图象上的动点，点()1,1A --，则直线AP 斜率的取值范围为（ ）A. [)1,+∞B. []0,1 C. (1,e e -⎤⎦ D. (1,e -⎤-∞⎦【答案】A切线过点()1,1-- ，则： ()()()()000011ln 1ln 111x x x x ⎡⎤--++=++--⎣⎦ ， 解得： 00x = ，切线的斜率()0ln 111k x =++= ，学-科网 综上可得：则直线AP 斜率的取值范围为[)1,+∞.（五）两曲线的公切线例5.【2016全国2卷（理）】若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线()ln 1y x =+的切线，则b = ．【答案】1ln2-【解析】ln 2y x =+的切点为()11ln +2x x ，，则它的切线为111ln 1y x x x =⋅++.()ln 1y x =+的切点为()22ln +2x x ，，则它的切线为：()22221ln 111x y x x x x =++-++，所以()122122111ln 1ln 11x x x x x x ⎧=⎪+⎪⎨⎪+=+-⎪+⎩，解得112x =，212x =-，所以1ln 11ln 2b x =+=-．【方法技巧归纳】两曲线有公共切线，一般可以分别求出两曲线的切线，然后说明这两直线重合；或者先求出其中一条曲线的切线，然后说明其也和另一曲线相切.【变式1】【例题中曲线添加参数，求参数的值】【2015全国2卷】已知曲线ln y x x =+在点)1,1(处的切线与曲线1)2(2+++=x a ax y 相切，则a = ．【答案】8【解析】由11y x'=+可得曲线ln y x x =+在点)1,1(处的切线斜率为2,故切线方程为21y x =-,与1)2(2+++=x a ax y 联立得220ax ax ++=,显然0a ≠,所以由 2808a a a ∆=-=⇒=.【变式2】【改编题目问法，两曲线存在公切线求参数范围】【2017河南六市第二次联考（理）】若曲线21:(0)C y ax a =>与曲线2:x C y e =存在公共切线，则a 的取值范围为__________．【答案】2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】由y =ax 2(a >0),得y ′=2ax ，由y =e x ,得y ′=e x ，曲线C 1:y =ax 2(a >0)与曲线C 2:y =e x 存在公共切线，设公切线与曲线C 1切于点(x 1,ax 12),与曲线C 2切于点()22,x x e ，则22211212x x e ax ax e x x -==-，可得2x 2=x 1+2，∴11212x ea x +=， 记()122x ef x x +=，则()()1222'4x e x f x x +-= ，当x ∈(0,2)时,f ′(x )<0,f (x )递减；当x ∈(2,+∞)时,f ′(x )>0,f (x )递增. ∴当x =2时, ()2min 4e f x =.∴a 的范围是2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【数学思想】无限逼近的极限思想 （1）由0()()'()limx f x x f x f x x∆→+∆-=∆可以知道，函数的导数是函数的瞬时变化率，函数的瞬时变化率是平均变化率的极限，充分说明极限是人们从近似中认识精确的数学方法.极限的实质就是无限近似的量，向着有限的目标无限逼近而产生量变导致质变的结果，这是极限的实质与精髓，也是导数的思想及其内涵.（2）曲线的切线定义，充分体现了运动变化及无限逼近的思想：“两个不同的公共点→两公共点无限接近→两公共点重合(切点)”⇒“割线→切线”.学@科网（3）在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点P 处的切线方程和求曲线过点P 的切线方程，在点P 处的切线，一定是以点P 为切点，过点P 的切线，不论点P 在不在曲线上，点P 不一定是切点．【处理导数的几何意义问题注意点】(1)对于曲线切线方程问题的求解，对函数的求导是一个关键点，因此求导公式，求导法则及导数的计算原则要熟练掌握．(2)对于已知的点，应首先认真审题,对于确定切线的方程问题，要注意区分“该曲线过点P 的切线方程”与“该曲线在点P 处的切线方程”的两种情况，避免出错.从历年高考题看，“该曲线在点P 处的切线方程”问题的考查较为普遍.【典例试题演练】1．【2017宁夏银川一中高三二模（文）】已知在平面直角坐标系中，曲线()ln f x a x x =+在x a =处的切线过原点，则a =A. 1B. eC.1eD. 0 【答案】B2．【2017辽宁沈阳东北育才学校第九次模拟考试（理）】已知函数()xaf x x e =- (0)a >，且()y f x =的图象在0x =处的切线l 与曲xy e =相切，符合情况的切线A. 有0条B. 有1条C. 有2条D. 有3条 【答案】A【解析】函数f (x )= x ax e -的导数为f ′(x )=1−1x ae a，a >0.易知,曲线y =f (x )在x =0处的切线l 的斜率为1−1a ,切点为(0,−1)， 可得切线的方程为y =(1−1a)x −1. 假设l 与曲线y =e x 相切,设切点为(x 0,y 0)， 即有e x 0=1−1a =(1−1a)x 0−1， 消去a 得e x 0=e x 0⋅x 0−1,设h (x )=e x x −e x −1， 则h ′(x )=e x x ,令h ′(x )>0，则x >0，所以h (x )在(−∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增， 当x →−∞,h (x )→−1,x →+∞,h (x )→+∞， 所以h (x )在(0,+∞)有唯一解,则e x 0>1， 而a >0时,1−1a <1,与e x 0>1矛盾，所以不存在. 故选：A.3．【2017湖南长沙长郡中学高三5月模考（理）】设曲线()xf x e x =--（e 为自然对数的底数）上任意一点的切线为1l ，总存在曲线()32cos g x ax x =+上某点处切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为（ ）A. []1,2-B. []3,+∞ C. 21,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D. 12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】因为()()1,32sin xf x eg x a x ''=--=-，所以直线12,l l 的斜率分别为()11201,32sin x k e k a x =-+=-，则由题设可得()()10132sin 1x e a x -+-=-，即10132sin 1x a x e -=+，又因为对任意1x ，都有11011x e<<+，故 存在0x 使得0032sin 1a x <-<，即存在0x 使得002sin 312sin x a x <<+，故1232a -≤≤，即1233a -≤≤，应选答案D .4．【2017安徽蚌埠高三二质检（理）】已知函数()1xf x x a e ⎛⎫=-⎪⎝⎭，曲线()y f x =上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()2,e -+∞ B. ()2,0e - C. 21,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ D. 21,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】曲线()y f x =上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直，()()'10x f x a x e -∴=+-=有两个不同的解，即得()1x a x e -=-有两个不同的解，设()1x y x e -=-，则()'2,2,'0,2,'0x y x e x y x y -=-∴， ()1xy x e-=-在(),2-∞上递减，在()2,+∞上递增2x ∴=时，函数取得极小值2,e --又因为当2x >时总有()10xy x e -=-<，所以可得数a 的取值范围是21,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故选D.5．【2017四川绵阳高三月考（理）】过点()2,1A 作曲线()33f x x x =-的切线最多有（ ） A ．3条 B ．2条 C ．1条 D ．0条 【答案】A6．【2018河北石家庄二中开学考试（理）】已知函数()()21,f x g x x x==.若直线l 与曲线()(),f x g x 都相切，则直线l 的斜率为__________．【答案】4- 【解析】因为()()21,f x g x x x ==，所以()21‘,f x x =-设曲线()f x 与l 切于点111x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则切线斜率211k x =-，故切线方程为()121111y x x x x -=--，即21112y x x x =-+，与()2g x x =联立得： 2211120x x x x +-=，因为直线l 与曲线()g x 相切，所以02411221=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x ，解得112x =-，故斜率211k 4x =-=-. 故答案为： 4-7．【2018广东茂名高三五校联盟9月联考（理）】若函数的图象在点处的切线斜率为，则函数的极小值是__________．【答案】【解析】因为，所以由导数的几何意义可得切线的斜率，故，令可得，则函数的极小值为，应填答案.8．【2017河南新乡三模（文）】若()()2f x f x +-= 33x x ++对R x ∈恒成立，则曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程为__________．【答案】1315y x =-（或13150x y --=） 【解析】()()()()()()3323,23f x f x x x f x f x x x +-=++∴-+=-+-+()()()()333233f x x x x x ⎡⎤∴=++--+-+⎣⎦()()()321,31,213f x x x f x x f ''∴=++=+=又 ()211f =，则曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程为()11132y x -=- ，即1315y x =-9．【2017湖南郴州市高三第四次质量检测（文）】若函数（）在区间只有一个极值点，则曲线在点处切线的方程为__________．【答案】【解析】由题意可得，所以即在有唯一奇次根.根据根的存在性定理，即，，又因为，所以.,，,所以切线方程为.答案为：x-y+6=0.10．【2018河南周口市中英文学校开学考】曲线()C:sin 2xf x x e =++在0x =处的切线方程为_____．【答案】23y x =+【解析】由()sin 2x f x x e =++，得()cos xf x x e ='+， ()03f =，切线的斜率为()02k f ='=，故切线方程为23y x =+，故答案为23y x =+.11．【2018贵州贵阳高三8月摸底考】已知函数()()1*n n f x x xn N +=-∈，曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线与y 轴的交点的纵坐标为n b ，则数列{}n b 的前n 项和为__________．【答案】12n n +⋅【解析】对函数求导可得： ()()1'1n n f x nx n x -=-+，则()()()11'221222n n n f n n n --=⨯-+⨯=--⨯，且： ()12222nn n f -=-=-，曲线在()()2,2f 处的切线方程为()()12222n n y n x -+=--⨯⨯-，令0x =可得： ()1222n y n -=+⨯，即()1222n n b n -=+⨯，错位相减可得其前n 项和为12n n -⋅.12．【2017湖南省郴州市高三第四次质量检测（文）改编】已知函数（）与函数有公共切线.则求的取值范围为_____________.学-科网【答案】13．【2017吉林实验中学八模（理）改编】已知函数()()ln af x x a R x=+∈． （Ⅰ）若函数()f x 在1x =处的切线平行于直线20x y -=，求实数a 的值．【答案】（1）1a =-【解析】试题分析：（1）利用导数的几何意义，得()12f '=， 1a =-； 试题解析：（Ⅰ）()21'af x x x=-,函数()f x 在1x =处的切线平行于直线 20x y -=.()112,1f a a ∴=-=∴=-'.14．【2017陕西省西安市西北工业大学附属中学第八次模拟（理）】已知函数()()1ln t x f x e t x -=-（常数0t >）.（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若曲线()y f x =与直线y tx =相切，证明： 2t <.【答案】(1) ()f x 的单增区间为()1,+∞，单减区间为()0,1;(2)见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）求出()'f x ， ()'0f x >得增区间， ()'0f x <得减区间；（Ⅱ）设曲线()y f x =与直线y t x =的切点为()()00,x f x ，由00011ln t x tx x +-=，可得()00001ln x t x x x +=+，()()1ln x r x x x x +=+，其中11,1x t ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭，利用导数研究函数的单调性可得()()12r x r <=，即2t <.（Ⅱ）证明：设曲线()y f x =与直线y tx =的切点为()()00,x f x ， 因为()()11t x f x t e x -⎛⎫=- ⎝'⎪⎭，所以()()01001t x f x t e t x -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭'，即()01011t x e x -=+.因为直线y tx =经过切点()()00,x f x ，所以()()01000ln t x f x e t x tx -=-=，于是，有00011ln t x tx x +-=，即()00001ln x t x x x +=+. 令()()111t x h x ex -=--，则()()1210t x h x te x-+'=>，故()h x 单增， 又()110h =-<， 11101th e t t ⎛⎫+=--> ⎪+⎝⎭， 所以()h x 有唯一零点0x ，且011,1x t ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭. 再令()()1ln x r x x x x +=+，其中11,1x t ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭，则()()2223ln 10ln x x x r x x x x ----=<+'，故()r x 单减，所以()()12r x r <=，即2t <.学-科网。

专题1.5导数的运算与几何意义研究近几年高考命题可以发现，关于导数概念的独立考查极少，关于导数运算的独立考查也较少，往往是将导数运算与几何意义、导数的应用等结合在一起考查.高考对导数几何意义的考查，从题型看，有两种，即客观题与主观题，通过主观题考查，往往是独立的一问或在一问中应用导数的几何意义．而作为客观题考查最多，主要考向有：求斜率（倾斜角）、求切线方程、求切点坐标、根据几何意义求参数值或参数的范围、解答综合问题等，预计2020年应以通过客观题考查为主，熟记常见导数公式，正确进行计算是基础.一．导数的计算1. 基本初等函数的导数公式2．导数的运算法则（1） [f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； （2） [f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； （3）2()'()()'()()'()()f x f x g x g x f x g x g x ⎡⎤⋅-⋅=⎢⎥⎣⎦(g (x )≠0)． (4) 复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．二．导数的几何意义函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数几何意义：函数()y f x =在点0x 处的导数0'()f x 就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线和斜率，即0'()k f x =. 相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．【典例1】（2019·全国高三（文））已知下列四个命题，其中正确的个数有（） ①'1(2)2x x x -=⋅，②'(sin 2)cos 2x x =，③'(log )ln x a x a a =（0a >，且1a ≠），④'1(ln 2)2=A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】A 【解析】①'(2)2ln x xx =⋅，所以①错误； ②'(sin 2)2cos 2x x =，所以②错误； ③'1(log )ln a x x a=（0a >，且1a ≠），所以③错误； ④'(ln 2)0=，所以④错误. 故选：A【典例2】（2018年天津卷文）已知函数f (x )=e x ln x ，f′(x )为f (x )的导函数，则f′(1)的值为__________． 【答案】e 【解析】由函数的解析式可得：f ′(x)=e x ×lnx +e x ×1x =e x (lnx +1x )， 则：f ′(1)=e 1×(ln1+11)=e .即f′(1)的值为e.【总结提升】1.求函数导数的一般原则如下：(1)遇到连乘积的形式，先展开化为多项式形式，再求导； (2)遇到根式形式，先化为分数指数幂，再求导； (3)遇到复杂分式，先将分式化简，再求导. 2.复合函数的求导方法求复合函数的导数，一般是运用复合函数的求导法则，将问题转化为求基本函数的导数解决. ①分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量； ②分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量；③根据基本函数的 导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数； ④复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的 复合过程.【典例3】（2019·全国高考真题（文））曲线y =2sin x +cos x 在点(π，–1)处的切线方程为（ ） A ．10x y --π-= B ．2210x y --π-= C ．2210x y +-π+= D ．10x y +-π+=【答案】C 【解析】当x π=时，2sin cos 1y =π+π=-，即点(,1)π-在曲线2sin cos y x x =+上．2cos sin ,y x x '=-2cos sin 2,x y πππ=∴=-=-'则2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为(1)2()y x --=--π，即2210x y +-π+=．故选C ．【典例4】（2020·河南高三期末（理））定义在R 上的偶函数f(x)满足：当x <0时，f(x)=xx−1，则曲线y =f(x)在点(2,f(2))处的切线的斜率为__________． 【答案】19 【解析】依题意，当x >0时，f(x)=f(−x)=xx+1，f ′(x)=x+1−x(x+1)2=1(x+1)2，故f ′(2)=19. 【总结提升】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点． 曲线切线方程的求法：(1)以曲线上的点(x 0，f (x 0))为切点的切线方程的求解步骤： ①求出函数f (x )的导数f ′(x )； ②求切线的斜率f ′(x 0)；③写出切线方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，并化简．(2)如果已知点(x 1，y 1)不在曲线上，则设出切点(x 0，y 0)，解方程组0010010()'()y f x y y f x x x=⎧⎪-⎨=⎪-⎩得切点(x 0，y 0)，进而确定切线方程．【典例5】（2015·陕西高考真题（理））设曲线x y e =在点（0,1）处的切线与曲线1(0)y x x=>上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为_____． 【答案】【解析】 设00(,)P x y .对y ＝e x 求导得y ′＝e x ，令x ＝0，得曲线y ＝e x在点(0，1)处的切线斜率为1，故曲线1(0)y x x=>上点P 处的切线斜率为－1，由02011x x y x ==-=-'，得01x =，则01y =，所以P 的坐标为(1，1)． 【典例6】（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是____. 【答案】(e, 1). 【解析】设点()00,A x y ，则00ln y x =.又1y x'=， 当0x x =时，01y x '=， 点A 在曲线ln y x =上的切线为0001()y y x x x -=-， 即00ln 1xy x x -=-， 代入点(),1e --，得001ln 1ex x ---=-， 即00ln x x e =，考查函数()ln H x x x =，当()0,1x ∈时，()0H x <，当()1,x ∈+∞时，()0H x >，且()'ln 1H x x =+，当1x >时，()()'0,H x H x >单调递增，注意到()H e e =，故00ln x x e =存在唯一的实数根0x e =，此时01y =， 故点A 的坐标为(),1A e . 【总结提升】已知斜率求切点：已知斜率k ，求切点(x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k .【典例7】（2019·全国高考真题（文理））（2019·全国高考真题（理））已知曲线e ln xy a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则（ ） A ．,1a e b ==- B ．,1a e b ==C ．1,1a e b -==D ．1,1a e b -==-【答案】D 【解析】ln 1,x y ae x '=++1|12x k y ae ='==+=，1a e -∴=将(1,1)代入2y x b =+得21,1b b +==-，故选D ．【典例8】（2018·全国高考真题（理））曲线()1e xy ax =+在点()01，处的切线的斜率为2-，则a =________．【答案】3- 【解析】()y 1x x ae ax e =++'则()f 012a =+=-' 所以3a =- 故答案为-3.【典例9】（2015·全国高考真题（文））已知函数()31f x ax x =++的图像在点()()1,1f 的处的切线过点()2,7，则a = .【答案】1 【解析】()()2'31'131,(1)2:(2)(31)(1)7(2)f x ax f a f a l y a a x a =+⇒=+=+⇒-+=+-⇒-+(31)(21)1a a =+-⇒=.【规律方法】根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P (x 0，y 0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解． 【典例10】（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线y =x +4x (x >0)上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是_____. 【答案】4. 【解析】当直线x +y =0平移到与曲线y =x +4x 相切位置时，切点Q 即为点P 到直线x +y =0的距离最小.由y ′=1−4x 2=−1，得x =√2(−√2舍)，y =3√2，即切点Q(√2,3√2)，则切点Q 到直线x +y =0的距离为√2+3√2|√12+12=4，故答案为：4． 【技巧点拨】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离.将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离.渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题.1.（2018年新课标I 卷文理）设函数f (x )=x 3+(a −1)x 2+ax ．若f (x )为奇函数，则曲线y =f (x )在点(0 ， 0)处的切线方程为（ ）A. y =−2xB. y =−xC. y =2xD. y =x 【答案】D 【解析】因为函数f(x)是奇函数，所以a −1=0，解得a =1，所以f(x)=x 3+x ，f′(x)=3x 2+1，所以f′(0)=1,f(0)=0，所以曲线y =f(x)在点(0,0)处的切线方程为y −f(0)=f′(0)x ，化简可得y =x ，故选D.2．（2020·河北高三期末（文））已知函数()2 1f x sin x ax =-+的图象在点0,1处的切线方程为1y x =+,则a =（ ）A ．0B ．1C ．1-D ．2-【答案】B 【解析】()2cos f x x a ='-因为函数()21f x sinx ax =-+的图象在点()0,1处的切线方程为1y x =+, 所以()01f '=， 即()021f a '=-=， 解得：1a =， 故选：B.3．（2020·浙江嘉兴一中高三期末）设曲线12x y x +=-在点()1,2-处的切线与直线0ax by c 垂直，则ab =（ ） A ．13B ．13-C ．3D ．-3【答案】B 【解析】 依题意()()()'2221322x x y x x --+-==--，'1|3x y ==-，由于曲线12x y x +=-在点()1,2-处的切线与直线0ax by c 垂直，所以()131,3a a b b ⎛⎫-⋅-=-=- ⎪⎝⎭.故选：B4．（2020·重庆高二期末）函数()2()ln 1f x x =+的图象在点(1,(1))f 处的切线的倾斜角为（ ）A ．0B ．2πC ．3π D ．4π 【答案】D 【解析】由()()2ln 1f x x =+得：()221xf x x '=+ 则函数()f x 图象在点()()1,1f 处的切线的斜率为()2211111k f ⨯'===+设函数()()2ln 1f x x =+的图象在点()()1,1f 处的切线的倾斜角为θ，则tan 1θ=[)0,θπ∈ 4πθ∴=故选：D5.（2019·安徽高二月考（文））若函数()ln f x ax x =-的图象上存在与直线340x y +-=垂直的切线，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[3,)+∞ B ．(3,)+∞C ．[10,)3+∞ D ．(10,3)+∞ 【答案】B 【解析】设切点为()000,ln x ax x -，切线的斜率为1313k -==-，由1()(0)f x a x x '=->，得013a x -=，所以013a x =+，而0(0,)x ∈+∞，所以(3,)a ∈+∞. 故选B.6.（2019·重庆南开中学高三月考（文））若直线1y kx =+与1y x x =+相切，则实数k =（ ） A ．2 B ．34C ．12D ．32【答案】B 【解析】设切点为：0001,,x x x ⎛⎫+⎪⎝⎭ 21y 1x'=-， ∴1y x x=+在此点处的切线方程为： ()00200111y x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- ，即002211x y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭-∴2001121k x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得0342k x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，故选：B7.（2014·江西高考真题（文））若曲线ln y x x P =上点处的切线平行于直线210,x y P -+=则点的坐标是_______. 【答案】(,)e e 【解析】因为ln 1y x '=+，设切点(,)a b ，则ln 12,,k a a e =+==又ln ,b a a e ==(,).P e e8．（2019·全国高考真题（理））曲线23()e xy x x =+在点(0,0)处的切线方程为___________． 【答案】30x y -=. 【解析】详解：/223(21)3()3(31),x x xy x e x x e x x e =+++=++所以，/0|3x k y ===所以，曲线23()e xy x x =+在点(0,0)处的切线方程为3y x =，即30x y -=． 9．（2019·天津高考真题（文理）） 曲线cos 2xy x =-在点()0,1处的切线方程为__________. 【答案】220x y +-= 【解析】1'sin 2y x =--，当0x =时其值为12-， 故所求的切线方程为112y x -=-，即220x y +-=． 10．（2020·陕西高三期末（理））曲线ln y x x =⋅在点(1,0)处的切线的方程为__________． 【答案】10x y --= 【解析】ln y x x =⋅1ln ln +1y x x x x∴=+⋅=' 带入1x =得切线的斜率1k =，∴切线方程为()011y x -=⨯-，整理得10x y --=11．（2020·山东高三期末）曲线(1)xy x e =+在点(0,1)处的切线的方程为__________．【答案】21y x =+ 【解析】(2)212,21x y x e k y x y x =+∴=∴=='-+12．（2020·福建高三期末（理））函数()2ln f x a x bx =+在点()1,1处的切线方程为4y x m =+，则a b +=______. 【答案】3 【解析】()2ln f x a x bx =+，则()2af x bx x'=+， 由于函数()2ln f x a x bx =+在点()1,1处的切线方程为4y x m =+，则()()11124f b f a b ⎧='=⎪⎨=+=⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，因此，3a b +=.故答案为：3.13．（2020·河北衡水中学高三期末（文））已知函数2()ln f x x x =+，则曲线()f x 在点(1, (1))f 处的切线在y 轴上的截距为________. 【答案】2- 【解析】由2()ln f x x x =+，得1()2f x x x'=+，所以(1)3f '=，又(1)1f =，所以切点为(1,1)， 所以切线方程为13(1)y x -=-，即32y x =-， 令0x =，得2y =-，所以切线在y 轴上的截距为-2. 故答案为:-214．（2019·全国高三专题练习（文））若两曲线21y x =-与ln 1y a x =-存在公切线，则正实数a 的取值范围是__________． 【答案】(0,2]e 【解析】设两个切点分别为1122(,),(,)A x y B x y ,两个切线方程分别为2111(1)2()y x x x x --=-,222(ln 1)()a y a x x x x --=-,化简得2112221,ln 1a y x x x y x a x a x =--=+--两条切线为同一条.可得122212{ln a x x a x a x =-=-, ,2224(ln 1)a x x =--,令22()44ln (0)g x x x x x =->，()4(12ln )g x x x =-'，所以g(x)在递增，)+∞递减，max ()2g x g e ==．所以a ∈(]0,2e ，填(]0,2e ．15．（2019·全国高三专题练习（文））若函数()ln 2f x x ax =-的图象存在与直线20x y +=垂直的切线，则实数a 的取值范围是____． 【答案】1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】 '1()ln 2()2f x x ax f x a x=-⇒=-， 因为()f x 的图象存在与直线20x y +=垂直的切线，所以切线斜率为12， 所以'11()22f x a x =-=在0x >有解，即1122a x =-在0x >有解， 因为11122x ->-，所以11224a a >-⇒>-. 16.（2019·江西省奉新县第一中学高三月考（理））已知点P 在曲线41x y e =+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是____ 【答案】3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】 由已知函数41x y e =+的导数为'2441(1)2x x x x e y e e e =-=-+++12x x e e +≥=，124x x e e ∴++≥，[1,0)y ∴∈-'即tan [1,0)α∈-，0απ<<，34αππ∴≤<，即答案为：3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.。

1．导数的几何意义(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)就是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝f ′(x 0)．(2)曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 2．基本初等函数的导数公式和运算法则 (1)基本初等函数的导数公式①′＝u ′(x )±v ′(x )； ②′＝u ′(x )v (x )＋u (x )v ′(x )； ③⎣⎢⎡⎦⎥⎤u x v x ′＝ux v x －u x vx[v x2(v (x )≠0)．3．函数的单调性与导数如果已知函数在某个区间上单调递增(减)，则这个函数的导数在这个区间上大(小)于零恒成立．在区间上离散点处导数等于零，不影响函数的单调性，如函数y ＝x ＋sin x . 4．函数的导数与极值对可导函数而言，某点导数等于零是函数在该点取得极值的必要条件．例如f (x )＝x 3，虽有f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点，因为f ′(x )≥0恒成立，f (x )＝x 3在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，无极值． 5．闭区间上函数的最值在闭区间上连续的函数，一定有最大值和最小值，其最大值是区间的端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极大值中的最大者，最小值是区间端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极小值中的最小值． 6．函数单调性的应用(1)若可导函数f (x )在(a ，b )上单调递增，则f ′(x )≥0在区间 (a ，b )上恒成立； (2)若可导函数f (x )在(a ，b )上单调递减，则f ′(x )≤0在区间 (a ，b )上恒成立； (3)可导函数f (x )在区间(a ，b )上为增函数是f ′(x )＞0的必要不充分条件.热点一：导数的几何意义【典例】若存在实常数k 和b ，使得函数()f x 和()g x 对其定义域上的任意实数x 分别满足：()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”.已知函数2()1f x x =-和函数()2ln g x x =，那么函数()f x 和函数()g x 的隔离直线方程为_________. 【答案】22y x =-【考点定位】利用导数求切线方程【题型概述】本题考查了导数的几何意义，利用导数求曲线的切线方程，这是高考中常见的填空题之一，难度往往不是很大.但要注意“在某点处”与“过某点处”的区别，这是高考中的易错点之一.【跟踪练习1】设a 为实数，函数f （x ）=x 3+ax 2+（a ﹣3）x 的导函数为f′（x ），且f′（x ）是偶函数，则曲线：y=f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程为 ． 【答案】9x ﹣y ﹣16=0．【解析】∵f （x ）=x 3+ax 2+（a ﹣3）x ，∴f ′（x ）=3x 2+2ax+（a ﹣3），∵f′（x ）是偶函数， ∴3（﹣x ）2+2a （﹣x ）+（a ﹣3）=3x 2+2ax+（a ﹣3），解得a=0，∴f （x ）=x 3﹣3x ，f′（x ）=3x 2﹣3，则f （2）=2，k=f′（2）=9，即切点为（2，2），切线的斜率为9，∴切线方程为y ﹣2=9（x ﹣2），即9x ﹣y ﹣16=0．故答案为：9x ﹣y ﹣16=0． 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．【跟踪练习2】．已知曲线2n C :y nx =，点n n n n n P (x ,y )(x 0,y 0)>>是曲线n C 上的点(n 1,2,)=，曲线n C 在点n P 处的切线是n l ，n l 与y 轴相交于点n Q .若原点O(0,0)到切线n l 的距离与线段n n P Q 的长度之比取得最大值，则点n P 的坐标为 . 【答案】)41,21(nn考点：数列的应用和导数的几何意义. 热点二：利用导数研究函数的单调性 【典例】若1()2ax f x x +=+在区间(2,)-+∞上是增函数，则a 的范围是 .（用区间来表示） 【答案】1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【解析】因为1()2ax f x x +=+在区间(2,)-+∞上是增函数，故应有2121()02(2)ax a f x x x '+-⎛⎫'==≥ ⎪++⎝⎭，即12a ≥，但当12a =时，11112()222x ax f x x x ++===++（2x >-）为(2,)-+∞上的常数函数，不满足题意，所以a 的范围是1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭，这是一道易错题，常错误认为a 的范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，因此要正确把握好导数与函数单调性的关系.【考点定位】导数的应用、函数的单调性.【题型概述】利用导数研究函数的性质是导数最为主要的作用，也是高考必考内容之一，利用导数的正负与函数的增减性之间的关系来处理函数的单调性问题是一种很有效的工具，考生必须要熟练掌握.要注意导数是否为零的问题，这是一个易错点.【跟踪练习1】已知2()(1)()x f x x m g x xe =--+=，，若12x x R ∃∈，,使得12()()f x g x ≥成立，则实数m 的取值范围是_______． 【答案】1,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭考点：利用导数判断函数的单调性.【跟踪练习2】设函数()2x g x e x a =+-（a R ∈，e 为自然对数底数），定义在R 上函数()f x 满足：2()()f x f x x -+=，且当0x <时，()f x x '<，若存在01|()(1)2x x f x f x x ⎧⎫∈+≥-+⎨⎬⎩⎭．使[]00()g g x x =，则实数a 的取值范围为________．【答案】12⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】设21()()2h x f x x =-，则()()h x hx -=-，又0x <时，()()0h x f x x ''=-<，∴()h x 在(,)-∞+∞单调递减，由1()(1)2f x f x x +≥-+得()(1)h x h x ≥-，∴1x x ≤-，∴12x ≤．又由[]00()g g x x =，()g x 为递增函数，得00()g x x =，∴2x e x a x +-=，即xa e x =+在1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦有解，∴1212a e ≤+，∴12a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦．考点：函数性质及利用导数研究函数的单调性. 热点三：利用导数研究函数的极值、最值 【典例】已知ln ()ln ,()1xf x x f x x=-+在0x x =处取最大值。