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第四章:傅立叶变换和系统的频域一、信号分解为正交函数 （一）、完备正交函数 1正交函数：实正交函数：设φ1(t) φ2(t)是定义在（t 1,t 2）内的两个实函数，若∫φ1(t ),t 2t 1φ2(t)dt =0，则称是函数的正交条件。
若∫φ1(t),t 2t 1φ2*dt =∫φ1*(t),t 2t 1φ2dt =0满足实函数的正交条件，则称φ1(t) φ2(t)在（t1,t 2）内正交。
复函数正交：：设φ1(t) φ2(t)是定义在（t 1,t 2）内的两个复函数，若，则称是复函数的共轭条件。
则称φ1(t) φ2(t)在（t 1,t 2）内正交。
2、正交函数集若n 个实函数{φi （t ）}（i=1,2,3,…….）在区间（t 1,t 2）内满足实函数正交条件∫φi (t ),t 2t 1φj(t)dt ={0,i ≠jK i ,i =j，则{φi （t ）}（i=1,2,3,…….）在（t 1,t 2）内是正交实函数。
≈复正交函数集：若n 个复函数{φi （t ）}（i=1,2,3,…….）在区间（t 1,t 2）内满足复函数正交条件∫φi (t ),t 2t 1φj*(t)dt ={0,i ≠jK i ,i =j，则{φi （t ）}（i=1,2,3,…….）在（t 1,t 2）内是复正交函数集。
3、完备正交函数集：若正交函数集{φi （t ）}（i=1,2,3,…….）之外不存在g t （t ）与φi (t )正交，则{φi （t ）}（i=1,2,3,…….）是完备正交函数集。
4、完备正交函数集举例： ａ、三角函数集 b 、复指数函数集 c 、沃尔什函数（二）信号正交分解f (t )≈C 1φ1（t ）+ C 2φ2（t ）+……..+ C n φn （t ）=∑C j n j=1φj (t),求系数C j 1、 求误差的均方值最小：2ε= Cj1t 1−t 2∫f (t )−∑C j n j=1φj (t)t 2t 1二、三角傅里叶级数（周期信号在一个周期内展开）1、满足狄利克雷条件f(t)=a02+∑(a n cos nΩt+b n sin nΩt)∞n=1a0 2=1T∫f(t)dt=f(t)π2−π2（f(t)在一个周期内方均值；直流分量）a n=2T∫f(t)cos nΩt dt,n=0,1,2,…T2−T2b n=2T∫f(t)sin nΩt dt,n=0,1,2,…T2−T22、三角傅里叶级数第二种表示方法：3、f(t)=A02+∑(A n cos(nΩt+φn)∞n=1A n=√a n2+b n2（A0=a）φn=tan−1b na nA02直流分量；(A n cos(nΩt+φn)n次谐波分量三角傅里叶级数的特点：A n和a n是nΩ的偶函数；b n和φn是nΩ的奇函数。
第四章:傅立叶变换和系统的频域一、信号分解为正交函数 （一）、完备正交函数 1正交函数：实正交函数：设φ1(t) φ2(t)是定义在（t 1,t 2）内的两个实函数，若∫φ1(t ),t 2t 1φ2(t)dt =0，则称是函数的正交条件。
若∫φ1(t),t 2t 1φ2*dt =∫φ1*(t),t 2t 1φ2dt =0满足实函数的正交条件，则称φ1(t) φ2(t)在（t1,t 2）内正交。
复函数正交：：设φ1(t) φ2(t)是定义在（t 1,t 2）内的两个复函数，若，则称是复函数的共轭条件。
则称φ1(t) φ2(t)在（t 1,t 2）内正交。
2、正交函数集若n 个实函数{φi （t ）}（i=1,2,3,…….）在区间（t 1,t 2）内满足实函数正交条件∫φi (t ),t 2t 1φj(t)dt ={0,i ≠jK i ,i =j，则{φi （t ）}（i=1,2,3,…….）在（t 1,t 2）内是正交实函数。
≈复正交函数集：若n 个复函数{φi （t ）}（i=1,2,3,…….）在区间（t 1,t 2）内满足复函数正交条件∫φi (t ),t 2t 1φj*(t)dt ={0,i ≠jK i ,i =j，则{φi （t ）}（i=1,2,3,…….）在（t 1,t 2）内是复正交函数集。
3、完备正交函数集：若正交函数集{φi （t ）}（i=1,2,3,…….）之外不存在g t （t ）与φi (t )正交，则{φi （t ）}（i=1,2,3,…….）是完备正交函数集。
4、完备正交函数集举例： ａ、三角函数集 b 、复指数函数集 c 、沃尔什函数（二）信号正交分解f (t )≈C 1φ1（t ）+ C 2φ2（t ）+……..+ C n φn （t ）=∑C j n j=1φj (t),求系数C j 1、 求误差的均方值最小：2ε= Cj1t 1−t 2∫f (t )−∑C j n j=1φj (t)t 2t 1二、三角傅里叶级数（周期信号在一个周期内展开）1、满足狄利克雷条件f(t)=a0+∑(a n cos nΩt+b n sin nΩt)∞n=1a0 2=1T∫f(t)dt=f(t)π2−π2（f(t)在一个周期内方均值；直流分量）a n=2T∫f(t)cos nΩt dt,n=0,1,2,…T2−T2b n=2T∫f(t)sin nΩt dt,n=0,1,2,…T2−T22、三角傅里叶级数第二种表示方法：3、f(t)=A02+∑(A n cos(nΩt+φn)∞n=1A n=√a n2+b n2（A0=a）φn=tan−1b na nA02直流分量；(A n cos(nΩt+φn)n次谐波分量三角傅里叶级数的特点：A n和a n是nΩ的偶函数；b n和φn是nΩ的奇函数。
书上121页例题4.2-1及总结见笔记！（二）指数傅里叶级数1、f(t)=∑Fn e jnΩt∞−∞2、指数形式与三角形式傅里叶级数关系：详见书128页（三）函数奇偶性及其傅里叶级数特点1、奇函数与偶函数f(t)=f(−t)偶函数，记为fe(t)f(t)=−f(−t)奇函数，记为fo(t)f(t)= fe(t)+ fo(t)见笔记例题2，及奇函数偶函数的傅里叶关系2、奇谐函数：f(t)=−f(t±T2)，只含奇次谐波分量3、偶谐函数：f(t)=f(t±T2)，只含偶次谐波分量4、横坐标的平移对傅里叶级数的影响：改变傅里叶级数中直流分量对各次谐波的振幅、相位无影响。
见例3.三、周期信号频谱（一）振幅频谱与相位频谱 傅里叶级数的两种形式： a 、f (t )=a 02+∑(a n cos nΩt +b n sin nΩt )∞n=1b 、f (t )=∑F n ejnΩt∞−∞ 1、振幅频率：a 、以A n 为纵坐标以nΩ为横坐标画出各次谐波振幅相对大小的线图，n>=0单边谱。
b 、以F n 为纵坐标以nΩ为横坐标画出各次谐波振幅相对大小的线图，n=0，±1，,±2，……双边谱2、包络线：定义3、相位频谱：定义（二）周期性矩形脉冲的频谱：详见笔记分析过程 小结：a 、离散性、谐波性、收敛性 b、τ不变T 增大一倍幅度减小一倍；Ω减小一倍谱线变密一倍，当T 趋近于∞离散谱趋近于 c 、T 不变τ减小一倍Ω不变谱线间距不变 d 、频带宽度：nΩ=0~2πτ（三）周期信号是功率信号-----帕斯瓦尔等式 P=1T ∫f 2(t )dt =1T ∫A 02+∑([A n cos(nΩt +φn )∞n=1]2dt =∑F n2∞−∞T2−T 2T 2−T 2复习笔记例5、例6及习题4.11四、非周期信号频谱-----傅里叶变换 （一）傅里叶变换FT 1、FTF （j ω）=∫f (t )e −jωt ∞−∞dt =ℱ(f (t )) 2、FT1-f (t )=∑F n ejnΩt∞−∞=12π∫F （jω）e jωt dω∞−∞4、 关于傅里叶变换的讨论： A 、 与傅里叶级数的比较 B 、 FT1-的含义C 、 FT 的三角形式f (t )=A 02+∑(A n cos(nΩt +φn )∞n=1= 1π∫F （ω）cos （ωt +φ(ω)）dω∞小结：非周期性信号可分解为许多不同频率的余弦函数分量，不同的是非周期信号包含0---∞内一切频率，各分量振幅F （ω）πdω为无限小5、 FT 充分条件：∫∕f (t )∕∞−∞dt <∞ 6、 F （0）的意义：f (t )曲线的面积。
（二）常用信号的FT1、门函数gτ（t ）↔G （j ω）=τSa （ωτ2）图形见书135页2、单边指数函数f (t )=e −αt ε(t )(α>0)↔F （j ω）=1α+jω 图形见书136页 3、冲击函数δ（t ）↔1 4、阶跃函数ε(t )↔πδ(ω)+1jω五FT 的性质 1、 线性特性若f 1(t )↔F 1（jω）；f 2(t )↔F 2（jω） 则a f 1(t )+b f2(t )↔aF 1(jω)+bF 2（jω） 2、 A 、奇偶性、虚实性F （j ω）=∫f (t )e −jωt ∞−∞dt =R (ω)+jX (ω)=∕F （jω）∕e jφ(ω) R (ω)是ω的实偶函数；X (ω)是ω的奇函数 B 、幅频特性∕F （jω）∕=√X (ω)2+R (ω)2； φ(ω)=tan −1X (ω)R (ω)是ω的奇函数。
3、 尺度变换若f (t )↔ F （jω）则f (αt )↔1∕α∕ F （j ωα） 用该性质证明sgn(t) ↔2jω4、 对称性若f (t )↔ F （jω）则 F （jt ）↔2πf (−ω); 若f (t )是偶函数则F （jt ）↔2πf (ω)。
用该性质证明S a （t ）=sin t t↔πg t (ω)5、 时移性（延时性）若f (t )↔ F （jω）则f (t ±t 0)↔ F （jω）e±jωt 0证明g t ↔1jω(ejωτ2−e−jωτ2)化简得τSa （ωτ2）注：两种方法：先延时后尺度变换（较简单）；先尺度变换后延时。
6、 频移性（调制特性）若f (t )↔ F （jω）则f (t )e±jω0t↔ F （j （ω∓ω0））7、 卷积定理A 、 时域卷积定理f 1(t )∗ f2(t )↔ F 1(jω)F 2（jω）B 、 频域卷积定理f 1(t ) f2(t )↔12π F 1(jω)∗F 2（jω） 8、 时域的微分积分性质A 、 时域微分若f (t )↔ F (jω)，d dt f (t )的傅里叶变换存在，则ddtf (t )↔jω F (jω) B 、 时域积分若f (t )↔ F (jω)且f (∞)=f (−∞)=0，则f 1(t )↔πF (0)δ(ω)+1jωF (jω)9、 频域的微分积分性质A 、 频域微分-jt f (t )↔ddω F (jω) (-jt)nf (t )↔dn dωnF (jω)B 、频域积分 πf (0)δ(ω)+1−jωf (t )↔∫F(jx)dx ∞−∞10、相关定理f 1(t )↔ F 1(jω)，f2(t )↔ F 2(jω)互相关函数：R 12（τ）↔ F 1(jω) F *2(jω)R 21（τ）↔ F *1(jω) F 2(jω)对于自相关函数R （τ）↔ F 1(jω) F *1(jω)=∕F （jω）∕2六、能量谱和功率谱（一）能量信号与能量谱 1、时域： E=∫∕f (t )∕2∞−∞dt =12π∫∕ F (jω)∕2∞−∞dω2、能量谱：定义E=∫ε(t )∞−∞ d f =12π∫ε(ω)∞−∞dω⇒ε(ω)=∕F （jω）∕2↔R （τ）（二）功率信号和功率谱 1、 时域功率：P =lim T→∞1T∫∕f (t )∕2V 2−V 2dt2、 能量有限、功率有限信号：定义3、 功率有限密度函数P （ω）P=12π∫F (ω)dω=∞−∞limT→∞12π∫limT→∞ F 2（ω）TT 2−T2dω4、 功率密度函数与自相关函数F[R （τ）]= lim T→∞1Tf (τ)∗f (−τ)=lim T→∞1T⁄F (jω)2⁄= P （ω）书上165例4.6-1自学七、周期信号的傅里叶变换由非周期信号的傅里叶变换拓展到周期信号的傅里叶变换,将信号分析的方法统一起来。
（一）、正，余弦的傅里叶变换F)][cos(0t ω= F)](21[00t j tj e e ωω-+=)]()([00ωωδωωδπ++-F)][sin(0t ω= F )](21[00t j t j e e jωω--=)]()([00ωωδωωδπ--+j(二)、一般周期函数的傅里叶变换∑∞-∞=Ω=n tjn nT e F t f )(其中Tπ2=Ω是基波角频率,n F 是傅里叶系数。
F∑∞-∞=Ω-=n nT n F t f )(2)]([ωδπ例:F 1)]([=t δF)()]([ωδδΩΩ=t T(三)、傅里叶系数与傅里叶变换 周期信号)(t f T 的傅里叶系数n F 信号频谱)(ωj F 的关系为：4.8 LTI 系统的频域分析研究系统的激励与响应在频域中的关系 （一）、频率响应 时域中零状态响应为：)(*)()(t f t h t y = 其中)(t h 为时域LTI 系统冲激响应由时域卷积定理得：)()()(ωωωj F j H j Y = 其中)(ωj H 为频率响应函数时域分析是在时间域内进行，可以直观地得到系统响应的波形。
频域分析是在频率域内进行，便于对信号进行分析和处理。
