八年级数学上册解题技巧专题利用全等解决问题的模型与技巧课件新版华东师大版

结论：
两边及其夹角分别相等 的两个三角形全等（简 记为S.A.S.或边角边)
温馨提示:
两边及其夹角分别相等的两个三角形 全等（简记为S.A.S.或边角边)
用符号语言表达为：
A
AB=DE
在△ABC与△DEF中 ∠B=∠E B BC=EF
C D
∴△ABC≌△DEF（SAS） E
F
分别找出各题中的全等三角形
探究新知
A B
因铺设电线的需要，要 在池塘两侧A、B处各埋 设一根电线杆（如图）， 因无法直接量出A、B两 点的距离，现有一足够的 米尺。请你设计一种方案， 粗略测出A、B两杆之间 的距离。。
小明的设计方案：先在池塘 旁取一个能直接到达A和B处的 点C，连结AC并延长至D点， 使AC=DC，连结BC并延长至E 点，使BC=EC，连结CD，用 米尺测出DE的长，这个长度就 等于A，B两点的距离。请你说 明理由。 AC=DC
应该有两种情况：一种是角夹在两条边的 中间，形成两边夹一角；另一情况是角不 夹在两边的中间，形成两边一对角。
思考
如果已知两个三角形有两边一角对应
相等时，应分为几种情形讨论？
Ａ
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｂ
Ｃ
Ａ'
Ａ'
Ｂ'
Ｃ'
边－角－边
第一种
Ｂ'
Ｃ'
边－边－角
第二种
做一做：画△ABC,使AB=3cm，AC=4cm。
这样画出来的三角形与同桌所画的三角 形进行比较，它们互相重合吗？
A
B
40°
A
B
DC
D
C
(2)
F
△ADC≌△CBA 根据“SAS”

旋转：
Ｅ
Ｆ
华东师大版数学八年级上册-13.2.1 全等三角形 课件 _3
A
Ｄ
B
C
4.先写出全等式，再指出它们的对应边 和对应角
解: ∵△ABC≌△DEC ∴AB=DE,AC=DC, C
BC=EC ∴∠A=∠D,
∠B=∠E,
A
∠ACB= ∠DCE.
D
E B
5.先写出全等式，再指出它们的对应边 和对应角
要求:①所有同学完成后，师友交流答案。②完成后请学友口答问 题,学师点评、完善。③其他师友倾听、补充。
4.如图，在△ ABC中，D是BC边上一点，
且△ABD ≌△ACD.求证AD BC.
证明: ∵ ΔABD≌ΔACD
A
∴ ∠ADB=∠ADC
（全等三角形的对应角相等）
又因为∵ ∠ADB+∠ADC=180°B D
华东师大版数学八年级上册-13.2.1 全等三角形 课件 _3
3.先写出全等式，再指出它们的对应边 和对应角
D
B
解: ∵△AOC≌△BOD
∴AO=BO,AC=BD,
O
OC=OD.
∴∠A=∠B,∠C=∠D,
∠AOC= ∠BOD.
A
C
华东师大版数学八年级上册-13.2.1 全等三角形 课件 _3
华东师大版数学八年级上册-13.2.1 全等三角形 课件 _3
3、 △ BOF ≌ △ COE
对应角是： ∠BCE和 ∠CBF、 ∠BEC和∠CFB、 ∠CBE和 ∠BCF。对应边是：CB和BC、 CE和BF、CF和BE。
对应角是: ∠BOF和∠COE、 ∠BFO 和∠CEO、 ∠ FOB和 ∠EOC。对应边是：OF和OE、OB和OC、BF和CE。

△ ABD是等腰三角形，得出BD=AD，同理 DF=DC,由∠ADB= ∠CDF= 90°, 同时加上 公共部分∠ADF,得∠BDF= ∠ADC,进而证明 △ BDF ≌ △ ADC.
画板
变式训练：
3.如图，已知△ABD和△CDF是等腰直角三角 形，∠ADB= ∠CDF= 90°, B、D、C三点不共 线，BF和AC交于E,BF交AD于O,DF交AC于G, 判断BF和AC有什么关系
谢谢指导！
容易证得△ BDF ≌ △ ADC.得BF=AC.
位置关系：延长BF交AC于E,
2
E
由∠1= ∠2， ∠2与∠ACD互余，代换
之后∠1与∠ACD互余，得证垂直
1
你能在你所做的题目中找到类似的题目吗？
变式训练：
2.如图，已知△ABD和△CDF是等腰直角三角形， ∠ADB= ∠CDF= 90°, B、D、C三点不共线，BF 和AC交于E,BF交AD于O,DF交AC于G,判断BF和 AC有什么关系
A
Hale Waihona Puke B画板D C
E
课后思考
1、如图，C 为线段 AE 上一动点（不与 A、E 重合）， 在 AE 同侧分别作等边△ABC 和等边△ CDE，AD 与 BE 交于点 O，AD 与 BC 交于点 P，BE 与 CD 交于点 Q， 连接 PQ，以下五 个结论：①AD=BE；②PQ∥AE； ③AP=BQ； ④ ∠AOB=60°，其中正确的结论是 （把你认为正确的结论的序号都填上）．
课后思考
3、如图，某广场是一个四边形区域ABCD，
现测得：AB=60m，BC=80m，∠ABC=30°， ∠DAC=∠DCA=60°，试求水池两旁B、D两 点之间的距离．
谈谈学完这节课的收获

当堂检测
1．为班级中每名同学准备了长分别为a、b、c三根木条，所有同学都
用三根木条，首尾顺次拼接组成三角形，这时小陈同学说：“我们所
有人的三角形，形状和大小是完全一样的”小陈同学的说法根据
_______．
SSS
根据：三个木条长度a，b，c，无论怎么摆放，长度不变，利用三
角形全等的判定理由：SSS
当堂检测
（简写为“边边边”或“S.S.S.”）
A
几何语言：
在△ABC和△ DEF中，
AB=DE，
B
C
D
BC=EF，
CA=FD，
∴ △ABC ≌△ DEF（S.S.S.）.
E
F
讲授新课
典例精析
【例1】如图，在四边形 ABCD 中，AD = CB，AB = CD.
求证: ∠B = ∠D.
证明：在△ABC 和△CDA 中，
＝，
＝ ,
＝.
∴△ABC≌△DFC(SSS).
讲授新课
变式1 若将上题中右边的三角形向左平移(如图)，若AB＝DF，
AC＝DE，BE＝CF.问：△ABC和△DFE全等吗？
解:全等.
A
B
E
D
C
F
∵ BE＝CF ，
∴BE+EC=CF+EC.
即BC＝FE .
在△ABC和△DFE中，
在△ABD和△CDB中,
＝(已知)，
= (已知),
＝(公共边).
∴△ABD≌△CDB（SSS）,
∴∠A=∠C.（全等三角形的对应角相等）.
②证明:∵ △ABD≌△CDB（已证） ,
∴∠ABD=∠CDB， ∠ADB=∠CBD .
（全等三角形的对应角相等）

【对应训练】 1．(黄冈中考)已知：如图，∠BAC＝∠DAM，AB＝AN，AD＝AM，求证： ∠B＝∠ANM.
证明：∵∠BAC＝∠DAM，∠BAC＝∠BAD＋∠DAC，∠DAM＝∠DAC ＋ ∠ NAM ， ∴ ∠ BAD ＝ ∠ NAM. 在 △ BAD 和 △ NAM 中 ，
A∠BB＝ADA＝N，∠NAM， ∴△BAD≌△NAM(S.A.S.)，∴∠B＝∠ANM AD＝AM，
分析：在AB上截取AM＝AD，连结EM，可得△AME≌△ADE，再想办法证 △BME≌△BCE，得BC＝BM，即得AB＝AM＋BM＝AD＋BC.
【对应训练】 4．如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠BAC与∠BCA的平分线AD，CE分 别交BC和AB于点D，E，AD与CE相交于点F.求证：AC＝AE＋CD.
∠ACC＝＝A∠BB，，
∴△ACM≌△ABN(A.S.A.)，∴∠M＝∠N
∠CAM＝∠BAN，
分 析 ： (1) 由 S.A.S. 证 明 △ ABD≌△ACE ， 得 出 对 应 边 相 等 即 可 ； (2) 证 出 ∠BAN＝∠CAM，由全等三角形的性质得出 ∠B＝∠C，由A.A.S.证明 △ACM≌△ABN，得出对应角相等即可．
2．(武汉中考)如图，点C，F，E，B在一条直线上，∠CFD＝∠BEA，CE ＝BF，DF＝AE，写出CD与AB之间的关系，并证明你的结论．
解：CD∥AB，CD＝AB，理由如下：∵CE＝BF，∴CE－EF＝BF－EF，
∴CF＝BE.在△DFC 和△AEB 中，C∠FC＝FBDE＝，∠BEA， DF＝AE，
5．已知，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠D＝60°，AB＝BC. (1)如图①，若E，F分别在线段AD，CD上，且∠EBF＝60°.求证：EF＝ AE＋CF； (2)如图②，若E，F分别在线段AD，DC的延长线上，且∠EBF＝60°，求 证：EF＝AE－CF.

角对应相等时，应分为几种情形讨论？
Ａ
Ａ
Ｂ
ＣＢＣຫໍສະໝຸດ Ａ’Ａ’Ｂ’
Ｃ’
边－角－边
Ｂ’
Ｃ’
边－边－角
第二十一页，共23页。
以3cm、4cm为三角形的两边
(liǎngbiān)，长度3cm的边所对的角为
45° ，情况又怎样？动手画一画，你发
现了什么C ？
步骤：
1.画一线段AC,使它等于4cm;
3cm
2.画∠ CAM= 45°;
第十一页，共23页。
D
F C
A
已知:如图，AB=AC,AD=AE.
求证(qiúzhèng): △ABE≌△ACD
证明(zhèngmíng)：在△ABE和△ACD中D ∵ AB=AC（已知）
∠A=∠A（公共角）
AD=AE(已知)
B
∴ △ABE≌△ACD(SAS)
E C
第十二页，共23页。
已知：如图，AB=AC,AD=AE, ∠1=∠2.
(SAS)
边AB=CB(已知)
角∠1= ∠2(已知)
1
B 2
边BD=BD(公共 解:在(g△ōnAgBgDòn和g)△边C)BD中,
∵ AB=CB(已知)
∠ABD=∠CBD(已知)
BD=BD(公共(gōnggòng)边)
∴△ABD ≌△CBD(SAS)
第九页，共23页。
A
D
C
已知：如图，AD∥BC,AD=CB.
了 什 么 ？
1、今天(jīntiān)我们学习哪种 方法可以判定两个三角形全等？
边角(biān jiǎo)边（S.A.S）
2、通过这节课我们知道,当两个 (liǎnɡ ɡè)三角形有两边和一角 对应相等时不一定全等.

⑶有一组对应角相等、两组对应边相等
（角夹在两条边的中间， （角不夹在两边的中间，
形成两边夹一角）
Hale Waihona Puke 形成两边一对角）边－角－边
灿若寒星
边－边－角
探究新知⑴
⑴边－角－边
（角夹在两条边的中间，形成两边夹一角）
做一做 已知两条线段和一个角，以这两条线段为边，
以这个角为这两条边的夹角，画一个三角形．
⑴ 3cm
“三线合一”
灿若寒星
巩固训练
1、根据题目条件，判断下面的三角形是否全等． （1） AC＝DF，∠C＝∠F，BC＝EF； （2） BC＝BD，∠ABC＝∠ABD．
(1)全等
灿若寒星
(2)全等
巩固训练
2.已知AB∥DC，AD=BC，∠A＝∠B， 点M是AB的中点，求证： △AMD≌△BMC．
证明：∵AB∥DC，AD=BC，∠A＝∠B， ∵点M是AB的中点， ∴AM=BM。
⑵ 3cm
4cm
45°
6cm
步骤：
1、画一线段AB，使它等于4cm；
2、画∠MAB＝45°；
C
3、在射线AM上截取AC＝3cm；
4、连结BC． △ABC即为所求．
灿若寒星
45°
A 4cm
120°
M
B
探究新知⑴
把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，
所有的三角形都全等吗？ 动画演示
三角形全等的判定方法（1）：
这是一个 公理。
如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么
这两个三角形全等．简记为S.A.S.（或边角边）．
几何语言：
在△ABC与△DEF中 ∵ AB=DE
∠B=∠E

图 13。2。9
把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较， 所有的三角形都全等吗？ 换两个角和一条线段，试试看，是否有同样的结论．
都全等
归纳
（三角形全等的）基本事实
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等．
简记为 (ASA) 或角边角
A
符
B
号
C
在ABC和DEF中 B=E(已知）
D
语
BC=EF(已知）
• 8、普通的教师告诉学生做什么，称职的教师向学生解释怎么做，出色的教师示范给学生，最优秀的教师激励学生。上午8时45 分44秒上午8时45分08:45:4421.11.8
如图:如果两个三角形有两个角及其中一个角的对边 分别对应相等，那么这两个三角形是否一定全等？
已知：∠A＝∠A′， ∠B＝∠B′， AC＝A′C′ 求证： △ABC≌△A′B′C′
三角形全等的判定
（第三课时） A.A.S.和A.S.A.
教学目标
• 1、通过画图、操作、实验等教学活动，探 索三角形全等的判定方法（ASA、AAS)。
• 2、会用ASA、AAS判定两个三角形全等。 • 3、灵活地运用所学的判定方法判定两个三
角形全等，从而解决线段或角相等问题。
自学指导
• 看课本，思考以下问题： • 1、动手操作：P66“做一做”思考其后的问
言
C=F(已知）
E
F
ABC ≌ DEF（A.S.A.）
例1：如图13.2.11，已知∠ABC＝∠DCB， ∠ACB＝ ∠DBC，
求证：△ABC≌△DCB，AB=DC．
证明： 在△ABC和△DCB中，
∠ABC＝∠DCB，
∵
BC＝CB，
∠ACB＝∠DBC，

C
在△ABC和△ABD中 ∠1=∠2，(已知)
A
1 2B
∠C=∠D，(已知)
D
AB=AB，(公共边)
∴△ABC≌△ABD．(AAS)
∴AC=AD．(全等三角形的对应边 相等)
2．如图，AB∥CD，AE∥CF，BF=DE．试找 出图中其他的相等关系，并给出证明．
解：∵AB∥CD，AE∥CF，
∴∠B=∠D，∠AEB=∠CFD．
动脑思考，分类辨析
思考 如果只满足这些条件中的一部分，那么 能保证△ABC ≌△A′B′C′吗？
追问 当满足两个条件时， △ABC 与 △A′B′C′全等吗？
两个条件
① 两边 ② 一边一角 ③ 两角
动脑思考，分类辨析
思考 如果只满足这些条件中的一部分，那么能 保证△ABC ≌△A′B′C′吗？
追问 当满足三个条件时， △ABC 与△A′B′C′ 全等吗？满足三个条件时，又分为几种情况呢？
形叫做全等三角形．
请同学们观察下图中的两个三角形， 它们有何对应关系？
点A 与点D、点B 与点E、
A
点C 与点F 重合，称为对应顶点；
边AB 与DE、边BC 与EF、 B
C
边AC 与DF 重合，称为对应边；
D
∠A 与∠D、∠B 与∠E、
∠C 与∠F 重合，称为对应角．
E
F
你能用符号表示出这两个全等三角形吗？
C
C'
B
A B'
A'
全等
A.S.A
如果两个三角形有两个角及其夹边分别对应相等，那么 这两个三角形全等．简记为A.S.A. （或角边角）．
用符号语言表达为：
在△ABC和△DEF中，

为45°，动手画一画，你发现了什么？
C
△ABC 的形状与
大小是唯一确定的
吗?
10cm
A
8cm
8cm
45°
B
B′

10cm

8cm
8cm
45°

′
发现：△ABC和△ AB'C 满足AC=AC ,BC= B'C ,∠A=∠A,
但△ABC与△ AB'C 不全等.
结论：两边及其一边所对的角相等，两个三角形不一定全等。
_
AC=DF， （已知）
∠A=∠D ，（已证）
AB =DE， （已证）
∴△ BCA ≌△ EFD . （SAS）
_
E
_
A
_
B
_
∴ BC= EF，（ 全等三角形的对应边相等
）
∴ ∠ABC=∠DEF，（全等三角形的对应角相等）
∴EF‖BC.(内错角相等，两直线平行)
F
C
_
D
课堂小结
1. 三角形全等的条件：两边和它们的夹角对应相等的两
第13章 全等三角形
13.2 全等三角形
第2课时 全等三角形的判定—边角边
学习目标
1 通过画、量、视察、比较和猜想等过程，探索、归纳、
证明两个三角形全等的条件——SAS．
2 掌握用SAS证明两个三角形全等的方法，并能综合运用
全等三角形的性质证明线段和角相等．（重、难点）
3 了解“SSA”不能作为证明两个三角形全等的条件．
随堂训练
1.如图，去修补一块玻璃，问带哪一块玻璃去可以使
得新玻璃与本来的完全一样？
分析：带Ⅲ去，可以根据SAS得
Ⅰ
Ⅱ