江苏省扬州市2018届高三第二次调研(二模)测试数学试题答案

江苏扬州市2018--2018学年度第二学期调研测试高三数学试题注意事项：本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1． 设集合{}10M x x =-≥，{}||2N x x =<，若R U =，则()U MN ð等于A ．(2,1]-B ．(2,1)-C ．(,1)[2,)-∞-+∞ D ．(,2)-∞2． 若平面向量b 与a (1,2)=-的夹角是180，且||=b ，则b 等于A ．(3,6)-B ．(3,6)-C ．(6,3)-D ．(6,3)- 3． 已知等差数列{}n a 的公差为2，且134,,a a a 成等比数列，则2a 等于A ．4-B ．8-C ．10-D ．6- 4． 函数2sin(2)6y x π=-(0)x π≤≤的递减区间是A ．[0,]3πB ．7[,]1212ππC ．5[,]36ππD ．5[,]6ππ5． 已知α、β表示不同的平面，m 、n 表示不同的直线，则下列命题中不．正确的是 A ．若m ⊥α，n α⊂，则m n ⊥ B ．//m n ，m α⊥，则n α⊥ C ．若//m α，n αβ=，则//m nD ．若m ⊥α，n ⊥α，则//m n6． 若R ∈λ，则“3λ>”是“方程13322=+--λλy x 表示双曲线”的 A ．充分不必要条件 B ． 必要不充分条件 C ．充要条件 D ． 既不充分又不必要条件7． 在球面上有A 、B 、C 三点，如果AB BC CA ===，且球心O 到平面ABC 的距离是3 cm ，则球的表面积是A ．25π cm 2B ．50πcm 2C ．100πcm 2D ．5003π cm 2 8． 已知抛物线1C ：22x y =与抛物线2C 关于直线y x =对称，则2C 的准线方程是A ．81-=x B ．21=x C ． 81=x D ． 21-=x 9． 函数112y x =--的图象沿向量a 平移可得函数1y x=的图象，则a 为 A ．(2,1) B ．(2,1)- C ．(2,1)-- D ．(2,1)-10． 在6张卡片上分别写上数字0，1，2，3，4，5，然后把它们混合，再任意排成一行，组成最高位不为0的6位数，则能被5整除的概率为 A ．0.2 B ．0.3 C ．0.36 D ．0.4611． 设函数()f x 有性质：①()()()2121x f x f x x f ⋅=+；②()()()2121x f x f x x f +=⋅；③()()12120f x f x x x -<-；④()()1212()22f x f x x xf ++<． 则在下面所给四个函数中，能同时满足以上三个性质的函数是A ．()x f x π=B ．()2x f x =-C ．()ln f x x =D ．()lg f x x =-12． 通讯中常采取重复发送信号的方法来减少在接受中可能发生的错误．假定发报机只发0和1两种信号，接受时发生错误是0接受为1或1接受为0，它们发生的概率都是0．1，为减少错误，采取每一种信号连发3次，接受时以“少数服从多数”的原则判断，则判错一个信号的概率为A ．0.028B ．0.001C ．0.009D ．0.03二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 13． 函数3log (2)y x =-的反函数是 ☆ ．14． 在条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤≤≤≤12020x y y x 下， 3z x y =-的最大值是 ☆ ．15． 圆2240x y x +-=在点(1P 处的切线方程为 ☆ ．16． 正三棱锥的侧面均为直角三角形，则它的侧面与底面所成角的余弦值是 ☆ ． 17． 已知数列{}n a 满足递推关系式1221n n n a a +=+-，*()n N ∈，且{}2n n a λ+为等差数列，则λ的值是 ☆ ．18． 假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第18列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的5袋牛奶的编号 ．（下面摘取了一随机数表的第7行至第9行） ……84 42 17 53 31 57 24 55 18 88 77 18 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 18 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 18 44 39 62 58 79 73 21 12 34 29 78 64 56 18 82 52 42 18 44 38 15 51 00 13 42 99 66 18 79 54 ……三、解答题（本大题共5小题，共66分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）.19． （本题满分12分）数列{}n a 的前项n 和记为n S ，数列{}nS n是首项为2，公比也为2的等比数列． （Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）若数列{}2nna 的前n 项和不小于100，问此数列最少有多少项？ 20． （本题满分12分）如图，摩天轮的半径为40ｍ，点O 距地面的高度为50ｍ，摩天轮做匀速转动，每3min 转一圈，摩天轮上的点P 的起始位置在最低点处．（Ⅰ）已知在时刻t （min ）时点P 距离地面的高度()sin()f t A t h ωϕ=++，求2018min时点P 距离地面的高度；（Ⅱ）求证：不论t 为何值，()(1)(2)f t f t f t ++++是定值．21． （本题满分14分）如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1， M 是棱AB 的中点． （Ⅰ）求CD 与平面AC D 1所成的角； （Ⅱ）求证：平面B 1C D 1⊥平面B 1CM ； （Ⅲ）求点A 1到平面B 1CM 的距离．22． （本题满分14分）已知P 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>上异于长轴端点的任意一点，A 为长轴的左端点，F 为椭圆的右焦点，椭圆的右准线与x 轴、直线AP 分别交于点K 、M ，3AF FK =．（Ⅰ）若椭圆的焦距为6，求椭圆C 的方程； （Ⅱ）若0AP PF ⋅=，求证：2AP PM =．1111A B C D M D CBA23． （本题满分14分）已知函数||1y x =+，y =，11()2t y x x-=+(0)x >的最小值恰好是方程320x ax bx c +++=的三个根，其中01t <<．（Ⅰ）求证：223a b =+；（Ⅱ）设1(,)x M ，2(,)x N 是函数32()f x x ax bx c =+++的两个极值点．①若122||3x x -=，求函数()f x 的解析式； ②求||M N -的取值范围．参考答案16 17．1- 18．719，180，717，512，358， 19．解：（Ⅰ）由题意n n n nS 2221=⋅=-， ∴n n n S 2⋅=． …………………………………………………………………2分当2≥n 时，1--=n n n S S a =()()1121212--+=--⋅n n n n n n ， …………………4分 又当1=n 时，211==S a ，适合上式，∴()121-+=n n n a ． …………………………………………………………………6分（Ⅱ）∵212+=n a nn ， ∴ 数列1{}2n +是首项为1，公差为12的等差数列，…………………………………8分 其前n 项和为()112n n n +-，故()100121≥-+n n n ，……………………………10分2002≥+n n ，得211()20024n +≥+，满足它的最小整数是14，即此数列最少有14项． …………………………………12分 20．（Ⅰ）解一：依题意，40A =，50h =，3T =，则23πω=，且(0)10f =，故2πϕ=-， ……………………………………2分∴ 2()40sin()5032f t t ππ=-+(0)t ≥． ………………………………………4分 2(2006)40sin(2006)5032f ππ=⨯-+70=． ……………………………………6分解二：200636682=⨯+，故第2018min 时点P 所在位置与第2min 时点P 所在位置相同，即从起点转过23圈，其高度为70m ．（Ⅱ）由（1）知22()40sin()505040cos()323f t t t πππ=-+=-(0)t ≥． ∴ ()(1)(2)f t f t f t ++++22215040cos()40cos[(1)]40cos[(2)]333t t t πππ=--+-+2222415040cos()40[cos()cos()]33333t t t πππππ=--+++22215040cos()402cos cos 333t t πππ=--⨯⨯150=是定值． …………………………………………………………………………12分21．（Ⅰ）解法1：由于ACD CD D ∠=∠1，∴CD 在平面ACD 1上的射影是1ACD ∠的角平分线，…………………………………2分∴由 θcos 30cos 45cos 0=，得36cos =θ， 即CD 与平面AC D 1所成的角为36arccos =θ； …………………………………4分解法2：作、证、算得36arccos =θ；解法3：建立图示空间直角坐标系，33,cos 1=〉〈DB ， ∴33arccos 2-=πθ．（Ⅱ）证法1：易得二面角B —B 1C —D 1的平面角0190=∠BOD ， ………………7分∴平面B 1C D 1⊥平面B 1CM ； ……………………………9分证法2：由⊥1AC 平面B 1C D 1，MO ∥AC 1， 可得证； 证法3：求出平面B 1CM 的一个法向量()1,2,1--=，由01=⋅AC (∵1AC ⊥平面B 1C D 1)，从而得到平面B 1CM ⊥平面B 1C D 1． （Ⅲ）解法1：由M B A C CM B A V V 1111--=，得点A 1到平面B 1CM 的距离36=d ；……………………………………………14分 解法2：用向量求1||||n AC d n ⋅==36． 22．（Ⅰ）解一：由3AF FK =得，233(3)3a a +=-，4a =，………………………2分∴ 2227b a c =-=，…………………………………………………………………4分 从而椭圆方程是221167x y +=．…………………………………………………………6分 解二：记22b a c -=，由3AF FK =， 得2()()33a a c a c a c c c c ⎛⎫+-+=-= ⎪⎝⎭， ∵0a c +>，∴ 34a c =，………………………………………………………2分又26c =，3c =，∴ 2227b a c =-=，…………………………………………4分 从而椭圆方程是221167x y +=． ………………………………………………………6分 （Ⅱ）解一：点(,)p p P x y 同时满足22221x y a b+=和2()()0x a x c y +-+= 消去2y 并整理得：222322()0c x a a c x a c a b +--+=，……………………………8分 此方程必有两实根，一根是点A 的模坐标a -，另一根是点P 的模坐标p x ，3222p a c a b a x c -+-⋅=，222p a c ab x c-=，…………………………………………10分 ∴ 2222222()p A a c ab a c ac ab x x a c c -+--=--=， 222222M P a a c ab ab x x c c c --=-= ∴ 2222||2||||||||P A M Px x AP a c ac ab c a x x ab a c PM -+--===--，…………………………12分 由34c a =代入上式可得||2||AP PM =． ∴ 2A P P M =．2λ=．………………………………………………14分 解二：由（Ⅰ）3AF FK =，34a c =，可设4a t =，3c t =，则b ，椭圆方程可为22221167x y t t+=，即222716112x y t +=，…………………………8分 设直线AM 的方程为(4)y k x t =+（k 存在且0≠k ），代入222716112x y t +=，整理得222222(167)1282561120k x k tx k t t +++-=，…………………………10分 此方程两根为A 、P 两点的横坐标，由韦达定理22222561124167P k t t t x k --⋅=+，226428167P k t tx k -+=+ ∴ 226428167P k t tx k -+=+，从而256167Pkt y k =+． 由于=PF k 03P P y x t --=28116k k-1k =-，218k =， …………………………12分25616||42||2843||37P M AP x t tk x t AM t +===++∴ 2A PP M =．2λ=． ………………………………………………14分 23．解：（Ⅰ）三个函数的最小值依次为1，…………………… …2分由(1)0f =，得1c a b =---∴ 3232()(1)f x x ax bx c x ax bx a b =+++=++-++2(1)[(1)(1)]x x a x a b =-+++++，故方程2(1)(1)0xa x ab +++++=(1)a=-+1a b ++．……………………………3分22(1)a =+，即222(1)(1)a b a +++=+∴ 223a b =+． ………………………………………………………………………4分（Ⅱ）①依题意12,x x 是方程2'()320f x x ax b =++=的根，故有1223a x x +=-，123bx x =，且△2(2)120a b =->，得3b <．由12||33x x -===6分23=；得，2b =，2237a b =+=．(1)0a =-+>，故1a <-，∴ a =(1)3c a b =-++=∴ 32()23f x x x =+．………………………………………………8分②12|||()()|M N f x f x -=-3322121212|()()()|x x a x x b x x =-+-+-212121212|||()()|x x x x x x a x x b =-⋅+-+++222|()()|333a b aa b =--+⋅-+ 324(3)27b =-（或32249()272a -）． ………………………………………………10分由（Ⅰ）22(1)2a +==+∵ 01t <<， ∴ 22(1)4a <+<， 又1a <-，∴ 21a -<+<，31a -<<，239a +<<3b <） …………………………12分∴3240||(327M N <-<． (14)分。

2018届高三模拟考试试卷(十三)数学2018．3(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：柱体的体积公式V柱体＝Sh，其中S为柱体的底面积，h为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合U＝{－1，0，1，2，3}，A＝{－1，0，2}，则∁U A＝________．2. 已知复数z1＝a＋i，z2＝3－4i，其中i为虚数单位．若z1z2为纯虚数，则实数a的值为________．3. 某班40名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间[40，100]上，其频率分布直方图如图所示，则成绩不低于60分的人数为________．(第3题) (第4题)4. 如图是一个算法流程图，则输出的S的值为________．5. 在长为12 cm的线段AB上任取一点C，以线段AC，BC为邻边作矩形，则该矩形的面积大于32 cm2的概率为________．6. 在△ABC中，已知AB＝1，AC＝2，B＝45°，则BC的长为________．7. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 与双曲线x 2－y 23＝1有公共的渐近线，且经过点P(－2，3)，则双曲线C 的焦距为________．8. 在平面直角坐标系xOy 中，已知角α，β的始边均为x 轴的非负半轴，终边分别经过点A(1，2)，B(5，1)，则tan(α－β)的值为________．9. 设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 3，S 9，S 6成等差数列，且a 8＝3，则a 5的值为________． 10. 已知a ，b ，c 均为正数，且abc ＝4(a ＋b)，则a ＋b ＋c 的最小值为________． 11. 在平面直角坐标系xOy 中，若动圆C 上的点都在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，x －3y ＋3≥0，x ＋3y ＋3≥0表示的平面区域内，则面积最大的圆C 的标准方程为______________．12. 设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x －12，x ＞0，x 3－3mx －2，x ≤0(其中e 为自然对数的底数)有3个不同的零点，则实数m 的取值范围是________．13. 在平面四边形ABCD 中，已知AB ＝1，BC ＝4，CD ＝2，DA ＝3，则AC →·BD →的值为________． 14. 已知a 为常数，函数f(x)＝x a －x 2－1－x 2的最小值为－23，则a 的所有值为________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，设向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(－sin β，cos β)，c ＝(－12，32)．(1) 若|a ＋b|＝|c|，求sin(α－β)的值；(2) 设α＝5π6，0＜β＜π，且a ∥(b ＋c )，求β的值．16. (本小题满分14分)如图，在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，AB ＝AC ，点E ，F 分别在棱BB 1，CC 1上(均异于端点)，且∠ABE ＝∠ACF ，AE ⊥BB 1，AF ⊥CC 1.求证：(1) 平面AEF ⊥平面BB 1C 1C ； (2) BC ∥平面AEF.17. (本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，B 1，B 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的短轴端点，P 是椭圆上异于点B 1，B 2的一动点．当直线PB 1的方程为y ＝x ＋3时，线段PB 1的长为42.(1) 求椭圆的标准方程；(2) 设点Q 满足：QB 1⊥PB 1，QB 2⊥PB 2.求证： △PB 1B 2与△QB 1B 2的面积之比为定值．18. (本小题满分16分)将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100 dm 2的矩形薄铁皮(如图)，并沿虚线l1，l2裁剪成A，B，C三个矩形(B，C全等)，用来制成一个柱体．现有两种方案：方案①：以l1为母线，将A作为圆柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面；方案②：以l2为侧棱，将A作为正四棱柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个正方形(各边分别与l1或l2垂直)作为正四棱柱的两个底面．(1) 设B，C都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面半径；(2) 设l1的长为x dm，则当x为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？19. (本小题满分16分)设等比数列a1，a2，a3，a4的公比为q，等差数列b1，b2，b3，b4的公差为d，且q≠1，d ≠0.记c i＝a i＋b i(i＝1，2，3，4)．(1) 求证：数列c1，c2，c3不是等差数列；(2) 设a1＝1，q＝2.若数列c1，c2，c3是等比数列，求b2关于d的函数关系式及其定义域；(3) 数列c1，c2，c3，c4能否为等比数列？并说明理由．20. (本小题满分16分) 设函数f(x)＝x －asin x(a ＞0)．(1) 若函数y ＝f(x)是R 上的单调增函数，求实数a 的取值范围；(2) 设a ＝12，g(x)＝f(x)＋bln x ＋1(b ∈R ，b ≠0)，g ′(x)是g(x)的导函数．① 若对任意的x ＞0，g ′(x)＞0，求证： 存在x 0，使g(x 0)＜0； ② 若g(x 1)＝g(x 2)(x 1≠x 2)，求证： x 1x 2＜4b 2.2018届高三模拟考试试卷(十三) 数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修41：几何证明选讲)如图，A ，B ，C 是圆O 上的3个不同的点，半径OA 交弦BC 于点D.求证：DB ·DC ＋OD 2＝OA 2.B. (选修42：矩阵与变换)在平面直角坐标系xOy 中，已知A(0，0)，B(3，0)，C(2，2)．设变换T 1，T 2对应的矩阵分别为M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1002，矩阵N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2001，求对△ABC 依次实施变换T 1，T 2后所得图形的面积．C. (选修44：坐标系与参数方程)在极坐标系中，求以点P(2，π3)为圆心且与直线l ：ρsin(θ－π3)＝2相切的圆的极坐标方程．D. (选修45：不等式选讲)已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝12，求证：1－a ＋c c （a ＋2b ）≥2.【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 在某公司举行的年终庆典活动中，主持人利用随机抽奖软件进行抽奖：由电脑随机生成一张如图所示的3×3表格，其中1格设奖300元，4格各设奖200元，其余4格各设奖100元，点击某一格即显示相应金额．某人在一张表中随机不重复地点击3格，记中奖总金额为X 元．(1) 求概率P(X ＝600)；(2) 求X 的概率分布及数学期望E(X)．23. 已知(1＋x)2n ＋1＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n ＋1x 2n ＋1，n ∈N *.记T n ＝(2k ＋1)a n －k .(1) 求T 2的值；(2) 化简T n 的表达式，并证明：对任意的n ∈N *，T n 都能被4n ＋2整除．2018届高三模拟考试试卷(十三)(六市联考)数学参考答案及评分标准1. {1，3}2. 433. 304. 1255. 13 6.2＋627. 43 8. 979. －6 10. 811. (x －1)2＋y 2＝4 12. (1，＋∞) 13. 10 14. 4，1415. 解：(1) 因为a ＝(cos α，sin α)，b ＝(－sin β，cos β)，c ＝(－12，32)，所以|a|＝|b|＝|c|＝1，且a ·b ＝－cos αsin β＋sin αcos β＝sin(α－β)．(3分) 因为|a ＋b|＝|c|，所以|a ＋b|2＝c 2，即a 2＋2a ·b ＋b 2＝1， 所以1＋2sin(α－β)＋1＝1，即sin(α－β)＝－12.(6分)(2) 因为α＝5π6，所以a ＝(－32，12)．故b ＋c ＝(－sin β－12，cos β＋32)．(8分)因为a ∥(b ＋c )，所以－32(cos β＋32)－12(－sin β－12)＝0.化简得12sin β－32cos β＝12，所以sin(β－π3)＝12.(12分)因为0<β<π，所以－π3<β－π3<2π3.所以β－π3＝π6，即β＝π2.(14分)16. 证明：(1) 在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，BB 1∥CC 1. 因为AF ⊥CC 1，所以AF ⊥BB 1.(2分) 又AE ⊥BB 1，AE ∩AF ＝A ，AE ，AF ⊂平面AEF ，所以BB 1⊥平面AEF.(5分) 因为BB 1⊂平面BB 1C 1C ，所以平面AEF ⊥平面BB 1C 1C.(7分) (2) 因为AE ⊥BB 1，AF ⊥CC 1，∠ABE ＝∠ACF ，AB ＝ AC ， 所以Rt △AEB ≌Rt △AFC.所以BE ＝CF.(9分)又由(1)知，BE ∥CF ，所以四边形BEFC 是平行四边形．故BC ∥EF.(11分) 又BC ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，所以BC ∥平面AEF.(14分)17. 解：设P(x 0，y 0)，Q(x 1，y 1)．(1) 在y ＝x ＋3中，令x ＝0，得y ＝3，从而b ＝3.(2分) 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y29＝1，y ＝x ＋3得x 2a 2＋（x ＋3）29＝1，所以x 0＝－6a 29＋a2.(4分)因为PB 1＝x 20＋（y 0－3）2＝2|x 0|, 所以42＝2·6a 29＋a2，解得a 2＝18. 所以椭圆的标准方程为x 218＋y 29＝1.(6分)(2) (方法1)直线PB 1的斜率为kPB 1＝y 0－3x 0，由QB 1⊥PB 1，所以直线QB 1的斜率为kQB 1＝－x 0y 0－3.于是直线QB 1的方程为y ＝－x 0y 0－3x ＋3.同理，QB 2的方程为y ＝－x 0y 0＋3x －3.(8分) 联立两直线方程，消去y ，得x 1＝y 20－9x 0.(10分)因为P(x 0，y 0)在椭圆x 218＋y 29＝1上，所以x 2018＋y 209＝1，从而y 20－9＝－x 202.所以x 1＝－x 02.(12分)所以S △PB 1B 2S △QB 1B 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0x 1＝2.(14分)(证法2)设直线PB 1，PB 2的斜率为k ，k ′，则直线PB 1的方程为y ＝kx ＋3. 由QB 1⊥PB 1，直线QB 1的方程为y ＝－1kx ＋3.将y ＝kx ＋3代入x 218＋y 29＝1，得(2k 2＋1)x 2＋12kx ＝0，因为P 是椭圆上异于点B 1，B 2的点，所以x 0≠0，从而x 0＝－12k2k 2＋1.(8分)因为P(x 0，y 0)在椭圆x 218＋y 29＝1上，所以x 2018＋y 209＝1，从而y 20－9＝－x 202.所以k ·k ′＝y 0－3x 0·y 0＋3x 0＝y 20－9x 20＝－12，得k ′＝－12k .(10分)由QB 2⊥PB 2，所以直线QB 2的方程为y ＝2kx －3. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k x ＋3，y ＝2kx －3则x ＝6k 2k 2＋1，即x 1＝6k 2k 2＋1.(12分)所以S △PB 1B 2S △QB 1B 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0x 1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12k2k 2＋16k 2k 2＋1＝2.(14分)18. 解：(1) 设所得圆柱的半径为r dm, 则(2πr ＋2r)×4r ＝100，(4分) 解得r ＝52（π＋1）2（π＋1）.(6分)(2) 设所得正四棱柱的底面边长为a dm ，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤x2，a ≤100x －4a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤x2，a ≤20x .(9分)(方法1)所得正四棱柱的体积V ＝a 2x ≤⎩⎪⎨⎪⎧x 34，0<x ≤210，400x ，x>210.(11分)记函数p(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 34，0<x ≤210，400x ，x>210，则p(x)在(0，210]上单调递增，在[210，＋∞)上单调递减， 所以当x ＝210时，p max (x)＝2010.所以当x ＝210，a ＝10时，V max ＝2010 (dm 3)．(14分)(方法2)2a ≤x ≤20a ，从而a ≤10.(11分)所得正四棱柱的体积V ＝a 2x ≤a 2(20a)＝20a ≤2010.所以当a ＝10，x ＝210时，V max ＝2010 (dm 3)．(14分)答：(1) 圆柱的底面半径为52（π＋1）2（π＋1） dm ；(2) 当x 为210时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大．(16分)【评分说明】① 直接“由x ·(2x ＋x2)＝100得x ＝210时正四棱柱的体积最大”给2分；② 方法1中的求解过程要体现V ≤p(x)≤210，凡写成V ＝p(x)≤210的最多得5分，其他类似解答参照给分．19. (1) 证明：假设数列c 1，c 2，c 3是等差数列，则2c 2＝c 1＋c 3，即2(a 2＋b 2)＝(a 1＋b 1)＋(a 3＋b 3)．因为b 1，b 2，b 3是等差数列，所以2b 2＝b 1＋b 3，从而2a 2＝a 1＋a 3.(2分)因为a 1，a 2，a 3是等比数列，所以a 22＝a 1a 3. 所以a 1＝a 2＝a 3，这与q ≠1矛盾，从而假设不成立． 所以数列c 1，c 2，c 3不是等差数列．(4分) (2) 解：因为a 1＝1，q ＝2，所以a n ＝2n －1.因为c 22＝c 1c 3，所以(2＋b 2)2＝(1＋b 2－d)(4＋b 2＋d)，即b 2＝d 2＋3d.(6分)由c 2＝2＋b 2≠0，得d 2＋3d ＋2≠0，所以d ≠－1且d ≠－2.又d ≠0，所以b 2＝d 2＋3d ，定义域为{d ∈R |d ≠－1，d ≠－2，d ≠0}．(8分)(3) 解：(解法1)设c 1，c 2，c 3，c 4成等比数列，其公比为q 1，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋b 1＝c 1 ①，a 1q ＋b 1＋d ＝c 1q 1②，a 1q 2＋b 1＋2d ＝c 1q 21 ③，a 1q 3＋b 1＋3d ＝c 1q 31④.(10分)将①＋③－2×②，得a 1(q －1)2＝c 1(q 1－1)2 ⑤，将②＋④－2×③，得a 1q(q －1)2＝c 1q 1(q 1－1)2 ⑥，(12分) 因为a 1≠0，q ≠1，由⑤得c 1≠0，q 1≠1. 由⑤⑥得q ＝q 1，从而a 1＝c 1.(14分)代入①得b 1＝0. 再代入②得d ＝0，与d ≠0矛盾． 所以c 1，c 2，c 3，c 4不成等比数列．(16分)(解法2)假设数列c 1，c 2，c 3，c 4是等比数列，则c 2c 1＝c 3c 2＝c 4c 3.(10分)所以c 3－c 2c 2－c 1＝c 4－c 3c 3－c 2，即a 3－a 2＋d a 2－a 1＋d ＝a 4－a 3＋d a 3－a 2＋d .两边同时减1，得a 3－2a 2＋a 1a 2－a 1＋d ＝a 4－2a 3＋a 2a 3－a 2＋d .(12分)因为等比数列a 1，a 2，a 3，a 4的公比为q(q ≠1)，所以a 3－2a 2＋a 1a 2－a 1＋d ＝q （a 3－2a 2＋a 1）a 3－a 2＋d.又a 3－2a 2＋a 1＝a 1(q －1)2≠0，所以q(a 2－a 1＋d)＝a 3－a 2＋d ，即(q －1)d ＝0.(14分) 这与q ≠1，且d ≠0矛盾，所以假设不成立． 所以数列c 1，c 2，c 3，c 4不能为等比数列．(16分)20. (1) 解：由题意，f ′(x)＝1－acos x ≥0对x ∈R 恒成立． 因为a>0，所以1a≥cos x 对x ∈R 恒成立．因为(cos x)max ＝1，所以1a≥1，从而0<a ≤1.(3分)(2) 证明：① g(x)＝x －12sin x ＋bln x ＋1，所以g ′(x)＝1－12cos x ＋bx .若b<0，则存在－b 2>0，使g ′(－b 2)＝－1－12cos(－b2)<0，不合题意，所以b>0.(5分)取x 0＝e －3b，则0<x 0<1.此时g(x 0)＝x 0－12sin x 0＋bln x 0＋1<1＋12＋bln e －3b ＋1＝－12<0.所以存在x 0>0，使g(x 0)<0.(8分)② 依题意，不妨设0<x 1<x 2，令x 2x 1＝t ，则t>1.由(1)知函数y ＝x －sin x 单调递增，所以x 2－sin x 2>x 1－sin x 1. 从而x 2－x 1>sin x 2－sin x 1. (10分)因为g(x 1)＝g(x 2)，所以x 1－12sin x 1＋bln x 1＋1＝x 2－12sin x 2＋bln x 2＋1，所以－b(ln x 2－ln x 1)＝x 2－x 1－12(sin x 2－sin x 1)>12(x 2－x 1)，所以－2b>x 2－x 1ln x 2－ln x 1>0.(12分)下面证明x 2－x 1ln x 2－ln x 1>x 1x 2，即证明t －1ln t>t ，只要证明ln t －t －1t<0 (*)．设h(t)＝ln t －t －1t (t>1)，所以h ′(t)＝－（t －1）22t t <0在(1，＋∞)上恒成立．所以h(t)在(1，＋∞)上单调递减，故h(t)<h(1)＝0，从而(*)得证．所以－2b>x 1x 2， 即x 1x 2<4b 2.(16分)2018届高三模拟考试试卷(十三)(六市联考)数学附加题参考答案及评分标准21. A. 证明：延长AO 交圆O 于点E ，则BD ·DC ＝DE ·DA ＝(OD ＋OE)·(OA －OD)．(5分) 因为OE ＝OA ，所以DB ·DC ＝(OA ＋OD)·(OA －OD)＝OA 2－OD 2. 所以DB ·DC ＋OD 2＝OA 2.(10分)B. 解：依题意，依次实施变换T 1，T 2所对应的矩阵NM ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 00 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 00 2.(5分)则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 00 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤00＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤00，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 00 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤30＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤60，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 00 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤44. 所以A(0，0)，B(3，0)，C(2，2)分别变为点A ′(0，0)，B ′(6，0)，C ′(4，4)． 从而所得图形的面积为12×6×4＝12.(10分)C. 解：以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系xOy. 则点P 的直角坐标为(1，3)．(2分)将直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2的方程变形为ρsin θcos π3－ρcos θsin π3＝2，化为普通方程，得3x －y ＋4＝0.(5分)所以P(1，3)到直线l ：3x －y ＋4＝0的距离为4（3）2＋（－1）2＝2.故所求圆的普通方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4.(8分)化为极坐标方程，得ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6.(10分)D. 证明：因为a ，b ，c 为正实数，所以1－a ＋c c （a ＋2b ）＝a ＋2b ＋3c c （a ＋2b ）＝（a ＋c ）＋2（b ＋c ）ac ＋2bc ≥2ac ＋4bcac ＋2bc＝2(当且仅当a ＝b ＝c 取“＝”)．(10分)22. 解：(1)从3×3表格中随机不重复地点击3格，共有C 39种不同情形， 则事件“X ＝600”包含两类情形： 第一类是3格各得奖200元；第二类是1格得奖300元，1格得奖200元，1格得奖100元．其中第一类包含C 34种情形，第二类包含C 11·C 14·C 14种情形， 所以P(X ＝600)＝C 34＋C 11·C 14·C 14C 39＝521.(3分)(2) X 的所有可能值为300，400，500，600，700，则P(X ＝300)＝C 34C 39＝484＝121，P(X ＝400)＝C 11·C 24C 39＝2484＝27，P(X ＝500)＝C 11·C 24＋C 14·C 24C 39＝3084＝514，P(X ＝700)＝C 11·C 24C 39＝684＝114.所以X 的概率分布列为所以E(X)＝300×121＋400×27＋500×514＋600×521＋700×114＝500.(10分)23. 解：由二项式定理，得a i＝C i2n＋1(i＝0，1，2，…，2n＋1)．(1) T2＝a2＋3a1＋5a0＝C25＋3C15＋5C05＝30.(2分)(2) 因为(n＋1＋k)C n＋1＋k2n＋1＝(n＋1＋k)·（2n＋1）！（n＋1＋k）！（n－k）！＝（2n＋1）·（2n）！（n＋k）！（n－k）！＝(2n＋1)C n＋k2n，(4分)（8分）T n＝(2n＋1)C n2n＝(2n＋1)(C n－12n－1＋C n2n－1)＝2(2n＋1)C n2n－1.因为C n2n－1∈N*，所以T n能被4n＋2整除．(10分)。

江苏六市2018届高三第二次调研测试数学I 参考答案及评分建议一、填空题：1．{}13， 2．43 3．30 4．125 5．13 6 7． 8．97 9．6- 10．811．22(1)4x y -+= 12．()1+∞， 13．10 14．14，二、解答题：15．（1）因为()cos sin αα=，a ，()sin cos ββ=-，b ，()1=-c ，所以1===a b c ，且cos sin sin cos sin ()αβαβαβ⋅=-+=-a b ． …… 3分 因为+=a b c ，所以22+=a bc ，即a 2 + 2 a ⋅b + b 2= 1，所以12sin ()11αβ+-+=，即1sin ()2αβ-=-． …… 6分（2）因为5π6α=，所以()12=，a ．故()1sin cos 2ββ+=--，b c ． … 8分因为()//+a b c ，所以)()11cos sin 0ββ---=．化简得，11sin 22ββ=，所以()π1sin 32β-=． … 12分因为0πβ<<，所以ππ2π333β-<-<．所以ππ36β-=，即π2β=． …… 14分16．（1）在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，BB 1 // CC 1． 因为AF ⊥CC 1，所以AF ⊥BB 1．… 2分 又AE ⊥BB 1，AEAF A =，AE ，AF ⊂平面AEF ，所以BB 1⊥平面AEF ．…… 5分又因为BB 1⊂平面BB 1C 1C ，所以平面AEF ⊥平面BB 1C 1C ． … 7分 （2）因为AE ⊥BB 1，AF ⊥CC 1，∠ABE =∠ACF ，AB = AC ，所以Rt △AEB ≌Rt △AFC ．所以BE = CF ． … 9分 又由（1）知，BE // CF ． 所以四边形BEFC 是平行四边形．故BC // EF ． … 11分 又BC ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，所以BC // 平面AEF ． … 14分17．设()00P x y ，，()11Q x y ，．（1）在3y x =+中，令0x =，得3y =，从而b = 3． …… 2分由222193y x a y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩， 得()222319x x a ++=． 所以20269a x a =-+． …… 4分 因为10PB x =，所以2269a a=+，解得218a =．所以椭圆的标准方程为221189y x +=． …… 6分 （2）方法一：直线PB 1的斜率为1003PB y k -=，由11QB PB ⊥，所以直线QB 1的斜率为1003QB x k y =--． 于是直线QB 1的方程为：0033xy x y =-+-． 同理，QB 2的方程为：0033x y x y =--+． …… 8分 联立两直线方程，消去y ，得20109y x x -=． … 10分因为()00P x y ，在椭圆221189y x +=上，所以22001189x y +=，从而220092x y -=-．所以012x x =-． …… 12分 所以1212012PB B QB B S xS x ∆∆==． …… 14分 方法二：设直线PB 1，PB 2的斜率为k ，k '，则直线PB 1的方程为3y kx =+． 由11QB PB ⊥，直线QB 1的方程为13y x k=-+．将3y kx =+代入221y x +=，得()2221120k x kx ++=， 因为P 是椭圆上异于点B 1，B 2的点，所以00x ≠，从而0x =21221k k -+．… 8分因为()00P x y ，在椭圆221189y x +=上，所以22001189x y +=，从而220092x y -=-．所以2000200033912y y y k k x x x -+-'⋅=⋅==-，得12k k '=-． …… 10分 由22QB PB ⊥，所以直线2QB 的方程为23y kx =-．联立1323y x y kx ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩，则2621k x k =+，即12621k x k =+． …… 12分 所以1212201212212621PB B QB B k S x k S x kk ∆∆-+===+． …… 14分 18．（1）设所得圆柱的半径为r dm ， 则()2π24100r r r +⨯=， …… 4分解得r …… 6分（2）设所得正四棱柱的底面边长为a dm ，则21004x a a a x ⎧⎪⎨⎪-⎩≤≤，，即220.x a a x ⎧⎪⎨⎪⎩≤≤，…… 9分方法一：所得正四棱柱的体积3204400x x V a x x x⎧<⎪=⎨⎪>⎩≤≤，， ……11分记函数3004()400x x p x x x⎧<⎪=⎨⎪>⎩≤，，则()p x 在(0，上单调递增，在)⎡+∞⎣上单调递减， 所以当x =max ()p x =所以当x =a=max V = dm 3． … 14分 方法二： 202ax a≤≤，从而a ……11分所得正四棱柱的体积()222020V a x a a a==≤≤．所以当a =x =max V = dm 3． … 14分答：（1dm ；（2）当x 为 …… 16分 【评分说明】①直接“由()21002x x x ⋅+=得，x =2分；②方法一中的求解过程要体现()p x V ≤≤()p x V =≤的最多得5分，其它类似解答参照给分．19．（1）假设数列123c c c ，，是等差数列， 则2132c c c =+，即()()()2211332a b a b a b +=+++．因为12b b ，，3b 是等差数列，所以2132b b b =+．从而2132a a a =+． … 2分 又因为12a a ，，3a 是等比数列，所以2213a a a =． 所以123a a a ==，这与1q ≠矛盾，从而假设不成立．所以数列123c c c ，，不是等差数列． …… 4分 （2）因为11a =，2q =，所以12n n a -=．因为2213c c c =，所以()()()2222214b b d b d +=+-++，即223b d d =+，… 6分 由2220c b =+≠，得2320d d ++≠，所以1d ≠-且2d ≠-．又0d ≠，所以223b d d =+，定义域为{}120d d d d ∈≠-≠-≠R ，，．… 8分（3）方法一：设c 1，c 2，c 3，c 4成等比数列，其公比为q 1， 则1111111221111331111=2=3=.a b c a q b d c q a q b d c q a q b d c q +=⎧⎪++⎪⎨++⎪⎪++⎩①②③④，，， …… 10分将①+③－2×②得，()()2211111a q c q -=-，⑤将②+④－2×③得，()()22111111a q q c q q -=-，⑥ …… 12分 因为10a ≠，1q ≠，由⑤得10c ≠，11q ≠．由⑤⑥得1q q =，从而11a c =． … 14分 代入①得10b =． 再代入②，得0d =，与0d ≠矛盾．所以c 1，c 2，c 3，c 4不成等比数列． …… 16分方法二：假设数列1234c c c c ，，，是等比数列，则324123c c c ==． …… 10分 所以32432132c c c c c c c c --=--，即32432132a ad a a da a d a a d -+-+=-+-+． 两边同时减1得，321432213222a a a a a a a a d a a d-+-+=-+-+． …… 12分 因为等比数列a 1，a 2，a 3，a 4的公比为q ()1q ≠，所以()321321213222q a a a a a a a a d a a d-+-+=-+-+．又()23211210a a a a q -+=-≠，所以()2132q a a d a a d -+=-+，即()10q d -=． …… 14分 这与1q ≠，且0d ≠矛盾，所以假设不成立．所以数列1234c c c c ，，，不能为等比数列． …… 16分 20．（1）由题意，()1cos 0f x a x '=-≥对x ∈R 恒成立，因为0a >，所以1cos x a≥对x ∈R 恒成立，因为()max cos 1x =，所以11a ≥，从而01a <≤． … 3分（2）①()1sin ln 12g x x x b x =-++，所以()11cos 2b g x x x'=-+．若0b <，则存在02b ->，使()()11cos 0b b g '-=---<，不合题意，所以0b >． … 5分 取30ebx -=，则001x <<．此时()30000111sin ln 11ln 10222b g x x x b x b e -=-++<+++=-<．所以存在00x >，使()00g x <． …… 8分 ②依题意，不妨设120x x <<，令21x t x =，则1t >． 由（1）知函数sin y x x =-单调递增，所以2211sin sin x x x x ->-． 从而2121sin sin x x x x ->-． … 10分 因为()()12g x g x =，所以11122211sin ln 1sin ln 122x x b x x x b x -++=-++，所以()()()2121212111ln ln sin sin 22b x x x x x x x x --=--->-． 所以212120ln ln x x b x x -->>-． ……12分下面证明2121ln ln x x x x --1ln t t ->()ln 0t <*．设()()ln 1h t t t =>，所以()210h t -'=<在()1+∞，恒成立．所以()h t 在()1+∞，单调递减，故()()10h t h <=，从而()*得证．所以2b - 即2124x x b <． ……16分学II 参考答案及评分建议21．A ．延长AO 交⊙O 于点E ， 则()()DB DC DE DA OD OE OA OD ⋅=⋅=+⋅-．…… 5分 因为OE OA =， 所以()()22DB DC OA OD OA OD OA OD ⋅=+⋅-=-． 所以22DB DC OD OA ⋅+=． …… 10分B ．依题意，依次实施变换1T ，2T 所对应的矩阵=NM 201020010202⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦． …… 5分 则20000200⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，20360200⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，20240224⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦． 所以(00)(30)(22)A B C ，，，，，分别变为点(00)(60)(44)A B C '''，，，，，． 从而所得图形的面积为164122⨯⨯=． …… 10分C ．以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系xOy ．则点P 的直角坐标为()1． …… 2分将直线l ：()sin 23ρθπ-=的方程变形为：sin cos cos sin 233ρθρθππ-=，40y -+=． …… 5分所以()1P 到直线l 40y -+=2=．故所求圆的普通方程为()(2214x y -+=． …… 8分化为极坐标方程得，()π4sin 6ρθ=+． …… 10分D ．因为a ，b ，c 为正实数，=2a c b c +++=2=（当且仅当a b c ==取“=”）． …… 10分22．（1）从3⨯3表格中随机不重复地点击3格，共有39C 种不同情形．则事件：“600X =”包含两类情形： 第一类是3格各得奖200元；第二类是1格得奖300元，一格得奖200元，一格得奖100元，其中第一类包含34C 种情形，第二类包含111144C C C ⋅⋅种情形．所以()3111414439C C C C 560021C P X +⋅⋅===． …… 3分 （2）X 的所有可能值为300，400，500，600，700．则()3439C 413008421C P X ====，()121439C C 242400847C P X ⋅====， ()1212144439C C C C 3055008414C P X ⋅+⋅====，()121439C C 637008442C P X ⋅====． 所以X 的概率分布列为：…… 8分所以()12553300400500600700500217142142E X=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）． …… 10分23．由二项式定理，得21C i i n a +=（i =0，1，2，…，2n +1）．（1）210221055535C 3C 5C 30T a a a =++=++=； …… 2分（2）因为()()()()()12121!1C 11!!n kn n n k n k n k n k ++++++=++⋅++-()()()()212!!!n n n k n k +⋅=+- ()221C n kn n +=+， …… 4分所以()021n n n k k T k a -==+∑ ()2121Cnn k n k k -+==+∑ ()121021C nn kn k k +++==+∑()()12102121C nn kn k n k n +++==++-+⎡⎤⎣⎦∑ ()()112121021C21C nnn kn kn n k k n k n ++++++===++-+∑∑()()12210221C21C nnn kn knn k k n n ++++===+-+∑∑()()()2212112212C 212n n n n n n +=+⋅⋅+-+⋅⋅ ()221C n n n =+． …… 8分()()()()1221212121C 21C C 221C n n n nn n n n n T n n n ----=+=++=+．因为21C n n *-∈N ，所以n T 能被42n +整除． …… 10分。

2018届高三第二次调研测试（扬州、徐州、泰州、南通、淮安、宿迁）数学学科一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1． 已知集合{}{} 1012 3 10 2 U A =-=-，，，，，，，，则UA = ▲ ．2． 已知复数12i 34i z a z =+=-，，其中i 为虚数单位．若12z z 为纯虚数，则实数a 的值为 ▲ ．3． 某班40名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间[]40100，上，其频率分布直方图如图所示，则成绩不低于60分的人数为 ▲ ．4． 如图是一个算法流程图，则输出的S 的值为 ▲ ．5． 在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，以线段AC ，BC 为邻边作矩形，则该矩形的面积大于32 cm 2的概率为 ▲ ．40 50 60 70 80 90 1006． 在ABC △中，已知145AB AC B ===︒，，则BC 的长为 ▲ ．7． 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 与双曲线2213y x -=有公共的渐近线，且经过点()2P -，则双曲线C 的焦距为 ▲ ．8． 在平面直角坐标系xOy 中，已知角αβ，的始边均为x 轴的非负半轴，终边分别经过点(12)A ，，(51)B ，，则tan()αβ-的值为 ▲ ．9． 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若396S S S ，，成等差数列，且83a =，则5a 的值为▲ ．10．已知a b c ，，均为正数，且4()abc a b =+，则a b c ++的最小值为 ▲ ．11．在平面直角坐标系xOy 中，若动圆C上的点都在不等式组33030x x x ⎧⎪+⎨⎪+⎩≤，≥，≥表示的平面 区域内，则面积最大的为 ▲ ．12．设函数31e 02()320x x f x x mx x -⎧->⎪=⎨⎪--⎩≤，，，（其中e 为自然对数的底数）有3个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．13．在平面四边形ABCD 中，已知1423AB BC CD DA ====，，，，则AC BD ⋅的值为 ▲ ．14．已知a 为常数，函数22()1x f x a x x =---的最小值为23-，则a 的所有值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，设向量()cos sin αα=，a ，()sin cos ββ=-，b ，()3122=-，c ．（1）若+=a b c，求sin ()αβ-的值；（2）设5π6α=，0πβ<<，且()//+a b c ，求β的值．16．（本小题满分14分） 如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AB AC ，点E ，F 分别在棱BB 1 ，CC 1上（均异于端点），且∠ABE∠ACF ，AE ⊥BB 1，AF ⊥CC 1．求证：（1）平面AEF ⊥平面BB 1C 1C ；（2）BC22221(0)y x a b a b +=>>3y x =+11QB PB ⊥，22QB PB ⊥1l 1l 1l 2l 1l x x10q d ≠≠，i i i c a b =+123c c c ，，11a =2q =123c c c ，，1234c c c c ，，，()sin (0)f x x a x a =->()y f x =1()()ln 1(0)2a g x f xb x b b ==++∈≠R ，，()g x '()g x 0()0x g x '>>，0x ，0()0g x <1212()()()g x g x x x =≠2124x x b <22DB DC OD OA ⋅+=(00)(30)(22)A B C ，，，，，1T 2T 1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 2001⎡⎤=⎢⎥⎣⎦N 1T 2T ()23P π，l ()sin 23ρθπ-=⨯()600P X =X ()E X 212012(1)n x a a x a x ++=+++2121n n a x+++*n ∈N(21)nn n kk T k a -==+∑2T nT *n ∈N nT 42n +{}{}1012 3 10 2 U A =-=-，，，，，，，UA ={}13，12i 34i z a z =+=-，i12z z 43[]40100，SABC△145AB AC B ===︒，BC xOy C 2213y x -=()2P -C αβ，(12)A ，(51)B ，tan()αβ-97{}n a n S 396S S S ，，83a =5a 6-a b c ，，4()abc a b =+a b c ++C 33030x x x ⎧⎪+⎨⎪+⎩≤，≥，≥22(1)4x y -+=31e 02()320x x f x x mx x -⎧->⎪=⎨⎪--⎩≤，，，e m ()1+∞，ABCD40 50 60 70 80 90 100（第221423AB BC CD DA ====，，，AC BD ⋅a 22()1xf x a x x =---23-a 144，2+3C 1m >{}1m m >xOy()cos sin αα=，a ()sin cos ββ=-，b ()3122=-，c +=a b csin ()αβ-5π6α=0πβ<<()//+a b cβ()cos sin αα=，a ()sin cos ββ=-，b ()3122=-，c 1===a b c cos sin sin cos sin ()αβαβαβ⋅=-+=-a b +=a b c22+=a bc ⋅12sin ()11αβ+-+=1sin ()2αβ-=-5π6α=()3122=-，a ()31sin cos 22ββ+=--+，b c ()//+a b c()()3311cos sin 02222ββ--+--=311sin cos 222ββ-=()π1sin 32β-=0πβ<<ππ2π333β-<-<ππ36β-=π2β=cos sin sin cos sin ()αβαβαβ⋅=-+=-a b a22 a ⋅b b 2 1，每个2分，没有先后顺序。

2017-2018学年江苏省南通市、扬州市、泰州市高考数学二模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．设复数z满足（1+2i）•z=3（i为虚数单位），则复数z的实部为______．2．设集合A={﹣1，0，1}，，A∩B={0}，则实数a的值为______．3．如图是一个算法流程图，则输出的k的值是______．4．为了解一批灯泡（共5000只）的使用寿命，从中随机抽取了100只进行测试，其使用寿h5．电视台组织中学生知识竞赛，共设有5个版块的试题，主题分别是：立德树人、社会主义核心价值观、依法治国理念、中国优秀传统文化、创新能力．某参赛队从中任选2个主题作答，则“立德树人”主题被该队选中的概率是______．6．已知函数f（x）=log a（x+b）（a＞0，a≠1，b∈R）的图象如图所示，则a+b的值是______．7．设函数（0＜x＜π），当且仅当时，y取得最大值，则正数ω的值为______．8．在等比数列{a n}中，a2=1，公比q≠±1．若a1，4a3，7a5成等差数列，则a6的值是______．9．在体积为的四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，AB=1，BC=2，BD=3，则CD长度的所有值为______．10．在平面直角坐标系xOy中，过点P（﹣2，0）的直线与圆x2+y2=1相切于点T，与圆相交于点R，S，且PT=RS，则正数a的值为______．11．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且对于任意的x∈[0，+∞），满足f（x+2）=f（x），若当x∈[0，2）时，f（x）=|x2﹣x﹣1|，则函数y=f（x）﹣1在区间[﹣2，4]上的零点个数为______．12．如图，在同一平面内，点A位于两平行直线m，n的同侧，且A到m，n的距离分别为1，3．点B、C分别在m、n上，，则的最大值是______．13．实数x，y满足﹣y2=1，则3x2﹣2xy的最小值是______．14．若存在α，β∈R，使得，则实数t的取值范围是______．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．在斜三角形ABC中，tanA+tanB+tanAtanB=1．（1）求C的值；（2）若A=15°，，求△ABC的周长．16．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，P分别为棱AB，BC，C1D1的中点．求证：（1）AP∥平面C1MN；（2）平面B1BDD1⊥平面C1MN．17．植物园拟建一个多边形苗圃，苗圃的一边紧靠着长度大于30m的围墙．现有两种方案：方案①多边形为直角三角形AEB（∠AEB=90°），如图1所示，其中AE+EB=30m；方案②多边形为等腰梯形AEFB（AB＞EF），如图2所示，其中AE=EF=BF=10m．请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积，并从中确定使苗圃面积最大的方案．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，A为椭圆上异于顶点的一点，点P满足=2．（1）若点P的坐标为（2，），求椭圆的方程；（2）设过点P的一条直线交椭圆于B，C两点，且=m，直线OA，OB的斜率之积为﹣，求实数m的值．19．设函数f（x）=（x+k+1），g（x）=，其中k是实数．（1）若k=0，解不等式•f（x）≥•g（x）；（2）若k≥0，求关于x的方程f（x）=x•g（x）实根的个数．20．设数列{a n}的各项均为正数，{a n}的前n项和，n∈N*．（1）求证：数列{a n}为等差数列；（2）等比数列{b n}的各项均为正数，，n∈N*，且存在整数k≥2，使得．（i）求数列{b n}公比q的最小值（用k表示）；（ii）当n≥2时，，求数列{b n}的通项公式．[附加题]21．在平面直角坐标系xOy中，设点A（﹣1，2）在矩阵对应的变换作用下得到点A′，将点B（3，4）绕点A′逆时针旋转90°得到点B′，求点B′的坐标．[附加题]22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线（t为参数）与曲线（θ为参数）相交于A，B两点，求线段AB的长．23．一个摸球游戏，规则如下：在一不透明的纸盒中，装有6个大小相同、颜色各异的玻璃球．参加者交费1元可玩1次游戏，从中有放回地摸球3次．参加者预先指定盒中的某一种颜色的玻璃球，然后摸球．当所指定的玻璃球不出现时，游戏费被没收；当所指定的玻璃球出现1次，2次，3次时，参加者可相应获得游戏费的0倍，1倍，k倍的奖励（k∈N*），且游戏费仍退还给参加者．记参加者玩1次游戏的收益为X元．（1）求概率P（X=0）的值；（2）为使收益X的数学期望不小于0元，求k的最小值．（注：概率学源于赌博，请自觉远离不正当的游戏！）24．设S4k=a1+a2+…+a4k（k∈N*），其中a i∈{0，1}（i=1，2，…，4k）．当S4k除以4的余数是b（b=0，1，2，3）时，数列a1，a2，…，a4k的个数记为m（b）．（1）当k=2时，求m（1）的值；（2）求m（3）关于k的表达式，并化简．2016年江苏省南通市、扬州市、泰州市高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．设复数z满足（1+2i）•z=3（i为虚数单位），则复数z的实部为．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由（1+2i）•z=3，得，∴复数z的实部为．故答案为：．2．设集合A={﹣1，0，1}，，A∩B={0}，则实数a的值为1．【考点】交集及其运算．【分析】由A，B，以及两集合的交集确定出a的值即可．【解答】解：∵A={﹣1，0，1}，B={a﹣1，a+}，A∩B={0}，∴a﹣1=0或a+=0（无解），解得：a=1，则实数a的值为1，故答案为：13．如图是一个算法流程图，则输出的k的值是17．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的k的值，当k=17时满足条件k＞9，退出循环，输出k的值为17．【解答】解：模拟执行程序，可得k=0不满足条件k＞9，k=1不满足条件k＞9，k=3不满足条件k＞9，k=17满足条件k＞9，退出循环，输出k的值为17．故答案为：17．4．为了解一批灯泡（共5000只）的使用寿命，从中随机抽取了100只进行测试，其使用寿h的灯泡只数是1400．【考点】频率分布表．【分析】利用频率、频数与样本容量的关系进行求解即可．【解答】解：根据题意，估计该批灯泡使用寿命不低于1100h的灯泡的只数为5000×=1400．故答案为：1400．5．电视台组织中学生知识竞赛，共设有5个版块的试题，主题分别是：立德树人、社会主义核心价值观、依法治国理念、中国优秀传统文化、创新能力．某参赛队从中任选2个主题作答，则“立德树人”主题被该队选中的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，由“立德树人”主题被该队选中的对立事件是从社会主义核心价值观、依法治国理念、中国优秀传统文化、创新能力选两个主题，利用对立事件概率计算公式能求出“立德树人”主题被该队选中的概率．【解答】解：电视台组织中学生知识竞赛，共设有5个版块的试题，某参赛队从中任选2个主题作答，基本事件总数n==10，“立德树人”主题被该队选中的对立事件是从社会主义核心价值观、依法治国理念、中国优秀传统文化、创新能力选两个主题，∴“立德树人”主题被该队选中的概率p=1﹣=．故答案为：．6．已知函数f（x）=log a（x+b）（a＞0，a≠1，b∈R）的图象如图所示，则a+b的值是．【考点】对数函数的图象与性质；函数的图象．【分析】由函数f（x）=log a（x+b）（a＞0，a≠1，b∈R）的图象过（﹣3，0）点和（0，﹣2）点，构造方程组，解得答案．【解答】解：∵函数f（x）=log a（x+b）（a＞0，a≠1，b∈R）的图象过（﹣3，0）点和（0，﹣2）点，∴，解得：∴a+b=，故答案为：7．设函数（0＜x＜π），当且仅当时，y取得最大值，则正数ω的值为2．【考点】正弦函数的图象．【分析】根据题意，得出ω+=+2kπ，k∈Z，求出ω的值即可．【解答】解：∵函数，且0＜x＜π，ω＞0，∴＜ωx+＜ωπ+，又当且仅当时，y取得最大值，∴＜ωx+＜ωπ+＜，∴ω+=，解得ω=2．故答案为：2．8．在等比数列{a n}中，a2=1，公比q≠±1．若a1，4a3，7a5成等差数列，则a6的值是．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由题意和等差数列可得q的方程，解方程由等比数列的通项公式可得．【解答】解：∵在等比数列{a n}中a2=1，公比q≠±1，a1，4a3，7a5成等差数列，∴8a3=a1+7a5，∴8×1×q=+7×1×q3，整理可得7q4﹣8q2+1=0，分解因式可得（q2﹣1）（7q2﹣1）=0，解得q2=或q2=1，∵公比q≠±1，∴q2=，∴a6=a2q4=故答案为：9．在体积为的四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，AB=1，BC=2，BD=3，则CD长度的所有值为．【考点】棱锥的结构特征．【分析】由已知求得△BCD的面积，再由面积公式求得sinB，进一步求得cosB，再由余弦定理求得CD长度．【解答】解：如图，在四面体ABCD中，∵AB⊥平面BCD，∴AB为以BCD为底面的三棱锥的高，∵，AB=1，∴由，得．又BC=2，BD=3，得，得sinB=，∴cosB=．当cosB=时，CD2=22+32﹣2×2×3×=7，则CD=；当cosB=﹣时，CD2=22+32﹣2×2×3×（）=19，则CD=．∴CD长度的所有值为，．故答案为：，．10．在平面直角坐标系xOy中，过点P（﹣2，0）的直线与圆x2+y2=1相切于点T，与圆相交于点R，S，且PT=RS，则正数a的值为4．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设过点P（﹣2，0）的直线方程为y=k（x+2），由直线与圆相切的性质得k=，不妨取k=，由勾股定理得PT=RS=，再由圆心（a，）到直线y=（x+2）的距离能求出结果．【解答】解：设过点P（﹣2，0）的直线方程为y=k（x+2），∵过点P（﹣2，0）的直线与圆x2+y2=1相切于点T，∴=1，解得k=，不妨取k=，PT==，∴PT=RS=，∵直线y=（x+2）与圆相交于点R，S，且PT=RS，∴圆心（a，）到直线y=（x+2）的距离d==，由a＞0，解得a=4．故答案为：4．11．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且对于任意的x∈[0，+∞），满足f（x+2）=f（x），若当x∈[0，2）时，f（x）=|x2﹣x﹣1|，则函数y=f（x）﹣1在区间[﹣2，4]上的零点个数为7．【考点】函数零点的判定定理．【分析】如图所示，y=g（x）=f（x）﹣1=，再利用f（x+2）=f（x），可得x∈[2，4]上的图象．由函数f（x）是R上的偶函数，可得g（x）也是R上的偶函数，结合图象即可得出零点个数．【解答】解：如图所示，y=g（x）=f（x）﹣1=，再利用f（x+2）=f（x），可得x∈[2，4]上的图象．由函数f（x）是R上的偶函数，可得g（x）也是R上的偶函数，利用偶函数的性质可得x ∈[﹣2，0）上的图象．x∈[0，2）时，g（0）=g（1）=0，x∈[2，4]时，g（2）=g（4）=g（0）=0，g（3）=g（1）=0．x∈[﹣2，0）时，g（﹣2）=g（2）=0，g（﹣1）=g（1）=0．指数可得：函数g（x）共有7个零点．故答案为：7．12．如图，在同一平面内，点A位于两平行直线m，n的同侧，且A到m，n的距离分别为1，3．点B、C分别在m、n上，，则的最大值是．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】建立如图所示的坐标系，得到点A、B、C的坐标，由，求得a+b=±3，分类讨论，利用二次函数的性质求得的最大值．【解答】解：由点A位于两平行直线m，n的同侧，且A到m，n的距离分别为1，3，可得平行线m、n间的距离为2，以直线m为x轴，以过点A且与直线m垂直的直线为y轴建立坐标系，如图所示：则由题意可得点A（0，1），直线n的方程为y=﹣2，设点B（a，0）、点C（b，﹣2），∴=（a，﹣1）、=（b，﹣3），∴+=（a+b，﹣4）．∵，∴（a+b）2+16=25，∴a+b=3，或a+b=﹣3．当a+b=3时，=ab+3=a（3﹣a）+3=﹣a2+3a+3，它的最大值为=．当a+b=﹣3时，=ab+3=a（﹣3﹣a）+3=﹣a2﹣3a+3，它的最大值为=．综上可得，的最大值为，故答案为：．13．实数x，y满足﹣y2=1，则3x2﹣2xy的最小值是6+4．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设出双曲线的参数方程，代入所求式，运用切割化弦，可得+= [（1﹣sinα）+（1+sinα）]（+），展开再由基本不等式即可得到所求最小值．【解答】解：由﹣y2=1，可设x=2secα，y=tanα，则3x2﹣2xy=12sec2α﹣4secαtanα=﹣==+，其中﹣1＜sinα＜1，[（1﹣sinα）+（1+sinα）]（+）=12++≥12+2=12+8，当且仅当=，解得sinα=3﹣2（3+2舍去），取得最小值．则3x2﹣2xy的最小值是6+4．故答案为：6+4．14．若存在α，β∈R，使得，则实数t的取值范围是[，1]．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】由α≤α﹣5cosβ，得到cosβ＜0，由已知α≤t，即，令，则f′（t）=，令f′（t）=0，则sinβ=0，当sinβ=0时，f（t）取得最小值，然后由t≤α﹣5cosβ，即，令，则．令f′（t）=0，则sinβ=0．当sinβ=0时，f（t）取得最大值．【解答】解：∵α≤α﹣5cosβ，∴0≤﹣5cosβ．∴cosβ＜0．∵α≤t，∴，即．令，则f′（t）==，令f′（t）=0，则sinβ=0．∴当sinβ=0时，f（t）取得最小值．f（t）=．∵t≤α﹣5cosβ，∴α≥t+5cosβ．∴即．令，则．令f′（t）=0，则sinβ=0．当sinβ=0时，f（t）取得最大值．f（t）=．则实数t的取值范围是：[，1]．故答案为：[，1]．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．在斜三角形ABC中，tanA+tanB+tanAtanB=1．（1）求C的值；（2）若A=15°，，求△ABC的周长．【考点】两角和与差的正切函数；正弦定理．【分析】（1）由条件利用两角和差的正切公式，诱导公式求得tanC的值可得C的值．（2）由条件利用正弦定理、两角和差的正弦公式求得a、b的值，可得△ABC的周长．【解答】解：（1）斜三角形ABC中，∵tanA+tanB+tanAtanB=1，∴tanA+tanB=1﹣tanAtanB，∴tan（A+B）==1，即﹣tanC=1，tanC=﹣1，∴C=135°．（2）若A=15°，则B=30°，∵，则由正弦定理可得===2，求得a=2sin（45°﹣30°）=2（sin45°cos30°﹣cos45°sin30°）=，b=•2=1，故△ABC的周长为a+b+c=+1+=．16．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，P分别为棱AB，BC，C1D1的中点．求证：（1）AP∥平面C1MN；（2）平面B1BDD1⊥平面C1MN．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）推导出四边形AMC1P为平行四边形，从而AP∥C1M，由此能证明AP∥平面C1MN．（2）连结AC，推导出MN⊥BD，DD1⊥MN，从而MN⊥平面BDD1B1，由此能证明平面B1BDD1⊥平面C1MN．【解答】证明：（1）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵M，N，P分别为棱AB，BC，C1D1的中点，∴AM=PC1，又AM∥CD，PC1∥CD，故AM∥PC1，∴四边形AMC1P为平行四边形，∴AP∥C1M，又AP⊄平面C1MN，C1M⊂平面C1MN，∴AP∥平面C1MN．（2）连结AC，在正方形ABCD中，AC⊥BD，又M、N分别为棱AB、BC的中点，∴MN∥AC，∴MN⊥BD，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，又MN⊂平面ABCD，∴DD1⊥MN，而DD1∩DB=D，DD1、DB⊂平面BDD1B1，∴MN⊥平面BDD1B1，又MN⊂平面C1MN，∴平面B1BDD1⊥平面C1MN．17．植物园拟建一个多边形苗圃，苗圃的一边紧靠着长度大于30m的围墙．现有两种方案：方案①多边形为直角三角形AEB（∠AEB=90°），如图1所示，其中AE+EB=30m；方案②多边形为等腰梯形AEFB（AB＞EF），如图2所示，其中AE=EF=BF=10m．请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积，并从中确定使苗圃面积最大的方案．【考点】定积分在求面积中的应用；基本不等式．【分析】设方案①，②的多边形苗圃的面积分别为S1，S2，根据基本不等式求出S1的最大值，用导数求出S2的最大值，比较即可．【解答】解：设方案①，②的多边形苗圃的面积分别为S1，S2，方案①，设AE=x，则S1=x（30﹣x）≤ []2=，当且仅当x=15时，取等号，方案②，设∠BAE=θ，则S2=100sinθ（1+cosθ），θ∈（0，），由S2′=100（2cos2θ+cosθ﹣1）=0得cosθ=（cosθ=﹣1舍去），∵θ∈（0，），∴θ=，当S2′＞0，解得0＜x＜，函数单调递增，当S2′＜0，解得＜x＜，函数单调递减，∴当θ=时，（S2）max=75，∵＜75，∴建立苗圃时用方案②，且∠BAE=．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，A为椭圆上异于顶点的一点，点P满足=2．（1）若点P的坐标为（2，），求椭圆的方程；（2）设过点P的一条直线交椭圆于B，C两点，且=m，直线OA，OB的斜率之积为﹣，求实数m的值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由已知得A（﹣1，﹣），代入椭圆，得，再由椭圆离心率为，得=，由此能求出椭圆方程．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），推导出P（﹣2x1，﹣2y1），（﹣2x1﹣x2，﹣2y1﹣y2）=m（x3﹣x2，y3﹣y2），从而得到（）+（）﹣（）=1，由直线OA，OB的斜率之积为﹣，得到=0，由此能求出实数m的值．【解答】解：（1）∵A为椭圆上异于顶点的一点，点P满足=2，点P的坐标为（2，），∴A（﹣1，﹣），代入椭圆，得，①∵椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，∴=，②联立①②，解得a2=2，b2=1，∴椭圆方程为．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），∵=2，∴P（﹣2x1，﹣2y1），∵=m，∴（﹣2x1﹣x2，﹣2y1﹣y2）=m（x3﹣x2，y3﹣y2），∴，∴，代入椭圆，得=1，即（）+（）﹣（）=1，③∵A，B在椭圆上，∴+=1，=1，④∵直线OA，OB的斜率之积为﹣，∴=﹣，结合②，知=0，⑤将④⑤代入③，得=1，解得m=．19．设函数f（x）=（x+k+1），g（x）=，其中k是实数．（1）若k=0，解不等式•f（x）≥•g（x）；（2）若k≥0，求关于x的方程f（x）=x•g（x）实根的个数．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）若k=0，先化简不等式即可解不等式•f（x）≥•g（x）；（2）若k≥0，化简方程f（x）=x•g（x），然后讨论k的取值范围即可得到结论．【解答】解：（1）若k=0，f（x）=（x+1），g（x）=，则不等式•f（x）≥•g（x）等价为•（x+1）≥•，此时，即x≥0，此时不等式等价为（x+1）x≥（x+3），即2x2+x﹣3≥0，得x≥1或x≤﹣，∵x≥0，∴x≥1，即不等式的解集为[1，+∞）．（2）若k≥0，由f（x）=x•g（x）得（x+k+1）=x，①．由得，即x≥k，∴当x≥0时x﹣k+1＞0，方程①两边平方整理得（2k﹣1）x2﹣（k2﹣1）x﹣k（k+1）2=0，（x≥k），②当k=时，由②得x=，∴方程有唯一解，当k≠时，由②得判别式△=（k+1）2（3k﹣1）2，1）当k=时，判别式△=0，方程②有两个相等的根x=，∴原方程有唯一解．2）0≤k＜且k≠时，方程②整理为[（2k﹣1）x+k（k+1）]（x﹣k﹣1）=0，解得x1=，x2=k+1，由于判别式△＞0，∴x1≠x2，其中x2=k+1＞k，x1﹣k=≥0，即x1≥k，故原方程有两解，3）当k＞时，由2）知，x1﹣k=＜0，即x1＜k，故x1不是原方程的解，而x2=k+1＞k，则原方程有唯一解，综上所述，当k≥或k=时，原方程有唯一解，当0≤k＜且k≠时，原方程有两解．20．设数列{a n }的各项均为正数，{a n }的前n 项和，n ∈N *．（1）求证：数列{a n }为等差数列；（2）等比数列{b n }的各项均为正数，，n ∈N *，且存在整数k ≥2，使得．（i ）求数列{b n }公比q 的最小值（用k 表示）；（ii ）当n ≥2时，，求数列{b n }的通项公式．【考点】数列的求和；等差关系的确定．【分析】（1）数列{a n }的前n 项和，n ∈N *．利用递推关系可得：a n ﹣a n ﹣1=2，再利用等差数列的通项公式即可得出．（2）（i ）由（1）可得：a n =2n ﹣1，S n =n 2．根据存在整数k ≥2，使得．可得b 1=．b n =k 2•．由，n ∈N *，可得：q n ﹣k ≥，当n=k时，上式恒成立．当n ≥k +1时，可得：（n ﹣k ）lnq=2，利用导数研究其单调性可得：的最大值为k ，q ≥．当n ≤k ﹣1时，q ≤．可得q 的最小值为（整数k ≥2）．（ii ）由题意可得：q ∈N *，由（i ）可知：q ∈，（k ≥2），可得：q ≥＞1，q ≤≤4，q ∈{2，3，4}，分类讨论即可得出．【解答】（1）证明：∵数列{a n }的前n 项和，n ∈N *．∴当n=1时，，解得a 1=1．当n ≥2时，a n =S n ﹣S=﹣，化为：（a n +a n ﹣1）（a n ﹣a n ﹣1﹣2）=0，∵数列{a n }的各项均为正数，∴a n +a n ﹣1＞0（n ≥2），a n ﹣a n ﹣1=2， ∴数列{a n }是等差数列，公差为2． （2）解：（i ）由（1）可得：a n =1+2（n ﹣1）=2n ﹣1，S n =n 2．∵存在整数k ≥2，使得．∴，可得b1=．∴b n==k2•，∵，n∈N*，∴k2•q n﹣k≥n2，∴q n﹣k≥，当n=k时，上式恒成立．当n≥k+1时，可得：（n﹣k）lnq=2，∴≥，令f（x）=，（x＞1），则f′（x）=，令g（t）=1﹣t+lnt，（0＜t＜1），则g′（t）=＞0，因此函数g（t）在（0，1）内单调递增，∴g（t）＜g（1）=0，∴f′（x）＜0，∴函数f（x）在（1，+∞）为减函数，∴的最大值为k，∴≥k，∴q≥．当n≤k﹣1时，q≤．∴q的最小值为（整数k≥2）．（ii）由题意可得：q∈N*，由（i）可知：q∈，（k≥2），∴q≥＞1，q≤≤4，∴q∈{2，3，4}，当q=2时，≤2≤，只能取k=3，此时b n=，舍去．当q=3时，≤3≤，只能取k=2，此时b n=4，舍去．当q=4时，≤4≤，只能取k=3，此时b n=22n﹣3，符合条件．综上可得：b n=22n﹣3．[附加题]21．在平面直角坐标系xOy中，设点A（﹣1，2）在矩阵对应的变换作用下得到点A′，将点B（3，4）绕点A′逆时针旋转90°得到点B′，求点B′的坐标．【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】设B′（x，y），=，求得A′的坐标，写出向量，，=，即可求得x和y，求得点B′的坐标．【解答】解：设B′（x，y），由题意可知：=，得A′（1，2），则=（2，2），=（x﹣1，y﹣2），即旋转矩阵N=，则=，即=，解得：，所以B′的坐标为（﹣1，4）．[附加题]22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线（t为参数）与曲线（θ为参数）相交于A，B两点，求线段AB的长．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】直线（t为参数），消去参数t化为普通方程．由曲线（θ为参数），利用倍角公式可得y=1﹣2sin2θ，联立解出，再利用两点之间的距离公式即可得出．【解答】解：直线（t为参数）化为普通方程：y=2x+1．由曲线（θ为参数），可得y=1﹣2sin2θ=1﹣2x2（﹣1≤x≤1），联立（﹣1≤x≤1），解得，或，．∴A（﹣1，﹣1），B（0，1），∴|AB|==．23．一个摸球游戏，规则如下：在一不透明的纸盒中，装有6个大小相同、颜色各异的玻璃球．参加者交费1元可玩1次游戏，从中有放回地摸球3次．参加者预先指定盒中的某一种颜色的玻璃球，然后摸球．当所指定的玻璃球不出现时，游戏费被没收；当所指定的玻璃球出现1次，2次，3次时，参加者可相应获得游戏费的0倍，1倍，k倍的奖励（k∈N*），且游戏费仍退还给参加者．记参加者玩1次游戏的收益为X元．（1）求概率P（X=0）的值；（2）为使收益X的数学期望不小于0元，求k的最小值．（注：概率学源于赌博，请自觉远离不正当的游戏！）【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）事件“X=0”表示“有放回的摸球3回，所指定的玻璃球只出现1次”，由此能求出P（X=0）．（2）依题意，X的可能取值为k，﹣1，1，0，分别求出相应的概率，由此求出E（X），进而能求出k的最小值．【解答】解：（1）事件“X=0”表示“有放回的摸球3回，所指定的玻璃球只出现1次”，则P（X=0）=3×=．（2）依题意，X的可能取值为k，﹣1，1，0，且P（X=k）=（）3=，P（X=﹣1）=（）3=，P（X=1）=3×=，P（X=0）=3×=，∴参加游戏者的收益X的数学期望为：E（X）==，为使收益X的数学期望不小于0元，故k≥110，∴k的最小值为110．24．设S4k=a1+a2+…+a4k（k∈N*），其中a i∈{0，1}（i=1，2，…，4k）．当S4k除以4的余数是b（b=0，1，2，3）时，数列a1，a2，…，a4k的个数记为m（b）．（1）当k=2时，求m（1）的值；（2）求m（3）关于k的表达式，并化简．【考点】整除的定义．【分析】（1）当k=2时，由题意可得数列a1，a2，…，a8中有1个1或5个1，其余为0，可得m（1）=；（2）依题意，数列a1，a2，…，a4k中有3个1，或7个1，或11个1，或（4k﹣1）个1，其余为0，然后用组合数表示m（3），同理用组合数表示m（1），结合m（1）=m（3），求出m（1）+m（3），即可求得m（3）．【解答】解：（1）当k=2时，数列a1，a2，…，a8中有1个1或5个1，其余为0，∴m（1）=；（2）依题意，数列a1，a2，…，a4k中有3个1，或7个1，或11个1，或（4k﹣1）个1，其余为0，∴m（3）=，同理得：m（1）=，∵，∴m（1）=m（3）．又m（1）+m（3）==24k﹣1，∴m（3）=24k﹣2=42k﹣1．2016年9月20日。

2018年江苏省高考数学二模试卷一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．1．已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则集合A∩B中元素的个数为．2．已知复数z满足（2﹣3i）z=3+2i（i是虚数单位），则z的模为．3．已知一组数据8，10，9，12，11，那么这组数据的方差为．4．运行如图所示的伪代码，其输出的结果S为．5．袋中有形状、大小都相同的四只球，其中有1只红球，3只白球，若从中随机一次摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．6．已知，那么tanβ的值为．7．已知正六棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正六棱锥的表面积为．8．在三角形ABC中，，则的最小值为．9．已知数列{a n}的首项为1，等比数列{b n}满足，且b1018=1，则a2018的值为．10．已知正数a，b满足2ab+b2=b+1，则a+5b的最小值为．11．已知函数，若方程f（x）=﹣x有且仅有一解，则实数a的取值范围为．12．在平面直角坐标系xOy中，点A（3，0），动点P满足PA=2PO，动点Q（3a，4a+5）（a ∈R），则线段PQ长度的最小值为．13．已知椭圆的离心率为，长轴AB上2018个等分点从左到右依次为点M1，M2，…，M2018，过M1点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P1，P2两点，P1点在x轴上方；过M2点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P3，P4两点，P3点在x 轴上方；以此类推，过M2018点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P4189，P4180两点，P4189点在x轴上方，则4180条直线AP1，AP2，…，AP4180的斜率乘积为．14．已知函数f（x）=x|x﹣a|，若对任意x1∈[2，3]，x2∈[2，3]，x1≠x2恒有，则实数a的取值范围为．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．在△ABC中，角A、B、C分别是边a、b、c的对角，且3a=2b．（Ⅰ）若B=60°，求sinC的值；（Ⅱ）若，求sin（A﹣B）的值．16．如图，平行四边形ABCD⊥平面CDE，AD⊥DE．（I）求证：DE⊥平面ABCD；（Ⅱ）若M为线段BE中点，N为线段CE的一个三等分点，求证：MN不可能与平面ABCD 平行．17．已知椭圆的离心率为e，直线l：y=ex+a与x，y轴分别交于A、B点．（Ⅰ）求证：直线l与椭圆C有且仅有一个交点；（Ⅱ）设T为直线l与椭圆C的交点，若AT=eAB，求椭圆C的离心率；（Ⅲ）求证：直线l：y=ex+a上的点到椭圆C两焦点距离和的最小值为2a．18．如图，，点O处为一雷达站，测控范围为一个圆形区域（含边界），雷达开机时测控半径r随时间t变化函数为r=3t km，且半径增大到81km 时不再变化．一架无人侦察机从C点处开始沿CD方向飞行，其飞行速度为15km/min．（Ⅰ）当无人侦察机在CD上飞行t分钟至点E时，试用t和θ表示无人侦察机到O点的距离OE；（Ⅱ）若无人侦察机在C点处雷达就开始开机，且θ=，则雷达是否能测控到无人侦察机？请说明理由．19．已知数列{a n }满足．数列{a n }前n 项和为S n ．（Ⅰ） 求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若a m a m +1=a m +2，求正整数m 的值； （Ⅲ）是否存在正整数m ，使得恰好为数列{a n }中的一项？若存在，求出所有满足条件的m 值，若不存在，说明理由．20．已知函数f （x ）=xlnx ﹣ax 2+a （a ∈R ），其导函数为f ′（x ）． （Ⅰ）求函数g （x ）=f ′（x ）+（2a ﹣1）x 的极值；（Ⅱ）当x ＞1时，关于x 的不等式f （x ）＜0恒成立，求a 的取值范围．三.附加题部分【选做题】（本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）A ．[选修4-1几何证明选讲]（本小题满分10分） 21．若AB 为定圆O 一条弦（非直径），AB=4，点N 在线段AB 上移动，∠ONF=90°，NF 与圆O 相交于点F ，求NF 的最大值．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 22．已知矩阵，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为=，属于特征值1的一个特征向量为=．求A 的逆矩阵．C.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．过点P （﹣3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线ρ2cos2θ=4相交于A 、B 两点．求线段AB 的长．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分） 24．设 x ，y ，z ∈R +，且x +y +z=1，求证：．四.[必做题]（第25题、第26题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）25．一个袋中有若干个红球与白球，一次试验为从中摸出一个球并放回袋中，摸出红球概率为p ，摸出白球概率为q ，摸出红球加1分，摸出白球减1分，现记“n 次试验总得分为S n ”． （Ⅰ）当时，记ξ=|S 3|，求ξ的分布列及数学期望；（Ⅱ）当时，求S 8=2且S i ≥0（i=1，2，3，4）的概率．26．数列{a n }各项均为正数，，且对任意的n ∈N *，有．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，是否存在n∈N*，使得a n＞1，若存在，试求出n的最小值，若不存在，请说明理由．2018年江苏省高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．1．已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则集合A∩B中元素的个数为3．【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集，即可作出判断．【解答】解：由A中不等式解得：﹣2＜x＜2，即A=（﹣2，2），∵B={﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B={﹣1，0，1}，则集合A∩B中元素的个数为3，故答案为：32．已知复数z满足（2﹣3i）z=3+2i（i是虚数单位），则z的模为1．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据向量的复数运算和向量的模即可求出．【解答】解：（2﹣3i）z=3+2i，∴z====i，∴|z|=1，故答案为：1．3．已知一组数据8，10，9，12，11，那么这组数据的方差为2．【考点】极差、方差与标准差．【分析】先求出这组数据的平均数，由此能求出这组数据的方差．【解答】解：∵一组数据8，10，9，12，11，∴这组数据的平均数=（8+10+9+12+11）=10，这组数据的方差为S2= [（8﹣10）2+（10﹣10）2+（9﹣10）2+（12﹣10）2+（11﹣10）2]=2．故答案为：2．4．运行如图所示的伪代码，其输出的结果S为15．【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序代码可得：程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：当l=1时，满足进行循环的条件，S=3，l=4；当l=4时，满足进行循环的条件，S=9，l=7；当l=7时，满足进行循环的条件，S=15，l=10；当l=10时，不满足进行循环的条件，故输出的S值为15．故答案为：155．袋中有形状、大小都相同的四只球，其中有1只红球，3只白球，若从中随机一次摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再求出这2只球颜色不同包含的基本事件个数，由此能求出这2只球颜色不同的概率．【解答】解：∵袋中有形状、大小都相同的四只球，其中有1只红球，3只白球，从中随机一次摸出2只球，∴基本事件总数n==6，这2只球颜色不同包含的基本事件个数m==3，∴这2只球颜色不同的概率为p==．故答案为：．6．已知，那么tanβ的值为3．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由已知，利用同角三角函数基本关系式可求cosα，tanα的值，利用两角和的正切函数公式即可化简求值．【解答】解：∵，∴cosα=﹣=﹣，tanα==﹣2，∴tan（α+β）===，整理可得：tanβ=3．故答案为：3．7．已知正六棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正六棱锥的表面积为+12．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】利用勾股定理可得侧面三角形的斜高h，利用等腰三角形与等边三角形的面积计算公式即可得出．【解答】解：侧面三角形的斜高h==2，∴该正六棱锥的表面积S=+6×=+12，故答案为： +12．8．在三角形ABC中，，则的最小值为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可根据条件得到，而由可得到，两边平方并进行数量积的运算便可得到，这样根据不等式a2+b2≥2ab即可得出的范围，从而得出的范围，即得出的最小值．【解答】解：根据条件，=；∴；由得，；∴；∴==，当且仅当即时取“=”；∴；∴的最小值为．故答案为：．9．已知数列{a n}的首项为1，等比数列{b n}满足，且b1018=1，则a2018的值为1．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由已知结合，得到a2018=b1b2…b2018=（b1b2018）•（b2b2018）…（b1018b1018）•b1018，结合b1018=1，以及等比数列的性质求得答案．【解答】解：，且a1=1，得b1=，b2=，∴a3=a2b2=b1b2，b3=，∴a4=a3b3=b1b2b3，…a n=b1b2…b n．﹣1∴a2018=b1b2…b2018=（b1b2018）•（b2b2018）…（b1018b1018）•b1018，∵b1018=1，∴b1b2018=b2b2018=…=b1018b1018=（b1018）2=1，∴a2018=1，故答案为：1．10．已知正数a，b满足2ab+b2=b+1，则a+5b的最小值为．【考点】基本不等式．【分析】正数a，b满足2ab+b2=b+1，可得：a=＞0．则a+5b=+5b=+，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵正数a，b满足2ab+b2=b+1，∴a=＞0．则a+5b=+5b=+≥+=，当且仅当b=，a=2时取等号．故答案为：．11．已知函数，若方程f（x）=﹣x有且仅有一解，则实数a的取值范围为a≥﹣1或a=﹣2．．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】根据指数函数的图象，结合图象的平移可知当a≥﹣1时，2x+a在x≤0时，与y=﹣x 有一交点，而x++a在x＞0无交点，符合题意；再考虑当a＜﹣1时的情况，结合图象的平移和二次函数的知识求出a的取值．【解答】解：根据指数函数的图象易知：当a≥﹣1时，y=2x+a在x≤0时，与y=﹣x有一交点，y=x++a在x＞0与y=﹣x无交点，符合题意；当a＜﹣1时，只需x++a=﹣x有且仅有一根，△=a2﹣8=0，解得a=﹣2．故答案为a≥﹣1或a=﹣2．12．在平面直角坐标系xOy中，点A（3，0），动点P满足PA=2PO，动点Q（3a，4a+5）（a ∈R），则线段PQ长度的最小值为0．【考点】两点间距离公式的应用．【分析】求出圆的方程并化为标准形式，由条件求得点Q（3a，4a+5）到圆心（﹣1，0）的距离d的最小值，将d的最小值减去圆的半径，即为所求．【解答】解：∵点A（3，0），动点P满足PA=2PO，设P（x，y），则有（x﹣3）2+y2=4x2+4y2，∴（x+1）2+y2=4，表示以（﹣1，0）为圆心、半径等于2的圆．点Q（3a，4a+5）到圆心（﹣1，0）的距离d==≥，故距离d可以是2，此时PQ=0，故线段PQ长度的最小值为0．13．已知椭圆的离心率为，长轴AB上2018个等分点从左到右依次为点M1，M2，…，M2018，过M1点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P1，P2两点，P1点在x轴上方；过M2点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P3，P4两点，P3点在x 轴上方；以此类推，过M2018点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P4189，P4180两点，P4189点在x轴上方，则4180条直线AP1，AP2，…，AP4180的斜率乘积为﹣2﹣2018．【考点】椭圆的简单性质．【分析】运用椭圆的离心率公式，可得a2=2b2=2c2，设M n的坐标为（t，0），直线方程为y=k （x﹣t），代入椭圆方程，运用韦达定理，再由直线的斜率公式，化简整理，可得•=，再由等分点，设出t的坐标，化简整理，计算即可得到所求值．【解答】解：由题意可得e==，可得a2=2b2=2c2，设M n的坐标为（t，0），直线方程为y=k（x﹣t），代入椭圆方程x2+2y2=2b2，可得（1+2k2）x2﹣4tk2x+2k2t2﹣2b2=0，即有x1+x2=，x1x2=，•=•======，可令t=﹣，﹣，…，﹣，﹣，0，，，…，，，即有AP1，AP2，…，AP4180的斜率乘积为•（•…•）••（•…•）=﹣．故答案为：﹣2﹣2018．14．已知函数f（x）=x|x﹣a|，若对任意x1∈[2，3]，x2∈[2，3]，x1≠x2恒有，则实数a的取值范围为[3，+∞）．【考点】分段函数的应用．【分析】根据凸函数和凹函数的定义，作出函数f（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：满足条件有的函数为凸函数，f（x）=，作出函数f（x）的图象，由图象知当x≤a时，函数f（x）为凸函数，当x≥a时，函数f（x）为凹函数，若对任意x1∈[2，3]，x2∈[2，3]，x1≠x2恒有，则a≥3即可，故实数a的取值范围是[3，+∞），故答案为：[3，+∞）二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．在△ABC中，角A、B、C分别是边a、b、c的对角，且3a=2b．（Ⅰ）若B=60°，求sinC的值；（Ⅱ）若，求sin（A﹣B）的值．【考点】两角和与差的正弦函数；正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化简已知可得3sinA=2sinB，由已知可求sinA，利用大边对大角可得A为锐角，可求cosA，利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式即可求sinC的值．（Ⅱ）由已知及正弦定理可求a=，余弦定理可求c=，利用余弦定理可得cosB=0，从而可求sinB=1，sinA=，利用大边对大角及同角三角函数基本关系式可求cosA，利用两角差的正弦函数公式即可计算得解．【解答】（本题满分为14分）解：（Ⅰ）在△ABC中，∵3a=2b，∴3sinA=2sinB又∵B=60°，代入得3sinA=2sin60°，解得sinA=．∵a：b=2：3，∴A＜B，即cosA=，∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=．…（Ⅱ）∵3a=2b，可得：a=，，∴==，解得：c2=，c=，∴cosB===0，可得：sinB=1，∵3sinA=2sinB=2，可得：sinA=，A为锐角，可得cosA==．∴sin（A﹣B）=sinAcosB﹣cosAsinB=﹣cosA=﹣．…16．如图，平行四边形ABCD⊥平面CDE，AD⊥DE．（I）求证：DE⊥平面ABCD；（Ⅱ）若M为线段BE中点，N为线段CE的一个三等分点，求证：MN不可能与平面ABCD 平行．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的性质．【分析】（1）在平面ABCD内过A作CD的垂线AP，则AP⊥平面CDE，于是AP⊥DE，结合AD⊥DE，得出DE⊥平面ABCD；（2）使用反证法证明，假设MN∥平面ABCD，由线面平行的性质得MN∥BC，与已知矛盾．【解答】证明：（1）过A作AP⊥CD，垂足为P，∵平面ABCD⊥平面CDE，平面ABCD∩平面CDE=CD，AP⊂平面ABCD，AP⊥CD，∴AP⊥平面CDE，∵DE⊂平面CDE，∴AP⊥DE，又∵DE⊥AD，AD⊂平面ABCD，AP⊂平面ABCD，AD∩AP=A，∴DE⊥平面ABCD．（2）假设MN∥平面ABCD，∵MN⊂平面BCE，平面BCE∩平面ABCD=BC，∴MN∥BC，∴，与M是BE的中点，N是CE的三等分点相矛盾．∴MN不可能与平面ABCD平行．17．已知椭圆的离心率为e，直线l：y=ex+a与x，y轴分别交于A、B点．（Ⅰ）求证：直线l与椭圆C有且仅有一个交点；（Ⅱ）设T为直线l与椭圆C的交点，若AT=eAB，求椭圆C的离心率；（Ⅲ）求证：直线l：y=ex+a上的点到椭圆C两焦点距离和的最小值为2a．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）将直线l：y=ex+a代入椭圆方程，运用判别式，结合离心率公式，化简整理即可得证；（Ⅱ）由直线l：y=ex+a，可得A（﹣，0），B（0，a），运用向量共线的坐标表示，解方程可得离心率；（Ⅲ）设F2（c，0）关于直线y=ex+a的对称点为F'（m，n），运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1和中点坐标公式，求得F'的坐标，计算|F'F1|，即可得到所求最小值．【解答】解：（Ⅰ）证明：直线l：y=ex+a代入椭圆，可得（b2+a2e2）x2+2ea3+a4﹣a2b2=0，可得判别式为4a2e6﹣4（b2+a2e2）（a4﹣a2b2）=﹣4（a4b2﹣a2b4﹣a4e2b2）=﹣4[a2b2（a2﹣b2）﹣a2c2b2]=0，即有直线l与椭圆C有且仅有一个交点；（Ⅱ）由直线l：y=ex+a，可得A（﹣，0），B（0，a），由（Ⅰ）可得x T=﹣=﹣=﹣ea，由=e，可得﹣ea+=e（0+），即e2+e﹣1=0，解得e=（负的舍去）：（Ⅲ）证明：设F2（c，0）关于直线y=ex+a的对称点为F'（m，n），即有=﹣，=+a，结合e=，b2+c2=a2，解得m=﹣c，n=2a，即为F'（﹣c，2a），则|F'F1|=2a．故直线l：y=ex+a上的点到椭圆C两焦点距离和的最小值为2a．18．如图，，点O处为一雷达站，测控范围为一个圆形区域（含边界），雷达开机时测控半径r随时间t变化函数为r=3t km，且半径增大到81km 时不再变化．一架无人侦察机从C点处开始沿CD方向飞行，其飞行速度为15km/min．（Ⅰ） 当无人侦察机在CD 上飞行t 分钟至点E 时，试用t 和θ表示无人侦察机到O 点的距离OE ；（Ⅱ）若无人侦察机在C 点处雷达就开始开机，且θ=，则雷达是否能测控到无人侦察机？请说明理由．【考点】解三角形的实际应用． 【分析】（I ）在△OCE 中，CE=15t ，使用余弦定理表示出OE ；（II ）令f （t ）=OE 2﹣r 2，通过导数判断f （t ）的单调性计算f （t ）的最小值，判断OE 与测控半径r 的大小关系． 【解答】解：（I ）在△OCE 中，CE=15t ，OC=90，由余弦定理得OE 2=OC 2+CE 2﹣2OC •CEcos θ=8100+225t 2﹣2700tcos θ． ∴OE=．（II ）令f （t ）=OE 2﹣r 2=225t 2﹣1350t +8100﹣9t 3，令r=3t =81，解得t=9．∴0≤t ≤9 ∴f ′（t ）=﹣27t 2+450t ﹣1350=﹣27（t ﹣）2+1875﹣1350＜0．∴f （t ）在[0，9]上是减函数．f （9）=225×92﹣1350×9+8100﹣9×93＞0． ∴当0≤t ≤9时，f （t ）＞0，即OE ＞r ． ∴雷达不能测控到无人侦察机．19．已知数列{a n }满足．数列{a n }前n 项和为S n ．（Ⅰ） 求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若a m a m +1=a m +2，求正整数m 的值； （Ⅲ）是否存在正整数m ，使得恰好为数列{a n }中的一项？若存在，求出所有满足条件的m 值，若不存在，说明理由． 【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）化简可得数列{a n }的奇数项构成以1为首项，2为公差的等差数列，数列{a n }的偶数项构成以2为首项，3为公比的等比数列，从而写出通项公式；（Ⅱ）分类讨论即方程的解；=3m﹣1﹣1+m2，从而可得（Ⅲ）化简S2m=1+2+3+6+…+2m﹣1+2•3m﹣1=3m﹣1+m2，S2m﹣1=1+，从而讨论求值．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴数列{a n}的奇数项构成以1为首项，2为公差的等差数列，数列{a n}的偶数项构成以2为首项，3为公比的等比数列，故a n=；=m•2•m﹣1=m+2，（Ⅱ）若m为奇数，则a m a m+1无解；=（m+1）2•m﹣2=2•m，若m为偶数，则a m a m+1即=2，解得，m=2；综上所述，m=2；（Ⅲ）由题意知，S2m=1+2+3+6+…+2m﹣1+2•3m﹣1=（1+3+5+…+2m﹣1）+（2+6+18+…+2•3m﹣1）=•m+=3m﹣1+m2，=1+2+3+6+…+2m﹣1S2m﹣1=（1+3+5+…+2m﹣1）+（2+6+18+…+2•3m﹣2）=•m+﹣2•3m﹣1=3m﹣1﹣1+m2，故==1+，若m=1，则=3=a3，若=1时，即m=2时，=2=a2，所有满足条件的m值为1，2．20．已知函数f（x）=xlnx﹣ax2+a（a∈R），其导函数为f′（x）．（Ⅰ）求函数g（x）=f′（x）+（2a﹣1）x的极值；（Ⅱ）当x＞1时，关于x的不等式f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出满足条件的a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）由题知x＞0，f'（x）=lnx﹣2ax+1，则g（x）=f'（x）+2a（x﹣1）=lnx﹣x+1，，当0＜x＜1时，，g（x）为增函数；当x＞1时，，g（x）为减函数．所以当x=1时，g（x）有极大值g（1）=0，g（x）无极小值．（Ⅱ）由题意，f'（x）=lnx﹣2ax+1，（ⅰ）当a≤0时，f'（x）=lnx﹣2ax+1＞0在x＞1时恒成立，则f（x）在（1，+∞）上单调递增，所以f（x）＞f（1）=0在（1，+∞）上恒成立，与已知矛盾，故a≤0不符合题意．（ⅱ）当a＞0时，令φ（x）=f'（x）=lnx﹣2ax+1，则，且．①当2a≥1，即时，，于是φ（x）在x∈（1，+∞）上单调递减，所以φ（x）＜φ（1）=1﹣2a≤0，即f'（x）＜0在x∈（1，+∞）上成立．则f（x）在x∈（1，+∞）上单调递减，所以f（x）＜f（1）=0在x∈（1，+∞）上成立，符合题意．②当0＜2a＜1，即时，＞1，，若，则φ'（x）＞0，φ（x）在上单调递增；若，则φ'（x）＜0，φ（x）在上单调递减．又φ（1）=1﹣2a＞0，所以φ（x）＞0在上恒成立，即f'（x）＞0在上恒成立，所以f（x）在上单调递增，则f（x）＞f（1）=0在上恒成立，所以不符合题意．综上所述，a的取值范围．三.附加题部分【选做题】（本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）A．[选修4-1几何证明选讲]（本小题满分10分）21．若AB为定圆O一条弦（非直径），AB=4，点N在线段AB上移动，∠ONF=90°，NF与圆O相交于点F，求NF的最大值．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】由NF=，线段OF的长为定值，得到需求解线段ON长度的最小值，由此能求出结果．【解答】解：∵ON⊥NF，∴NF=，∵线段OF的长为定值，即需求解线段ON长度的最小值，弦中点到圆心的距离最短，此时N为BE的中点，点F与点B或E重合，∴|NF|max=|BE|=2．B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．已知矩阵，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为=，属于特征值1的一个特征向量为=．求A的逆矩阵．【考点】特征向量的意义．【分析】根据矩阵特征值和特征向量的性质代入列方程组，求得a、b、c和d的值，求得矩阵A，丨A丨及A*，由A﹣1=×A*，即可求得A﹣1．【解答】解：矩阵A属于特征值6的一个特征向量为=，∴=6，即=，属于特征值1的一个特征向量为=．∴=，=，∴，解得：，矩阵A=，丨A丨==6，A*=，A﹣1=×A*=，∴A﹣1=．C.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．过点P（﹣3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线ρ2cos2θ=4相交于A、B两点．求线段AB 的长．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】过点P（﹣3，0）且倾斜角为30°的直线的参数方程为：（t为参数）．曲线ρ2cos2θ=4即ρ2（cos2α﹣sin2α）=4，把y=ρsinθ，x=ρcosθ代入化为直角坐标方程．把直线参数方程代入可得：t2﹣6t+10=0，利用|AB|=|t1﹣t2|=即可得出．【解答】解：过点P（﹣3，0）且倾斜角为30°的直线的参数方程为：（t为参数），曲线ρ2cos2θ=4即ρ2（cos2α﹣sin2α）=4化为x2﹣y2=4，把直线参数方程代入可得：t2﹣6t+10=0，∴t1+t2=6，t1t2=10．∴|AB|=|t1﹣t2|===．D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．设x，y，z∈R+，且x+y+z=1，求证：．【考点】不等式的证明．【分析】由x，y，z∈R+，且x+y+z=1，可得+≥2=2x，同理可得+≥2y， +≥2z，累加即可得证．【解答】证明：由x，y，z∈R+，且x+y+z=1，可得+≥2=2x，同理可得+≥2y，+≥2z，三式相加，可得+++x+y+z≥2（x+y+z），即为++≥x+y+z，则++≥1成立．四.[必做题]（第25题、第26题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）25．一个袋中有若干个红球与白球，一次试验为从中摸出一个球并放回袋中，摸出红球概率为p，摸出白球概率为q，摸出红球加1分，摸出白球减1分，现记“n次试验总得分为S n”．（Ⅰ）当时，记ξ=|S3|，求ξ的分布列及数学期望；（Ⅱ）当时，求S8=2且S i≥0（i=1，2，3，4）的概率．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）当时，ξ=|S3|的可能取值为1，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．（Ⅱ）由题意前8次试验5次摸到红球，3次摸到白球，并且满足下列条件：若第一次和第三次摸到红球，其余六次可任意有3次摸到红球，另3次摸到白球；若第一次和第二次摸到红球，第二次摸到白球，则后五次可任意三次摸到红球，另两次摸到白球．由此能求出S8=2且S i≥0（i=1，2，3，4）的概率．【解答】解：（Ⅰ）当时，ξ=|S3|的可能取值为1，3，P（ξ=1）=+=，P（ξ=3）==，∴ξ的分布列为：ξ 1 3PEξ==．（Ⅱ）∵，S8=2且S i≥0（i=1，2，3，4），∴前8次试验5次摸到红球，3次摸到白球，并且满足下列条件：若第一次和第三次摸到红球，其余六次可任意有3次摸到红球，另3次摸到白球，若第一次和第二次摸到红球，第二次摸到白球，则后五次可任意三次摸到红球，另两次摸到白球，∴S8=2且S i≥0（i=1，2，3，4）的概率：p=（）•（）5•（）3=．26．数列{a n}各项均为正数，，且对任意的n∈N*，有．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，是否存在n∈N*，使得a n＞1，若存在，试求出n的最小值，若不存在，请说明理由．【考点】数列递推式．【分析】（1）把已知数列递推式取倒数，可得，然后利用累加法证得答案；=a n+a n2＞a n，然后利用放缩法得a1＜a2＜…a2018（2）把代入已知递推式，得a n+1＜1＜a2018＜a2019＜…，从而说明存在n∈N*，使得a n＞1，且n的最小值为2018．【解答】（1）证明：由，得，即，∴，，…，累加得：，即，∵a n＞0，∴；∴数列a n单调递增，=a n+a n2＞a n，（2）解：当时，a n+1得，=a n+a n2，得由a n+1，∴，∵a i＞0（i=1，2，…，2018），∴，则a2018＜1；又，∴×2018=1．即a2018＞1．即数列{a n}满足a1＜a2＜…a2018＜1＜a2018＜a2019＜…，综上所述，存在n∈N*，使得a n＞1，且n的最小值为2018．2018年10月17日。

江苏省南通、徐州、扬州、泰州、淮安、宿迁六市2018届高三数学3月第二次调研（二模）试题(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：柱体的体积公式V 柱体＝Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为高． 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合U ＝{－1，0，1，2，3}，A ＝{－1，0，2}，则∁U A ＝________．2. 已知复数z 1＝a ＋i ，z 2＝3－4i ，其中i 为虚数单位．若z1z2为纯虚数，则实数a 的值为________．3. 某班40名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间[40，100]上，其频率分布直方图如图所示，则成绩不低于60分的人数为________．(第4题)(第3题)4. 如图是一个算法流程图，则输出的S 的值为________．5. 在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，以线段AC ，BC 为邻边作矩形，则该矩形的面积大于32 cm 2的概率为________．6. 在△ABC 中，已知AB ＝1，AC ＝2，B ＝45°，则BC 的长为________．7. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 与双曲线x 2－y23＝1有公共的渐近线，且经过点P(－2，3)，则双曲线C 的焦距为________．8. 在平面直角坐标系xOy 中，已知角α，β的始边均为x 轴的非负半轴，终边分别经过点A(1，2)，B(5，1)，则tan(α－β)的值为________．9. 设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 3，S 9，S 6成等差数列，且a 8＝3，则a 5的值为________．10. 已知a ，b ，c 均为正数，且abc ＝4(a ＋b)，则a ＋b ＋c 的最小值为________．11. 在平面直角坐标系xOy 中，若动圆C 上的点都在不等式组⎩⎨⎧x≤3，x －3y ＋3≥0，x ＋3y ＋3≥0表示的平面区域内，则面积最大的圆C 的标准方程为______________．12. 设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x －12，x ＞0，x3－3mx －2，x≤0(其中e 为自然对数的底数)有3个不同的零点，则实数m 的取值范围是________．13. 在平面四边形ABCD 中，已知AB ＝1，BC ＝4，CD ＝2，DA ＝3，则AC →·BD →的值为________．14. 已知a 为常数，函数f(x)＝x a －x2－1－x2的最小值为－23，则a 的所有值为________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，设向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(－sin β，cos β)，c ＝(－12，32)． (1) 若|a ＋b|＝|c|，求sin(α－β)的值；(2) 设α＝5π6，0＜β＜π，且a ∥(b ＋c )，求β的值．16. (本小题满分14分) 如图，在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，AB ＝AC ，点E ，F 分别在棱BB 1，CC 1上(均异于端点)，且∠ABE ＝∠ACF ，AE ⊥BB 1，AF ⊥CC 1.求证：(1) 平面AEF ⊥平面BB 1C 1C ； (2) BC ∥平面AEF.17. (本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，B 1，B 2是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的短轴端点，P 是椭圆上异于点B 1，B 2的一动点．当直线PB 1的方程为y ＝x ＋3时，线段PB 1的长为4 2.(1) 求椭圆的标准方程；(2) 设点Q满足：QB1⊥PB1，QB2⊥PB2.求证：△PB1B2与△QB1B2的面积之比为定值．将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100 dm2的矩形薄铁皮(如图)，并沿虚线l1，l2裁剪成A，B，C三个矩形(B，C全等)，用来制成一个柱体．现有两种方案：方案①：以l1为母线，将A作为圆柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面；方案②：以l2为侧棱，将A作为正四棱柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个正方形(各边分别与l1或l2垂直)作为正四棱柱的两个底面．(1) 设B，C都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面半径；(2) 设l1的长为x dm，则当x为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？设等比数列a1，a2，a3，a4的公比为q，等差数列b1，b2，b3，b4的公差为d，且q≠1，d≠0. 记c i＝a i＋b i(i＝1，2，3，4)．(1) 求证：数列c1，c2，c3不是等差数列；(2) 设a1＝1，q＝2.若数列c1，c2，c3是等比数列，求b2关于d的函数关系式及其定义域；(3) 数列c1，c2，c3，c4能否为等比数列？并说明理由．设函数f(x)＝x －asin x(a ＞0)．(1) 若函数y ＝f(x)是R 上的单调增函数，求实数a 的取值范围；(2) 设a ＝12，g(x)＝f(x)＋bln x ＋1(b ∈R ，b ≠0)，g ′(x)是g(x)的导函数．①若对任意的x ＞0，g ′(x)＞0，求证： 存在x 0，使g(x 0)＜0；②若g(x 1)＝g(x 2)(x 1≠x 2)，求证： x 1x 2＜4b 2.数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修41：几何证明选讲)如图，A ，B ，C 是圆O 上的3个不同的点，半径OA 交弦BC 于点D.求证：DB·D C ＋OD 2＝OA 2.B. (选修42：矩阵与变换)在平面直角坐标系xOy 中，已知A(0，0)，B(3，0)，C(2，2)．设变换T 1，T 2对应的矩阵分别为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002，矩阵N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001，求对△ABC 依次实施变换T 1，T 2后所得图形的面积．C. (选修44：坐标系与参数方程)在极坐标系中，求以点P(2，π3)为圆心且与直线l ：ρsin(θ－π3)＝2相切的圆的极坐标方程．D. (选修45：不等式选讲)已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝12，求证：1－a ＋cc （a ＋2b ）≥2.【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 在某公司举行的年终庆典活动中，主持人利用随机抽奖软件进行抽奖：由电脑随机生成一张如图所示的3×3表格，其中1格设奖300元，4格各设奖200元，其余4格各设奖100元，点击某一格即显示相应金额．某人在一张表中随机不重复地点击3格，记中奖总金额为X 元．(1) 求概率P(X ＝600)；(2) 求X 的概率分布及数学期望E(X)．23. 已知(1＋x)2n ＋1＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n ＋1x 2n ＋1，n ∈N *.记T n ＝(2k ＋1)a n －k . (1) 求T 2的值；(2) 化简T n 的表达式，并证明：对任意的n ∈N *，T n 都能被4n ＋2整除．参考答案1. {1，3}2. 433. 304. 1255. 136. 2＋627. 4 38. 979. －6 10. 811. (x －1)2＋y 2＝4 12. (1，＋∞) 13. 10 14. 4，1415. 解：(1) 因为a ＝(cos α，sin α)，b ＝(－sin β，cos β)，c ＝(－12，32)，所以|a|＝|b|＝|c|＝1，且a·b ＝－cos αsin β＋sin αcos β＝sin(α－β)．(3分)因为|a ＋b|＝|c|，所以|a ＋b|2＝c 2，即a 2＋2a·b ＋b 2＝1，所以1＋2sin(α－β)＋1＝1，即sin(α－β)＝－12.(6分)(2) 因为α＝5π6，所以a ＝(－32，12)．故b ＋c ＝(－sin β－12，cos β＋32)．(8分)因为a ∥(b ＋c )，所以－32(cos β＋32)－12(－sin β－12)＝0. 化简得12sin β－32cos β＝12，所以sin(β－π3)＝12.(12分)因为0<β<π，所以－π3<β－π3<2π3.所以β－π3＝π6，即β＝π2.(14分)16. 证明：(1) 在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，BB 1∥CC 1. 因为AF ⊥CC 1，所以AF ⊥BB 1.(2分) 又AE ⊥BB 1，AE ∩AF ＝A ，AE ，AF ⊂平面AEF ，所以BB 1⊥平面AEF.(5分)因为BB 1⊂平面BB 1C 1C ，所以平面AEF ⊥平面BB 1C 1C.(7分) (2) 因为AE ⊥BB 1，AF ⊥CC 1，∠ABE ＝∠ACF ，AB ＝ AC ， 所以Rt △AEB ≌Rt △AFC.所以BE ＝CF.(9分)又由(1)知，BE ∥CF ，所以四边形BEFC 是平行四边形．故BC ∥EF.(11分) 又BC ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，所以BC ∥平面AEF.(14分) 17. 解：设P(x 0，y 0)，Q(x 1，y 1)．(1) 在y ＝x ＋3中，令x ＝0，得y ＝3，从而b ＝3.(2分)由⎩⎪⎨⎪⎧x2a2＋y29＝1，y ＝x ＋3得x2a2＋（x ＋3）29＝1，所以x 0＝－6a29＋a2.(4分)因为PB 1＝x20＋（y 0－3）2＝2|x 0|, 所以42＝2·6a29＋a2，解得a 2＝18.所以椭圆的标准方程为x218＋y29＝1.(6分)(2) (方法1)直线PB 1的斜率为kPB 1＝y0－3x0，由QB 1⊥PB 1，所以直线QB 1的斜率为kQB 1＝－x0y0－3. 于是直线QB 1的方程为y ＝－x0y0－3x ＋3.同理，QB 2的方程为y ＝－x0y0＋3x －3.(8分)联立两直线方程，消去y ，得x 1＝y20－9x 0.(10分)因为P(x 0，y 0)在椭圆x218＋y29＝1上，所以x2018＋y209＝1，从而y20－9＝－x202.所以x 1＝－x02.(12分)所以S△PB1B2S△QB1B2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x0x1＝2.(14分)(证法2)设直线PB 1，PB 2的斜率为k ，k ′，则直线PB 1的方程为y ＝kx ＋3.由QB 1⊥PB 1，直线QB 1的方程为y ＝－1kx ＋3.将y ＝kx ＋3代入x218＋y29＝1，得(2k 2＋1)x 2＋12kx ＝0，因为P 是椭圆上异于点B 1，B 2的点，所以x 0≠0，从而x 0＝－12k2k2＋1.(8分)因为P(x 0，y 0)在椭圆x218＋y29＝1上，所以x2018＋y209＝1，从而y20－9＝－x202.所以k·k ′＝y0－3x0·y0＋3x0＝y20－9x20＝－12，得k ′＝－12k.(10分)由QB 2⊥PB 2，所以直线QB 2的方程为y ＝2kx －3.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k x ＋3，y ＝2kx －3则x ＝6k 2k2＋1，即x 1＝6k 2k2＋1.(12分)所以S△PB1B2S△QB1B2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x0x1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12k 2k2＋16k2k2＋1＝2.(14分) 18. 解：(1) 设所得圆柱的半径为r dm, 则(2πr ＋2r)×4r ＝100，(4分)解得r ＝52（π＋1）2（π＋1）.(6分)(2) 设所得正四棱柱的底面边长为a dm ，则⎩⎪⎨⎪⎧a≤x 2，a≤100x －4a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a≤x 2，a≤20x.(9分)(方法1)所得正四棱柱的体积V ＝a 2x ≤⎩⎪⎨⎪⎧x34，0<x≤210，400x，x>210.(11分)记函数p(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x34，0<x≤210，400x，x>210，则p(x)在(0，210]上单调递增，在[210，＋∞)上单调递减， 所以当x ＝210时，p max (x)＝2010.所以当x ＝210，a ＝10时，V max ＝2010(dm 3)．(14分)(方法2)2a ≤x ≤20a，从而a ≤10.(11分)所得正四棱柱的体积V ＝a 2x ≤a 2(20a)＝20a ≤2010.所以当a ＝10，x ＝210时，V max ＝2010(dm 3)．(14分)答：(1) 圆柱的底面半径为52（π＋1）2（π＋1）dm ；(2) 当x 为210时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大．(16分) 【评分说明】①直接“由x·(2x ＋x2)＝100得x ＝210时正四棱柱的体积最大”给2分；②方法1中的求解过程要体现V ≤p(x)≤210，凡写成V ＝p(x)≤210的最多得5分， 其他类似解答参照给分．19. (1) 证明：假设数列c 1，c 2，c 3是等差数列，则2c 2＝c 1＋c 3，即2(a 2＋b 2)＝(a 1＋b 1)＋(a 3＋b 3)．因为b 1，b 2，b 3是等差数列，所以2b 2＝b 1＋b 3，从而2a 2＝a 1＋a 3.(2分) 因为a 1，a 2，a 3是等比数列，所以a22＝a 1a 3.所以a 1＝a 2＝a 3，这与q ≠1矛盾，从而假设不成立． 所以数列c 1，c 2，c 3不是等差数列．(4分)(2) 解：因为a 1＝1，q ＝2，所以a n ＝2n －1.因为c22＝c 1c 3，所以(2＋b 2)2＝(1＋b 2－d)(4＋b 2＋d)，即b 2＝d 2＋3d.(6分)由c 2＝2＋b 2≠0，得d 2＋3d ＋2≠0，所以d ≠－1且d ≠－2.又d ≠0，所以b 2＝d 2＋3d ，定义域为{d ∈R |d ≠－1，d ≠－2，d ≠0}．(8分) (3) 解：(解法1)设c 1，c 2，c 3，c 4成等比数列，其公比为q 1，则⎩⎪⎨⎪⎧a1＋b1＝c1 ①，a1q ＋b1＋d ＝c1q1 ②，a1q2＋b1＋2d ＝c1q21 ③，a 1q 3＋b 1＋3d ＝c 1q31 ④.(10分)将①＋③－2×②，得a 1(q －1)2＝c 1(q 1－1)2⑤，将②＋④－2×③，得a 1q(q －1)2＝c 1q 1(q 1－1)2⑥，(12分) 因为a 1≠0，q ≠1，由⑤得c 1≠0，q 1≠1. 由⑤⑥得q ＝q 1，从而a 1＝c 1.(14分)代入①得b 1＝0. 再代入②得d ＝0，与d ≠0矛盾． 所以c 1，c 2，c 3，c 4不成等比数列．(16分)(解法2)假设数列c 1，c 2，c 3，c 4是等比数列，则c2c1＝c3c2＝c4c3.(10分)所以c3－c2c2－c1＝c4－c3c3－c2，即a3－a2＋d a2－a1＋d ＝a4－a3＋d a3－a2＋d.两边同时减1，得a3－2a2＋a1a2－a1＋d ＝a4－2a3＋a2a3－a2＋d.(12分)因为等比数列a 1，a 2，a 3，a 4的公比为q(q ≠1)，所以a3－2a2＋a1a2－a1＋d ＝q （a3－2a2＋a1）a3－a2＋d.又a 3－2a 2＋a 1＝a 1(q －1)2≠0，所以q(a 2－a 1＋d)＝a 3－a 2＋d ，即(q －1)d ＝0.(14分) 这与q ≠1，且d ≠0矛盾，所以假设不成立． 所以数列c 1，c 2，c 3，c 4不能为等比数列．(16分)20. (1) 解：由题意，f ′(x)＝1－acos x ≥0对x ∈R 恒成立．因为a>0，所以1a≥cos x 对x ∈R 恒成立．因为(cos x)max ＝1，所以1a ≥1，从而0<a ≤1.(3分)(2) 证明：① g(x)＝x －12sin x ＋bln x ＋1，所以g ′(x)＝1－12cos x ＋bx.若b<0，则存在－b 2>0，使g ′(－b 2)＝－1－12cos(－b2)<0，不合题意，所以b>0.(5分)取x 0＝e －3b，则0<x 0<1.此时g(x 0)＝x 0－12sin x 0＋bln x 0＋1<1＋12＋bln e －3b ＋1＝－12<0.所以存在x 0>0，使g(x 0)<0.(8分)②依题意，不妨设0<x 1<x 2，令x2x1＝t ，则t>1.由(1)知函数y ＝x －sin x 单调递增，所以x 2－sin x 2>x 1－sin x 1. 从而x 2－x 1>sin x 2－sin x 1. (10分)因为g(x 1)＝g(x 2)，所以x 1－12sin x 1＋bln x 1＋1＝x 2－12sin x 2＋bln x 2＋1，所以－b(ln x 2－ln x 1)＝x 2－x 1－12(sin x 2－sin x 1)>12(x 2－x 1)，所以－2b>x2－x1ln x2－ln x1>0.(12分)下面证明x2－x1ln x2－ln x1>x1x2，即证明t －1ln t >t ，只要证明ln t －t －1t<0 (*)．设h(t)＝ln t －t －1t (t>1)，所以h ′(t)＝－（t －1）22t t<0在(1，＋∞)上恒成立． 所以h(t)在(1，＋∞)上单调递减，故h(t)<h(1)＝0，从而(*)得证．所以－2b>x1x2， 即x 1x 2<4b 2.(16分)21. A. 证明：延长AO 交圆O 于点E ，则BD·D C ＝DE·D A ＝(OD ＋OE)·(O A －OD)．(5分)因为OE ＝OA ，所以DB·D C ＝(OA ＋OD)·(O A －OD)＝OA 2－OD 2.所以DB·D C ＋OD 2＝OA 2.(10分)B. 解：依题意，依次实施变换T 1，T 2所对应的矩阵NM ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 2.(5分) 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤30＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤60，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤44. 所以A(0，0)，B(3，0)，C(2，2)分别变为点A ′(0，0)，B ′(6，0)，C ′(4，4)．从而所得图形的面积为12×6×4＝12.(10分) C. 解：以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系xOy.则点P 的直角坐标为(1，3)．(2分)将直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2的方程变形为ρsin θcos π3－ρcos θsin π3＝2， 化为普通方程，得3x －y ＋4＝0.(5分)所以P(1，3)到直线l ：3x －y ＋4＝0的距离为4（3）2＋（－1）2＝2. 故所求圆的普通方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4.(8分) 化为极坐标方程，得ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6.(10分) D. 证明：因为a ，b ，c 为正实数，所以1－a ＋cc （a ＋2b ）＝a ＋2b ＋3cc （a ＋2b ）＝（a ＋c ）＋2（b ＋c ）ac ＋2bc ≥2ac ＋4bc ac ＋2bc＝2(当且仅当a ＝b ＝c 取“＝”)．(10分) 22. 解：(1)从3×3表格中随机不重复地点击3格，共有C39种不同情形，则事件“X ＝600”包含两类情形：第一类是3格各得奖200元；第二类是1格得奖300元，1格得奖200元，1格得奖100元．其中第一类包含C34种情形，第二类包含C11·C14·C14种情形，所以P(X ＝600)＝C34＋C11·C14·C14C39＝521.(3分) (2) X 的所有可能值为300，400，500，600，700，则P(X ＝300)＝C34C39＝484＝121，P(X ＝400)＝C11·C24C39＝2484＝27， P(X ＝500)＝C11·C24＋C14·C24C39＝3084＝514，P(X ＝700)＝C11·C24C39＝684＝114. 所以X(8分)所以E(X)＝300×121＋400×27＋500×514＋600×521＋700×114＝500.(10分) 23. 解：由二项式定理，得a i ＝Ci 2n ＋1(i ＝0，1，2，…，2n ＋1)．(1) T 2＝a 2＋3a 1＋5a 0＝C25＋3C15＋5C05＝30.(2分)(2) 因为(n ＋1＋k)C n ＋1＋k 2n ＋1＝(n ＋1＋k)·（2n ＋1）！（n ＋1＋k ）！（n －k ）！＝（2n ＋1）·（2n ）！（n ＋k ）！（n －k ）！＝(2n ＋1)Cn ＋k 2n ，(4分)（8分）T n ＝(2n ＋1)Cn 2n ＝(2n ＋1)(Cn －12n －1＋Cn 2n －1)＝2(2n ＋1)Cn 2n －1.因为Cn 2n －1∈N *，所以T n 能被4n ＋2整除．(10分)。

扬州市2018—2018学年度第二次调研测试试题高三化学2018.4本试卷分试题卷和答题卡两部分。

共150分。

考试时间120分钟。

第一部分（共74分）与本卷有关的相对原子质量：H：1 C：12 N：14 O：16 F：19 Na：23 S：32 K：39 Fe：56 Cu：64 I：127一、选择题（本题包括8小题，每小题4分，共32分。

每小题只有一个选项符合题意。

）1．党的十六届三中全会提出“坚持以人为本，树立全面、协调、可持续的发展观，促进经济社会和人的全面发展。

”下列行为中不符合科学发展观的是A．采用“绿色化学”工艺，使原料尽可能转化为所需要的物质B．大量开采地下水，以满足社会对水的需求C．减少直至不使用对大气臭氧层起破坏作用的氟氯烃D．节约能源，提高能源利用率2．随着人们生活节奏的加快，方便的小包装食品已被广泛接受。

为了延长食品的保质期，防止食品受潮及某些食品氧化变质，在包装袋中应放入的化学物质是A．无水硫酸铜、蔗糖B．食盐、还原铁粉C．硅胶、还原铁粉D．生石灰、食盐3．关于工业生产的下列叙述中，不正确．．．的是A．工业上采用电解熔融氯化铝的方法制取金属铝B．工业上用离子交换膜法电解饱和食盐水制烧碱C．工业上以氮气和氢气为原料，用铁作催化剂，在500℃条件下合成氨，采用2×107Pa～5×107Pa，而没有采用更大压强是从设备和动力要求方面考虑的D．工业生产硫酸时，使用热交换器可以充分利用反应中所放出的热量4．25℃、101kPa时，1g甲醇完全燃烧生成CO2和液态水，同时放出22.68kJ热量，下列表示该反应的热化学方程式的是A．CH3OH(l)＋O2(g)＝CO2(g)＋2H2O(l)；△H＝－725.8kJ·mol－1B．2CH3OH(l)＋3O2(g)＝2CO2(g)＋4H2O(l)；△H＝＋145.6kJ·mol－1C．2CH3OH(l)＋3O2(g)＝2CO2(g)＋4H2O(l)；△H＝－22.68kJ·mol－1D．CH3OH(l)＋O2(g)＝CO2(g)＋2H2O(g)；△H＝－725.8kJ·mol－15．某同学设计实验证明NaOH溶液能使酚酞试液变红是OH－的性质，其中没有意义．．．．的是A．取KOH、Ba(OH)2、Ca(OH)2溶液分别与酚酞试液作用，观察溶液颜色B．取NaOH、NaCl、HCl溶液分别与酚酞试液作用，观察溶液颜色C．向滴有酚酞的20.00mL 0.10mol·L－1 NaOH溶液中，逐滴加25.0mL0.10mol·L－1盐酸，观察溶液颜色的变化D．向滴有酚酞的25.0mL 0.10mol·L－1盐酸中，逐滴加20.00mL 0.10mol·L－1 NaOH 溶液，观察溶液颜色的变化6．在给定的四种溶液中，加入以下各种离子，各离子有可能在原溶液中较大量共存的是A．滴加石蕊试液显红色的溶液：Fe3+、NH4+、Cl－、SCN－B．pH为1的溶液：Ca2+、Na+、Mg2+、NO3－C．同铝反应放出氢气的溶液：K+、HCO3－、Br－、Ba2+D．所含溶质为Na2S2O3的溶液：K+、SO42－、NO3－、H+7．由一种阳离子与两种酸根离子组成的盐称为混盐。

（第4题）2018届高三第二次调研测试（扬州、徐州、泰州、南通、淮安、宿迁）数学学科一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1． 已知集合{}{} 1012 3 10 2 U A =-=-，，，，，，，，则UA = ▲ ．2． 已知复数12i 34i z a z =+=-，，其中i 为虚数单位．若12z z 为纯虚数，则实数a 的值为 ▲ ． 3． 某班40名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间[]40100，上，其频率分布直方图如图 所示，则成绩不低于60分的人数为 ▲ ．4． 如图是一个算法流程图，则输出的S 的值为▲ ． 5． 在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，以线段AC ，BC 为邻边作矩形，则该矩形的面积大于32 cm 2的概率为 ▲ ．6． 在ABC △中，已知145AB AC B ===︒，，则BC 的长为 ▲ ．7． 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 与双曲线2213y x -=有公共的渐近线，且经过点()2P -，则双曲线C 的焦距为 ▲ ．8． 在平面直角坐标系xOy 中，已知角αβ，的始边均为x 轴的非负半轴，终边分别经过点 (12)A ，，(51)B ，，则tan()αβ-的值为 ▲ ． 9． 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若396S S S ，，成等差数列，且83a =，则5a 的值为 ▲． 10．已知a b c ，，均为正数，且4()abc a b =+，则a b c ++的最小值为 ▲ ．11．在平面直角坐标系xOy 中，若动圆C 上的点都在不等式组33030x x x⎧⎪+⎨⎪++⎩≤，≥，≥表示的平面成绩/分（第3题）区域内，则面积最大的为▲．12．设函数31e02()320x xf xx mx x-⎧->⎪=⎨⎪--⎩≤，，，（其中e为自然对数的底数）有3个不同的零点，则实数m的取值范围是▲．13．在平面四边形ABCD中，已知1423AB BC CD DA====，，，，则AC BD⋅的值为▲．14．已知a为常数，函数()f x的最小值为23-，则a的所有值为▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，设向量()cos sinαα=，a，()sin cosββ=-，b，()12=-c．（1）若+=a b c，求sin()αβ-的值；（2）设5π6α=，0πβ<<，且()//+a b c，求β的值．16．（本小题满分14分）如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AB ??AC，点E，F分别在棱BB1?，CC1上（均异于端点），且∠ABE?∠ACF，AE⊥BB1，求证：（1）平面AEF⊥平面BB1C1C；（2）BC22221(0)yx a ba b+=>>3y x=+112211121 10q d≠≠，i i ic a b=+123c c c，，11a=2q=123c c c，，1234c c c c，，，()sin(0)f x x a x a=->()y f x=1()()ln1(0)2a g x f xb x b b==++∈≠R，，()g x'()g x0()0x g x'>>，x，()0g x<1212()()()g x g x x x=≠2124x x b<（第17题）C（第4题）22DB DC OD OA⋅+=(00)(30)(22)A B C，，，，，1T2T1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M2001⎡⎤=⎢⎥⎣⎦N1T 2T()23Pπ，l()sin23ρθπ-=⨯()600P X=X()E X212012(1)nx a a x a x++=+++2121nna x+++*n∈N(21)nn n kkT k a-==+∑2T n T*n∈NnT 42n+{}{}1012 3 10 2U A=-=-，，，，，，，UA={}13，12i34iz a z=+=-，i12zz43[]40100，SABC△145AB AC B===︒，BC xOy C2213yx-=()2P-C αβ，(12)A，(51)B，tan()αβ-97{}nanS396S S S，，83a=5a6-a b c，，4()abc a b=+a b c++C33030xxx⎧⎪-+⎨⎪++⎩≤，≥，≥22(1)4x y-+= 31e02()320x xf xx mx x-⎧->⎪=⎨⎪--⎩≤，，，e m()1+∞，ABCD1423AB BC CD DA====，，，AC BD⋅a()f x=23-a144，C1m>{}1m m>xOy ()cos sinαα=，a()sin cosββ=-，b()12=-c+=a b c sin()αβ-5π6α=0πβ<<()//+a b cβ()cos sinαα=，a()sin cosββ=-，b()12=-c1===a b c cos sin sin cos sin()αβαβαβ⋅=-+=-a b成绩/分（第3题）+=a b c 22+=a bc ⋅12sin ()11αβ+-+=1sin ()2αβ-=-5π6α=()12=，a ()1sin cos 2ββ+=--，b c ()//+a bc )()11cos sin 022ββ---=11sin 22ββ-=()π1sin 32β-=0πβ<<ππ2π333β-<-<ππ36β-=π2β=cos sin sin cos sin ()αβαβαβ⋅=-+=-a b a 2 ??2 a ⋅b ??b 2 ??1， 每个2分，没有先后顺序。