2018年江苏南京市高考数学一模试卷

2018年南京市高三第一次质量检测数 学 2018.2一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的 四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．（1）与向量(12,5)a =平行的单位向量为（ ）A ．125(,)1313-B ．125(,)1313--C ．125(,)1313或125(,)1313--D ．125(,)1313±±（2）函数2log (2)y x =+的定义域为（ ）A.．(,1)(3,)-∞-+∞ B ．(,1][3,)-∞-+∞ C ．(2,1]-- D ．(2,1][3,)--+∞ （3）已知样本:10 8 6 10 13 8 10 12 11 78 9 11 9 12 9 10 11 12 12那么频率为0.3的范围是（ ）A ．5.5~7.5B ．7.5~9.5C ．9.5~11.5D ．11.5~13.5 （4）已知直线m 、n 和平面α，则m ∥n 的一个必要条件是（ ）A ．m ∥α，n ∥α Ｂ．m ⊥α，n ⊥α C ．m ∥α，n ⊂α D ．m 、n 与α成等角 （5）若正数b a 、满足3++=b a ab ，则b a +的取值范围是（ ）A ．),9[+∞ Ｂ．),6[+∞ C ．]9,0( D ．)6,0(（6）设双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列，则双曲线的离心率为（ ）A B C D （7）若函数y =f (x ) (x ∈R )满足f (x +2)=f (x )，且x ∈(－1,1]时，f (x )=|x |．则函数y =f (x )的图象与函数y =log 4|x |的图象的交点的个数为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．8（8）已知点P 是抛物线22y x =上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标是7(,4)2A ，则||||PA PM +的最小值是（ ） A ．112 B ．4 C ．92D ．5（9）已知函数()y f x =的图象与函数21x y -=-的图象关于直线y x =对称，则(3)f 的值为 （ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-（10）能够使得圆222410x y x y +-++=上恰有两个点到直线20x y c ++=距离等于1的c 的一个值为（ ）A ．2C ．3 D．（11）关于x 的不等式ax-b >0的解集是(1,+∞)，则关于x 的不等式02>-+x bax 的解集是（ ） A ．(-∞,-1)∪(2,+∞) B ．(-1,2) C ．(1,2) D ．(-∞,1)∪(2,+∞)（12）由0，1，2，…，9这十个数字组成的、无重复数字的四位数中，个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的个数为（ ）A.180B.196C.210D.224第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．（13）如图，已知点E 是棱长为2的正方体1AC 的棱1AA 的中点，则点A 到平面EBD 的距离等于_____________．（14）若123n a n =++++ ，则数列1{}na 的前n 项和n S =_____________．（15）已知1sincos,222θθ+=则cos 2θ= ． （16）有两个向量1(1,0)e = ，2(0,1)e =，今有动点P ，从0(1,2)P -开始沿着与向量12e e + 相同的方向作匀速直线运动，速度为12||e e +；另一动点Q ，1A 1B 1C 1D DC BAE从0(2,1)Q --开始沿着与向量1232e e + 相同的方向作匀速直线运动，速度为12|32|e e +．设P 、Q 在时刻0t =秒时分别在0P 、0Q 处，则当00PQ P Q ⊥ 时，t = 秒． 三、解答题：本大题6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．(17)(本小题满分12分)某厂生产的A 产品按每盒10件进行包装，每盒产品均需检验合格后方可出厂．质检办法规定：从每盒10件A 产品中任抽4件进行检验，若次品数不超过1件，就认为该盒产品合格；否则，就认为该盒产品不合格．已知某盒A 产品中有2件次品．（1）求该盒产品被检验合格的概率；（2）若对该盒产品分别进行两次检验，求两次检验得出的结果不一致的概率．(18)(本小题满分12分)已知偶函数f (x )=cos θsin x －sin(x －θ)+(tan θ－2)sin x －sin θ的最小值是0，求f (x )的最大值及此时x 的集合．(19) (本小题满分12分)如图，直三棱柱111ABC A B C -中，112AB AC AA ==，90BAC ∠=，D 为棱1BB 的中点．（Ⅰ）求异面直线1C D 与1AC 所成的角； （Ⅱ）求证：平面1A DC ⊥平面ADC ．(20) (本小题满分12分)已知二次函数f (x )满足：①在x =1时有极值； ②图象过点(0,-3)，且在该点处的切线与直线2x +y =0平行．（I ）求f (x )的解析式；（II ）求函数g (x )=f (x 2)的单调递增区间 (21) (本小题满分12分)等差数列{}n a 中，12a =，公差d 是自然数，等比数列{}n b 中，1122,b a b a ==．A CB A 1C 1B 1D（1）试找出一个d 的值，使{}n b 的所有项都是{}n a 中的项；再找出一个d 的值，使{}n b 的项不都是{}n a 中的项（不必证明）；（Ⅱ）判断4d =时，是否{}n b 所有的项都是{}n a 中的项， 并证明你的结论；（Ⅲ）探索当且仅当d 取怎样的自然数时，{}n b 的所有项都是{}n a 中的项，并说明理由． (22)(本小题满分14分)如图，已知过点D (2,0)-的直线l 与椭圆2212xy +=交于不同的两点A 、B ，点M 是弦AB 的中点．（Ⅰ）若O P O A O B =+，求点P 的轨迹方程； （Ⅱ）求||||MD MA 的取值范围．2018年南京市高三数学第一次质量检测参考解答及评分标准一、选择题：每小题5分，满分60分．(1)C (2)D (3) B (4)D (5) B (6) B (7)C (8)C (9)D (10)C (11)A (12)C 二、填空题：每小题4分，满分16分．(14)21n n +； (15)18-； (16)2．三、解答题（17）(本小题满分12分)解: (1)从该盒10件产品中任抽4件，有等可能的结果数为410C 种，……………………1＇ 其中次品数不超过1件有431882C C C +种，…………………………………………………2＇被检验认为是合格的概率为431882410C C C C +……………4＇（本步正确，对上两步不作要求）1315=．……………………………………………………6＇ (2)两次检验是相互独立的，可视为独立重复试验，…………………………………………7＇ 因两次检验得出该盒产品合格的概率均为1315， 故“两次检验得出的结果不一致”即两次检验中恰有一次是合格的概率为121313C (1)1515⋅⋅-…………………………………10＇ 52225=．…………………………………………11＇ 答：该盒产品被检验认为是合格的概率为1315；两次检验得出的结果不一致的概率为52225．…………………………………………………………………………………………………12＇ 说明：两小题中没有简要的分析过程，各扣1分．（18）(本小题满分12分)解：f (x )=cos θsin x －(sin x cos θ－cos x sin θ)+(tan θ－2)sin x －sin θ=sin θcos x +(tan θ－2)sin x －sin θ．……………………………………………………1'因为f (x )是偶函数，所以对任意x ∈R ，都有f (－x )=f (x )，……………………………………………………2' 即sin θcos(－x )+(tan θ－2)sin(－x )－sin θ=sin θcos x +(tan θ－2)sin x －sin θ, 即(tan θ－2)sin x =0，所以tan θ=2．……………………………………………………………………………5'由22sin cos 1,sin 2,cos θθθθ⎧+=⎪⎨=⎪⎩…………………………………………………………………6'解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==；，55cos 552sin θθ 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.55cos 552sin θθ，……………………………………………………………………8' 此时，f (x )=sin θ(cos x －1).当sin θ=552时，f (x )=552(cos x －1)最大值为0，不合题意最小值为0，舍去；.……9' 当sin θ=552-时，f (x )=552-(cos x －1)最小值为0， 当cos x =－1时，f (x )有最大值为554,…………………………………………11' 自变量x 的集合为{x |x =2k π+π,k ∈Z }．.…………………………………………………12'（19）(本小题满分12分) 解法一：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系. 设AB a =， 则11(0,0,2),(0,,0),(0,,2),(,0,)A a C a C a a D a a ，于是11(,,),(0,,2)C D a a a AC a a =--=-．x111111cos ,||||C D A C C D A C C D A C ⋅<>=⋅2215==，∴异面直线1C D 与1AC所成的角为15．（Ⅱ）1(,0,),(,0,),(0,,0)A D a a AD a a AC a =-==，221100,0A D AD a a A D AC ∴⋅=+-=⋅=.则11,A D AD A D AC ⊥⊥．1A D ∴⊥平面ACD ． 又1A D ⊂平面1ACD ， ∴ 平面1A DC ⊥平面ADC ．解法二：（Ⅰ）连结1AC 交1AC 于点E ，取AD 中点F ，连结EF ，则EF ∥1C D ．∴直线EF 与C A 1所成的角就是异面直线1C D 与1AC 所成的角． 设AB a =，则1C D== ，1AC ==．AD ==．CEF ∆中，1122CE AC ==，1122EF C D ==，直三棱柱中，90BAC ∠= ，则AD AC ⊥．2CF ===．ACBA 1C 1B 1 D FE…………2'…………4'…………12'…………11' …………10' …………7'…………6'222222533cos21522a a aCE EF CFCEFCE EF+-+-∠===⋅，∴异面直线1C D与1AC所成的角为15．（Ⅱ）直三棱柱中，90BAC∠= ，AC∴⊥平面11ABB A．则1AC A D⊥．又AD=，1A D=，12AA a=，则22211AD A D AA+=，于是1AD A D⊥．1A D∴⊥平面ACD．又1A D⊂平面1ACD，∴平面1A DC⊥平面ADC．（20）(本小题满分12分)解：（I）设f(x)=ax2+bx+c，则f '(x)=2ax+b．………………………………………………1'由题设可得：⎪⎩⎪⎨⎧-=-='=',3)0(,2)0(,0)1(fff即⎪⎩⎪⎨⎧-=-==+.3,2,02cbba…………………………………………4'解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-==.3,2,1cba…………………………………………………………………………5'所以f(x)=x2-2x-3．……………………………………………………………………6'（II）g(x)=f(x2)=x4－2x2－3，g'(x)=4x3－4x=4x(x－1)(x+1)．………………………8'列表：………………………………………………………………………………………11'由表可得：函数g(x)的单调递增区间为(-1,0)，(1,+∞)．………………………12'（21）(本小题满分12分)…………6'…………7'…………8'…………10'解：（Ⅰ）0d=时，{}n a 的项都是{}n b 中的项；…………………2＇（任一非负偶数均可）1d =时，{}n a 的项不都是{}n b 中的项．……………………3＇（任一正奇数均可）（Ⅱ）4d=时，422(21),n a n n =-=-…………………………………………………4＇123n n b -=⨯……………………………………………………………5＇131 2(21)2n m a -+=⨯-=131(2n m -+=为正整数），{}n b 的项一定都是{}n a 中的项．……………………………………………………………………………7＇（Ⅲ）当且仅当d 取2(*)k k ∈N （即非负偶数）时，{}n b 的项都是{}n a 中的项．理由是：……………………………………………………………………………………………9＇ ①当2(*)dk k =∈N 时，2(1)22[1(1)],n a n k n k =+-⋅=+-⋅2n >时，11122112(1)2(C C 1)n n n n n n n b k k k k ------=⋅+=++⋅⋅⋅++， 其中112211C C n n n n n kk k -----++⋅⋅⋅+是k 的非负整数倍，设为Ak （*A ∈N ）， 只要取1m A =+即（m 为正整数）即可得n m b a =，即{}n b 的项都是{}n a 中的项；……11＇②当21,()d k k =+∈N 时，23(23)2k b +=不是整数，也不可能是{}n a 的项．…………12＇（22）(本小题满分14分)解：（Ⅰ）①若直线l ∥x 轴，则点P 为(0,0)；………………………………………………1＇ ②设直线:2l x my =-，并设点,,,A B M P的坐标分别是112200(,),(,),(,),(,)A x y B x y M x y P x y ，由222,22x my x y =-⎧⎨+=⎩消去x ，得 22(2)420m y my +-+=， ①……………………2＇ 由直线l 与椭圆有两个不同的交点，可得22(4)8(2)0m m ∆=--+>，即28(2)0m ->，所以22m>．……………………………………………………………4＇由OP OA OB =+ 及方程①，得12242m y y y m =+=+，121228(2)(2)2x x x my my m =+=-+-=-+，即228,24.2x m m y m ⎧=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩…………………………………………………………………………6＇由于0m ≠（否则，直线l 与椭圆无公共点），将上方程组两式相除得，2ymx=-，代入到方程282x m =-+，得282()2x yx=--+，整理，得22240x y x ++=（20)x -<<．综上所述，点P 的轨迹方程为22240x y x ++=（20)x -<≤．……………………8＇（Ⅱ）①当l ∥x 轴时，,A B 分别是椭圆长轴的两个端点，则点M在原点O处，所以，||2,||MD MA ==||||MD MA =……………………………………………9＇②由方程①，得12022,22y y my m +==+所以，0|||D MD y y =-=，01|||MA y y =-==所以||||MD MA ==…………………………………………………12＇因为22m >，所以22(1,0)m -∈-(0,1)，所以||)||MD MA ∈+∞．综上所述，||)||MD MA ∈+∞．…………………………………………………………14＇。

2018年南京市高三数学第一次模拟考试本试卷共150分 考试时间120分钟 2018. 3. 13 学校 班级 学号 姓名 得分 一. 选择题（本大题共12小题；每小题5分，共60分）1. 以下可以估计总体稳定性的统计量是 ………………………………………( ) A. 样本平均数 B. 样本中位数 C. 样本方差 D. 样本最大值2. 函数)0x (1x y ≥-=y 的反函数是……………………………………… ( )A. )0x ()1x (y 2≥+=B. )1x ()1x (y 2-≥+=C. )0x ()1x (y 2≥-=D. )1x ()1x (y 2-≥-=3.若向量n 与直线l 垂直, 则称向量n 为直线l 的法向量. 直线03y 2x =++的一个法向量为 ………………………………………………………………………………( ) A. )2,1( B. )2 ,1(- C. )1,2( D. )1,2(-4. 设等差数列}a {n 的前n 项的和是n S , 且0a a 84=+, 则………………( ) A. 54S S < B. 54S S = C. 56S S < D. 56S S =5. 已知ABC ∆的三个顶点在同一球面上, .2AC AB ,90BAC ===∠ 若球心O 到平面ABC 的距离为1, 则该球的半径为 ……………………………………( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 26. 当),0(x π∈ 时, 函数xsin x sin 3x 2cos 1)x (f 2++=的最小值为…………( )A. 22B. 3C. 32D. 47.若函数)0a (ax cos ax sin )x (f >+= 的最小正周期为1,则它的图象的一个对称中心 为…………………………………………………………………………………（ ） A. )0,8( π-B. )0,0(C. )0,81( -D. )0,81( 8. 函数|x |log 22y =的图像大致是……………………………………………( )9.“2b a =+”是“直线0y x =+与圆2)b y ()a x (22=-+-相切”的 … ( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 10. 已知函数)x (f 满足)x (f )x (f -π=, 且当)2,2(x ππ-∈ 时, x sin x )x (f +=. 设)3(f c ),2(f b ),1(f a === , 则……………………………………………( )A. c b a <<B. a c b <<C. a b c <<D. b a c <<11. 若M 是直线01sin y cos x =+θ+θ上到原点的距离最近的点，则当θ在实数范围内 变化时, 动点M 的轨迹是………………………………………………………( )A. 直线B. 线段C. 圆D. 椭圆12. 将三种作物种植在如图5块试验田里, 每块种植一种作物, 且同一种作物在相邻的试 验田中, 不同的种植方法有……………………………………………………( )A. 24种B. 36种C. 42种D. 48种二. 填空题（本大题共6小题；每小题4分，共24分） 13. 设集合)}3a (log ,5{A 2+= , }b ,a {B =. 若{1}AB =, 则A B = .14. 设周期为4的奇函数)x (f 的定义域为R, 且当)6,4[x ∈时, 2x 2)x (f -=, 则)1(f - 的值为 .15. 已知双曲线的中心在坐标原点O, 焦点在y 轴上, 它的虚轴长为2, 且焦距是两准线 间距离的2倍, 则该双曲线的方程为 .16. 设,3n (x a x a x a a )1x (n n 2210n ≥++++=- 且)Z n ∈. 若0a 3a 23=+, 则n = . 17. 在ABC ∆中, 若22A cos A sin =+, 则)4A tan(π-的值为 .18. 已知)0,1(A -, )1,2(B, )1 ,1(C - . 若将坐标平面沿x 轴折成直二面角, 则折 后BAC ∠的余弦值为 .三. 解答题（本大题共5小题,共66分）19. (本小题满分12分)一位学生每天骑自行车上学, 从他家到学校有5个交通岗, 假设他在交通岗遇到红灯是相互独立的, 且首末两个交通岗遇到红灯的概率均为p , 其余3个交通岗遇到红灯的概率均为21. (1) 若32p =, 求该学生在第三个交通岗第一遇到红灯的概率; (2) 若该学生至多遇到一次红灯的概率不超过185, 求p 的取值范围.20. (本小题满分12分)如图, 在正方形ABCD —1111D C B A 中,E 为AB 的中点.(1) 求AD 和C B 1所成的角(2) 证明: 平面D EB 1⊥平面CD B 1;(3) 求二面角E —C B 1—D 的大小. (用反三角函数表示)21. (本小题满分14分)已知函数,34x 3x x 31)x (f 23+--=直线l : 0c y 2x 9=++. (1) 求证: 直线l 与函数)x (f y =的图像不相切;(2) 若当]2,2[x -∈时, 函数)x (f y =的图像在直线l 的下方, 求c 的范围.22. (本小题满分14分)已知函数.x12)x (f +=数列}a {n 中, )a (f a ,a a n 1n 1==+ )N n (*∈. 当a 取不同的值时,得到不同的数列}a {n , 如当1a =时, 得到无穷数列;,717,37,3,1 当21a -=时,得到有穷数列. 0,21- (1) 求a 的值, 使得0a 3=;(2) 设数列}b {n 满足),N n )(b (f b ,21b 1n n 1*+∈=-=求证: 不论a 取}b {n 中的任何数, 都可以得到一个有穷数列}a {n ; (3) 求a 的取值范围, 使得当2n ≥时, 都有3a 37n <<.23. (本小题满分14分)(1) 已知抛物线),0p (px 2y 2>= 过焦点F 的动直线l 交抛物线于B ,A 两点, O 为坐标原点, 求证: OB OA ⋅为定值;(2) 由 (1) 可知: 过抛物线的焦点F 的动直线 l 交抛物线于B ,A 两点, 存在定点P , 使得⋅为定值. 请写出关于椭圆的类似结论,并给出证明.2018年南京市高三数学第一次模拟考试参考答案及评分标准 2018. 3. 13一. 选择题（每小题5分，共60分）二. 填空题（每小题4分, 共24分）13.;}5,1,1{ - 14. 23 ; 15.;1x y 22 =- 16. 11 ; 17. ;3 18. .253三. 解答题（共66分） 19．（本小题满分12分）解: (1) 记该学生在第i 个交通岗遇到红灯i A )5,,2,1i ( =,.12121)211()321()A A A (P 321=⨯-⨯-=⋅⋅答：该学生在第三个交通岗第一遇到红灯的概率为.121……………6分 (2) 该学生至多遇到一次红灯指没有遇到红灯（记为A ）或恰好遇到一次红灯（记为B ）,)p 1(81)211(C )p 1(C )A (P 2303202-=--=……………7分 =-⋅-+-⋅-=30312213202)211(C )p 1(p C )211(C )p 1(C )B (P ).p 1(p 41)p 1(832-+-…………………9分 +-2)p 1(81.38p 31185)p 1(p 41)p 1(832≤≤⇒≤-+-……………11分 又,1p 0≤≤ 所以p 的取值范围是].1,31[ ……………12分20．（本小题满分12分）解: (1) 正方体中, BC //AD , AD ∴与C B 1所成的角为CB B 1∠或其补角.45CB B 1=∠, AD ∴和C B 1所成的角为 45……………4分(2) 取C B 的中点,F D B 的中点,G 连结.GF ,EG ,BF⊥CD 平面11B BCC , BF DC ⊥∴.又C B BF 1⊥, ,C C B DC 1=⋂⊥∴BF 平面CD B 1.……………6分GFBE ,CD21 ,CD 21BE∴GF , ∴四边形BFGE 是平行四边形, .CE //BF ∴⊥∴EG 平面.CD B 1……………7分又⊂EG 平面D EB 1, ∴平面⊥D EB 1平面.CD B 1……………8分(3) 连结EF . .C B GF ,CD //GF ,C B CD 11⊥∴⊥ 又⊥EG 平面CD B 1,,C B EF 1⊥EFG ∠∴为二面角E —C B 1—D 的平面角. …………10分设正方形的边长为a, 则在E F G ∆中,,a 33EF ,a 21GF ==.33EF GF EFG cos ==∠∴……………11分 ∴二面角E —C B 1—D 的大小为.33arccos…………12分 21．（本小题满分14分）解: (1) 证明: .3x 2x )x (f 2--='……………2分假设直线l : 0c y 2x 9=++与函数)x (f y =的图像相切, 则293x 2x 2-=--有实数解, 即023x 2x 2=+-有实数解. ……………5分 因为02<-=∆时, 方程023x 2x 2=+-无实数解, 所以直线l 与函数)x (f y =的图像不相切.……………7分(2) 当]2,2[x -∈时, 函数)x (f y =的图像在直线l 的下方,即0)2cx 29(34x 3x x 3123<---+--对于一切]2,2[x -∈都成立, ……………9分 即038x 3x 2x 32c 23<--+-<对于一切]2,2[x -∈都成立. ……………10分令)x (g .38x 3x 2x 3223--+-= 因为.01)1x (23x 4x 2)x (g 222<---=-+-='所以)x (g 在]2,2[ -上单调递减, ……………12分所以当]2,2[x -∈时, .6)2(g )]x (g [min -==……………13分 所以6c -<, 所以c 的范围是)6,(--∞ ……………14分 22．（本小题满分14分） 解: (1) 因为,a a 1=,a 12a n1n +=+ 所以,a 1a 2a 12a 12+=+=.1a 22a 5a 12a 23++=+=……………2分 要,0a 3=即要52a -=. 所以, 52a -=时, .0a 3=……………4分 (2)由题知,21b 1-=.b b 12n 1n =++不妨设a 取n b , 所以,b b 12a 1n n 2-=+=,b b 12a 12a 2n 1n 23--=+=+=……………6分 ……,,21b b 12a 12a 121n n -==+=+=-所以,0a 1n =+……………8分 所以不论a 取}b {n 中的任何数, 都可以得到一个有穷数列}a {n .……………9分 (3).3a 13a 12373a 371n 1n n <<⇔<+<⇔<<--……………11分因为)3,37()3,1( , 所以只要有3a 372<<就有).3n (3a 37n ≥<< ……………12分由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+>+3a1a 237a 1a 2, 解得: ⎩⎨⎧><<<1a 0a 3a 0或, 即3a 1<<.所以, a 的取值范围是)3,1( .……………14分 23．（本小题满分14分）解: (1) 若直线l 垂直于x 轴, 则)p ,2p(A , )p ,2p (B - .=⋅OB OA .p 43p )2p (222-=-……………2分若直线l 不垂直于轴, 设其方程为)2px (k y -=, )y ,x (A 11 )y ,x (B 22 .由0k 4p x )k 2(p x k px2y )2p x (k y 222222=++-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-= .4p x x ,p k )k 2(x x 2212221=⋅+=+ ……………4分 ∴⋅=+=2121y y x x )2px )(2p x (k x x 21221--+4k p )x x (k 2p x x )k 1(22212212++-+=22222222p 434k p kp )k 2(k 2p 4p )k 1(-=++⋅-+=. 综上, ⋅2p 43-=为定值. ……………6分 (2) 关于椭圆有类似的结论: 过椭圆)0b ,0a (1by a x 2222>>=+ 的一个焦点F 的动直线l交椭圆于A 、B 两点, 存在定点P , 使⋅为定值. ……………7分证明: 不妨设直线l 过椭圆 1by a x 2222=+的右焦点)0,c (F (其中22b a c -=)若直线l 不垂直于轴, 则设其方程为: )c x (k y -=, )y ,x (A 11 )y ,x (B 22 .由0)b a k c a (x ck a 2x )b k a (1b y ax )c x (k y 222222222222222=-+-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=得: 所以 ,b k a ck a 2x x 2222221+=+.2222222221bk a b a k c a x x --=⋅……………9分 由对称性可知, 设点P 在x 轴上, 其坐标为).0,m ( 所以⋅2121y y )m x )(m x (+--=222212212k c m )x x )(ck m (x x )k 1(++++-+=)k 1(2+=22222222b k a b a k c a --)ck m (2+-22222bk a ck a 2+222k c m ++ 22222222224224bk a b )a m (k )cm a 2m a b b a a (+-+-+--= 要使⋅为定值,只要),a m (a cm a 2m a b b a a 2222224224-=-+--即2c)e 3(a2c )b a 2(c a 2b b a a 2m 222224224-=+=--= 此时⋅22a m -==4224462222a4)a 4c (b a 4a 4c )b a 2(-=-+……………12分 若直线l 垂直于x 轴, 则其方程为c x =, )a b ,c (A 2 , )a b ,c (B 2-. 取点)0,a2c)b a 2((P 222 + 有PB PA ⋅==--+242222a b ]c a 2c )b a 2([.a 4)a 4c (b 4224-……………13分综上, 过焦点)0,c (F 的任意直线l 交椭圆于A 、B 两点, 存在定点)0,a2c )b a 2((P 222 + 使⋅.a 4)a 4c (b 4224-=为定值. ……………14分。

南京市高考数学一模试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分） (2018高一下·汕头期末) 设全集，集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分）(2017·重庆模拟) 在复平面内，复数的共轭复数对应的点坐标为（）A . （1，3）B . （1，﹣3）C . （﹣1，3）D . （﹣1，﹣3）3. （2分）已知函数，则“c=-1”是“函数f(x)在R上递增”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分） (2018高三上·沈阳期末) 一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人作了案”；丁说：“乙说的是事实”。

经过调查核实，四个人中有两个人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四个人中只有一名罪犯，说真话的人是（）A . 甲、乙B . 甲、丙C . 乙、丁D . 甲、丁5. （2分）如果执行图中的程序框图，那么最后输出的正整数i＝（）A . 43B . 44C . 45D . 466. （2分）若关于、的不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是（）A .B .C .D . 或7. （2分）正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此棱锥的体积为（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高二上·西安期中) 在三角形ABC中，已知A=60°，b=1，c=4，则为（）A .B .C .D .9. （2分）已知各项不为0的等差数列满足，数列是等比数列，且，则等于（）A . 1B . 2C . 4D . 810. （2分）(2020·邵阳模拟) 已知双曲线的右顶点为，抛物线的焦点为．若在的渐近线上存在点，使得，则的离心率的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题： (共5题；共5分)11. （1分）经调查知，奇瑞汽车的销售量y（辆）与广告费x（万元）之间的回归直线方程为y=250+4x，当广告费为50万元时，预计汽车销售量为________辆．12. （1分）已知随机变量X服从正态分布N（1，σ2），且P（X≤0）=0.1，则P（1≤X≤2）=________．13. （1分） (2019高一上·长春月考) 设，则 ________.14. （1分）(2017·松江模拟) 设（1+x）n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn ，若 = ，则n=________15. （1分） (2017高一上·张家港期中) 函数f（x）=x+2x的零点所在区间为（n，n+1），n∈z，则n=________．三、解答题： (共6题；共65分)16. （10分） (2018高二下·鸡西期末) 已知函数（1）求函数的单调递减区间；（2）将函数的图像向左平移个单位,再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到函数的图像,求在上的值域.17. （15分） (2016高三上·定州期中) 设数列{an}的前n和为Sn ， a1=1，Sn=nan﹣2n2+2n（n∈N*）．（1）求证：数列{an}为等差数列，并分别写出an和Sn关于n的表达式；（2）是否存在自然数n，使得S1+ + +…+ +2n=1124？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由；（3）设cn= （n∈N*），Tn=c1+c2+c3+…+cn（n∈N*），若不等式Tn＞（m∈Z），对n∈N*恒成立，求m的最大值．18. （15分） (2018高一下·双鸭山期末) 如图，将一副三角板拼接，使它们有公共边BC，且使两个三角形所在的平面互相垂直，若∠BAC＝90°，AB＝AC，∠CBD＝90°，∠BDC＝60°，BC＝6。

南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数 学 试 题(总分160分，考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 参考公式：柱体体积公式：V Sh =，其中S 为底面积,h 为高.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．已知集合{}|(4)0A x x x =-<，{}0,1,5B =，则A B =I ▲ ．2．设复数(,z a i a R i =+∈为虚数单位），若(1)i z +⋅为纯虚数，则a 的值为 ▲ ． 3．为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50,100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70,80)(单位：分钟)内的学生人数为 ▲ ．4．执行如图所示的伪代码，若0x =，则输出的y 的值为 ▲ ．5．口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为 ▲ ．6．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22145x y -=的右焦点重合，则实数p 的值为 ▲ ． 7．设函数1x x y e a e=+-的值域为A ，若[0,)A ⊆+∞，则实数a 的取值范围是 ▲ ．8．已知锐角,αβ满足()()tan 1tan 12αβ--=，则αβ+的值为 ▲ ．9．若函数sin y x ω=在区间[0,2]π上单调递增，则实数ω的取值范围是 ▲ ． 10．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若{}n a 的前2017项中的奇数项和为2018，时间(单位:分钟)50 60 70 80 90 100 0.035 a0.0200.0100.005第3题图 第4题图则2017S 的值为 ▲ ．11．设函数()f x 是偶函数，当x ≥0时，()f x =(3),03,31,>3x x x x x-≤≤⎧⎪⎨-+⎪⎩，若函数()y f x m =-有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy中，若直线(y k x =-上存在一点P ，圆22(1)1x y +-=上存在一点Q ，满足3OP OQ =，则实数k 的最小值为 ▲ ． 13．如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”．若,,,A B C D 四点均位于图中的“晶格点”处，且,A B 的位置所图所示，则CD AB ⋅的最大值为 ▲ ．14．若不等式2sin sin sin 19sin sin k B A C B C +>对任意ABC ∆都成立，则实数k 的最小值为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，点,M N 分别是11,AB A B 的中点. （1）求证：BN ∥平面1A MC ； （2）若11A M AB ⊥，求证：11AB A C ⊥.16．(本小题满分14分)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c已知2c =. （1）若2C B =，求cos B 的值； （2）若AB AC CA CB ⋅=⋅，求cos()4B π+的值．17．(本小题满分14分)有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边AB 长为6分米，另一边足够长．现从中截取矩形ABCD （如图甲所示），再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好．．能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计），其中OEMF 是以O 为圆心、120EOF ∠=︒的扇形，且弧»EF,¼GH 分别与边BC ,AD 相切于点M ,N ． （1）当BE 长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；（2）当BE 的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？第13题图 ABC A 1B 1C 1 MN第15题图F18. (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的下顶点为B ，点,M N 是椭圆上异于点B 的动点，直线,BM BN 分别与x 轴交于点,P Q ，且点Q 是线段OP 的中点．当点N运动到点处时，点Q的坐标为． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线MN 交y 轴于点D ，当点,M N 均在y 轴右侧，且2DN NM =时，求直线BM 的方程．19．(本小题满分16分)设数列{}n a 满足221121()n n n a a a a a λ+-=+-，其中2n …，且n N ∈，λ为常数.（1）若{}n a 是等差数列，且公差0d ≠，求λ的值；（2）若1231,2,4a a a ===，且存在[3,7]r ∈，使得n m a n r ⋅-卪对任意的*n N ∈都成立，求m 的最小值；（3）若0λ≠，且数列{}n a 不是常数列，如果存在正整数T ，使得n T n a a +=对任意的*n N ∈均成立. 求所有满足条件的数列{}n a 中T 的最小值.20．(本小题满分16分)设函数()ln f x x =，()bg x ax c x=+-（,,a b c R ∈）. （1）当0c =时，若函数()f x 与()g x 的图象在1x =处有相同的切线，求,a b 的值； （2）当3b a =-时，若对任意0(1,)x ∈+∞和任意(0,3)a ∈，总存在不相等的正实数12,x x ，使得120()()()g x g x f x ==，求c 的最小值；（3）当1a =时，设函数()y f x =与()y g x =的图象交于11(,),A x y 2212(,)()B x y x x <两点．求证：122121x x x b x x x -<<-.南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题]（在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）A .（选修4-1：几何证明选讲）如图，已知AB 为⊙O 的直径，直线DE 与⊙O 相切于点E ，AD 垂直DE 于点D . 若4DE =，求切点E 到直径AB 的距离EF ．B .（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵 2 00 1⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，求圆221x y +=在矩阵M 的变换下所得的曲线方程.A B ED F O · 第21(A)图C ．（选修4-4：坐标系与参数方程） 在极坐标系中，直线cos()13πρθ+=与曲线r ρ=(0r >)相切，求r 的值.D ．(选修4-5：不等式选讲）已知实数,x y 满足2231x y +=，求当x y +取最大值时x 的值.[必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内） 22．（本小题满分10分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，AC 与BD 交于点O ，OP ⊥底面ABCD ，点M 为PC 中点，4,2,4AC BD OP ===.（1）求直线AP 与BM 所成角的余弦值；（2）求平面ABM 与平面PAC 所成锐二面角的余弦值．23．（本小题满分10分）已知n N *∈，()0112112r r n n n n n n n n n n nf n C C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．（1）求()1,f ()2,f ()3f 的值；（2）试猜想()f n 的表达式（用一个组合数表示），并证明你的猜想．M A CD O P 第22题图南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1．{}1 2．1 3．1200 4．1 5．236．6 7．(,2]-∞8．34π 9．1(0,]4 10．4034 11．9[1,)412． 13．24 14．100二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．证明：（1）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以11//AB A B ，且11AB A B =，又点,M N 分别是11,AB A B 的中点，所以1MB A N =，且1//MB A N ． 所以四边形1A NBM是平行四边形，从而1//A M BN ． ……………4分又BN ⊄平面1A M C，1A M ⊂平面1A M C ，所以BN ∥面1A MC ． ……………6分（2）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以1AA ⊥底面ABC ，而1AA ⊂侧面11ABB A ，所以侧面11ABB A ⊥底面ABC ．又CA CB =，且M 是AB 的中点，所以CM AB ⊥． 则由侧面11ABB A ⊥底面ABC ，侧面11ABB A 底面ABC AB =，CM AB ⊥，且CM ⊂底面ABC，得CM ⊥侧面11ABB A ． ……………8分又1AB ⊂侧面11ABB A ，所以1AB CM ⊥． ……………10分又11AB A M ⊥，1,A M MC ⊂平面1A MC ，且1A M MC M =，所以1AB ⊥平面1A M C ． ……………12分又1AC ⊂平面1A MC，所以11AB A C ⊥． ……………14分16．解：（1）因为c =，则由正弦定理，得sin C B =． ……………2分 又2C B =，所以s i n 2s i n2B B =，即4sn c o s 5sinB B =． ……………4分又B 是ABC ∆的内角，所以s i nB >，故c o s 4B =． ……………6分（2）因为AB AC CA CB ⋅=⋅， 所以cos cos cb A ba C =，则由余弦定理，得222222b c a b a c +-=+-，得a c =． ……………10分从而223cos 25a c bB ac+-===， (12)分又0B π<<，所以4sin 5B ==． 从而3c o 44B Bππ+=． ……………14分17．解：（1）在图甲中，连接MO 交EF 于点T ．设OE OF OM R ===，在Rt OET∆中，因为1602EOT EOF ∠=∠=︒，所以2ROT =，则2RM T O MO T =-=． 从而2R B EMT==，即22R BE ==. ……………2分故所得柱体的底面积OEF OEF S S S ∆=-扇形22114sin120323R R ππ=-︒= ……………4分 又所得柱体的高4EG =，所以V S EG =⨯=163π-答：当BE 长为1分米时，折卷成的包装盒的容积E为163π-. …………………6分 （2）设BE x =，则2R x =，所以所得柱体的底面积OEF OEF S S S ∆=-扇形222114sin120(323R R x ππ=-︒=.又所得柱体的高62EG x =-，所以V S =⨯=328(3)3x x π--+，其中03x <<. …………………10分令32()3,(0,3)f x x x x =-+∈，则由2()363(2)0f x x x x x '=-+=--=，解得2x =. …………………12分答：当BE 的长为2分米时，折卷成的包装盒的容积最大.…………………14分 18．解：（1）由2N Q ，得直线NQ 的方程为32y x =- …………………2分 令0x =，得点B 的坐标为(0,．所以椭圆的方程为22213x y a +=． …………………4分 将点N 的坐标)2代入，得222213a+=，解得24a =． 所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=．…………………8分 （2）方法一：设直线BM 的斜率为(0)k k >，则直线BM 的方程为y kx =-．在y kx =-0y =，得P x k =，而点Q 是线段OP 的中点，所以2Q x k =． 所以直线BN的斜率2BN BQ k k k ===． ………………10分联立22143y kx x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y，得22(34)0k x +-=，解得M x = 用2k 代k ，得2163316N x k =+． ………………12分 又2DN NM =，所以2(N M N x x x =-，得23M N x x =． ………………14分故222334316k k ⨯=⨯++，又0k >，解得2k =． 所以直线BM的方程为y x =- ………………16分 方法二：设点,M N 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ．由(0,B ，得直线BN的方程为11y y x x =0y =，得P x =．同理，得Q x =．而点Q 是线段OP的中点，所以2P Qx x =，故=． …………………10分 又2DN NM =，所以2122()x x x =-，得21203x x =>4=解得2143y y =+． …………………12分将21212343x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入到椭圆C的方程中，得2119x =． 又22114(1)3y x =-，所以21214(1)(431927y y -+=21120y +=， 解得1y =（舍）或1y =．又10x >，所以点M 的坐标为(3M ．……………14分故直线BM的方程为2y x =- …………………16分 19．解：（1）由题意，可得22()()n n n a a d a d d λ=+-+， 化简得2(1)0d λ-=，又0d ≠，所以1λ=. ………………4分（2）将1231,2,4a a a ===代入条件，可得414λ=⨯+，解得0λ=，所以211n n n a a a +-=，所以数列{}n a 是首项为1，公比2q =的等比数列，所以12n n a -=. ……6分欲存在[3,7]r ∈，使得12n m n r -⋅-…，即12n r n m --⋅…对任意*n N ∈都成立，则172n n m --⋅…，所以172n n m --…对任意*n N ∈都成立. ………………8分令172n n n b --=，则11678222n nn n n n n nb b +-----=-=， 所以当8n >时，1n n b b +<；当8n =时，98b b =；当8n <时，1n n b b +>．所以n b 的最大值为981128b b ==，所以m 的最小值为1128. ………………10分 （3）因为数列{}n a 不是常数列，所以2T …．①若2T =，则2n n a a +=恒成立，从而31a a =，42a a =，所以22221212221221()()a a a a a a a a λλ⎧=+-⎪⎨=+-⎪⎩， 所以221()0a a λ-=，又0λ≠，所以21a a =，可得{}n a 是常数列．矛盾．所以2T =不合题意. ………………12分②若3T =，取*1,322,31()3,3n n k a n k k N n k =-⎧⎪==-∈⎨⎪-=⎩（*），满足3n n a a +=恒成立． ………………14分由2221321()a a a a a λ=+-，得7λ=．则条件式变为2117n n n a a a +-=+．由221(3)7=⨯-+，知223132321()k k k a a a a a λ--=+-；由2(3)217-=⨯+，知223313121()k k k a a a a a λ-+=+-；由21(3)27=-⨯+，知223133221()k k k a a a a a λ++=+-．所以，数列（*）适合题意． 所以T的最小值为3. ………………16分20．解：（1）由()ln f x x =，得(1)0f =，又1()f x x'=，所以(1)1f '=，.当c =时，()b g x ax x=+，所以2()b g x a x '=-，所以(1)g a b '=-. ………………2分因为函数()f x 与()g x 的图象在1x =处有相同的切线，所以(1)(1)(1)f g f g ''=⎧⎨=⎩，即10a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得1212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. ………………4分 （2）当01x >时，则0()0f x >，又3b a =-，设0()t f x =，则题意可转化为方程3(0)aa x c t t x-+-=>在(0,)+∞上有相异两实根12,x x ． ………………6分即关于x 的方程2()(3)0(0)ax c t x a t -++-=>在(0,)+∞上有相异两实根12,x x ．所以2121203()4(3)030a c t a a c t x x a ax x a <<⎧⎪∆=+-->⎪⎪+⎨+=>⎪⎪-=>⎪⎩，得203()4(3)0a c t a a c t <<⎧⎪+>-⎨⎪+>⎩， 所以3)c a t >--对(0,),(0,3)t a ∈+∞∈恒成立． ………………8分因为03a <<，所以23=（当且仅当32a =时取等号）， 又0t -<，所以t 的取值范围是(,3)-∞，所以3c …． 故c 的最小值为3. ………………10分（3）当1a =时，因为函数()f x 与()g x 的图象交于,A B 两点，所以111222ln ln b x x c x b x x cx ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，两式相减，得211221ln ln (1)x x b x x x x -=--. ………………12分要证明122121x x x b x x x -<<-，即证211221212121ln ln (1)x x x x x x x x x x x x --<-<--， 即证212211ln ln 11x x x x x x -<<-，即证1222111ln 1x x xx x x -<<-. ………………14分令21x t x =，则1t >，此时即证11ln 1t t t-<<-． 令1()ln 1t t t ϕ=+-，所以22111()0t t t t tϕ-'=-=>，所以当1t >时，函数()t ϕ单调递增．又(1)0ϕ=，所以1()ln 10t t t ϕ=+->，即11ln t t-<成立；再令()ln 1m t t t =-+，所以11()10tm t t t-'=-=<，所以当1t >时，函数()m t 单调递减，又(1)0m =，所以()ln 10m t t t =-+<，即ln 1t t <-也成立．综上所述，实数12,x x 满足122x x x b x x x -<<-. ………………16分附加题答案21．（A ）解：如图，连接AE ，OE ，因为直线DE 与⊙O 相切于点E ，所以DE OE ⊥，又因为AD 垂直DE 于D ，所以//AD OE ，所以DAE OEA ∠=∠，① 在⊙O 中OE OA =，所以OEA OAE ∠=∠，② ………………5分 由①②得DAE ∠OAE =∠，即DAE ∠FAE =∠， 又ADE AFE ∠=∠，AE AE =，所以ADE AFE ∆≅∆，所以DE FE =，又4DE =，所以4FE =， 即E 到直径AB 的距离为4. ………………10分（B ）解：设()00,P x y 是圆221x y +=上任意一点，则22001x y +=，设点()00,P x y 在矩阵M 对应的变换下所得的点为(),Q x y ，则002 00 1x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即02x x y y =⎧⎨=⎩，解得0012x xy y⎧=⎪⎨⎪=⎩， ………………5分 代入22001x y +=，得2214x y +=，即为所求的曲线方程. ………………10分（C ）解：以极点O 为原点，极轴Ox 为x 轴建立平面直角坐标系，由cos()13πρθ+=，得(cos cossin sin )133ππρθθ-=， 得直线的直角坐标方程为20x -=． ………………5分曲线r ρ=，即圆222x y r +=，所以圆心到直线的距离为1d ==．ABE DF O · 第21(A)图因为直线cos()13πρθ+=与曲线r ρ=（0r >）相切，所以r d =，即1r =. ……………10分（D）解：由柯西不等式，得22222[)][1](1x x ++≥⨯+， 即2224(3)()3x y x y +≥+． 而2231x y +=，所以24()3x y +≤，所以x y ≤+≤ ………………5分由13x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪+=⎩，得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以当且仅当x y ==时，max ()x y += 所以当x y+取最大值时x 的值为2x =. ………………10分 22．解：（1）因为ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥．又OP ⊥底面ABCD ，以O 为原点，直线,,OA OB OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系． 则(2,0,0)A ,(0,1,0)B ,(0,0,4)P ,(2,0,0)C -,(1,0,2)M -． 所以(2,0,4)AP =-，(1,1,2)BM =--，10AP BM ⋅=，||25AP =，||6BM =．则cos ,||||2AP BM AP BM AP BM ⋅<>===． 故直线AP 与BM 所成角的余弦值为6. ………5分 （2）(2,1,0)AB =-，(1,1,2)BM =--．设平面ABM 的一个法向量为(,,)n x y z =，则00n AB n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得2020x y x y z -+=⎧⎨--+=⎩，令2x =，得4y =，3z =．得平面ABM 的一个法向量为(2,4,3)n =．又平面PAC 的一个法向量为(0,1,0)OB =，所以n 4OB ⋅=，||29n =，||1OB =．则cos ,||||29n OB n OB n OB ⋅<>===故平面ABM 与平面PAC 所成锐二面角的余弦值为………………10分 23．解：（1）由条件，()0112112r r n nn n n n n n n n nf n C C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+ ①，C第22题图在①中令1n =，得()011111f C C ==． ………………1分在①中令2n =，得()011222222226f C C C C =+=，得()23f =． ………………2分在①中令3n =，得()011223333333332330f C C C C C C =++=，得()310f =． ………………3分 （2）猜想()f n =21nn C -（或()f n =121n n C --）． ………………5分 欲证猜想成立，只要证等式011211212n r r n nn n n n n n n n n nC C C C C rC C nC C ---=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+成立．方法一：当1n =时，等式显然成立，当2n …时，因为11!!(1)!==!()!(1)!()!(1)!()!rr n n r n n n rC n nC r n r r n r r n r --⨯-=⨯=-----（），故11111()r r r r r r n n n n n n rC C rC C nC C -----==．故只需证明00111111211111n r r n n n n n n n n n n n nC nC C nC C nC C nC C ---------=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+． 即证00111111211111n r r n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C ---------=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．而11r n r n n C C --+=，故即证0111111211111n n n r n r n n n n n n n n n n C C C C C C C C C ---+------=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+ ②． 由等式211(1)(1)(1)n n n x x x --+=++可得，左边nx 的系数为21n n C -．而右边1(1)n nxx-++()()0111n nn n C C x------=++++++++，所以nx 的系数为01111111111n n r n r n n n n n n n n n C C C C C C C C ---+-----++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．由211(1)(1)(1)n n n x x x --+=++恒成立可得②成立. 综上，()21nn f n C -=成立. ………………10分方法二：构造一个组合模型，一个袋中装有21n -个小球，其中n 个是编号为1，2，…，n 的白球，其余n －1个是编号为1，2，…，n －1的黑球，现从袋中任意摸出n 个小球，一方面，由分步计数原理其中含有r 个黑球（n r -个白球）的n 个小球的组合的个数为1r n rn n C C --，01r n ≤≤-，由分类计数原理有从袋中任意摸出n 个小球的组合的总数为01111111n n n n n n nn n C C C C C C -----+++．另一方面，从袋中21n -个小球中任意摸出n 个小球的组合的个数为21nn C -．故0111121111n n n n n n n n n n nC C C C C C C ------=++，即②成立. 余下同方法一. ………………10分方法三：由二项式定理，得0122(1)n n n n n n n x C C x C x C x +=++++ ③．两边求导，得112111(1)2n r r n n n n n n n x C C x rC x nC x ---+=+++++ ④．③×④，得21012212111(1)()(2)n n n r r n n n n n n n n n n n x C C x C x C x C C x rC x nC x ---+=+++++++++⑤．左边n x 的系数为21nn nC -．右边nx 的系数为121112n n r n r n n n n n n n n n C C C C rC C nC C --+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+1021112r r n n n n n n n n n nC C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+0112112r r n nn n n n n n n n C C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．由⑤恒成立，可得011211212n r r n nn n n n n n n n n nC C C C C rC C nC C ---=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．故()21nn f n C -=成立. ………………10分。

（第6题）2017-2018高三数学迎一模模拟卷第I 卷（共160分）一．填空题（每题5分，共70分） 1．已知集合{|||2}A x x =≤，{|321}B x x =-≥，则AB= ▲ ．【答案】[1,2]2．复数ii a 212+-（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为 ▲ ．【答案】 4 3．已知命题02,:2≤++∈∃a x x R x p 是真命题，则实数a 的取值范围是_______.【答案】]1,(-∞4.从长度为2、3、5、6的四条线段中任选三条，能构成三角形的概率为 . 【答案】125．某个容量为100的样本的频率分布直方图如下，则在区间[4，5）上的数据的频数为__________． 【答案】 30．6． 在如图所示的算法流程图中，若输出的y 的值为26，则输入的x的值为 ▲ ． 【答案】 47． 在平面直角坐标系xOy 中，点F 为抛物线x 2=8y 的焦点，则F 到双曲线错误！未找到引用源。

的渐近线的距离为 ▲ ． 【答案】错误！未找到引用源。

8．已知a ，b 为实数，且a ≠b ，a <0，则a ▲ 2b -ab2。

(填“>”、“<”或“=”)【答案】错误！未找到引用源。

9．A B C∆是直角边等于4的等腰直角三角形，D是斜边B C的中点，14A M AB m A C=+⋅，向量A M 的终点M 在A C D ∆的内部（不含边界），则A MB M⋅的取值范围是 ．【答案】 ()2,6-10．已知正数1234,,,a a a a 依次成等比数列，且公比1q ≠．将此数列删去一个数后得到的数列(按原来的顺序)是等差数列，则公比q 的取值集合是 ．【答案】22⎪⎪⎩⎭；11．已知棱长为1的正方体1111A B C D A B C D -，F 是棱B C 的中点，M 是线段1AF上的动点，则△1M D D 与△1M C C 的面积和的最小值是 ．【答案】10;12．已知函数2()(,)f x x a x b a b R =-++∈的值域为(,0]-∞，若关于x 的不等式()1f x c >-的解集为(4,1)m m-+，则实数c 的值为 ．【答案】214-13. 若对任意的x ∈D ，均有f 1(x )≤f (x )≤f 2(x )成立，则称函数f (x )为函数f 1(x )到函数f 2(x )在区间D 上的“折中函数”．已知函数f (x )＝(k －1)x －1，g (x )＝0，h (x )＝(x ＋1)ln x ，且f (x )是g (x )到h (x )在区间[1,2e]上的“折中函数”，则实数k 的取值集合为________． 【答案】{2}14．若实数x , y 满足x －4y ＝2x －y ，则x 的取值范围是 ． 【答案】{0} [4，20] .二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分14分）如图，在xo y 平面上，点(1,0)A ，点B 在单位圆上，A O B θ∠=（0θπ<<）（1）若点34(,)55B -，求tan ()4πθ+的值；（2）若O A O B O C+=，1813O B O C⋅=，求c o s()3πθ-.A ED C B15. （1）由于34(,55B -，A O B θ∠=，所以3c o s 5θ=-，4sin 5θ=，所以4ta n 3θ=-， 所以1tan 1tan ()41tan 7πθθθ++==-- ；（2）由于(1,0)O A =,(c o s ,s in )O B θθ=,所以(1c o s ,s in )O CO AO B θθ=+=+,22218co s (1co s )sin co s co s sin 13O C O B θθθθθθ⋅=⨯++=++=.所以5co s 13θ=，所以12sin 13θ=，所以c o s()c o s c o s sinsin 33326πππθθθ-=+=.16．（本小题满分14分）如图，六面体ABCDE 中，面DBC ⊥面ABC ，AE ⊥面ABC ．（1）求证：AE //面DBC ；（2）若AB ⊥BC ，BD ⊥CD ，求证：AD ⊥DC ．16．（1）过点D 作DO ⊥BC ，O 为垂足．因为面DBC ⊥面ABC ，又面DBC∩面ABC＝BC ，DO ⊂面DBC ，所以DO ⊥面ABC ．又AE ⊥面ABC ，则AE//DO ． 又AE ⊄面DBC ，DO ⊂面DBC ，故AE //面DBC ． （2）由（1）知DO ⊥面ABC ，AB ⊂面ABC ，所以DO ⊥AB ．又AB ⊥BC ，且DO∩BC ＝O ，DO ，BC ⊂平面DBC ，则AB ⊥面DBC ． 因为DC ⊂面DBC ，所以AB ⊥DC ．又BD ⊥CD ，AB∩DB ＝B ，AB ，DB ⊂面ABD ，则DC ⊥面ABD ． 又AD ⊂面ABD ，故可得AD ⊥DC ．17．（本小题满分14分）如图，某城市有一条公路从正西方A O 通过市中心O 后转向东偏北α角方向的O B ．位于该市的某大学M 与市中心O 的距离O M m =，且AOM β∠=．现要修筑一条铁路L ，L 在OA 上设一站A ，在OB 上设一站B ，铁路在A B 部分为直线段，且经过大学M ．其中tan 2α=，3c o s β=15A Okm=．（1）求大学M 与站A 的距离AM ； （2）求铁路A B 段的长A B ．17. （1）在A O M ∆中，15A O=，A O Mβ∠=且c o s β=O M=，由余弦定理得，2222co s A MO A O MO A O M A O M=+-⋅⋅∠2215215=+-⨯⨯13915152315372.=⨯+⨯-⨯⨯⨯=A M ∴=M 与站A 的距离AM为m；（2）c o s β=，且β为锐角，sin β∴=在A O M ∆中，由正弦定理得，sin sin A M O M M A Oβ=∠,s in M A O=∠，sin 2M A O ∴∠=4M A Oπ∴∠=，4A B O πα∴∠=-，tan 2α=，sin α∴=，c o s α=又A O Bπα∠=-，sin sin ()A O Bπα∴∠=-=，在A O B ∆中，15A O =， 由正弦定理得，sin sin A B A O A O BA B O=∠∠，即15A B =，3A B ∴=A B 段的长A B为3m．18．（本小题满分16分） 设椭圆:C22221(0)x y a b ab+=>>的离心率为2e=yx =+与以原点为圆心、椭圆C 的短半轴长为半径的圆O 相切． （1）求椭圆C 的方程； （2）设直线12x=与椭圆C 交于不同的两点,M N ，以线段M N 为直径作圆D ．若圆D与y 轴相交于不同的两点,A B ，求A B D ∆的面积；（3）如图，1A 、2A 、1B 、2B 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意点，直线2B P 交x 轴于点F ，直线12A B 交2A P于点E ．设2AP的斜率为k ，E F 的斜率为m ，求证：2m k -为定值．18. （1）圆O 的方程为222xyb+=，直线yx =+O 相切，b∴=，即1b =，又32e =，2∴=，2a ∴=， ∴椭圆C 的方程为2214xy +=；（2）由题意，可得11((,2424MN -，∴圆D的半径4r=，2A B ∴=∴A B D∆的面积为112228S=⋅=；（3）由题意可知1212(2,0),(2,0),(0,1),(0,1)A A B B --，2A P 的斜率为k ，∴直线2A P 的方程为(2)y k x =-，由2214(2)x y y k x =+=-⎧⎪⎨⎪⎩，得2222(14)161640kx k x k+-+-=， 其中2Ax=，228214Pkxk-∴=+，222824(,)1414kk P k k--∴++，则直线2B P的方程为211221)k yx k +=-+-（，令0y=，则2(21)21k x k -=+， 即2(21)(,0)21k F k -+，直线12A B 的方程为220x y -+=，由220(2)x y y k x -+=⎧⎨=-⎩，解得4221421k x k ky k +⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，424(,)2121k kE k k +∴--，∴E F的斜率421212(21)4242121kkkmk kk k-+-==-+-+-，∴2112242km k k+-=⋅-=（定值）．19．(本小题满分16分)已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n＋n＝2a n(n∈N*)．(1)证明：数列{a n＋1}为等比数列，并求数列{a n}的通项公式；(2)若b n＝(2n＋1)a n＋2n＋1，数列{b n}的前n项和为T n.求满足不等式T n－22n－1>2 010的n的最小值．19．(1)因为S n＋n＝2a n，所以S n－1＝2a n－1－(n－1)(n≥2，n∈N*)．两式相减，得a n＝2a n－1＋1.所以a n＋1＝2(a n－1＋1)(n≥2，n∈N*)，所以数列{a n＋1}为等比数列．因为S n＋n＝2a n，令n＝1得a1＝1.a1＋1＝2，所以a n＋1＝2n，所以a n＝2n－1.(2)因为b n＝(2n＋1)a n＋2n＋1，所以b n＝(2n＋1)·2n.所以T n＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n－1)·2n－1＋(2n＋1)·2n，①2T n＝3×22＋5×23＋…＋(2n－1)·2n＋(2n＋1)·2n＋1，②①－②，得－T n＝3×2＋2(22＋23＋…＋2n)－(2n＋1)·2n＋1＝6＋2×22－2n＋11－2－(2n＋1)·2n＋1＝－2＋2n＋2－(2n＋1)·2n＋1＝－2－(2n－1)·2n＋1.所以T n ＝2＋(2n －1)·2n ＋1. 若Tn －22n －1>2 010，则122)12(1-⋅-+n n n >2 010，即2n ＋1>2 010.由于210＝1 024,211＝2 048，所以n ＋1≥11，即n ≥10. 所以满足不等式Tn －22n －1>2 010的n 的最小值是10.20.（本小题满分16分）已知函数21()ln 2f x a x x =+，()g x b x=-，设()()()h x f x g x =-.（1）若()f x 在2x=处取得极值，且(1)(1)2f g '=--，求函数h (x )的单调区间；（2）若0a=时函数h (x )有两个不同的零点x 1,x 2.①求b 的取值范围；②求证：1221x x e>.20. (1)因为1()f x a x x'=+，所以(1)1f a '=+,由(1)(1)2f g '=--可得a =b -3.又因为()f x 在2x=处取得极值，所以22f '=+，所以a = -2,b =1 . 所以2()ln h x xx x=-++，其定义域为（0，+∞）2121(21)(1)()21=x x x x h x x xxx-++-+-'=-++=令()0h x '=得121,12xx =-=，当x ∈（0,1）时，()>0h x '，当x ∈（1,+∞）()<0h x '，所以函数h (x )在区间（0,1）上单调增；在区间（1,+∞）上单调减. （2）当0a=时，()ln h x x b x =+，其定义域为（0，+∞）.①由()0h x =得ln -x b x=，记ln ()x x xϕ=-，则2ln 1()x x xϕ-'=,所以ln ()x x xϕ=-在(0,)e 单调减，在(,)e +∞单调增，所以当xe=时ln ()x x xϕ=-取得最小值1e-.又(1)0ϕ=，所以(0,1)x ∈时()0x ϕ>，而(1,)x ∈+∞时()0x ϕ<, 所以b 的取值范围是（1e -，0）.②由题意得1122ln 0,ln 0x b x x b x +=+=,所以12122121ln ()0,ln ln ()0x x b x x x x b x x ++=-+-=,所以12122121ln ln ln x x x x x x x x +=--，不妨设x 1<x 2,要证212xx e> , 只需要证12122121ln (ln ln )2x x xx x x x x +=->-.即证2121212()ln ln x x xx x x -->+，设21(1)x tt x =>,则2(1)4()ln ln 211t F t t t t t -=-=+-++, 所以22214(1)()0(1)(1)t F t tt t t -'=-=>++,所以函数()F t 在（1，+∞）上单调增，而(1)0F =， 所以()0F t >即2(1)ln 1t t t ->+,所以212x x e> .第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．[选做题]B ．（选修４－２：矩阵与变换）已知点P (a ，b )，先对它作矩阵M 122122⎡-⎢=⎥⎥⎥⎣⎦对应的变换，再作N 2002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换，得到的点的坐标为 (8，)，求实数a ，b 的值．B ．依题意，NM 2002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1212⎡-⎢⎥⎥⎥⎦11⎡=⎥⎦，由逆矩阵公式得， (NM )1-144144⎡⎢=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，所以185414⎡⎢⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎢⎢⎥⎣⎣-⎢⎥⎣⎦，即有5a=，b=C ．（选修４－４：坐标系与参数方程） 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与x 轴的正半轴重合.若直线l的极坐标方程为s in ()4πρθ-=(1)把直线l 的极坐标方程化为直角坐标系方程; (2)已知P 为椭圆22:139xyC+=上一点,求P 到直线l 的距离的最小值.C.(1)直线l的极坐标方程s in 4ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin c o s 22θθ-=即sin co s 4ρθρθ-=,所以直线l 的直角坐标方程为40x y -+=;(2)P 为椭圆22139xy C +=:上一点,设o s 3s in )P αα,,其中[02)α∈π,,则P 到直线l的距离d==,所以当0c o s(60)1α+=-时,d的最小值为 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分. 22．（本小题满分10分）抛掷甲，乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记所得数字分别为x ，y ．设ξ为随机变量，若x y为整数，则0ξ=；若x y为小于1的分数，则1ξ=-；若xy为大于1的分数，则1ξ=．（1）求概率(0)P ξ=；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望()E ξ．22．（1）依题意，数对（x ，y ）共有16种，其中使x y为整数的有以下8种：（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（2，1），（3，1），（4，1），（4，2），所以81(0)162P ξ===；（2）随机变量ξ的所有取值为1-，0，1，1ξ=-有以下6种：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）， 故63(1)168P ξ=-==；1ξ=有以下2种：（3，2），（4，3），故21(1)P ξ===； 所以ξ的分布列为：3111()1018284E ξ=-⨯+⨯+⨯=-，答：ξ的数学期望为14-．23．（本小题满分10分）已知2012(2)(1)(1)+(1)(*)n nn x a a x a x a x n N +=+-+--∈．⑴求0a 及1nnii Sa ==∑；⑵试比较nS 与2(2)32nn n-+的大小，并说明理由．23．⑴令1x =，则03na =，令2x =，则04nni i a ==∑，所以143nn ni i a ==-∑．⑵要比较nS 与2(2)32n n n -+的大小，只要比较4n 与2(1)32n n n -+的大小． 当1n =时，24(1)32n n n n >-+，当2n =或3时，24(1)32n n n n <-+，当n=4或5时，24(1)32n n n n >-+ 猜想：当n ≥4时，24(1)32n n n n >-+．下面用数学归纳法证明： ①由上述过程可知，当4n =时，结论成立．②假设当*(,)n k k k =∈N ≥4时结论成立，即24(1)32k k k k >-+，两边同乘以4，得1212244(1)3232(1)[(4)342]k k k k k k k k k kk ⎡⎤>-=---⎣⎦+++++++6，而22(4)342(4)3(2)kkkkk k k k ---=---+6+6+2k +10(4)3(2)(1)0k k k k =-->+6++2k +10， 所以1124[(1)1]32(1)k k k k>-+++++，即1n k =+时结论也成立．由①②可知，当4n ≥时，24(1)32n n n n >-+成立．综上所述，当1n =时，2(2)32n n S n n >-+；当2n =或3时，2(2)32n nS n n>-+；当4n ≥时，2(2)32n n S n n >-+．。

2018届南京、盐城高三年级第一次模拟考试数学参考答案1. {1}2. 13. 1 2004. 15. 23 6. 67. (－∞，2] 8.3π49. ⎝⎛⎦⎤0，14 10. 4 034 11. ⎣⎡⎭⎫1，94 12. －3 13. 24 14. 100 15. 解析：(1) 因为ABCA 1B 1C 1是直三棱柱， 所以AB ∥A 1B 1，且AB ＝A 1B 1.又M ，N 分别是AB ，A 1B 1的中点， 所以MB ＝A 1N ，且MB ∥A 1N ， 所以四边形A 1NBM 是平行四边形， 从而A 1M ∥BN.(4分)又BN ⊄平面A 1MC ，A 1M ⊂平面A 1MC ， 所以BN ∥平面A 1MC.(6分)(2) 因为ABCA 1B 1C 1是直三棱柱，所以AA 1⊥底面ABC ，而AA 1⊂侧面ABB 1A 1， 所以侧面ABB 1A 1⊥底面ABC.又CA ＝CB ，且M 是AB 的中点，所以CM ⊥AB.因为由侧面ABB 1A 1⊥底面ABC ，侧面ABB 1A 1∩底面ABC ＝AB ，CM ⊥AB ，且CM ⊂底面ABC ，所以CM ⊥侧面ABB 1A 1.(8分)又AB 1⊂侧面ABB 1A 1，所以AB 1⊥CM.(10分)又AB 1⊥A 1M ，A 1M ，MC ⊂平面A 1MC ，且A 1M ∩MC ＝M ， 所以AB 1⊥平面A 1MC.(12分)又A 1C ⊂平面A 1MC ，所以AB 1⊥A 1C.(14分)16. 解析：(1) 因为c ＝52b ， 所以由正弦定理得sin C ＝52sin B.(2分) 又C ＝2B ，所以sin 2B ＝52sin B ， 即4sin B cos B ＝5sin B.(4分) 又B 是△ABC 的内角， 所以sin B>0，故cos B ＝54.(6分) (2) 因为AB →·AC →＝CA →·CB →，所以cb cos A ＝ba cos C ，由余弦定理得b 2＋c 2－a 2＝b 2＋a 2－c 2，得a ＝c ，(10分) 从而cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝c 2＋c 2－⎝⎛⎭⎫25c 22c 2＝35.(12分)又0<B<π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝45，从而cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝cos B cos π4－sin B sin π4＝35×22－45×22＝－210.(14分)17. 解析：(1) 在图1中，连结MO 交EF 于点T.设OE ＝OF ＝OM ＝R.在Rt △OET 中，因为∠EOT ＝12∠EOF ＝60°，所以OT ＝R 2，则MT ＝OM －OT ＝R2，从而BE ＝MT ＝R2，即R ＝2BE ＝2.(2分)故所得柱体的底面积S ＝S 扇形OEF －S △OEF ＝13πR 2－12R 2sin 120°＝4π3－ 3.(4分)因为所得柱体的高EG ＝6－1×2＝4， 所以V ＝S·EG ＝16π3－4 3.故当BE 长为1分米时，折卷成的包装盒的容积 为⎝⎛⎭⎫16π3－43立方分米．(6分)(2) 设BE ＝x ，则R ＝2x ，所以所得柱体的底面积S ＝S 扇形OEF －S △OEF ＝13πR 2－12R 2sin 120°＝⎝⎛⎭⎫4π3－3x 2.因为所得柱体的高EG ＝6－2x ， 所以V ＝S·EG ＝⎝⎛⎭⎫8π3－23(－x 3＋3x 2)，其中0<x<3.(10分) 令f(x)＝－x 3＋3x 2，x ∈(0，3)，则由f′(x)＝－3x 2＋6x ＝－3x(x －2)＝0，解得x ＝2.(12分)当x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下：所以当x ＝2时，f(x)取得最大值．故当BE 的长为2分米时，折卷成的包装盒的容积最大．(14分)18. 解析：(1) 由N ⎝⎛⎭⎫3，32，Q ⎝⎛⎭⎫233，0得直线NQ 的方程为y ＝32x － 3.(2分) 令x ＝0，得点B 的坐标为(0，－3)． 所以椭圆的方程为x 2a 2＋y 23＝1.(4分)将点N 的坐标⎝⎛⎭⎫3，32代入，得（3）2a 2＋⎝⎛⎭⎫3223＝1，解得a 2＝4. 所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(8分)(2) 设直线BM 的斜率为k(k>0)，则直线BM 的方程为y ＝kx － 3. 在y ＝kx －3中，令y ＝0，得x P ＝3k， 而Q 是线段OP 的中点，所以x Q ＝32k. 所以直线BN 的斜率k BN ＝k BQ ＝0－（－3）32k－0＝2k.(10分)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －3，x 24＋y 23＝1，消去y ，得(3＋4k 2)x 2－83kx ＝0，解得x M ＝83k 3＋4k2. 用2k 代k ，得x N ＝163k3＋16k 2.(12分)又DN →＝2NM →，所以x N ＝2(x M －x N )， 所以2x M ＝3x N .(14分) 故2×83k 3＋4k 2＝3×163k3＋16k 2.又k>0，解得k ＝62， 所以直线BM 的方程为y ＝62x － 3.(16分) 19. 解析：(1) 由题意，可得a 2n ＝(a n ＋d)(a n －d)＋λd 2， 化简得(λ－1)d 2＝0，又d ≠0，所以λ＝1.(4分)(2) 将a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4代入条件，可得4＝1×4＋λ，解得λ＝0，所以a 2n ＝a n ＋1a n －1，所以数列{a n }是首项为1，公比q ＝2的等比数列，所以a n ＝2n －1. (6分)欲存在r ∈[3，7]，使得m·2n －1≥n －r 恒成立，即r ≥n －m ·2n －1对任意n ∈N *都成立，则7≥n －m ·2n －1，所以m ≥n －72n －1对任意n ∈N *都成立．(8分) 令b n ＝n －72n －1，则b n ＋1－b n ＝n －62n －n －72n －1＝8－n2n ，所以当n >8时，b n ＋1<b n ；当n ＝8时，b 9＝b 8；当n <8时，b n ＋1>b n .所以b n 的最大值为b 9＝b 8＝1128， 所以m 的最小值为1128.(10分)(3) 因为数列{a n }不是常数列，所以T ≥2.①若T ＝2，则a n ＋2＝a n 恒成立，从而a 3＝a 1，a 4＝a 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 22＝a 21＋λ（a 2－a 1）2，a 21＝a 22＋λ（a 2－a 1）2， 所以λ(a 2－a 1)2＝0.又λ≠0，所以a 2＝a 1，可得{a n }是常数列，与题干矛盾． 所以T ＝2不合题意．(12分)②若T ＝3，取a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝3k －2，2， n ＝3k －1，－3， n ＝3k(k ∈N *)(*)，满足a n ＋3＝a n 恒成立．(14分)由a 22＝a 1a 3＋λ(a 2－a 1)2得λ＝7. 则条件式变为a 2n ＝a n ＋1a n －1＋7.由22＝1×(－3)＋7，知a 23k －1＝a 3k －2a 3k ＋λ(a 2－a 1)2；由(－3)2＝2×1＋7，知a 23k ＝a 3k －1a 3k ＋1＋λ(a 2－a 1)2；由12＝(－3)×2＋7，知a 23k ＋1＝a 3k a 3k ＋2＋λ(a 2－a 1)2. 所以数列(*)适合题意． 所以T 的最小值为3.(16分)20. 解析：(1) 由f(x)＝ln x 得f(1)＝0.又f′(x)＝1x，所以f′(1)＝1.当c ＝0时，g(x)＝ax ＋b x ，所以g′(x)＝a －bx 2，所以g′(1)＝a －b.(2分)因为函数f(x)与g(x)的图象在x ＝1处有相同的切线，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′（1）＝g′（1），f （1）＝g （1），即⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝1，a ＋b ＝0， 解得⎩⎨⎧a ＝12，b ＝－12.(4分)(2) 当x 0>1时，f(x 0)>0. 又b ＝3－a ，设t ＝f(x 0)，则题意可转化为方程ax ＋3－ax －c ＝t(t>0)在(0，＋∞)上有两相异实根x 1，x 2，(6分)即关于x 的方程ax 2－(c ＋t)x ＋(3－a)＝0(t>0)在(0，＋∞)上有两相异实根x 1，x 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧0<a<3，Δ＝（c ＋t ）2－4a （3－a ）>0，x 1＋x 2＝c ＋ta >0，x 1x 2＝3－a a >0，得⎩⎪⎨⎪⎧0<a<3，（c ＋t ）2>4a （3－a ），c ＋t>0，所以c>2a （3－a ）－t 对t ∈(0，＋∞)，a ∈(0，3)恒成立．(8分) 因为0<a<3，所以2a （3－a ）≤2×⎝⎛⎭⎫a ＋（3－a ）22＝3，当且仅当a ＝32时取等号．又－t<0，所以2a （3－a ）－t 的取值范围是(－∞，3)，所以c ≥3.故c 的最小值为3.(10分)(3) 当a ＝1时，因为函数f(x)与g(x)的图象交于A ，B 两点， 所以⎩⎨⎧ln x 1＝x 1＋bx 1－c ，ln x 2＝x 2＋bx 2－c ，两式相减，得b ＝x 1x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－ln x 2－ln x 1x 2－x 1.(12分)要证明x 1x 2－x 2<b<x 1x 2－x 1，即证x 1x 2－x 2<x 1x 2(1－ln x 2－ln x 1x 2－x 1)<x 1x 2－x 1，即证1x 2<ln x 2－ln x 1x 2－x 1<1x 1，即证1－x 1x 2<ln x 2x 1<x 2x 1－1.(14分)令x 2x 1＝t ，则t>1，此时即证1－1t<ln t<t －1. 令φ(t)＝ln t ＋1t －1，所以φ′(t)＝1t －1t 2＝t －1t 2>0，所以当t>1时，函数φ(t)单调递增．又φ(1)＝0，所以φ(t)＝ln t ＋1t －1>0，即1－1t<ln t 成立；再令m(t)＝ln t －t ＋1，所以m′(t)＝1t －1＝1－t t <0，所以当t>1时，函数m(t)单调递减，又m(1)＝0，所以m(t)＝ln t －t ＋1<0，即ln t<t －1也成立．综上所述， 实数x 1，x 2满足x 1x 2－x 2<b<x 1x 2－x 1.(16分) 21. A. 解析：如图，连结AE ，OE .因为直线DE 与⊙O 相切于点E ，所以DE ⊥OE . 因为AD ⊥DE ，所以AD ∥OE ， 所以∠DAE ＝∠OEA .① 在⊙O 中，因为OE ＝OA ，所以∠OEA ＝∠OAE ，②(5分)由①②得∠DAE ＝∠OAE ，即∠DAE ＝∠F AE . 因为∠ADE ＝∠AFE ，AE ＝AE ， 所以△ADE ≌△AFE ，所以DE ＝FE . 又因为DE ＝4，所以FE ＝4，即点E 到直径AB 的距离为4.(10分)B. 解析：设P (x 0，y 0)是圆x 2＋y 2＝1上任意一点，则x 20＋y 20＝1.设点P (x 0，y 0)在矩阵M 对应的变换下所得的点为Q (x ，y )，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x 0，y ＝y 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝12x ，y 0＝y ，(5分) 代入x 20＋y 20＝1，得x 24＋y 2＝1，即为所求的曲线方程．(10分)C. 解析：以极点O 为原点，极轴Ox 为x 轴建立平面直角坐标系， 由ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝1，得ρ(cos θcos π3－sin θsin π3)＝1，所以直线的直角坐标方程为x －3y －2＝0. (5分)因为曲线ρ＝r 转化成直角坐标方程为圆x 2＋y 2＝r 2，所以圆心到直线的距离d ＝|0－3×0－2|1＋3＝1.因为直线ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝1与曲线ρ＝r (r >0)相切，所以r ＝d ，即r ＝1.(10分)D. 解析：由柯西不等式，得[x 2＋(3y )2][12＋⎝⎛⎭⎫332]≥⎝⎛⎭⎫x ×1＋3y ×332， 即43(x 2＋3y 2)≥(x ＋y )2. 又x 2＋3y 2＝1，所以(x ＋y )2≤43，所以－233≤x ＋y ≤233，(5分)由⎩⎨⎧x 1＝3y 33，x ＋y ＝233，得⎩⎨⎧x ＝32，y ＝36，所以当且仅当x ＝32，y ＝36时，(x ＋y )max ＝233. 所以当x ＋y 取最大值时x 的值为x ＝32. (10分) 22. 解析：(1) 因为四边形ABCD 是菱形， 所以AC ⊥BD.因为OP ⊥平面ABCD ，以O 为原点，直线OA ，OB ，OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，B(0，1，0)，P(0，0，4)，C(－2，0，0)，M(－1，0，2)，所以AP →＝(－2，0，4)，BM →＝(－1，－1，2)，AP →·BM →＝10， 所以|AP →|＝25，|BM →|＝6，所以cos 〈AP →，BM →〉＝AP →·BM →|AP →||BM →|＝1025×6＝306.故直线AP与BM 所成角的余弦值为306. (5分)(2) AB →＝(－2，1，0)，BM →＝(－1，－1，2)． 设平面ABM 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n·AB →＝0，n·BM →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋y ＝0，－x －y ＋2z ＝0.令x ＝2，则y ＝4，z ＝3，所以平面ABM 的一个法向量为n ＝(2，4，3)． 因为平面P AC 的一个法向量为OB →＝(0，1，0)， 所以n·OB →＝4，|n|＝29，|OB →|＝1， 所以cos 〈n ，OB →〉＝n·OB →|n||OB →|＝429＝42929，故平面ABM 与平面P AC 所成锐二面角的余弦值为42929. (10分)23. 解析：(1) 由条件nf(n)＝C 0n C 1n ＋2C 1n C 2n ＋…＋r C r －1n C r n ＋…＋n C n －1n C nn ，①在①中令n ＝1，即f(1)＝C 01C 11＝1.(1分)在①中令n ＝2，得2f(2)＝C 02C 12＋2C 12C 22＝6，即f(2)＝3.(2分)在①中令n ＝3，得3f(3)＝C 03C 13＋2C 13C 23＋3C 23C 33＝30，即f(3)＝10. (3分)(2) 猜想：f(n)＝C n 2n －1(或f(n)＝C n －12n －1)．(5分)欲证猜想成立，只要证等式n C n 2n －1＝C 0n C 1n ＋2C 1n C 2n ＋…＋r C r －1n C r n ＋…＋n C n －1n C nn 成立． 当n ＝1时，等式显然成立；当n ≥2时，因为r Cr n＝r ×（n ！）r ！（n －r ）！＝n ！（r －1）！（n －r ）！＝n ×（n －1）！（r －1）！（n －r ）！＝n C r －1n －1， 故r C r －1n C r n ＝(r C r n )C r －1n ＝n C r －1n －1C r －1n .故只需证明n C n 2n －1＝n C 0n －1C 0n ＋n C 1n －1C 1n ＋…＋n C r －1n －1C r －1n ＋…＋n C n －1n －1C n －1n， 即证C n 2n －1＝C 0n －1C 0n ＋C 1n －1C 1n ＋…＋C r －1n －1C r －1n ＋…＋C n －1n －1C n －1n .而C r －1n ＝C n －r ＋1n ，故即证C n 2n －1＝C 0n －1C n n ＋C 1n －1·C n －1n ＋…＋C r －1n －1C n －r ＋1n ＋…＋C n －1n －1C 1n .②由等式(1＋x)2n －1＝(1＋x)n －1(1＋x)n 可得左边x n 的系数为C n 2n －1.而右边(1＋x)n －1(1＋x)n ＝(C 0n －1＋C 1n －1x ＋C 2n －1·x 2＋…＋C n －1n －1x n －1)(C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n )，所以x n 的系数为C 0n －1C n n ＋C 1n －1C n －1n ＋…＋C r －1n －1·C n －r ＋1n ＋…＋C n －1n －1C 1n .由(1＋x)2n －1＝(1＋x)n －1(1＋x)n 恒成立可得②成立． 综上，f(n)＝C n 2n －1成立．(10分)。

南京市、盐城市2018届高三第一次模拟考试数学试题(总分160分，考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．参考公式：柱体体积公式：V Sh =，其中S 为底面积,h 为高.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合{}|(4)0A x x x =-<，{}0,1,5B =，则A B =I ▲．2．设复数(,z a i a R i =+∈为虚数单位），若(1)i z +⋅为纯虚数，则a 的值为▲．3．为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50,100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70,80)(单位：分钟)内的学生人数为▲．4．执行如图所示的伪代码，若0x =，则输出的y 的值为▲．5．口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为▲．6．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22145x y -=的右焦点重合，则实数p 的值为▲．7．设函数1x x y e a e=+-的值域为A ，若[0,)A ⊆+∞，则实数a 的取值范围是▲．8．已知锐角,αβ满足()()tan 1tan 12αβ--=，则αβ+的值为▲．时间(单位:分钟)频率组距50607080901000.035a 0.0200.0100.005第3题图Read xIf 0x >Thenln y x←Elsexy e ←End If Print y第4题图9．若函数sin y x ω=在区间[0,2]π上单调递增，则实数ω的取值范围是▲．10．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若{}n a 的前2017项中的奇数项和为2018，则2017S 的值为▲．11．设函数()f x 是偶函数，当x ≥0时，()f x =(3),03,31,>3x x x x x-≤≤⎧⎪⎨-+⎪⎩，若函数()y f x m=-有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是▲．12．在平面直角坐标系xOy中，若直线(y k x =-上存在一点P ，圆22(1)1x y +-=上存在一点Q ，满足3OP OQ =，则实数k 的最小值为▲．13．如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”．若,,,A B C D 四点均位于图中的“晶格点”处，且,A B 的位置所图所示，则CD AB ⋅的最大值为▲．14．若不等式2sin sin sin 19sin sin k B A C B C +>对任意ABC ∆都成立，则实数k 的最小值为▲．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．(本小题满分14分)如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，点,M N 分别是11,AB A B 的中点.（1）求证：BN ∥平面1A MC ；（2）若11A M AB ⊥，求证：11AB A C ⊥.16．(本小题满分14分)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 已知52c =.（1）若2C B =，求cos B 的值；（2）若AB AC CA CB ⋅=⋅ ，求cos()4B π+的值．17．(本小题满分14分)有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边AB 长为6分米，另一边足够长．现从中截取矩形ABCD （如图甲所示），再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好．．能折卷成一个AB第13题图ACA 1B 1C 1MN第15题图底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计），其中OEMF 是以O 为圆心、120EOF ∠=︒的扇形，且弧»EF,¼GH 分别与边BC ,AD 相切于点M ,N ．（1）当BE 长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；（2）当BE 的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？18.(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的下顶点为B ，点,M N 是椭圆上异于点B 的动点，直线,BM BN 分别与x 轴交于点,P Q ，且点Q 是线段OP 的中点．当点N运动到点)2处时，点Q的坐标为(,0)3．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线MN 交y 轴于点D ，当点,M N 均在y 轴右侧，且2DN NM =时，求直线BM 的方程．19．(本小题满分16分)设数列{}n a 满足221121()n n n a a a a a λ+-=+-，其中2n ，且n N ∈，λ为常数.xy O BN M PQ D第18题图ADCB EG FOM N H第17题-图甲NEFG第17题-图乙（1）若{}n a 是等差数列，且公差0d ≠，求λ的值；（2）若1231,2,4a a a ===，且存在[3,7]r ∈，使得n m a n r ⋅- m 对任意的*n N ∈都成立，求m m 的最小值；（3）若0λ≠，且数列{}n a 不是常数列，如果存在正整数T ，使得n T n a a +=对任意的*n N ∈均成立.求所有满足条件的数列{}n a 中T 的最小值.20．(本小题满分16分)设函数()ln f x x =，()bg x ax c x=+-（,,a b c R ∈）.（1）当0c =时，若函数()f x 与()g x 的图象在1x =处有相同的切线，求,a b 的值；（2）当3b a =-时，若对任意0(1,)x ∈+∞和任意(0,3)a ∈，总存在不相等的正实数12,x x ，使得120()()()g x g x f x ==，求c 的最小值；（3）当1a =时，设函数()y f x =与()y g x =的图象交于11(,),A x y 2212(,)()B x y x x <两点．求证：122121x x x b x x x -<<-.南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题]（在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）A .（选修4-1：几何证明选讲）如图，已知AB 为⊙O 的直径，直线DE 与⊙O 相切于点E ，AD 垂直DE 于点D .若4DE =，求切点E 到直径AB 的距离EF ．B .（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵 2 00 1⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，求圆221x y +=在矩阵M 的变换下所得的曲线方程.C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线cos()13πρθ+=与曲线r ρ=(0r >)相切，求r 的值.D ．(选修4-5：不等式选讲）已知实数,x y 满足2231x y +=，求当x y +取最大值时x 的值.[必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）22．（本小题满分10分）ABEDF O ·第21(A)图如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，AC 与BD 交于点O ，OP ⊥底面ABCD ，点M 为PC 中点，4,2,4AC BD OP ===.（1）求直线AP 与BM 所成角的余弦值；（2）求平面ABM 与平面PAC 所成锐二面角的余弦值．23．（本小题满分10分）已知n N *∈，()0112112r r n n n n n n n n n n nf n C C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．（1）求()1,f ()2,f ()3f 的值；（2）试猜想()f n 的表达式（用一个组合数表示），并证明你的猜想．南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.MABCDOP第22题图1．{}12．13．12004．15．236．67．(,2]-∞8．34π9．1(0,]410．403411．9[1,)412．13．2414．100二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．证明：（1）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以11//AB A B ，且11AB A B =，又点,M N 分别是11,AB A B 的中点，所以1MB A N =，且1//MB A N ．所以四边形1A NBM 是平行四边形，从而1//A M BN ．……………4分又BN ⊄平面1A MC ，1A M ⊂平面1A MC ，所以BN ∥面1A MC ．…………6分（2）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以1AA ⊥底面ABC ，而1AA ⊂侧面11ABB A ，所以侧面11ABB A ⊥底面ABC ．又CA CB =，且M 是AB 的中点，所以CM AB ⊥．则由侧面11ABB A ⊥底面ABC ，侧面11ABB A 底面ABC AB =，CM AB ⊥，且CM ⊂底面ABC ，得CM ⊥侧面11ABB A ．……………8分又1AB ⊂侧面11ABB A ，所以1AB CM ⊥．……………10分又11AB A M ⊥，1,A M MC ⊂平面1A MC ，且1A M MC M = ，所以1AB ⊥平面1A MC ．……………12分又1A C ⊂平面1A MC ，所以11AB A C ⊥．……………14分16．解：（1）因为52c b =，则由正弦定理，得5sin sin 2C B=．……………2分又2C B =，所以sin 2sin 2B B=，即4sin cos B B B =．……………4分又B 是ABC ∆的内角，所以sin 0B >，故5cos 4B =．……………6分（2）因为AB AC CA CB ⋅=⋅，所以cos cos cb A ba C =，则由余弦定理，得222222b c a b a c +-=+-，得a c =．……………10分从而2223cos 25a c b B ac +-===，……………12分又0B π<<，所以4sin 5B ==．从而32422cos()cos cos sin sin 444525210B B B πππ+=-=⨯-⨯=-．……14分17．解：（1）在图甲中，连接MO 交EF 于点T ．设OE OF OM R ===，在Rt OET ∆中，因为1602EOT EOF ∠=∠=︒，所以2ROT =，则2RMT OM OT =-=．从而2RBE MT ==，即22R BE ==.……………2分故所得柱体的底面积OEFOEF S S S ∆=-扇形22114sin120323R R ππ=-︒=-.……………4分又所得柱体的高4EG =，所以V S EG =⨯=163π-答：当BE 长为1分米时，折卷成的包装盒的容积为163π-.…………………6分（2）设BE x =，则2R x =，所以所得柱体的底面积OEF OEF S S S ∆=-扇形222114sin120(323R R x ππ=-︒=-.又所得柱体的高62EG x =-，所以V S EG =⨯=328(3)3x x π--+，其中03x <<.………………10分令32()3,(0,3)f x x x x =-+∈，则由2()363(2)0f x x x x x '=-+=--=，解得2x =.…………………12分列表如下：x (0,2)2(2,3)()f x '＋0－()f x 增极大值减所以当2x =时，()f x 取得最大值.答：当BE 的长为2分米时，折卷成的包装盒的容积最大.…………………14分18．解：（1）由32N Q，得直线NQ 的方程为32y x =-．………2分令0x =，得点B的坐标为(0,．所以椭圆的方程为22213x y a +=．…………………4分将点N 的坐标2代入，得222((3)213a+=，解得24a =．ADCB EG FO MNHT所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=．…………………8分（2）方法一：设直线BM 的斜率为(0)k k >，则直线BM的方程为y kx =-在y kx =0y =，得P xk =，而点Q 是线段OP的中点，所以2Q x k =．所以直线BN 的斜率22BN BQk k k k===．………………10分联立22143y kx x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得22(34)0k x +-=，解得234M x k =+．用2k 代k ，得2316N x k =+．………………12分又2DN NM =，所以2()N M N xx x =-，得23M N x x =．………14分故222334316k k ⨯=⨯++，又0k >，解得2k =．所以直线BM 的方程为62y x =．………………16分方法二：设点,M N 的坐标分别为1122(,),(,)xy x y ．由(0,B ，得直线BN的方程为11y y x x =-，令0y =，得P x =同理，得Qx =．而点Q 是线段OP 的中点，所以2P Q x x ==．………10分又2DN NM = ，所以2122()x x x =-，得21203x x =>43=，解得21433y y =+．………12分将212123433x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入到椭圆C 的方程中，得2211(41927x y ++=．又22114(1)3yx=-，所以21214(1)(431927yy-+=21120y+=，解得1y=（舍）或13y=．又1x>，所以点M的坐标为(,33M．……………14分故直线BM的方程为2y x=．…………………16分19．解：（1）由题意，可得22()()n n na a d a d dλ=+-+，化简得2(1)0dλ-=，又0d≠，所以1λ=.………………4分（2）将1231,2,4a a a===代入条件，可得414λ=⨯+，解得0λ=，所以211n n na a a+-=，所以数列{}n a是首项为1，公比2q=的等比数列，所以12nna-=…6分欲存在[3,7]r∈，使得12nm n r-⋅-，即12nr n m--⋅对任意*n N∈都成立，则172nn m--⋅，所以172nnm--对任意*n N∈都成立.………………8分令172n nnb--=，则11678222n n n n nn n nb b+-----=-=，所以当8n>时，1n nb b+<；当8n=时，98b b=；当8n<时，1n nb b+>．所以n b的最大值为981128b b==，所以m的最小值为1128.………………10分（3）因为数列{}n a不是常数列，所以2T ．①若2T=，则2n na a+=恒成立，从而31a a=，42a a=，所以22221212221221()()a a a aa a a aλλ⎧=+-⎪⎨=+-⎪⎩，所以221()0a aλ-=，又0λ≠，所以21a a=，可得{}n a是常数列．矛盾．所以2T=不合题意.………………12分②若3T=，取*1,322,31()3,3nn ka n k k Nn k=-⎧⎪==-∈⎨⎪-=⎩（*），满足3n na a+=恒成立．……14分由2221321()a a a a aλ=+-，得7λ=．则条件式变为2117n n na a a+-=+．由221(3)7=⨯-+，知223132321()k k ka a a a aλ--=+-；由2(3)217-=⨯+，知223313121()k k ka a a a aλ-+=+-；由21(3)27=-⨯+，知223133221()k k ka a a a aλ++=+-．所以，数列（*）适合题意．所以T 的最小值为3.………………16分20．解：（1）由()ln f x x =，得(1)0f =，又1()f x x '=，所以(1)1f '=，.当0c =时，()b g x ax x =+，所以2()bg x a x'=-，所以(1)g a b '=-.…2分因为函数()f x 与()g x 的图象在1x =处有相同的切线，所以(1)(1)(1)(1)f g f g ''=⎧⎨=⎩，即10a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得1212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.………………4分（2）当01x >时，则0()0f x >，又3b a =-，设0()t f x =，则题意可转化为方程3(0)aax c t t x -+-=>在(0,)+∞上有相异两实根12,x x ．………6分即关于x 的方程2()(3)0(0)ax c t x a t -++-=>在(0,)+∞上有相异两实根12,x x ．所以2121203()4(3)030a c t a a c t x x a ax x a <<⎧⎪∆=+-->⎪⎪+⎨+=>⎪⎪-=>⎪⎩，得203()4(3)0a c t a a c t <<⎧⎪+>-⎨⎪+>⎩，所以c t >对(0,),(0,3)t a ∈+∞∈恒成立．………………8分因为03a <<，所以3=2（当且仅当32a =时取等号），又0t -<，所以t 的取值范围是(,3)-∞，所以3c ．故c 的最小值为3.………………10分（3）当1a =时，因为函数()f x 与()g x 的图象交于,A B 两点，所以111222ln ln b x x cx b x x cx ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，两式相减，得211221ln ln (1)x x b x x x x -=--.……………12分要证明122121x x x b x x x -<<-，即证211221212121ln ln (1x x x x x x x x x x x x --<-<--，即证212211ln ln 11x x x x x x -<<-，即证1222111ln 1x x x x x x -<<-.………………14分令21x t x =，则1t >，此时即证11ln 1t t t -<<-．令1()ln 1t t t ϕ=+-，所以22111()0t t t t tϕ-'=-=>，所以当1t >时，函数()t ϕ单调递增．又(1)0ϕ=，所以1()ln 10t t t ϕ=+->，即11ln t t -<成立；再令()ln 1m t t t =-+，所以11()10tm t t t-'=-=<，所以当1t >时，函数()m t 单调递减，又(1)0m =，所以()ln 10m t t t =-+<，即ln 1t t <-也成立．综上所述，实数12,x x 满足122121x x x b x x x -<<-.………………16分附加题答案21．（A ）解：如图，连接AE ，OE ，因为直线DE 与⊙O 相切于点E ，所以DE OE ⊥，又因为AD 垂直DE 于D ，所以//AD OE ，所以DAE OEA ∠=∠，①在⊙O 中OE OA =，所以OEA OAE ∠=∠，②………………5分由①②得DAE ∠OAE =∠，即DAE ∠FAE =∠，又ADE AFE ∠=∠，AE AE =，所以ADE AFE ∆≅∆，所以DE FE =，又4DE =，所以4FE =，即E 到直径AB 的距离为4.………………10分（B ）解：设()00,P x y 是圆221x y +=上任意一点，则22001x y +=，设点()00,P x y 在矩阵M对应的变换下所得的点为(),Q x y ，则002 00 1x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即002x x y y =⎧⎨=⎩，解得0012x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，………………5分代入2201x y +=，得2214x y +=，即为所求的曲线方程.………10分（C ）解：以极点O 为原点，极轴Ox 为x 轴建立平面直角坐标系，由cos(13πρθ+=，得(cos cos sin sin )133ππρθθ-=，得直线的直角坐标方程为20x --=．………………5分曲线r ρ=，即圆222x y r +=，所以圆心到直线的距离为1d ==．ABE DF O ·第21(A)图因为直线cos(13πρθ+=与曲线r ρ=（0r >）相切，所以r d =，即1r =.10分（D）解：由柯西不等式，得22222[)][1](133x x ++≥⨯+⨯，即2224(3)()3x y x y +≥+．而2231x y +=，所以24()3x y +≤，所以x y ≤+≤，………5分由133x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪+=⎩，得26x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以当且仅当,26x y ==时，max ()x y +=．所以当x y +取最大值时x的值为2x =.………………10分22．解：（1）因为ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥．又OP ⊥底面ABCD ，以O 为原点，直线,,OA OB OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系．则(2,0,0)A ,(0,1,0)B ,(0,0,4)P ,(2,0,0)C -,(1,0,2)M -．所以(2,0,4)AP =- ，(1,1,2)BM =--，10AP BM ⋅=，||AP =，||BM =．则cos ,6||||AP BM AP BM AP BM ⋅<>===．故直线AP 与BM所成角的余弦值为6.………5分（2）(2,1,0)AB =- ，(1,1,2)BM =--．设平面ABM 的一个法向量为(,,)n x y z =，则00n AB n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得2020x y x y z -+=⎧⎨--+=⎩，令2x =，得4y =，3z =．得平面ABM 的一个法向量为(2,4,3)n =．又平面PAC 的一个法向量为(0,1,0)OB = ，所以n 4OB ⋅=，||n = ||1OB = ．则cos ,||||n OB n OB n OB ⋅<>===.故平面ABM 与平面PAC……………10分23．解：（1）由条件，()0112112r r n nn n n n n n n n nf n C C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+①，MABCDOP第22题图xyz在①中令1n =，得()011111f C C ==．………………1分在①中令2n =，得()011222222226f C C C C =+=，得()23f =．…………2分在①中令3n =，得()011223333333332330f C C C C C C =++=，得()310f =．……3分（2）猜想()f n =21n n C -（或()f n =121n n C --）．………………5分欲证猜想成立，只要证等式011211212n r r n nn n n n n n n n n nC C C C C rC C nC C ---=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+成立．方法一：当1n =时，等式显然成立，当2n 时，因为11!!(1)!==!()!(1)!()!(1)!()!rr n n r n n n rC n nC r n r r n r r n r --⨯-=⨯=-----（），故11111()r r r r r r n n n n n n rC C rC C nC C -----==．故只需证明00111111211111n r r n n n n n n n n n n n nC nC C nC C nC C nC C ---------=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．即证00111111211111n r r n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C ---------=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．而11r n r n n C C --+=，故即证0111111211111n n n r n r n n n n n n n n n n C C C C C C C C C ---+------=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+②．由等式211(1)(1)(1)n n n x x x --+=++可得，左边nx 的系数为21n n C -．而右边1(1)(1)n n x x -++()()01221101221111n n n n n n n n n n n n C C x C x C xC C x C x C x ------=++++++++ ，所以nx 的系数为01111111111n n r n r n n n n n n n n n C C C C C C C C ---+-----++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．由211(1)(1)(1)n n n x x x --+=++恒成立可得②成立.综上，()21n n f n C -=成立.………………10分方法二：构造一个组合模型，一个袋中装有21n -个小球，其中n 个是编号为1，2，…，n 的白球，其余n －1个是编号为1，2，…，n －1的黑球，现从袋中任意摸出n 个小球，一方面，由分步计数原理其中含有r 个黑球（n r -个白球）的n 个小球的组合的个数为1r n r n n C C --，01r n ≤≤-，由分类计数原理有从袋中任意摸出n 个小球的组合的总数为01111111n n n n n n n n n C C C C C C -----+++ ．另一方面，从袋中21n -个小球中任意摸出n 个小球的组合的个数为21n n C -．故0111121111n n n n n n n n n n n C C C C C C C ------=++ ，即②成立.余下同方法一.…………10分方法三：由二项式定理，得0122(1)n n nn n n n x C C x C x C x+=++++ ③．两边求导，得112111(1)2n r r n n n n n n n x C C x rC x nC x---+=+++++ ④．③×④，得21012212111(1)()(2)n n n r r n n n n n n n n n n n x C C x C x C x C C x rC x nC x ---+=+++++++++ ⑤．左边n x 的系数为21nn nC -．右边nx 的系数为121112n n r n r n n n n n n n n n C C C C rC C nC C --+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+1021112r r n n n n n n n n n nC C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+0112112r r n nn n n n n n n n C C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．由⑤恒成立，可得011211212n r r n nn n n n n n n n n nC C C C C rC C nC C ---=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．故()21n n f n C -=成立.………………10分。

2018年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上)1.(5分)已知集合A＝{x|x(x﹣4)＜0},B＝{0,1,5},则A∩B＝.2.(5分)设复数z＝a＋i(a∈R,i为虚数单位),若(1＋i)•z为纯虚数,则a的值为.3.(5分)为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间,现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查,所得数据均在区间[50,100]上,其频率分布直方图如图所示,则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70,80)(单位：分钟)内的学生人数为.4.(5分)执行如图所示的伪代码,若x＝0,则输出的y的值为.5.(5分)口袋中有形状和大小完全相同的4个球,球的编号分别为1,2,3,4,若从袋中一次随机摸出2个球,则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为.6.(5分)若抛物线y2＝2px的焦点与双曲线的右焦点重合,则实数p的值为.7.(5分)设函数y＝e x﹣a的值域为A,若A⊆[0,＋∞),则实数a的取值范围是.8.(5分)已知锐角α,β满足(tanα﹣1)(tanβ﹣1)＝2,则α＋β的值为.9.(5分)若函数y＝sinωx在区间[0,2π]上单调递增,则实数ω的取值范围是.10.(5分)设S n为等差数列{a n}的前n项和,若{a n}的前2017项中的奇数项和为2018,则S2017的值为.11.(5分)设函数f(x)是偶函数,当x≥0时,f(x)＝,若函数y＝f(x)﹣m 有四个不同的零点,则实数m的取值范围是.12.(5分)在平面直角坐标系xOy中,若直线y＝k(x﹣3)上存在一点P,圆x2＋(y﹣1)2＝1上存在一点Q,满足＝3,则实数k的最小值为.13.(5分)如图是蜂巢结构图的一部分,正六边形的边长均为1,正六边形的顶点称为“晶格点”.若A,B,C,D四点均位于图中的“晶格点”处,且A,B的位置所图所示,则的最大值为.14.(5分)若不等式ksin2B＋sinAsinC＞19sinBsinC对任意△ABC都成立,则实数k的最小值为.二、解答题(共6小题,满分90分)15.(14分)如图所示,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CA＝CB,点M,N分别是AB,A1B1的中点.(1)求证：BN∥平面A1MC；(2)若A1M⊥AB1,求证：AB1⊥A1C.16.(14分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c 已知c＝.(1)若C＝2B,求cosB的值；(2)若＝,求cos(B)的值.17.(14分)有一矩形硬纸板材料(厚度忽略不计),一边AB长为6分米,另一边足够长.现从中截取矩形ABCD(如图甲所示),再剪去图中阴影部分,用剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒(如图乙所示,重叠部分忽略不计),其中OEMF 是以O为圆心、∠EOF＝120°的扇形,且弧,分别与边BC,AD相切于点M,N.(1)当BE长为1分米时,求折卷成的包装盒的容积；(2)当BE的长是多少分米时,折卷成的包装盒的容积最大？18.(16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C：(a＞b＞0)的下顶点为B,点M,N是椭圆上异于点B的动点,直线BM,BN分别与x轴交于点P,Q,且点Q是线段OP的中点.当点N运动到点()处时,点Q的坐标为().(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线MN交y轴于点D,当点M,N均在y轴右侧,且＝2时,求直线BM的方程.19.(16分)设数列{a n}满足a＝a n＋1a n﹣1＋λ(a2﹣a1)2,其中n≥2,且n∈N,λ为常数.(1)若{a n}是等差数列,且公差d≠0,求λ的值；(2)若a1＝1,a2＝2,a3＝4,且存在r∈[3,7],使得m•a n≥n﹣r对任意的n∈N*都成立,求m的最小值；(3)若λ≠0,且数列{a n}不是常数列,如果存在正整数T,使得a n＋T＝a n对任意的n∈N*均成立.求所有满足条件的数列{a n}中T的最小值.20.(16分)设函数f(x)＝lnx,g(x)＝ax＋(a,b,c∈R).(1)当c＝0时,若函数f(x)与g(x)的图象在x＝1处有相同的切线,求a,b的值；(2)当b＝3﹣a时,若对任意x0∈(1,＋∞)和任意a∈(0,3),总存在不相等的正实数x1,x2,使得g(x1)＝g(x2)＝f(x0),求c的最小值；(3)当a＝1时,设函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象交于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1＜x2)两点.求证：x1x2﹣x2＜b＜x1x2﹣x1.[选做题](在21.22.23.24四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内)[选修4-1：几何证明选讲]图21.(10分)如图,已知AB为⊙O的直径,直线DE与⊙O相切于点E,AD垂直DE于点D.若DE＝4,求切点E到直径AB的距离EF.[选修4-2：矩阵与变换]22.(10分)已知矩阵M＝,求圆x2＋y2＝1在矩阵M的变换下所得的曲线方程.[选修4-4：坐标系与参数方程]23.在极坐标系中,直线ρcos(θ＋)＝1与曲线ρ＝r(r＞0)相切,求r的值.[选修4-5：不等式选讲]24.已知实数x,y满足x2＋3y2＝1,求当x＋y取最大值时x的值.25.(10分)如图,四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形,AC与BD交于点O,OP⊥底面ABCD,点M为PC中点,AC＝4,BD＝2,OP＝4.(1)求直线AP与BM所成角的余弦值；(2)求平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值.26.(10分)已知n∈N*,nf(n)＝C n0C n1＋2C n1C n2＋…＋nC n n﹣1C n n.(1)求f(1),f(2),f(3)的值；(2)试猜想f(n)的表达式(用一个组合数表示),并证明你的猜想.2018年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上)1.(5分)已知集合A＝{x|x(x﹣4)＜0},B＝{0,1,5},则A∩B＝{1} .【试题解答】解：∵集合A＝{x|x(x﹣4)＜0}＝{x|0＜x＜4},B＝{0,1,5},∴A∩B＝{1}.故答案为：{1}.2.(5分)设复数z＝a＋i(a∈R,i为虚数单位),若(1＋i)•z为纯虚数,则a的值为1.【试题解答】解：∵z＝a＋i,∴(1＋i)•z＝(1＋i)(a＋i)＝a﹣1＋(a＋1)i,又(1＋i)•z为为纯虚数,∴a﹣1＝0即a＝1.故答案为：1.3.(5分)为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间,现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查,所得数据均在区间[50,100]上,其频率分布直方图如图所示,则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70,80)(单位：分钟)内的学生人数为1200.【试题解答】解：由频率分布直方图得：该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70,80)(单位：分钟)内的频率为：1﹣(0.005＋0.035＋0.020＋0.010)×10＝0.3,∴估计该县小学六年级4000名学生中每天用于阅读的时间在[70,80)(单位：分钟)内的学生人数为：4000×0.3＝1200.故答案为：1200.4.(5分)执行如图所示的伪代码,若x＝0,则输出的y的值为1.【试题解答】解：根据题意知,执行程序后,输出函数y＝,当x＝0时,y＝e0＝1.故答案为：1.5.(5分)口袋中有形状和大小完全相同的4个球,球的编号分别为1,2,3,4,若从袋中一次随机摸出2个球,则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为.【试题解答】解：口袋中有形状和大小完全相同的4个球,球的编号分别为1,2,3,4,从袋中一次随机摸出2个球,基本事件总数n＝＝6,摸出的2个球的编号之和大于4包含的基本事件有：(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共4个,∴摸出的2个球的编号之和大于4的概率为p＝.故答案为：.6.(5分)若抛物线y2＝2px的焦点与双曲线的右焦点重合,则实数p的值为6.【试题解答】解：∵双曲线的方程,∴a2＝4,b2＝5,可得c＝＝3,因此双曲线的右焦点为F(3,0),∵抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点与双曲线的右焦点重合,∴＝3,解之得p＝6.故答案为：6.7.(5分)设函数y＝e x﹣a的值域为A,若A⊆[0,＋∞),则实数a的取值范围是(﹣∞,2] .【试题解答】解：函数y＝e x﹣a的值域为A∵e x＝2,∴值域为A＝[2﹣a,＋∞).又∵A⊆[0,＋∞),∴2﹣a≥0,即a≤2.故答案为：(﹣∞,2].8.(5分)已知锐角α,β满足(tanα﹣1)(tanβ﹣1)＝2,则α＋β的值为.【试题解答】解：∵(tanα﹣1)(tanβ﹣1)＝2,可得：tanα＋tanβ＋1＝tanαtanβ,∴tan(α＋β)＝═﹣1,∵锐角α,β,可得：α＋β∈(0,π),∴α＋β＝.故答案为：.9.(5分)若函数y＝sinωx在区间[0,2π]上单调递增,则实数ω的取值范围是(0,] .【试题解答】解：由函数y＝sinωx,图象过原点,可得ω＞0在区间[0,2π]上单调递增,∴,即.故答案为：(0,]10.(5分)设S n为等差数列{a n}的前n项和,若{a n}的前2017项中的奇数项和为2018,则S2017的值为4034.【试题解答】解：因为S n为等差数列{a n}的前n项和,且{a n}的前2017项中的奇数项和为2018,所以S＝a1＋a3＋a5＋…＋a2017＝1009×(a1＋a2017)×＝1009×a1009＝2018,得奇a1009＝2.＝a2＋a4＋a6＋…＋a2016＝1008×(a2＋a2016)×＝1008×a1009＝1008×2＝则S偶2016则S2017＝S奇＋S偶＝2018＋2016＝4034.故答案为：4034.11.(5分)设函数f(x)是偶函数,当x≥0时,f(x)＝,若函数y＝f(x)﹣m 有四个不同的零点,则实数m的取值范围是[1,).【试题解答】解：由0≤x≤3可得f(x)∈[0,],x＞3时,f(x)∈(0,1).画出函数y＝f(x)与y＝m的图象,如图所示,∵函数y＝f(x)﹣m有四个不同的零点,∴函数y＝f(x)与y＝m的图象有4个交点,由图象可得m的取值范围为[1,),故答案为：[1,).12.(5分)在平面直角坐标系xOy中,若直线y＝k(x﹣3)上存在一点P,圆x2＋(y﹣1)2＝1上存在一点Q,满足＝3,则实数k的最小值为﹣.【试题解答】解：设P(x1,y1),Q(x2,y2)；则y1＝k(x1﹣3)①,＋(y2﹣1)2＝1②；由＝3,得,即,代入②得＋＝9；此方程表示的圆心(0,3)到直线kx﹣y﹣3k＝0的距离为d≤r；即≤3,解得﹣≤k≤0.∴实数k的最小值为﹣.故答案为：﹣.13.(5分)如图是蜂巢结构图的一部分,正六边形的边长均为1,正六边形的顶点称为“晶格点”.若A,B,C,D四点均位于图中的“晶格点”处,且A,B的位置所图所示,则的最大值为24.【试题解答】解：建立如图的直角坐标系,则A(,),B(0,0),那么容易得到C(0,5)时,D的位置可以有三个位置,其中D1(﹣,),D2(﹣,0),D3(﹣,),此时＝(﹣,﹣),＝(﹣,﹣),＝(﹣,﹣5),＝(﹣,﹣),则•＝21,•＝24,•＝22.5,则的最大值为24,故答案为：24.14.(5分)若不等式ksin2B＋sinAsinC＞19sinBsinC对任意△ABC都成立,则实数k的最小值为100.【试题解答】解：∵ksin2B＋sinAsinC＞19sinBsinC,由正弦定理可得：kb2＋ac＞19bc,∴k＞,只需k大于右侧表达式的最大值即可,显然c＞b时,表达式才能取得最大值,又∵c﹣b＜a＜b＋c,∴﹣b﹣c＜﹣a＜b﹣c,∴＜19＋()＝20﹣()2＝100﹣(﹣10)2,当＝10时,20﹣()2取得最大值20×10﹣102＝100.∴k≥100,即实数k的最小值为100.故答案为：100二、解答题(共6小题,满分90分)15.(14分)如图所示,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CA＝CB,点M,N分别是AB,A1B1的中点.(1)求证：BN∥平面A1MC；(2)若A1M⊥AB1,求证：AB1⊥A1C.【试题解答】证明：(1)因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱,所以AB∥A1B1,且AB＝A1B1,又点M,N分别是AB、A1B1的中点,所以MB＝A1N,且MB∥A1N.所以四边形A1NBM是平行四边形,从而A1M∥BN.又BN⊄平面A1MC,A1M⊂平面A1MC,所以BN∥平面A1MC；(2)因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱,所以AA1⊥底面ABC,而AA1⊂侧面ABB1A1,所以侧面ABB1A1⊥底面ABC.又CA＝CB,且M是AB的中点,所以CM⊥AB.则由侧面ABB1A1⊥底面ABC,侧面ABB1A1∩底面ABC＝AB,CM⊥AB,且CM⊂底面ABC,得CM⊥侧面ABB1A1.又AB1⊂侧面ABB1A1,所以AB1⊥CM.又AB1⊥A1M,A1M、MC平面A1MC,且A1M∩MC＝M,所以AB1⊥平面A1MC.又A1C⊂平面A1MC,所以AB⊥A1C.16.(14分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c 已知c＝.(1)若C＝2B,求cosB的值；(2)若＝,求cos(B)的值.【试题解答】解：(1)因为c＝,则由正弦定理,得sinC＝sinB. …(2分)又C＝2B,所以sin2B＝sinB,即2sinBcosB＝sinB. …(4分)又B是△ABC的内角,所以sinB＞0,故cosB＝. …(6分) (2)因为＝,所以cbcosA＝bacosC,则由余弦定理,得b2＋c2﹣a2＝b2＋a2﹣c2,得a＝c. …(10分)从而cosB＝＝,…(12分)又0＜B＜π,所以sinB＝＝.从而cos(B＋)＝cosBcos﹣sinBsin＝. …(14分)17.(14分)有一矩形硬纸板材料(厚度忽略不计),一边AB长为6分米,另一边足够长.现从中截取矩形ABCD(如图甲所示),再剪去图中阴影部分,用剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒(如图乙所示,重叠部分忽略不计),其中OEMF 是以O为圆心、∠EOF＝120°的扇形,且弧,分别与边BC,AD相切于点M,N.(1)当BE长为1分米时,求折卷成的包装盒的容积；(2)当BE的长是多少分米时,折卷成的包装盒的容积最大？【试题解答】解：(1)在图甲中,连接MO交EF于点T.设OE＝OF＝OM＝R,在Rt△OET中,因为∠EOT＝∠EOF＝60°,所以OT＝,则MT＝0M﹣OT＝.从而BE＝MT＝,即R＝2BE＝2.故所得柱体的底面积S＝S扇形OEF ﹣S△OEF＝πR2﹣R2sin120°＝﹣,又所得柱体的高EG＝4,所以V＝S×EG＝﹣4.答：当BE长为1(分米)时,折卷成的包装盒的容积为﹣4立方分米.(2)设BE＝x,则R＝2x,所以所得柱体的底面积S＝S扇形OEF﹣S△OEF＝πR2﹣R2sin120°＝(﹣)x2,又所得柱体的高EG＝6﹣2x,所以V＝S×EG＝(﹣2)(﹣x3＋3x2),其中0＜x＜3.令f(x)＝﹣x3＋3x2,0＜x＜3,则由f′(x)＝﹣3x2＋6x＝﹣3x(x﹣2)＝0,解得x＝2.列表如下：x(0,2)2(2,3)f′(x)＋0﹣f(x)增极大值减所以当x＝2时,f(x)取得最大值.答：当BE的长为2分米时,折卷成的包装盒的容积最大.18.(16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C：(a＞b＞0)的下顶点为B,点M,N是椭圆上异于点B的动点,直线BM,BN分别与x轴交于点P,Q,且点Q是线段OP的中点.当点N运动到点()处时,点Q的坐标为().(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线MN交y轴于点D,当点M,N均在y轴右侧,且＝2时,求直线BM的方程.【试题解答】解：(1)由N(),点Q的坐标为(),得直线NQ的方程为y＝x﹣,令x＝0,得点B的坐标为(0,﹣).所以椭圆的方程为＋＝1.将点N的坐标(,)代入,得＋＝1,解得a2＝4.所以椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)：设直线BM的斜率为k(k＞0),则直线BM的方程为y＝x﹣.在y＝kx﹣中,令y＝0,得x P＝,而点Q是线段OP的中点,所以x Q＝.所以直线BN的斜率k BN＝k BQ＝＝2k.联立,消去y,得(3＋4k2)x2﹣8kx＝0,解得x M＝.用2k代k,得x N＝.又＝2,所以x N＝2(x M﹣x N),得2x M＝3x N,故2×＝＝3×,又k＞0,解得k＝.所以直线BM的方程为y＝x﹣19.(16分)设数列{a n}满足a＝a n＋1a n﹣1＋λ(a2﹣a1)2,其中n≥2,且n∈N,λ为常数.(1)若{a n}是等差数列,且公差d≠0,求λ的值；(2)若a1＝1,a2＝2,a3＝4,且存在r∈[3,7],使得m•a n≥n﹣r对任意的n∈N*都成立,求m的最小值；(3)若λ≠0,且数列{a n}不是常数列,如果存在正整数T,使得a n＋T＝a n对任意的n∈N*均成立.求所有满足条件的数列{a n}中T的最小值.【试题解答】解：(1)由题意,可得a＝(a n＋d)(a n﹣d)＋λd2,化简得(λ﹣1)d2＝0,又d≠0,所以λ＝1.(2)将a1＝1,a2＝2,a3＝4,代入条件,可得4＝1×4＋λ,解得λ＝0,所以a＝a na n﹣1,所以数列{a n}是首项为1,公比q＝2的等比数列,＋1所以a n＝2n﹣1.欲存在r∈[3,7],使得m•2n﹣1≥n﹣r,即r≥n﹣m•2n﹣1对任意n∈N*都成立,则7≥n﹣m•2n﹣1,所以m≥对任意n∈N*都成立.令b n＝,则b n＋1﹣b n＝﹣＝,所以当n＞8时,b n＋1＜b n；当n＝8时,b9＝b8；当n＜8时,b n＋1＞b n.所以b n的最大值为b9＝b8＝,所以m的最小值为；(3)因为数列{a n}不是常数列,所以T≥2,①若T＝2,则a n＋2＝a n恒成立,从而a3＝a1,a4＝a2,所以,所以λ(a2﹣a1)2＝0,又λ≠0,所以a2＝a1,可得{a n}是常数列,矛盾.所以T＝2不合题意.②若T＝3,取a n＝(*),满足a n＋3＝a n恒成立.由a22＝a1a3＋λ(a2﹣a1)2,得λ＝7.则条件式变为a n2＝a n＋1a n﹣1＋7.由22＝1×(﹣3)＋7,知a3k﹣12＝a3k﹣2a3k＋λ(a2﹣a1)2；由(﹣3)2＝2×1＋7,知a3k2＝a3k﹣1a3k＋1＋λ(a2﹣a1)2；由12＝2×(﹣3)＋7,知a3k＋12＝a3k a3k＋2＋λ(a2﹣a1)2；所以,数列(*)适合题意.所以T的最小值为3.20.(16分)设函数f(x)＝lnx,g(x)＝ax＋(a,b,c∈R).(1)当c＝0时,若函数f(x)与g(x)的图象在x＝1处有相同的切线,求a,b的值；(2)当b＝3﹣a时,若对任意x0∈(1,＋∞)和任意a∈(0,3),总存在不相等的正实数x1,x2,使得g(x1)＝g(x2)＝f(x0),求c的最小值；(3)当a＝1时,设函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象交于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1＜x2)两点.求证：x1x2﹣x2＜b＜x1x2﹣x1.【试题解答】解：(1)由f(x)＝lnx,得f(1)＝0,又f′(x)＝,所以f′(1)＝1,当c＝0时,g(x)＝ax＋,所以g′(x)＝a﹣,所以g′(1)＝a﹣b,因为函数f(x)与g(x)的图象在x＝1处有相同的切线,所以,即,解得a＝,b＝﹣；(2)当x0＞1时,则f(x0)＞0,又b＝3﹣a,设t＝f(x0),则题意可转化为方程ax＋﹣c＝t(t＞0)在(0,＋∞)上有相异两实根x1,x2. 即关于x的方程ax2﹣(c＋t)x＋(3﹣a)＝0(t＞0)在(0,＋∞)上有相异两实根x1,x2.所以,得,所以c＞2﹣t对t∈(0,＋∞),a∈(0,3)恒成立.因为0＜a＜3,所以2≥2•＝3(当且仅当a＝时取等号),又﹣t＜0,所以2﹣t的取值范围是(﹣∞,3),所以c≥3.故c的最小值为3.(3)当a＝1时,因为函数f(x)与g(x)的图象交于A,B两点,所以,两式相减,得b＝x1x2(1﹣),要证明x1x2﹣x2＜b＜x1x2﹣x1,即证x1x2﹣x2＜x1x2(1﹣)＜x1x2﹣x1,即证＜＜,即证1﹣＜ln＜﹣1令＝t,则t＞1,此时即证1﹣＜lnt＜t﹣1.令φ(t)＝lnt＋﹣1,所以φ′(t)＝﹣＝＞0,所以当t＞1时,函数φ(t)单调递增.又φ(1)＝0,所以φ(t)＝lnt＋﹣1＞0,即1﹣＜lnt成立；再令m(t)＝lnt﹣t＋1,所以m′(t)＝﹣1＝＜0,所以当t＞1时,函数m(t)单调递减,又m(1)＝0,所以m(t)＝lnt﹣t＋1＜0,即lnt＜t﹣1也成立.综上所述,实数x1,x2满足x1x2﹣x2＜b＜x1x2﹣x1.[选做题](在21.22.23.24四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内)[选修4-1：几何证明选讲]图21.(10分)如图,已知AB为⊙O的直径,直线DE与⊙O相切于点E,AD垂直DE于点D.若DE＝4,求切点E到直径AB的距离EF.【试题解答】解：如图,连接AE,OE,因为直线DE与⊙O相切于点E,所以DE⊥OE,又因为AD⊥DE于D,所以AD∥OE,所以∠DAE＝∠OEA,①在⊙O中,OE＝OA,所以∠OEA＝∠OAE,②…(5分)由①②得∠DAE＝∠OAE,即∠DAE＝∠FAE,又∠ADE＝∠AFE,AE＝AE,所以△ADE≌△AFE,所以DE＝FE,又DE＝4,所以FE＝4,即E到直径AB的距离为4.…(10分)[选修4-2：矩阵与变换]22.(10分)已知矩阵M＝,求圆x2＋y2＝1在矩阵M的变换下所得的曲线方程.【试题解答】解：设P(x0,y0)是圆x2＋y2＝1上任意一点,则＝1,设点P(x0,y0)在矩阵M对应的变换下所得的点为Q(x,y),则＝,即,解得,…(5分)代入＝1,得＝1,∴圆x2＋y2＝1在矩阵M的变换下所得的曲线方程为＝1.…(10分)[选修4-4：坐标系与参数方程]23.在极坐标系中,直线ρcos(θ＋)＝1与曲线ρ＝r(r＞0)相切,求r的值.【试题解答】解：直线ρcos(θ＋)＝1,转化为：,曲线ρ＝r(r＞0)转化为：x2＋y2＝r2,由于直线和圆相切,则：圆心到直线的距离d＝.所以r＝1.[选修4-5：不等式选讲]24.已知实数x,y满足x2＋3y2＝1,求当x＋y取最大值时x的值.【试题解答】解：由柯西不等式,得[x2＋()2][12＋()2]≥(x•1＋)2,即≥(x＋y)2.而x2＋3y2＝1,所以(x＋y)2,所以﹣,…(5分)由,得,所以当且仅当x＝,y＝时,(x＋y)max＝.所以当x＋y取最大值时x值为.…(10分)25.(10分)如图,四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形,AC与BD交于点O,OP⊥底面ABCD,点M为PC中点,AC＝4,BD＝2,OP＝4.(1)求直线AP与BM所成角的余弦值；(2)求平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值.【试题解答】解：(1)因为ABCD是菱形,所以AC⊥BD.又OP⊥底面ABCD,以O为原点,直线OA,OB,OP分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示空间直角坐标系.则A(2,0,0),B(0,1,0),P(0,0,4),C(﹣2,0,0),M(﹣1,0,2).＝(﹣2,0,4),＝(01,﹣1,2),cos＜,＞＝＝＝.故直线AP与BM所成角的余弦值为.…(5分)(2)＝(﹣2,1,0),＝(﹣1,﹣1,2).设平面ABM的一个法向量为＝(x,y,z),则,令x＝2,得＝(2,4,3).又平面PAC的一个法向量为＝(0,1,0),∴cos＜＞＝＝＝.故平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值为.…(10分)26.(10分)已知n∈N*,nf(n)＝C n0C n1＋2C n1C n2＋…＋nC n n﹣1C n n.(1)求f(1),f(2),f(3)的值；(2)试猜想f(n)的表达式(用一个组合数表示),并证明你的猜想.【试题解答】解：(1)由条件,nf(n)＝C C C C①,在①中令n＝1,得f(1)＝1.在①中令n＝2,得2f(2)＝6,得f(2)＝3.在①中令n＝3,得3f(3)＝30,故f(3)＝10.(2)猜想f(n)＝.要证猜想成立,只要证等式n＝•＋2•＋…＋n•成立.由(1＋x)n＝＋x＋x2＋…＋x n①,两边同时对x求导数,可得n(1＋x)n﹣1＝＋2x＋3x2＋n x n﹣1②,把等式①和②相乘,可得n(1＋x)2n﹣1＝(＋x＋x2＋…＋x n)•(＋2x＋3x2＋n x n﹣1 ) ③.等式左边x n的系数为n,等式右边x n的系数为•＋•2＋•3＋…＋n•n＝•＋2•＋3•＋…＋n•＝C C C C,根据等式③恒成立,可得n＝C C C C.故f(n)＝成立.。

2018年江苏省高考理科数学 第一次模拟考试试题与答案（ 满分150分，时长120分钟）说明：本试卷由第Ⅰ卷和第Ⅱ卷组成。

第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题，将答案写在答题纸上，在本试卷上答题无效。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分。

在每小题所给出的四个选项中有且只有一个选项是符合题目要求的1. 若2+3i 是方程x 2＋mx ＋n ＝0的一个根，则实数m ，n 的值为 A. m ＝4，n ＝-21 B. m ＝-4，n ＝13 C. m ＝4，n ＝-3 D. m ＝-4，n ＝-52． 已知集合2{|230}A x x x =--≥，2{|log (1)2}B x x =-<，则()R C A B =A ．(1,3)B ．(1,3)-C ．(3,5)D ．(1,5)- 3. 下列四个命题中的真命题为A ．∃x 0∈Z,5x 0＋1＝0B ．∃x 0∈Z,1<4x 0<3C ．∀x ∈R ，x 2＋x ＋2>0 D ．∀x ∈R ，x 2－1＝04. 已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a 、b 、c 三个向量共面，则实数λ等于A. 657B. 647C. 637D. 6275. 下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是A ．1()f x x=B ．()sin f x x x =C ． ()2x f x =D ．x x x f -=)(6．若实数x ，y 满足，则的取值范围是A ．[43，4] B ．[43，4） C. [2，4] D ．(2，4] 7．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是正视图 侧视图 俯视图A ．331cm B ．332cm C ．334cm D ．338cm8. 如图所示的程序框图，其功能是输入x 的值，输出相应的y 值。

2018年江苏省南京市高考数学一模试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．（5分）已知集合A={x|x（x﹣4）＜0}，B={0，1，5}，则A∩B=．2．（5分）设复数z=a+i（a∈R，i为虚数单位），若（1+i）•z为纯虚数，则a的值为．3．（5分）为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50，100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70，80）（单位：分钟）内的学生人数为．4．（5分）执行如图所示的伪代码，若x=0，则输出的y的值为．5．（5分）口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为．6．（5分）若抛物线y2=2px的焦点与双曲线的右焦点重合，则实数p 的值为．7．（5分）设函数y=e x﹣a的值域为A，若A⊆[0，+∞），则实数a的取值范围是．8．（5分）已知锐角α，β满足（tanα﹣1）（tanβ﹣1）=2，则α+β的值为．9．（5分）若函数y=sinωx在区间[0，2π]上单调递增，则实数ω的取值范围是．10．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若{a n}的前2017项中的奇数项和为2018，则S2017的值为．11．（5分）设函数f（x）是偶函数，当x≥0时，f（x）=，若函数y=f（x）﹣m 有四个不同的零点，则实数m的取值范围是．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若直线y=k（x﹣3）上存在一点P，圆x2+（y﹣1）2=1上存在一点Q，满足=3，则实数k的最小值为．13．（5分）如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”．若A，B，C，D四点均位于图中的“晶格点”处，且A，B的位置所图所示，则的最大值为．14．（5分）若不等式ksin2B+sinAsinC＞19sinBsinC对任意△ABC都成立，则实数k的最小值为．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，点M，N分别是AB，A1B1的中点．（1）求证：BN∥平面A1MC；（2）若A1M⊥AB1，求证：AB1⊥A1C．16．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c 已知c=．（1）若C=2B，求cosB的值；（2）若=，求cos（B）的值．17．（14分）有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边AB长为6分米，另一边足够长．现从中截取矩形ABCD（如图甲所示），再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计），其中OEMF是以O为圆心、∠EOF=120°的扇形，且弧，分别与边BC，AD相切于点M，N．（1）当BE长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；（2）当BE的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：（a＞b＞0）的下顶点为B，点M，N是椭圆上异于点B的动点，直线BM，BN分别与x轴交于点P，Q，且点Q是线段OP的中点．当点N运动到点（）处时，点Q 的坐标为（）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线MN交y轴于点D，当点M，N均在y轴右侧，且=2时，求直线BM的方程．19．（16分）设数列{a n}满足a=a n+1a n﹣1+λ（a2﹣a1）2，其中n≥2，且n∈N，λ为常数．（1）若{a n}是等差数列，且公差d≠0，求λ的值；（2）若a1=1，a2=2，a3=4，且存在r∈[3，7]，使得m•a n≥n﹣r对任意的n∈N*都成立，求m的最小值；=a n对任意（3）若λ≠0，且数列{a n}不是常数列，如果存在正整数T，使得a n+T的n∈N*均成立．求所有满足条件的数列{a n}中T的最小值．20．（16分）设函数f（x）=lnx，g（x）=ax+（a，b，c∈R）．（1）当c=0时，若函数f（x）与g（x）的图象在x=1处有相同的切线，求a，b 的值；（2）当b=3﹣a时，若对任意x0∈（1，+∞）和任意a∈（0，3），总存在不相等的正实数x1，x2，使得g（x1）=g（x2）=f（x0），求c的最小值；（3）当a=1时，设函数y=f（x）与y=g（x）的图象交于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点．求证：x1x2﹣x2＜b＜x1x2﹣x1．[选做题]（在21.22.23.24四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）[选修4-1：几何证明选讲]图21．（10分）如图，已知AB为⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点E，AD垂直DE于点D．若DE=4，求切点E到直径AB的距离EF．[选修4-2：矩阵与变换]22．（10分）已知矩阵M=，求圆x2+y2=1在矩阵M的变换下所得的曲线方程．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，直线ρcos（θ+）=1与曲线ρ=r（r＞0）相切，求r的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知实数x，y满足x2+3y2=1，求当x+y取最大值时x的值．25．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，AC与BD交于点O，OP⊥底面ABCD，点M为PC中点，AC=4，BD=2，OP=4．（1）求直线AP与BM所成角的余弦值；（2）求平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值．26．（10分）已知n∈N*，nf（n）=C n0C n1+2C n1C n2+…+nC n n﹣1C n n．（1）求f（1），f（2），f（3）的值；（2）试猜想f（n）的表达式（用一个组合数表示），并证明你的猜想．2018年江苏省南京市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．（5分）已知集合A={x|x（x﹣4）＜0}，B={0，1，5}，则A∩B={1} ．【解答】解：∵集合A={x|x（x﹣4）＜0}={x|0＜x＜4}，B={0，1，5}，∴A∩B={1}．故答案为：{1}．2．（5分）设复数z=a+i（a∈R，i为虚数单位），若（1+i）•z为纯虚数，则a的值为1．【解答】解：∵z=a+i，∴（1+i）•z=（1+i）（a+i）=a﹣1+（a+1）i，又（1+i）•z为为纯虚数，∴a﹣1=0即a=1．故答案为：1．3．（5分）为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50，100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70，80）（单位：分钟）内的学生人数为1200．【解答】解：由频率分布直方图得：该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70，80）（单位：分钟）内的频率为：1﹣（0.005+0.035+0.020+0.010）×10=0.3，∴估计该县小学六年级4000名学生中每天用于阅读的时间在[70，80）（单位：分钟）内的学生人数为：4000×0.3=1200．故答案为：1200．4．（5分）执行如图所示的伪代码，若x=0，则输出的y的值为1．【解答】解：根据题意知，执行程序后，输出函数y=，当x=0时，y=e0=1．故答案为：1．5．（5分）口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为．【解答】解：口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，从袋中一次随机摸出2个球，基本事件总数n==6，摸出的2个球的编号之和大于4包含的基本事件有：（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共4个，∴摸出的2个球的编号之和大于4的概率为p=．故答案为：．6．（5分）若抛物线y2=2px的焦点与双曲线的右焦点重合，则实数p的值为6．【解答】解：∵双曲线的方程，∴a2=4，b2=5，可得c==3，因此双曲线的右焦点为F（3，0），∵抛物线y2=2px（p＞0）的焦点与双曲线的右焦点重合，∴=3，解之得p=6．故答案为：6．7．（5分）设函数y=e x﹣a的值域为A，若A⊆[0，+∞），则实数a的取值范围是（﹣∞，2] ．【解答】解：函数y=e x﹣a的值域为A∵e x=2，∴值域为A=[2﹣a，+∞）．又∵A⊆[0，+∞），∴2﹣a≥0，即a≤2．故答案为：（﹣∞，2]．8．（5分）已知锐角α，β满足（tanα﹣1）（tanβ﹣1）=2，则α+β的值为．【解答】解：∵（tanα﹣1）（tanβ﹣1）=2，可得：tanα+tanβ+1=tanαtanβ，∴tan（α+β）=═﹣1，∵锐角α，β，可得：α+β∈（0，π），∴α+β=．故答案为：．9．（5分）若函数y=sinωx在区间[0，2π]上单调递增，则实数ω的取值范围是（0，] ．【解答】解：由函数y=sinωx，图象过原点，若ω＜0，图象在x轴下方单调递减，∴ω＞0，因为y=Sinωx在[0，2π]单调递增，说明其至少在[0，2π]单调递增，则其周期至少8π，∴，即．故答案为：（0，]10．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若{a n}的前2017项中的奇数项和为2018，则S2017的值为4034．【解答】解：因为S n为等差数列{a n}的前n项和，且{a n}的前2017项中的奇数项和为2018，=a1+a3+a5+…+a2017=1009×（a1+a2017）×=2018，得a1+a2017═4．所以S奇则S2017=（a1+a2017）=2017×2=4034故答案为：4034．11．（5分）设函数f（x）是偶函数，当x≥0时，f（x）=，若函数y=f（x）﹣m 有四个不同的零点，则实数m的取值范围是[1，）．【解答】解：由0≤x≤3可得f（x）∈[0，]，x＞3时，f（x）∈（0，1）．画出函数y=f（x）与y=m的图象，如图所示，∵函数y=f（x）﹣m有四个不同的零点，∴函数y=f（x）与y=m的图象有4个交点，由图象可得m的取值范围为[1，），故答案为：[1，）．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若直线y=k（x﹣3）上存在一点P，圆x2+（y﹣1）2=1上存在一点Q，满足=3，则实数k的最小值为﹣．【解答】解：【解法一】设P（x1，y1），Q（x2，y2）；则y1=k（x1﹣3）①，+（y2﹣1）2=1②；由=3，得，即，代入②得+=9；此方程表示的圆心（0，3）到直线kx﹣y﹣3k=0的距离为d≤r；即≤3，解得﹣≤k≤0．∴实数k的最小值为﹣．【解法二】设P（x，y），Q（x0，y0）；则+（y0﹣1）2=1①；由=3，得，即，代入①化简得x2+（y﹣3）2=9；∴点P的轨迹是圆心为（0，3），半径为3的圆的方程，又点P在直线kx﹣y﹣3k=0上，如图所示；则直线与该圆有公共点，即圆心到直线的距离为d≤r；∴≤3，解得﹣≤k≤0；∴实数k的最小值为﹣．故答案为：﹣．13．（5分）如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”．若A，B，C，D四点均位于图中的“晶格点”处，且A，B的位置所图所示，则的最大值为24．【解答】解：建立如图的直角坐标系，则A（，），B（0，0），那么容易得到C（0，5）时，D的位置可以有三个位置，其中D1（﹣，），D2（﹣，0），D3（﹣，），此时=（﹣，﹣），=（﹣，﹣），=（﹣，﹣5），=（﹣，﹣），则•=21，•=24，•=22.5，则的最大值为24，故答案为：24．14．（5分）若不等式ksin2B+sinAsinC＞19sinBsinC对任意△ABC都成立，则实数k的最小值为100．【解答】解：∵ksin2B+sinAsinC＞19sinBsinC，由正弦定理可得：kb2+ac＞19bc，∴k＞，又∵c﹣b＜a＜b+c，∴﹣b﹣c＜﹣a＜b﹣c，∴＜19+（）=20﹣（）2=100﹣（﹣10）2，当=10时，20﹣（）2取得最大值20×10﹣102=100．∴k≥100，即实数k的最小值为100．故答案为：100二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，点M，N分别是AB，A1B1的中点．（1）求证：BN∥平面A1MC；（2）若A1M⊥AB1，求证：AB1⊥A1C．【解答】证明：（1）因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以AB∥A1B1，且AB=A1B1，又点M，N分别是AB、A1B1的中点，所以MB=A1N，且MB∥A1N．所以四边形A1NBM是平行四边形，从而A1M∥BN．又BN⊄平面A1MC，A1M⊂平面A1MC，所以BN∥平面A1MC；（2）因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥底面ABC，而AA1⊂侧面ABB1A1，所以侧面ABB1A1⊥底面ABC．又CA=CB，且M是AB的中点，所以CM⊥AB．则由侧面ABB1A1⊥底面ABC，侧面ABB1A1∩底面ABC=AB，CM⊥AB，且CM⊂底面ABC，得CM⊥侧面ABB1A1．又AB1⊂侧面ABB1A1，所以AB1⊥CM．又AB1⊥A1M，A1M、MC平面A1MC，且A1M∩MC=M，所以AB1⊥平面A1MC．又A1C⊂平面A1MC，所以AB⊥A1C．16．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c 已知c=．（1）若C=2B，求cosB的值；（2）若=，求cos（B）的值．【解答】解：（1）因为c=，则由正弦定理，得sinC=sinB．…（2分）又C=2B，所以sin2B=sinB，即2sinBcosB=sinB．…（4分）又B是△ABC的内角，所以sinB＞0，故cosB=．…（6分）（2）因为=，所以cbcosA=bacosC，则由余弦定理，得b2+c2﹣a2=b2+a2﹣c2，得a=c．…（10分）从而cosB==，…（12分）又0＜B＜π，所以sinB==．从而cos（B+）=cosBcos﹣sinBsin=．…（14分）17．（14分）有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边AB长为6分米，另一边足够长．现从中截取矩形ABCD（如图甲所示），再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计），其中OEMF是以O为圆心、∠EOF=120°的扇形，且弧，分别与边BC，AD相切于点M，N．（1）当BE长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；（2）当BE的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？【解答】解：（1）在图甲中，连接MO交EF于点T．设OE=OF=OM=R，在Rt△OET中，因为∠EOT=∠EOF=60°，所以OT=，则MT=0M﹣OT=．从而BE=MT=，即R=2BE=2．故所得柱体的底面积S=S扇形OEF ﹣S△OEF=πR2﹣R2sin120°=﹣，又所得柱体的高EG=4，所以V=S×EG=﹣4．答：当BE长为1（分米）时，折卷成的包装盒的容积为﹣4立方分米．（2）设BE=x，则R=2x，所以所得柱体的底面积S=S扇形OEF﹣S△OEF=πR2﹣R2sin120°=（﹣）x2，又所得柱体的高EG=6﹣2x，所以V=S×EG=（﹣2）（﹣x3+3x2），其中0＜x＜3．令f（x）=﹣x3+3x2，0＜x＜3，则由f′（x）=﹣3x2+6x=﹣3x（x﹣2）=0，解得x=2．列表如下：所以当x=2时，f（x）取得最大值．答：当BE的长为2分米时，折卷成的包装盒的容积最大．18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：（a＞b＞0）的下顶点为B，点M，N是椭圆上异于点B的动点，直线BM，BN分别与x轴交于点P，Q，且点Q是线段OP的中点．当点N运动到点（）处时，点Q 的坐标为（）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线MN交y轴于点D，当点M，N均在y轴右侧，且=2时，求直线BM的方程．【解答】解：（1）由N（），点Q的坐标为（），得直线NQ的方程为y=x﹣，令x=0，得点B的坐标为（0，﹣）．所以椭圆的方程为+=1．将点N的坐标（，）代入，得+=1，解得a2=4．所以椭圆C的标准方程为+=1．（2）：设直线BM的斜率为k（k＞0），则直线BM的方程为y=x﹣．在y=kx﹣中，令y=0，得x P=，而点Q是线段OP的中点，所以x Q=．所以直线BN的斜率k BN=k BQ==2k．联立，消去y，得（3+4k2）x2﹣8kx=0，解得x M=．用2k代k，得x N=．又=2，所以x N=2（x M﹣x N），得2x M=3x N，故2×==3×，又k＞0，解得k=．所以直线BM的方程为y=x﹣19．（16分）设数列{a n}满足a=a n+1a n﹣1+λ（a2﹣a1）2，其中n≥2，且n∈N，λ为常数．（1）若{a n}是等差数列，且公差d≠0，求λ的值；（2）若a1=1，a2=2，a3=4，且存在r∈[3，7]，使得m•a n≥n﹣r对任意的n∈N*都成立，求m的最小值；=a n对任意（3）若λ≠0，且数列{a n}不是常数列，如果存在正整数T，使得a n+T的n∈N*均成立．求所有满足条件的数列{a n}中T的最小值．【解答】解：（1）由题意，可得a=（a n+d）（a n﹣d）+λd2，化简得（λ﹣1）d2=0，又d≠0，所以λ=1．（2）将a1=1，a2=2，a3=4，代入条件，可得4=1×4+λ，解得λ=0，所以a=a na n﹣1，所以数列{a n}是首项为1，公比q=2的等比数列，+1所以a n=2n﹣1．欲存在r∈[3，7]，使得m•2n﹣1≥n﹣r，即r≥n﹣m•2n﹣1对任意n∈N*都成立，则7≥n﹣m•2n﹣1，所以m≥对任意n∈N*都成立．令b n=，则b n +1﹣b n=﹣=，＜b n；当n=8时，b9=b8；当n＜8时，b n+1＞b n．所以当n＞8时，b n+1所以b n的最大值为b9=b8=，所以m的最小值为；（3）因为数列{a n}不是常数列，所以T≥2，=a n恒成立，从而a3=a1，a4=a2，①若T=2，则a n+2所以，所以λ（a2﹣a1）2=0，又λ≠0，所以a2=a1，可得{a n}是常数列，矛盾．所以T=2不合题意．②若T=3，取a n=（*），满足a n+3=a n恒成立．由a22=a1a3+λ（a2﹣a1）2，得λ=7．则条件式变为a n2=a n+1a n﹣1+7．由22=1×（﹣3）+7，知a3k﹣12=a3k﹣2a3k+λ（a2﹣a1）2；由（﹣3）2=2×1+7，知a3k2=a3k﹣1a3k+1+λ（a2﹣a1）2；由12=2×（﹣3）+7，知a3k+12=a3k a3k+2+λ（a2﹣a1）2；所以，数列（*）适合题意．所以T的最小值为3．20．（16分）设函数f（x）=lnx，g（x）=ax+（a，b，c∈R）．（1）当c=0时，若函数f（x）与g（x）的图象在x=1处有相同的切线，求a，b 的值；（2）当b=3﹣a时，若对任意x0∈（1，+∞）和任意a∈（0，3），总存在不相等的正实数x1，x2，使得g（x1）=g（x2）=f（x0），求c的最小值；（3）当a=1时，设函数y=f（x）与y=g（x）的图象交于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点．求证：x1x2﹣x2＜b＜x1x2﹣x1．【解答】解：（1）由f（x）=lnx，得f（1）=0，又f′（x）=，所以f′（1）=1，当c=0时，g（x）=ax+，所以g′（x）=a﹣，所以g′（1）=a﹣b，因为函数f（x）与g（x）的图象在x=1处有相同的切线，所以，即，解得a=，b=﹣；（2）当x0＞1时，则f（x0）＞0，又b=3﹣a，设t=f（x0），则题意可转化为方程ax+﹣c=t（t＞0）在（0，+∞）上有相异两实根x1，x2．即关于x的方程ax2﹣（c+t）x+（3﹣a）=0（t＞0）在（0，+∞）上有相异两实根x1，x2．所以，得，所以c＞2﹣t对t∈（0，+∞），a∈（0，3）恒成立．因为0＜a＜3，所以2≤2•=3（当且仅当a=时取等号），又﹣t＜0，所以2﹣t的取值范围是（﹣∞，3），所以c≥3．故c的最小值为3．（3）当a=1时，因为函数f（x）与g（x）的图象交于A，B两点，所以，两式相减，得b=x1x2（1﹣），要证明x1x2﹣x2＜b＜x1x2﹣x1，即证x1x2﹣x2＜x1x2（1﹣）＜x1x2﹣x1，即证＜＜，即证＜ln＜，即证1﹣＜ln＜﹣1，令=t，则t＞1，此时即证1﹣＜lnt＜t﹣1．令φ（t）=lnt+﹣1，所以φ′（t）=﹣=＞0，所以当t＞1时，函数φ（t）单调递增．又φ（1）=0，所以φ（t）=lnt+﹣1＞0，即1﹣＜lnt成立；再令m（t）=lnt﹣t+1，所以m′（t）=﹣1=＜0，所以当t＞1时，函数m（t）单调递减，又m（1）=0，所以m（t）=lnt﹣t+1＜0，即lnt＜t﹣1也成立．综上所述，实数x1，x2满足x1x2﹣x2＜b＜x1x2﹣x1．[选做题]（在21.22.23.24四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）[选修4-1：几何证明选讲]图21．（10分）如图，已知AB为⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点E，AD垂直DE于点D．若DE=4，求切点E到直径AB的距离EF．【解答】解：如图，连接AE，OE，因为直线DE与⊙O相切于点E，所以DE⊥OE，又因为AD⊥DE于D，所以AD∥OE，所以∠DAE=∠OEA，①在⊙O中，OE=OA，所以∠OEA=∠OAE，②…（5分）由①②得∠DAE=∠OAE，即∠DAE=∠FAE，又∠ADE=∠AFE，AE=AE，所以△ADE≌△AFE，所以DE=FE，又DE=4，所以FE=4，即E到直径AB的距离为4．…（10分）[选修4-2：矩阵与变换]22．（10分）已知矩阵M=，求圆x2+y2=1在矩阵M的变换下所得的曲线方程．【解答】解：设P（x0，y0）是圆x2+y2=1上任意一点，则=1，设点P（x0，y0）在矩阵M对应的变换下所得的点为Q（x，y），则=，即，解得，…（5分）代入=1，得=1，∴圆x2+y2=1在矩阵M的变换下所得的曲线方程为=1．…（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，直线ρcos（θ+）=1与曲线ρ=r（r＞0）相切，求r的值．【解答】解：直线ρcos（θ+）=1，转化为：，曲线ρ=r（r＞0）转化为：x2+y2=r2，由于直线和圆相切，则：圆心到直线的距离d=．所以r=1．[选修4-5：不等式选讲]24．已知实数x，y满足x2+3y2=1，求当x+y取最大值时x的值．【解答】解：由柯西不等式，得[x2+（）2][12+（）2]≥（x•1+）2，即≥（x+y）2．而x2+3y2=1，所以（x+y）2，所以﹣，…（5分）由，得，所以当且仅当x=，y=时，（x+y）max=．所以当x+y取最大值时x值为．…（10分）25．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，AC与BD交于点O，OP⊥底面ABCD，点M为PC中点，AC=4，BD=2，OP=4．（1）求直线AP与BM所成角的余弦值；（2）求平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值．【解答】解：（1）因为ABCD是菱形，所以AC⊥BD．又OP⊥底面ABCD，以O为原点，直线OA，OB，OP分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系．则A（2，0，0），B（0，1，0），P（0，0，4），C（﹣2，0，0），M（﹣1，0，2）．=（﹣2，0，4），=（01，﹣1，2），cos＜，＞===．故直线AP与BM所成角的余弦值为．…（5分）（2）=（﹣2，1，0），=（﹣1，﹣1，2）．设平面ABM的一个法向量为=（x，y，z），则，令x=2，得=（2，4，3）．又平面PAC的一个法向量为=（0，1，0），∴cos＜＞===．故平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值为．…（10分）26．（10分）已知n∈N*，nf（n）=C n0C n1+2C n1C n2+…+nC n n﹣1C n n．（1）求f（1），f（2），f（3）的值；（2）试猜想f（n）的表达式（用一个组合数表示），并证明你的猜想．【解答】解：（1）由条件，nf（n）=C C C C①，在①中令n=1，得f（1）=1．在①中令n=2，得2f（2）=6，得f（2）=3．在①中令n=3，得3f（3）=30，故f（3）=10．（2）猜想f（n）=．要证猜想成立，只要证等式n=•+2•+…+n•成立．由（1+x）n=+x+x2+…+x n①，两边同时对x求导数，可得n（1+x）n﹣1=+2x+3x2+n x n﹣1②，把等式①和②相乘，可得n（1+x）2n﹣1=（+x+x2+…+x n）•（+2x+3x2+n x n﹣1）③．等式左边x n的系数为n，等式右边x n的系数为•+•2+•3+…+n•n=•+2•+3•+…+n•=C C C C，根据等式③恒成立，可得n=C C C C．故f（n）=成立．。