2018-2019学年湖南省高一下学期4月新高考选科摸底测评数学试题(B卷)(解析版)

2019年4月湖南省新高考高一选科摸底测评试卷语文（本试卷共10页，22题，全卷满分：150分，考试用时：150分钟）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，将本试题卷和答题卷一并上交。

一、现代文阅读（36分）一．论述类文本阅读（本题共3小题，9分）阅读下面文字，完成各题。

①推进“一带一路”建设，是统筹国内国际两个大局、顺应地区和全球合作潮流、契合沿线国家和地区发展需要的重大倡议和构想。

“一带一路”倡议提出三年多来，国际社会反响热烈，各领域合作有序推进，进展和成果均超出国内外各方预期。

②“一带一路”建设具有很强吸引力和感召力。

当前，世界经济仍处于国际金融危机发生之后的深度调整期，原有的发展格局被打破，经济增长的新动力、新格局尚未形成，各国突破困局、谋求发展的愿望非常强烈。

同时，国际金融危机也充分暴露了全球经济治理体系存在的功能和结构性缺陷，改革和完善全球经济治理体系成为绝大多数国家的共同呼声。

“一带一路”建设以共商、共建、共享为基本原则，支持各国共同发展，由各国共同制定推进区域合作的规划和措施，以互联互通和产能合作带动经济发展，对沿线国家具有很强的吸引力和感召力；推动建立更加公平、公正、合理的全球经济治理体系，让经济全球化红利在国际范围更加均衡地分配。

“一带一路”建设立足当前、着眼长远，致力于建立以合作共贏为核心的新型国际关系，是促进全球经济复苏的中国方案，彰显了增进不同文明互学互鉴的中国智慧和推进全球治理体系变革的中国担当，在国际社会得到广泛认同和积极响应。

③“一带一路”建设正成为世界经济新的增长点。

益阳市2018届高三4月调研考试文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由已知，得，，根据集合补集的定义可得，由集合交集的运算法则可得.故选C.2. 设是虚数单位，表示复数的共轭复数.若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意，根据复数的乘除运算法则，可得，由共轭复数的定义，得，所以.故选C.3. 已知命题“，”，则命题为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由已知，命题为全称命题，其否定需由特称命题来完成，并将其结论否定，即.故正确答案为D.4. 已知向量，，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由已知，根据向量坐标表示，及其加减运算公式、平行关系，得，又∥，所以，解之得.故选B.5. 如图所示的程序框图，若输出的，则输入的值为（）A. B. C. D. 或【答案】D【解析】由题意，根据程序框图可得分段函数，当时，由，解得；当时，由，解得.故正确答案为D.点睛：此题主要考查程序框图的识别执行能力，以及分段函数中求函数值的计算能力等有关方面的知识与技能，属于中低档题型，也是最近几年来的必考题型.一般程序框图包括以下几部分：实现不同算法功能的相对应的程序框图（起止框、输入输出框、赋值框、判断框）；带箭头的流程线；程序框内必要的说明文字.6. 现有张牌面分别是，，，，，的扑克牌，从中取出张，记下牌面上的数字后放回，再取一张记下牌面上的数字，则两次所记数字之和能整除的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意，试验的情况总数有，又，即两次所记数字之和能整除的有：，，，两次交换顺序共8种，还有，即所求事件个数共有，所以所求概率为.故选D.7. 已知一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由三视图，可知该几何体是由一边长为的正方体和一正四棱锥组合在一起的简单组合体，所该几何体的体积为.故正确答案为B.8. 侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规则的蜘蛛网，如图，它是由无数个正方形环绕而成，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外围一层正方形四条边的三等分点上，设外围第一个正方形的边长是，有人说，如此下去，蜘蛛网的长度也是无限的增大，那么，试问，侏罗纪蜘蛛网的长度真的是无限长的吗？设侏罗纪蜘蛛网的长度为，则（）A. 无限大B.C. D. 可以取【答案】B【解析】由题意，从外到内正方形的边长依次为，，，…，则数列是以首项为，公比为的等比数列，所以，当时，则.故选B.9. 将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意知，，令，即函数的对称轴为，又，当时，有，解得.故选A.点睛：此题主要考查三角函数图象的平移变换、对称性等性质有关方面的知识与技能，属于中档题型，也是常考题型.一般此类问题常涉及三角函数的知识点两个或两个以上，要求考生在熟练掌握三角函数图象的基础上，要对三角函数的性质灵活运用，有时还需要用数形结合的思想来求解.10. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，，且的面积为，则的周长为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意，根据三角形面积公式，得，即，解得，根据余弦定理得，即，，所以的周长为.故选B.11. 设双曲线的左焦点，直线与双曲线在第二象限交于点，若（为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意知，双曲线右焦点，又，所以，则为直角三角形，即，则，，由双曲线定义得，即，则，所以双曲线的渐近线方程为.故选C.点睛：此题主要考查双曲线的定义及方程、渐近线方程、焦点，以及直线与双曲线位置关系、勾股定理的应用等有关方面的知识与技能，属于中高档题型，也是常考考点.解决此类问题过程中，常采用数形结合法来求解，数形结合法是数学解题中常用的思想方法之一，通过“以形助数，以数解形”，根据数列与形之间的对应关系，相互转化来解决问题.12. 已知函数其中为自然对数的底数.若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】（有待研究）第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知函数的图象关于点对称，则__________．【答案】1【解析】由已知，得，，整理得，所以当时，等式成立，即.14. 已知，满足约束条件则的最小值为__________．【答案】2【解析】由题意，根据约束条件作出可行域图，如图所示，将目标函数转化为，作出其平行直线，并将其在可行域内平行上下移动，当移到顶点时，在轴上的截距最小，即.15. 已知斜率为，且在轴上的截距为正的直线与圆交于，两点，为坐标原点，若的面积为，则__________．【答案】或【解析】由题意，可知真线的方程为，圆的圆心为，半径为，由点到直线的距离公式，知圆心到真线的距离为，则，所以，又，解得或.16. 分别在曲线与直线上各取一点与，则的最小值为__________．【答案】【解析】由，得，令，即，，则曲线上与直线平行的切线的切点坐标为，由点到直线的距离公式得，即.点睛：此题主要考查求曲线上动点到直线距离最值的计算，以及导数几何意义在解决几何问题中的应用等有关方面的知识与运算能力，属于中档题型，也是常考考点.在此类问题中，常将距离的最值转化为切线问题，利用导数的几何意义，求出切点，再将问题转化为点到直线的距离问题，从而问题得解.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知等差数列的公差为，且方程的两个根分别为，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】(1);(2).【解析】试题分析：（1）由题意，根据根与系数关系可求出数列的首项与公差，再根据等差数列的通项公式，从而问题可得解决；（2）由（1）可得数列的通项，观察其特点，可采用分组求和法进行计算，即将数列分为等比数列与等差数列两种特殊数列，再根据各自前项和公式进行运算，从而问题可得解.试题解析：（1）由题知，解得故数列的通项公式为.（2）由（1）知，，则.18. 在三棱锥中，底面，，，是的中点，是线段上的一点，且，连接，，.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离.【答案】(1)见解析;(2).【解析】试题分析：（1）由题意，根据勾股定理可计算出，又，易知为的中点，由三角形中位线性质可知，与平行，再根据线面平行的判定定理，从而问题可得解；（2）由题意，可采用等体积法进行求解运算.即由，又其底面与均为直角三角形，从而问题可得解.试题解析：（1）因为，所以.又，，所以在中，由勾股定理，得.因为，所以是的斜边上的中线.所以是的中点.又因为是的中点，所以直线是的中位线，所以.又因为平面，平面，所以平面.（2）由（1）得，.又因为，.所以.又因为，所以.易知，且，所以.设点到平面的距离为，则由，得，即，解得.即点到平面的距离为.19. 某校高一年级共有名学生，其中男生名，女生名，该校组织了一次口语模拟考试（满分为分）.为研究这次口语考试成绩为高分是否与性别有关，现按性别采用分层抽样抽取名学生的成绩，按从低到高分成，，，，，，七组，并绘制成如图所示的频率分布直方图.已知的频率等于的频率，的频率与的频率之比为，成绩高于分的为“高分”.（1）估计该校高一年级学生在口语考试中，成绩为“高分”的人数；（2）请你根据已知条件将下列列联表补充完整，并判断是否有的把握认为“该校高一年级学生在本次口语考试中成绩及格（分以上（含分）为及格）与性别有关”？附临界值表：.【答案】(1)见解析;(2)见解析.【解析】试题分析：（1）根据题意，可设的频率为，由频率性质，即各组频率之和为1，建立关于的方程，求出未知数的值，从而算出的频率，由此问题可得解；（2）由（1），根据已知条件，结合男女生的人数比，即可完成列联表，再根据所提供的观测值的计算公式，算出观测值，再比对临界值表，从而可问题可得解.试题解析：（1）设的频率为，则的频率为，的频率为.则，解得.故的频率为，的频率为.故估计该校高一年级学生在口语考试中，成绩为“高分”的频率为.故估计该校高一年级学生在口语考试中，成绩为“高分”的人数为.（2）根据已知条件得列联表如下：因为，所以有的把握认为“该校高一年级学生在本次口语考试中成绩及格与性别有关”.20. 已知抛物线的方程为，过点（为常数）作抛物线的两条切线，切点分别为，.（1）过焦点且在轴上截距为的直线与抛物线交于，两点，，两点在轴上的射影分别为，，且，求抛物线的方程；（2）设直线，的斜率分别为，.求证：为定值.【答案】(1);(2)见解析.【解析】试题分析：（1）由抛物线方程可知其焦点坐标，则可得直线的方程，联立直线与抛物线方程，消去，根据根与系数关系可得点的横坐标关系式，再由，从而问题可得解；（2）由题意，根据导数几何意义，通过两切点计算两条切线方程，从而得到两切线斜率与抛物线参数的关系式，从而可证明，两斜率的乘值为定值.试题解析：（1）因为抛物线的焦点坐标是，所以过焦点且在轴上截距为的直线方程是，即.联立消去并整理，得，设点，，则，.则，解得.所以抛物线的方程为.（2）设点，.依题意，由，得，则.所以切线的方程是，即.又点在直线上，于是有，即.同理，有，因此，，是方程的两根，则，.所以，故为定值得证.21. 已知函数（，为自然对数的底数）.（1）讨论函数的单调区间；（2）当时，恒成立，求实数的最小值.【答案】(1)单调递增区间是，单调递减区间是.(2)-e.【解析】试题分析：（1）由题意，利用导数法进行讨论，由可求出函数的增区间，可求出函数的减区间，同时对参数进行分段讨论，从而问题即可得解；（2）由题意，可构造函数，由此可将问题转化为计算，再根据导数进行运算求解，从而问题可得解.试题解析：（1）由题知，函数的定义域是.，当时，对任意恒成立，所以函数的单调递增区间是，无单调递减区间；当时，令，得；令，得；所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是.（2）当时，恒成立，即为恒成立，即为恒成立.设，则.显然在区间上单调递增，且，所以当时，；当时，；所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.所以，解得.即实数的最小值是.点睛：此题主要考查函数的单调性、最值，不等式恒成立问题，以及导数在研究函数单调性、最值中的应用等有关方面的知识与技能，属于中高档题型，也是必考题型.利用导数求函数单调区间的一般步骤为：1.确定函数的定义域；2.求函数的导数；3.在函数的定义域内解不等式和；4.写出函数的单调区间.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆以极坐标系中的点为圆心，为半径.（1）求圆的极坐标方程；（2）判断直线与圆之间的位置关系.【答案】(1);(2)见解析.【解析】试题分析：（1）由题意，选将圆的极坐标转化为直角坐标，可得圆的标准方程，再由极坐标与直角坐标的互化公式，将圆的标准方程转化为极坐标方程，从面问题可得解；（2）由可将直线的参数方程转化为一般方程，通计算圆心到直线的距离，将距离与半径进行比较，从而可得直线与圆的位置关系.试题解析：（1）点化为直角坐标是，故以点为圆心，为半径的圆的直角坐标方程是，将，代入上式，可得圆的极坐标方程是.（2）由得，得，故直线的直角坐标方程为.因为圆心到直线的距离，所以直线与圆相交.点睛：此题主要考查直线的参数方程与直角坐标方程的互化，圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化有关方面的知识与技能，属于中档题型，也是必考点.参数方程与直角坐标方程的互化，只消参即可，而及极坐标方程与直角坐标方程的互化，需要转化换公式来进行换算，从而问题可得解.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）当时，解不等式；（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】试题分析：（1）由题意，可将含绝对值的函数转化为分段函数，再逐段进行求解，汇总所得解，从而问题可得解；（2）由题意，可构造函数，将其转化为分段函数，并作出其图象，结合其图象，对参数的取值范围，进行分段讨论，汇总所有解，从而问题可得解.........................试题解析：（1）当时，.当时，由，得；当时，由，得；当时，由，得.综上所述，不等式的解集为.（2）由，得.令作出的图象如图所示，由题意知的图象恒在函数的图象的下方.由图象可知，当经过点时，解得或. 当时，的图象经过点，显然不成立；当时，的图象经过点，成立，所以，即实数的取值范围为.。

湖南省2018-2019学年下学期4月新高考选科摸底测评高一数学试卷A一、单选题1．某校采用系统抽样（等距抽样），从该校高二年级全体800名学生中抽取一个样本做视力检查．现将这800名学生从1到800进行编号，已知样本中编号最小的两个数分别是14、64，则样本中最大的编号应该为（ ） A ．744B ．754C ．764D ．7842．()cos 1320-︒=（ ）A ．12B ．32C ．12-D ．32-3．在8名同学中，有6个是男生，2个是女生，从这8个同学中选出两个同学参加一项活动，则下列说法正确的是（ ）A ．事件“至少有一个是男生”是必然事件B ．事件“都是女生”是不可能事件C ．事件“都是男生”和“至少一个男生”是互斥事件D ．事件“至少一个女生”和“都是男生”是对立事件4．已知数据1,x 2,x 3x 的方差24S =，则122x +，222x +，322x +的方差为（ ） A ．4 B ．6C ．16D ．365．已知点()sin1035,cos1035P︒︒，则P 在平面直角坐标系中位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．若sin 2cos 2sin 2cos θθθθ+=-，则212sin cos cos θθθ+的值为（ ）A ．3713 B ．1C ．14D ．27．某只昆虫的产卵数y 与温度x 有关，现收集了5组观测数据，求得回归方程为ˆ0.661.8yx =+． 温度x （C ︒） 1 2 3 4 5 产卵数y （个） m51677080请你推断表中m 的值为（ ） A ．50B ．62.4C ．62D ．678．已知在扇形AOB 中，3rad AOB ∠=，弦AB 的长为4，则该扇形的周长为（ ）A ．6sin 3B ．10sin 3C ．63sin2D ．103sin 29．当[0,2]x πÎ时，满足3cos 22x π⎛⎫-≥-⎪⎝⎭的x 的取值范围是（ ） A ．40,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．4,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．450,,233πππ⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ D ．45,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象如图所示，为了得到5()sin 26g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，则只要将()f x 的图象（ ）A ．向左平移2π个单位长度 B ．向右平移2π个单位长度 C ．向右平移4π个单位长度 D ．向左平移4π个单位长度 11．已知函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中,3x a π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，若()f x 的值域是3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则实数a 的取值范围是（ ） A ．0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．232,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12．已知函数1()cos()0,||2f x x ωϕωϕπ⎛⎫=+<<< ⎪⎝⎭，若对任意x ∈R ，(1)()(11)f f x f ≤≤，则（ ）A ．(2021)(2018)0f f -<B ．(2021)(2018)0f f -=C ．(2021)(2018)0f f +>D ．(2021)(2018)0f f +=二、填空题13．已知角α的终边经过点(12,5)P -，则2sin cos αα-的值等于________．14．有一高为4，底面半径为2的圆柱，点O 为下底面圆的圆心．在此圆柱内任意取一点P ，则点P 到点O 的距离小于1的概率为________．15．某大学专业有数学分析、解析几何、高等代数三个科目的选修课，甲、乙两位同学各随机选择两科，则数学分析至少被一位同学选中的概率为________． 16．已知7()4cos 0,63f x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭的图象与直线y k =有三个交点，其横坐标分别为A ，B ，C ，其中A B C <<，则2A B C ++的值为________． 三、解答题17．已知sin(2)sin cos(10)tan(3)2()511tan()sin cos 22f πππππππ⎛⎫-∂-∂-∂-∂+ ⎪⎝⎭∂=⎛⎫⎛⎫+∂+∂-∂ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（1）化简()f ∂；（2）如果,62ππ⎛⎫∂∈ ⎪⎝⎭，且22cos 63π⎛⎫∂-= ⎪⎝⎭，求3f π⎛⎫∂+ ⎪⎝⎭的值．18．某饮水机厂生产的A ，B ，C ，D 四类产品，每类产品均有经济型和豪华型两种型号，某一月的产量如下表（单位：台） A B C D 经济型 5000 2000 4500 3500 豪华型 200030001500500（1）在这一月生产的饮水机中，用分层抽样的方法抽取n 台，其中有A 类产品49台，求n 的值；（2）用随机抽样的方法，从C 类经济型饮水机中抽取10台进行质量检测，经检测它们的得分如下：7.9，9.4，7.8，9.4，8.6，9.2，10，9.4，7.9，9.4，从D 类经济型饮水机中抽取10台进行质量检测，经检测它们的得分如下：8.9，9.3，8.8，9.2，8.6，9.2，9.0，9.0，8.4，8.6，根据分析，你会选择购买C 类经济型饮水机与D 类经济型饮水机中哪类产品.19．某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行硏究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料： 日期3月1日 3月2日 3月3日 3月4日 3月5日 温差x （C ︒）811 13 12 10 发芽数y （颗） 22 27313526（1）从3月1日至3月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为m ，n ，求事件“m ，n 均不小于27”的概率．（2）若选取的是3月1日与3月5日的两组数据，请根据3月2日至3月4日的数据，求出y关于x 的线性回归方程ˆˆˆy bx a =+．（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？（参考公式：回归直线的方程是ˆˆˆy bx a =+，其中1221ˆni ii nii x y nx ybxnx ==-⋅=-∑∑，ˆˆa y bx=-）20．某校高一组织一次数学竞赛，选取50名学生成绩（百分制，均为整数），根据这50名学生的成绩，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]．（1）求频率分布直方图中a 的值；（2）估计选取的50名学生在这次数学竞赛中的平均成绩；（3）用分层抽样的方法在分数段为[40,60)的学生成绩中抽取一个样本容量为5的样本， 再随机抽取2人的成绩，求恰有一人成绩在分数段[50,60)内的概率．21．已知函数()3cos 4(14)3f x mx m π⎛⎫=-+<< ⎪⎝⎭的图象关于直线512x π=对称． （1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在[0,]π上的单调递减区间．22．某企业生产一种产品，质量测试分为：指标不小于90为一等品，不小于80小于90为二等品，小于80为三等品，每件一等品盈利50元，每件二等品盈利30元，每件三等品亏损10元，现对学徒工甲和正式工人乙生产的产品各100件的检测结果统计如下：测试指标[70,75) [75,80) [80,85) [85,90) [90,95)[95,100)甲 5 15 35 35 7 3 乙 3720402010根据上表统计得到甲、乙生产产品等级的频率分别估计为他们生产产品等级的概率． （1）求出乙生产三等品的概率；（2）求出甲生产一件产品，盈利不小于30元的概率；（3）若甲、乙一天生产产品分别为40件和30件，估计甲、乙两人一天共为企业创收多少元？解析湖南省2018-2019学年下学期4月新高考选科摸底测评高一数学试卷A一、单选题1．某校采用系统抽样（等距抽样），从该校高二年级全体800名学生中抽取一个样本做视力检查．现将这800名学生从1到800进行编号，已知样本中编号最小的两个数分别是14、64，则样本中最大的编号应该为（ ） A ．744 B ．754C ．764D ．784【答案】C【解析】根据相邻两组的间隔，求出分组数，进而求出样本数，即可求出结论. 【详解】样本间隔为641450-=，共抽取8005016÷=个， 则最大的编号应该为141550764+⨯=。

2018-2019学年湖南省三湘名校教育联盟高一下学期第一次模块测试数学试题(B)一、单选题1．已知集合{}0,1,2A =，{}2,3B =，则A B =I （ ） A ．∅ B ．{}3,2 C ．{}2 D ．{}2,1【答案】C【解析】根据集合的交集运算，即可求出结果. 【详解】由集合的交集运算，可知{}2A B ⋂=. 故选：C. 【点睛】本题考查了集合交集运算，属于基础题.2．已知幂函数()f x x α=的图像经过点()4,2，则()2f =（ ）A ．2 BC D ．12【答案】B【解析】根据待定系数法，即可求出函数()f x 的解析式，进而求出 ()2f 的值. 【详解】因为幂函数()f x x α=的图像经过点()4,2，所以()442f α==，所以1=2α，所以()12f x x=，所以()2f =故选：B. 【点睛】本题主要考查了函数解析式的求法和幂函数的解析式，属于基础题.3．高二某班共有学生60名，座位号分别为01, 02, 03，···, 60.现根据座位号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本.已知03号、18号、48号同学在样本中，则样本中还有一个同学的座位号是（ ） A ．31号B ．32号C ．33号D ．34号【答案】C【解析】根据系统抽样知，组距为604=15÷，即可根据第一组所求编号，求出各组所抽编号. 【详解】学生60名，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本,所以组距为604=15÷， 已知03号，18号被抽取，所以应该抽取181533+=号， 故选C. 【点睛】本题主要考查了抽样，系统抽样，属于中档题.4．若m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）A ．若m α⊂，αβ⊥，则m β⊥B ．若m αβ=I ，n βγ=I ，//m n ，则//αγC ．若αβ⊥，βγ⊥，则αγ⊥D ．若m α⊥，//m β，则αβ⊥ 【答案】D【解析】根据线面平行、线面垂直以及面面垂直的性质定理和判定定理分别分析解答． 【详解】由,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，知：在A 中，若m α⊂，αβ⊥，则m 与β相交、平行或m β⊂，故A 错误； 在B 中，若m αβ=I ，,//m n n βγ=I ，则α与γ相交或平行，故B 错误； 在C 中，若,αββγ⊥⊥，则α与γ相交或平行，故C 错误；在D 中，若,//m m αβ⊥，则由面面垂直的判定定理得αβ⊥，故D 正确． 故选：D ． 【点睛】本题考查了空间线面平行、线面垂直以及面面垂直的性质定理和判定定理的运用，属于基础题．5．执行如图所示的程序框图，如果输入53n m ==、，则输出p 的等于（ ）A ．3B ．12C ．60D ．360【答案】C【解析】通过程序框图，按照框图中的要求将几次的循环结果写出，得到输出的结果． 【详解】模拟执行程序，可得5n =，3m =，1k =，1p =，3p =， 满足条件k m <，执行循环体，2k =，12p =， 满足条件k m <，执行循环体，3k =，60p =， 不满足条件k m <，退出循环，输出p 的值为60． 故选C ． 【点睛】本题考查程序框图的应用，解决程序框图中的循环结构的输出结果问题时，常采用写出几次的结果找规律，属于基础题．6．已知直线1l ：70x my ++=与2l ：()72303m x y m -++=互相平行，则实数m 的值为（ ） A ．-3 B ．-1C ．-1或3D ．-3或1【答案】B【解析】根据直线平行的充要条件可知，即可求出结果. 【详解】直线1l ：70x my ++=与2l ：()72303m x y m -++=互相平行，所以()23m m -=，可得1m =-或3，当3m =时1l 与2l 重合，故舍去，所以1m =-. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了直线与直线的平行的充要条件，是基础题.7．已知函数()()35,12,1a x x f x a x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩在(),-∞+∞上是减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．()0,1 B ．(]0,1C ．()0,2D ．(]0,2【答案】D【解析】根据函数()f x 在(),-∞+∞上是减函数，可得()()300352a a a a ⎧-<⎪>⎨⎪-+≥⎩，解不等式组，即可求出结果. 【详解】因为函数()()35,12,1a x x f x a x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩在(),-∞+∞上是减函数，所以()()300352a a a a ⎧-<⎪>⎨⎪-+≥⎩，解不等式组，得(]0,2a ∈. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了分段函数的单调性应用，在解决分段函数单调性时，首先每一段函数的单调性都应具备单调递增(或单调递减)，其次，在函数分段的分界点处也应该满足函数的单调性，据此建立不等式组，求出不等式组的交集，即可求出结果． 8．设01a b <<<，b x a =，a y b =，log b z a =，则（ ） A ．x y z << B ．y x z <<C ．z x y <<D ．z y x <<【答案】A【解析】根据条件01a b <<<，令11,32a b ==，代入,x y 中并取相同的正指数，可得,x y 的范围并可比较,x y 的大小；由对数函数的图像与性质可判断z 的范围，进而比较,,x y z 的大小.【详解】 因为01a b <<< 令11,32a b == 则1213b x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭=1312a y b ⎛⎫= ⎪⎝⎭=12log log 13b a z == 将式子变形可得61321113327⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，6123111224⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦因为111274<< 所以x y <由对数函数的图像与性质可知112211log log 132>= 综上可得x y z << 故选：A. 【点睛】本题考查了指数式与对数式大小比较，指数幂的运算性质应用，对数函数图像与性质应用，属于基础题.9．已知直线1y kx =+与圆()()22214x y -+-=相交于P ，Q 两点，且PQ ≥，则k 的取值范围是（ ）A ．3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．[]1,1-C．33⎡-⎢⎣⎦D．⎡⎣【答案】C【解析】由已知可知圆心()2,1，由勾股定理可知圆心到直线的距离1d ≤，再根据点到直线的距离公式，可得d =【详解】若PQ ≥，由勾股定理可知1d =≤=， 又圆心()2,1到直线1y kx =+的距离d =1≤，解得：k ⎡∈⎢⎣⎦.故选：C ． 【点睛】本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，圆的弦长公式，属于中档题．10．已知0a >，函数1352()([,])51x x f x x x a a ++=+∈-+的最大值为M ，最小值为N ，则M N +的值为（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8【答案】C【解析】分离常数化简函数()f x ，由3y x =为奇函数，可知其最大值与最小值的和为0.令()5531xg x =-+，根据()g x 在[,]x a a ∈-时单调性可得最大值与最小值表达式，代入M N +中化简即可得解. 【详解】函数1352()([,])51x x f x x x a a ++=+∈-+，0a >，将函数变形可得33()551xf x x =-++ 3y x =为奇函数，最大值与最小值的和为0.令()5531x g x =-+，由指数函数性质可知函数()5531x g x =-+在[,]x a a ∈-时单调递增，所以当x a =时()g x 取得最大值M ，当x a =-时()g x 取得最小值N ， 则M N +55515133a a -=-+-++10515313a a -⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭510533115a a a ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭⨯ 1037=-=即M N +的值为7， 故选：C. 【点睛】本题考查了函数单调性与奇偶性的综合应用，对题型和知识点要熟练掌握，属于中档题. 11．若函数()f x =[0,)+∞，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[0,1][9,)+∞U B ．[9,)+∞C ．(,1][9,)-∞⋃+∞D ．(,1]-∞【答案】A【解析】根据函数解析式，讨论m 不同取值情况: 0m =，0m >和0m <，分析值域是否可以取到[0,)+∞，即可求得m 的取值范围. 【详解】函数()f x =当0m =时，可化为()f x =[0,)+∞，满足题意；当0m >时，二次根式下为二次函数，所以需满足()2340m m ∆=--≥，化简可得()()190m m --≥，解得1m £或9m ≥，所以01m <≤或9m ≥；当0m <时，二次函数开口向下，函数值无法到正无穷大，因而不合题意； 综上可知，01m ≤≤或9m ≥，即m 的取值范围为[0,1][9,)+∞U 故选：A 【点睛】本题考查了由函数值域求参数的取值范围，二次函数与一元二次不等式的综合应用，属于中档题.12．定义在R 上的单调函数()f x 满足()23xf f x ⎡⎤-=⎣⎦，且()()3f a f b <<，10log log 3a b b a +=，则a 与b 的关系是（ ）A ．3a b =B ．3b a =C ．4a b =D ．4b a =【答案】A【解析】根据题意，由函数单调性的性质可得()xf x e -为常数，设()xf x e t -=，则()x f x e t =+，又由()1x f f x e ⎡⎤⎣⎦-=，可得1te t +=，分析可得t 的值，即可得函数的解析式，据此分析可得1a b e e e e <<=，即1a b <<，根据题意和换底公式，结合,a b 的关系计算可得lg 3lg a b =，结合对数的运算性质分析可得答案．【详解】根据题意，()f x 是定义在R 上的单调函数，满足()1x f f x e ⎡⎤⎣⎦-=， 则()xf x e -为常数，设()x f x e t -=，则()xf x e t =+， 又由()1x f f x e ⎡⎤⎣⎦-=，即()1f t =，则有1t e t +=，解可得0t =， 则()xf x e =， 若()()f a f b e <<，即1a b e e e e <<=，则1a b <<， 若10log log 3a b b a +=，必有0a b <<， 则有 lg lg 10lg lg 3b a a b +=，又由01a b <<<，则lg 1lg b a <，解可得lg 1lg 3b a =，即lg 3lg a b =，变形可得：3a b =. 故选：A ． 【点睛】本题考查函数的单调性的应用以及对数的运算性质，涉及函数解析式的计算，属于基础题．二、填空题13．函数()lg(1)f x x =-的定义域为_________.【答案】[0,1)【解析】根据二次根式有意义条件，对数函数定义域要求，即可求得函数()f x 定义域. 【详解】函数()lg(1)f x x =-定义域满足010x x ≥⎧⎨->⎩，解得01x ≤<所以函数()lg(1)f x x x =⋅-的定义域为[0,1)故答案为：[0,1) 【点睛】本题考查了函数定义域的求法，属于基础题.14．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱长为___________.【答案】41【解析】根据三视图，可得空间几何体，补全为长方体，即可求得几何体的最长棱长. 【详解】根据三视图，可得空间几何体为四棱锥，补全为四棱柱如下图所示：四棱锥为11A BDD B -由图可知，四棱锥中最长的棱长为2214541AB =+=41【点睛】本题考查了由三视图还原空间几何体，并将几何体补全为棱柱，对空间想象能力要求较高，属于中档题.15．已知()f x 为偶函数，在(),0-∞为减函数，且满足()()2log 1f x f <-，则x 的取值范围____. 【答案】1,22⎛⎫⎪⎝⎭【解析】由题意，函数()f x 为偶函数，在(),0-∞为减函数，则函数()f x 在(0,)+∞为增函数，且()()111f f =-=，把不等式()()2log 1f x f <-，转化为21log 1x -<<，即可求解． 【详解】由题意，函数()f x 为偶函数，在(),0-∞为减函数，则函数()f x 在(0,)+∞为增函数，图象关于y 轴对称，所以()()111f f =-=又由不等式()()2log 1f x f <-，则满足21log 1x -<<，解得122x <<， 即x 的取值范围为1(,2)2． 【点睛】本题主要考查了函数的单调性和奇偶性的判断及应用，其中解答中利用函数的奇偶性和单调性，把不等式转化为21log 1x -<<，利用对数函数的性质求解是解答本题的关键，着重考查了转化思想的应用，及推理与运算能力．16．过点(3,0)P -作直线2(1)20()x y R λλλ+-+=∈的垂线，垂足为M ，点(3,2)N ，则当λ变化时，||MN 的取值范围是_______.【答案】【解析】先求得直线过的顶点坐标，结合题意可知PQM ∆为直角三角形，M 的运动轨迹为圆，求得圆心坐标和半径，由圆外一点和圆上距离最值，即可求得||MN 的取值范围. 【详解】直线2(1)20()x y R λλλ+-+=∈ 将直线变形可得()()220x y y λ-++=所以2020x y y -=⎧⎨+=⎩，解得12x y =-⎧⎨=-⎩所以直线过定点()1,2Q --因为PM 与直线垂直，所以PQM ∆为直角三角形，PQ 为斜边，且22PQ = 则M 在以PQ 为直径的圆上，该圆圆心为PQ 中点()2,1H -- 半径为122r PQ == 则(3,2)N 与M 距离最大值为22max532342MN NH r =+=++=+ 则(3,2)N 与M 距离最小值为22min 532342MNNH r =-=+-=- 所以||MN 的取值范围为342,342⎡⎤-+⎣⎦故答案为：342,342⎡⎤-+⎣⎦【点睛】本题考查了直线过定点的求法，圆的轨迹方程问题，圆外一点和圆上一点距离的最大值与最小值求法，属于中档题.三、解答题17．已知直线1:240l x y +-=，阅读如图所示的程序框图，若输入的x 的值为61+，输出的()f x 的值恰为直线2l 在x 轴上的截距，且12l l ⊥.（1）求直线1l 与2l 的交点坐标；（2）若直线3l 过直线1l 与2l 的交点，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，求3l 的方程.【答案】（1）(2,1)；（2）20x y -=或250x y +-=【解析】（1）根据程序框图，可得输出的函数()f x ，由输入x 的值为12+可得直线2l 在x 轴上的截距.由12l l ⊥，可得直线2l 的斜率.根据点斜式可得直线2l 的方程，联立两直线方程，即可求得交点坐标.（2）讨论截距是否为0：当截距为0时，易得直线方程；当截距不为0时，根据在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，设出直线方程，代入所过的点，即可求解.【详解】（1）由程序框图，若输入x 的值为1+10+> 所以输出()221f x x x =-+代入可得21112232122f ⎛⎛⎫⎛=-⨯+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭+++ 所以2l 在x 轴上的截距为32， ∵12l l ⊥，∴121l l k k =-⋅所以22l k =∴直线2l 的方程为3022y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即23y x =-. 联立240230x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩. ∴直线1l 和2l 的交点坐标为(2,1).（2）当直线3l 经过原点时，可得方程为12y x =. 当直线3l 不经过原点时，设在x 轴上截距为0a ≠，则在y 轴上的截距为2a ， 其方程为12x y a a +=，将交点坐标(2,1)代入可得2112a a +=，解得52a =， ∴方程为25x y +=.综上可得直线3l 方程为20x y -=或250x y +-=.【点睛】本题考查了程序框图的简单应用，垂直直线的斜率关系，直线交点的求法，截距式方程的用法，注意讨论截距是否为0，属于中档题.18．如图所示的几何体中，111ABC A B C -为三棱柱，1AA ⊥平面ABC ，1AA AC =，四边形ABCD 为平行四边形，2AD CD =，3AC CD =.（1）求证：1AC ⊥平面11A B CD ；（2）若2CD =，求三棱锥11C ACD -的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）4【解析】（1）根据1AA ⊥平面ABC ，1AA AC =可知11AAC C 是正方形，因而11AC AC ⊥.由2AD CD =，3AC CD =可知CD AC ⊥，因而CD ⊥平面11ACC A ，即可得1CD AC ⊥，从而由线面垂直判定定理可得1AC ⊥平面11A B CD ；（2）求得1,AC AA ，即可由等体积1111C A CD D A C C V V --=求解即可.【详解】（1）证明:∵111ABC A B C -为三棱柱，且1AA ⊥平面ABC ，1AA AC =， ∴四边形11AAC C 是正方形，11AC AC ⊥.∵1AA ⊥平面ABC ，∴1AA CD ⊥，又∵2AD CD =，3AC CD =，∴222CD AC AD +=，CD AC ⊥，∵1AC AA A =∩，CD ⊥平面11ACC A ，∵1AC ⊂平面11ACC A ，∴1CD AC ⊥.∴1AC ⊥平面11A B CD .（2）∵2CD =，∴4=AD ，1AC AA ==∴三棱锥11C ACD -的体积 11111113C A CD D A C C A C C V V CD S --∆==⨯⨯， 112432=⨯⨯⨯=. 【点睛】本题考查了直线与平面垂直的判定，空间中直线与直线、直线与平面的位置关系，三棱锥体积求法，属于中档题.19．某工厂有一个容量为300吨的水塔，每天从早上6时起到晚上10时止供应该厂的生产和生活用水.已知该厂生活用水为每小时10吨，生产用水量W （吨）与时间t （单位：小时，且规定早上6时0t =）的函数关系式为：W =10级，第一级每小时进水10吨，以后每提高一级，每小时进水量就增加10吨.若某天水塔原有水100吨，在开始供水的同时打开进水管.（1）若进水量选择为x 级，水塔中剩余水量为y 吨，试写出y 与t 的函数关系式； （2）如何选择进水量，既能始终保证该厂的用水（水塔中水不空）又不会使水溢出？【答案】（1）1001010y xt t =+--，[]0,16t ∈，{}|110x x N x ∈∈≤≤；（2）选择第4级【解析】（1）根据题意，即可求出剩余水量为y 吨与进水量选择为x 级之间的函数关系；（2）由0300y <≤，可得010********xt t <+--≤，分离出x ，利用配方法，根据二次函数的性质求解即可．【详解】(1) 设进水量选第x 级，则t 小时后水塔中水的剩余量为：1001010y xt t =+--，[]0,16t ∈，{}|110x x N x ∈∈≤≤.(2)根据题意0300y <≤，进水x 级，所以010********xt t <+--≤.由左边得2111 11011024xtt t⎡⎤⎫⎫>+-=+--+⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当4t=时，21111024t⎡⎤⎫+--+⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦有最大值3.5．所以 3.5x>.由右边得201xt t≤++，当16t=时，201t t++有最小值4.75，所以 4.75x≤.综合上述，进水量应选为第4级.【点睛】本题考查简单的数学建模思想方法，训练了利用配方法求最值，是中档题．20．四棱锥E ABCD-中，正方形ABCD所在平面与正三角形ABE所在平面互相垂直，点P是AE的中点，点Q是BD的中点.（1）求证：//PQ平面BCE；（2）求二面角E BD A--的正切值【答案】（1）见证明；（26【解析】（1）连结AC，可知在PQ是AEC∆的中位线，则//PQ EC，即可证明//PQ平面BCE；（2）取AB中点F，连结EF，可证明EF⊥平面ABCD及BD⊥平面EFG，从而可得到FGE∠即为二面角E BD A--的平面角，求解即可．【详解】（1）连结AC，AC BD Q⋂=，在AEC∆中，P、Q分别为AE，的AC中点，//PQ EC∴，又PQ⊄平面EBC，EC⊂平面EBC，//PQ∴平面BCE.（2）取AB 中点F ，连结EF ，则EF AB ⊥.Q 平面ABCD ⊥平面ABE且平面ABCD ⋂平面ABE AB =.EF ∴⊥平面ABCD .BD Q ⊂平面ABCD ，EF BD ∴⊥.过F 作FG BD ⊥于G ，连结EGBD ∴⊥平面EFG .EG ⊂Q 平面EFG ，BD EG ∴⊥.FGE ∴∠即为二面角E BD A --的平面角，设AB a =，在Rt EFG ∆中，124FG AC ==，3EF =， tan EF FGE FG ∴∠= 3262a==. ∴二面角E BD A --6.【点睛】本题考查线面平行的证明及二面角的求法，考查了学生的空间想象能力及逻辑推理能力，属于中档题．21．如图，在平面直角坐标系xoy 中，点(0,3)A ，直线:24l y x =-，设圆C 的半径为1， 圆心在l 上.（1）若圆心C 也在直线1y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线方程； （2）若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.【答案】（1）3y =或34120x y +-=；（2）12[0,]5. 【解析】（1）两直线方程联立可解得圆心坐标，又知圆C 的半径为1，可得圆的方程，根据点到直线距离公式，列方程可求得直线斜率，进而得切线方程；（2）根据圆C 的圆心在直线l ：24y x =-上可设圆C 的方程为[]22()(24)1x a y a -+--=，由2MA MO =，可得M 的轨迹方程为22(1)4x y ++=，若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，只需两圆有公共点即可.【详解】（1）由24,{1,y x y x =-=-得圆心()3,2C ，∵圆C 的半径为1，∴圆C 的方程为：22(3)(2)1x y -+-=，显然切线的斜率一定存在，设所求圆C 的切线方程为3y kx =+，即30kx y -+=． 232311k k -+=+，∴2(43)0k k +=，∴0k =或34k =-． ∴所求圆C 的切线方程为3y =或34120x y +-=．（2）∵圆C 的圆心在直线l ：24y x =-上，所以，设圆心C 为(,24)a a -， 则圆C 的方程为[]22()(24)1x a y a -+--=．又∵2MA MO =，∴设M 为(,)x y ，=整理得22(1)4x y ++=，设为圆D ． 所以点M 应该既在圆C 上又在圆D 上，即圆C 和圆D 有交点， ∴2121-≤≤+， 由251280a a -+≥，得a R ∈，由25120a a -≤，得1205a ≤≤． 综上所述，a 的取值范围为120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【考点】1、圆的标准方程及切线的方程；2、圆与圆的位置关系及转化与划归思想的应用.【方法点睛】本题主要考查圆的标准方程及切线的方程、圆与圆的位置关系及转化与划归思想的应用.属于难题.转化与划归思想是解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题（2）巧妙地将圆C 上存在点M ，使2MA MO =问题转化为，两圆有公共点问题是解决问题的关键所在.22．已知函数()224f x x x kx =-++. （1）若()f x 是偶函数，求k 的值；（2）设函数()()21x g x f =-，当()2,3x ∈时，()0g x =有且只有一个实数根，求k 的取值范围；（3）若关于x 的方程()0f x =在区间()0,4上有两个不相等的实数根1x ，2x ，证明：12112x x +<. 【答案】（1）0；（2）941473k -<<-；（3）证明见解析 【解析】（1）根据()f x 是偶函数，可得()()f x f x -=，利用恒等，即可求出结果； （2）当()2,3x ∈时，()0g x =有且只有一实根，可得()()()2221421210x x x k --+-+-=，然后再利用换元法，设21x t -=，()3,7t ∈，转化为2240t t kt -++=，()3,7t ∈有一实根，根据根的分布，即可求出结果； （3）设1204x x <<<，对分段函数的零点分析可得12024x x <<≤<，即140kx +=，222240x kx +-=，消除k ，整理可得212212440x x x x --=，进而可得212112x x x +=，据此即可求证结果. 【详解】(1)()f x 是偶函数，所以()()f x f x -=，则kx kx -=.所以0k =.(2)当()2,3x ∈时，()0g x =有且只有一实根，即()()()2221421210x x x k --+-+-=， 设21x t -=，则()3,7t ∈，所以2240t kt +-=，()3,7t ∈有一实根，∵2320k ∆=+>恒成立，两根之积小于0，所以222334027740k k ⎧⨯+-<⎨⨯+->⎩， ∴941473k -<<-. (3)不妨设1204x x <<<，则()22224,244,02x kx x f x x x kx kx x ⎧+-≥=-++=⎨+<<⎩，若[)12,2,4x x ∈，与122x x =-矛盾，若()12,0,2x x ∈，与4y kx =+是单调函数矛盾，所以12024x x <<≤<；所以140kx +=①，222240x kx +-=②，由①，得：14k x =-，由②，得：22242x k x -=； 联立①、②消去k 得：212212440x x x x --=，即2122122x x x x =+，则212112x x x +=.因为224x ≤<，所以222x <，即12112x x +<. 【点睛】 本题主要考查了偶函数的性质，函数与方程的应用，以及根的分布，属于中档题.。

2018-2019学年湖南师范大学附属中学高一下学期第二次阶段性检测数学试题一、单选题1．若点()cos ,sin P θθ在直线20x y -=上,则tan 2θ=( ) A ．45-B ．43C ．43-D ．45【答案】C【解析】先由点在直线上，得到2cos sin 0θθ-=，根据弦化切，以及二倍角的正切公式，即可求出结果. 【详解】因为点()cos ,sin P θθ在直线20x y -=上， 所以2cos sin 0θθ-=，所以tan 2θ=， 因此22tan 44tan 21tan 143θθθ===---. 故选：C. 【点睛】本题主要考查求三角函数值，熟记二倍角公式，以及同角三角函数基本关系即可，属于基础题型.2．已知α是第二象限角,1sin cos 5αα=-,则cos sin αα-=( )A 35B ．35C ．355-35 D ．75【答案】B【解析】先由题意，得到cos 0α<，sin 0α>，再由同角三角函数基本关系，即可求出结果. 【详解】因为α是第二象限角，所以cos 0α<，sin 0α>， 又1sin cos 5αα=-，所以()2235cos sin cos sin 12sin cos 15αααααα-=-=-=+=. 故选：B. 【点睛】本题主要考查三角函数化简求值的问题，熟记同角三角函数基本关系即可，属于基础题型.3．已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a A ．100 B ．99C ．98D ．97【答案】C【解析】试题分析：由已知，1193627{,98a d a d +=+=所以110011,1,9919998,a d a a d =-==+=-+=故选C.【考点】等差数列及其运算【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法. 4．函数22cos sin 44y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期为( )A ．2πB ．πC ．2πD ．4π 【答案】C【解析】先由二倍角公式将原式化简，得到sin 2y x =，再由sin 2y x =的最小正周期，即可得出结果. 【详解】因为22cos sin cos 2sin 2442y x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又sin 2y x =的最小正周期为22T ππ==，函数sin 2y x =的图像是将sin 2y x =图像在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方， 因此函数sin 2y x =的最小正周期为：2π.【点睛】本题主要考查三角函数的最小正周期，熟记二倍角的余弦公式，正弦型函数的周期，以及函数的翻折变换即可，属于基础题型.5．在△ABC 中，若AB u u u r 2BC -u u ur 2=AB AC ⋅u u u r u u u r ，则△ABC 是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形【答案】B【解析】由已知利用平面向量数量积的运算，余弦定理可求c 2=a 2+b 2，利用勾股定理即可判断得解． 【详解】解： 22C AB B AB AC -=⋅u u u v u u u v u u u v Q u u u v22cos c a bc A ∴-=，化简可得：222c a b =+，∴△ABC 是直角三角形． 故选B ． 【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的运算，余弦定理，勾股定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想．6．已知12,e e r r是两个单位向量，且夹角为3π，则12e te +r r 与12te e +r r 数量积的最小值为（ ）A ．32-B ．36-C ．12D ．33【答案】A【解析】通过数量积运算律，可将数量积化为211222t t ++，根据二次函数可求得最小值. 【详解】由题意：()()()222112122211te e te t e e t t e e e ⋅=++++⋅+r r r rrr r r()22221122111cos 2322t e t e e t e t t π=+++=++r r r r∴当2t =-时，最小值为：11344222⨯-+=-本题正确选项：A本题考查向量数量积的运算律，结合二次函数求得最值，关键是能通过运算律将问题转化为模长和夹角运算的问题，难度不大.7．如图,已知OAB V ,若点C 满足3AC CB =u u u r u u u r ,(),OC xOA yOB x y R =+∈u u ur u u u r u u u r ,则11x y+=( )A ．14B ．34C ．316D ．163【答案】D【解析】先由题意，根据平面向量的线性运算，得到1344OC OA OB =+uuu r uu r uu u r，结合题中条件，求出13,44x y ==，即可得出结果.【详解】因为3AC CB =u u u r u u u r，所以()333OC OA OB OC OB OC -=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 即1344OC OA OB =+uuu r uu r uu u r ，又(),OC xOA yOB x y R =+∈u u u r u u u r u u u r ，所以13,44x y ==，所以11416433x y +=+=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查利用平面向量基本定理求参数，熟记平面向量基本定理即可，属于常考题型.8．将函数cos()3y x π=-的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6π个单位，所得函数图象的一条对称轴是（ ） A ．4x π=B ．6x π=C ．x π=D ．2x π=【解析】将函数3y cos x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的解析式为：123y cos x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，再向左平移6π个单位得到函数为11cos 26324y cos x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦令124x k ππ-=，解得22x k ππ=+ 故函数的对称轴为22x k k Z ππ=+∈，结合选项可得函数图象的一条对称轴为2x π=故选D点睛：这是一道关于三角函数对称轴以及三角函数平移的题目， 解答本题的关键是掌握三角函数的平移规律．由函数3y cos x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得123y cos x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，向左平移6π个单位可得1cos 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再由余弦函数的对称性即可解答．9．已知3sin 2252πααπ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭,()1tan 2αβ-=-,则()tan αβ+等于( )A ．-2B ．-1C ．211-D ．211【答案】C【解析】先由同角三角函数基本关系求出tan2α，再由两角差的正切公式，根据()()tan tan 2αβααβ+=--⎡⎤⎣⎦，即可求出结果.【详解】因为3sin 2252πααπ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，所以234cos 2155α⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，因此3tan 24α=-，又()1tan 2αβ-=-，所以()()()()31tan 2tan 242tan tan 2311tan 2tan 11142ααβαβααβααβ-+--+=--===-⎡⎤⎣⎦+⋅-+⋅. 故选：C. 【点睛】本题主要考查三角恒等变换给值求值的问题，熟记两角差的正切公式，以及同角三角函数基本关系即可，属于常考题型.10．已知{}n a 为无穷等比数列,且公比1q >,记n S 为{}n a 的前n 项和,则下列结论正确的是( ) A ．21a a > B ．120a a +> C ．{}2na 是递增数列D ．n S 存在最小值【答案】C【解析】根据题意，由等比数列的首项正负不确定，结合等比数列的求和公式与通项公式，逐项判断，即可得出结果. 【详解】因为数列{}n a 为无穷等比数列，且公比1q >，但首项的正负不确定， 所以21a a q =与1a 的大小关系不能确定，()1211a a a q +=+也不一定大于0， 故A 、B 选项错误； C 选项，()12221n n a a q -=，所以数列{}2na 是首项为210a>，公比为2q 的等比数列，所以()()()()11222222222111110nn n n n a a a q a q a q q--+-=-=->，因此数列{}2n a 是递增数列；故C 正确；D 选项，因为n S 为{}n a 的前n 项和，所以111n n nn S a S a q ++-==，因为首项的正负不确定，所以n S 的增减性不确定，故n S 不一定存在最小值；即D 选项错误. 故选：C. 【点睛】本题主要考查等比数列的相关判断，熟记等比数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型.11．已知ABC V 中,a 、b 分别是角A 、B 所对的边,且()0a x x =>,4b =,60A =︒,若三角形有两解,则x 的取值范围是（ ）A ．23x >B ．234x ≤≤C ．34x <<D ．234x <≤【答案】C【解析】根据题中条件，先由正弦定理，得到3sin B x=，为使三角形有两解，只需3sin sin 1A B x<=<且a b <，即可求出结果. 【详解】因为ABC V 中，a 、b 分别是角A 、B 所对的边，且()0a x x =>，4b =，60A =︒，由正弦定理可得：sin sin a b A B =4sin 3B =，所以3sin B x=， 又三角形有两解， 所以23sin sin 1A B x<=<且a b <， 因此234x <<. 故选：C. 【点睛】本题主要考查由三角形解的个数求参数的问题，熟记正弦定理即可，属于常考题型.12．已知O 为ABC V 的外心,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若CO AB BO CA ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r,则222a b c +的值是（ ） A ．13B ．12C ．1D ．2【答案】B【解析】分别取AB ，AC ，BC 中点为D ，E ，F ，连接OD ，OE ，OF ，根据向量数量积的几何意义，得到221122CO CA CA b ⋅==u u u r u u u r u u u r ，221122CO CB CB a ⋅==u u u r u u u r u u u r ，221122BO BA BA c ⋅==u u u r u u u r u u u r ，221122BO BC BC a ⋅==u u u r u u u r u u u r ，再由CO AB BO CA ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 推出2221122a b c =+，即可得出结果.【详解】分别取AB ，AC ，BC 中点为D ，E ，F ，连接OD ，OE ，OF ， 则⊥OD AB ，OE AC ⊥，OF BC ⊥，所以221122CO CA CA b ⋅==u u u r u u u r u u u r ，221122CO CB CB a ⋅==u u u r u u u r u u u r ，221122BO BA BA c ⋅==u u u r u u u r u u u r ，221122BO BC BC a ⋅==u u u r u u u r u u u r ，又CO AB BO CA ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以()()CO CB CA BO BA BC ⋅-=⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，即CO CB CO CA BO BA BO BC ⋅-⋅=⋅-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，因此222211112222a b c a -=-，即2221122a b c =+， 所以22212a b c =+. 故选：B.【点睛】本题主要考查平面向量在几何中的应用，熟记平面向量数量积的几何意义即可，属于常考题型.二、填空题13．化简()()12sin 6cos 6ππ-++______. 【答案】cos6sin 6-【解析】根据诱导公式与同角三角函数基本关系，直接化简，即可得出结果. 【详解】()()212sin 6cos 612sin 6cos6(sin 6cos6)cos6sin 6ππ-++=-=-=-.因为3622ππ<<，所以cos60>，sin60<，因此cos6sin60->； 所以原式等于cos6sin 6-. 故答案为：cos6sin 6-.本题主要考查三角函数的化简问题，熟记诱导公式与同角三角函数基本关系即可，属于基础题型.14．函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示,现将此图象向左平移12π个单位长度得到函数()g x 的图象,则函数()g x 的解析式为______.【答案】()2sin 2g x x =【解析】先由函数图像，确定A 和周期，得到()()2sin 2f x x ϕ=+，再由23f π⎛⎫= ⎪⎝⎭求出ϕ，确定()f x 的解析式，最后根据函数的平移，即可得出结果. 【详解】由图像可得：2A =，2236T ππππω⎛⎫=⨯+== ⎪⎝⎭，则2ω=， 所以()()2sin 2f x x ϕ=+，又23f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，即22sin 23πϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，所以22,32k k Z ππϕπ+=+∈， 即2,6k k Z πϕπ=-+∈，因为2πϕ<，所以6πϕ=-，故()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 因为将此图象向左平移12π个单位长度得到函数()g x 的图象，所以()2sin 22sin 2126g x x x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故答案为：()2sin 2g x x =.本题主要考查由三角函数的图像确定函数的解析式，以及求平移后的函数解析式，熟记正弦型三角函数的性质，以及三角函数的平移原则即可，属于常考题型. 15．已知函数()1f x x x=+,则()()()()1232019f f f f +++⋅⋅⋅+11134201912f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅⎛⎫++ ⎪⎝+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭______. 【答案】40372【解析】先由()1f x xx=+得()11f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，进而可求出结果. 【详解】因为()1f x x x =+，所以111111x f x xx⎛⎫== ⎪+⎝⎭+，因此()11f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭； 所以()()()()111341123201201992f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+++⋅⋅⋅+++⎝⎝⎭⎭⎪ ()()()()1111232019232019f f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫=+++++⋅⋅⋅++ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎦⎣⎦⎣⎝⎭⎝⎦⎭ ()11140372018220182222f f ⎡⎤⎛⎫=+⨯+=+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.故答案为：40372. 【点睛】本题主要考查求函数值的和，熟记函数的概念，灵活运用分组求和的方法即可，属于常考题型.16．对于数列{}n a ,定义1123242n nn a a a a T n-+++⋅⋅⋅+=为数列{}n a 的“好数”,已知某数列{}n a 的“好数”为12n n T +=,记数列{}n a pn -的前n 项和为n S ,若8n S S ≤对任意的*n N ∈恒成立,则实数p 的取值范围为______.【答案】20994p ≤≤ 【解析】先由题意，得到111232422n n n a a a n a +-+++⋅⋅⋅+=⋅，求出n a ，再由等差数列的性质，得到关于p 的不等式，求解，即可得出结果. 【详解】由题意，111232422n n nn a a a a T n -++++⋅⋅⋅+==，即111232422n n n a a a n a +-+++⋅⋅⋅+=⋅①，当1n =时，14a =；当2n ≥时，21231(142)22n n na a n a a --+++=-⋅⋅⋅⋅+②，①-②得112(1)21)22(n n n n n n n n a +-=⋅--⋅=+⋅，所以22(2)n n a n =+≥，显然14a =也满足22n a n =+，所以*22()n n n N a =+∈，因此()22n a pn p n -=-+，即数列{}n a pn -是以4p -为首项，以2p -为公差的等差数列，又8n S S ≤对任意的*n N ∈恒成立， 所以8900a a ≥⎧⎨≤⎩ ，即18802090p p -≥⎧⎨-≤⎩，解得：20994p ≤≤. 故答案为：20994p ≤≤. 【点睛】本题主要考查等差数列性质的应用，熟记等差数列的通项公式，以及等差数列的性质即可，属于常考题型.三、解答题17．已知在ABC V 中,A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,若2228a b c +=+,3C π=.（1）求ABC V 的面积；（2）若23c =,求sin sin A B +的值. 【答案】（1）23（2）32. 【解析】（1）根据余弦定理，由题中条件，得到8ab =；再由三角形面积公式，即可得出结果；（2）先由正弦定理，得到sin 4a A =，sin 4bB =，再由题中条件，求出6a b +=，即可得出结果. 【详解】（1）因为在ABC V 中，2228a b c +=+，3C π=，所以由余弦定理可得：22222cos 82cos3ab C ab c a b c π=-=++-，所以8ab =；因此ABC V 的面积为113sin 82322ABC S ab C V ==创= （2）因为23c =，所以由正弦定理可得：234sin sin sin 3a b c A B C ====， 所以sin 4a A =，sin 4b B =， 由2228208a b c ab ⎧+=+=⎨=⎩得()222236a b a b ab +=++=， 所以6a b +=，因此3sin sin 42a b A B ++==. 【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理与余弦定理即可，属于常考题型.18．在数列{}n a 中,12a =,1122n n n a a ++=+,设2nn na b =. （1）证明：数列{}n b 是等差数列并求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和.【答案】（1）证明过程见详解；2n n a n =⋅；（2）1(1)22n n ++⋅-.【解析】（1）根据题意，计算11n n b b +-=，根据等差数列的定义，即可得出结论成立；进而可求出n b n =，从而得出{}n a 的通项公式；（2）先记数列{}n a 的前n 项和为n T ，根据错位相减法，即可求出结果. 【详解】（1）因为1122n n n a a ++=+，2nn na b =， 所以111112212222n n nn n n n n n n n a a a a b b +++++-=-=-=+，所以数列{}n b 是公差为1的等差数列； 又12a =，所以11112a b ==，因此n b n =，即2n n a n =⋅； （2）记数列{}n a 的前n 项和为n T ，则21212222nn n T a a a n =++⋅⋅⋅+=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅①所以231212222n n T n +=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅②①-②得2112(12)2222212n n nn n n n T ++-=++⋅⋅⋅+-⋅=-⋅--1112222(1)2n n n n n +++=--⋅=-+⋅所以1(1)22n n T n +=+⋅-.【点睛】本题主要考查由递推关系证明等差数列，以及求数列的通项与数列的求和问题，熟记等差数列概念，通项公式，等比数列的求和公式，以及错位相减法求数列的和即可，属于常考题型.19．ABC V 中,记角A 、B 、C 的对边边长分别为a 、b 、c ,已知a 、b 、c 依次成等比数列且2a 、2b 、2c 依次成等差数列. （1）求B 的大小；（2）若a c b λ+=,求λ的取值范围. 【答案】（1）3π；（2）2. 【解析】（1）根据题中条件，由余弦定理，得到1cos 2B =，即可得出结果； （2）根据题中条件，得到22(4)a c b =+，求得2a c b +=，即可得出结果.【详解】（1）因为在ABC V 中，a 、b 、c 依次成等比数列且2a 、2b 、2c 依次成等差数列，所以22222b ac b a c ⎧=⎨=+⎩， 由余弦定理可得，222221cos 222a b b B ac b c =-=+=，所以3B π=；（2）由（1）知22222b ac b a c⎧=⎨=+⎩，所以22224c ac a b ++=， 因此22(4)a c b =+，所以2a c b +=， 又a c b λ+=，所以2λ=. 【点睛】本题主要考查解三角形，熟记余弦定理即可，属于常考题型.20．已知函数()22sin 3214x f x x π⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭,x ∈R .（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在ABC V 中,角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ,且满足()2cos cos a c B b C -=,若方程()1f A m +=恰有两个不同的解,求实数m 的取值范围. 【答案】（1）5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）13m <<. 【解析】（1）先将函数解析式化简整理，得到()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，根据222,232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈求解，即可得出结果；（2）先由题意，根据正弦定理，得到3B π=，求出2,33A πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，令2,33t A πππ⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭，画出()2sin f t t =在,3t ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭的大致图像，将方程()1f A m +=恰有两个不同的解，转化为()y f t =与1y m =-有两不同交点，结合函数图像，即可得出结果. 【详解】（1）因为()22sin 32132co 2s 24x x x f x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-=--+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 2322sin 23x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，由222,232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈得5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， 所以函数()f x 的单调递增区间为5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）因为()2cos cos a c B b C -=，所以()2sin sin cos sin cos A C B B C -=， 即2sin cos sin cos cos sin sin()sin A B B C B C B C A =+=+=，所以1cos 2B =， 故3B π=，所以20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因此2,33A πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以3sin 2,13A π⎛⎤⎛⎫-∈- ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，令2,33t A πππ⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭，则()2sin f t t =， 作出函数()2sin f t t =在,3t ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭的大致图像如下， 因为方程()1f A m +=恰有两个不同的解，则()y f A =与1y m =-有两不同交点， 即()y f t =与1y m =-有两不同交点， 由图像可得，只需012m <-<，即13m <<.【点睛】本题主要考查求正弦型三角函数的单调区间，以及根据方程根的个数求参数的问题，熟记辅助角公式，正弦函数的单调区间，正弦定理等，灵活运用数形结合的方法求解即可，属于常考题型.21．如图所示,在xOy 平面上,点()1,0A ,点B 在单位圆上且()0AOB ααπ∠=<<.（1）若点34,55B ⎛⎫- ⎪⎝⎭,求tan 24πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值； （2）若OA OB OC +=u u u r u u u ru u u r,四边形OACB 的面积用S 表示,求S OA OC +⋅u u u r u u u r的最大值. 【答案】（1）1731；（2）12+【解析】（1）先由三角函数的定义，得到4tan 3α=-，根据二倍角公式，以及两角差的正切公式，即可求出结果；（2）先由三角形面积公式，得到2sin AOB S S α==V ，再由向量数量积的运算，得到1cos OA OC α⋅=+u u u r u u u r ，进而得到124S OA OC πα⎛⎫+⋅=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，根据正弦函数的性质，即可得出结果. 【详解】（1）因为34,55B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由三角函数的定义可得：445tan 335α==--，所以282tan 243tan 2161tan 719ααα-===--， 因此241tan 2tan1774tan 2244311tan 2tan 147παπαπα--⎛⎫-=== ⎪⎝⎭+⋅+； （2）由题意，2sin sin AOB S S OA OB AOB α==⋅∠=V ，()21cos 1cos OA OC OA OA OB OA OA OB OA OB αα⋅=⋅+=+⋅=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，因此sin 1cos 124S OA OC πααα⎛⎫++=+⎪⎝⎭+⋅ =u u u r u u u r ，因为0απ<<，所以5444ππαπ<+<， 因此当42ππα+=，即4πα=时，sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭取得最大值1，即124S OA OC πα⎛⎫++⋅=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r 的最大值为12+【点睛】本题主要考查由两角差的正切公式求三角函数值，以及三角函数性质的应用，熟记两角差的正切公式，二倍角的正切公式，三角函数的定义，正弦函数的性质等即可，属于常考题型.22．已知数列{}n a 满足2112n n n a a a +=+,*n N ∈. （1）若120a -<<,证明：10n n a a +<<；（2）若10a >,记12111222n n S a a a =++⋅⋅⋅++++,问：是否存在常数M ,使得n S M <对*n N ∈均成立.【答案】（1）证明过程见详解；（2）存在常数11M a ≥，使得n S M <对*n N ∈均成立. 【解析】（1）根据数学归纳法证明20n a -<<，即可得出结论成立；（2）先由（1）的方法，得到0n a >恒成立；根据题中条件，用裂项的方法得到11112n n n a a a +=-+，求出1111n n S a a +=-，即可得出结果.【详解】（1）先用数学归纳法证明20n a -<<如下： 当1n =时，因为120a -<<显然成立；假设()2n k k =≥时，20n a -<<成立；则022k a <+<，1102k a -<<， 所以()()211122,022k k k k k a a a a a +=+=+∈-也成立； 即1n k =+时，也满足20n a -<<成立； 综上，20n a -<<对任意*n N ∈恒成立； 所以()21112022n n n n n a a a a a +=+=+<显然成立； 21102n n n a a a +-=>也成立，即1n n a a +>，因此10n n a a +<<；（2）由10a >，同（1）可得：0n a >恒成立； 因为()2111222n n n n n a a a a a +=+=+， 所以()1121122n n n n n a a a a a +==-++，即11112n n n a a a +=-+， 所以1212123111111111222nn n n S a a a a a a a a a +⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎝⎭⎭111111n a a a +=<-， 为使n S M <对*n N ∈均成立，只需11M a ≥即可. 即存在常数11M a ≥，使得n S M <对*n N ∈均成立. 【点睛】本题主要考查数学归纳法的应用，以及数列的求和，熟记数学归纳法的一般步骤，以及裂项相消法求数列的和即可，属于常考题型.。

湖南省衡阳市2018-2019学年高一下学期新高考选科摸底考试数学试题一、单选题1．已知全集{}{}0,1,2,3,1,3U A ==，则集合U C A =（ ） A ．{}0 B ．{}1,2 C ．{}0,2 D ．{}0,1,2【答案】C【解析】因为全集{}{}0,1,2,3,1,3U A ==，所以0，2属于全集且不属于集合A , 所以集合U C A ={}0,2，故选：C. 2．若23x =，则x =（ ） A ．2log 2 B ．lg 2lg3-C ．lg 2lg 3D ．lg3lg2【答案】D【解析】解：因为23x=，所以2lg 3log 3lg 2x ==，故选：D. 3．已知直线1:210l x y -+=与直线2:30l x ky +-=平行，则实数k 的值为（ ） A ．-2 B ．2C ．12-D ．12【答案】A【解析】解：由两直线平行的判定可得:1211(3)11k ⨯=-⨯⎧⎨⨯-≠⨯⎩，解得2k =-，故选：A.4．圆221:1C x y +=与圆222:430C x y x +-+=的位置关系是（ ）A ．内切B ．外切C ．相交D ．相离【答案】B【解析】解：由圆221:1C x y +=，圆222:430C x y x +-+=，即222:(2)1C x y -+=，所以圆1C 的圆心坐标为1(0,0)C ，圆2C 的圆心坐标为2(2,0)C ，两圆半径121r r ==，则圆心距12122C C r r ==+，即两圆外切，故选：B. 5．若向量a 与向量b 不相等，则a 与b 一定（ ） A ．不共线 B ．长度不相等C ．不都是单位向量D ．不都是零向量【答案】D【解析】解：向量a 与向量b 不相等，它们有可能共线、有可能长度相等、有可能都是单位向量但方向不相同，但不能都是零向量， 即选项A 、B 、C 错误，D 正确. 故选：D. 6．若()1sin πα3-=，且παπ2<<，则sin2α的值为( )A ．B ．CD 【答案】A 【解析】解：()1sin παsin α3-==，且παπ2<<，cos α∴==sin2α2sin αcos α==， 故选A ． 7．函数xy x x=+的图象是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由于1,01,0x x xy x x x x +>⎧=+=⎨-<⎩，根据函数解析式可知，D 选项符合.故选：D8．用长为4，宽为2的矩形做侧面围成一个圆柱，此圆柱轴截面面积为（ ）A ．8B ．8πC ．4πD ．2π【答案】B【解析】解：当圆柱的高为4时，设圆柱的底面半径为r ，则22r π=，则1πr =，则圆柱轴截面面积为18224ππrh =⨯⨯=， 当圆柱的高为2时，设圆柱的底面半径为r ，则24r π=，则2πr =，则圆柱轴截面面积为28222ππrh =⨯⨯=，综上所述，圆柱的轴截面面积为8π， 故选：B. 【点睛】本题考查了圆柱轴截面面积的求法，属基础题.9．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（ ） A ．πcos 22y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．πsin 22y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．sin2cos2y x x =+D ．sin cos y x x =+【答案】A【解析】解：y ＝cos （2x π2+）＝﹣sin2x ，是奇函数，函数的周期为：π，满足题意，所以A 正确y ＝sin （2x π2+）＝cos2x ，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B 不正确；y ＝sin2x +cos2x =（2x π4+），函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C 不正确；y ＝sin x +cos x =（x π4+），函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D 不正确；故选A ．10．过正方形ABCD 的顶点A ，作PA ⊥平面ABCD ，若PA BA =，则平面ABP 和平面CDP 所成的锐二面角的大小是A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒【答案】B【解析】法一：建立如图(1)所示的空间直角坐标系，不难求出平面APB 与平面PCD 的法向量分别为n 1＝(0,1,0)，n 2＝(0,1,1)，故平面ABP 与平面CDP 所成二面角的余弦值为1212n n n n＝，故所求的二面角的大小是45°.法二：将其补成正方体．如图(2)，不难发现平面ABP 和平面CDP 所成的二面角就是平面ABQP 和平面CDPQ 所成的二面角，其大小为45°. 11．ABC 中，0AB BC ⋅>，则ABC 是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形【答案】C【解析】解：在ABC 中，0AB BC ⋅>，则cos()0AB BC B π⋅->， 即cos 0B <，则ABC ∠为钝角，所以ABC 为钝角三角形， 故选：C.12．若函数f （x ）=log a （x 2–ax +2）在区间（0，1]上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[2，3）B ．（2，3）C ．[2，+∞）D ．（2，+∞）【答案】A【解析】∵函数()()2log 2a f x x ax =-+在区间(]0,1上为单调递减函数，∴1a >时，22y x ax =-+在(]0,1上为单调递减函数， 且220x ax -+>在(]0,1上恒成立，∴需22y x ax =-+在(]0,1上的最小值1230a a -+=->，且对称轴112x a =≥，∴23a ≤<， 当01a <<时，22y x ax =-+在(]0,1上为单调递增函数，不成立， 综上可得a 的范围是[)2,3， 故选：A ． 二、填空题13．若直线1x =的倾斜角为α，则α的弧度数是________. 【答案】π2【解析】由直线1x =垂直x 轴，即其倾斜角弧度数为π2，得解. 【详解】解：因为直线1x =垂直x 轴， 所以其倾斜角弧度数为π2. 故答案为：π2. 【点睛】本题考查了利用弧度制表示直线的倾斜角，属基础题.14．函数cos y x =，π2,π63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最小值是________. 【答案】12-【解析】由cos y x =在2,63ππx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上是减函数，再求最小值即可.【详解】解：因为cos y x =在2,63ππx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上是减函数，所以其最小值是2π1cos 32y ==-. 故答案为：12-. 15．若1a =，3b =，则a b -的取值范围是_____. 【答案】[]2,4【解析】∵a b a b a b -≤-≤+，∴24a b ≤-≤. 故答案为：[]2,4.16．已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数.当x 0≥时，()()5πsin 01421()1(1)4x x x f x x ⎧⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎪+>⎪⎩，则()1f =______，若关于x 的方程()()())2]0,R f x af x b a b ⎡++=∈⎣，有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是______． 【答案】54 599,,1244⎛⎫⎛⎫--⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】解：()5π5f 1sin 424⎛⎫== ⎪⎝⎭，作函数()y f x =的图象如右图，设方程20x ax b ++=的两个根为1x ，2x ；①若154x =，251x 4<<，故1295,42x x a ⎛⎫+=-∈ ⎪⎝⎭，故59a,24⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭；②若10x 1<≤，251x 4<<，故1291,4x x a ⎛⎫+=-∈ ⎪⎝⎭，故9a ,14⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭； 故答案为54，599,,1244⎛⎫⎛⎫--⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 三、解答题17．请解决下列问题： （1）已知tan 2α=，求sin 2cos 5cos sin αααα+-的值；（2）计算(2lg5(lg8lg1000)lg ++.解：（1）由tan 2α=，分子分母同时除以cos α可得，原式tan 245tan 3αα+==-.（2）原式22lg5(3lg 23)3lg 23lg 2lg53lg 23lg5=++=++3lg 2(lg 2lg5)3lg53lg 23lg53(lg 2lg5)3=++=+=+=.18．已知三角形的三个顶点(5,0),A -(3,3),B -(0,2)C . （1）求BC 边所在直线的方程； （2）求BC 边上的高所在直线方程. 解：（1）(3,3)B -，(0,2)C ，∴直线BC 的方程为332303y x +-=+-，即5360x y +-=. （2）53BC k =-，∴直线BC 边上的高所在的直线的斜率为35，又(5,0)A -，∴直线BC 边上的高的方程为: 30(5)5y x -=+，即BC 边上的高所在直线方程为35150x y -+=. 19．已知向量(sin ,1)a θ=，(1,cos )b θ=，ππ22θ-<<． (1) 若a b ⊥，求θ； (2) 求||a b +的最大值．解：（1）a b ⊥，∴sin cos 0θθ+=，整理得π)04θ+=，又ππ(,)22θ∈-，4πθ∴=-.（2）||(1sin a b +=+==ππ(,)22θ∈-，故当π4θ=时，||a b +取到最大值1+ 20．已知三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，BA AC ⊥，12AB AA AC ===，M 为AC 中点.（1）证明:直线1//B C 平面1A BM ； （2）求异面直线1B C 与1A B 所成角的大小.解：证明：（1）连接1AB 交1A B 于点O ，连接OM ，11A ABB 为平行四边形，O ∴为1AB 的中点，又M 为AC 的中点，1//OM B C ∴.又OM ⊂平面1A BM ，1B C ⊄平面1A BM .1//B C ∴平面1A BM . （2）1AA ⊥平面ABC ，AC AB ⊥，190A AM MAB ∴∠=∠=︒.又12AB AA AC ===，由M 为AC 中点， 1AM ∴=，1AM BM ∴==， 又O 为1AB 的中点，1OM A B ∴⊥.1//OM B C ，11B C A B ∴⊥.所以异面直线1B C 与1A B 所成角的大小为90︒.21．已知函数()2()log 2a f x x =+，（1）若3f =，求a 的值，并判断()f x 的奇偶性； （2）求不等式()(2)f x f x ≤+的解集.解：（1）由题意得，2log 23a ⎡⎤+=⎣⎦，即log 83a =，则3382a ==，2a ∴=，则()22()log 2f x x =+，函数()y f x =的定义域为R ，则()2222()log ()2log 2()f x x x f x ⎡⎤-=-+=+=⎣⎦，()f x ∴是偶函数； （2）当01a <<时，log a yx =在(0,)+∞上是减函数，()222log 2log (2)2a x x ⎡⎤+≤++⎣⎦，222(2)2x x ∴+≥++，解得1x ≤-， 所以原不等式的解集为(,1]-∞-； 当1a >时，log a yx =在(0,)+∞上是增函数，()222log 2log (2)2a x x ⎡⎤+≤++⎣⎦，222(2)2x x ∴+≤++，即1x ≥-， 所以原不等式的解集为[1,)-+∞，综上所述，当01a <<时，原不等式的解集为(,1]-∞-，当1a >时，原不等式的解集为[1,)-+∞.22．如图扇形的圆心角2AOB ∠=π，半径为2，E 为弧AB 的中点C ､D 为弧AB 上的动点，且//CD AB ，记DOE θ∠=，四边形ABCD 的面积为ABCD S .（1）求函数()ABCD S f θ=的表达式及定义域； （2）求()f θ的最大值及此时θ的值 解：（1）DOE θ∠=，OE 与DC ､AB 的交点分别为M ､N ，由已知可知OM CD ⊥，在Rt ODM 中，sin sin 2sin DM OD DOE R θθ=∠==.2cos OM θ=，ON =梯形ABCD 的高2cos h MN OM ON θ==-=则()(4sin ()22ABCD DC AB h S f θθθ++===4sin cos cos )2,θθθθ=---04πθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭.（2）设sin cos t θθ-=，则4t πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()1,0t ∴∈-，则 22(sin cos )12sin cos t θθθθ=-=-，22sin cos 1t θθ∴=-，则2()4sin cos cos )2222ABCD S f t θθθθθ==---=---22221t t ⎛=--=-++ ⎝⎭.()1,0t ∈-，∴当2t =-时，max ()1f θ=，42πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即1sin 42πθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 04πθ<<，044ππθ∴-<-<，46ππθ∴-=-，故12πθ=.故()f θ的最大值为1，此时12πθ=.。