2018年中考数学名师精讲教学案(37份) 人教版25(免费推荐下载)

第讲圆的基本性质,知识清单梳理)圆的有关概念．圆的定义()在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆．固定的端点叫做圆心，线段叫做半径．()圆可以看成是所有到定点的距离等于定长的点的集合．定点是圆心，定长是半径．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．．弦、弧、圆心角、圆周角()弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦．()直径：经过圆心的弦叫做直径．()弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．()半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．()优弧：大于半圆的弧叫做优弧．()劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧．()圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．()圆周角：顶点在弧上，并且两边都与圆相交的角叫圆周角．圆的有关性质．圆是轴对称图形，任何一条经过圆心的直线都是它的对称轴，圆也是中心对称图形，对称中心是圆心．．垂径定理()垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．()平分弦(不是直径)的直径垂直于两条弦，并且平分弦所对的弧．．弧、弦、圆心角之间的关系()在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．()同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．．圆周角定理及推论()圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．()推论：半圆(或直径)所对的圆周角是°，°的圆周角所对的弦是直径．圆与正多边形．三角形的外接圆和内切圆()不在同一直线上的三个点确定一个圆．()三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心．()三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心．．圆与正多边形顺次连接圆上的个等分点得到的多边形是正边形．一个正多边形的各个顶点都在圆上，这个圆是这个正多边形的外接圆；把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心；外接圆的半径叫做正多边形的半径；正多边形每一边所对的圆心角叫正多边形的中心角；中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．．圆内接四边形的对角互补．,云南省近五年高频考点题型示例)与圆有关的概念及性质【例】(德宏中考)如图，在△中，∠＝°，＝.若以点为圆心，为半径的圆恰好经过的中点，则＝()．．．．【解析】连接，在△中，∵为的中点，∴为△斜边上的中线，∴＝.又∵，都是⊙的半径，∴＝＝＝，∴在△中，＝＝＝.【答案】垂径定理及推论【例】(昆明中考)如图，为⊙的直径，＝，⊥弦，垂足为，切⊙于点，∠＝°，连接，，.下列结论不正确的是()．∥．△是等边三角形．＝的长为π圆周角定理及推论【例】(云南中考)如图，点，，是⊙上的点，＝，则∠的度数为．【解析】在△中，＝，又∵＝，∴△是等边三角形，∴∠＝°，由圆周角定理得∠＝∠＝°.【答案】°．(昭通中考)如图，已知，是⊙的两条直径，∠＝°，那么∠＝()．°．°．°．°(第题图)(第题图)．(普洱中考)如图，⊙是△的外接圆，∠＝°，则∠的度数是()．°．°．°．°．(红河中考)如图，是⊙的直径，点在⊙上，弦平分∠，则下列结论错误的是()．＝＝．∠＝∠．∠＝∠(第题图)(第题图)．(云南中考)如图，，是⊙上的两点，的垂直平分线与⊙交于，两点，与线段交于点．若∠＝°，则∠的度数为()．°．°．°．°．(昭通中考)如图所示，是⊙的直径，弦与相交于点，若∠＝°，则∠＝°.(第题图)(第题图)(第题图)．(西双版纳中考)如图，是⊙的直径，点在⊙上，点在线段上运动，设∠＝α，则α的最大值是°．．(曲靖中考)如图，在半径为的⊙中，直径与弦相交于点，连接，，若＝，则＝．．(曲靖中考)如图，点，，，都在⊙上，⊥，∠＝°.()求∠的度数；()求证：四边形是菱形．解：()∵∠＝°，∴∠＝°，又∵⊥，∴＝，∴＝，∴∠＝∠＝°；()∵∠＝∠＝°，且＝＝，∴△和△是全等的等边三角形，∴＝＝＝，∴四边形是菱形．.遗漏考点【例】有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有() ．个．个．个．个【解析】连接圆上两点间的线段叫弦，故直径是弦，①正确；经过不在同一条直线的三点才可以作圆，②错误；三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，故外心到三角形各顶点的距离相等，③正确；半径相等的两个半圆弧长相等，弧度也相等，是等弧，故④正确．【答案】圆内接多边形【例】(沈阳中考)正方形内接于⊙，正六边形的周长是，则⊙的半径是()．．．【解析】已知正六边形的周长是，可得＝，连接，，可得∠＝＝°，所以△为等边三角形，所以＝＝，即⊙的半径是，故选.【答案】【例】同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是()【解析】设圆的半径为，则内接正三角形的边长为，内接正方形的边长为，∴内接正三角形与内接正方形的边长的的比＝：＝∶.【答案】．创新题【例】(安顺中考)如图，是半径为的⊙的直径，点在⊙上，∠＝°，为的中点，点是直径上一个动点，则＋的最小值为()．．．【解析】作点关于的对称点′，连接，′，′，则′与的交点即为所求点，′即为＋的最小值，.∵∠＝°，为的中点，∴∠＝°，∠′＝°，故∠′＝°，在△′中，′＝＝＝，即＋的最小值为.【答案】,课内重难点真题精练及解题方法总结) .(黄冈中考)已知：如图，在⊙中，⊥，∠＝°，则∠的度数为()．°．°．°．°【方法总结】垂直于弦的直径平分弦，且平分该弦所对的两条弧．同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．．(长沙中考)如图，为⊙的直径，弦⊥于点，已知＝，＝，则⊙的半径为.【方法总结】垂直于弦的直径平分弦，且平分这条弦所对的两条弧．。

题型解直角三角形的实际应用,备考攻略)．锐角三角函数的概念的应用．．特殊三角函数值．．解直角三角形的应用．特殊三角函数容易混淆；不会构造直角三角形．准确理解与掌握三角函数的定义，熟记特殊三角函数值，会构造直角三角形并应用直角三角形和三角函数来解题．熟记几个特殊的三角函数值从表中不难得出：°＋°＝，＝°°＋°＝，＝°°＋°＝，＝°那么，对于任意锐角，是否存在＋＝，＝呢？事实上，同角的三角函数之间，具有三个基本关系：如图，在△，∠＝°，∠，∠，∠所对的边依次为，，则①＋＝(平方关系)②＝，＝(商的关系)③·＝(倒数关系),典题精讲)【例】(广安中考)如图，线段，分别表示甲、乙两建筑物的高，⊥，⊥，垂足分别为，.从点测到点的仰角α为°，从点测得点的仰角β为°，甲建筑物的高＝.求：()甲、乙两建筑物之间的距离；()乙建筑物的高.【解析】()在△中利用三角函数即可求解；()作⊥于点，在△中利用三角函数求得的长，然后根据＝＝－求解．【答案】解：()在△中，＝＝＝()；()作⊥于点.在△中，＝＝，＝·β＝×＝()，则＝＝－＝－＝()．答：乙建筑物的高度为.．(昆明中考)如图，大楼右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼，在小楼的顶端处测得障碍物边缘点的俯角为°，测得大楼顶端的仰角为°(点，，在同一水平直线上)，已知＝，＝，求障碍物，两点间的距离．(结果精确到，参考数据：≈，≈)解：如图，过点作⊥于点，过点作⊥于点.则＝＝＝.在△中，∵＝－＝()，∠＝°，∴＝＝，∴＝＝.在△中，∵＝，∠＝°，∴＝＝＝()，∴＝－＝－≈－≈()．答：障碍物，两点间的距离约为．．(丽水中考)如图是某小区的一个健身器材，已知＝，＝, ∠＝°，求端点到地面的距离．(精确到，参考数据：°≈，°≈，°≈)解：过点作⊥于点，过点作⊥于点，则＝＝.∵⊥，∠＝°，∴∥，∴∠＝∠＝°.在△中，＝，∴＝°≈×≈，∴＝＋＝＋＝≈()．答：端点到地面的距离约是．．(绍兴中考)如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口测得教学楼顶部的仰角为°，教学楼底部的俯角为°，量得实验楼与教学楼之间的距离＝.()求∠的度数；()求教学楼的高.(结果精确到，参考数据：°≈，°≈)解：()过点作⊥，则有∠＝°，∠＝°，∴∠＝∠＋∠＝°＋°＝°；()由题意得：＝＝，在△中，＝·°≈，在△中，＝·°≈，∴教学楼的高＝＋＝＋＝，答：教学楼的高约为.．(德州中考)如图所示，某公路检测中心在一事故多发地带安装了一个测速仪，检测点设在距离公路的处，测得一辆汽车从处行驶到处所用的时间为．已知∠＝°，∠＝°.()求，之间的距离；(结果保留根号)()如果此地限速为，那么这辆汽车是否超速？请说明理由．(参考数据：≈，≈)解：()如图，过点作⊥于点.则＝.∵在△中，∠＝°，∴△是等腰直角三角形，∴＝＝.在△中，＝，∵∠＝°，∴＝，∴＝，∴＝＋＝(＋)；()这辆汽车超速．理由如下：由()知＝(＋)，又≈，∴＝，∴汽车速度＝＝.又∵＝，此地限速为，>，∴这辆汽车超速．。

第讲与圆有关的位置关系,知识清单梳理)两种位置关系．点与圆的位置关系共有三种：①点在圆内；②点在圆上；③点在圆外．对应的点到圆心的距离和半径之间的数量关系分别为：①＝；②＜；③＞.．直线与圆的位置关系共有三种：①相交；②相切；③相离．对应的圆心到直线的距离和圆的半径之间的数量关系分别为：①＜，②＝，③＞.切线．切线定义：与圆只有一个交点的直线叫做圆的切线．．判定定理：到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线．．性质：从圆外一点可以向圆引两条切线，交点到切点的距离相等．,云南省近五年高频考点题型示例)切线的判定与性质【例】(官渡一模)如图，为⊙的直径，为⊙上一点，点是的中点，⊥于点，⊥于点.()求证：是⊙的切线；()若＝，求的长度．【解析】()作半径证垂直，∵⊥于点，∴只要证∥即可；()证明△∽△即可．【答案】解：()连接，.∵点是的中点，∴＝，∴∠＝∠.∵＝，∴∠＝∠，∴∠＝∠，∴∥.∵⊥，∴⊥，又∵是⊙的半径，∴是⊙的切线；()连接.∵是⊙的直径，∴∠＝°，∵∥，∴∠＝∠.∵⊥，∴∠＝∠＝°，∴△∽△，∴＝＝，即＝，∴＝.．(昆明中考)已知：如图，是⊙的直径，是⊙的弦，点是⊙外一点，∠＝∠. ()求证：是⊙的切线；()若∥，且＝，＝，求⊙的半径．解：()连接.∵是直径，∴∠＝°.∴∠＋∠＝°.∵＝，∴∠＝∠.∵∠＝∠，∴∠＋∠＝°，∴⊥.又∵点在⊙上，是半径，∴是⊙的切线；()∵∥，∴∠＝∠.又∵＝，∴∠＝∠，∴∠＝∠.又∵∠＝∠＝°，∴△∽△，∴＝.设的长为，那么的长为，∵＝，＝，∴＝，∴＝或＝－(舍去)，∴⊙的半径为.．(曲靖中考)如图，，是⊙的切线，，为切点，是⊙的直径，，的延长线相交于点.()若∠＝°，求∠的度数；()当∠为多少度时，＝？并说明理由．解：()∵是⊙的切线，∴∠＝°－∠＝°，又∵，是⊙的切线，∴＝，∴∠＝∠＝°，∴∠＝°－°×＝°；()当∠＝°时，＝.理由：当∠＝°时，由()知∠＝∠＝°，∴∠＝°－°×＝°，∵，是⊙的切线，∴∠＝∠＝°.在△中，∠＝°－∠＝°，∴∠＝∠，∴＝.．(昆明中考)如图，是⊙的直径，平分∠，交⊙于点.过点的直线⊥，垂足为点，点为半径上一点，点，分别在矩形的边和上．()求证：直线是⊙的切线；()若＝，＝，求⊙的直径．解：()连接，∵＝，∴∠＝∠.∵平分∠，∴∠＝∠，∴∠＝∠，∴∥.∵⊥，∴⊥，∵点在⊙上，是半径，∴是⊙的切线．()解法一：∵四边形是矩形，＝，∴＝＝，∠＝°.设＝＝，则＝－，在△中，∠＝°，＝，由勾股定理得＋＝，∴(－)＋＝，解得＝，∴＝×＝，∴⊙的直径为.解法二：连接.∵四边形是矩形，＝，∴＝＝，∠＝∠＝°，∴∠＋∠＝°.∵是⊙的直径，∴∠＝°，∴∠＋∠＝°，∴∠＝∠，∴△∽△，∴＝，∴＝·，即＝·，解得＝，∴＝＋＝＋＝，∴⊙的直径为.．(曲靖中考)如图，在△中，∠＝°，是边上的一点，以为半径的⊙与边相切于点. ()若＝，＝，求⊙的半径；()过点作弦⊥于，连接，若∠＝∠，求证：四边形是菱形．解：()连接，设⊙的半径为，则＝＝.在△中，由勾股定理得：＝＝＝.∵⊙与边相切于点，∴⊥，∴∠＝∠＝°.又∵∠＝∠，∴△∽△，∴＝，即＝，解得＝.∴⊙的半径为；()连接.∵∠＝∠，∴∠＝∠＝∠，∵∠＝∠＋∠，⊙与边相切于点，∴∠＝∠＝°，∴∠＝°，∠＝°，∵⊥，∴∠＝∠＝°，∴∥.又∵∠＝∠＝°，∴∥，∴四边形是平行四边形．∵∠＝°，是⊙的半径，∴是⊙的切线，又∵也是⊙的切线，∴＝，∴平行四边形是菱形．．(昆明中考)如图，是⊙的直径，∠＝°，四边形是平行四边形，交⊙于点，连接并延长交的延长线于点.()求证：是⊙的切线；()若∠＝°，＝，求图中阴影部分的面积．(结果保留根号和π)解：()连接.∵四边形是平行四边形，∴∥，∴∠＝∠，∠＝∠.∵＝，∴∠＝∠，∴∠＝∠.在△和△中，∴△≌△，∴∠＝∠＝°，∴⊥.∵是⊙的半径，∴是⊙的切线；()∵∠＝°，∠＝°，∴∠＝∠＝∠＝°.∵＝，∴△是等边三角形，∴∠＝°.∵∠＝∠＋∠，∴∠＝∠＝°.∵∥，∴∠＝°－∠＝°，∴∠＝°－∠－∠＝°，∴＝＝＝.∵＝，∴＝＝＝.在△中，∵∠＝°，＝，∠＝°，∴＝·°＝，∴阴影＝△－扇形＝×××－＝－.．(云南中考)已知是⊙的直径，是⊙的切线，是⊙上的点，∥，是直径上的动点，与直线上的点连线距离的最小值为，与直线上的点连线距离的最小值为.()求证：是⊙的切线；()设＝，求∠的正弦值；()设＝，＝，求＋的取值范围．解：()连接，∵∥，∴∠＝∠，∠＝∠，∵＝，∴∠＝∠，∴∠＝∠.在△和△中，∴△≌△()，∴∠＝∠，∵切⊙于点，∴∠＝°，∴∠＝°.∴⊥，且为半径，∴是⊙的切线；()过点作⊥于点.∵＝，∴＝，设＝，＝，∴＝＝.∵∠＝∠＝°，∠＝∠，∴△∽△.∴＝，∴＝·＝·＝，＝.∴∠＝＝＝；图①()如图①，过点作⊥于点，并延长交⊙于点，则＝.过点作⊥于点，则＝.连接，则四边形是矩形，∴＝，∴＋＝＋＝＋＝，∴≤≤，∴≤＋≤.,近五年遗漏考点及社会热点与创新题) .遗漏考点点与圆的位置关系【例】矩形中，＝，＝，点在边上，且＝，如果⊙是以点为圆心，为半径的圆，那么下列判断正确的是()．点，均在⊙外．点在⊙外、点在⊙内．点在⊙内、点在⊙外．点，均在圆内【解析】先计算点到圆心的距离，再和半径作比较即可．∵＝，点在边上，且＝，∴＝，∴＝＝，＝.∵＝＜，＝＞，∴点在圆内、点在圆外，故选.【答案】．创新题【例】(五华一模)如图所示，是⊙的弦，是⊙的直径，且∥，连接，，，其中＝，过点的切线交的延长线于点.()求证：平分∠；()若＝，求图中阴影部分图形的周长．(结果精确到，参考数据：π≈，≈，≈)【解析】()要证明平分∠，只要求得∠＝∠即可，据条件可得答案；()图中阴影部分图形的周长是＋＋的长，据()中结论和题目条件可求．【答案】解：()∵∥，∴∠＝∠.∵＝，∴∠＝∠，∴∠＝∠，∴平分∠；()连接，作⊥于点.∵＝，∴∠＝∠.∵∠＝∠，∴∠＝∠，∴∥.又∵＝，∥，∴四边形是菱形，∴＝.∵＝，∴＝＝＝，∴∠＝°.∴＝·°＝×＝，＝·°＝×＝.∵⊥，⊥，∥，∴四边形为矩形，＝＝，＝－－＝－－＝.∵∠＝°，∥，∴∠＝∠＝°，∴＝＝π，∴图中阴影部分图形的周长是：＋＋＝π＋＋＝×＋×＋≈.,课内重难点真题精练及解题方法总结).(呼和浩特中考)如图所示，为⊙的直径且⊥，是⊙的一条弦，直线交直线的延长线于点，＝＝.()求证：直线是⊙的切线；()求∠的值．解：()连接，，∵＝＝，且∠＝∠，∴△∽△，∴∠＝∠，∴∥，∴∠＝∠，∠＝∠.∵＝，∴∠＝∠，∴∠＝∠.又∵＝，＝，∴△≌△，∴∠＝∠.又∵⊥，∴∠＝°，∴∠＝°，又∵为⊙的半径，∴直线是⊙的切线；()由()知∠＝∠，∵＝.设＝，则＝，＝.∵＝＝，∴＝＝.又∵＝，∴＝，∴＝＝＝＝×＝，∴＝，∴＝＝＋＝，∴∠＝∠＝＝.【方法总结】.切线的常用判定方法有两种：一是用圆心到直线的距离等于圆的半径来说明直线是圆的切线；二是用经过半径的外端且垂直于这条半径来说明直线是圆的切线．当被说明的直线与圆的公共点没有给出时，用方法一；当圆与直线的公共点已经给出时，常用方法二说明．．利用切线的性质时，常连接切点和圆心，构造直角．．(毕节中考)如图，已知⊙的直径＝，，为圆周上两点，且四边形是平行四边形，过点作直线∥，分别交，的延长线于点，，与交于点．()求证：是⊙的切线；()求的长．解：()∵为⊙的直径，∴∠＝°，∴⊥.∵四边形是平行四边形，∴∥，∴⊥.∵∥，∴⊥.又∵为⊙半径，∴是⊙的切线；()连接.∵四边形是平行四边形，∴＝.∵＝＝＝＝，∴＝＝，∴△为等边三角形，∴∠＝°，∴∠＝∠＝°，在△中，∵∠＝，∴＝·°＝°＝.。

第4讲 分式,知识清单梳理)分式的概念1．分式：形如__AB __(A ，B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子叫做分式．2．与分式有关的结论(1)分式AB 无意义的条件是__B ＝0__．(2)分式AB 有意义的条件是__B ≠0__．(3)分式AB值为0的条件是__A ＝0且B ≠0__．分式的性质1．分式的基本性质分式的分子与分母都乘(或除以)__同一个不等于零的整式__，分式的值不变.A B ＝A·MB·M ，A B ＝A÷MB÷M(其中M 是不等于零的整式)． 2．约分：根据分式的基本性质将分子、分母中的__公因式__约去，叫做分式的约分．约分的依据是分式的基本性质．3．通分：根据分式的基本性质将几个异分母的分式化为__同分母__的分式，这种变形叫分式的通分．通分的关键是确定几个分式的最简公分母．4．最简分式：分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式．分式的计算分式的运算法则(1)符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变． (2)分式的加减法：同分母加减法，__分母不变，分子相加减__；异分母加减法，__先通分，后加减__．(3)分式的乘除法：a b ·c d ＝__ac bd __；a b ÷c d ＝__adbc __．(4)分式的乘方：(a b )n ＝__a nb n __．,云南省近五年高频考点题型示例)分式的概念【例1】(2016曲靖压轴试卷)下列式子是分式的是( ) A .x 2 B .x x ＋1C .x 2＋yD .x 3 【解析】如果A ，B(B ≠0)表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子AB 叫做分式．【答案】B分式有意义及值为零的条件【例2】(2016云南一模)要使分式x ＋1x －2有意义，则x 的取值应满足( )A ．x ≠2B ．x ≠－1C ．x ＝2D ．x ＝－1【解析】分式有意义的条件：分母不为0，即x －2≠0. 【答案】A1．(2014曲靖一模)若分式x 2－1x －1的值为零，则x 的值为( C )A ．0B ．1C ．－1D ．±12．(2013曲靖一模)已知分式x －3x 2－5x ＋a，当x ＝2时，分式无意义，则a ＝__6__．分式的加、减、乘、除混合运算【例3】(2016云南中考)有一列按一定顺序和规律排列的数： 第1个数是11×2；第2个数是12×3；第3个数是13×4；…对任何正整数n ，第n 个数与第(n ＋1)个数的和等于2n ×（n ＋2）.(1)经过探究，我们发现：11×2＝11－12；12×3＝12－13；13×4＝13－14.设这列数的第5个数为a ，那么a ＞15－16，a ＝15－16，a ＜15－16，哪个正确？请你直接写出正确的结论；(2)请你观察第1个数、第2个数、第3个数，猜想这列数的第n 个数(即用正整数n 表示第n 个数)，并且证明你的猜想满足“第n 个数与第(n ＋1)个数的和等于2n ×（n ＋2）”；(3)设M 表示112，122，132，…，12 0162，这2 016个数的和，即M ＝112＋122＋132＋…＋12 0162， 求证：2 0162 017＜M ＜4 0312 016.【解析】(1)由已知规律可得；(2)先根据已知规律写出第n 、n ＋1个数，再根据分式的运算化简可得；(3)将每个分式根据1n －1n ＋1＝1n （n ＋1）＜1n 2＜1n （n －1）＝1n －1－1n ，展开后再全部相加可得结论．【答案】解：(1)由题意知第5个数a ＝15×6＝15－16；(2)∵第n 个数为1n （n ＋1），第(n ＋1)个数为1（n ＋1）（n ＋2），∴1n （n ＋1）＋1（n ＋1）（n ＋2）＝1n ＋1⎝⎛⎭⎫1n ＋1n ＋2 ＝1n ＋1×n ＋2＋n n （n ＋2） ＝1n ＋1×2（n ＋1）n （n ＋2） ＝2n （n ＋2），即第n 个数与第(n ＋1)个数的和等于2n ×（n ＋2）；(3)∵1－12＝11×2＜112＝1，12－13＝12×3＜122＜11×2＝1－12， 13－14＝13×4＜132＜12×3＝12－13， …12 015－12 016＝12 015×2 016＜12 0152＜12 014×2 015＝12 014－12 015， 12 016－12 017＝12 016×2 017＜12 0162＜12 015×2 016＝12 015－12 016， ∴1－12 017＜112＋122＋132＋…＋12 0152＋12 0162＜2－12 016， 即2 0162 017＜112＋122＋132＋…＋12 0152＋12 0162＜4 0312 016， ∴2 0162 017＜M ＜4 0312 016.3．(2014昆明一模)化简⎝⎛⎭⎫x y －y x ÷x －yx 的结果是( B ) A .1y B .x ＋y y C .x －y yD ．y 4．(2015昆明中考)计算：3a ＋2b a 2－b 2－a a 2－b 2＝__2a －b__．分式先化简再求值【例4】(2015云南中考)化简求值：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2x （x －1）－1x －1·x x －1，其中x ＝2＋1.【解析】首先将中括号内的部分通分，然后按照同分母分式的减法法则进行计算，再按照分式的乘法法则计算、化简，最后再代入求值即可．【答案】 解：原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2x （x －1）－x x （x －1）·x x －1＝2x （x －1）·xx －1＝2（x －1）2，将x ＝2＋1代入得，原式＝2（2＋1－1）2＝2（2）2＝22＝1.,近五年遗漏考点及社会热点与创新题)1.遗漏考点分式与科学记数法(a －n 属于分式)【例1】因为0.1＝110＝10－1；0.01＝______＝______；0．001＝________＝________…所以0.000 025＝2.5×0.00 001＝2.5×10－5.n 是正整数时，a －n ＝1an (a ≠0)．【解析】若一个数x 满足0<x<1，则可以表示为a ×10n (1≤|a|≤10，即a 的整数部分只有一位，n 为整数)的形式，n 的确定：n ＝从左边第一个0起到第一个不为0的数为止所有的0的个数的相反数．【答案】1100；10－2；11 000；10－3分式的值为正、负的条件【例2】分式x 2＋1x ＋5的值为负，则x 应满足________．【解析】分式值为负，分子、分母异号． 【答案】x ＜－5分式的系数变号【例3】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号．下列变形正确的是( )A .a ＋1b ＋1＝a bB .a －1－b＝－a －1bC .a －b a 2－b 2＝1a －b D .（－a －b ）2（a ＋b ）2＝－1 【解析】A .a ＋1b ＋1＝a ＋1b ＋1，故错误；B .a －1－b ＝－a －1b ，故正确；C .a －b a 2－b 2＝1a ＋b ，故错误；D .（－a －b ）2（a ＋b ）2＝1，故错误．依据分式的性质进行变形，再判断对错即可． 【答案】B 2．创新题【例4】下列变形正确的是( ) A .a ＋b a ＋b ＝0 B .－a ＋b a －b ＝－1 C ．－a b ＝a 2b 2 D .0.1a －0.3b 0.2a ＋b ＝a －3b 2a ＋b【解析】A .a ＋b a ＋b ＝1，分子分母相同则约分得1；B .正确；C .－a b ≠a 2b 2，当负号没有在括号内，乘方不改变其负号；D .0.1a －0.3b 0.2a ＋b ＝a －3b2a ＋10b；分式的分子、分母同时扩大时不能漏项．【答案】B【例5】已知：5x －4（x －1）（2x －1）＝A x －1－B2x －1，试求A ，B 的值．【解析】本题考点是异分母分式相加减，解题思路是先找到最简公分母，通分，再分母不变分子相加减得A （2x －1）－B （x －1）（x －1）（2x －1），⎩⎨⎧2A －B ＝5，－A ＋B ＝－4，∴⎩⎪⎨⎪⎧A ＝1，B ＝－3.【答案】A ＝1，B ＝－3.,课内重难点真题精练及解题方法总结)1.(2017广州中考)若分式x －1x ＋2的值为0，则( D )A ．x ＝－2B ．x ＝0C ．x ＝1或x ≠－2D ．x ＝1【方法总结】①分式AB有意义：分母不为0(B ≠0); ②分式无意义：分母为0(B ＝0)；③分式值为0：分子为0且分母不为0，即⎩⎪⎨⎪⎧A ＝0，B ≠0；④分式值为正或大于0：分子、分母同号，即⎩⎪⎨⎪⎧A ＞0，B ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧A ＜0，B ＜0；⑤分式值为负或小于0：分子、分母异号，即⎩⎪⎨⎪⎧A ＞0，B ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧A ＜0，B ＞0；⑥分式值为1：分子、分母值相等，即A ＝B ；⑦分式值为－1：分子、分母值互为相反数，即A ＋B ＝0.2．计算：2x x 2－y 2－2y x 2－y 2＝__2x ＋y __．3．当a ＝99时，分式a 2－1a －1的值是__100__．4．(2014云南中考)化简求值： x 2－x x 2－2x ＋1·⎝⎛⎭⎫x －1x ，其中x ＝15. 解：原式＝x （x －1）（x －1）2·（x ＋1）（x －1）x＝x ＋1，当x ＝15时，原式＝65.5．(2016曲靖二模)先化简，再求值：(x －1)÷⎝⎛⎭⎫1－2x ＋1，其中x 2＋3x ＋2＝0. 解：原式＝(x －1)÷x －1x ＋1＝(x －1)·x ＋1x －1＝x ＋1，由x 2＋3x ＋2＝0，即(x ＋1)(x ＋2)＝0， 解得：x ＝－1(舍去)或x ＝－2， 当x ＝－2时，原式＝－2＋1＝－1. 6．(2017十堰中考)先化简，再求值： (x ＋4)÷(x 2＋3x －4)＋3x －1，其中x ＝2＋ 3.解：原式＝x ＋4（x ＋4）（x －1）＋3x －1＝1x －1＋3x －1 ＝1＋3x －1， 把x ＝2＋3代入1＋3x －1，即1＋32＋3－1＝1.请完成精练本第4页作业。

第12讲 二次函数,知识清单梳理)二次函数的图象性质1．一般地，形如y ＝__ax 2＋bx ＋c __(a ，b ，c 是常数，a ≠0)的函数，叫做二次函数． 2．二次函数的图象和性质二次函数图象的平移、表达形式1．一般式：__y ＝ax 2＋bx ＋c __(a ，b ，c 是常数，a ≠0)． 2．交点式：__y ＝a(x －x 1)(x －x 2)__(a ，x 1，x 2是常数，a ≠0)． 3．顶点式：__y ＝a(x －m)2＋k __(a ，m ，k 是常数，a ≠0)．二次函数与一元二次方程之间的关系对于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，令y ＝0，即为ax 2＋bx ＋c ＝0，也就完全转化为一元二次方程的问题．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)与x 轴的交点分下列三种情况：1．__b 2－4ac ＞0__⇔抛物线与x 轴有两个交点(－b±b 2－4ac2a，0)．2．__b 2－4ac ＝0__⇔抛物线与x 轴只有一个交点⎝⎛⎭⎫－b2a ，0. 3．__b 2－4ac ＜0__⇔抛物线与x 轴没有交点．,云南省近五年高频考点题型示例)二次函数的图象性质【例1】(2014云南中考)抛物线y ＝x 2－2x ＋3的顶点坐标为________．【解析】本题可以利用配方法把二次函数的解析式化成顶点式得y ＝(x －1)2＋2，则可得其顶点坐标为(1，2)．【答案】(1，2)1．(2013昭通中考)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的是( B )A ．a ＞0B ．3是方程ax 2＋bx ＋c 的一个根C ．a ＋b ＋c ＝0D ．当x ＜1时，y 随x 的增大而减小二次函数的解析式【例2】(2013曲靖中考节选)如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝x ＋4与坐标轴分别交于A ，B 两点，过A ，B 两点的抛物线为y ＝－x 2＋bx ＋c ，求抛物线的解析式．【解析】先根据直线y ＝x ＋4求得A ，B 两点的坐标，再把A(－4，0)代入y ＝－x 2＋bx ＋c 中即可求出b ，c.【答案】解：当x ＝0时，y ＝4； 当y ＝0时，x ＝－4， ∴A(－4，0)，B(0，4)．∵抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 过A ，B 两点，∴⎩⎨⎧c ＝4，－16－4b ＋c ＝0， 解得⎩⎨⎧b ＝－3，c ＝4，∴抛物线的解析式为y ＝－x 2－3x ＋4.2．(2015昆明中考节选)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋32x ＋c(a ≠0)与x轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的右侧)，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为(4，0)，抛物线的对称轴是直线x ＝32.求抛物线的解析式．解：∵抛物线的对称轴为直线x ＝－b 2a ＝32，b ＝32， ∴a ＝－12，把A(4，0)，a ＝－12代入y ＝ax 2＋32x ＋c 中，解得c ＝2，∴抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋32x ＋2.3．(2015曲靖中考节选)如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线l ⊥y 轴于点B(0，－2)，A 为OB 的中点，以A 为顶点的抛物线y ＝ax 2＋c 与x 轴交于C ，D 两点，且CD ＝4.求抛物线的解析式．解：∵A 为OB 的中点， B(0，－2)， ∴A(0，－1)．∵抛物线y ＝ax 2＋c 的对称轴为y 轴，CD ＝4， ∴C(－2，0)，D(2，0)．把A(0，－1)，D(2，0)代入抛物线y ＝ax 2＋c 得：⎩⎨⎧c ＝－1，4a ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，c ＝－1， ∴抛物线的解析式为y ＝x 24－1.4．(2016曲靖中考节选)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋2ax ＋c 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C(0，3)，tan ∠OAC ＝34.求抛物线的解析式．解：∵C(0，3)， ∴OC ＝3.∵tan ∠OAC ＝OC OA ＝34，∴OA ＝4， ∴A(－4，0)．把A(－4，0)，C(0，3)代入y ＝ax 2＋2ax ＋c 中，得⎩⎨⎧16a －8a ＋c ＝0，c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－38，c ＝3， ∴抛物线的解析式为y ＝－38x 2－34x ＋3.5．(2015云南中考节选)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，直线y ＝kx ＋n(k ≠0)经过B ，C 两点．已知A(1，0)，C(0，3)，且BC ＝5.分别求直线BC 和抛物线的解析式(关系式)．解：∵点C 的坐标为(0，3)， ∴OC ＝3.∵在Rt △BOC 中，OC ＝3，BC ＝5， ∴OB ＝BC 2－OC 2＝4，∴点B 的坐标为(4，0)．将点B(4，0)，点C(0，3)代入直线y ＝kx ＋n(k ≠0)中，得⎩⎨⎧4k ＋n ＝0，n ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－34，n ＝3，∴直线BC 的解析式为y ＝－34x ＋3.∵点A(1，0)，B(4，0)，C(0，3)在抛物线上，∴⎩⎨⎧a ＋b ＋c ＝0，16a ＋4b ＋c ＝0，c ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝34，b ＝－154，c ＝3，∴抛物线的解析式为y ＝34x 2－154x ＋3.二次函数的应用【例3】(2017云南中考)已知二次函数y ＝－2x 2＋bx ＋c 图象的顶点坐标为(3，8)，该二次函数图象的对称轴与x 轴的交点为A ，M 是这个二次函数图象上的点，O 是原点．(1)不等式b ＋2c ＋8≥0是否成立？请说明理由；(2)设S 是△AMO 的面积，求满足S ＝9的所有点M 的坐标．【解析】由顶点坐标(3，8)可求解析式，进而可算b ＋2c ＋8＝0故(1)成立．注意：点M 可以在x 轴的上方，也可能在x 轴的下方，可能在对称轴的左侧，也可能在右侧，故要分情况讨论．【答案】解：(1)∵二次函数顶点坐标为(3，8)， ∴解析式为y ＝－2(x －3)2＋8＝－2x 2＋12x －10， ∴b ＝12，c ＝－10，∴b ＋2c ＋8＝0，∴b ＋2c ＋8≥0成立； (2)设M(m ，－2m 2＋12m －10)， ∴S ＝12OA·|y M |＝9，∴|－2m 2＋12m －10|＝6， ①－2m 2＋12m －10＝6，解得m 1＝2，m 2＝4，∴M 1(2，6)，M 2(4，6)； ②－2m 2＋12m －10＝－6，解得m 1＝3＋7，m 2＝3－7，∴M 3(3＋7，－6)，M 4(3－7，－6)．综上所述，M 的坐标为(2，6)或(4，6)或(3＋7，－6)或(3－7，－6)．,近五年遗漏考点及社会热点与创新题)1.遗漏考点二次函数的增减性问题【例1】(2017连云港中考)已知抛物线y ＝ax 2(a ＞0)过A(－2，y 1)，B(1，y 2)两点，则下列关系式一定正确的是( )A ．y 1＞0＞y 2B ．y 2＞0＞y 1C ．y 1＞y 2＞0D ．y 2＞y 1＞0【解析】依据抛物线的对称性可知：(2，y 1)在抛物线上，然后依据二次函数的性质解答即可．【答案】C直线与抛物线的交点问题【例2】(2017张家界中考)已知抛物线C 1的顶点为A(－1，4)，与y 轴的交点为D(0，3)．(1)求C 1的解析式；(2)若直线l 1：y ＝x ＋m 与c 1仅有唯一的交点，求m 的值．【解析】知道顶点为A(－1，4)可设成顶点式y ＝a(x ＋1)2＋4，把D(0，3)代入即可．有唯一的交点可Δ＝9－4m ＋12＝0，从而得解．【答案】解：(1)∵抛物线c 1的顶点为A(－1，4)， ∴设抛物线C 1的解析式为y ＝a(x ＋1)2＋4， 把D(0，3)代入y ＝a(x ＋1)2＋4得3＝a ＋4，∴a ＝－1，∴抛物线C 1的解析式为：y ＝－(x ＋1)2＋4， 即y ＝－x 2－2x ＋3；(2)联立抛物线和直线l 1的解析式可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－2x ＋3，y ＝x ＋m得x 2＋3x ＋m －3＝0，∵直线l 1：y ＝x ＋m 与C 1仅有唯一的交点，∴Δ＝9－4m＋12＝0，∴m＝21 4.2．创新题【例3】(2017安徽中考)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与反比例函数y＝bx的图象在第一象限有一个公共点，其横坐标为1，则一次函数y＝bx＋ac的图象可能是()ABCD 【解析】根据抛物线y＝ax2＋bx＋c与反比例函数y＝bx的图象在第一象限有一个公共点，可得b＞0，根据交点横坐标为1，可得a＋b＋c＝b，可得a，c互为相反数，依此可得一次函数y＝bx＋ac的图象．【答案】B,课内重难点真题精练及解题方法总结)1．(2017哈尔滨中考)抛物线y ＝－35⎝⎛⎭⎫x ＋122－3的顶点坐标是( B )A .⎝⎛⎭⎫12，－3B .⎝⎛⎭⎫－12，－3 C .⎝⎛⎭⎫12，3 D .⎝⎛⎭⎫－12，3 【方法总结】已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标．关键是熟记：抛物线y ＝a(x －h)2＋k 的顶点坐标是(h ，k)，对称轴是直线x ＝h.2．抛物线y ＝(x ＋3)2－4可以由抛物线y ＝x 2平移得到，则下列平移过程正确的是( B )A ．先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度B ．先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度C ．先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度D ．先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度【方法总结】熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．3．(2017安顺中考)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图，给出下列四个结论：①4ac －b 2＜0；②3b ＋2c ＜0；③4a ＋c ＜2b ；④m(am ＋b)＋b ＜a(m ≠1)，其中结论正确的个数是( B )A ．1B ．2C ．3D ．4【方法总结】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是能看懂图象，利用数形结合的思想解答．4．抛物线y ＝－2x 2－6x ＋1与x 轴的交点个数是( C ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个【方法总结】本题考查抛物线与x 轴的交点、根的判别式等知识，解题的关键记住Δ＞0，抛物线与x 轴有两个交点；Δ＝0抛物线与x 轴只有一个交点；Δ＜0，抛物线与x 轴没有交点．5．(2017威海中考)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，则正比例函数y ＝(b ＋c)x 与反比例函数y ＝a －b ＋cx在同一坐标系中的大致图象是( C )ABCD【方法总结】本题主要考查二次函数图象的性质、一次函数的图象的性质、反比例函数图象的性质，关键在于通过二次函数图象推出a ，b ，c 的取值范围．6．(2017天水中考)如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝4 cm ，∠B ＝30°，点P 从点B 出发，以 3 cm /s 的速度沿BC 方向运动到点C 停止，同时点Q 从点B 出发，以1 cm /s 的速度沿BA －AC 方向运动到点C 停止，若△BPQ 的面积为y(cm 2)，运动时间为x(s )，则下列最能反映y 与x 之间函数关系的图象是( D )ABCD【方法总结】本题考查了动点问题的函数图象：通过分类讨论，利用三角形面积公式得到y 与x 的函数关系，然后根据二次函数和一次函数图象与性质解决问题．7．(2017上海中考节选)已知在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过点A(2，2)，对称轴是直线x ＝1，顶点为B.求这条抛物线的解析式和点B 的坐标．解：∵抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴x ＝－b 2a ＝1，即－b 2×（－1）＝1，解得b ＝2. ∴y ＝－x 2＋2x ＋c.将A(2，2)代入得：－4＋4＋c ＝2，解得c ＝2.∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋2.配方得：y ＝－(x －1)2＋3.∴抛物线的顶点坐标为(1，3)．8．(2017广东中考)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝－x 2＋ax ＋b 交x 轴于A(1，0)，B(3，0)两点，点P 是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP 与y 轴相交于点C.(1)求抛物线y ＝－x 2＋ax ＋b 的解析式；(2)当点P 是线段BC 的中点时，求点P 的坐标；(3)在(2)的条件下，求sin ∠OCB 的值．解：(1)将点A ，B 代入抛物线y ＝－x 2＋ax ＋b 中，得⎩⎨⎧0＝－12＋a ＋b ，0＝－32＋3a ＋b ，解得⎩⎨⎧a ＝4，b ＝－3， ∴抛物线的解析式为：y ＝－x 2＋4x －3；(2)∵点C 在y 轴上，∴C 点横坐标x ＝0.∵点P 是线段BC 的中点，B(3，0)，∴点P 横坐标x P ＝0＋32＝32. ∵点P 在抛物线y ＝－x 2＋4x －3上，∴y P ＝－⎝⎛⎭⎫322＋4×32－3＝34， ∴点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫32，34；(3)∵点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫32，34，点P 是线段BC 的中点，∴点C 的纵坐标为2×34＝32， ∴点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，32， ∴BC ＝⎝⎛⎭⎫322＋32＝352， ∴sin ∠OCB ＝OB BC ＝3352＝255. 【方法总结】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式和解直角三角形，利用中点求得点P 的坐标是解答此题的关键．请完成精练本第13页作业。

第讲一次函数,知识清单梳理)一次函数的概念、图象与性质．一次函数：一般地，函数＝＋(，都是常数，且≠)叫做一次函数．特别地，当＝时，为正比例函数＝(是常数，≠)．．一次函数＝＋(≠)的图象是经过点(，)和(－，)的一条直线．．一次函数的图象与性质随的增大而增大随的增大而减小一次函数图象的平移、函数表达式的求法．正比例函数是特殊的一次函数，一次函数＝＋的图象可以由正比例函数＝的图象平移得到：当＞时，向上平移个单位；当＜时，向下平移个单位．．用待定系数法求一次函数的步骤()设函数关系式＝＋(≠)．()代入两点坐标得到方程(组)．()解出方程(组)，求出待定系数的值，写出函数关系式．一次函数与方程、不等式的关系．一元一次方程＋＝与一次函数＝＋的关系：一元一次方程＋＝的解是一次函数＝＋在＝时所对应的的值．．一元一次不等式＋＞(或＋＜)与一次函数＝＋的关系：一元一次不等式＋＞(或＋＜)的解即为一次函数＝＋在＞(或＜)时所对应的的取值范围．,云南省近五年高频考点题型示例)一次函数的图象与性质【例】(玉溪中考)一次函数＝－的图象不经过()．第一象限．第二象限．第三象限．第四象限【解析】在＝－中，＝＞，＝－＜，根据函数图象性质可知，图象与轴的交点在轴的负半轴上，函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限．【答案】．(曲靖中考)如图，直线＝＋与轴交于点，与直线＝交于点.()求点的坐标；()求∠的值．解：()解方程组得所以点坐标为(，)；()作⊥轴于点.当＝时，＋＝，解得＝－，则(－，)，∴＝，而＝，＝，＝＋＝＋＝，∴＝＝，∴∠＝＝＝，即∠＝.一次函数解析式的确定【例】(昆明中考)已知正比例函数＝的图象经过点(－，)，则正比例函数的解析式为．【解析】正比例函数关系式为＝(≠)，经过点(－，)，∴把＝－，＝代入关系式得＝－，∴＝－，∴正比例函数的解析式为＝－.【答案】＝－．(楚雄一模)如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，是线段上任意一点(不包括端点)，过分别作两坐标轴的垂线，与两坐标轴围成的矩形的周长为，则该直线的函数解析式是()．＝＋．＝＋．＝－＋．＝－＋一次函数与方程(组)、不等式【例】(曲靖中考)如图，已知直线＝－＋与轴交于点，与直线＝－交于点.()求△的面积；()求＞时的取值范围．【解析】()由函数的解析式可求出点和点的坐标，进而可求出△的面积；()结合函数图象即可求出＞时的取值范围．本题考查了一次函数与一元一次不等式、数形结合的数学思想，即学生利用图象解决问题的方法，这也是一元一次不等式与一次函数知识的具体应用．【答案】解：()由＝－＋，可知当＝时，＝，∴点的坐标是(，)，∴＝.∵＝－＋与直线＝－交于点，∴点的坐标是(－，)，∴△＝××＝；()由()可知交点的坐标是(－，)，由函数图象可知＞时＞－.一次函数的应用【例】(云南中考)已知，两地相距，一辆汽车以每小时的速度从地匀速驶往地，到达地后不再行驶．设汽车的行驶时间为，汽车与地的距离为.()求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；()当汽车行驶了时，求汽车距地有多少千米．【解析】()代表的是剩余的路程而不是已经行驶的路程；()相当于知道了自变量的值，求函数的值．【答案】解：()根据题意，当汽车未到达地时，此时的行驶时间为≤≤，即≤≤，此时与的函数关系式为＝－；()∵<<，∴当＝时，＝－×＝()．答：当汽车行驶了时，汽车距地有.．(曲靖中考)水龙头关闭不严会造成滴水．容器内盛水量()与滴水时间()的关系用可以显示水量的容器做如图①的实验，并根据实验数据绘制出如图②的函数图象，结合图象解答下列问题：()容器内原有水多少升？()求与之间的函数关系式，并计算在这种滴水状态下一天的滴水量是多少升？解：()由题图可得，当＝时，＝，所以容器内原有水；()设与之间的函数关系式为＝＋(≠)，将(，)和(，)代入函数解析式中，得解得∴与之间的函数关系式为＝＋.由解析式可得，每小时滴水量为，一天的滴水量为：×＝()．答：在这种滴水状态下一天的滴水量是.,近五年遗漏考点及社会热点与创新题) .遗漏考点直线与直线的交点问题【例】(绥化中考)在同一平面直角坐标系中，直线＝＋与直线＝－＋的交点不可能在() ．第一象限．第二象限．第三象限．第四象限【解析】根据一次函数的性质确定两条直线所经过的象限可得结果．【答案】直线的平移规律【例】(陕西中考模拟)在平面直角坐标系中，将直线：＝－－向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到直线，则直线的解析式为()．＝－－．＝－－．＝－＋．＝－＋【解析】平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系．【答案】由直线的交点确定相应的范围【例】(成都中考卷)如图，正比例函数＝和一次函数＝＋的图象相交于点(，)，当＜时，.(选填“＞”或“＜”)．【解析】由图象可以知道，当＝时，两个函数的函数值是相等的，再根据函数的增减性即可得到结论．【答案】＜【例】(辽宁中考)在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为(，)，(，＋)，直线＝＋与线段有公共点，则的取值范围为．(用含的代数式表示)【解析】由点的坐标特征得出线段∥轴，当直线＝＋经过点时，得出＝－；当直线＝＋经过点时，得出＝－；即可得出答案．【答案】－≤≤－．创新题【例】(西宁中考)若点(，)在直线＝(≠)上，当－≤≤时，－≤≤，则这条直线的函数解析式为．【解析】此函数可能是增函数也可能是减函数，故分别把(－，－)，(，)代入可得直线解析式．【答案】＝或＝－,课内重难点真题精练及解题方法总结) .如图，若一次函数＝－＋的图象交轴于点(，)，则不等式－＋＞的解集为()．＞．＞．＜．＜．如图，一次函数＝＋与＝＋的图象相交于点(，)，则关于的不等式＋＞＋的解集是()．＞－．＞．＞．＜【方法总结】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．．(毕节中考)把直线＝－向左平移个单位长度，平移后直线的关系式为()．＝－．＝＋．＝．＝＋【方法总结】根据“左加右减”的函数图象平移规律来解答．本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“左加右减、上加下减”的原则是解答此题的关键．．(呼和浩特中考)一次函数＝＋满足＞，且随的增大而减小，则此函数的图象不经过() ．第一象限．第二象限．第三象限．第四象限【方法总结】根据，的符号正确判断直线所经过的象限．．(天津中考)若正比例函数＝(是常数，≠)的图象经过第二、四象限，则的值可以是－．(写出一个即可)【方法总结】本题主要考查了正比例函数的性质，关键是熟练掌握：在直线＝中，当＞时，随的增大而增大，直线经过第一、三象限；当＜时，随的增大而减小，直线经过第二、四象限．.(曲靖二模)如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，已知(，)，(，)．()求直线的解析式；()若△＝，求点的坐标．解：()设直线的解析式为＝＋，∵直线经过(，)，(，)，∴解得∴直线的解析式为＝－＋；()设(，)，∵(，)，(，)，∴＝，＝.∵△＝，∴·＝，∴＝，∴－＝，∴＝－，∴(－，)．．(绍兴中考)某市规定了每月用水以内(含)和用水以上两种不同的收费标准，该市的用户每月应交水费(元)是用水量( )的函数，其图象如图所示．()若某月用水量为，则应交水费多少元？()求当＞时，关于的函数解析式，若小敏家某月交水费元，则这个月用水量为多少立方米？解：()由纵坐标看出，某月用水量为，则应交水费元；()由元＞元，得用水量超过，设函数解析式为＝＋(≥)，∵直线经过点(，)和(，)，∴解得∴函数的解析式为＝－(≥)，当＝时，－＝，解得＝.答：这个月用水量为.【方法总结】()已知函数图象上点的横坐标，根据函数图象上点的纵坐标，可得答案；()根据待定系数法，可得函数解析式，根据自变量与函数值得对应关系，可得答案．本题考查了一次函数的应用，利用待定系数法求出函数解析式是解题关键．．(新疆中考)某周日上午：小宇从家出发，乘车到达某活动中心参加实践活动：时他在活动中心接到爸爸的电话，因急事要求他在：前回到家，他即刻按照来活动中心时的路线，以的平均速度快步返回．同时，爸爸从家沿同一路线开车接他，在距家处接上了小宇，立即保持原来的车速原路返回．设小宇离家()后，到达离家()的地方，图中折线表示与之间的函数关系．()活动中心与小宇家相距，小宇在活动中心活动时间为，他从活动中心返家时，步行用了；()求线段所表示的()与()之间的函数关系式(不必写出所表示的范围)；()根据上述情况(不考虑其他因素)，请判断小宇是否能在：前回到家，并说明理由．解：()；；；()根据题意得：＝－(－)＝－＋；()小宇从活动中心返家所用时间为：＋＝()，∵＜，∴所用小宇：前能到家．【方法总结】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是：()根据数量关系列式计算；()根据离家距离＝－速度×时间，找出与之间的函数关系式；()由爸爸开车的速度不变，求出小宇从活动中心返家所用时间．。

第四单元图形的初步认识与三角形第13讲角、相交线与平行线,知识清单梳理)基本几何图形及相关定理1．线段向一方无限延伸就成为__射线__．线段向两方无限延伸就成为__直线__．线段是直线上两点间的部分，射线是直线上某一点一旁的部分．2．直线有以下的基本事实：__两点确定一条直线__．线段有以下的基本事实：__两点之间线段最短__．连接两点的__线段的长度__叫做这两点间的距离．3．余角与补角(1)如果两个锐角的和是一个__直角__，就说这两个角互为余角；如果两个角的和是一个__平角__，就说这两个角互为补角．(2)同角或等角的余角__相等__；同角或等角的补角__相等__．4．对顶角与邻补角在两条相交直线形成的四个角中，如果两个角有公共顶点，一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，这样的两个角称为对顶角．对顶角__相等__，邻补角__互补__．平行线的性质和判定1．平行线的性质(1)在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线．(2)性质：如果两条直线平行，那么同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．(3)平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．2．平行线的判定方法(1)同位角相等，两直线平行．(2)内错角相等，两直线平行．(3)同旁内角互补，两直线平行．(4)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线__平行__．命题1．命题的概念：__判断一件事情的语句，叫做命题__．2．命题的组成：每个命题都是题设、结论两部分组成．题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项．命题常写成“如果……，那么……”的形式．具有这种形式的命题中，用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论．有些命题，没有写成“如果……，那么……”的形式，题设和结论不明显．对于这样的命题，要经过分析才能找出题设和结论，也可以将它们改写成“如果……，那么……”的形式．[注意：命题的题设(条件)部分，有时也可用“已知……”或者“若……”等形式表述；命题的结论部分，有时也可用“求证……”或“则……”等形式表述．],云南省近五年高频考点题型示例)垂线的定义，对顶角相等，邻补角、角平分线的定义【例1】(2013德宏中考)如图，三条直线相交于点O.若CO⊥AB，∠1＝56°，则∠2等于()A．30°B．34°C．45°D．56°【解析】根据垂线的定义求出，然后利用对顶角相等解答．【答案】B1．(2013曲靖中考)如图，直线AB，CD相交于点O，若∠BOD＝40°，OA平分∠COE，则∠AOE＝__40°__．平行线的性质【例2】(2014云南中考)如图，直线a∥b，直线a，b被直线c所截，∠1＝37°，则∠2＝______．【解析】根据对顶角相等可得∠3＝∠1，再根据两直线平行，同旁内角互补列式计算即可得解．【答案】143°2．(2016云南中考)如图，直线a∥b，直线c与直线a，b分别相交于A，B两点，若∠1＝60°，则∠2＝__60°__．(第2题图)(第3题图)3．(2016昆明中考)如图，AB∥CE，BF交CE于点D，DE＝DF，∠F＝20°，则∠B 的度数为__40°__．,近五年遗漏考点及社会热点与创新题)1.遗漏考点直线、射线、线段【例1】在线段AB的延长线上取点C，使BC＝2AB，M是线段AC的中点，若AB＝30 cm，则线段BM的长为________cm.【解析】因为AB的长度已知，所以可求出BC的长度，从而可求出AC的长度，AM是AC长度的一半，所以AM的长度也可求出，BM＝AM－AB，所以可以求出BM的长度．【答案】15【例2】把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程．用几何知识解释其道理正确的是()A．两点确定一条直线B．垂线段最短C．两点之间线段最短D．三角形两边之和大于第三边【解析】根据数学知识，连接两点的所有线中，线段最短，即两点之间线段最短．【答案】C角及相关运算【例3】已知∠α＝35°，那么∠α的余角等于( ) A ．35° B ．55° C ．65° D ．145°【解析】由互余两个角的性质理解：互余的两个角和为90°. 【答案】B【例4】把15°30′化成度的形式，则15°30′＝________°.【解析】根据度、分、秒之间的换算关系，先把30′化成度，即可求出答案：∵30′＝0.5°，∴15°30′＝15.5°.【答案】15.52．创新题【例5】(2017广西中考)如图，△ABC 中，AB ＞AC ，∠CAD 为△ABC 的外角，观察图中尺规作图的痕迹，则下列结论错误的是( )A ．∠DAE ＝∠B B ．∠EAC ＝∠C C ．AE ∥BCD ．∠DAE ＝∠EAC【解析】根据图中尺规作图的痕迹，可得∠DAE ＝∠B ，故A 选项正确；∴AE ∥BC ，故C 选项正确；∴∠EAC ＝∠C ，故B 选项正确；∵AB ＞AC ，∴∠C ＞∠B ，∴∠CAE ＞∠DAE ，故D 选项错误，故选D .【答案】D【例6】(2017达州中考)下列命题是真命题的是( ) A ．若一组数据是1，2，3，4，5，则它的方差是3B ．若分式方程4（x ＋1）（x －1）－mx －1＝1有增根，则它的增根是1C ．对角线互相垂直的四边形，顺次连接它的四边中点所得四边形是矩形D ．若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，则这两个角相等【解析】A .若一组数据是1，2，3，4，5，则它的方差是2，故错误，是假命题；B .若分式方程4（x ＋1）（x －1）－mx －1＝1有增根，则它的增根是1或－1，故错误，是假命题；C .对角线互相垂直的四边形，顺次连接它的四边中点所得四边形是矩形，正确，是真命题；D.若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，则这两个角相等或互补，故错误，是假命题．【答案】C,课内重难点真题精练及解题方法总结)1．(2017遵义中考)把一块等腰直角三角尺和直尺如图放置，如果∠1＝30°，则∠2的度数为(D)A．45°B．30°C．20°D．15°【方法总结】根据直角三角板提供90°，直尺提供平行条件，利用平行线的性质，结合三角形的外角有关知识可求∠2的度数．(第1题图)(第2题图)2．(2017孝感中考)如图，直线a∥b，直线c与直线a，b分别交于点D，E，射线DF⊥直线c，则图中∠1互余的角有(A)A．4个B．3个C．2个D．1个【方法总结】考查两直线位置关系中的平行，当两直线平行时被第三条线所截，形成的同位角相等，内错角相等，同旁内角互补；另外考查余角的概念．3．(2017株洲中考)如图，在△ABC中，∠BAC＝x°，∠B＝2x°，∠C＝3x°，则∠BAD ＝(B)A．145°B．150°C．155°D．160°【方法总结】本题考查了三角形外角和定理的掌握．解答时，关键是应用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”将问题进行转化．(第3题图)4．(2017广安中考)如图，若∠1＋∠2＝180°，∠3＝110°，则∠4＝__110°__．【方法总结】此题主要考查平行线的判定与性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等．请完成精练本第15页作业。

第10讲 一次函数,知识清单梳理)一次函数的概念、图象与性质1．一次函数：一般地，函数y ＝kx ＋b(k ，b 都是常数，且k ≠0)叫做一次函数．特别地，当b ＝__0__时，为正比例函数y ＝kx(k 是常数，k ≠0)．2．一次函数y ＝kx ＋b(k ≠0)的图象是经过点(0，b)和(－bk ，0)的一条直线．3．一次函数的图象与性质⎭⎪⎬⎪⎫（1）k ＞0，b ＞0过 第一、二、三 象限（2）k ＞0，b ＜0过 第一、三、四 象限y 随x 的增大而__增大__⎭⎪⎬⎪⎫（3）k ＜0，b ＞0过 第一、二、四 象限（4）k ＜0，b ＜0过 第二、三、四 象限y 随x 的增大而__减小__一次函数图象的平移、函数表达式的求法1．正比例函数是特殊的一次函数，一次函数y ＝kx ＋b 的图象可以由正比例函数y ＝kx的图象平移得到：当__b ＞0__时，向上平移b 个单位；当__b ＜0__时，向下平移|b|个单位．2．用待定系数法求一次函数的步骤(1)设函数关系式y ＝kx ＋b(k ≠0)． (2)代入两点坐标得到方程(组)．(3)解出方程(组)，求出待定系数的值，写出函数关系式．一次函数与方程、不等式的关系1．一元一次方程kx ＋b ＝0与一次函数y ＝kx ＋b 的关系：一元一次方程kx ＋b ＝0的解是一次函数y ＝kx ＋b 在__y ＝0__时所对应的x 的值．2．一元一次不等式kx ＋b ＞0(或kx ＋b ＜0)与一次函数y ＝kx ＋b 的关系：一元一次不等式kx ＋b ＞0(或kx ＋b ＜0)的解即为一次函数y ＝kx ＋b 在__y ＞0(或y ＜0)__时所对应的x的取值范围．,云南省近五年高频考点题型示例)一次函数的图象与性质【例1】(2013玉溪中考)一次函数y ＝x －2的图象不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【解析】在y ＝x －2中，k ＝1＞0，b ＝－2＜0，根据函数图象性质可知，图象与y 轴的交点在y 轴的负半轴上，函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限．【答案】B1．(2014曲靖中考)如图，直线y ＝12x ＋32与x 轴交于点A ，与直线y ＝2x 交于点B.(1)求点B 的坐标； (2)求sin ∠BAO 的值．解：(1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋32，y ＝2x ，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2，所以B 点坐标为(1，2)； (2)作BC ⊥x 轴于点C. 当y ＝0时，12x ＋32＝0，解得x ＝－3，则A(－3，0)，∴OA ＝3，而OC ＝1，BC ＝2，AC ＝AO ＋OC ＝3＋1＝4， ∴AB ＝AC 2＋BC 2＝25，∴sin ∠BAC ＝BC AB ＝225＝55， 即sin ∠BAO ＝55.一次函数解析式的确定【例2】(2013昆明中考)已知正比例函数y ＝kx 的图象经过点A(－1，2)，则正比例函数的解析式为________．【解析】正比例函数关系式为y ＝kx(k ≠0)，经过点A(－1，2)，∴把x ＝－1，y ＝2代入关系式得2＝－k ，∴k ＝－2，∴正比例函数的解析式为y ＝－2x.【答案】y ＝－2x2．(2017楚雄一模)如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A ，B 两点，P 是线段AB 上任意一点(不包括端点)，过P 分别作两坐标轴的垂线，与两坐标轴围成的矩形的周长为10，则该直线的函数解析式是( C )A ．y ＝x ＋5B ．y ＝x ＋10C ．y ＝－x ＋5D ．y ＝－x ＋10一次函数与方程(组)、不等式【例3】(2016曲靖中考)如图，已知直线y 1＝－12x ＋1与x 轴交于点A ，与直线y 2＝－32x 交于点B. (1)求△AOB 的面积；(2)求y 1＞y 2时x 的取值范围．【解析】(1)由函数的解析式可求出点A 和点B 的坐标，进而可求出△AOB 的面积；(2)结合函数图象即可求出y 1＞y 2时x 的取值范围．本题考查了一次函数与一元一次不等式、数形结合的数学思想，即学生利用图象解决问题的方法，这也是一元一次不等式与一次函数知识的具体应用．【答案】解：(1)由y 1＝－12x ＋1，可知当y ＝0时，x ＝2， ∴点A 的坐标是(2，0)， ∴AO ＝2.∵y 1＝－12x ＋1与直线y 2＝－32x 交于点B ，∴B 点的坐标是(－1，1.5)， ∴S △AOB ＝12×2×1.5＝1.5；(2)由(1)可知交点B 的坐标是(－1，1.5)， 由函数图象可知y 1＞y 2时x ＞－1.一次函数的应用【例4】(2015云南中考)已知A ，B 两地相距200 km ，一辆汽车以每小时60 km 的速度从A 地匀速驶往B 地，到达B 地后不再行驶．设汽车的行驶时间为x h ，汽车与B 地的距离为y km .(1)求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； (2)当汽车行驶了2 h 时，求汽车距B 地有多少千米．【解析】(1)y 代表的是剩余的路程而不是已经行驶的路程；(2)相当于知道了自变量的值，求函数的值．【答案】解：(1)根据题意，当汽车未到达B 地时，此时的行驶时间为0≤x ≤20060，即0≤x ≤103，此时y 与x 的函数关系式为y ＝200－60x ； (2)∵0<2<103，∴当x ＝2时，y ＝200－60×2＝80(km )．答：当汽车行驶了2 h 时，汽车距B 地有80 km .3．(2015曲靖中考)水龙头关闭不严会造成滴水．容器内盛水量w(L )与滴水时间t(h )的关系用可以显示水量的容器做如图①的实验，并根据实验数据绘制出如图②的函数图象，结合图象解答下列问题：(1)容器内原有水多少升？(2)求w 与t 之间的函数关系式，并计算在这种滴水状态下一天的滴水量是多少升？解：(1)由题图可得，当t ＝0时，w ＝0.3， 所以容器内原有水0.3 L ；(2)设w 与t 之间的函数关系式为w ＝kt ＋b(k ≠0)， 将(0，0.3)和(1.5，0.9)代入函数解析式中，得⎩⎨⎧b ＝0.3，1.5k ＋b ＝0.9，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝0.4，b ＝0.3；∴w 与t 之间的函数关系式为w ＝0.4t ＋0.3.由解析式可得，每小时滴水量为0.4 L ，一天的滴水量为：0.4×24＝9.6(L )． 答：在这种滴水状态下一天的滴水量是9.6 L .,近五年遗漏考点及社会热点与创新题)1.遗漏考点直线与直线的交点问题【例1】(2017绥化中考)在同一平面直角坐标系中，直线y ＝4x ＋1与直线y ＝－x ＋b 的交点不可能在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】根据一次函数的性质确定两条直线所经过的象限可得结果． 【答案】D直线的平移规律【例2】(2017陕西中考模拟)在平面直角坐标系中，将直线l 1：y ＝－3x －2向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到直线l 2，则直线l 2的解析式为( )A ．y ＝－3x －9B ．y ＝－3x －2C ．y ＝－3x ＋2D ．y ＝－3x ＋9【解析】平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系．【答案】B由直线的交点确定相应的范围【例3】(2017成都中考A卷)如图，正比例函数y1＝k1x和一次函数y2＝k2x＋b的图象相交于点A(2，1)，当x＜2时，y1________y2.(选填“＞”或“＜”)．【解析】由图象可以知道，当x＝2时，两个函数的函数值是相等的，再根据函数的增减性即可得到结论．【答案】＜【例4】(2017辽宁中考)在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为(3，m)，(3，m＋2)，直线y＝2x＋b与线段AB有公共点，则b的取值范围为________．(用含m的代数式表示)【解析】由点的坐标特征得出线段AB∥y轴，当直线y＝2x＋b经过点A时，得出b ＝m－6；当直线y＝2x＋b经过点B时，得出b＝m－4；即可得出答案．【答案】m－6≤b≤m－42．创新题【例5】(2017西宁中考)若点A(m，n)在直线y＝kx(k≠0)上，当－1≤m≤1时，－1≤n≤1，则这条直线的函数解析式为________．【解析】此函数可能是增函数也可能是减函数，故分别把(－1，－1)，(1，1)代入可得直线解析式．【答案】y＝x或y＝－x,课内重难点真题精练及解题方法总结)1.如图，若一次函数y ＝－2x ＋b 的图象交y 轴于点A(0，3)，则不等式－2x ＋b ＞0的解集为( C ) A ．x ＞32B ．x ＞3C ．x ＜32D ．x ＜32．如图，一次函数y 1＝x ＋b 与y 2＝kx ＋4的图象相交于点P(1，3)，则关于x 的不等式x ＋b ＞kx ＋4的解集是( C )A ．x ＞－2B ．x ＞0C ．x ＞1D ．x ＜1【方法总结】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．3．(2017毕节中考)把直线y ＝2x －1向左平移1个单位长度，平移后直线的关系式为( B )A ．y ＝2x －2B ．y ＝2x ＋1C ．y ＝2xD ．y ＝2x ＋2【方法总结】根据“左加右减”的函数图象平移规律来解答．本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“左加右减、上加下减”的原则是解答此题的关键．4．(2017呼和浩特中考)一次函数y ＝kx ＋b 满足kb ＞0，且y 随x 的增大而减小，则此函数的图象不经过( A )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【方法总结】根据k ，b 的符号正确判断直线所经过的象限．5．(2017天津中考)若正比例函数y ＝kx(k 是常数，k ≠0)的图象经过第二、四象限，则k 的值可以是__－2__．(写出一个即可)【方法总结】本题主要考查了正比例函数的性质，关键是熟练掌握：在直线y ＝kx 中，当k ＞0时，y 随x 的增大而增大，直线经过第一、三象限；当k ＜0时，y 随x 的增大而减小，直线经过第二、四象限．6.(2017曲靖二模)如图，在平面直角坐标系中，直线AC 与x 轴交于C 点，与y 轴交于A 点，直线AB 与x 轴交于B 点，与y 轴交于A 点，已知A(0，4)，B(2，0)．(1)求直线AB 的解析式；(2)若S △ABC ＝7，求点C 的坐标．解：(1)设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b ， ∵直线AB 经过A(0，4)，B(2，0)，∴⎩⎨⎧b ＝4，2k ＋b ＝0， 解得⎩⎨⎧k ＝－2，b ＝4，∴直线AB 的解析式为y ＝－2x ＋4；(2)设C(x ，0)，∵A(0，4)，B(2，0)， ∴OA ＝4，OB ＝2. ∵S △ABC ＝7， ∴12BC·OA ＝7， ∴BC ＝3.5， ∴2－x ＝3.5， ∴x ＝－1.5， ∴C(－1.5，0)．7．(2017绍兴中考)某市规定了每月用水18 m 3以内(含18 m 3)和用水18 m 3以上两种不同的收费标准，该市的用户每月应交水费y(元)是用水量x( m 3)的函数，其图象如图所示．(1)若某月用水量为18 m 3，则应交水费多少元？(2)求当x ＞18时，y 关于x 的函数解析式，若小敏家某月交水费81元，则这个月用水量为多少立方米？解：(1)由纵坐标看出，某月用水量为18 m 3，则应交水费45元； (2)由81元＞45元，得用水量超过18 m 3， 设函数解析式为y ＝kx ＋b(x ≥18)， ∵直线经过点(18，45)和(28，75)，∴⎩⎨⎧18k ＋b ＝45，28k ＋b ＝75，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3，b ＝－9∴函数的解析式为y ＝3x －9(x ≥18)，当y ＝81时，3x －9＝81，解得x ＝30. 答：这个月用水量为30 m 3.【方法总结】(1)已知函数图象上点的横坐标，根据函数图象上点的纵坐标，可得答案；(2)根据待定系数法，可得函数解析式，根据自变量与函数值得对应关系，可得答案．本题考查了一次函数的应用，利用待定系数法求出函数解析式是解题关键．8．(2017新疆中考)某周日上午8：00小宇从家出发，乘车1 h到达某活动中心参加实践活动.11：00时他在活动中心接到爸爸的电话，因急事要求他在12：00前回到家，他即刻按照来活动中心时的路线，以5 km/h的平均速度快步返回．同时，爸爸从家沿同一路线开车接他，在距家20 km处接上了小宇，立即保持原来的车速原路返回．设小宇离家x(h)后，到达离家y(km)的地方，图中折线OABCD表示y与x之间的函数关系．(1)活动中心与小宇家相距________km，小宇在活动中心活动时间为________h，他从活动中心返家时，步行用了________h；(2)求线段BC所表示的y(km)与x(h)之间的函数关系式(不必写出x所表示的范围)；(3)根据上述情况(不考虑其他因素)，请判断小宇是否能在12：00前回到家，并说明理由．解：(1)22；2；0.4；(2)根据题意得：y＝22－5(x－3)＝－5x＋37；(3)小宇从活动中心返家所用时间为：0.4＋0.4＝0.8(h)，∵0.8＜1，∴所用小宇12：00前能到家．【方法总结】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是：(1)根据数量关系列式计算；(2)根据离家距离＝22－速度×时间，找出y与x之间的函数关系式；(3)由爸爸开车的速度不变，求出小宇从活动中心返家所用时间．请完成精练本第10页作业。

第23讲 与圆有关的位置关系,知识清单梳理)两种位置关系1．点与圆的位置关系共有三种：①__点在圆内__；②__点在圆上__；③__点在圆外__．对应的点到圆心的距离d 和半径r 之间的数量关系分别为：①d __＝__r ；②d __＜__r ；③d __＞__r.2．直线与圆的位置关系共有三种：①__相交__；②__相切__；③__相离__．对应的圆心到直线的距离d 和圆的半径r 之间的数量关系分别为：①d __＜__r ，②d __＝__r ，③d __＞__r.切线1．切线定义：与圆只有__一个交点__的直线叫做圆的切线．2．判定定理：到__圆心__的距离等于__半径__的直线是圆的切线；经过__半径的外端__且垂直于__半径__的直线是圆的切线．3．性质：从圆外一点可以向圆引__两__条切线，__交点到切点的距离__相等．,云南省近五年高频考点题型示例)切线的判定与性质【例】(2017官渡一模)如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，点D 是BC ︵的中点，DE ⊥AC 于点E ，DF ⊥AB 于点F.(1)求证：DE 是⊙O 的切线； (2)若OF ＝2，求AC 的长度．【解析】(1)作半径证垂直，∵DE ⊥AC 于点E ，∴只要证OD ∥AE 即可；(2)证明△DFO ∽△BCA 即可．【答案】解：(1)连接OD ，AD.∵点D 是BC ︵的中点，∴BD ︵＝CD ︵，∴∠DAO ＝∠DAC. ∵OA ＝OD ，∴∠DAO ＝∠ODA ， ∴∠DAC ＝∠ODA ， ∴OD ∥AE. ∵DE ⊥AE ， ∴OD ⊥DE ，又∵OD 是⊙O 的半径， ∴DE 是⊙O 的切线； (2)连接BC.∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°， ∵OD ∥AE ，∴∠DOB ＝∠EAB.∵DF ⊥AB ，∴∠DFO ＝∠ACB ＝90°， ∴△DFO ∽△BCA ， ∴OF AC ＝OD AB ＝12， 即2AC ＝12， ∴AC ＝4.1．(2013昆明中考)已知：如图，AC 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，点P 是⊙O 外一点，∠PBA ＝∠C.(1)求证：PB 是⊙O 的切线；(2)若OP ∥BC ，且OP ＝8，BC ＝2，求⊙O 的半径．解：(1)连接OB.∵AC 是直径， ∴∠ABC ＝90°.∴∠CAB ＋∠C ＝90°. ∵OB ＝OA ， ∴∠OAB ＝∠OBA. ∵∠PBA ＝∠C ，∴∠PBA ＋∠OBA ＝90°， ∴OB ⊥BP.又∵点B 在⊙O 上，OB 是半径， ∴PB 是⊙O 的切线； (2)∵OP ∥BC ， ∴∠POB ＝∠OBC. 又∵OC ＝OB ，∴∠ACB ＝∠OBC ， ∴∠POB ＝∠ACB.又∵∠OBP ＝∠CBA ＝90°， ∴△ABC ∽△PBO ，∴CB OB ＝CAOP .设OB 的长为x ，那么AC 的长为2x ， ∵BC ＝2，OP ＝8， ∴2x ＝2x 8， ∴x ＝22或x ＝－22(舍去)，∴⊙O 的半径为2 2.2．(2014曲靖中考)如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，AC 是⊙O 的直径，AC ，PB 的延长线相交于点D.(1)若∠1＝20°，求∠APB 的度数；(2)当∠1为多少度时，OP ＝OD ？并说明理由． 解：(1)∵PA 是⊙O 的切线， ∴∠BAP ＝90°－∠1＝70°， 又∵PA ，PB 是⊙O 的切线， ∴PA ＝PB ，∴∠BAP ＝∠ABP ＝70°，∴∠APB ＝180°－70°×2＝40°； (2)当∠1＝30°时，OP ＝OD. 理由：当∠1＝30°时，由(1)知∠BAP ＝∠ABP ＝60°， ∴∠APB ＝180°－60°×2＝60°， ∵PA ，PB 是⊙O 的切线， ∴∠OPB ＝12∠APB ＝30°.在Rt △PAD 中，∠D ＝90°－∠APD ＝30°， ∴∠OPB ＝∠D ，∴OP ＝OD.3．(2015昆明中考)如图，AH 是⊙O 的直径，AE 平分∠FAH ，交⊙O 于点E.过点E 的直线FG ⊥AF ，垂足为点F ，点B 为半径OH 上一点，点E ，F 分别在矩形ABCD 的边BC 和CD 上．(1)求证：直线FG 是⊙O 的切线；(2)若CD ＝10，EB ＝5，求⊙O 的直径．解：(1)连接OE ， ∵OA ＝OE ， ∴∠EAO ＝∠AEO. ∵AE 平分∠FAH ， ∴∠EAO ＝∠FAE ， ∴∠FAE ＝∠AEO ，∴AF ∥OE.∵FG ⊥AF ，∴FG ⊥OE ，∵点E 在⊙O 上，OE 是半径，∴FG 是⊙O 的切线．(2)解法一：∵四边形ABCD 是矩形，CD ＝10， ∴AB ＝CD ＝10，∠ABE ＝90°. 设OA ＝OE ＝x ，则OB ＝10－x ，在Rt △OBE 中，∠OBE ＝90°，BE ＝5， 由勾股定理得OB 2＋BE 2＝OE 2， ∴(10－x)2＋52＝x 2，解得x ＝254，∴AH ＝2×254＝252，∴⊙O 的直径为252.解法二：连接EH.∵四边形ABCD 是矩形，CD ＝10，∴AB ＝CD ＝10，∠ABE ＝∠EBH ＝90°， ∴∠BEH ＋∠AHE ＝90°.∵AH 是⊙O 的直径，∴∠AEH ＝90°， ∴∠EAH ＋∠AHE ＝90°， ∴∠EAH ＝∠BEH ， ∴Rt △AEB ∽Rt △EHB ，∴EB HB ＝AB EB，∴EB 2＝AB·HB ，即52＝10·BH ，解得BH ＝52，∴AH ＝AB ＋BH ＝10＋52＝252，∴⊙O 的直径为252.4．(2016曲靖中考)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，O 是AB 边上的一点，以OA 为半径的⊙O 与边BC 相切于点E.(1)若AC ＝5，BC ＝13，求⊙O 的半径；(2)过点E 作弦EF ⊥AB 于M ，连接AF ，若∠F ＝2∠B ，求证：四边形ACEF 是菱形．解：(1)连接OE ，设⊙O 的半径为r ，则OA ＝OE ＝r.在Rt △ABC 中，由勾股定理得：AB ＝BC 2－AC 2＝132－52＝12. ∵⊙O 与BC 边相切于点E ， ∴OE ⊥BC ，∴∠OEB ＝∠CAB ＝90°. 又∵∠B ＝∠B ，∴△BOE ∽△BCA ，∴BO BC ＝OECA ，即12－r 13＝r 5，解得r ＝103. ∴⊙O 的半径为103；(2)连接AF.∵∠F ＝2∠B ，∴∠AOE ＝2∠F ＝4∠B ， ∵∠AOE ＝∠OEB ＋∠B ，⊙O 与边BC 相切于点E ， ∴∠OEB ＝3∠B ＝90°，∴∠B ＝30°，∠F ＝60°， ∵EF ⊥AD ，∴∠EMD ＝∠CAB ＝90°，∴CA ∥EF. 又∵∠MEB ＝∠F ＝60°，∴CB ∥AF ， ∴四边形ACEF 是平行四边形．∵∠CAB ＝90°，OA 是⊙O 的半径， ∴CA 是⊙O 的切线，又∵BC 也是⊙O 的切线，∴CA ＝CE ，∴平行四边形ACEF 是菱形．5．(2016昆明中考)如图，AB 是⊙O 的直径，∠BAC ＝90°，四边形EBOC 是平行四边形，EB 交⊙O 于点D ，连接CD 并延长交AB 的延长线于点F.(1)求证：CF 是⊙O 的切线；(2)若∠F ＝30°，EB ＝4，求图中阴影部分的面积．(结果保留根号和π) 解：(1)连接OD.∵四边形OBEC 是平行四边形，∴OC ∥BE ， ∴∠AOC ＝∠OBE ，∠COD ＝∠ODB. ∵OB ＝OD ，∴∠OBD ＝∠ODB ， ∴∠DOC ＝∠AOC.在△COD 和△COA 中，⎩⎨⎧OC ＝OC ，∠COD ＝∠COA ，OD ＝OA ，∴△COD ≌△COA ， ∴∠CAO ＝∠CDO ＝90°，∴CF ⊥OD. ∵OD 是⊙O 的半径，∴CF 是⊙O 的切线； (2)∵∠F ＝30°，∠ODF ＝90°， ∴∠DOF ＝∠AOC ＝∠COD ＝60°. ∵OD ＝OB ，∴△OBD 是等边三角形， ∴∠DBO ＝60°.∵∠DBO ＝∠F ＋∠FDB ，∴∠FDB ＝∠EDC ＝30°.∵EC ∥OB ，∴∠E ＝180°－∠OBD ＝120°， ∴∠ECD ＝180°－∠E －∠EDC ＝30°， ∴EC ＝ED ＝BO ＝DB.∵EB ＝4，∴OB ＝OD ＝OA ＝2. 在Rt △AOC 中，∵∠OAC ＝90°，OA ＝2，∠AOC ＝60°， ∴AC ＝OA·tan 60°＝23，∴S 阴影＝2S △AOC －S 扇形OAD ＝2×12×2×23－120π·22360＝43－4π3.6．(2017云南中考)已知AB 是⊙O 的直径，PB 是⊙O 的切线，C 是⊙O 上的点，AC ∥OP ，M 是直径AB 上的动点，A 与直线CM 上的点连线距离的最小值为d ，B 与直线CM 上的点连线距离的最小值为f.(1)求证：PC 是⊙O 的切线；(2)设OP ＝32AC ，求∠CPO 的正弦值；(3)设AC ＝9，AB ＝15，求d ＋f 的取值范围． 解：(1)连接OC ，∵AC ∥OP ，∴∠A ＝∠BOP ，∠ACO ＝∠COP ， ∵OA ＝OC ，∴∠A ＝∠ACO ，∴∠COP ＝∠BOP. 在△OCP 和△OBP 中，⎩⎨⎧OC ＝OB ，∠COP ＝∠BOP ，OP ＝OP ，∴△OCP ≌△OBP(SAS )，∴∠OCP ＝∠OBP ，∵PB 切⊙O 于点B ，∴∠OBP ＝90°，∴∠OCP ＝90°. ∴OC ⊥PC ，且OC 为半径， ∴PC 是⊙O 的切线；(2)过点O 作OD ⊥AC 于点D. ∵OP ＝32AC ，∴OP AC ＝32，设OP ＝3k ，AC ＝2k ，∴CD ＝12AC ＝k.∵∠ODC ＝∠PCO ＝90°，∠DCO ＝∠COP ， ∴△CDO ∽△OCP.∴CD OC ＝OCOP ，∴OC 2＝CD·OP ＝k·3k ＝3k 2，OC ＝3k. ∴sin ∠CPO ＝OC OP ＝3k 3k ＝33；图①(3)如图①，过点A作AE⊥MC于点E，并延长交⊙O于点K，则AE＝d.过点B作BF⊥MC于点F，则BF＝f.连接BK，则四边形EKBF是矩形，∴EK＝BF，∴d＋f＝AE＋BF＝AE＋EK＝AK，∴AC≤AK≤AB，∴9≤d＋f≤15.,近五年遗漏考点及社会热点与创新题)1.遗漏考点点与圆的位置关系【例1】矩形ABCD中，AB＝8，BC＝35，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果⊙P 是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是()A．点B，C均在⊙P外B．点B在⊙P外、点C在⊙P内C．点B在⊙P内、点C在⊙P外D．点B，C均在圆P内【解析】先计算点到圆心的距离，再和半径作比较即可．∵AB＝8，点P在边AB上，且BP＝3AP，∴AP＝2，∴r＝PD＝7，PC＝9.∵PB＝6＜r，PC＝9＞r，∴点B在圆P内、点C在圆P外，故选C.【答案】C2．创新题【例2】(2017五华一模)如图所示，CD是⊙O的弦，AB是⊙O的直径，且CD∥AB，连接AC，AD，OD，其中AC＝CD，过点B的切线交CD的延长线于点E.(1)求证：DA 平分∠CDO ；(2)若AB ＝12，求图中阴影部分图形的周长．(结果精确到1，参考数据：π≈3.1，2≈1.4，3≈1.7)【解析】(1)要证明DA 平分∠CDO ，只要求得∠CDA ＝∠ADO 即可，据条件可得答案；(2)图中阴影部分图形的周长是BD ︵＋BE ＋DE 的长，据(1)中结论和题目条件可求．【答案】解：(1)∵CD ∥AB ，∴∠CDA ＝∠DAO. ∵OA ＝OD ，∴∠ADO ＝∠DAO ，∴∠CDA ＝∠ADO ，∴DA 平分∠CDO ； (2)连接OC ，作CF ⊥AB 于点F. ∵AC ＝CD ，∴∠CDA ＝∠CAD.∵∠CDA ＝∠ADO ，∴∠CAD ＝∠ADO ，∴AC ∥OD. 又∵AC ＝CD ，CD ∥AB ，∴四边形AODC 是菱形，∴OA ＝AC. ∵AB ＝12，∴OA ＝AC ＝OC ＝6， ∴∠CAO ＝60°. ∴CF ＝AC·sin 60°＝6×32＝33， AF ＝AC·cos 60°＝6×12＝3.∵EB ⊥AB ，CF ⊥AB ，CD ∥AB ， ∴四边形CFBE 为矩形，BE ＝CF ＝33， DE ＝AB －AF －CD ＝12－3－6＝3. ∵∠CAO ＝60°，AC ∥DO ， ∴∠CAO ＝∠DOB ＝60°， ∴lBD ︵＝60×π×6180＝2π，∴图中阴影部分图形的周长是：lBE ︵＋BE ＋DE ＝2π＋33＋3＝2×3.1＋3×1.7＋3≈14.,课内重难点真题精练及解题方法总结)1.(呼和浩特中考)如图所示，AC 为⊙O 的直径且PA ⊥AC ，BC 是⊙O 的一条弦，直线PB 交直线AC 的延长线于点D ，DB DP ＝CD DO ＝23.(1)求证：直线PB 是⊙O 的切线； (2)求cos ∠BCA 的值．解：(1)连接OB ，OP ， ∵DB DP ＝DC DO ＝23，且∠D ＝∠D ， ∴△BDC ∽△PDO ，∴∠DBC ＝∠DPO ，∴BC ∥OP ， ∴∠BCO ＝∠POA ，∠CBO ＝∠BOP. ∵OB ＝OC ，∴∠OCB ＝∠CBO ，∴∠BOP ＝∠POA.又∵OB ＝OA ，OP ＝OP ，∴△BOP ≌△AOP ，∴∠PBO ＝∠PAO.又∵PA ⊥AC ，∴∠PAO ＝90°，∴∠PBO ＝90°， 又∵OB 为⊙O 的半径，∴直线PB 是⊙O 的切线； (2)由(1)知∠BCO ＝∠POA ，∵DB PD ＝23.设PB ＝a ，则BD ＝2a ，PD ＝3a.∵PA ＝PB ＝a ，∴AD ＝DP 2－PA 2＝22a. 又∵CD DO ＝23，∴DC ＝2CO ，∴DC ＝CA ＝2CO ＝12AD ＝12×22a ＝2a ，∴OA ＝22a ， ∴OP ＝OA 2＋PA 2＝⎝⎛⎭⎫22a 2＋a 2＝62a ，∴cos ∠BCA ＝cos ∠POA ＝OA OP ＝33. 【方法总结】1.切线的常用判定方法有两种：一是用圆心到直线的距离等于圆的半径来说明直线是圆的切线；二是用经过半径的外端且垂直于这条半径来说明直线是圆的切线．当被说明的直线与圆的公共点没有给出时，用方法一；当圆与直线的公共点已经给出时，常用方法二说明．2．利用切线的性质时，常连接切点和圆心，构造直角．2．(2017毕节中考)如图，已知⊙O 的直径CD ＝6，A ，B 为圆周上两点，且四边形OABC 是平行四边形，过A 点作直线EF ∥BD ，分别交CD ，CB 的延长线于点E ，F ，AO 与BD 交于G 点．(1)求证：EF 是⊙O 的切线；(2)求AE 的长．解：(1)∵CD 为⊙O 的直径，∴∠DBC ＝90°，∴BD ⊥BC.∵四边形OABC 是平行四边形，∴AO ∥BC ，∴BD ⊥OA.∵EF ∥BD ，∴OA ⊥EF.又∵OA 为⊙O 半径，∴EF 是⊙O 的切线；(2)连接OB.∵四边形OABC 是平行四边形，∴OA ＝BC.∵OB ＝OC ＝OA ＝12CD ＝3，∴OB ＝OC ＝BC ， ∴△OBC 为等边三角形，∴∠C ＝60°，∴∠AOE ＝∠C ＝60°，在Rt △OAE 中，∵tan ∠AOE ＝AE OA， ∴AE ＝OA·tan 60°＝3tan 60°＝3 3. 请完成精练本第34页作业。

题型网格专题在网格中研究格点图形，具有很强的可操作性，这和新课程中考的理念相符合，因此它也成为近几年新课程中考的热点问题．近几年来，以网格为背景的问题在各省市的数学中考中倍受青睐，这类题主要考查学生的运用能力和动手操作能力，培养其探究意识和不断创新的精神．当网格作为背景时，相关格点之间便容易形成特殊的图形(如正方形、直角三角形)，具有较强的直观性、操作性，较好地实现了数学基本知识、空间观念与多种数学思维能力的综合与运用，尤其是勾股定理、数形结合等思想方法的运用达到了极点．,备考攻略)．三角函数的知识在网格中的应用．．平移、旋转、轴对称知识在网格中的应用．．相似知识在网格中的应用．．圆的知识在网格中的应用．．网格中知识的综合应用．．标错点的字母，找错对应点．．数错格子数目．利用图形变换的性质来解决问题．,典题精讲)◆锐角三角函数的知识在网格中的应用【例】(福建中考)在正方形网格中，△的位置如图所示，则的值为()【解析】根据格点的特征可得∠＝°，再根据特殊角的锐角三角函数值即可得到结果.【答案】．(大连中考)如图，在边长为的小正方形组成的网格中，△的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：()用签字笔画∥(为格点)，连接；()线段的长为；()请你在△的三个内角中任选一个锐角，若你所选的锐角是∠(或∠)，则它所对应的正弦函数值是；()若为中点，则∠的值是．◆平移、旋转、轴对称知识在网格中的应用【例】(宜昌中考)如图，在方格纸上△是由△绕定点顺时针旋转得到的．如果用(，)表示方格纸上点的位置，(，)表示点的位置，那么点的位置为()．(，) ．(，)．(，) ．(，)【解析】如图所示，分别连接，，然后作它们的垂直平分线，使它们相交于点，则点为它们的旋转中心．∵(，)表示方格纸上点的位置，(，)表示点的位置，∴点的位置为(，)．【答案】◆相似知识在网格中的应用【例】(重庆中考)如图，已知图中的每个小方格都是边长为的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若△与△是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是．【解析】先确定△与△′′′的位似中心，只要连接，并延长，其交点即为位似中心，然后再根据画图的结果，确定点的坐标即可．【答案】(，)()判断△和△是否相似，并说明理由；()，，，，，，是△边上的个格点，请在这个格点中选取个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△相似．(要求写出个符合条件的三角形，并在图中连接相应线段，不必说明理由)解：()△和△相似．根据勾股定理，得＝，＝，＝；＝，＝，＝.∵＝＝＝，∴△∽△；()答案不唯一，下面个三角形中的任意个均可．△，△，△，△，△，△.◆圆的知识在网格中的应用【例】(福建中考)如图，在×正方形网格中，一条圆弧经过，，三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是()．点．点．点．点【解析】作和的垂直平分线，它们相交于点，根据弦的垂直平分线经过圆心，即可确定这条圆弧所在圆的圆心为点．【答案】．如图所示，△的三个顶点的坐标分别为(－，)，(－，－)，(，－)，则△外接圆半径的长度为．．在直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点称为格点．已知一个圆的圆心在原点、半径等于，那么这个圆上的格点有个．◆网格中知识的综合应用【例】(昆明中考)如图，△三个顶点的坐标分别为(，)，(，)，(，)()请画出将△向左平移个单位长度后得到的图形△；()请画出△关于原点成中心对称的图形△；()在轴上找一点，使＋的值最小，请直接写出点的坐标．【解析】()根据网格结构找出点，，平移后的对应点的位置，然后顺次连接即可；()找出点，，关于原点的对称点的位置，然后顺次连接即可；()找出点关于轴的对称点′，连接′，与轴的交点即为点.【答案】解：()如图，△即为所求作的图形；()如图，△即为所求作的图形；()找出点关于轴的对称点′(，－)，连接′，与轴的交点即为点；如图，点的坐标为(，)．．(昆明中考)如图，△三个顶点的坐标分别为(，)，(，)，(，)．()请画出△关于轴对称的△，并写出点的坐标；()请画出△绕点逆时针旋转°的△；()求出()中点旋转到点所经过的路径长．(结果保留根号和π)解：()如图，点的坐标为(，－)；()如图；()∵＝＝，∴点旋转到点的路径长为＝.．(连云港中考)图①、图②均为×的正方形网格，点，，在格点(小正方形的顶点)上．()在图①中确定格点，并画出一个以点，，，为顶点的四边形，使其为轴对称图形；()在图②中确定格点，并画出一个以点，，，为顶点的四边形，使其为中心对称图形．图①图②解：()有以下答案供参考：()有以下答案供参考：．如图，正方形网格中，△为格点三角形(顶点都是格点)，将△绕点按逆时针方向旋转°得到△.()在正方形网格中，作出△；(不要求写作法)()设网格小正方形的边长为，用阴影表示出旋转过程中线段所扫过的图形，然后求出它的面积．(结果保留π)解：()如图所示：()线段所扫过的图形如图所示．根据网格图知：＝，＝，∴＝，阴影＝扇＋△－扇－△，∵△＝△，∴阴影＝扇－扇，∴阴影＝π(－)＝()．．如图，在对△依次进行位似、轴对称和平移变换后得到△′′′.()在坐标轴上画出这几次变换相应的图形；()设(，)为△边上任一点，依次写出这几次变换后点对应点的坐标．解：()如图所示：()设坐标纸中方格边长为单位，则(，)以为位似中心放大为原来的倍(，)，经轴翻折得到(－，)，再向右平移个单位长度，得到(－＋，)，再向上平移个单位长度得到(－＋，＋)，∴点对应点的坐标依次为：(，)，(－，)，(－＋，)，(－＋，＋)．。