2016年三月福州市普通高中毕业班质量检查数学（理科）试卷（完卷时间120分钟;满分150分）第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分,共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．） 1. 已知复数z 满足2zi i x =+()x R ∈，若z 的虚部为2，则z =（ ）． A ．2 B ．22 C ．5 D ．32．已知命题:p “,10xx ex ∃∈--≤R ”，则p ⌝为 （ ） A ．,10x x e x ∃∈--≥RB ．,10xx e x ∃∈-->RC ．,10xx ex ∀∈-->RD ．,10x x e x ∀∈--≥R3．阅读算法框图，如果输出的函数值在区间[1,8]上，则输入的实数x 的取值范围是( )A ．[0,2)B ．[2,7]C ．[2,4]D ． [0,7]4．若2cos 2sin()4παα=-，且()2παπ∈，,则cos 2α的值为（ ）A ．78- B ．15C ．1D 155．若实数,x y 满足不等式组201020x y x y a -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩目标函数2t x y =-的最大值为2，则实数a 的值是（ ）A ． ﹣2B ．2C ．1D ．66．如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的表面积是（ )A ． 321++B ．322++C ．323++D ．324++7．64(1)(1)x x -+的展开式中2x 的系数是（ )A ．4-B ．3-C ．3D ．48．已知抛物线2:8C yx =与直线()()20y k x k =+>相交于,A B 两点，F为C 的焦点，若2FA FB =，则k = （ ） A ．223B ．13C ．23D 239．已知32,2()(1),2x f x xx x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩,若函数()()g x f x k =-有两个零点，则两零点所在的区间为( )．A ．(,0)-∞B ．(0,1)C ．()1,2D ．(1,)+∞10。
2016年三明市普通高中毕业班质量检查理科数学参考答案及评分标准一、选择题：1. B2. A3. D4. D5. B6. D7.A8. B9. C 10.C 11.A 12.D 二、填空题：13. 1 14. -3 15. 1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦16. 54三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解法一：(Ⅰ) 在三角形中，1cos ,3B = sin B ∴= …………2分在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin AB ADADB B=∠,又2AB =，4ADB π∠=，sin B =83AD ∴=. …………5分 (Ⅱ) 2BD DC = ,2ABD ADC S S ∆∆∴=,3ABC ADC S S ∆∆=, …………6分又ADC S ∆=，ABC S ∆∴= …………7分 1sin 2ABC S AB BC ABC ∆=⋅∠ ,6BC ∴=， …………8分 1sin 2ABDS AB AD BAD ∆=⋅∠ ，1sin 2ADC S AC AD CAD ∆=⋅∠， 2ABD ADC S S ∆∆=sin 2sin BAD ACCAD AB∠∴=⋅∠， …………9分 在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠．AC ∴=， …………11分sin2sin BAD AC CAD AB∠∴=⋅=∠． …………12分解法二：(Ⅰ)同解法一．(Ⅱ)2BD DC = ,3ABC ADC S S ∆∆∴== 又1sin 2ABD S AB BC ABC ∆=⋅∠ ,6BC ∴=， 4,2BD CD ∴==． …………8分在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠．AC ∴=， …………9分在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin BD ABBAD ADB=∠∠， 即sin sin 2sin BD ADBBAD ADB AB⋅∠∠==∠，同理在ACD ∆中，由正弦定理得sin sin CD ADC CAD AC ⋅∠∠==…………11分 又 sin ADB ∠=sin ADC ∠，sin sin BAD CAD ∠∴==∠．…………12分 18． 解：（Ⅰ）根据题意列出22⨯列联表如下：………………2分()22104910250.4 2.07255552525K -⨯===<⨯⨯⨯⨯，所以没有85%的理由认为抢到红包个数与手机品牌有关． ………………4分 （Ⅱ）①令事件C 为“型号I 被选中”；事件D 为“型号II 被选中”，则1234335533(),()510C C P C P CD C C ====,所以()1()()2P CD P D C P C ==． ………………6分 ②随机变量X 的所有可能取值为1,2,3, ………………7分()1232353110C C P X C ⋅===；()122335325C C P X C ===； ()33351310C P X C ===．………………10分故X 的分布列为()123 1.810510E X ∴=⨯+⨯+⨯= ………………12分19．解：（Ⅰ）在PCD ∆中，2PD CD ==， ∵E 为PC 的中点，∴DE 平分PDC ∠，60PDE ︒∠=,∴在Rt PDE ∆中，cos601DE PD ︒=⋅=，…………2分过E 作EH CD ⊥于H ，则12DH =，连结FH ，∵12AF =，∴四边形AFHD 是矩形， ………………4分∴CD FH ⊥，又CD EH ⊥，FH EH H = ，∴CD ⊥平面EFH ，又EF ⊂平面EFH ，∴CD EF ⊥． ………………5分（Ⅱ）∵2AD PD ==，PA =，∴AD PD ⊥，又AD DC ⊥，∴AD ⊥平面PCD ， 又AD ⊂平面ABCD ，∴平面PCD ⊥平面ABCD ． ………………6分 过D 作DG DC ⊥交PC 于点G ，则由平面PCD ⊥平面ABCD 知，DG ⊥平面ABCD ， 故,,DA DC DG 两两垂直，以D 为原点，以,,DA DC DG 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -， ………………7分 则(2,0,0)A ，(2,2,0)B ，(0,2,0)C，(0,1P -，又知E 为PC 的中点，E 1(0,2，设(2,,0)F t，则1(0,2DE = ，(2,,0)DF t = ，(0,1DP =- ，(2,0,0)DA =．…………8分设平面DEF 的法向量为111(,,)x y z =n ，则0,0,DE DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n∴111110,220,y z x ty ⎧=⎪⎨⎪+=⎩ 取12z =-，可求得平面DEF的一个法向量(,2)=-n ， ………………9分设平面ADP 的法向量为222(,,)x y z =m ，则0,0,DP DA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m所以2220,20,y x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩取=m ． ………………10分∴cos cos ,m n θ=<>==43t =HPA B CDEF x∴当43AF =时满足cos θ=． ………………12分 20． 解法一：（Ⅰ）将2y x =+代入椭圆方程2221x y a+=， 得2222(1)430a x a x a +++=， ………………1分直线2y x =+与椭圆有公共点，∴422164(1)30a a a ∆=-+⨯≥，得23a ≥，a ∴≥ ………………3分又由椭圆定义知122PF PF a +=，故当a =12PF PF +取得最小值，此时椭圆C 的方程为2213x y +=.………………4分 （Ⅱ）设111100(,),(,),(,)A x y B x y Q x y -，且(0,),(0,)M m N n ，QA QM k k =，010010y y y m x x x --∴=-，即001001()x y y y m x x --=-，0m y ∴=-00101()x y y x x --=011001x y x y x x --． ………………6分同理可得n =011001x y x y x x ++． ………………8分222201100110011022010101x y x y x y x y x y x y mn x x x x x x -+-∴=⋅=-+-， ………………10分 又220013x y +=，221113x y +=，220013x y ∴=-，221113x y =-， 22220122010122220101(1)(1)331x x x x x x mn x x x x ----∴===--则mn 为定值1． ………………12分 解法二：（Ⅰ）由对称原理可知，作1F 关于直线2y x =+的对称点1F '， 连结12F F '交直线于点P 时，12PF PF +取得最小值，此时满足1212122PF PF PF PF F F a ''+=+==． ………………1分 设点12(,0),(,0)F c F c -，可求得点1(,0)F c -关于直线的对称点1F '的坐标为()2,2c --+，∴122F F a '2a ， ………………3分又221c a =-，解得23a =，此时椭圆C 的方程为2213x y +=． ………………4分 （Ⅱ）同解法一．21．解：（Ⅰ）由()ln f x x x bx a =-+，所以()ln 1f x x b '=+-，因为(1,)x ∈+∞，所以ln 0x >， …………………1分 ①当10b -≥，即1b ≤时，()0f x '>，所以()f x 在(1,)+∞上单调递增．…………………2分 ②当10b -<，即1b >时，令()ln 10f x x b '=+-=，得1e b x -=， 当1(1,e )b x -∈时，0ln 1x b <<-，所以()0f x '<； 当1(e ,+)b x -∈∞时，ln 1x b >-，所以()0f x '>，所以()f x 在1(1,e )b -上单调递减，在1(e ,+)b -∞上单调递增． …………………4分． （Ⅱ）由()ln f x x x x a =-+，得()ln f x x '=， 所以曲线()y f x =在点11(,())P x f x 处的切线1l 的方程为111ln ()y y x x x -=-，即11ln y x x x a =-+． …………………5分由21()12g x x =+，得()g x x '=， 所以曲线()y g x =点22(,())B x g x 2(0)x ≥处的切线2l 的方程为222()y y x x x -=-，即2222112y y x x x -=-+． …………………6分要使直线1l 在直线2l 的下方，当且仅当12212ln ,112x x a x x =⎧⎪⎨-<-+⎪⎩恒成立， 即222112x a e x <-+2(0)x ≥恒成立． …………………8分 设21()1(0)2x x e x x φ=-+≥，则()x x e x φ'=-，令()x t x e x =-，则()1x t x e '=-，当[0,)x ∈+∞时，()(0)0t x t ''≥=，所以()x t x e x =-在[0,)+∞上是增函数， …………………10分 则()(0)10t x t ≥=>，即当[0,)x ∈+∞时，()0x φ'>，也就是21()12x x e x φ=-+在[0,)+∞上是增函数，所以21()12x x e x φ=-+在0x =处取得最小值为2，综上可知，实数a 的取值范围是2a <． …………………12分 22．解：（Ⅰ）连接AB ，∵AC 是⊙1O 的切线，∴BAC D ∠=∠， ………………3分又∵BAC E ∠=∠，∴D E ∠=∠，∴AD ∥EC ． ………………5分（Ⅱ）设BP x =，PE y =，∵6PA =，2PC =，∴12xy =，① ………………6分 ∵AD ∥EC ，∴962DP AP x PE PC y +=⇒=， ∴39x y =-,② ………………7分由①②可得，34x y =⎧⎨=⎩或⎩⎨⎧-=-=112y x （舍去）………8分∴916DE x y =++=， ∵AD 是⊙2O 的切线，∴2916AD DB DE =⋅=⨯， ………………9分 ∴12AD =. ………………10分 23．解：（Ⅰ）由1cos ,sin ,x y αα=+⎧⎨=⎩得22(1)1x y -+=，即2220x y x +-=，所以1C 的极坐标方程为2cos ρθ=． ………………3分 由2cossin ρθθ=得22cos sin ρθρθ=，所以曲线2C 的直角坐标方程为2x y =．………5分（Ⅱ）设射线l ：y kx =(0)x ≥的倾斜角为α，则射线的极坐标方程为θα=， …………6分且tan (1k α=∈，联立2cos ,ρθθα=⎧⎨=⎩得1||2cos OA ρα==， ………………7分联立2cos sin ,ρθθθα⎧=⎨=⎩得22sin ||cos OB αρα==， ………………9分 所以122sin ||||2cos 2tan 2cos OA OB k αρρααα⋅=⋅=⋅==∈，即||||OA OB ⋅的取值范围是． ………………10分 解法二：（Ⅰ）同方法一．（Ⅱ）设射线l ：y kx =(0)x ≥的倾斜角为α，则射线的参数方程cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩，其中t 为参数，将cos ,sin ,x t y t αα=⎧⎨=⎩代入1C :2220x y x +-=，得22cos 0t t α-=，设点A 对应的参数为A t ，则2c o s A t α=， ………………7分同理，将cos ,sin ,x t y t αα=⎧⎨=⎩代入2y x =，得22sin cos t t αα=，设点B 对应的参数为B t ，则2sin cos B t αα=， ………………9分所以2sin ||||2cos 2tan 2cos A B OA OB t t k αααα⋅=⋅=⋅==，∵(1k ∈，∴||||OA OB ⋅的取值范围是． ………………10分 24. 解：（I ）当1a =时，()|1||21|f x x x =-+-，()2f x ≤⇒|1||21|2x x -+-≤，上述不等式可化为1,21122,x x x ⎧≤⎪⎨⎪-+-≤⎩或11,21212,x x x ⎧<<⎪⎨⎪-+-≤⎩或1,1212,x x x ≥⎧⎨-+-≤⎩ 解得1,20,x x ⎧≤⎪⎨⎪≥⎩或11,22,x x ⎧<<⎪⎨⎪≤⎩或1,4.3x x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩………………3分∴102x ≤≤或112x <<或413x ≤≤， ∴原不等式的解集为4{|0}3x x ≤≤. ………………5分（II ）∵()|21|f x x ≤+的解集包含1[,1]2，∴当1[,1]2x ∈时，不等式()|21|f x x ≤+恒成立， ………………6分即|||21||21|x a x x -+-≤+在1[,1]2x ∈上恒成立，∴||2121x a x x -+-≤+， 即||2x a -≤，∴22x a -≤-≤，∴22x a x -≤≤+在1[,1]2x ∈上恒成立， ………………8分 ∴max min (2)(2)x a x -≤≤+，∴512a-≤≤，∴a的取值范围是5[1,]2-．………………10分。
2016届福建漳州市高三毕业班5月质检数学（理）试题一、选择题1．已知复数ii z -+=1)1(2，则（ ）A ．2||=zB ．i z -=1C ．z 的实部为1D ．1+z 为纯虚数 【答案】D【解析】试题分析：22(1)11(1)(1)i i i z i i i i +===-+--+，经验证，A 、B 、C 均错，只有1z i +=为纯虚数正确，故选D ．【考点】复数的运算，复数的概念．2．已知53)3sin(=-x π，则)6cos(π+x 等于（ ）A ．53 B ．54 C ．53- D ．54-【答案】A【解析】试题分析：3cos()cos[()]sin()62335x x x ππππ+=--=-=．故选A ． 【考点】诱导公式．【名师点睛】在三角函数求值中，有两个变换：一是“函数名”的变换，一是“角”的变换．其中“角”的变换比较灵活，如2()()ααβαβ=++-，2()()βαβαβ=+--，()ααββ=+-，()βααβ=--，()()362x x πππ-++=等等．这样做可以减少计算难度．即在求解时：1．当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式； 2．当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”． 3．已知命题p ：31sin ,=∈∃m R m ；命题q ：01,2>++∈∀mx x R x 恒成立. 若q p ∧为假命题，则实数m 的取值范围为（ ） A ．2≥m B ．2-≤m C ．2-≤m 或2≥m D ．22≤≤-m 【答案】C【解析】试题分析：命题q 为真时，240m ∆=-<，即22m -<<，当m R ∈时，命题p 是真命题，p q ∧为假命题，则p 和q 均为假命题，只有当22m m ≤-≥或时，q 为假命题，所以所求范围为22m m ≤-≥或．故选C ． 【考点】复合命题的真假．4．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，在取到的2个数之和为偶数的条件下，取到的2个数均为奇数的概率是（ ）A ．51 B ．41 C ．53 D ．43【答案】D【解析】试题分析：取到的2个数之和为偶数共有4种情形（24，13，15，35），其中两个均为奇数的有3种，因此概率为34．故选D ． 【考点】条件概率．5．执行如图所示的程序框图，输出的S 值是（ ）A ．31B ．63C ．64D ．127 【答案】B【解析】试题分析：由程序框图知，输出的234512222263S =+++++=．故选B ． 【考点】程序框图．6．在ABC ∆中，3=AB ，13=AC ，3π=B ，则ABC ∆的面积是（ ）A ．433 B ．233 C ．32 D ．33 【答案】D【解析】试题分析：3,c AB b AC ====2222cos b a c ac B =+-得：213923cos3a a π=+-⨯⨯，即2340a a --=，解得4a =（1a =-舍去），所以11sin 43sin 223S ac B π==⨯⨯=．故选D ． 【考点】余弦定理，三角形的面积．7．在nxx ）（312-的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是（ ）A ．7-B ．7C ．28-D ．28 【答案】B【解析】试题分析：由题意8n =，48883188(1)()(22r r r r r r r r C x T C x --+--==，令4803r -=，6r =，故常数项为66872(1)72C T -==．故选B ． 【考点】二项式定理的应用．【名师点睛】1．二项式系数最大项的确定方法 (1)如果n 是偶数，则中间一项n+1+2⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭第1项的二项式系数最大； (2)如果n 是奇数，则中间两项n+1n+1+122⎛⎫ ⎪⎝⎭第项与第． 2．求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r ＋1，代回通项公式即可．8．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+=0,40,2)(x x x x a x f x 有最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．),4(+∞ B ．),4[+∞ C ．]4,(-∞ D ．)4,(-∞ 【答案】B【解析】试题分析：由题意当0x >时，4()4f x x x =+≥=，当且仅当2x =时取等号，当0x ≤时，()2(,1]xf x a a a =+∈+，因此要使()f x 有最小值，则必须有4a ≥．故选B ．【考点】函数的最值．9．已知O 为坐标原点，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两条渐近线分别为1l ，2l ，右焦点为F ，以OF 为直径作圆交1l 于异于原点O 的点A ，若点B 在2l 上，且2=，则双曲线的离心率等于（ ）A ．2B ．3C ．2D ．3 【答案】B【解析】试题分析：1:b l y x a =，2:b l y x a =-，(,0)F c ，设11(,)bA x x a，由题意0OA FA ⋅=，即221112()0b x x c x a -+=，因为10x ≠，所以21a x c =，即2(,)a abA c c ，由2AB FA =得2223(,)a b ab B c c -，又B 在直线2l 上，则2232ab b a b c a c -=-⋅，解得ce a==．故选B ．【考点】双曲线的几何性质．10．如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗实线和粗虚线画出了某多面体的三视图，则这个多面体的体积是（ ）A ．1B ．32C ．34D ．2 【答案】B【解析】试题分析：如图四面体ABCD 就是题设多面体的直观图，112(21)2323V =⨯⨯⨯⨯=．故选B ．C【考点】三视图，体积．11．已知点P 在ABC ∆内（不含边界），且),(R y x AC y AB x AP ∈+=，则21++x y 的取值范围为（ ）A ．)1,31(B ．)1,21(C ．)1,32(D ．)32,21( 【答案】A【解析】试题分析：当P 在AB 上时，1x y +=，因此当P 在ABC ∆内部时，有010101x y x y <<⎧⎪<<⎨⎪<+<⎩，由(,)M x y 在如图所求OPQ ∆内部（不含边界），其中(1,0),(0,1)P Q ， 12y x ++表示(,)M x y 与点(2,1)N --连线的斜率，13PN k =，1QN k =，所以11132y x +<<+．故选A ．【考点】向量的线性运算，简单的线性规划问题的非线性应用． 【名师点睛】本题首先考查向量的线性运算性质，向量共线的性质，如当P 在AB 上时，1x y +=，从而得出当P 在ABC ∆内部时，,x y 满足的约束条件，其次作出可行域是解题常用方法，12y x ++的几何意义是解题的关键． 12．已知函数)sin(cos )cos(sin )(x x x f +=，则下列结论正确的是（ ） A ．)(x f 的周期为π B ．)(x f 在)0,2(π-上单调递减C ．)(x f 的最大值为2D ．)(x f 的图象关于直线π=x 对称 【答案】D【解析】试题分析：(0)1sin1f =+，()1sin1f π=-，因此周期不是π，A 错；'()sin(sin )cos cos(cos )sin f x x x x x =--，当(,0)2x π∈-时，'()0f x >，()f x 递增，B 错； 当(0,)2x π∈时，'()0f x <，()f x 递减，显然(0)f >C 错；(2)cos[sin(2)]sin[cos(2)]f x x x πππ-=-+-cos(sin )sin(cos )cos(sin )sin(cos )x x x x =-+=+ ()f x =，因此()f x 的图象关于直线x π=对称，D 正确．故选D ．【考点】三角函数的性质．【名师点睛】本题考查复合函数的性质，考查命题真假的判断，由于是选择题，我们可以利用特值法说明一些选择支是错误的（排除法），如A 、C ，而要说明命题是正确的只能通过证明，如D ．对B ，可以象题中一样由导数证明单调性，也可由复合函数的单调性确定，正弦函数与余弦函数在(,0)2π-上都是增函数，复合函数仍然是增函数，因此可知()f x 是增不是减．从而确定B 错．选择题解法多样、灵活，掌握它的解法与技巧有利于我们快速、正确地解答．二、填空题13．设向量21,e e 是夹角为32π的单位向量，若21e e +=，则=|| . 【答案】1 【解析】试题分析：212()a e e e e =+=+22211e e e e =+⋅+==． 【考点】向量的模与数量积．14．直线3+=kx y 被圆4)3()2(22=-+-y x 截得的弦长为22，则=k . 【答案】1±【解析】试题分析：由题意圆心到直线的距离为d ==，所以=，1k =±．【考点】直线与圆相交弦长，点到直线的距离．15．在四面体ABC P -中，⊥PA 平面ABC ，ABC ∆为正三角形，2=PA ，3=AB ，则该四面体外接球的表面积等于 . 【答案】16π【解析】试题分析：如图，O是三棱锥P ABC -外接球的球心，D 是O 在底面ABC 上的射影，则D 是正ABC ∆的中心，由题意3AD ==，112OD PA ==，2OA ==，所以2244216S R πππ==⨯=．DOCBAP【考点】三棱锥与外接球，球的面积．【名师点睛】(1)一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面将空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各元素之间的关系．(2)若球面上四点P ，A ，B ，C 中PA ，PB ，PC 两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题．(3)一般三棱锥的外接球的球心可通过其中一个面的外心作此平面的垂线，则球心必在此垂线上．16．已知R x x ∈21,，则2221)()(12xxe x e x -+-的最小值为 .【答案】2【解析】试题分析：设11(,)x P x e ，22(,)xQ e x ，则P 在函数()xf x e =的图象上，Q 在函数()ln g x x =的图象上，易知()xf x e =与()lng x x =的图象关于直线y x =对称，'()x f x e =，令'()1x f x e ==，则0x =，(0)1f =，由对称性知，PQ 最小时，120,0x x ==，PQ 最小，所以2221)()(12x x e x e x -+-的最小值为22)2PQ ==． 【考点】函数的综合应用．数形结合思想．【名师点睛】本题考查求函数最值，但是二元函数的最值，解题的关键是把函数最值转化为两个函数图象上点的距离．特别是函数()xf x e =和()lng x x =的图象还关于直线y x =对称，因此这两个函数图象上两点间的距离的最小值是斜率为1的两条平行线间的距离．到这里问题轻松解决．数形结合思想是中学数学的一个重要的思想方法，以“形”且“数”使得解题过程比较直观、简捷．三、解答题17．已知递增的等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，2a ，4a ，8a 成等比数列，且n n a S 5-的最小值为20-. （1）求n a ； （2）设nnn S a b 11+=，求数列}{n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）2n a n =；（2）11211n n T n +=--+． 【解析】试题分析：从已知出发，数列{}n a 是递增的等差数列，则仅仅 差0d >，利用248,,a a a 成等比数列可得1a 和d 的关系，这样用d 表示出n S ，那么5n n S a -就是关于n 的二次函数，由二次函数的性质可得最小值，从而求得d ，得通项n a ；（2）在（1）的基础上求得12(1)nn b n n =++，它的前n 项和首先用分组求和法，分成两个数列的和，一个等比数列的和，一个用裂项相消法求和．试题解析：（1）设等差数列}{n a 的公差为d ，依题意，得)7)(()3(1121d a d a d a ++=+,化简得21d d a =，又}{n a 为单调递增的等差数列，所以0>d ， 所以d a =1.因为d n n d n a d n n na a S n n 2)9(])1([52)1(511-=-+--+=- ]481)29[(22--=n d ，所以当4=n 或5时，n n a S 5-取得最小值d 10-，又n n a S 5-的最小值为20-，所以d 10-20-=，解得2=d ，故n n a n 2)1(22=-+=. （2）由（1）知)1(22)1(2+=⨯-+=n n n n n S n ，所以1112)1(12+-+=++=n n n n b n n n ，所以11121112122)1113121211()222(1121-+-=+-+--=+-++-+-++++=++n n n n T n n nn .【考点】等差数列的通项公式，等差数列的前n 项和，分组求和，裂项相消法，等比数列的前n 项和．18．某鞋店随机抽取了一年内100天的日销售量（单位：双），结果统计如下表：（1）若本次抽取的样本数据有30天使在夏季，其中有8天为销售等级优秀.根据提供的统计数据，完成下面的2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“该鞋店日销售量等级为优秀与季节有关”？（2）已知该鞋店每日固定成本为680元，每双鞋的销售利润为6元，试估计该鞋店一年（365天）的平均利润.【答案】（1）列联表见解析，有把握；（2）146000元． 【解析】试题分析：（1）由抽取的样本数据中有30天使在夏季，其中有8天为销售等级优秀可以很快填充列联表，再由2K 公式计算出2K 可知相关性；（2）用销量区间的中点作为该区间的估计值，可计算出该店的日均销售量，从而计算出利润． 试题解析：（1）由题意得2×2列联表：所以 4.575703015858)637100(2222≈⨯⨯⨯⨯-⨯=K 因为 3.8414.575>，所以有95%的把握认为“该鞋店日销售量等级为优秀与季节有关”. （2）依题意得，该鞋店的日平均销售量为1801001503510020025100450151002005=⨯+⨯+⨯+⨯（双），则该鞋店的日平均利润为 400680-6018=⨯（元），可估计得该鞋店的年平均利润为146000365004=⨯（元）. 【考点】列联表，变量的相关性，用样本估计总体．19．如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PD 平面ABCD ，底面ABCD 为菱形，PD AD =， 60=∠DAB ，点H G F E ,,,分别是棱PB PC CD AB ,,,上共面的四点，且EF BC //.（1）证明：EF GH //；（2）若点H G F E ,,,分别是棱PB PC CD AB ,,,的中点，求二面角B GH E --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）772 【解析】试题分析：（1）要证线线平行，可以利用线面平行的性质定理先证明线面平面，从已知条件中//EF BC ，则有线面平行，//BC 平面EFGH ，那么由线面平行的性质定理有//BC GH ，结论即得；（2）要求二面角，先寻找图形中相互垂直的三条直线，底面菱形，对角线,AC BD 垂直平分，设其交点为O ，则由已知得//OH PD ，从而OH ⊥平面ABCD ，因此可以,,为z y x ,,轴的正方向建立空间直角坐标系，并设2=AD ，就可写出图中各点坐标，进而求得平面EGH 和平面BGH 的法向量，由法向量的夹角得二面角（注意观察二面角的大小）． 试题解析：（1）证明：∵EF BC //，⊄BC 平面EFGH ，⊂EF 平面EFGH ， ∴//BC 平面EFGH ，又⊂BC 平面PBC ，且平面 PBC 平面GH EFGH =，∴BC GH //，∵EF BC //，∴EF GH //.（2）解：∵ABCD 为菱形，∴BD AC ⊥，设AC 与BD 的交点为O ，则O 为BD 的中点，又H 为PB 的中点，∴PD OH //，∵⊥PD 平面ABCD ，∴⊥OH 平面ABCD . 如图，以O 为原点，以,,为z y x ,,轴的正方向建立空间直角坐标系，设2=AD ，则)0,0,3(A ， )0,1,0(B ，)0,21,23(E ，)1,0,0(H ，)0,0,3(-C ，)0,1,0(-D ，)0,21,23(--F ，)1,21,23(--G . 设平面EGH 的法向量为),,(z y x =.∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00GH n HE ，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-+0212302123y x z y x ，取)0,3,1(-=. 设平面BGH 的法向量为),,(1c b a n =.∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011n HB n HG ，∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=+002123c b b a ，取)3,3,1(1-=n . ∴772||||,cos 111-=>=<n n n . 又∵二面角B GH E --的平面角为锐角，∴二面角B GH E --的余弦值为772.【考点】线面平行的判断与性质，二面角．20．已知抛物线1C ：py x 22=的焦点F 与椭圆2C ：1422=+y x 的上顶点重合，直线MN ：m kx y +=与抛物线1C 交于N M ,两点，分别以N M ,为切点作曲线1C 的两条切线交于点P .（1）求抛物线1C 的方程；（2）（i ）若直线MN 过抛物线1C 的焦点F ，判断点P 是否在抛物线1C 的准线l 上，并说明理由；（ii ）若点P 在椭圆2C 上，求PMN ∆面积S 的最大值及相应的点P 坐标. 【答案】（1）24x y =；（2）(i)点P 必在抛物线1C 的准线l 上.（ii ）S 的最大值525，点P 坐标为)21,3(-±.【解析】试题分析：（1）求出椭圆的上顶点坐标，即抛物线的焦点，从而得焦参数p ；（2）(i)问题实质上只要求出P 点的纵坐标，看是否为1-，为此设1122(,),(,)M x y N x y ，由1'2y x =可得,M N 处切线斜率，从而得切线方程，两切线方程联立后求得交点P 的坐标为1212(,)24x x x x +，而求12x x ，只要把直线MN 方程：1y kx =+代入抛物线方程，由韦达定理可得；（ii ）仿照（i ）可得）（m k P -,2，从而得221k m +=，由直线与圆锥相交弦长求法可得MN ，再求得点P 到直线MN 的距离，可计算出PMN S ∆，由函数的性质可得最大值．试题解析：（1）依题意得，椭圆的上顶点为），（10，∴)10(，F ，则12=p，得2=p ，∴抛物线1C 的方程为y x 42=.（2）设212211),,(),,(x x y x N y x M ≠，则22221141,41x y x y ==， ∵抛物线的方程为241x y =，求导得x y 21'=， 故以N M ,为切点的切线方程分别为)(21111x x x y y -=-和)(21222x x x y y -=-，即 2114121x x x y -=，2224121x x x y -=，联立解得交点P 的坐标为）（4,22121x x x x ⋅+（i ）直线MN 过抛物线1C 的焦点)10(，F ，方程为1+=kx y ，与抛物线方程yx 42=联立，消去y ，整理得0442=--kx x ，∴421-=⋅x x ，∴两条切线的交点P 的坐标为）（1,221-+x x . ∵抛物线1C 的准线l 的方程为1-=y ，∴点P 必在抛物线1C 的准线l 上.（ii ）交点P 的坐标为）（4,22121x x x x ⋅+，由⎩⎨⎧=+=yx m kx y 42消去y 得0442=--m kx x ，由韦达定理得k x x 421=+，m x x 421-=⋅，∴P 点的坐标可化为）（m k P -,2， 而P 点在椭圆上，∴122=+m k))(1(4161614)(1||1||2222212212122m k k m k k x x x x k x x k MN ++=++=-++=-+=，P 到直线MN ：0=+-m y kx 的距离221||2km k d ++=PMN∆面积323222)1(4)(4||4||21m m m k m k m k d MN S +-=+=+⋅+=⋅=525)45(4]45)21([4332=≤+--=m即当21=m 时，S 的最大值525，此时23±=k ，点P 坐标为)21,3(-±. 【考点】抛物线的标准方程，直线与圆锥曲线相交的综合问题．【名师点睛】1.弦长的计算方法与技巧求弦长时可利用弦长公式,根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程,利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式,然后进行整体代入弦长公式求解.提醒:注意两种特殊情况:(1)直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直; 2.与弦端点相关问题的解法解决与弦端点有关的向量关系、位置关系等问题的一般方法,就是将其转化为端点的坐标关系,再根据联立消元后的一元二次方程根与系数的大小关系,构建方程(组)求解. 21．已知函数12cos )(2-+=x a x x f ，（R a ∈）. （1）证明：当1≥a 时，)(x f 有唯一零点； （2）若0)(≥x f ，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）),1[+∞.【解析】试题分析：（1）研究函数的零点问题，可先研究函数的单调性，因此先求得导数'()f x ，在确定'()f x 的正负，再求一次导数得"()cos f x x a =-+，由1a ≥知"()0f x ≥，从而得'()f x 单调递增，再由'(0)0f =可判断'()f x 的政见，从而得()f x 的单调性，证得结论；（2）由（1）知1a ≥是满足题意的，对于其他的值，如能取一些特殊值使()0f x <，则不合题意，如0a ≤时，2()1028a f ππ=-<，说明此时不合题意，当01a <<时，特殊值不易取得，研究其单调性，由（1）的解题过程知，存在0(0,)2x π∈，使0"()0f x =，且当0[0,)x x ∈时，"()0f x <，从而'()'(0)0f x f ≤=，因此()f x 递减，所以0(0,)x x ∈时，()(0)0f x f <=，故此时也不合题意，最终得出结论．试题解析：（1）∵R x ax x x f ∈+-=,sin )('，令ax x x g +-=sin )(，则a x x g +-=c o s )('，∴当1≥a 时，0cos )('≥+-=a x x g ，即)(x g 在R 上单调递增，又000sin )0(=+-=g ，∴当),0[+∞∈x 时，0)('≥x f ；当)0,(-∞∈x 时，0)('<x f . ∴函数)(x f 在),0[+∞上为增函数，在)0,(-∞上为减函数.又0)0(=f ，∴当),0[+∞∈x 时，0)(≥x f ；当)0,(-∞∈x 时，0)(>x f .故0)(≥x f 对R x ∈恒成立，即当1≥a 时，0)(≥x f ，且当且仅当0=x 时，0)(=x f ， 故当1≥a 时，)(x f 有唯一零点. （2）①当0≤a 时，∵01122)2(2<-≤-=）（ππa f ，∴0≤a 不合题意. ②当10<<a 时，∵ax x x f +-=sin )('，设],0[,sin )(π∈+-=x ax x x m ，则a x x m +-=cos )('，∵)1,0(∈a ，∴存在)2,0(0π∈x ，使得a x =0cos ，∵x cos 在],0[π上为单调递减，∴当),0[0x x ∈时，0)('<x m ，即ax x x m +-=sin )(在),0[0x 上为减函数，即0)0()()('=≤=m x m x f ， ∴)(x f 在),0[0x 上为减函数，故当),0(0x x ∈时，0)0()(=<f x f . 故当10<<a 时，不合题意.③当1≥a 时，由（1）知，0)(≥x f .综上，若0)(≥x f ，实数a 的取值范围为),1[+∞.【考点】函数的零点，导数与函数的单调性，极值．【名师点睛】利用导数研究函数的极值、最值是高考考查热点,几乎每年都会考查,有时会和函数的单调性、不等式、导数的几何意义等相结合命题,有时作为高考的压轴题出现,难度为中、高档.本题考查函数的零点与不等式恒成立问题，考查等价转化思想，解题时都转化为用导数研究函数的单调性与的极值，同时在不能直接确定导数'()f x 的正负时，可对导函数再一次求导，以通过研究'()f x 的单调性来确定它的正负． 22．选修4-1：几何证明选讲 如图，AB 是⊙O 的一条切线，切点为B ，ADE 、CFD 都是⊙O 的割线，AB AC =.（1）证明：AE AD AC ⋅=2；（2）证明：AC FG //. 【答案】证明见解析． 【解析】试题分析：（1）已知AB AC =，AB 是切线，由切割线定理可得结论；（2）要证线线平行，可证明同位角相等（或内错角相等），考虑到第（1）的结论可得三角形相似，从而有ACE ADC ∠=∠，再由圆周角定理可得EGF ADC ∠=∠，从而有EGF ACE ∠=∠，于是有线线平行． 试题解析：证明：（1）∵AB 是⊙O 的一条切线，ADE 是⊙O 的割线，∴AE AD AB ⋅=2.又∵AB AC =，∴AE AD AC ⋅=2 （2）由（1）得AEACAC AD =,又CAE DAC ∠=∠，∴A D C ∆∽ACE ∆，∴A C EA D C ∠=∠， ∵EGF ADC ∠=∠，∴EGF ACE ∠=∠，∴AC FG //.【考点】切割线定理，相似三角形的判断与性质，两直线平行的判断． 23．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=ααsin 2cos 22y x （其中α为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线βθ=和)20(3πβπβθ<<-=与圆C 分别交于异于极点O 的A 、B 两点.（1）求圆C 的极坐标方程； （2）求||||OB OA +的最大值. 【答案】（1）θρcos 4=；（2）34.【解析】试题分析：（1）利用公式222cos sin x y x y ρρθρθ⎧+=⎪=⎨⎪=⎩可化直角坐标方程为极坐标方程；（2）由极坐标的意义可得题意βcos 4||=OA ，)3cos(4||πβ-=OB ，再利用两角和与差的正弦公式及奇函数的性质可求得||||OB OA +的最大值． 试题解析：（1）依题意得，圆C 的普通方程为4)2-(22=+y x ， ∴圆C 的极坐标方程为θρcos 4=.（2）依题意βcos 4||=OA ，)3cos(4||πβ-=OB ，∴)3sin(34)sin 32cos 2(cos 4)3cos(4cos 4||||πββββπββ+=++=-+=+OB OA ， ∵20πβ<<，∴当1)3sin(=+πβ，即6πβ=时，||||OB OA +的最大值为34.【考点】直角坐标方程与极坐标方程的互化，极坐标的应用．24．选修4-5：不等式选讲已知函数|32||2|)(--+=x a x x f ，R a ∈. （1）若2=a ，求不等式3)(-≥x f 的解集；（2）若存在实数x 使得a x f 2)(≥成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）),21[+∞-；（2）]3,(-∞. 【解析】试题分析：（1）解绝对值不等式，可根据绝对值定义去掉绝对值符号，化绝对值函数为分段函数的的形式，然后分段解不等式可得；（2）命题“存在实数x 使得a x f 2)(≥成立”，可转化为求出()f x 的最大值M ，然后解2M a ≥可得． 试题解析：（1）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤≤---<-=23,5231,141,5)(x x x x x f ，由3)(-≥x f ，得⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≥-231314x x 或23>x ， 解得2321≤≤-x 或23>x ，∴或21-≥x .故不等式的解集为),21[+∞-.（2）∵|3||322||32||2|)(+=+-+≤--+=a x a x x a x x f ， 当且仅当0)32)(2(≥-+x a x 且|32||2|-≥+x a x 时，如取23=x ，“=”成立. ∴)(x f 的最大值为|3|+a ，∴a a 2|3|≥+.∵当0≤a 时，上式成立；当0>a 时，a a 23≥+，∴30≤<a . 综上，实数a 的取值范围是]3,(-∞. 【考点】解绝对值不等式．绝对值的性质．。
（在此试卷上答题无效）保密★启用前泉州市普通高中毕业班质量检查理 科 数 学注意事项：1.本试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷2至4页。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3.全部答案答在答题卡上，答在本试卷上无效。
4.考试结束或，将本试卷和答题卡一并收回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知复数z 满足z i z ,21-=为z 的共轭复数，则()2016z z -等于A.20162B.20162-C.i 20162D.i 20162-（2）已知全集为R ，集合{},086|121|2≤+-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x x B x A x ，则=)(B C A RA.{}20|<≤x xB.{}42|≤≤x xC.{20|<≤x x 或}4>xD..{20|≤<x x 或}4≥x（3）《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何.”其意思为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布A.30尺B.90尺C.150尺D.180尺（4）已知抛物线()02:2>=p px y C 的焦点为F,P 为C 上一点，若，4=PF 点P 到y 轴的距离等于等于3，则点F 的坐标为A.(-1，0)B.(1，0)C.(2，0)D.(-2，0)（5）执行如图所示的程序框图，则输出的k 值为A.7B.9C.11D.13（6）现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票(其中3张为中奖票)的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完后结束的概率为 A.101 B.51 C.103 D.52（7）如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗线画出的是某几何体的三视图则该几何体的体积是A.π6B.π7C.π12D.π14（8）()622--x x 的展开式中2x 的系数等于A.-48B.48C.234D.432 （9）设x ，y 满足,0223010⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤-+≥y x y ax y 若2210y x x z +-=的最小值为-12，则实数a 的取值范围是 A.21-≤a B.23-<a C. 21≥a D.23<a （10）已知A,B,C 在球O 的球面上，AB=1,BC=2， 60=∠ABC ，直线OA 与截面ABC 所成的角为 30，则球O 的表面积为A.π4B.π16C.π34D.π316 （11）已知函数()()()e e b ax x xf x -++-=2，当0>x 时，()0≤x f ，则实数a 的取值范围为A.0>aB.10≤<aC.1≥aD.1≤a（12）已知数列}{n a 的前n 项和为，，，046,21>==n n S S S S 且22122,+-n n n S S S ，成等比数列，12221-2,++n n n S S S ，成等差数列，则2016a 等于A.1008-B.1009-C.21008D.21009第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
