线性代数4.4

证明
由 r ( A) r ( A b) 知 A X = b 有解，
组
即存在 x~1, x~2 ,, x~n ，使得
x~1 A1 x~2 A2 x~n An b .
(1) 若 r n , 则 A1, A2 , , An 线性无关， 故 b 只能由 A1, A2 , , An 的惟一地线性表示， 即 A X = b 的解是惟一的。
即得 念
第 二、线性方程组解的存在性与惟一性
四 章
1. 线性方程组解的存在性
2. 线性方程组解的惟一性 P112 定理4.2 (2) 线
性 定理 设 r ( A) r ( A b) r , 则 r n A X = b 有惟一解。
方 程
P123
4
§4.1 线性方程组的基本概念
第 一、线性方程组的几种表示形式
四 章
1. 线性方程组的一般形式
2. 线性方程组的矩阵形式 P111 线
性
方
程
组
简记为 A X b ,
其中 A 称为系数矩阵， A~ ( A b) 称为增广矩阵。
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§4.1 线性方程组的基本概念
第 一、线性方程组的几种表示形式
若 A X = b 有解，
组
则 b 可由 A1 , A2 , , An 线性表示，
故向量组 A1 , A2 , , An 与 A1 , A2 , , An , b 等价，
即得 r ( A) r ( A b).
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§4.1 线性方程组的基本概念
第 二、线性方程组解的存在性与惟一性
四 章
1. 线性方程组解的存在性
线 定理 线性方程组 A X = b 有解的充要条件是 r ( A) r ( A b).

3x 4 y z 10 0，且与直线 l1 :
x1 3
y3 1
z 2
相交.
答案： 1. 4x 6 y 3z 8 0;
2. x 1 y z 4 . 48 37 4
空间直线
空间直线
整理得 : x (4 3) y z (24 17) 0
由 (2，2，1) (1，4 3，) 0 解得： 10
7
代入 : x (4 3) y z (24 17) 0 化简： : 7x 2 y 10z 2 0 从而投影直线为：
l :
l与l 的夹角 称为l与的夹角.
则
n
s
l
s，n
2
s，n
2
， ，
s，n
2
s，n .
2
l
从而 sin s n
Am Bn Cp
sn
A2 B2 C 2 m2 n2 p2
空间直线
例1 判定直线 l : x 1 y 2 z
1 2 2
与平面 : x 4 y z 1 0
过 M 作平面 与l1 垂直， 与l1的交点即为N.
M
l
N
i
l1 的方向向量
s1 1
j 1
k 2
9i 5 j 7k.
341
空间直线
过M(2,5,-2)且与l 垂直的平面
: -9(x - 2) +5(y - 5) +7(z + 2) = 0.
9x - 5y - 7z - 7 = 0. (1)
从而投影直线为
l :
7x 2 y 10z 2 0 2x 2 y z 11 0
空间直线
主要 1. 直线与平面的位置关系 内容 2. 平面束

为该方程组的解，则
x11
x
x
21
x
n1
称为方程组的解向量．
齐次线性方程组的解的性质
性质1：若 x = x1， x = x2 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解， 则 x = x1 + x2 还是 Ax = 0 的解．
证明： A(x1 + x2 ) = Ax1+ Ax2 = 0 + 0 = 0 ．
性质2：若 x = x 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解，k 为实数， 则 x = kx 还是 Ax = 0 的解．
证明： A( kx ) = k ( Ax ) = k 0 = 0 ．
结论：若 x = x1, x = x2, ...,, x = xt 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解， 则 x = k1x1 + k2x2 + … + ktxt 还是 Ax = 0 的解.
b22 xr+2
b1,nr xn , b2,nr xn ,
xr br1 xr+1 br 2 xr+2 br,nr xn .
令 xr+1 = c1, xr+2 = c2, …, xn = cn-r ，则
线性方程组 的通解
x1
x2
b11c1 b12c2 b21c1 b22c2
基础解系的概念
定义：齐次线性方程组 Ax = 0 的一组解向量：x1, x2, ..., xr
如果满足
① x1，x2，...，xr 线性无关； ② 方程组中任意一个解都可以表示x1, x2, ..., xr 的线性组合，
那么称这组解是齐次线性方程组的一个基础解系．
设 R(A) = r ，为叙述方便， 不妨设 A 行最简形矩阵为

a11 a12
a11 a A E 21 a n1
a1n a 22 a 2 n 0 a n 2 a nn 0 a12
0 a11 a12 0 a 21 a 22 an2 0 a n1 0
n阶方阵，
x1 x2 X x n
λ--数 n维未知向量，
n×n
n 即不论λ取何值，方程AX=λX一定有解 元 齐 特征值：使n元齐次方程AX=λX有非零解的数λ0次 方 方程 A的属于λ0的特征向量： AX 0 X的非零解 程 组
方程AX=λX
1 1 0 A 4 3 0 1 0 2
的特征值与特征向量
2
1
0
3 0 0 2
2 1 3 4 2 1
令
A E 0
,得 λ1 =2，λ2 = λ3= 1（二重根）
2 0 2
0 0 1
0 0 0
x1 2x2 0 2x2 x3 0
x1 2x2 x3 2x2
2 V1 1 2
取 x2 1 ,得一基础解系
于是，A的属于λ1=-2的全部特征向量为：
2 c1V1 c1 1 , c1 0 2
c1 , c2 ,, cs 是不全为零任意常数
【例1】求
解：
2 3 A 5 4 的特征值 及特征向量 2 3 (2 )(4 ) 15 2 6 7 A E 5 4
令 A E 0 ,得 λ1 =-1，λ2 =7 则A的特征值为λ1 =-1，λ2 =7 把λ1 =-1代入方程（A- λE）X=O ，得 （A+E）X=O