2018年高考数学复习感知高考刺金四百题：第251—255题(含答案解析)高考

感知高考刺金226题函数())02f x x π≤≤的值域是__________．解：()()2232cos 2sin 1cos 1sin x x x x --=-+-设1sin ,1cos x a x b -=-=，则问题变为求y =的值域 解法一：当0a ≠时，有y =将b a 视为圆()()22111a b -+-=上任一点与原点连线的斜率，结合图形可知0b a≥， 所以10y -≤<， 当0a =时，0y =综上可知，[]1,0y ∈-解法二：注意到y =联想其结构特征与三角函数中的正余弦定义式相似于是设直线OP 的倾斜角为θ，则02πθ≤≤所以[]cos 1,0y θ=-∈- 感知高考刺金227题已知(),a xb yc x y =+∈ R ，2a b == ，1c = ，()()0a c b c -⋅-= ，则a b - 的取值范围是________．解法一：考虑向量模的几何意义 由2a b == 和()()0a c b c -⋅-= ，可作出图形 c 的终点C 必在以AB 为直径的圆'O 上 又1c = ，故c 的终点C 必在以O 为圆心，1为半径的圆上所以问题转化为'O 与O （半径为1的小圆）有交点注意到'O 的半径为22ABa b-= ，圆心距1'2OO a b =+所以两圆相交需满足11222a ba ba b-+--≤≤+ 且有2222216a b a b a b ⎛⎫++-=+= ⎪⎝⎭作一个整体换元，设a b x += ，a b y -=问题转化为规划问题，已知2216222,x y x y x y x y +⎧+=⎪-≤-≤⎪⎨+≥⎪⎪∈⎩R ，求y 的取值范围。

如图可得1y ⎤∈⎦解法二：代数方法a b -= ，因此只需求a b 的取值范围 由()()0a c b c -⋅-= 得()20a b a b c c -++= 所以()1cos a b a b c a b c a b θ+=+=+≤+ 即()2221282a b a a b b a b +≤++=+ ，解得77a b -≤≤所以a b -= ，故1a b ⎤-∈⎦ 解法三：解析几何坐标方法解：设()1,0c = ，设A ，B 是以O 为圆心，2为半径的圆上两点，且AC ⊥BC ，则 | a －b | = AB = 2 MC ．∵MO 2 + MA 2 = OA 2，而MA = MC ，∴MO 2 + MC 2 = 4．设(),M x y ，则2222(1)4x y x y ++-+=， 即2232x y x +-=．（*） | a －b | = AB = 2 MC== 由（*x ，∴11．11a b ≤-≤ ．感知高考刺金228题已知实数,,a b c ，满足222a b a b ++=，2222a b c a b c ++++=，则c 的最大值是________． 解：记2,2,2a b c x y z ===，则x y xy x y z xyz+=⎧⎨++=⎩ 1111xy z xy xy ==+--因为4x y xy xy +=≥≥ 故141113xy z xy xy ==+≤-- 即c 的最大值是24log 3感知高考刺金229题设函数()241xf x x =+，()cos2cosg x x k x ππ=+，若对任意的1x ∈R ，总存在2x ∈R ，使得()()21g x f x =成立，则实数k 的取值范围是________．解法一：由题意知()f x 的值域是()g x 值域的子集，易得()f x 的值域是[]2,2-设cos t x π=，则()g x 的值域为()[]221,1,1h t t kt t =+-∈-的值域，再通过分类讨论进行解答()()141212k h h ⎧-≤-⎪⎪⎪-≤-⎨⎪≥⎪⎪⎩或()210482812k k h ⎧-≤-≤⎪⎪--⎪≤-⎨⎪⎪≥⎪⎩或()201482812k k h ⎧<-<⎪⎪--⎪≤-⎨⎪⎪-≥⎪⎩或()()141212k h h ⎧-≥⎪⎪⎪≤-⎨⎪-≥⎪⎪⎩解得(),k ⎡∈-∞-+∞⎣解法二：解法一常规，但计算量较大，作为填空题不划算。

感知高考刺金511． 已知点()(),00F c c ->是双曲线22221x y a b-=的左焦点，过F 且平行于双曲线渐近线的直线与圆222x y c +=交于点P ，且点P 在抛物线24y cx =上，则该双曲线的离心率是（ ）ABCD解：由()222b y x c a x y c⎧=+⎪⎨⎪+=⎩得222a b x c ab y c ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或0x c y =-⎧⎨=⎩ 所以222,a b ab cc ⎛⎫- ⎪⎝⎭在24y cx =上，所以4210e e --=，解得e =2．5名同学去听同时进行的4个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同选法的种数是 ． 答案：54（或1024）感知高考刺金521． 过椭圆22194x y +=上一点M 作圆222x y +=的两条切线，点,A B 为切点，过,A B 的直线l 与x 轴，y 轴分别交于,P Q 两点，则POQ ∆的面积的最小值为 ．解：设()00,M x y ，则直线l 的方程为0020x x y y +-=，所以直线l 与x 轴，y 轴分别交于点,P Q 的坐标为0022,0,0,x y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭而2200001943x y x y +=≥，所以003x y ≤ 所以00223POQ S x y ∆=≥ 2．已知等式232421401214(1)(12)x x x a a x a x a x +-⋅-=++++ 成立， 则123a a a +++1314a a ++ 的值等于 ．答案：0感知高考刺金531．已知两定点()2,0A -和()2,0B ，动点(),P x y 在直线:3l y x =+上移动，椭圆C 以,A B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为 ． 解：由于2c =确定，所以离心率最大就是a 最小．所以问题等价于在直线:3l y x =+上确定点P ，使PA PB +取得最小值． 结合对称性可得，点A 关于直线l 的对称点为()3,1M - 所以()min PA PB BM +=所以max e ==2．正五边形ABCDE 中，若把顶点A 、B 、C 、D 、E 染上红、黄、绿、三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法共有 种 ． 答案：30感知高考刺金541．已知数列{}n a 和{}n b 中，1a a =，{}n b 是公比为23的等比数列．记()2*1n n n a b n a -=∈-N ，若不等式1n n a a +>对一切*n ∈N 恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 解：因为()2*1n n n a b n a -=∈-N ，所以21n n n b a b -=-， 所以()()()11111112211302111111113nn n n n n n n n n n n n n n b b b b b a a b b b b b b b b ++++++-----=-=-==<------⎛⎫-- ⎪⎝⎭解得3012n n b or b ><<若32n b >，则112332n b -⎛⎫> ⎪⎝⎭，即12312na b a -⎛⎫=> ⎪-⎝⎭对一切正整数n 成立，显然不成立 若01n b <<，则112013n b -⎛⎫<< ⎪⎝⎭对一切正整数n 成立，只要101b <<即可，即2011a a -<<- 解得2a >2． 已知2223401234(1)x x a a x a x a x a x -+=++++，则1234a a a a +++＝_____；1a =______． 答案：0，－2感知高考刺金551．方程1169x x y y +=-的曲线即为函数()y f x =的图象，对于函数()y f x =，有如下结论：①()f x 在R 上单调递减；②函数()4()3F x f x x =+不存在零点；③函数()y f x =的值域是R ；④()f x 的图象不经过第一象限，其中正确的个数是 ． 解：由1169x x y y +=-知，,x y 不能同时大于0，分类讨论：当0,0x y <≥时，221169x y -=表示双曲线的一部分 当0,0x y <<时，221169x y +=表示椭圆的一部分 当0,0x y ≥<时，221916y x -=表示双曲线的一部分 作出图象可知①③④正确对于②的判断：由于34y x =-是双曲线221169x y -=和221916y x -=的渐近线，所以结合图象可知曲线()y f x =与直线34y x =-没有交点，则()()430F x f x x =+=不存在零点．2．若x ∈A 则1x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M={－1，0，13，12，1，2，3，4}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为 ．答案：A 具有伙伴关系的元素组有－1，1，12、2，13、3共四组，它们中任一组、二组、三组、四组均可组成非空伙伴关系集合，个数为C 14+ C 24+ C 34+ C 44=15．。

感知高考刺金221题已知以4T =为周期的函数())()11213x y f x x x ⎧≤⎪==⎨--<≤⎪⎩，其中0m >，若()3f x x =恰有5个实数解，则m 的取值范围是 ．解：当[]1,1x ∈-时，原函数式化为方程()22211y x y m +=≥，表示一个半椭圆，当[]1,3x ∈时，是两线段()112y x x =-<≤和()323y x x =-<≤组成的折线，再根据周期性画出大致图象如图所示。

由图象可知，当直线3x y =与第二个半椭圆()()222410y x y m-+=≥相交，而与第三个半椭圆()()222810y x y m -+=≥无交点时，方程()3f x x =恰有5个实数解，由方程组()()2223041x y y y x m ⎧=⎪⎪≥⎨⎪-+=⎪⎩消去y 得()22229172350m xm x m +-+=由0∆>，解得m 由方程组()()2223081x y y y x m ⎧=⎪⎪≥⎨⎪-+=⎪⎩消去y 得()2222911445670m x m x m +-+= 由0∆<，解得0m <m <<感知高考刺金222题（2015重庆理科第16题）若函数()12f x x x a =++-的最小值为5，则a = ________． 解法一：按照1,1a a <-≥-两类分类讨论，画出()12f x x x a =++-的折线图，图象最低点的纵坐标为5，求得6a =-或4a =解法二：由题意得125x x a ++-≥，从而1522x x a +-≥-设()()15,22x g x x a h x +=-=-()g x x a =-的图象是以(),0a 为顶点的开口向上的“V ”形图。

()1522x h x +=-的图象是以51,2⎛⎫- ⎪⎝⎭为顶点的开口向下（开口比()g x x a =-的图象开口大）的“V ”形图，且与x 轴交点的坐标为()()6,0,4,0-。

感知高考刺金221题已知以4T =为周期的函数())()11213x y f x x x ⎧≤⎪==⎨--<≤⎪⎩，其中0m >，若()3f x x =恰有5个实数解，则m 的取值范围是 ．解：当[]1,1x ∈-时，原函数式化为方程()22211y x y m +=≥，表示一个半椭圆，当[]1,3x ∈时，是两线段()112y x x =-<≤和()323y x x =-<≤组成的折线，再根据周期性画出大致图象如图所示。

由图象可知，当直线3x y =与第二个半椭圆()()222410y x y m-+=≥相交，而与第三个半椭圆()()222810y x y m -+=≥无交点时，方程()3f x x =恰有5个实数解，由方程组()()2223041x y y y x m ⎧=⎪⎪≥⎨⎪-+=⎪⎩消去y 得()22229172350m xm x m +-+=由0∆>，解得m >由方程组()()2223081x y y y x m ⎧=⎪⎪≥⎨⎪-+=⎪⎩消去y 得()2222911445670m x m x m +-+= 由0∆<，解得0m <m <<感知高考刺金222题（2015重庆理科第16题）若函数()12f x x x a =++-的最小值为5，则a = ________． 解法一：按照1,1a a <-≥-两类分类讨论，画出()12f x x x a =++-的折线图，图象最低点的纵坐标为5，求得6a =-或4a =解法二：由题意得125x x a ++-≥，从而1522x x a +-≥-设()()15,22x g x x a h x +=-=-()g x x a =-的图象是以(),0a 为顶点的开口向上的“V ”形图。

()1522x h x +=-的图象是以51,2⎛⎫- ⎪⎝⎭为顶点的开口向下（开口比()g x x a =-的图象开口大）的“V ”形图，且与x 轴交点的坐标为()()6,0,4,0-。

感知高考刺金271题在ABC ∆中，若tan tan tan tan tan tan A B B C C A =+，则cos C 的最小值为 ． 解：常规思路“切化弦”sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin cos sin cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos A B B C A C C A B C A B B A A B B C A C C A B C A B +⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 22222222sin sin sin 3cos 2C c A B ab a b c C a b cab=⇒=⇒+=+- 222222cos 233a b c a b C ab ab +-+==≥感知高考刺金272题在平面直角坐标系中，设,,A B C 是圆221x y +=上相异的三点，若存在正实数,λμ，使得OC OA OB λμ=+ ，则()223λμ+-的取值范围是 ．解：设()()()112200,,,,,A x y B x y C x y ，则22111x y +=，22221x y +=，22001x y += 于是由OC OA OB λμ=+ 得()()()001122,,,x y x y x y λμ=+故012012x x x y y y λμλμ=+⎧⎨=+⎩，两式平方相加得()22121212x x y y λμλμ=+++， 即22121212x x y y λμλμ--+= 又[]1212cos 1,1x x y y OA OB θ+==∈-故222221,21λμλμλμλμ++≥+-≤即1110,0λμλμλμ+≥⎧⎪-≤-≤⎨⎪>>⎩，画出可行域如图，目标函数()223λμ+-视为可行域内的点到()0,3的距离的平方，所以的最小值为222d == 所以()2232λμ+-≥感知高考刺金273题若对于满足13t -≤≤的一切实数t ，不等式0)3()3(222>-+-+-t t x t t x 恒成立，则x 的取值范围为 ．解：原不等式化为0)]3()[(2>---t x t x ，∵22211(3)3()3024t t t t t --=-+=-+->， ∴3x t <-或2x t >，∴()min 34x t <-=-或()2max 9x t >=点评：本题常规的解法应该是将t 视为主元，将x 视为系数去解，但这个关于t 的不等式是三次不等式，不好处理，所以本题的解法是将不等式因式分解后先化简，在转为恒成立问题。

感知高考刺金题
在中，若，则的最小值为．
解：常规思路“切化弦”
感知高考刺金题
在平面直角坐标系中，设是圆上相异的三点，若存在正实数，使得
，则的取值范围是．
解：设，则，，
于是由得
故，两式平方相加得，
即
又
故
即，画出可行域如图，目标函数视为可行域内的点到的距离的平方，所以的最小值为
所以
感知高考刺金题
若对于满足的一切实数，不等式恒成立，则的取值范围为．
解：原不等式化为，∵，
∴或，
∴或
点评：本题常规的解法应该是将视为主元，将视为系数去解，但这个关于的不等式是三次不等式，不好处理，所以本题的解法是将不等式因式分解后先化简，在转为恒成立问题。

这个题目的解法也可以处理浙江省年高考题。

设，若时，均有，则．
本题有很多解法前面已经介绍过，这里用本题采用的方法再来处理一次。

解：将视为关于的二次不等式，即整理为
因为，故，
当
当时，，则，所以
即，即
当时，，则，所以
即，即
综上，
感知高考刺金题
如图，在平面直角坐标系中，椭圆被围于由条直线，所围成的。

感知高考刺金361题设x ∈R ,[]x 表示不超过x 的最大整数. 若存在实数t ,使得[]1t =,22t ⎡⎤=⎣⎦,…,n t n ⎡⎤=⎣⎦同时．．成立．．,则正整数n 的最大值是 ． 解：由[]1t =得12t ≤<由22t ⎡⎤=⎣⎦得223t ≤< 由44t ⎡⎤=⎣⎦得445t ≤<,所以22t ≤由33t ⎡⎤=⎣⎦得334t ≤<,所以56t ≤<由55t ⎡⎤=⎣⎦得556t ≤<与56t ≤<,故正整数n 的最大值是4感知高考刺金362题过点()1,1M -的直线l 交圆()22:11C x y -+=于点,A B ,O 为坐标原点,若在线段AB 上的Q 满足112MA MB MQ+=,则min OQ = ． 解：设()11,A x y ,()22,B x y ,(),Q m n ,直线():11l y k x =++则11MA +,21MB +,1MQ =+ 由112MA MB MQ+=得12112111x x m +=+++ 由()()221111x y y k x ⎧-+=⎪⎨=++⎪⎩得()()()2222122210k x k k x k +++-++= 所以21222221k k x x k +-+=-+,()212211k x x k +=-+ 所以421k m =-+ 所以()42111n m m ⎛⎫=-++ ⎪+⎝⎭整理得点(),Q m n 满足的轨迹方程为210m n --=所以min OQ感知高考刺金363题如图,已知点D 为ABC ∆的边BC 上一点,3BD DC =,()*n E n ∈N 为AC 边上一列点,满足()11324n n n n n E A a E B a E D +=-+,其中数列{}n a 满足0n a >,11a =,则{}n a 的通项公式为 ．解：由3BD DC =可得1344n n n E D E B E C =+ 又()11324n n n n n E A a E B a E D +=-+,且n n E C E A λ= 故()113132444n n n n n n E D E B a E B a E D λ+⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦即()13131324164n n n n a E B a E D λλ+⎛⎫⎡⎤+=++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ 因为,n n E B E D 不共线,故()1310416313204n n a a λλ+⎧+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩,两式相除消去λ得132n n a a +=+,又11a =,所以1231n n a -=⋅-感知高考刺金364题若点A 在圆C :22(1)(2)4x y -++=上运动,点B 在y 轴上运动,则对定点(3,2)P 而言,||PA PB +的最小值为 ．解法1：设11(,)A x y ,2(0,)B y ,则112(6,4)PA PB x y y +=-+-.若设||r PA PB =+,则由题意可得222112(6)(4)x y y r -++-=.即,点A 在以2(6,4)D y -为圆心,以r 为半径的圆D :2222(6)(4)x y y r -++-=上. 由圆C 与圆D 有公共点A可得2||5r CD +≥=≥,从而3r ≥.解法2：设11(,)A x y ,2(0,)B y ,则112(6,4)PA PB x y y +=-+-.从而,1||(63PA PB x x +=≥=-≥.解法3：由点A 在圆C 上可设(12cos ,22sin )A θθ+-+,(0,)B t ,则(2cos 5,2sin 6)PA PB t θθ+=-+-.故||(2cos 52cos 3PA PB θ+=≥=-≥. 解法4：设Q 为AB 的中点,则2PA PB PQ +=,过,,P Q A 作y 轴的垂线,垂足分别为',','P Q A .由于13|'||||'||||'|||22PP PQ QQ PQ AA PQ ≤+=+≤+, 因此33|||'|22PQ PP ≥-=,即||2||3PA PB PQ +=≥. 解法5：设'B 为点B 关于点P 的对称点,则|||'||'|PA PB PA PB B A +=-=.由于点'B 在直线6x =上,点A 在圆C :22(1)(2)4x y -++=上可得|'|523B A ≥-=.解法6：同解法5,设'A 为点A 关于点P 的对称点,则|||'||'|PA PB PB PA A B +=-=.由于点'A 在圆'C :22(5)(6)4x y -+-=上,点B 在y 轴上可得|'|523A B ≥-=感知高考刺金365题设实数,x y 满足2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩,则112u x y =+的取值范围为 ． 解：可行域如图所示,()1,2A ,()4,2B ,()3,1C ,所以14,12x y ≤≤≤≤设点(),P x y 是可行域内一动点, 目标函数112u x y=+既是关于x 的减函数,又是关于y 的减函数 所以当点P 与点C 重合时,此时x 取得最大值4,同时y 取得最大值2,此时u 取得最小值为1114222+=⋅ 对于每一个固定的y 的值,要使u 取得最大值,应使x 取得最小值,即点P 应位于线段AB 上,此时()5212x y y =-≤≤()()111152522252u y x y y y y y =+=+=--()12y ≤≤ 所以()max 54u y =,此时()1,2P 与点A 重合 综上所述,1524u ≤≤。

感知高考刺金261题在ABC ∆中，D 是边AC 上一点，6AB AC ==，4AD =，若ABC ∆的外心O 恰在线段BD 上，则BC = ．解：设()()2113AO AB AD AB AC λλλλ=+-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r因为ABC ∆是等腰三角形，故()213λλ=-，即25λ=故有2355AO AB AC =+u u u ru u ur u u u r 再对上式两边同时与AB u u u r 作数量积，有2355AO AB AB AC AB ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g ，得1cos 4A =故由余弦定理得2222cos 54BC AB AC AB AC A =+-=g即36BC =点评：本题的一个难点在于从等腰三角形想到AO u u u r 在,AB AC u u u r u u u r方向的分量一样，即系数一致求出λ。

其次还是向量与外心合作的老套路——点积转边长。

感知高考刺金262题已知平面α和β相交形成的四个二面角中的其中一个为60o ，则在空间中过某定点P 与这两个平面所成的线面角均为30o 的直线l 有 条． 解：设平面α和平面β过点P 的法线（垂直于平面的直线）分别为,m n ，则,60m n =o而直线l 与两个平面所成的线面角均为30o 可转化为直线l 与法线,m n 所成的角均为60o由“鸡爪定理”可知，直线l 与法线,m n 所成角为60o 的直线有3条。

点评：平面的法向量是平面方向的代表。

“鸡爪定理”：如图，若直线,m n 所成角为θ，则与直线,m n 所成角相同的直线l 一定在直线,m n 的角平分面上，且该角的取值范围是,22θπ⎡⎤⎢⎥⎣⎦和,22πθπ-⎡⎤⎢⎥⎣⎦其中2θ与2πθ-就是直线l 正好为直线,m n 的两条角平分线时，2π就是垂直时取得。

感知高考刺金201题
解析几何模块4．已知曲线C 的方程221x y +=，()2,0A -，存在一定点()(),02B b b ≠-和常数λ，对曲线C 上的任意一点(),M x y ，都有MA MB λ=成立，则点(),P b λ到直线()220m n x ny n m ++++=的最大距离为 ． 解法一：由MA MB λ=得()()222222x y x b y λ⎡⎤++=-+⎣⎦
即()()()
222222211244x y b x b λλλλ-+--+=- 故2222240411
b b λλλ⎧+=⎪⎨-=⎪-⎩，将22b λ=-代入22241b λλ-=-得22520b b ++=，得12b =-，2λ= 又直线()220m n x ny n m ++++=恒过定点()2,0-，所以由几何性质知点1,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭
到直线()220m n x ny n m ++++=的最大距离为点()2,0-与1,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭的距离为52 解法二：作为小题，由MA MB λ=知是阿氏圆轨迹，故取圆22:1C x y +=直径上的两个点()()1,0,1,0-，即可得1311b b λ==+-，解得12
b =-，2λ= 感知高考刺金202题
解析几何模块5．已知M 是28x y =的对称轴和准线的交点，点N 是其焦点，点P 在该抛物线上，且满足PM m PN =，当m 取得最大值时，点P 恰在以M 、N 为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为 ．
解：作''PP M P ⊥，由抛物线定义'PP PN =
'1cos PN PP PM m PN m PM PM
θ=⇒===，其中'MPP NMP θ=∠=∠。

感知高考刺金351题对任意实数11,2x y >>，不等式()()222241211x y a y a x +≥--恒成立，则实数a 的最大值为 ．解：令10,210m x n y =->=-> 则()()2222221142121448211m n x y m m n n m n y x n m n m n m+++++++=+=+≥+≥-- 当且仅当1m n ==，即2,1x y ==时取得等号。

故222min48211x y a y x ⎛⎫≤+= ⎪--⎝⎭，即a -≤点评：本题因为分母比较复杂不整洁，所以将分母进行换元是常见的方法。

感知高考刺金352题若向量,a b 满足2241a a b b ++= ，则2a b + 的最大值为 。

解：由极化恒等变形得 22222282a b a b a b ++-=+ ，22228a b a b a b +--= 故22222222128a b a b a b a b ++-+--+= 即225232188a b a b +-+= 即223288255a b a b -+=-≤ 故2a b +≤感知高考刺金353题已知函数()()20f x ax bx c a =++≠，且a b <。

()0f x ≥对x ∀∈R 恒成立，则24a b c M b a++=-的最小值为。

解法一：齐次化思想根据条件有0,0a >∆≤，则1b a <≤因此443324221c c a b c a b b a a ++++=+≥--12t >，则()()224434242182121a b c t t b a t t +++≥+=+-+≥--- 解法二：由题意可知240b ac ∆=-≤，即24ac b ≥()()222222424242a a b c a b c a ab ac a ab b M b a a b a ab a ab a ++++++++===≥---- 此时已经转成齐次式了，所以分子分母同除2a 则2222221414811a ab b t t M t ab a t t ++++≥==-++≥--- 当且仅当3b t a==及24ac b =时，即93,4a b a c ==时取得。