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华师大版九年级数学上册_第23章_图形的相似_单元测试题

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华师大版九年级数学上册_第23章_图形的相似_单元测试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知a 5b 2=，那么下列等式中，不一定正确的是（ ） A ．2a 5b = B ．a b 52= C ．a b 7+= D ．a b 7b 2+= 2．下列a 、b 、c 、d 四条线段，不成比例线段的是（ ） A ．a 2=，b 5=，c 5=，d 12.5=B ．a 5=，b 0.02=，c 0.7=，d 0.3=C ．a 30=，b 2=，4c 5=，d 12= D ．a 5=，b 3=，c 5=，d 3= 3．若x 轴上点P 到y 轴的距离为3，则点P 为（ ）A ．(3 , 0)B ．(3 , 0)或(−3 , 0)C ．(0 , 3)D ．(0 , 3)或(0 , −3) 4．如图，为了估计荆河的宽度，在荆河的对岸选定一个目标点P ，在近岸取点Q 和S ，使点P 、Q 、S 在一条直线上，且直线PS 与河垂直，在过点S 且与PS 垂直的直线a 上选择适当的点T ，PT 与过点Q 且与PS 垂直的直线b 的交点为R ，如果QS 60m =，ST 120m =，QR 80m =，则荆河的宽度PQ 为（ ）A ．40mB ．120mC ．60mD ．180m 5．Rt ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，DE AC ⊥于E ，AC:CB 5:4=，则AE :EC (= )A ．25:16B ．5:4C ．5:2D ．以上都不对6．如图，已知第一个三角形的周长是1，它的三条中线又组成第二个三角形，第二个三角形的三条中线又组成第三个三角形。

以此类推，第2009个三角形的周长是( )A ． 200712B ． 200812C ． 200912D ． 2010127．如图所示：ABC 中，DE //BC ，AD 5=，BD 10=，AE 3=．则CE 的值为（ ）A ．9B ．6C ．3D ．48．下列说法正确的是（ ）A ．凡是三角形的形状都相同B ．两个矩形的形状一定相同C ．两个等腰梯形的形状一定相同D ．正五边形的形状都相同9．下列说法：①位似图形一定是相似图形②相似图形一定是位似图形③位似图形对应顶点的连线相交于一点④位似图形的对应边互相平行．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 10．如图，在平面直角坐标系中，点B 在x 轴上，AOB 是等边三角形，AB 4=，则点A 的坐标为（ ）A ．(3B ．()2,4C ．(2,23D ．()23,2二、填空题 11．如图，E 、F 分别是平行四边形ABCD 的边AD 、BC 的中点，若四边形AEFB 与四边形ABCD 相似，AB 4=，则AD 的长度为________．12．点()A 3,5-到x 轴的距离为________，关于y 轴的对称点坐标为________．13．如果两个相似三角形的周长分别是10cm 、15cm ，小三角形的面积是224cm ，那么大三角形的面积是________2cm ．14．已知坐标平面内一点()A 1,2-，若A 、B 两点关于第一、三象限内两轴夹角平分线对称，则B 点的坐标为________．15．如图所示，在四边形ABCD 中，AD //BC ，如果要使ABC DCA ∽，那么还要补充的一个条件是________．（只要求写出一个条件即可）16．在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点的坐标是()A 2,3-，()B 4,1--，()C 2,0，将ABC 平移至111A B C 的位置，点ABC 的对应点分别是111A B C ，若点1A 的坐标为()3,1．则点1C 的坐标为________．17．已知点()A m 1,3-与点()B 2,n 1+关于x 轴对称，则m =________，n =________．18．如图，已知ABC 中，DE //BC ，连接BE ，ADE 的面积是BDE 面积的12，则ADE ABC S :S =________．19．已知点A 的坐标是()a b,a b +-，那么点A 关于x 轴对称的点的坐标为________，点A 关于y 轴对称的点的坐标为________，点A 关于原点对称的点为________． 20．数学兴趣小组想测量一棵树的高度，在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米．同时另一名同学测量这棵树的影长为3.2米，则树高为________米．三、解答题21．如图，已知点A ，B 的坐标分别为（4，0），（3，2）．（1）画出△AOB 关于原点O 对称的图形△COD ；（2）将△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转90°得到△EOF ，画出△EOF ；（3）点D 的坐标是 ，点F 的坐标是 ，此图中线段BF 和DF 的关系是 ． 22．如图，已知AD 为ABC 的角平分线，ADE B ∠∠=．()1求证：ABD ADE ∽．()2若AB 9=，AE 4=，求AD 的长．23．如果一个矩形的宽与长的比是黄金比，那么这个矩形称为黄金矩形．如图，已知四边形ABCD 为黄金矩形，以它的宽为边在其内部作正方形AEFD ，那么剩下的矩形BCFE 也是一个黄金矩形，你能证明这个结论吗？24．在任意ABC 中，作CD AB ⊥，垂足为D ，BE AC ⊥，垂足为E ，F 为BC 上的中点，连接DE ，EF ，DF ．()1求证：DF EF =；()2直接写出除直角三角形以外的所有相似三角形；()3在()2中的相似三角形中选择一对进行证明．25．如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点．()1如图2，画出矩形ABCD中的AB边上的一个强相似点．（要求：画图工具不限，不写画法，保留画图痕迹或有必要说明）．()2对于任意的一个矩形，是否一定存在强相似点？如果一定存在，请说明理由；如果不一定存在，请举出反例．⊥，垂足为P'，那26．如图①，已知平面内一点P与一直线l，如果过点P作直线l'l么垂足P'叫做点P在直线l上的射影；如果线段PQ的两个端点P和Q在直线l上的射影分别为点P'和Q'，那么线段P'Q'叫做线段PQ在直线l上的射影．⊥，垂足为P'，那么垂如图①，已知平面内一点P与一直线l，如果过点P作直线l'l足P'叫做点P在直线l上的射影；如果线段PQ的两个端点P和Q在直线l上的射影分别为点P'和Q'，那么线段P'Q'叫做线段PQ在直线l上的射影．()1如图②，E、F为线段AD外两点，EB AD⊥，垂足分别为B、C．⊥，FC AD则E点在AD上的射影是________点，A点在AD上的射影是________点，线段EF在AD上的射影是________，线段AE在AD上的射影是________；()2根据射影的概念，说明：直角三角形斜边上的高是两条直角边在斜边上射影的比例中项．（要求：画出图形，写出说理过程．）参考答案1．C【解析】【分析】根据比例的性质，可判断A 、B ；根据合比性质，可判断D ．【详解】A 、由比例的性质，得2a=5b ，故A 正确；B 、2a=5b ，得52a b =，故B 正确； C 、a+b 有无数个值，故C 错误； D 、由合比性质，得a b 7b 2+=，故D 正确； 故选C ．【点睛】本题考查了比例的性质，利用了比例的性质，合比性质．2．B【解析】【分析】根据成比例线段概念，对选项一一分析，选择正确答案．【详解】A 、2×12.5=5×5，故选项正确；B 、0.02×5≠0.3×0.7，故选项错误；C 、45×30=2×12，故选项正确； D 、3×5=3×5，故选项正确．故选B ．【点睛】考查应用比例的基本性质判断成比例线段．将所给的四条线段长度按大小顺序排列，如：a ＞b ＞c ＞d ，若最长a 和最短d 两条线段之积ad 与另两条线b 、c 之积bc 相等，则说明线段a 、b 、c 、d 成比例．3．B【解析】解：设P 的坐标为(a,b),∵点P在x轴上且到y轴的距离为3, ∴b=0,|a|=3,即a=3或a=-3、b=0, ∴点P的坐标为(3 , 0)或(−3 , 0)，故选B。

4．B【解析】【分析】由题意可知：QR∥ST，所以△PQR∽△PST，由相似三角形的性质可知PQ QRPS ST=，列出方程即可求出PQ的长度. 【详解】由题意可知：QR∥ST，∴△PQR∽△PST，∴PQ QR PS ST=设PQ=x，∴8060120 xx+＝解得：x=120故PQ=120m故选B．【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是利用相似三角形的对应边的比相等求出PQ的长度5．A【解析】【分析】利用已知的直角和公共角，可证图中所有三角形都相似，再利用比例线段，即可求出AE：EC．【详解】在Rt△ABC中，CD⊥AB，DE⊥AC，∴△ADE∽△DCE∽△ACD∽△CBD∽△ABC，∴AE：EC=AD：DB，AC2=AD•AB，BC2=DB•AB，∴AE：EC=AD：DB=AC2：BC2=25：16．故选A．【点睛】本题主要了直角三角形斜边上的高线，把这个直角三角形分成的两个直角三角形与原三角形相似以及射影定理的内容．故选B．7．B【解析】【分析】由DE∥BC，用平行线分线段成比例定理即可得到AD AEBD CE＝，又由AD=5，BD=10，AE=3，代入即可求得答案．【详解】∵DE∥BC，∴AD AE BD CE＝，∵AD=5，BD=10，AE=3，∴5310CE＝，∴CE=6．故选B【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理．解题的关键是数形结合思想的应用．8．D【解析】【分析】根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，选出正确答案．【详解】A、凡是三角形的形状，边的比不一定相等，而对应角不一定对应相等，故错误；B、两个矩形的形状，对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，故错误；C、两个等腰梯形的形状，对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，故错误；D、正五边形的形状，它们的边长、对应角等所有元素都对应成比例，故正确．故选D．【点睛】本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出．9．B【解析】【分析】如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形，这个点是位似中心，但不是所有的相似图形都是位似图形，再利用相似图形的性质得出对应边和对应顶点之间的关系．【详解】①位似图形一定是相似图形，此选项正确；②相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，此选项错误；③位似图形对应顶点的连线相交于一点，根据位似图形一定有位似中心，是对应点连线的交点，此选项正确；④位似图形的对应边互相平行（或共线），此选项错误．故正确的有2个，故选B．【点睛】此题主要考查了位似变换的性质，熟练掌握相似图形的性质是解题关键．10．C【解析】【分析】先过点A作AC⊥OB，根据△AOB是等边三角形，求出OA=OB，OC=BC，∠AOB=60°，再根据点B的坐标，求出OB的长，再根据勾股定理求出AC的值，从而得出点A的坐标．【详解】过点A作AC⊥OB，∵△AOB是等边三角形，∴OA=OB，OC=BC，∠AOB=60°，∵点B的坐标为（4，0），∴OB=4，∴OA=4，∴OC=2，∴∴点A的坐标是（2，）．故选C．【点睛】此题考查了等边三角形的性质，用到的知识点是勾股定理，关键是作出辅助线，求出点A 的坐标．11．【解析】【分析】首先设AE=x，则AD=2x，进而利用四边形ABCD与四边形ABFE是相似的，则AE AB AB AD＝，进而求出即可．【详解】设AE=x，则AD=2x，∵四边形ABCD与矩四边形ABFE是相似的，∴AE AB AB AD＝，∴AB2=2x2，∴x=4，∴，∴，故答案为．【点睛】此题主要考查了相似多边形的性质，表示出AB的长是解题关键．12．5()3,5【解析】【分析】根据y轴对称点的坐标性质解答即可．【详解】点A（-3，5）到x轴的距离为：5，关于y轴的对称点坐标为：（3，5）．故答案为5，（3，5）．【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．13．54【解析】【分析】先根据相似三角形的周长得出其相似比，再根据相似三角形的性质即可得出结论．【详解】解：∵两个相似三角形的周长分别是10cm、15cm，∴其相似比=102 153=，∵小三角形的面积是24cm2，∴2242439S ==大（），解得S 大=2494⨯=54． 故答案为54．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．14．()2,1-【解析】【分析】画出相关图形可得纵横坐标交换位置即可．【详解】解：由图中可得答案为（-2，1）．故答案为（-2，1）．【点睛】本题考查了两点关于坐标轴夹角平分线对称的关系；用到的知识点为：点（a ，b ）关于第一、三象限角平分线的对称点的坐标为（b ，a ）．15．B DCA ∠∠=或BAC D ∠∠=或AD AC AC BC= 【解析】【分析】本题主要根据平行推出角的等量关系，再根据对应边的关系，利用两三角形相似的判定定理，做题即可．【详解】∵AD ∥BC∴∠DAC=∠ACB∴当∠B=∠DCA 或∠BAC=∠D 或AD ：AC=AC ：BC∴都可得相似．答案不唯一，如∠B=∠DCA 或∠BAC=∠D 或AD ：AC=AC ：BC ．【点睛】此题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．16．()7,2-【解析】【分析】首先根据A 点平移后的坐标变化，确定三角形的平移方法，点A 横坐标加5，纵坐标减2，那么让点C 的横坐标加5，纵坐标-2即为点C 1的坐标．【详解】解：由A （-2，3）平移后点A 1的坐标为（3，1），可得A 点横坐标加5，纵坐标减2， 则点C 的坐标变化与A 点的变化相同，故C 1（2+5，0-2），即（7，-2）．故答案为（7，-2）．【点睛】本题主要考查图形的平移变换，解决本题的关键是根据已知对应点找到所求对应点之间的变化规律．17．3 -4【分析】根据“关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”列方程求解即可．【详解】∵点A （m-1，3）与点B （2，n+1）关于x 轴对称，∴m-1=2，n+1=-3，解得m=3，n=-4．故答案为3，-4．【点睛】本题考查了关于x 轴、y 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律： （1）关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．18．1:9【解析】【分析】 根据等高的两三角形的面积之比等于对应边之比得出12AD BD =，求出13AD AB =，根据相似三角形的判定得出△ADE ∽△ABC ，根据相似三角形的性质得出即可．【详解】解：∵△ADE 的面积是△BDE 面积的12， ∴12AD BD =， ∴13AD AB =， ∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ， ∴221139ADE ABC S AD S AB ∆∆===（）（）， 故答案为1：9．【点睛】本题考查了三角形的面积，相似三角形的性质和判定的应用，能灵活运用性质进行推理和计算是解此题的关键，注意：①等高的两三角形的面积之比等于对应边之比，②相似三角形的面积之比等于相似比的平方．19．()a b,b a +- ()a b,a b --- ()a b,b a ---【解析】【分析】分别利用关于x 轴，y 轴以及关于原点对称点的性质得出答案．【详解】∵点A的坐标是（a+b，a-b），∴点A关于x轴对称的点的坐标为：（a+b，b-a），点A关于y轴对称的点的坐标为：（-a-b，a-b），点A关于原点对称的点为：（-a-b，b-a）．故答案为：（a+b，b-a），（-a-b，a-b），（-a-b，b-a）．【点睛】此题主要考查了关于x轴、y轴以及关于原点对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键．20．4【解析】【分析】设这棵树的高度是x米，根据同一时刻的物高与影长成比例得出比例式，即可得出结果．【详解】设这棵树的高度是x米，根据题意得：1：0.8=x：3.2，解得：x=4；即这棵树的高度为4米．故答案为：4．【点睛】本题考查了相似三角形的运用；熟记同一时刻的物高与影长成比例是解答此题的关键．21．（1）见解析；（2）见解析；（3）D（﹣3，﹣2），F（﹣2，3），垂直且相等【分析】（1）分别延长BO，AO到占D,C，使DO=BO，CO=AO，再顺次连接成△COD即可；（2）将A，B绕点O按逆时针方向旋转90°得到对应点E，F，再顺次连接即可得出△EOF；（3）利用图象即可得出点的坐标，以及线段BF和DF的关系．【详解】（1）如图所示：（2）如图所示：（3）结合图象即可得出：D（﹣3，﹣2），F（﹣2，3），线段BF 和DF 的关系是：垂直且相等．【点睛】此题考查了图形的旋转变换以及图形旋转的性质，难度不大，注意掌握解答此类题目的关键步骤．22．（1）证明见解析（2）6【解析】【分析】（1）利用两组角对应相等的两个三角形相似；（2）由于△ABD ∽△ADE ，根据相似三角形的性质得到AD ：AE=AB ：AD ，然后把AB=9，AE=4代入后利用比例性质可计算出AD 的长．【详解】()1证明：∵AD 为ABC 的角平分线， ∴BAD EAD ∠∠=，∵ADE B ∠∠=， ∴ABD ADE ∽；()2解：∵ABD ADE ∽，∴AD:AE AB:AD =，即AD:49:AD =，∴AD 6=．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在应用相似三角形性质时主要利用相似比计算线段的长．23．剩下的矩形BCFE也是一个黄金矩形【解析】【分析】根据黄金分割设出矩形ABCD的长和宽，然后表示出矩形BCFE的宽，再求出宽与长的比值即可得证．【详解】设矩形ABCD的长为x，∵四边形ABCD为黄金矩形，∴宽BCx，∵四边形AEFD是正方形，∴BE x=-=，∴x31BEBC=====，∴BE与BC的比是黄金比，∴剩下的矩形BCFE也是一个黄金矩形．【点睛】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键，要熟记黄金分比．24．()1证明见解析()2ADE ACB∽；PDE PCB∽；PDB PEC∽；（3）ADE ACB∽【解析】【分析】（1）由CD⊥AB，BE⊥AC得∠BEC=∠BDC=90°，而F为BC上的中点，根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到结论；（2）DC与BE交于P点，相似三角形有：△ADE∽△ACB；△PDE∽△PCB；△PDB∽△PEC；（3）易得△ABE ∽△ACD ，则AB AE AC AD=，加上∠DAE=∠CAB ，所以△ADE ∽△ACB ． 【详解】 ()1证明：∵CD AB ⊥，BE AC ⊥，∴BEC BDC 90∠∠==，而F 为BC 上的中点， ∴1EF BC 2=，1DF BC 2=， ∴DF EF =；()2解：ADE ACB ∽；PDE PCB ∽；PDB PEC ∽；（3）ADE ACB ∽．理由如下： 证明：∵ADC AEB 90∠∠==，而BAE CAD ∠∠=，∴ABE ACD ∽， ∴AB AE AC AD=， ∵DAE CAB ∠∠=，∴ADE ACB ∽．【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了直角三角形斜边上的中线性质和相似三角形的性质．25．(1)答案见解析;(2)不存在, AB 2AD <时.【分析】（1）以CD 为直径画弧，取该弧与AB 的一个交点即为所求；（2）根据（1）的作法，若矩形的宽大于长的一半，则圆与另一边没有交点，也就不存在强相似点．【详解】解：（1）如图所示：点E是四边形ABCD的边AB上的强相似点，；()2由()1可知，当矩形的长AB2AD<时，圆与AB没有交点，所以AB边上不存在这样的强相似点E．【点睛】本题是相似三角形综合题，主要考查了相似三角形的对应边成比例的性质，读懂题目信息，理解全相似点的定义，判断出∠CED=90°，从而确定作以CD为直径的圆是解题的关键．26．（1）B，A，线段BC，线段AB；（2）证明见解析.【分析】（1）由题中所给的射影的概念可直接进行解答；（2）先根据相似三角形的判定定理得出△ACD∽△CBD，再根据相似三角形的对应边成比例可得出结论．【详解】（1）由题中所给的射影的概念答案为：B，A，线段BC，线段AB；（2）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，则AC、BC在AB上的射影分别是AD、BD．∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠BDC，∵∠B+∠A=90°，∠B+∠DCB=90°，∴∠A=∠DCB，∴△ACD∽△CBD，∴AD CD CD BD，即CD是AC，BC在斜边上射影的比例中项．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知这些知识是解答此题的关键．。

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2020-2021学年华东师大新版九年级上册数学《第23章 图形的相似》单元测试卷(有答案)

2020-2021学年华东师大新版九年级上册数学《第23章 图形的相似》单元测试卷(有答案)

2020-2021学年华东师大新版九年级上册数学《第23章 图形的相似》单元测试卷一．选择题1．在平面直角坐标系中，点P （n 2+2，）一定在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．在平面直角坐标系中，点（2，0）关于原点对称的点的坐标为（ ）A ．（﹣2，0）B ．（0，2）C ．（0，﹣2）D ．（2，﹣2） 3．若△ABC ∽△DEF ，且S △ABC ：S △DEF ＝5：4，则△ABC 与△DEF 的周长比为（ ） A ．5：4 B ．4：5 C ．2： D ．：24．下列各组线段中，能组成比例线段的（ ）A ．2，3，4，5B ．2，3，4，6C ．2，3，5，7D ．3，4，5，6 5．已知点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC ＞BC ，如果AB 长为20，则AC 为（ ）A ．10﹣10B ．10﹣10C ．30﹣10D ．20﹣10 6．如图，AD ∥BE ∥CF ，直线l 1，l 2与这三条平行线分别交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F ．已知AB ＝1，BC ＝3，DE ＝1.2，则EF 的长为（ ）A ．2.4B ．3C ．3.6D ．4.87．如图，在正方形ABCD 中，点E 为边AD 上的一个动点（与点A 、D 不重合），∠EBM＝45°，BE 交对角线AC 于点F ，BM 交对角线AC 于点G ，交边CD 于点M ，那么下列结论中，错误的是（ ）A．△AEF∽△CBF B．△CMG∽△BFG C．△ABG∽△CFB D．△ABF∽△CBG 8．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF是梯形ABCD的中位线，若△BEF的面积为4cm2，则梯形ABCD的面积为（）A．8cm2B．12cm2C．16cm2D．20cm29．若P是Rt△ABC斜边BC上异于B，C的一点，过点P作直线截△ABC，截得的三角形与原△ABC相似，满足这样条件的直线有（）条．A．1B．2C．3D．410．如图，矩形ABCD∽矩形FAHG，连结BD，延长GH分别交BD、BC于点Ⅰ、J，延长CD、FG交于点E，一定能求出△BIJ面积的条件是（）A．矩形ABJH和矩形HJCD的面积之差B．矩形ABJH和矩形HDEG的面积之差C．矩形ABCD和矩形AHGF的面积之差D．矩形FBJG和矩形GJCE的面积之差二．填空题11．平面直角坐标系中，点P的坐标是（2，﹣1），则点P关于原点对称的点的坐标是．12．如图，直线a∥b∥c，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F，若AB＝2，AC＝6，DE＝3，则EF的长为．13．已知两相似三角形的对应中线的比是2：3，其中较大的三角形的面积为27，则较小的三角形的面积是．14．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AD＝4，BD＝2，则CD的长为．15．在平面直角坐标系内点P（﹣3，2a+b）与点Q（a﹣b，3）关于x轴对称，则（a+b）2020的值为．16．如图，在正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△DEF，则∠BAC的度数为．17．如图，△ABC中，若D、E、F分别是AB、AC、CD的中点，连接BF，若四边形BDEF 的面积为6，则△ABC的面积＝．18．如图，在矩形ABCD中，AD＝2，CD＝1，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C，再连接AC1，以对角线AC1为边作矩形AB1C1C的相似矩形AB2C2C1，…，按此规律继续下去，则矩形AB4C4C3的面积为．19．在如图所示的格点图中，每个小正方形的边长都是1，以点O为位似的中心，画出△A'B′C′，使△ABC与△A′B'C′的相似比为1：2，则点C′的坐标为．20．如图，在一单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7……都是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6……的等腰直角三角形，若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，﹣1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2020的坐标为．三．解答题21．如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（4，2），C（3，5），请回答下列问题：（1）写出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1的顶点坐标．（2）求△ABC的面积．22．如图，在6×6的正方形方格中，每个小正方形的边长都为1，顶点都在网格线交点处的三角形叫做格点三角形，如图①中，△ABC是一个格点三角形．（1）在图①中，请判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由；（2）在图②中，以O为位似中心，画一个格点三角形△A1B1C1，使它与△ABC的位似比为2：1．23．如图，三角形PQR是三角形ABC经过某种变换后得到的图形．①分别写出点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标；②并观察它们之间的关系，如果三角形ABC中任意一点M的坐标为（a，b），那么它的对应点N的坐标是什么？③求三角形ABC的面积．24．一个对角线相等的四边形ABCD，E、F分别为AB，CD的中点，EF分别交对角线BD，AC于M，N，求证：△OMN是等腰三角形．25．如图，AD与BC相交于点E，点F在BD上，且AB∥EF∥CD，若EF＝2，CD＝3，则AB的长为多少？26．如图，△ADE∽△ABC，且＝，点D在△ABC内部，连结BD、CD、CE．（1）求证：△ABD∽△ACE．（2）若CD＝CE，BD＝3，且∠ABD+∠ACD＝90°，求DE的长．27．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（1，0），点，把△ABO绕点O顺时针旋转，得△A'B'O，记旋转角为α．（1）如图①，当α＝30°时，设A'B'与x轴交于点C，求点B'的坐标；（2）如图②，当α＝90°时，直线AA'与直线BB'相交于点M，求证△MAB'是等腰直角三角形．参考答案与试题解析一．选择题1．解：∵n2+2＞0，∴点P（n2+2，）一定在第一象限．故选：A．2．解：点（2，0）关于原点对称的点的坐标为（﹣2，0）．故选：A．3．解：∵△ABC∽△DEF，S△ABC ：S△DEF＝5：4，∴△ABC与△DEF的相似比为：2，∴△ABC与△DEF的周长比为：2，故选：D．4．解：A、2×5≠3×4，不成比例；B、2×6＝3×4，成比例；C、2×7≠3×5，不成比例；D、3×6≠4×5，不成比例；故选：B．5．解：∵C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，∴AC＝AB，∵AB＝20，∴AC＝×20＝10﹣10．故选：A．6．解：∵AD∥BE∥CF，∴＝，即＝，∴EF＝3.6，故选：C．7．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AD∥BC，∠DCA＝∠ACB＝∠DAC＝∠CAB＝∠EBM＝45°，∴△AEF∽△CBF，故选项A不合题意；∵∠EBM＝∠DCA，∠MGC＝∠BGF，∴△CMG∽△BFG，故选项B不合题意；∴∠CMG＝∠CFB，∵CD∥AB，∴∠CMG＝∠ABG，∴∠CFB＝∠ABG，又∵∠CAB＝∠BCF＝45°，∴△BCF∽△GAB，故选项C不合题意；∵∠CAB＝∠ACB＝∠FBG＝45°，∴∠ABF+∠CBG＝45°，∴∠ABF≠∠CBG，∴△ABF与△CBG不相似，故选项D符合题意；故选：D．8．解：过A作AN⊥BC于N，交EF于M，∵EF是梯形ABCD的中位线，∴AD+BC＝2EF，EF∥AD∥BC，∴AM⊥EF，AM＝MN，∵△BEF的面积为4cm2，∴EF×AM＝4，∴EF×AM＝8，∴梯形ABCD的面积为（AD+BC）AN＝×2EF×2AM＝2EF×AM＝16（cm2），故选：C．9．解：由于△ABC是直角三角形，过P点作直线截△ABC，则截得的三角形与△ABC有一公共角，所以只要再作一个直角即可使截得的三角形与Rt△ABC相似，过点P 可作AB 的垂线、AC 的垂线、BC 的垂线，共3条直线．故选：C ．10．解：设矩形的边AH ＝x ，GH ＝y ，EG ＝a ，DC ＝b ， 则BJ ＝x ，JC ＝a ，∵JI ∥CD ∴＝即JI ＝∵矩形ABCD ∽矩形FAHG ，∴＝，即＝，∴x +a ＝∴S 阴影＝BJ •JI ＝x •＝xy ． ∵S 矩形ABJH ﹣S 矩形HDEG ＝xb ﹣ay＝x •﹣ay ＝xy ．∴S 阴影△BIJ ＝S 矩形ABJH ﹣S 矩形HDEG所以一定能求出△BIJ 面积的条件是矩形ABJH 和矩形HDEG 的面积之差． 故选：B ．二．填空题11．解：∵点P 的坐标是（2，﹣1），∴点P 关于原点对称的点的坐标是（﹣2，1）．故答案为：（﹣2，1）．12．解：∵a ∥b ∥c ，∴＝，即＝，解得，DF ＝9，则EF ＝DF ﹣DE ＝6，故答案为：6． 13．解：∵两相似三角形的对应中线的比是2：3，∴两相似三角形的相似比是2：3，∴两相似三角形的面积比是4：9，∵较大的三角形的面积为27，∴较小的三角形的面积为：27×＝12，故答案为：12．14．解：∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，AD ＝4，BD ＝2，∴CD 2＝AD •BD ＝2×4＝8，∴CD ＝2，故答案为：2． 15．解：∵点P （﹣3，2a +b ）与点Q （a ﹣b ，3）关于x 轴对称，∴， 解得：，∴（a +b ）2020＝（﹣2+1）2020＝1．故答案为：1．16．解：∵△ABC ∽△DEF ，∴∠BAC ＝∠EDF ，又∠EDF ＝90°+45°＝135°，∴∠BAC ＝135°．故答案是：135°．17．解：∵点F 是CD 的中点，∴S △DEF ＝S △CEF ，设S △DEF ＝S △CEF ＝x ，∵D 、E 分别是AB 、AC 的中点，∴S △ADE ＝S △CDE ＝2x ，S △BDC ＝S △ADC ＝4x ，S △BDF ＝2x ，∴S 四边形BDEF ＝3x ．∵S 四边形BDEF ＝6，∴3x ＝6，∴x ＝2，∴S △ABC ＝2S △BDC ＝8x ＝16，故答案为：16． 18．解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ⊥DC ，∴AC ＝＝＝，∵按逆时针方向作矩形ABCD 的相似矩形AB 1C 1C ，∴矩形AB 1C 1C 的边长和矩形ABCD 的边长的比为：2∴矩形AB 1C 1C 的面积和矩形ABCD 的面积的比5：4，∵矩形ABCD 的面积＝2×1＝2，∴矩形AB 1C 1C 的面积＝，依此类推，矩形AB 2C 2C 1的面积和矩形AB 1C 1C 的面积的比5：4∴矩形AB 2C 2C 1的面积＝∴矩形AB 3C 3C 2的面积＝，按此规律第4个矩形的面积为，故答案为：．19．解：如图所示，满足条件的三角形有两个：△A ′B ′C ′．观察图象可知：点C′的坐标为（10，﹣4）．故答案为：（10，﹣4）20．解：∵各三角形都是等腰直角三角形，∴直角顶点的纵坐标的长度为斜边的一半，A2（1，﹣1），A4（2，2），A6（1，﹣3），A8（2，4），A10（1，﹣5），A12（2，6），…，∵2020÷4＝505，∴点A2020在第一象限，横坐标是2，纵坐标是2020÷2＝1010，∴A2020的坐标为（2，1010）．故答案为：（2，1010）．三．解答题21．解：（1）△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1的顶点坐标为：A1（1，﹣4），B1（4，﹣2），C1（3，﹣5）．（2）△ABC的面积为：3×3﹣×1×2﹣×1×3﹣×2×3＝9﹣1﹣1.5﹣3＝3.5．22．解：（1）相似．理由如下：∵AB＝1，BC＝＝，AC＝＝2，DE＝＝，EF＝＝，DF＝4，∴＝，＝＝，＝＝，∴＝＝，∴△ABC∽△DEF；（2）如图②，△A1B1C1为所作．23．解：①∵三角形PQR是三角形ABC经过某种变换后得到的图形，∴点A（4，3）、点P（﹣4，﹣3），点B（3，1）、点Q（﹣3，﹣1），点C（1，2）、点R（﹣1，﹣2）；②观察三组对应点坐标可得：若三角形ABC中任意一点M的坐标为（a，b），∴它的对应点N的坐标是（﹣a，﹣b）；③S＝2×3﹣×1×2﹣×1×2﹣×3×1＝．△ABC24．证明：取AD的中点Q，连接EQ、FQ，∵E，F、Q分别为AB，CD、AD的中点，∴EQ∥AC，EQ＝BD，FQ＝AC，FQ∥AC，∴∠QEF＝∠OMN，∠QFE＝∠ONM，∵AC＝BD，∴QE＝QF，∴∠QEF＝∠QFE，∴∠OMN＝∠ONM，∴OM＝ON，即△OMN是等腰三角形．25．解：∵EF∥CD，∴＝，∵EF＝2，CD＝3，∴＝，∵AB∥EF，∴＝＝，∴AB＝6．故答案为：6．26．证明：（1）∵△ADE∽△ABC，∴，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE；（2）∵△ABD∽△ACE，∴，∠ABD＝∠ACE，又∵BD＝3，∴CE＝2，∴CD＝CE＝2，∵∠ABD+∠ACD＝90°，∴∠ACD+∠ACE＝90°，∴∠DCE＝90°，∴DE＝CD＝2．27．解：（1）当α＝30°时，由已知，得OA＝1，，∴．∴∠ABO＝30°．∵△A'B'O是△ABO旋转得到的，∴，∠A'B'O＝∠ABO＝30°．∵∠BOB'＝30°，∴∠B'OA＝60°，∴B'C⊥OC．∴，．∴点B'的坐标为．（2）∵OB＝OB'，∴∠BB'O＝45°．∴OA＝OA'，∴∠OAA'＝45°．∵∠MAB'＝∠OAA'，∴∠MAB'＝45°．∴∠MB'A＝∠MAB'．∴∠AMB'＝180°﹣∠MB'A﹣∠MAB'＝90°．∴△MAB'是等腰直角三角形．。

华师大版九年级上册数学第23章 图形的相似含答案(完整版)

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华师大版九年级上册数学第23章图形的相似含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，矩形ABCD中，AB= ，BC= ，点E在对角线BD上，且BE=1.8，连接AE并延长交DC于F，则等于（）A. B. C. D.2、如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG=，则△EFC的周长为（）A.11B.10C.9D.83、一个三角形三边之比为3：5：7，与它相似的三角形的最长边为21cm，则其余两边之和为（）A.24cmB.21cmC.13cmD.9cm4、已知2x=3y（y≠0），则下面结论成立的是（）A. =B. =C. =D. =5、若点P（x，y）的坐标满足xy＝0（x≠y），则点P必在（）A.原点上B.x轴上C.y轴上D.x轴上或y轴上（除原点）6、已知2x=3y（y≠0），则下面结论成立的是（）A. =B. =C. =D. =7、如图，赵师傅透过平举的放大镜从正上方看水平桌面上的菱形图案的一角，那么∠A与放大镜中的∠C的大小关系是( )A.∠A＝∠CB.∠A>∠CC.∠A<∠CD.无法比较8、AD 是△ABC 的中线，E 是 AD 上一点，AE= AD，BE 的延长线交 AC 于F，则的值为（）A. B. C. D.9、点(3,-2)关于x轴的对称点是 ( )A.(-3,-2)B.(3,2)C.(-3,2)D.(3,-2)10、在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（1，2），如果射线OA与x轴正半轴的夹角为α，那么sinα的值是（）A. B.2 C. D.11、若，则的值是（）A. B. C. D.12、点M（-3,4）离原点的距离是（）A.3B.4C.5D.713、如图 ,D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，,则△AED与△ABC的面积之比等于（）A.1:2B.1:3C.1:4D.4:914、已知直角坐标系内有一点M（a，b），且ab=0，则点M的位置一定在（）A.原点上B.x轴上C.y轴上D.坐标轴上15、如图，在矩形ABCD中，点E在AB上，点F在CD上，且BE=2AE，DF=2CF，G，H是对角线AC的三等分点。

九年级上册数学单元测试卷-第23章 图形的相似-华师大版(含答案)

九年级上册数学单元测试卷-第23章 图形的相似-华师大版(含答案)

九年级上册数学单元测试卷-第23章图形的相似-华师大版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、两正方形的边长比是1：2，它们的周长比与面积比分别是（）A.1：2；1：4B.1：2；1：2C.1：4；1：2D.1：4；1：42、如图，的面积为12，点D、E分别是边AB、AC的中点，则的面积为（）A.6B.5C.4D.33、若a ＜0，则点P(-a，2)应在（）A.第一象限内B.第二象限内C.第三象限内D.第四象限内4、如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A，B重合），对角线AC，BD相交于点O，过点P分别作AC，BD的垂线，分别交AC，BD于点E，F，交AD，BC于点M，N．下列结论：①△APE≌△AME；②PM+PN=AC；③PE2+PF2=PO2；④△POF∽△BNF；⑤当△PMN∽△AMP时，点P是AB的中点．其中正确的结论有（）A.2个B.3个C.4个D.5个5、如果一个三角形的三边长为5、12、13，与其相似的三角形的最长的边长为39，那么较大的三角形的面积为（）A.90B.180C.270D.5406、下列说法不正确的是（）A.x轴上的点纵坐标为0B.平面直角坐标系中，点（2，3）与（3，2）表示不同的点C.坐标轴上的点不属于任何象限D.横纵坐标的符号相同的点一定在第一象限7、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，D为AB上一点，且AD：DB=1：3，DE⊥AC于点E，连接BE，则tan∠CBE的值等于（）A. B. C. D.8、点N（a，﹣b）关于y轴的对称点是坐标是（）A.（﹣a，b）B.（﹣a，﹣b）C.（a，b）D.（﹣b，a）9、已知点A（2，-3）关于x轴对称的点的坐标为点B（2m，m+n），则m-n的值为（）A.-5B.-1C.1D.510、如图，平面直角坐标系中，已知定点A（1，0）和B（0，1），若动点C在x轴上运动，则使△ABC为等腰三角形的点C有（）个．A.5B.4C.3D.211、若△ABC∽△A′B′C′且＝，△ABC的周长为15cm，则△A′B′C′的周长为（）cm.A.18B.20C.D.12、已知=，则的值是（）A.3B.4C.-4D.-313、点 P（3，4）关于 x 轴对称的点的坐标是（）A.（﹣3，4）B.（3，﹣4）C.（﹣3，﹣4）D.（4，3）14、如图，AD是△ABC的中线，AE=EF=FC，则下列关系式：①=，②=，③=，其中正确的是（）A.①②B.①③C.②③D.①②③15、一种雨伞的截面图（如图所示），伞骨，支掌杆，当点O沿滑动时，雨伞开闭.若，，此时B、D两点间的距离等于（）A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，在Rt△ABC中，CD⊥AB，CA=6cm，AD=3cm，则BD=________cm．17、△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，图中共有________对相似三角形．18、若A（2，0），B（0，4），C（2，4），D为坐标平面内一点，且△ABC与△ACD全等，则D点坐标为________．19、已知点 P（-4，5），点A与点P关于y轴对称，则点A的坐标是________.20、已知点A(1,2a+2)到x轴的距离是到y轴距离的2倍，则a的值为________.21、如图，平面直角坐标系中，已知点A（4，0）和点B（0，3），点C是AB的中点，点P在折线AOB上，直线CP截△AOB，所得的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是________ ．22、在比例尺为1：38000的扬州旅游地图上，某条道路的长为6cm，则这条道路的实际长度为________km．23、如图，点，分别在的边，的延长线上，.若，的面积为3，则的面积为________.24、小明家位于公园的正西100米处，从小明家出发向北走200米，就到小华家。

华东师大版九年级数学上册第23章图形的相似单元测试题含答案与解析

华东师大版九年级数学上册第23章图形的相似单元测试题含答案与解析

华东师大版九年级数学上册第23章图形的相似单元测试题一、选择题(每小题4分，共24分) 1．若a －b b ＝23，则a b 的值为( )A.13B.23C.43D.532．在平面直角坐标系中，将线段OA 向左平移2个单位，平移后点O ，A 的对应点分别为点O 1，A 1.若点O 的坐标为(0，0)，点A 的坐标为(1，4)，则点O 1，A 1的坐标分别是( )A ．(0，0)，(1，4)B ．(0，0)，(3，4)C ．(－2，0)，(1，4)D ．(－2，0)，(－1，4)3．若一个四边形的各边之比为1∶2∶3∶4，和它相似的另一个四边形的最小边长为5 cm ，则另一个四边形的最大边长为( )A ．10 cmB ．15 cmC ．20 cmD ．25 cm4．如图1，点E ，F 分别在菱形ABCD 的边AB ，AD 上，且AE ＝DF ，BF 交DE 于点G ，延长BF 交CD 的延长线于点H ，若AF DF ＝2，则HFBG的值为( )图1A.23B.712C.12D.5125．在平面直角坐标系中，已知点E (－4，2)，F (－2，－2)，以原点O 为位似中心，相似比为12，把△EFO 缩小，则点E 的对应点E ′的坐标是( )A ．(－2，1)B ．(－8，4)C ．(－8，4)或(8，－4)D ．(－2，1)或(2，－1)6．如图2，在△ABC 中，中线BE ，CD 相交于点O ，连结DE ，下列结论：①DE BC ＝12；②S △DOE S △COB＝12；③AD AB ＝OEOB ；④S △DOE S △ADE ＝13.其中正确的有( )图2A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题(每小题5分，共40分)7．已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为3∶4，△ABC的周长为6，则△A′B′C′的周长为________．8．如图3，直线a∥b∥c，B是线段AC的中点，若DE＝2，则EF＝________．图39．如图4，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA∶OA′＝2∶3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为________．图410．如图5，D为△ABC外一点，AD与BC边的交点为E，AE＝3，DE＝5，BE＝4，要使△BDE∽△ACE，那么线段CE的长应等于________．图511．阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下2.7米的亮区DE(如图6所示)，已知亮区的E处到窗口下的墙角的距离EC＝8.7米，窗口高AB＝1.8米，则窗口底边离地面的高BC为________．图612．如图7，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为1∶2，点A的坐标为(0，1)，则点E的坐标是________．图713．如图8，在△ABC中，AB＝7 cm，BC＝6 cm，AC＝5 cm，D，E，F分别是AB，BC，AC 的中点，则四边形ADEF的周长等于________cm.图814．如图9，在矩形ABCD中，BE⊥AC交AC，AD分别于点F，E，若AD＝1，AB＝CF，则AE＝________．图9三、解答题(共36分)15．(10分)如图10，在△ABC和△ADB中，∠ABC＝∠ADB＝90°，AC＝5，AB＝4，当BD的长是多少时，图中的两个直角三角形相似？图1016．(12分)如图11，在△ABC中，AB＝8，BC＝4，CA＝6，CD∥AB，BD是∠ABC的平分线，BD交AC于点E.求AE的长．图1117．(14分)提出问题(1)如图12①所示，在等边三角形ABC中，M是BC上的任意一点(不含端点B，C)，连结AM，以AM为边作等边三角形AMN，连结CN.求证：∠ABC＝∠ACN.类比探究(2)如图②所示，在等边三角形ABC中，M是BC延长线上的任意一点(不含端点C)，其他条件不变，(1)中结论∠ABC＝∠ACN还成立吗？请说明理由．拓展延伸(3)如图③所示，在等腰三角形ABC中，BA＝BC，M是BC上的任意一点(不含端点B，C)，连结AM，以AM为边作等腰三角形AMN，使顶角∠AMN＝∠ABC，连结CN.试探究∠ABC与∠ACN 的数量关系，并说明理由．①②③图121．[解析] D ∵a －b b ＝23，∴5b ＝3a ，∴a b ＝53.2．D3．[解析] C 设它的最大边长为x cm.∵两个四边形相似，∴15＝4x ，解得x ＝20，故选C.4．B 5.D 6.C 7．[答案] 8[解析] ∵△ABC ∽△A ′B ′C ′，∴△ABC 的周长∶△A ′B ′C ′的周长＝3∶4.∵△ABC 的周长为6，∴△A ′B ′C ′的周长＝6×43＝8.8．2 9.4∶9 10．[答案]154[解析] ∵∠AEC ＝∠BED ，∴当BE AE ＝DE CE 时，△BDE ∽△ACE ，即43＝5CE ，∴CE ＝154.11．[答案] 4米[解析] 连结AE ，BD .∵光是沿直线传播的，∴AE ∥BD ，∴△BCD ∽△ACE ， ∴AC BC ＝EC DC ，即1.8＋BC BC ＝8.78.7－2.7，解得BC ＝4(米)． 12．[答案] (2，2)[解析] 连结OE .∵正方形OABC 与正方形ODEF 是位似图形，点O 为位似中心，∴OE 一定经过点B .又∵点A 的坐标为(0，1)，∴OA ＝1，∴由勾股定理可求得OB ＝ 2.∵正方形OABC 与正方形ODEF 是位似图形，点O 为位似中心，相似比为1∶2，∴OB ∶OE ＝1∶2，即OE ＝2，∴由勾股定理，得DE ＝EF ＝2，即点E 的坐标是(2，2)．13．[答案] 12[解析] ∵D ，E 分别是AB ，BC 的中点，∴DE ∥AC ，DE ＝12AC ＝2.5 cm ，同理，EF ∥AB ，EF＝12AB ＝3.5 cm ，∴四边形ADEF 是平行四边形，∴四边形ADEF 的周长＝2×(2.5＋3.5)＝12(cm)，故答案为12.14．[答案]5－12[解析] ∵四边形ABCD 是矩形，∴BC ＝AD ＝1，∠EAB ＝∠ABC ＝90°，∴∠ABE ＋∠CBF ＝90°.∵BE ⊥AC ，∴∠BFC ＝90°，∴∠FCB ＋∠CBF ＝90°，∴∠ABE ＝∠FCB .在△ABE 和△FCB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EAB ＝∠BFC ＝90°，AB ＝CF ，∠ABE ＝∠FCB ，∴△ABE ≌△FCB ，∴BF ＝AE ，BE ＝BC ＝1.∵BE ⊥AC ，∴∠BAF ＋∠ABF ＝90°.∵∠ABF ＋∠AEB ＝90°，∴∠BAF ＝∠AEB .∵∠BAE ＝∠AFB ，∴△ABE ∽△FBA ，∴AB BF ＝BE AB ，即AB AE ＝1AB ，∴AE ＝AB 2.在Rt △ABE 中，BE ＝1，根据勾股定理，得AB 2＋AE 2＝BE 2＝1，∴AE ＋AE 2＝1.∵AE ＞0，∴AE ＝5－12. 15．解：在Rt △ABC 中，BC ＝AC 2－AB 2＝52－42＝3. ∵∠ABC ＝∠ADB ＝90°，∴当BD BC ＝BA AC 时，Rt △DBA ∽Rt △BCA ，即BD 3＝45，解得BD ＝125；当BD BA ＝BAAC时，Rt △DBA ∽Rt △BAC ， 即BD 4＝45，解得BD ＝165. 综上所述，当BD 的长是125或165时，图中的两个直角三角形相似．16．解：∵BD 为∠ABC 的平分线， ∴∠ABD ＝∠DBC .又∵AB ∥CD ，∴∠D ＝∠ABD ， ∴∠DBC ＝∠D ，∴BC ＝CD ＝4. ∵AB ∥CD ，∴△AEB ∽△CED ， ∴AB CD ＝AE CE， ∴AE CE ＝84＝2，∴AE ＝2CE ，即CE ＝12AE . ∵AC ＝AE ＋CE ＝6，∴AE ＋12AE ＝6，即AE ＝4.17．解：(1)证明：∵△ABC 与△AMN 均为等边三角形， ∴AB ＝AC ，AM ＝AN ，∠BAC ＝∠MAN ＝60°， ∴∠BAM ＝∠CAN ， ∴△BAM ≌△CAN (S.A.S.)，∴∠ABC＝∠ACN.(2)结论∠ABC＝∠ACN仍成立．理由：∵△ABC与△AMN均是等边三角形，∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，∴∠BAM＝∠CAN，∴△BAM≌△CAN，∴∠ABC＝∠ACN.(3)∠ABC＝∠ACN.理由：∵BA＝BC，MA＝MN，∠ABC＝∠AMN，∴BAMA＝BCMN，∠BAC＝∠MAN，∴△ABC∽△AMN，∴ABAM＝AC AN.又∵∠BAM＝∠BAC－∠MAC，∠CAN＝∠MAN－∠MAC，∴∠BAM＝∠CAN，∴△BAM∽△CAN，∴∠ABC＝∠ACN.。