3导数的应用全程版(2016)

导数的应用一、考试内容罗必达(L’Hospital)法则 平面曲线的切线和法线 函数单调性的判别 函数极值 函数最值 函数图形的凹凸性、拐点 函数图形的描绘 弧微分 曲率的概念 曲率圆与曲率半径（一）平面曲线的切线和法线函数()f x 在点0x 处可导，则其所示曲线在点0x 处有切线，反之不然.极坐标曲线()ρρθ=在(,)ρθ处切线斜率'()'()sin ()cos '()'()'()cos ()sin y k y x x θρθθρθθθρθθρθθ+===-， 设切线倾角α，则()'()tan()ρθρθαθ=-. （二）罗必达(L’Hospital)法则00lim ()()lim '()'()()f x g x f x g x a ∞∞==∞（'()'()f x g x 、需在x 的变化过程中存在），对数列极限问题不能直接使用罗必达(L’Hospital)法则.（三）函数性态1.函数的奇偶性()'()'()()f x f x f x f x ⇒⇒为可导的奇（偶）函数为偶（奇）函数，为奇函数为偶函数;2．函数的周期性()(0)()'()'()()f T f f x T f x T f x T f x T =⇒⇒为周期的可导函数为周期的函数，周期为周期为; 3．函数的单调性'()()0,(())()(),f x x I f x I f x I ≥≤∈⇒在内具有有限个驻点在内单调增减反之不成立；()'()f x f x ，二者的单调性在一般情况下不能相互推出；'()'()()0()()f x a f a f x a ><⇒在处连续必在处充分小的邻域内单调增减.()()()f x f x 单调区间的分界点可能为驻点,尖点连续但一导不存在,间断点；视条件而定；4．曲线的凹凸性''()()0,('())()()(),f x x I f x I f x I ≥≤∈⇒在内具有有限个驻点在内是向上凹凸的反之不成立；''()''()()0()()();f x a f a f x a ><⇒在处连续必在处充分小的邻域内是向上凹凸的()()f x f x 的拐点必为连续的坐标点,其横坐标可能为二导零点,二导不存在点；视条件而定；00000''()0(''()/),''()(,());f x f x f x x x f x ==⇒在两邻的符号相反为拐点00''()0000000''()''()0,'''()0(,());lim 0(,())f x x x x f x f x f x x f x A x f x x x →=≠⇒=≠⇒-在处连续为拐点为拐点;223()''(1'),()1()ds K x d ds y y R x K x α-===+=弧微分曲率半径.5．函数的极值性()()f x f x 的极值点必含于定义域,其可能为驻点,尖点,间断点；若可导,其极值点必为驻点；00000'()0('()/),'()()(),()();f x f x f x x x f x ==⇒在两邻由正到负由负到正为极大小点为极大小值00'()00000'()'()0,''()()0();lim ()0()f x x x x f x f x f x x A x x x →=<>⇒=<>⇒-在处连续为极大小点为极大小点;000000200()()''()lim ()0()'()0,lim ()0().()n x x x x f x f x f x A x f x A x x x x x →→-=<>⇒==<>⇒--为极大小点;为极大小点6．函数的最值性：()f x 连续于[,]a b ，则[,][,]ma x ()(m i n ()m a x (m i n ){(),(),()};x ab x a b f x f x f f f ∈∈⇒驻点尖点端点()(,)()(),()(,)()f x a b f x a b 连续函数在内有唯一驻点尖点且取极大小值则其亦为在内的最大小值.二、典型例题题型一 未定式及其逆问题的求解 例1、求下列极限（∞∞）：（1）0ln tan 2lim ln tan 3x x x +→　（2）0lim ln x x x +→　（3）arctan lim (1)x x x a x x a a x →∞->+ （4）ln(1)lim an n e n→∞+ （1）解：原式2'2002cot 2sec 22tan 3lim lim 13cot 3sec 33tan 2L H x x x x xx x x ++→→===． （2）解：原式1'ln 1limlim 0t xL H t t t tt =→+∞→+∞-=-=． （3）提示：arctan 1()arctan lim lim 11()x x x x x x a x x x a xa x x a →+∞→+∞--==++；arctan ()arctan lim lim ()12x x x x x x a x x a x x a x a x π→-∞→-∞--==++． （4）提示：0a ≤，原式0=；0a >，原式ln(1)lim an n an e a n-→∞++==（不能用'L H ）．注：ln (1),ln ,(1),ln()(1),ln ,,,x x x xx x x a b a x x a x ββαββα><+>无限增大之速渐快；ln (1),ln ,(1),ln()(1),ln ,,,!,n n n n n n n a b a n n a n n ββαββα><+>无限增大之速渐快． 例2、求下列极限（00000,,1,,0∞⋅∞∞-∞∞，）： （1）4301sin sinlim tan x x x x x x →-+；（2）20(1)ln(1)lim 1x x x x x e →-++-；（3）01lim(cot )1x x x e →--； （4）21lim[ln(1)]x x x x →∞-+；（5）2arctan lim ()x x x π→+∞；（6）101lim()x kx nx k e n→=∑；（7）122lim()x x x a →∞+． （1）提示：原式33032000tan ~sin 11cos 1limlim sin lim 36x x x x x x x x x x x x →→→--=+==． （2）提示：解：原式2200'2001~(1)ln(1)ln(1)1lim lim 22x L H x x e xx x x x x x →→--++-+==-． （3）提示：原式2'20001tan 1tan sec 1lim lim lim (1)tan 22x x x L H x x x x e x e x e x e x x x →→→-----====-． （4）提示：原式1'20ln(1)1lim 2t xL H t t t t =→-+==． （5）提示：原式2222ln arctan arctan 12[(1)]2lim1limlim 111x x x xx x xxx eeee ππππ∞→+∞→+∞→+∞-+--====（令2arctan 1x t π-=）．（6）提示：原式110011ln()111lim 1'limlim2nnkx kx nkx k k x x x k e n e n n ke L Hn xxeeee ∞==→→→=-+∑∑∑====．（7）提示：原式0∞=2222ln()2()'limlim21x x x a x x a L Hx x ee→∞→∞++==．注1：对1n =，不能直接使用L’H 法则，先求01lim 1xx x ∞→+∞=，而000lim 1x x x +→=．注2：01lim (1)1xx x e ∞→+∞+=≠．例3、设()1f a ''=，求2lim [()()2()]h h f a h f a h f a -→++--．解：原式0'()'()lim2h f a h f a h h →+--=00'()'()'()'()lim lim 122h h f a h f a f a h f a h h→-→+---=+=-．例4、设lim )0x ax b →+∞-=，求b a ,．提示：由题意知lim )1x a →+∞==；1lim )1)]2x tx t b x t +=→+∞→==． 例5、当0→x 时，x x33tan -是关于x 的k 阶无穷小，则3=k ．提示：tan tan 00003331tan lim lim lim3ln 3lim x x x x xk k k x x x x x x x x x -→→→→---==20031'0tan ln 3ln 3lim 3k k L H x x kx =-→==．例6、设函数)(x f 在0=x 的某邻域内具有一阶连续导数,且,0)0(,0)0(≠'≠f f 若)0()2()(f h bf h af -+在0→h 时是比h 高阶的无穷小,则a =2，b =1-．提示： 由题设条件知00lim[()(2)(0)](1)(0)h af h bf h f a b f →=+-=+-，有01=-+b a ；'00()(2)(0)0lim lim[()2(2)](2)(0)L H h h af h bf h f af h bf h a b f h→→+-'''==+=+，有02=+b a .例7、若 30lim [()sin 6]0x x xf x x -→+=，则2lim [()6]x x f x -→+=36.提示：由33lim [()sin 6]lim [(()6)(sin 66)]0x x x xf x x x xf x x x x --→→+=++-=，知 230lim [()6]lim (6sin 6)x x x f x x x x --→→+=-=2lim 2(1cos 6)36x x x -→-=．例8、()130lim 1(),xx x f x x e →++=''(0)f 存在，求)0(),0(),0(f f f '''．提示：由题意知0lim[())]0x f x x →=，则()0(0)lim ()0f x x f f x →==连续；且()0(0)lim{[()(0)]}lim[())]0f x x x f f x f x f x x →→'=-==可导；又()120lim [()]1lim[()]13lim 1(),x x x x f x x f x x xx e x f x x ee-→→++→=++==知20lim ()2x x f x -→=，则''(0)'2000()'()'()'(0)12lim limlim ''(0)222f L H x x x f x f x f x f f x x x →→→-====存在，则''(0)4f =． 注1：本题也可换为3lim[11(1)],n n n nf n e →∞++=''(0)f 存在，求(0),(0),(0)f f f '''．提示：若令1n t =，仿例8可求出(0),(0),f f '但对2lim ()2t tf t -→=左式切勿使用'L H ．注2：在综合训练阶段，我们还将介绍用麦克劳林展开法解决有关未定式的处理问题．题型二 函数性态的判定、求解与证明例1、设)(x f y =由1)cos(2-=-+e xy e yx 所确定，则曲线)(x f y =在点)1,0(处的法线方程为022=+-y x ．例2、对螺旋线θρe =在2(,)(,2)eπρθπ=处的切线的直角坐标方程为2x y e π+=．例3、求ln(1)y x e x =+ （0>x ）的渐近线方程． 提示：由1'(0)lim [ln()]0x tL Ht y e t =+→+∞+==，知0x =不是该曲线的铅直渐近线；又1'0lim 1,lim ()lim [ln()1]1x tL Hx x t y x y x e t te +=→+∞→+∞→=-+-== ，故1y x =+为其斜渐近线．例4、设函数)(x f 连续，且,0)0(>'f 则存在0>δ，使得(C)（局部保号性） (A) )(x f 在（0，)δ内单调增加 (B) )(x f 在)0,(δ-内单调减少(C) 对任意的),0(δ∈x 有()(0)f x f > (D)对任意的)0,(δ-∈x 有()(0)f x f > 例5、下列命题中正确的是(C)(A) 若)(x f 在),(b a 上可导，且严格单调递增，则必有0)(>'x f (B) 若0()()0f x x x '->对00(,)x U x δ∈成立，则0()f x 为极小值(C) 若00(,())x f x 是函数)(x f 的拐点，则必有0)(0=''x f 或0()f x ''不存在 (D) 0()()f x x x ''-在00(,)U x δ上不变号，则00(,())x f x 是)(x f 的拐点例6、设3()()lim11cos()x a f x f a x a →-=---，则函数()f x 的一个极大值必为)(a f ．（局部保号） 例7、数列21{(12)}n n +中的最大项为916．提示：设21()(12),[1,)x f x x x +=∈+∞，令()0f x '=，则在2ln 2x =处()f x 取得最大值，又2223<<，而(2)12,(3)916f f ==，故该数列的最大值为第三项：916． 例8、设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中()y f x ''=的图形如下图所示，则()f x 所示曲线的拐点个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3提示：0x >时， ()f x ''与x 轴有一个交点，且在交点处左邻右舍所对应的的()f x ''值异号； 在点0x =处左邻右舍所对应的的()f x ''值异号，且()f x 连续，故()f x 有两个拐点.例9、设)(x y y =由⎩⎨⎧+-=++=131333t t y t t x 确定，则曲线)(x y y =向上凸的x 取值范围为]1,()1,(-∞-∞或.提示：令323''()['()'()]()[()()()()]()4(1)30y x d y t x t dx t y t x t y t x t x t t t -'''''''==-=+=得0t =，而2()3(1)0x t t '=+>，说明x 关于t 单增，故0t <，既1x <时，''()0y x <. 注：(1,1)也为该曲线拐点，且该曲线在点(5,2)-处的曲率为16K =. 例10、设)(x f 二阶导数连续,且x e x f x x f x --='--''-11)()1(2)()1(， 试问（1）若)1( ≠=a a x 是极值点时,是极小值点还时极大值点？（2）若1=x 是极值点时,是极大值点还是极小值点?提示：（1）将0)(='a f 代入xe xf x x f x --='--''-11)()1(2)()1(，得0a ≠时，1()(1)(1)0af a e a -''=-->，则)(x f 在a x =取极小值；（2）由1()2()(1)1)xf x f x e x -'''-=--，知11lim ()2lim ()1x x f x f x →→'''-=则,01)1(>=''f 又0)1(='f ，故1=x 为)(x f 的极小值点. （)(x f 在1=x 邻近处为凹）注：设)(x f 满足2(1)()2()1xx f x x f x e -'''--=-，问(0,(0))f 是否为)(x f 的拐点？ 提示：(0)0f ''=，因212()x e x f x -'-+可导，则()f x ''也可导，对原方程两端求导，得1(1)'''()''()2[2()''()]x x f x f x x f x xf x e -'-+-+=，则'''(0)1f =-，故(0,(0))f 为拐点.三、课后练习1、计算下列极限（（1）--（6）为(A)；（7）--（12）为(B)）（1）2244ln()lim ln()x x x e x e x →∞+=+12（2）1ln(1)lim (0)n n n n αα+→∞+>=0（3）0x →=14- （4）0x x →=1（5）30arctan lim ln(12)x x x x →-=+16- （6）sin sin 022lim 33x x x arc x x →-=-ln 2ln 3- （7）201cot lim()x x x x →-=13（8）22201cos lim()sin x x x x →-=43（9）1lim[]ln(11)n n n →∞-=+12- （10）10(1)lim x x x e x→+-=2e -（11）ln(1)0lim (tan )x x x +-→=1（12）1lim(tan )21n n n n π→∞=+1 2(A)、设22lim [ln(1)()]2x x x ax bx -→+-+=，则(,)a b =(1,52)-.3(A)、已知2)13(lim 2=++-+∞→bx ax x x ，则(,)a b =(9,12)-.4(A)、设当)1(,02++-→bx ax e x x 是比2x 高阶的无穷小，则(,)a b =(12,1). 5(B)、设函数()arcsin f x x =，若)(')(ξxf x f =，则220lim[]x x ξ→=1.提示：2222arcsin (arcsin )x x x ξ---=-.6 (A)、设()1,'()ln 2f a f a ==，则lim[(1)()]nn f a n f a →∞+= 2．7 (B)、若2)0(,1)0(='=f f ，则1(1)l i m[t a n (1)]nf nn n n-→∞=16e-.（先求0tan 11lim[1()]6x x x x f x →-=--）8(B)、若lim (1)0n nf n →∞=，''(0)4f =，则li m [1(1)]nn n f n→∞+= 2e .（先求2lim ()2x x f x -→=）9(B)、设'()f x 在x = 0处连续，又21lim[sin ()]2x x x x f x --→+=，则(0)f =1-，(0)f '=2．提示：21212lim[sin ()]lim (sin )lim [()1]x x x x x x f x x x x x f x ----→→→=+=-++．10 (B)、当n →∞，444ln ,ln ,ln ,4n n n n 趋于无穷大速度最慢与最快的分别是(D) (A) 4ln ln ,4n n (B) 44ln ,n n (C) 4ln ln ,4n n (D) 44ln ,n n提示：ln ln 44nn =．11 (A)、设10()ln f x x =，()g x x =,10()x h x e =,则当x 充分大时有（C ） （A ）()()()g x h x f x << （B ）()()()h x g x f x << （C ）()()()f x g x h x << （D ）()()()g x f x h x <<12(B)、设)(x f 在0=x 的某邻域内具有二阶连续导数，且0)0(≠f ，0)0(≠'f ，(0)0f ''≠， 求证： 存在惟一的一组实数321,,λλλ，使得当0→h 时，)0()3()2()(321f h f h f h f -++λλλ是比2h 高阶的无穷小．13（A ）、曲线⎩⎨⎧==t e y te x tt cos 2sin 在点)1,0(处的法线方程为012=-+x y . 14（A ）、若曲线b ax x y ++=2和312xy y +-=在点)1,1(-处相切，则 (,)a b =(1,3)--.15（A ）、设曲线)(x f y =和x x y -=2在点()0,1处有公切线，则()l i m (2)n n f n n →∞+=2-．16（A ）、曲线极坐标方程是θcos 1-=r ，求该曲线上对应于θπ=处的切线与法线的直角坐标方程（切线：(53)40x y -+-=，法线：(13)40x y ++=）.17（A ）、证：1(0)y x x =>上任一点处切线与两坐标轴所围的直角D 面积恒为2. 18（A ）、证明： 232323x y a +=上任一点的切线在,x y 轴上截距的平方和为常数. 19（A ）、求曲线 x x y arctan =的渐近线（有两条斜渐近线 21y x π=±-）. 20（B ）、若)(x f 连续，且周期为5，当0x →，)(8)sin 1(3)sin 1(x x x f x f α+=--+，其中)(x α是x 的高阶无穷小，且)(x f 在1=x 处可导，求曲线)(x f y =在点(6,(6))f 处的切线方程.（提示：'(6)'(1)f f =，切线方程为)6(2-=x y ） 21（A ）、设()(1)f x x x =-, 则(A)(A)0x =是()f x 的极值点, 但(0,0)不是曲线()y f x =的拐点 (B)0x =不是()f x 的极值点, 但(0,0)是曲线()y f x =的拐点 (C)0x =是()f x 的极值点, 且(0,0)是曲线()y f x =的拐点(D)0x =不是()f x 的极值点, (0,0)也不是曲线()y f x =的拐点 22（A ）、设x x x x f cos sin )(+=,下列命题中正确的是（B ）（A ）(0)f 是极大值，(2)f π是极小值. （B ）(0)f 是极小值，(2)f π是极大值. （C ）(0)f 是极大值，(2)f π也是极大值. (D) (0)f 是极小值，(2)f π也是极小值. 23（A ）、设)(x f 满足22()[()]1f x f x x '''+=+，且'(0)0f =，则(B) (A)(0)()f f x 为的极大值 (B)(0)()f f x 为的极小值 (C) ))0(,0(f 是曲线)(x f y =的拐点(D))0(f 不是)(x f 极值，))0(,0(f 也不是曲线)(x f y =的拐点24（A ）、设()f x 有二阶连续导数，且(0)0f '=，0lim[()]1x f x x →''=，则（B ）（A ）(0)f 是()f x 的极大值 （B ）(0)f 是()f x 的极小值 （C ）(0,(0))f 为曲线()y f x =的拐点（D ）(0)f 不是()f x 的极值，(0,(0))f 也不是曲线()y f x =的拐点25（A ）、设函数()f x ,()g x 具有二阶导数，且''()0g x <。