初一数学下寒假预习1平行线的判定

七年级下册两线平行知识点在数学学习中，平行线是一个非常重要的概念，在七年级下册数学中，关于平行线的知识点也是非常的重要。

本文将从两线平行的定义、性质、判定方法等方面进行详细说明，帮助同学们更好地理解和掌握两线平行的相关知识。

一、两线平行的定义在平面内，如果两条直线在同一平面内，且不存在任何交点，则这两条直线被称为平行线。

用符号“||”表示。

如下图所示：（插入图片：两线平行）其中，线AB和线CD被表示为平行线，符号“||”表示两条线段平行。

需要注意的是，两条线段平行，不仅仅是指它们的位置关系，还包括它们的方向和长度关系。

二、两线平行的性质1. 平行线的夹角相等如果两条相交的直线都和另一条直线平行，则这两条相交的直线所夹角相等。

如下图所示：（插入图片：相交直线夹角相等）其中，线AB和CD平行，线EF和CD相交，在DE处所夹角∠AED等于所夹角∠BEF，即∠AED=∠BEF。

2. 平行线上的对应角相等如果一条直线与两条平行线相交，那么这两条平行线上的对应角是相等的。

如下图所示：（插入图片：平行线上的对应角相等）其中，线ab和线cd是平行线，线ef与线ab、cd相交，所成的对应角∠bfe=∠ecd。

3. 平行线上的内错角相等，外错角互补如果一条直线与两条平行线相交，那么这两条平行线上的内错角相等，外错角互补。

如下图所示：（插入图片：平行线上的内错角相等，外错角互补）其中，线AB和CD平行，线EF与线AB、CD相交，所成的内错角∠AEF=∠DFC；所成的外错角∠CEF=∠AEF+∠DFC。

三、两线平行的判定方法在数学学习中，我们需要掌握两线平行的判定方法，这也是七年级下册数学学习的重点之一。

1. 就角度判定如果两条直线之间的夹角是直角，则这两条直线相互垂直。

如下图所示：（插入图片：直角垂直）其中，线AB和线CD是相交的直线，若∠ABC=90°，则线AB 平行于线EF，即AB||EF。

2. 就边长比判定在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，如果两条直线上的相交角等于90度，并且一条直线在这两条直线之间，且分别与两条直线相交，则这两条直线平行。

七年级下册数学平行线及其判定数学是一门严谨的学科，它涵盖了许多重要的概念和定理。

在这篇文章中，我们将讨论平行线及其判定。

平行线是指在二维平面上没有交点的直线。

在几何学中，平行线的性质和判定方法是非常重要的，我们将通过详细的解释和例子来帮助同学们更深入地理解这一概念。

1.平行线的定义首先，让我们来看一下平行线的定义。

在几何学中，两条直线是平行线，当且仅当它们在同一平面上且永远不相交。

这意味着无论我们如何延长这两条直线，它们也永远不会相交。

通过这个定义，我们可以很容易地理解什么是平行线。

但是，实际中我们如何判断两条直线是否平行呢？接下来，我们将讨论几种常见的平行线判定方法。

2.平行线的判定2.1直线与直线的判定首先，让我们来看一下两条直线是否平行的判定方法。

根据几何学的知识，我们知道，如果两条直线的斜率相等，那么它们就是平行线。

这是因为斜率代表了直线的倾斜程度，如果两条直线的斜率相等，那么它们的倾斜程度也相等，这就意味着它们是平行的。

举个例子，假设我们有两条直线，分别是y=2x+3和y=2x-1。

我们可以很容易地计算出它们的斜率都是2，这意味着这两条直线是平行的。

2.2点与直线的判定除了两条直线的斜率相等之外，我们还可以利用点与直线之间的关系来判定两条直线是否平行。

具体来说，如果一条直线上的一点到另一条直线的距离为0，则这两条直线是平行的。

这是因为如果两条直线是平行的，那么它们的距离永远不会改变，所以一个点到另一条直线的距离也永远是不变的。

举个例子，假设我们有一条直线L：y=2x+3，还有一点A(1,5)，我们需要判断这个点到直线L的距离。

我们可以利用点到直线的距离公式来计算，如果计算出来的距离为0，那么这个点和直线是平行的。

2.3垂直线的判定有时候，我们也需要判断两条直线是否是垂直的。

其实，判断两条直线是否垂直与判断两条直线是否平行是类似的。

如果两条直线的斜率的乘积为-1，那么这两条直线是垂直的。

5.2.2 平行线的判定知识点一、平行线的判定判定方法文字语言图示符号语言判定方法1：同位角相等，两直线平行两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。

∵∵3=∵7∵AB//CD判定方法2：内错角相等，两直线平行两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。

∵∵1=∵7∵AB//CD判定方法3：同旁内角互补，两直线平行两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。

∵∵1+∵6=180°∵AB//CD知识点二、平行线判定方法的推论文字语言图示符号语言1、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行．∵a∵c，b∵c∵a//b2、平行于同一条直线的两条直线平行．∵a∵c，b∵c∵a//b考点一、灵活运用平行线的判定方法例1、【2021·桂林】如图，直线a，b被直线c所截，当∵1____∵2时，a∵b.(用“>”“<”或“＝”填空)例2、下列图形中，由∵1＝∵2能得到AB∵CD的是()知识梳理精讲精练例3、如图，已知AB∵BD于点B，CD∵BD于点D，∵1＝∵2，试问CD与EF平行吗？为什么？解：CD∵EF.∵∵1＝∵2(__________)，∵AB∵EF(___________________________)．∵AB∵BD，CD∵BD，∵AB∵CD(___________________________________________________)．∵CD∵EF(____________________________________)．例4、已知：如图，AB∵BC，CD∵BC，∵1＝∵2，BE与CF平行吗？请说明理由．补全下面的说理过程，并在括号内填上适当的理由．解：BE∵CF.理由如下：∵AB∵BC，CD∵BC(________)，∵∵ABC＝∵BCD＝________°(垂直的定义)．∵∵1＝∵2(_________)，∵∵EBC＝∵FCB(__________________)．∵BE∵CF(____________________________)．例5、如图，BE平分∵ABD，DE平分∵BDC，∵1＋∵2＝90°，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由．变式1、如图，直线a与直线b相交于点A，与直线c相交于点B，∵1＝120°，∵2＝45°.若使直线b与直线c平行，则可将直线b绕点A逆时针至少旋转()A．15° B．30° C．45° D．60°变式2、【2021·铜仁】直线AB，BC，CD，EG如图，∵1＝∵2＝80°，∵3＝40°，则下列结论错误的是()A．AB∵CDB．∵EFB＝40°C．∵FCG＋∵3＝∵2D．EF>BE变式3、如图，点E在AD的延长线上，下列条件中能判定AB∵CD的是()A．∵1＋∵2＝180°B．∵C＋∵ABC＝180°C．∵3＝∵4D．∵A＋∵ABC＝180°变式4、如图，下列条件不能判定AB∵CD的是()A．∵1＝∵2B．∵2＝∵EC．∵B＋∵E＝180°D．∵BAF＝∵C变式5、在下面的括号内填上理由．已知：如图，直线NF与直线HB，CD分别交于点E，F，直线AM与直线HB交于点A，且∵1＝∵4＝105°，∵2＝75°.试说明AM∵NF，AB∵CD.解：∵∵2＝∵3(____________)，∵2＝75°(已知)，∵∵3＝75°.∵∵1＝105°(已知)，∵∵MAB＝180°－∵1＝75°.∵∵MAB＝∵3.∵AM∵NF(______________________)．∵∵3＝75°，∵4＝105°，∵∵3＋∵4＝180°.∵AB∵CD(__________________________)．变式6、如图，∵ABC＝∵ACB，BD平分∵ABC，CE平分∵ACB，∵DBF＝∵F.问：CE与DF的位置关系怎样？试说明理由．考点二、平行线判定方法的推论应用例1、如图，已知∵1＝90°，∵2＝90°，试说明：CD∵EF.变式1、如图，工人师傅用角尺画出工件，边缘AB的垂线a和b，得到a∵b，理由是_____________________ __________________________．变式2、如图，已知∵2是直角，再量出∵1或∵3就会知道两条铁轨是否平行．方案一：若量得∵3＝90°，结合∵2的情况，说明两条铁轨是否平行．方案二：若量得∵1＝90°，结合∵2的情况，说明两条铁轨是否平行．解：方案一：如果量得∵3＝90°，而∵2＝90°，所以两条铁轨都与枕木垂直．那么两条铁轨平行(______________________________________________)．方案二：如果量得∵1＝90°，而∵2＝90°，所以∵1＝∵2.那么两条铁轨平行(______________________________)．1、【2020·郴州】如图，直线a，b被直线c，d所截．下列条件能判定a∵b的是()A．∵1＝∵3 B．∵2＋∵4＝180°C．∵4＝∵5 D．∵1＝∵22、【2020·金华】如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b，得到a∵b.理由是() A．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行C．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行3、如图，已知∵1＝68°，∵2＝68°，∵3＝112°.(1)因为∵1＝68°，∵2＝68°，所以∵1＝∵2.所以________∵________(同位角相等，两直线平行)．(2)因为∵3＋∵4＝180°(平角的定义)，∵3＝112°，所以∵4＝68°.又因为∵2＝68°，所以∵2＝∵4.所以________∵________(同位角相等，两直线平行)．4、如图，已知E，B，C三点共线，BE平分∵DBF，∵1＝∵ACB.试说明BF∵AC.解：因为BE平分∵DBF(________)，所以______＝______(___________________)．又因为∵1＝∵ACB(________)，所以∵2＝∵ACB(____________)．所以BF∵AC(_______________________)．课后作业5、已知：如图，∵1＝120°，∵C＝60°，判断AB与CD是否平行，为什么？6、用一副三角尺拼图如图所示，过点C作CF平分∵DCE，交DE于点F.试说明CF∵AB.7、如图，∵ABC＝∵ACB，BD平分∵ABC，CE平分∵ACB，∵DBF＝∵F.问：CE与DF的位置关系怎样？试说明理由．8、如图，已知直线l1，l2，l3被直线l所截，∵1＝72°，∵2＝108°，∵3＝72°.试说明l1∵l2∵l3.。

七年级数学下《平行线的性质》知识点总结归纳一、平行线的性质1.同位角相等：两条平行线被一条横截线所截，形成的同位角相等。

2.内错角相等：两条平行线被一条横截线所截，形成的内错角相等。

3.同旁内角互补：两条平行线被一条横截线所截，形成的同旁内角互补，即角度和为180°。

二、性质的应用1.计算平行线的距离：利用平行线的性质，可以计算两条平行线之间的距离。

2.判断角度大小：利用平行线的性质，可以判断两条直线之间的角度大小。

3.解决实际问题：平行线的性质在实际生活中有广泛的应用，如建筑、机械制造等领域。

三、注意事项1.平行线的性质是在同一平面内，两条不相交的直线所具备的属性。

因此，确定两条线是否平行，首先需要确定它们是否在同一平面内。

2.平行线的性质需要通过横截线来体现，因此在证明或应用性质时，需要明确横截线的位置。

3.在实际应用中，需要根据具体情境判断两条线是否平行，并选择适当的方法来解决问题。

四、相关定理与概念1.平行线的判定定理：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等。

2.垂直线的性质：垂直于同一条直线的两条直线互相平行。

3.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。

五、易错点提醒1.学生在应用性质时，容易出现混淆，将判定定理和性质混淆使用。

需要明确的是，判定定理用于判断两条直线是否平行，而性质用于说明平行线之间的关系或推导其他结论。

2.对于同旁内角互补的理解，学生容易出现误区，认为同旁内角之和为90°而非180°。

需要强调的是，同旁内角互补是指它们的角度和为180°，不是90°。

3.在实际解决问题时，学生容易忽略题目中的限制条件或隐藏条件，导致解题错误。

需要提醒学生认真审题，注意细节，以免出现不必要的错误。

平行线的判定及性质一、知识概述1、在“三线八角”中，同位角、内错角、同旁内角的识别角的名称位置特征图形结构特征同位角在截线同侧在被截线同一方形如字母“F”(或倒置)内错角在截线两侧(交错)夹在两条被截线之间形如字母“Z”(或反置)同旁内角在截线同侧夹在两条被截线之间形如字母“U”2、平行线的判定方法平行线的判定定理：定理1：同位角相等，两直线平行．定理2：内错角相等，两直线平行．定理3：同旁内角互补，两直线平行．另外：1、平行于同一直线的两条直线相互平行（平行线的传递性）2、在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线相互平行（经常出现在图中有3条平行线的题目中）3、平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等性质2：两直线平行，内错角相等性质3：两直线平行，同旁内角互补二、例题讲解例1、如图，直线AB、CD、EF相交，①指出∠3与其它角（带标号的），是什么关系的角；②图中共有多少对同位角、内错角和同旁内角.变式：如图，AB、CD被EF、EG所截，在∠1～∠6的6个角中，同位角、内错角、同旁内角的对数分别是（）A．8、12、8B．8、2、8 C．3、3、2D．12、12、8例2、已知平面内四条直线共有三个交点，则这四条直线中有几条平行？例3、如图，CD⊥AB，EF⊥AB，∠1=∠2，则∠AGD与∠ACB相等吗?请说明理由.解: ∠AGD= ∠ACB.理由如下：∵CD⊥AB，EF⊥AB(已知)，∴∠EFB=∠CDF=90°(垂直的意义)，∴CD//EF( )∴∠2=( ) ( )∵∠1= ∠2(已知).∴∠1= ∠BCD( )∴DG//BC( )∴∠AGD= ∠ACB( )例4、如图，已知∠B=110°∠BCG=110°∠BCD=150°∠D=100°，求证：DE∥AB 证明：∵∠B=∠BCG=110°（）∴AB∥FG（）∴∠BCF+ ∠B =180°（）即∠BCF= 180°—∠B = 180°—110°= 70°∵∠BCD=150°∴∠FCD= ∠BCD—∠BCF= 150°—70°= 80°又∵∠D=100°∴（∠＋∠）=100°＋80°=180°∴FG∥ED（）∴AB∥ED（）变式1：如图，已知∠1＋∠2=∠APC，试说明AB∥CD的理由．变式2：如下图，已知∠ABE +∠DEB = 180°，∠1 =∠2，求证：∠F =∠G．课外拓展：例1、如图，B 处在A 处的南偏西450方向，C 处在B 处的北偏东800方向.（1）求∠ABC.（2）要使CD ∥AB ，D 处应在C 处的什么方向？例2、在小学我们就知道“三角形三个内角的和等于1800”，现在你能用学过的知识说明理由吗？例3、如图(1)，线段AB//CD ，点P 是AB 、CD 间的－个点． (1)试判断∠A 、∠C 与∠APC 的数量关系；(2)如果点P 移动到线段AC 的左侧，那你发现的上述结论还成立吗?说明理由；(3)如果点P 移到两平行线的同侧，那么你发现的上述结论还成立吗?说明理由．12ACB FG E DAB 北 南DABC练习：1、如图1，已知直线a∥b,c∥d，∠1=115°，则∠2=_____，∠3=_____.2、如图2，∠1=82°，∠2=98°，∠3=80°,则∠4的度数为_____.3、如图3，已知AB∥CD，∠1=100°，∠2=120°，则∠α=_____.图1 图2 图34、如图，AB∥CD，AD∥BC，则图中与∠A相等的角有_____个.5、如图，标有角号的7个角中共有_____对内错角，_____对同位角，_____对同旁内角.6、下列结论中，正确的个数是多少个（）（1）在同一平面内不相交的两条线段必平行；（2）在同一平面内不相交的两条直线必平行；（3）在同一平面内不平行的两条线段必相交；（4）在同一平面内不平行的两条直线必相交．A．1 B．2 C．3 D．4 7、如图，下列能判定AB∥CD的条件有（）个．（1）∠B+∠BCD=180°；（2）∠1=∠2；（3）∠3=∠4；（4）∠B=∠5．A、1B、2C、3D、48、下列四个图中若∠1=∠2，能够判定AB∥CD的是（）A ．B ．C ．D ．9、如图15，CD平分∠ACB，DE∥BC，∠AED=80°，求∠EDC的度数.10、如图已知∠B=25°，∠BCD=45°，∠CDE=30°，∠E=10°．试证AB∥EF．。

七年级下册数学平行线的判定七年级下册数学平行线的判定一、概述平行线是初中数学中的重要知识点，也是七年级下册的一项难点内容。

平行线的判定方法有多种，本文将对其中的三种方法进行详细介绍。

二、第一种判定方法：同旁内角等1.定义：同旁内角等定义为，两条直线上的同旁内角相等，则这两条直线是平行线。

2.具体步骤：（1）画两条直线l和m，并选择任意一点A点。

（2）在l上找到一点B，在m上找到一点C。

（3）以A点为圆心，在l上画一个圆，焦点在B点上；在m上画另一个圆，焦点在C点上。

（4）设两圆的交点分别为D、E、F。

（5）连接ADE、BCF，并证明∠ADE=∠BCF。

（6）如果∠ADE=∠BCF，则可得出l和m是平行线。

三、第二种判定方法：同位角相等1.定义：同位角相等定义为，两条直线被另外一条直线割成的同位角相等，则这两条直线是平行线。

2.具体步骤：（1）画两条直线l和m，并选择任意一条直线n，使得n与l和m相交。

（2）在l和m上各找到一组同位角，分别为A1、A2，B1、B2。

（3）连接A1B1、A2B2，并证明∠A1=∠A2。

（4）如果∠A1=∠A2，则可得出l和m是平行线。

四、第三种判定方法：反证法1.定义：反证法定义为，如果已知两条直线l和m不平行，则这两条直线必相交。

2.具体步骤：（1）画两条直线l和m，并选择任意一点A点。

（2）在l上找到一点B，在m上找到一点C，连接BC。

（3）如果BC与l平行，则BC与l的交点D无限远，不可能相交；同样，如果BC与m平行，则BC与m的交点E也无限远，不可能相交。

（4）如果BC既不与l平行也不与m平行，则l和m一定相交，与假设不符。

因此l和m是平行线。

五、总结以上是七年级下册数学平行线的三种判定方法。

在学习过程中，可以根据具体情况灵活运用不同的方法来判断平行线关系，掌握这些方法可以帮助学生提高数学水平，更好地应对课堂测试和考试。

初中数学平行线的判定定理有哪些平行线的判定定理是初中数学中的一个重要概念，用于判断两条直线是否平行。

在本文中，我将详细介绍平行线的判定定理，包括定义、相关定理以及实际应用。

同时，我还会提供一些示例和习题，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。

1. 同位角定理：如果两条直线被一条横截线所切，且同位角相等，则这两条直线是平行线。

即如果两条直线l和m被一条直线n所切，且∠A=∠B，则l||m。

2. 平行线的性质：如果两条直线l和m都与第三条直线n平行，那么l和m也是平行线。

即如果l||n且m||n，则l||m。

3. 垂直定理的逆定理：如果两条直线l和m在同一个平面内，且l和m的任意一条垂线相互垂直，则l||m。

即如果l∠n且m∠n，则l||m。

4. 对顶角定理：如果两条直线l和m被一条横截线所切，且对顶角相等，则这两条直线是平行线。

即如果两条直线l和m被一条直线n所切，且∠A=∠C，则l||m。

5. 平行线的传递性：如果直线l||m，且直线m||n，那么直线l||n。

即如果l||m且m||n，则l||n。

6. 锐角等于直角的定理：如果两条直线l和m在同一个平面内，且l和m的任意一条垂线与另一条直线的某一角度相等，则l||m。

即如果l∠n且∠A=90°，则l||m。

7. 平行线的平行线定理：如果两条直线l和m被同一条直线n所切，且其中一条直线与n 的某一角度为锐角，另一条直线与n的某一角度为钝角，则l||m。

8. 平行线的交角定理：如果两条直线l和m被同一条直线n所切，且其中一条直线与n的某一角度为锐角，另一条直线与n的某一角度为钝角，则l与m不平行。

9. 平行线的平行截线定理：如果两条直线l和m被同一条直线n所切，且直线l与n的交点A与直线m与n的交点B之间的线段AB与直线n的某一条垂线相交于点C，则直线l和直线m平行。

以上是一些常见的平行线的判定定理，可以根据不同的条件来判断两条直线是否平行。

1第二级（上）·第1讲·基础-提高-尖子班·教师版定 义示例剖析平行线的概念：在同一平面内，永不相交的两条直线称为平行线．用“∥”表示．∥a b ，∥AB CD 等．平行线的性质：两直线平行，同位角相等； 两直线平行，内错角相等； 两直线平行，同旁内角互补． ba 4321若∥a b ，则12∠=∠； 若∥a b ，则23∠=∠；若∥a b ，则34180∠+∠=︒．平行线的判定：同位角相等，两直线平行； 内错角相等，两直线平行； 同旁内角互补，两直线平行． ba 4321若12∠=∠，则∥a b ； 若23∠=∠，则∥a b ；若34180∠+∠=︒，则∥a b ．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．简单说成：过一点有且只有一条直线与已知直线平行．(c )b aA过直线a 外一点A 做∥b a ，∥c a ，则b 与c 重合．平行公理推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．简单说成：平行于同一条直线的两条直线平行．c b a若∥，∥b a c a ，则∥b c ．模块一 平行的定义、性质及判定知识导航1平行的性质及判定2【例1】 ⑴ 两条直线被第三条直线所截，则（ ）A ．同位角相等B ．内错角相等C ．同旁内角互补D ．以上都不对⑵ 1∠和2∠是同旁内角，若145∠=︒，则2∠的度数是（ ） A ．45︒ B ．135︒ C ．45︒或135︒ D. 不能确定⑶ 如图，下面推理中，正确的是（ ）A ．∵180A D ∠+∠=°，∴AD BC ∥B ．∵180CD ∠+∠=°，∴AB CD ∥ C ．∵180A D ∠+∠=°，∴AB CD ∥ D ．∵180A C ∠+∠=°，∴AB CD ∥(北京三帆中学期中)⑷ 如图，直线a ∥b ，若∠1＝50°，则∠2＝（ ）A ．50°B ．40°C ．150°D ．130°(北京101中期中)⑸ 如图，直线AB CD ∥，EF CD ⊥，F 为垂足，如果20GEF ∠=°，则1∠的度数是（ ）A ．20°B ．60°C ．70°D ．30°(北京八中期中)⑹ 如图，直线a b ∥，点B 在直线b 上，且AB BC ⊥，155∠=°，则2∠的度数为______21ba CBA(北京八十中期中)⑺ 如图，1∠和2∠互补，那么图中平行的直线有（ ）A ．a b ∥B ．c d ∥C ．d e ∥D ．c e ∥夯实基础DCBA21edc baba 21DGF1E CB A3 第二级（上）·第1讲·基础-提高-尖子班·教师版(北京十三分期中)⑻ 将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：①12∠=∠；②34∠=∠；③2490∠+∠=°；④45180∠+∠=°，其中正确的个数（ ）12345A ．1B ．2C ．3D ．4(北京十三分期中)⑼ 如图，直线12l l ∥，AB CD ⊥，134∠=°，那么2∠的度数是 ．21l 2l 1DCB A(北京一六一中期中)⑽ 将一张长方形纸片按如图所示折叠，如果164∠=°，那么2∠等于 ．21(北京一六一中期中)【解析】 ⑴D ； ⑵D ；⑶C ；⑷D ；⑸C ；⑹35°； ⑺D ；⑻D ；⑼56°； ⑽52°.【例2】 ⑴ 如图，∥AB CD ,B D ∠=∠,请说明12∠=∠，请你完成下列填空，把解答过程补充完整．解：∵AB CD ∥，∴180BAD D ∠+∠=°（ ）． ∵B D ∠=∠， ∴BAD ∠+ 180=°（等量代换）． ∴ （同旁内角互补，两直线平行）． ∴12∠=∠（ ）．（北京市海淀区期末）⑵ 填空，完成下列说理过程.如图，DP 平分ADC ∠交AB 于点P ，90DPC ∠=︒，如果∠1＋∠3＝90°，那么∠2和∠4相等吗？说明理由. 解：∵DP 平分ADC ∠，∴∠3＝∠ （ ）21D C BA P D CBA43214∵APB ∠= °，且90DPC ∠=︒， ∴∠1＋∠2＝90°. 又∵∠1＋∠3＝90°，∴∠2＝∠3. （ ） ∴∠2＝∠4.（北京市朝阳区期末）⑶ 如图,已知DE AC ∥，DF AB ∥，求A B C ∠+∠+∠度数．4321FEDCBA解：∵DE AC ∥（ ），∴C ∠= （ ）， 3∠= （ ） 又∵DF AB ∥（ ） ∴B ∠= （ ） A ∠= （ ） ∴3A ∠=∠（ ）∴123A B C BDC ∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠= （ ）【点评】第⑶题即证明了三角形内角和等于180°． 【解析】 ⑴ 依次填：两直线平行，同旁内角互补；B ∠；∥AD BC ；两直线平行，内错角相等⑵ 4，角平分线定义，180，同角的余角相等⑶ 已知；1∠；两直线平行，同位角相等；4∠；两直线平行，内错角相等；已知；2∠；两直线平行，同位角相等；4∠；两直线平行，同位角相等；等量代换；180°；平角定义．【例3】 ⑴ 如图，已知直线AB CD ∥， 115C ∠=°，25A ∠=°，则E ∠ 的度数为 度．⑵ 如图，不添加辅助线，请写出一个能判定EB AC ∥的 条件： .⑶ 如图，点E 在AC 的延长线上，给出下列条件：① 12∠=∠；② 34∠=∠；③ A DCE ∠=∠； ④ D DCE ∠=∠；⑤ 180A ABD ∠+∠=°； ⑥ 180A ACD ∠+∠=°；⑦ AB CD =.能力提升ABC D E图3EDC B AF 4321EDCB A5第二级（上）·第1讲·基础-提高-尖子班·教师版能说明AC BD ∥的条件有 .⑷ 如图，直线EF 分别与直线AB 、CD 相交于点G 、H ， 已知1260∠=∠=°，GM 平分HGB ∠交直线CD 于点M ． 则3∠=（ ）A ．60°B ．65°C ．70°D ．130°【解析】 ⑴ ∵AB CD ∥，115C ∠=°（已知），∴65BFC ∠=°（两直线平行，同旁内角互补） ∴65AFE BFC ∠=∠=°（对顶角相等）． ∵25A ∠=°（已知），∴90E ∠=°（三角形内角和）．⑵ EBD ACB ∠=∠（EBA BAC ∠=∠）等（答案不唯一） ⑶ ②④⑤； ⑷ A ．【例4】 ⑴ 已知：如图1，CD 平分ACB ∠，DE BC ∥，80AED ∠=°，求EDC ∠．⑵ 已知：如图2，1C ∠=∠，2∠和D ∠互余，BE FD ⊥于G ．求证：AB CD ∥．(北京八中期中)EDCBA21G F ED CB A图1 图2【解析】 ⑴ ∵DE BC ∥∴80EDC DCB ACB AED ∠=∠∠=∠=︒，∵CD 平分ACB ∠∴1402EDC DCB ACB ∠=∠=∠=︒⑵ 证明：∵1C ∠=∠（已知）∴BE CF ∥（同位角相等，两直线平行） 又∵BE FD ⊥（已知）∴90CFD EGD ∠=∠=︒（两直线平行，同位角相等） ∴290BFD ∠+∠=︒（平角定义） 又∵290D ∠+∠=︒（已知） ∴BFD D ∠=∠（等量代换）∴AB CD ∥（内错角相等，两直线平行）【例5】 如图，已知：AB ∥CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于点M 、N ，MG 、NH 分别平分AME ∠、CNE ∠. 求证：MG ∥NH ． 从本题我能得到的结论是：AE BG CDM H F12 3 N MH G FE DCBA6【解析】 ∵AB ∥CD ，∴AME CNE ∠=∠又∵MG 、NH 分别平分AME ∠、CNE ∠∴1122GME AME CNM HNE ∠=∠=∠=∠，∴MG ∥NH从本题我能得到的结论是：两直线平行，同位角的角分线平行. 引导学生举一反三，可得：两直线平行，内错角的角分线平行；两直线平行，同旁内角的角分线互相垂直.模 型示例剖析ab21若∥a b ，则12∠=∠a bc321若∥∥a b c ，则1213180，∠=∠∠+∠=︒ba 321若∥a b ，则123∠=∠+∠ab321若∥a b ，则123360∠+∠+∠=︒【例6】 已知：如图∥AB CD ,点E 为其内部任意一点，求证：BED B D ∠=∠+∠．【解析】 过点E 作∥EF AB ,∵∥EF AB ,∥AB CD （已知）∴∥EF CD （平行于同一条直线的两直线平行）夯实基础知识导航模块二 基本模型中平行线的证明F ABCDEED C BA7第二级（上）·第1讲·基础-提高-尖子班·教师版∵∥EF AB ,（已知）∴B BEF ∠=∠（两直线平行，内错角相等） ∵∥EF CD ,（已知）∴D DEF ∠=∠（两直线平行，内错角相等） ∵BED BEF DEF ∠=∠+∠∴BED B D ∠=∠+∠（等量代换）【例7】 如图，已知AB DE ∥，80ABC ∠=︒，140CDE ∠=︒，求BCD ∠的度数．【解析】 过点C 作CF AB ∥． ∵AB DE ∥且CF AB ∥（已知）∴CF AB DE ∥∥（平行于同一条直线的两直线平行） ∵AB CF ∥且80ABC ∠=︒（已知）∴80BCF ABC ∠=∠=︒（两直线平行，内错角相等）∵DE CF ∥且140CDE ∠=︒（已知）∴180********DCF CDE ∠=︒-∠=︒-︒=︒（两直线平行，同旁内角互补） ∴804040BCD BCF DCF ∠=∠-∠=︒-︒=︒【例8】 如图，已知3180DCB ∠+∠=o ，12∠=∠，:4:5CME GEM ∠∠=，求CME ∠的度数．【解析】 如图延长CM 交直线AB 于点N∵3180DCB ∠+∠=o ，（已知）3ABC ∠=∠（对顶角相等）∴180ABC DCB ∠+∠=o （等量代换） ∴AB ∥CD ，（同旁内角互补，两直线平行） ∴14∠=∠（两直线平行，内错角相等） ∵12∠=∠，（已知） ∴24∠=∠（等量代换） ∴GE ∥CM ，（同位角相等，两直线平行）∴180CME GEM ∠+∠=o （两直线平行，同旁内角互补） ∵:4:5CME GEM ∠∠=， ∴80CME ∠=o【点评】通过辅助线将相关角联系起来.能力提升探索创新FED C B AA BC DE1243AB C DE GMN123ABC DE GM8 判断对错：图中1∠与2∠为同位角（）【解析】×_1∠和2∠不是被同一条直线所截判断对错：垂直于同一条直线的两直线互相平行（）【解析】×_易忘记大前提“在同一平面内”题号班次12345678基础班√√√√√提高班√√√√√尖子班√√√√√知识模块一平行的定义、性质及判定课后演练【演练1】已知如图，1C∠=∠，2B∠=∠，MN与EF平行吗？为什么？NMF21EBAC【解析】∵1C∠=∠（已知），∴MN BC∥（内错角相等，两直线平行）∵2B∠=∠（已知），∴EF BC∥（同位角相等，两直线平行）∴MN EF∥（平行于同一条直线的两直线平行）【演练2】⑴如图1，AB CD∥，AD AC⊥，32ADC∠=°，则CAB∠的度数是．⑵如图2，直线l与直线a，b相交．若a b∥，170∠=°，则2∠的度数是．实战演练219第二级（上）·第1讲·基础-提高-尖子班·教师版⑶ 如图3，直线m n ∥，155∠=°，245∠=°，则3∠的度数为（ ） A ．80° B ．90° C ．100° D ．110°【解析】 ⑴ 122°；⑵ 110°；⑶ C ．【演练3】 ⑴ 根据右图在（ ）内填注理由：①∵B CEF ∠=∠（已知）∴AB CD ∥（ ） ②∵B BED ∠=∠（已知）∴AB CD ∥（ ） ③∵180B CEB ∠+∠=°（已知）∴AB CD ∥（ ）（北京市东城区期末）⑵ 如图：已知12∠=∠，A C ∠=∠，求证：①AB DC ∥ ②AD BC ∥证明：∵12∠=∠（ ） ∴（ ）∥（ ）（ ） ∴C CBE ∠=∠（ ）又∵C A ∠=∠（ ） ∴A ∠= （ ） ∴（ ）∥（ ）（ ）⑶ 如图，∵3E ∠=∠（已知），12∠=∠（已知）又∵∠ =∠ （ ） ∴∠ =∠ （ ） ∴AB CE ∥（ ）【解析】 ⑴ ① 同位角相等，两直线平行；② 内错角相等，两直线平行； ③ 同旁内角互补，两直线平行．⑵ 已知，AB ，CD ；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；已知；CBE ∠；等量代换；AD ，BC ；同位角相等，两直线平行． ⑶ 2；3；对顶角相等；1；E ；等量代换；内错角相等，两直线平行．【演练4】 ⑴ 已知：如图1，110D ∠=°，70EFD ∠=°，12∠=∠，求证：3B ∠=∠．(北京三帆中学期中)证明：∵110D ∠=°，70EFD ∠=°（已知）∴180D EFD ∠+∠=° ∴AD ∥ （ ） 又∵12∠=∠（已知）∴ ∥ （ ）∴ ∥ （ ） 图1E D CBA 2112图3F3ED A DFA EB C 图3nm 321图1DC B A图1321F E DCB A10∴3B ∠=∠（ ）⑵ 如图2，EF AD ∥，12∠=∠，70BAC ∠=°．将求AGD ∠的过程填写完整．(北京四中期中)解：∵EF AD ∥，∴2∠= （ ）又∵12∠=∠∴13∠=∠（ ）∴AB ∥ （ ）∴BAC ∠+ 180=°（ ）又∵70BAC ∠=°∴AGD ∠= ．【解析】 ⑴EF ；同旁内角互补，两直线平行；AD ；BC ；内错角相等，两直线平行；EF ；BC ；平行于同一条直线的两直线平行；两直线平行，同位角相等．⑵3∠；两直线平行，同位角相等；等量代换；DG ；内错角相等，两直线平行；AGD ∠; 两直线平行，同旁内角互补；110°．【演练5】 如图，已知DA AB ⊥，DE 平分ADC ∠，CE 平分BCD ∠，1290∠+∠=°，求证：BC AB ⊥． 【解析】 ∵DE 平分ADC ∠，CE 平分BCD ∠，1290∠+∠=° ∴180ADC BCD ∠+∠=°，∴AD ∥BC ，∴180DAB ABC ∠+∠=°∵DA AB ⊥，∴90ABC ∠=°，即BC AB ⊥【演练6】 如图，已知12180∠+∠=o ，3B ∠=∠，试判断AED ∠与ACB ∠的大小关系，并对结论进行证明．【解析】 法一：∵12180∠+∠=o ，∴2DFE ∠=∠ ∴AB ∥EF ，∴3ADE ∠=∠ ∵3B ∠=∠，∴B ADE ∠=∠ ∴DE ∥BC ，∴AED ACB ∠=∠法二：延长EF ，找2∠的同位角，证出AB ∥EF ，再找3∠的内错角，证出DE ∥BC 即可．知识模块二 基本模型中平行线的证明 课后演练【演练7】 如图，已知AB ∥CD ，23ABF ABE ∠=∠，23CDF CDE ∠=∠，则:F E ∠∠= .【解析】 分别过点E ，F 做AB 和CD 的平行线，易得：:2:3F E ∠∠=.【演练8】 已知：如图，点E 为其内部任意一点，BED B D ∠=∠+∠. 求证：∥AB CD .ABCDE F123A B D E F12A BC D E 图2132G A E B D FC11 第二级（上）·第1讲·基础-提高-尖子班·教师版 EDC B A【解析】 如图过点E 做∥EF AB ,∵∥EF AB∴B BEF ∠=∠,∵BED BEF DEF B DEF ∠=∠+∠=∠+∠ BED B D ∠=∠+∠∴DEF D ∠=∠∴∥EF CD又∵∥EF AB∴∥AB CDF A B C DE。

初中数学平行线的性质与判定一、引言平行线是初中数学中的重要概念，它在几何学中具有许多重要的性质和应用。

了解平行线的性质和判定方法，对于进行几何证明和解题都有着重要的指导意义。

本文将从平行线的性质和判定方法两个方面进行探讨，以帮助初中学生更好地理解和掌握平行线的相关知识。

二、平行线的性质1. 平行线的定义在平面上，任意两条直线如果永不相交，那么我们称它们是平行线。

2. 平行线的唯一性平面上，通过一点可以画无数条与已知直线平行的直线，但经过一点存在且只存在一条与已知直线平行的直线。

3. 平行线的性质1：对应角相等如果一组平行线被一条截线所切，那么它们所对应的内角和外角分别相等。

4. 平行线的性质2：同位角相等如果两条平行线被一条截线所切，那么它们所对应的同位角相等。

5. 平行线的性质3：内错角互补如果两条平行线被一条截线所切，那么它们所对应的内错角互补，即角的度数之和为180度。

三、平行线的判定方法1. 直线与直线的判定两条直线如果有一点与一直线上的两个角分别相等，那么这两条直线平行。

2. 角与直线的判定如果两条直线上的内角或外角、同位角或内错角相等，那么这两条直线平行。

3. 举例说明例如，已知直线l与直线m分别与一直线n相交，且∠A = ∠B和∠C = ∠D，则可以得出直线l与直线m平行。

四、平行线的应用1. 平行线的应用1：解题在解题中，平行线常常被用来求解线段比例关系、求解角度关系等。

通过运用平行线的性质和判定方法，我们可以更加简洁地解决一些几何问题。

2. 平行线的应用2：建筑设计在建筑设计中，平行线的应用非常广泛。

建筑师常常利用平行线的性质来设计建筑物的立面和空间布局，使其更加美观和合理。

3. 平行线的应用3：地理测量在地理测量中，平行线广泛应用于测量线段的长度和角度的测量。

利用平行线的性质和判定方法，地理测量师可以更准确地进行测量和勘测工作。

五、结论通过对初中数学平行线的性质和判定方法的讨论，我们可以看到平行线在几何学和实际生活中的重要性。