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第四章多元线性回归分析基础-精品文档

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多元线性回归分析正式优秀课件

多元线性回归分析正式优秀课件
l1 b 1 1 l1 b 2 2 l1 m b m l1 Y l2b 1 1l2b 22 l2 m b m l2Y lm 1 b 1 lm 2 b 2 lm b m m lmY
b 0 Y （ b 1 X 1 b 2 X 2 b m X m ）
用最小二乘法解正规方程组， 使残差平方和Q最小。
11.2
2
3.79
1.64
7.32
6.9
8.8
3
6.02
3.56
6.95
10.8
12.3
27
3.84
1.20
6.45
9.6
10.4
66.010367.360-583.952331.368677.6962
67.3601872.364-89.492296.728869.8025
lij -53.952-39.4923950.31-5076.38-61342.434
多元线性回归分析 正式
讲课内容
第一节 多元线性回归(重点) 第二节 自变量选择方法(重点) 第三节 多元线性回归的应用及注
意事项
第一节 多元线性回归
一、多元线性回归模型
表 15-2 27 名糖尿病人的血糖及有关变量的测量结果
序号 i
总胆固醇 甘油三酯
(mmol/L) (mmol/L)
X1
X2
胰岛素 糖化血红蛋白 血糖
SS残 SS总 SS回
F
SS 残
SS回 /（ n
/m m
1）
MS MS
回 残
表 15-3 多元线性回归方差分析表
变异来源 自由度 SS
MS
FP
总变异 n－1 SS 总
回归
m
SS 回

(整理)多元线性回归分析.

(整理)多元线性回归分析.

多元线性回归分析 直线回归概念复习例:为了研究3岁至8岁男孩身高与年龄的规律，在某地区在3岁至8岁男孩中随机抽样，共分6个年龄层抽样：3岁，4岁，…，8岁，每个层抽10个男孩，共抽60个男孩。

资料如下：60个男孩的身高资料如下年龄3岁 4岁 5岁 6岁 7岁 8岁 身 高92.5 96.5 106.0 115.5 125.5 121.5 97.0 101.0 104.0 115.5 117.5 128.5 96.0 105.5 107.0 111.5 118.0 124.0 96.5 102.0 109.5 110.0 117.0 125.5 97.0 105.0 111.0 114.5 122.0 122.5 92.0 99.5 107.5 112.5 119.0 123.5 96.5 102.0 107.0 116.5 119.0 120.5 91.0 100.0 111.5 110.0 125.5 123.0 96.0 106.5 103.0 114.5 120.5 124.0 99.0 100.0 109.0 110.0 122.0 126.5 平均身高95.4101.8107.6113.1120.6124.0从散点图上，我们可以发现样本点(X,Y)随机地出现在一条直线附近，并且从资料背景上考察，同一年龄的儿童身高应近似服从一个正图1 某地男童身高与年龄的散点图态分布，而儿童身高的总体均数应随着年龄增长而增大，并由每个年龄的身高样本均数与儿童年龄的散点图可以发现：这些点非常接近一条直线以及样本均数存在抽样误差，因此推测儿童身高的总体均数与年龄可能呈直线关系。

故假定身高Y 在年龄X 点上的总体均数X Y |μ与X 呈直线关系。

x μαβ=+y其中y 表示身高，x 表示年龄。

由于身高的总体均数与年龄有关，所以更准确地标记应为x μαβ=+y|x表示在固定年龄情况下的身高总体均数。

身高的样本均数与年龄的散点图故有理由认为身高的总体均数与年龄的关系可能是一条直线关系 上述公式称为直线回归方程。

《多元线性回归》PPT课件

《多元线性回归》PPT课件

ˆ 0.7226 0.0003 15674 103 .172 1 ˆ β ˆ 0 . 0003 1 . 35 E 07 39648400 0 . 7770 2
x11 x x 1n x k1 x kn
假设6：回归模型是正确设定的
§3.2
多元线性回归模型的参数估计
一、普通最小二乘估计 二、参数估计量的性质 三、样本容量问题
参数估计的任务和方法
1、估计目标：回归系数βj、随机误差项方差б2 2、估计方法：OLS、ML或者MM * OLS：普通最小二乘估计 * ML：最大似然估计
E(X(Y Xβ )0
矩条件
*矩条件和矩估计量*
1、 E(X(Y Xβ ) 0 称为原总体回归方程的一组矩条件，表明了
原总体回归方程所具有的内在特征。
2、如果随机抽出原总体的一个样本，估计出的样本回归方程：
ˆ 能够近似代表总体回归方程的话，则应成立： ˆ X Y
1 ˆ)0 X (Y Xβ n
第三章
多元线性回归模型
§ 3.1 多元线性回归模型
§ 3.2 多元线性回归模型的参数估计 § 3.3 多元线性回归模型的统计检验 § 3.4 多元线性回归模型的预测 § 3.5 可线性化的多元非线性回归模型 § 3.6 受约束回归
§3.1
多元线性回归模型
一、模型形式 二、基本假定
一、模型形式
Yi 0 1 X 1i 2 X 2 i ... k X ki i 0 j X ji i
#参数估计的实例
例3.2.1：在例2.1.1的家庭收入-消费支出例中，

多元线性回归方程

多元线性回归方程
Analyze->Regression-> Binary Logistic Dependent: ln_yesno Covariates: age, time,pathscat,pathsize, histgrad
比较有用的结果：在Variables in Equation表中的各变量的系数（B），可以写 出z=-0.86-0.331pathscat+0.415pathsize –0.023age+0.311histgrad。 根据回归模型公式Prob(event)=1/(1+e-z)，就可以计算一名年龄为60岁、 pathsize为1、histgrad为1、pathscat为1的患者，其淋巴结中发现癌细胞的 概率为1/(1+e-(-1.845))=0.136
根据回归系数表，可以写出回归模型公式中的z。然后根据回归模型公式 Prob(event) 进行预测。
4.3.3二项逻辑回归(Binary Logistic)实例
实例P255 Data11-02 ：乳腺癌患者的数据进行分析， 变量为：年龄age,患病时间time,肿瘤扩散等级 pathscat（3种）, 肿瘤大小pathsize, 肿瘤史histgrad （3种）和癌变部位的淋巴结是否含有癌细胞ln_yesno， 建立一个模型，对癌变部位的淋巴结是否含有癌细胞 ln_yesno的情况进行预测。
Ln(Y)=b0+b1 / t Ln(Y)=ln(b0)+b1t
Ln(Y)=ln(b0)+b1ln(t) Ln(1/Y-1/u)=ln(b0+ln(b1)t)
4.2.3 曲线估计(Curve Estimation)分析实例
实例P247 Data11-01 ：有关汽车数据，看mpg(每加 仑汽油行驶里程)与weight(车重)的关系

第四章 多元线性回归(多元)

第四章 多元线性回归(多元)

给定显著性水平α（通常α＝0.05，0.01），
可以从F分布的统计表中查出临界值Fα(fR，fRe)
当F F ( fR , f Re)时,
x
我们就认为回归关系在α水平上是显著的；换句话说，
模型在一定程度上反映了y与 之间的相关关系。 x
方差分析表
离 自由度 差 平 方 和 回 SSR fR=p 归 变 差 来 源 残 SSRe 差 均方 F值 临界值 显 著 性
由此可以推出,就每一误差而言,它们的方差都相等 E ( i2 ) 2 （常数），(i＝1，2，…，n)； 即 协方差都等于0，即E(εi ，εj)＝0，(i≠j)
ⅲ）矩阵X是常数矩阵（不是随机矩阵）
ⅳ）矩阵X的秩＝p＋1＜n；
研究多元回归的任务之一，就是如何根据样本资 料来估计偏回归系数βi (i＝0，1，2，…，p) 如记βi的估计值为bi，则满足关系式：
通过回归的拟合不佳检验，当显著时，仅仅提示 我们需要增加变量，但没有给出如何去增变量的方法； 当不显著时，也仅仅提示我们进入模型中的变量已经 足够多了，但不等于说，已进入模型中的变量都是需 要的，很有可能有多余的变量。 讨论从给定的一个模型中，引进新的自变量，或 者从模型中剔除了多余的自变量的方法，叫做模型的 选择。
y1 b0 b1 x11 b2 x12 bp x1 p 1 y b b x b x b x 2 0 1 21 2 22 p 2p 2 yn b0 b1 xn1 b2 xn 2 bp xnp n
由此假设即可推出，就每一误差而言，其数学期望为0
ⅱ）随机误差向量 的协方差矩阵等于误差σ2乘以单位
矩阵In。即
1 1 0 0 2 0 1 0 E 2 In 1 2 n 2 n 0 0 1

《多元线性回归》课件

《多元线性回归》课件

案例三：销售预测
总结词
利用多元线性回归模型预测未来销售情况，为企业制定 生产和销售计划提供依据。
详细描述
选取影响销售业绩的因素，如市场需求、竞争状况、产 品定价等，建立多元线性回归模型。通过分析历史销售 数据，预测未来销售趋势。在实际应用中，需要考虑市 场变化和不确定性因素，对模型进行动态调整和优化。
市场分析
在市场营销领域，多元线性回归可用于分析消费 者行为、市场趋势等，为企业制定营销策略提供 支持。
多元线性回归的基本假设
线性关系
自变量与因变量之间存在线性 关系，即随着自变量的增加或 减少，因变量也按一定比例变
化。
无多重共线性
自变量之间不存在多重共线性 ，即自变量之间没有高度的相 多元线性回归的 案例分析
案例一：股票价格预测
总结词
通过分析历史股票数据，利用多元线性回归 模型预测未来股票价格走势。
详细描述
选取多个影响股票价格的因素，如公司财务 指标、宏观经济指标、市场情绪等，建立多 元线性回归模型。通过训练数据拟合模型， 并使用测试数据评估模型的预测精度。在实 际应用中，需要考虑市场变化、政策影响等
特点
多元线性回归具有简单易用、可解释性强等优点，适用于探 索多个变量之间的相互关系，并能够提供可靠的预测结果。
多元线性回归的应用场景
1 2 3
经济预测
通过对多个经济指标进行多元线性回归分析，可 以预测未来的经济走势，为政策制定提供依据。
医学研究
在医学领域，多元线性回归常用于研究疾病发生 与多个风险因素之间的关系，为疾病预防和治疗 提供参考。
用于检验自变量与因变量之间是否存在线性关系。常用的方法包括散点图、趋 势线等。如果数据点在散点图上呈现一条直线，或者趋势线与水平线接近平行 ，则可以认为自变量与因变量之间存在线性关系。

[优选文档]多元线性回归分析PPT


自变量筛选的标准和原则
• 1、残差平方和（SS残）缩小或决定系数（R2）增大 R2=1- SS残/ SS总
• 2、残差均方（MS残）缩小或调整决定系数（R2ad）增大 MS残= SS残/（n-p-1）
• 3、Cp统计量减小
自变量筛选的方法
Hale Waihona Puke • 向前选择法• 建模时没有自变量，逐个加入自变量。并通过F 检验加入自变量对模型的影响是否显著。显著则 保留此变量。
一、回归方程的假设检验（F检验） H0 ：β1=β2=…=βp=0 H1: β1,β2…βp不全为0 如果H0成立，认为回归方程不显著，如果拒 绝H0 ，认为回归方程显著。
二、回归系数的假设检验（t检验） 在F检验中，如果拒绝H0假设，只能说β1,β2…βp 不全为0，还需要进一步检查每个自变量的总体 偏回归系数。
H0 : βi=0, H1 : βi≠0 (i=1,2…p) 如果H0成立，认为偏回归系数βi不显著，如果拒
绝H0 ，认为偏回归系数βi显著。
第三节、自变量的筛选
• 多元回归分析时收集的某些自变量对因变量无影 影响或影响甚微；也不敢保证自变量之间是相互 独立的，因而在建立多元线性回归方程时，需要 使回归方程尽可能包含对解释因变量有较大贡献 的自变量，而把贡献不大的或无贡献以及与其他 自变量有密切关系的自变量排除。
只有一个自变量时，回归结果 为二维平面的一条直线，而有两 个自变量时，结果为三维空间的 一个平面，有更多的自变量时， 回归的结果则是在三维以上空间 的“超平面”，无法直观图形表 达，只能想象。
多元线性回归分析前体条件——LINE
（1）linear : Y与X1， X2，…, Xm之间具有线性关系。 （2）independent :各个体观测值间相互独立。 （3）normal distribution :在一定范围内，对任意一

多元线性回归分析

多元线性回归分析多元线性回归分析是一种使用多个自变量来预测因变量的统计方法。

它可以帮助我们理解自变量对因变量的影响，并预测因变量的值。

在这篇文章中，我们将讨论多元线性回归的基本概念、假设和模型，以及如何进行参数估计、模型拟合和预测。

Y=β0+β1X1+β2X2+...+βnXn+ε在这个方程中，Y是因变量，X1、X2、..、Xn是自变量，β0、β1、β2、..、βn是回归系数，ε是误差项。

假设1.线性关系：自变量和因变量之间存在线性关系。

2.独立性：样本数据是独立采样的。

3.多重共线性：自变量之间不存在高度相关性。

4.正态分布：误差项服从正态分布。

5.同方差性：误差项的方差是常数。

参数估计为了估计回归系数，我们使用最小二乘法来最小化残差平方和。

残差是观测值与模型估计值之间的差异。

最小二乘法的目标是找到最佳的回归系数，使得观测值的残差平方和最小化。

模型拟合一旦估计出回归系数，我们可以使用它们来拟合多元线性回归模型。

拟合模型的目标是找到自变量的最佳线性组合，以预测因变量的值。

我们可以使用拟合后的模型来预测新的观测值，并评估模型的拟合程度。

预测在实际应用中，多元线性回归模型可以用于预测因变量的值。

通过给定自变量的值，我们可以使用估计的回归系数来计算因变量的预测值。

预测值可以帮助我们了解自变量对因变量的影响，并作出决策。

总结多元线性回归分析是一种重要的统计方法，它可以帮助我们理解自变量对因变量的影响，并预测因变量的值。

在进行多元线性回归分析时，我们需要考虑模型的假设，进行参数估计和模型拟合，并使用拟合后的模型进行预测。

通过多元线性回归分析，我们可以获得有关变量之间关系的重要见解，并为决策提供支持。

多元线性回归课件

误差项之间不存在自相关性。
线性关系
自变量与因变量之间存在线性 关系。
无异方差性
误差项的方差在所有观测值中 保持恒定。
无异常值
数据集中没有异常值。
02
多元线性回归的参 数估计
最小二乘法
最小二乘法是一种数学优化技术，其 基本思想是寻找一个函数，使得该函 数与已知数据点的总误差（或总偏差 ）的平方和最小。
最小二乘法通过构建残差平方和பைடு நூலகம்数 学模型，并对其求最小值来估计参数 ，这种方法具有简单、直观和易于计 算的特点。
在多元线性回归中，最小二乘法的目 标是找到最佳参数值，使得实际观测 值与通过模型预测的值之间的残差平 方和最小。
参数的估计值与估计量的性质
参数的估计值是通过最小二乘法 或其他优化算法从样本数据中得
多元线性回归课件
目录
CONTENTS
• 多元线性回归概述 • 多元线性回归的参数估计 • 多元线性回归的评估与诊断 • 多元线性回归的进阶应用 • 多元线性回归的软件实现 • 多元线性回归的案例分析
01
多元线性回归概述
定义与模型
定义
多元线性回归是一种统计学方法，用于 研究多个自变量与因变量之间的线性关 系。
决定系数（R^2）
衡量模型解释变量变异程度的指标，值越接近1表示模型拟合度越好。
调整决定系数（Adjusted R^2）
考虑了模型中自变量的增加，对R^2进行调整后的拟合度指标。
均方误差（MSE）
衡量模型预测误差大小的指标，值越小表示模型预测精度越高。
变量的显著性检验
t检验
通过t统计量检验自变量对因变量 的影响是否显著，值越大表明该 变量越重要。
用于判断自变量之间是否存在多重共线性的指标，值小于阈值时可能存在多重共线性问 题。

多元线性回归分析课件

注意：似然函数取对数是一个单调变换，不会影响参 数估计值的最优解。
42
极大似然估计的优化一阶条件：
结论： 回归系数的ML估计量与OLS估计量完全等价。 在有限样本下是有偏的，大样本下具有一致性。
43
二、参数约束的似然比检验
例子：柯布－道格拉斯生产函数
无约束方程： 受约束方程：
待检验假设：
无约束方程进行 ML估计，得到极大对数似然函数值：
回忆：P值是检验结论犯第一类“弃真”错误的概率。 P值非常小的含义是什么呢？
17
二、随机误差项方差的估计
的无偏估计量可以表述为：
自由度为什么是N-(K+1)？ 多元回归模型的OLS估计中，我们基于正规方程 组中的K+1个约束估计了K+1个回归系数，所以损失 了K+1个自由度，独立的观测信息只剩下N-(K+1)个。
34
3 ：参数的线性约束检验： F检验一般形式
对于多元线性回归模型：
参数的多个约束：
待检验假设：
原假设中至少有一个约束条件不成立。
35
检验统计量
基于 和 有
，在原假设成立的情况下，
如果原假设为真，我们会倾向于得到较小的F值。
反之，我们会倾向于得到较大的F值。
判定：若F值大于临界值，或p值小于显著性水平， 则拒绝原假设。
36
4 ：经济关系的结构稳定性检验： F检验的一 个例子——邹检验
n 例：中国宏观生产函数在1992年前后是否不同？ 无约束回归：参数可以不同
1978~1992年： 1993~2006年：
受约束回归：参数不变 1978~2006年：
37
待检验假设：
： 原假设中约束条件至少有一个不成立。
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第四章 多元线性回归分析
第一节 模型的假定
2019/2/21
模型
Y X X ...... X t 1 2 2 t 3 3 t k kt t

YX U

矩阵形式
其中
Y1 Y Y 2 Y k
1 2 k
T
X ) 1 X
T
D )( X U )
T
DX ( X 所以 ˆ * ˆ ( X
T
X ) 1 X T U DU
X ) 1 X T U DU
第四章 多元线性回归分析
第三节
2019/2/21
最小二乘估计量的性质
var( ˆ * ) E [( ˆ * E ( ˆ * ))( ˆ * E ( ˆ * )) T ] E [( ˆ * )( ˆ * ) T ] E [(( X T X ) 1 X T U DU )(( X T X ) 1 X T U DU ) T ] E [(( X T X ) 1 X T U DU )( U T X ( X T X ) 1 U T D )] E [( X T X ) 1 X T UU T X ( X T X ) 1 DUU ( X T X ) 1 X T UU T D T DUU
多元线性回归分析
计量经济学 第四章
重点问题
2019/2/21
参数的最小二乘估计 最小二乘估计量的性质 参数估计式的分布特性与检验 多重共线性
第四章 多元线性回归分析
主要内容
2019/第五节 第六节
模型的假定 参数的最小二乘估计 最小二乘估计量的性质 参数估计式的分布特性与检验 多重共线性 预测
(5) (X) k n
第四章 多元线性回归分析
第二节 参数的最小二乘估计
2019/2/21
残差向量
ˆ ˆ e Y Y Y X
残差平方和
2 T ˆ)T( ˆ) e e e ( Y X YX t t 1 T T T T ˆ ˆ ˆTX ˆ Y Y X Y Y X X n
第四章 多元线性回归分析
第三节
2019/2/21
最小二乘估计量的性质
一、最小二乘估计的特性
1.线性特性
ˆ ( X T X )1 X T Y ( X T X )1 X T ( X U ) ( X T X )1 X TU
2.无偏性
ˆ) E( (XT X)1 XTU) E( E()(XT X)1 XTE( U)
2 2 T T
]
X ( X T X ) 1 ]
T
)) X ( X T X ) 1
( X T X ) 1 X ( X T X ) 1
T
X ( X T X ) 1
第四章 多元线性回归分析
第三节
2019/2/21
最小二乘估计量的性质
设 ˆ * 为总体参数矩阵 的一个线性无偏估计， 由 ˆ *的线性特性 ˆ * (( X T X ) 1 X T D ) Y ˆ DY 一般情况下 D 0 ，因此 ˆ * ˆ ，只有 D 0 时， ˆ * ˆ 。因此 ˆ * ˆ E ( ˆ * ) E ( ˆ DY ) E ( ˆ ) DE ( Y ) DX ( I k DX ) 由无偏性，始终 DX 0 ，而 ˆ * (( X T X ) 1 X T D ) Y (( X
1 X 21 1 X 22 X 1 X 2n
X 31 X k1 X 32 X k 2 X 3n X kn
1 U 2 k

第四章 多元线性回归分析
第一节 模型的假定
2019/2/21
模型假设： E ( 1 ) (1) E ( U ) 0 即对每个元素取期望 E( ) n
2 ( 2 ) E ( UU T ) In
In为n阶单位阵
(3) X 为确定的矩阵
2 ( 4 ) U ~ N(0, In )
T ( e e ) T T ˆ 2 X Y 2 X X 0 ˆ
*
式*为正规方程组，包含k个方程式
第四章 多元线性回归分析
第二节 参数的最小二乘估计
2019/2/21
则最小二乘估计：
T 1 T ˆ ( XX ) XY
由假设条件可以证明XTX是正定的，即XTX>0
第四章 多元线性回归分析
第三节
2019/2/21
最小二乘估计量的性质
3.最优性
var( ˆ ) E (( ˆ )( ˆ ) T ) 因为 ˆ ( X T X ) 1 X T U 所以 var( ˆ ) E[( ( X T X ) 1 X T U)( ( X T X ) 1 X T U) E[ ( X T X ) 1 X T UU ( X T X ) 1 X T (E(UU
T T
DT
X ( X T X ) 1 ]
( X T X ) 1 X T ( E (UU T )) X ( X T X ) 1 D ( E (UU T )) D T ( X T X ) 1 X T ( E (UU T ) D T D ( E (UU T )) X ( X T X ) 1 u2 ( X T X ) 1 u2 DD T u2 ( X T X ) 1 ( DX ) T u2 DX ( X T X ) 1 u2 ( X T X ) 1 u2 DD var( ˆ ) 2 DD T