考点4 函数y=Asin(wx+￠)的图像、三角函数模型的简单应用

4.4函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)， x ∈[0，＋∞)表示一个振动量时振幅 周期 频率 相位 初相2、用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：3.函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的步骤如下：1．函数图像变换要明确，要弄清楚是平移哪个函数的图像，得到哪个函数的图像；x －φω －φω＋π2ωπ－φω 3π2ω－φω 2π－φω ωx ＋φy ＝A sin(ωx ＋φ)2．要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；3．由y ＝A sin ωx 的图像得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像时，需平移的单位数应为⎪⎪⎪⎪φω，而不是|φ|.[试一试]1．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的最小正周期、振幅、频率和初相分别为__________． 2．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是________．3．设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值为________．4．设函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期是π，则下列说法正确的是________．(填序号) ①f (x )的图象过点(0，32)；②f (x )在[π12，2π3]上是减函数；③f (x )的一个对称中心是(5π12，0)；④将f (x )的图象向右平移|φ|个单位长度得到函数y ＝3sin ωx 的图象． 考点一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换例1 设函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)的周期为π. (1)求它的振幅、初相；(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；(3)说明函数f (x )的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到的． 题型二 由图象求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2 (1)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(其中ω>0，|φ|<π2)的最小正周期是π，且f (0)＝3，则ω＝________，φ＝________.(2)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，|φ|<π2，ω>0)的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为____________．类提通关：如图为y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的一段． (1)求其解析式；(2)若将y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π6个单位长度后得y ＝f (x )，求f (x )的对称轴方程．考点三 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质例3已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ<π2)的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π. (1)求ω和φ的值；(2)当x ∈[0，π2]时，求函数y ＝f (x )的最大值和最小值．考点四、函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像与性质的综合应用例4、如图是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，0<φ<π2的部分图像，M ，N 是它与x 轴的两个交点，D ，C 分别为它的最高点和最低点，点F (0,1)是线段MD 的中点，MD ·MN ＝π218.(1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数f (x )的单调递增区间．课堂练习1．已知ω>0，函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωπx ＋π4的周期比振幅小1，则ω＝________. 2.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0)的部分图像如图所示，则f (0)的值是________．3．函数f (x )＝cosπx2cos π(x －1)2的最小正周期为________． 4．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A 、ω、φ为常数，A >0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图像如图所示，则ω＝________.4.4函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用作业1．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的取值为________． 2．函数f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是________．3．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，且|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f (x )的单调递增区间是________．4．已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间[－π3，π4]上的最小值为－2，则ω的取值范围是_____________．5.设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f (16)的值为________．6．已知函数f (x )＝cos x ·cos(x －π3)．(1)求f (2π3)的值；(2)求使f (x )<14成立的x 的取值集合．7．已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12.(1)若0<α<π2，且sin α＝22，求f (α)的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．8．某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系： f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0,24)．(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？ 9．已知函数f (x )＝3sin ωx ·cos ωx ＋cos 2ωx －12(ω>0)，其最小正周期为π2.(1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间[0，π2]上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．第四节函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用1．y＝A sin(ωx＋φ)的有关念y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相A T＝2πωf＝1T＝ω2πωx＋φφ2.用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：x －φω －φω＋π2ωπ－φω 3π2ω－φω 2π－φω ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A3.函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的步骤如下：1．函数图像变换要明确，要弄清楚是平移哪个函数的图像，得到哪个函数的图像； 2．要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；3．由y ＝A sin ωx 的图像得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像时，需平移的单位数应为⎪⎪⎪⎪φω，而不是|φ|.[试一试]1．1．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的最小正周期、振幅、频率和初相分别为__________． 答案：π，2，1π，－π42．把函数y ＝sin(x ＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个单位，那么所得函数的解析式为________．答案 y ＝－cos 2x解析 将y ＝sin(x ＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin(2x ＋π6)；再将图象向右平移π3个单位，得到函数y ＝sin[2(x －π3)＋π6]＝sin(2x －π2)＝－cos2x .3．设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值为________． 答案 6解析 由题意可知，nT ＝π3 (n ∈N *)，∴n ·2πω＝π3(n ∈N *)，∴ω＝6n (n ∈N *)，∴当n ＝1时，ω取得最小值6.4．设函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期是π，则下列说法正确的是________．(填序号) ①f (x )的图象过点(0，32)；②f (x )在[π12，2π3]上是减函数；③f (x )的一个对称中心是(5π12，0)；④将f (x )的图象向右平移|φ|个单位长度得到函数y ＝3sin ωx 的图象． 答案 ①③解析 ∵周期为π，∴2πω＝π⇒ω＝2，∴f (x )＝3sin(2x ＋φ)，f (23π)＝3sin(4π3＋φ)，则sin(4π3＋φ)＝1或－1.又φ∈(－π2，π2)，4π3＋φ∈(5π6，116π)，∴4π3＋φ＝3π2⇒φ＝π6， ∴f (x )＝3sin(2x ＋π6)．①：令x ＝0⇒f (x )＝32，正确．②：令2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋3π2，k ∈Z⇒k π＋π6<x <k π＋2π3，k ∈Z .令k ＝0⇒π6<x <2π3，即f (x )在(π6，23π)上单调递减，而在(π12，π6)上单调递增，错误．③：令x ＝5π12⇒f (x )＝3sin π＝0，正确．④：应平移π12个单位长度，错误.考点一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换例1 设函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)的周期为π. (1)求它的振幅、初相；(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；(3)说明函数f (x )的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到的． 解 (1)f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx＝2(12sin ωx ＋32cos ωx )＝2sin(ωx ＋π3)，又∵T ＝π，∴2πω＝π，即ω＝2.∴f (x )＝2sin(2x ＋π3)．∴函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx 的振幅为2，初相为π3.(2)令X ＝2x ＋π3，则y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝2sin X . 列表，并描点画出图象：x －π6 π12 π3 7π12 5π6 X 0 π2 π 3π2 2π y ＝sin X 0 1 0 －1 0 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 02－2(3)方法一 把y ＝sin x 的图象上所有的点向左平移π3个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象，再把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象上的点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，最后把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象． 方法二 将y ＝sin x 的图象上每一点的横坐标x 缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin 2x 的图象；再将y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位长度，得到y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象；再将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象上每一点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象．思维升华 (1)五点法作简图：用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．(2)图象变换：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”． 考点二 由图象求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2 (1)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(其中ω>0，|φ|<π2)的最小正周期是π，且f (0)＝3，则ω＝________，φ＝________.(2)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，|φ|<π2，ω>0)的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为____________． 答案 (1)2 π3(2)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 解析 (1)∵f (x )(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期为π，∴T ＝2πω＝π，ω＝2.∵f (0)＝2sin φ＝3，即sin φ＝32(|φ|<π2)，∴φ＝π3. (2)观察图象可知：A ＝2且点(0,1)在图象上， ∴1＝2sin(ω·0＋φ)，即sin φ＝12.∵|φ|<π2，∴φ＝π6.又∵1112π是函数的一个零点，且是图象递增穿过x 轴形成的零点，∴11π12ω＋π6＝2π，∴ω＝2.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 思维升华 根据y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：①A 的确定：根据图象的最高点和最低点，即A ＝最大值－最小值2；②k 的确定：根据图象的最高点和最低点，即k ＝最大值＋最小值2；③ω的确定：结合图象，先求出周期T ，然后由T ＝2πω(ω>0)来确定ω；④φ的确定：由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 最开始与x 轴的交点(最靠近原点)的横坐标为－φω(即令ωx ＋φ＝0，x ＝－φω)确定φ.类提通关：如图为y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的一段． (1)求其解析式；(2)若将y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π6个单位长度后得y ＝f (x )，求f (x )的对称轴方程．解 (1)由图象知A ＝3，以M ⎝⎛⎭⎫π3，0为第一个零点，N ⎝⎛⎭⎫5π6，0为第二个零点． 列方程组⎩⎨⎧ω·π3＋φ＝0，ω·5π6＋φ＝π，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝－2π3.∴所求解析式为y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3. (2)f (x )＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－2π3 ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 令2x －π3＝π2＋k π(k ∈Z )，则x ＝512π＋k π2 (k ∈Z )，∴f (x )的对称轴方程为x ＝512π＋k π2(k ∈Z )．[类题通法]确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)的步骤和方法(1)求A ，b ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m2； (2)求ω，确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT ；(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图像上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图像与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下： “第一点”(即图像上升时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图像的“峰点”)时ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图像下降时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图像的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2；“第五点”时ωx ＋φ＝2π.考点三 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质例3 (2014·重庆改编)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ<π2)的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π. (1)求ω和φ的值；(2)当x ∈[0，π2]时，求函数y ＝f (x )的最大值和最小值．解 (1)因为f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2.又因f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2·π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， 由－π2≤φ<π2得k ＝0所以φ＝π2－2π3＝－π6.综上，ω＝2，φ＝－π6.(2)由(1)知f (x )＝3sin(2x －π6)，当x ∈[0，π2]时，－π6≤2x －π6≤56π，∴当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )最大＝3；当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (x )最小＝－32.思维升华 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质(1)奇偶性：φ＝k π(k ∈Z )时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数； φ＝k π＋π2(k ∈Z )时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数．(2)周期性：y ＝A sin(ωx ＋φ)存在周期性，其最小正周期为T ＝2πω.(3)单调性：根据y ＝sin t 和t ＝ωx ＋φ(ω>0)的单调性来研究，由－π2＋2k π≤ωx ＋φ≤π2＋2k π(k ∈Z )得单调增区间；由π2＋2k π≤ωx ＋φ≤3π2＋2k π(k ∈Z )得单调减区间．(4)对称性：利用y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)(k ∈Z )来解，令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求得其对称中心．利用y ＝sin x 的对称轴为x ＝k π＋π2(k ∈Z )来解，令ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )得其对称轴．教师选例考点四、函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像与性质的综合应用例4、如图是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，0<φ<π2的部分图像，M ，N 是它与x 轴的两个交点，D ，C 分别为它的最高点和最低点，点F (0,1)是线段MD 的中点，MD ·MN ＝π218.(1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数f (x )的单调递增区间．[解] (1)由已知F (0,1)是线段MD 的中点，可知A ＝2， ∵MD ·MN ＝T 4·T 2＝π218(T 为f (x )的最小正周期)，∴T ＝2π3，ω＝3，∴f (x )＝2sin(3x ＋φ)，设D 点的坐标为(x D,2)，则由已知得点M 的坐标为(－x D ，0)， ∴x D －(－x D )＝14T ＝14×2π3，则x D ＝π12，则点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫－π12，0， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4－φ＝0. ∵0<φ<π2，∴φ＝π4，∴函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4. (2)由2k π－π2≤3x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－3π4≤3x ≤2k π＋π4(k ∈Z )，得2k π3－π4≤x ≤2k π3＋π12(k ∈Z )， ∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π3－π4，2k π3＋π12(k ∈Z )． [类题通法]函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质(1)奇偶性：φ＝k π时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数；φ＝k π＋π2(k ∈Z )时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数．(2)周期性：y ＝A sin(ωx ＋φ)存在周期性，其最小周期为T ＝2πω.(3)单调性：根据y ＝sin t 和t ＝ωx ＋φ的单调性来研究，由－π2＋2k π≤ωx ＋φ≤π2＋2k π，k ∈Z 得单调增区间；由π2＋2k π≤ωx ＋φ≤3π2＋2k π，k ∈Z 得单调减区间．(4)对称性：利用y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)(k ∈Z )求解，令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求得x .利用y ＝sin x 的对称轴为x ＝k π＋π2(k ∈Z )求解，令ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )得其对称轴．课堂练习1．已知ω>0，函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωπx ＋π4的周期比振幅小1，则ω＝________. 解析：依题意周期为2πωπ＝3－1＝2，所以ω＝1. 答案：12.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0)的部分图像如图所示，则f (0)的值是________．解析：由图像可得A ＝2，由7π12－π3＝T 4，得T ＝π＝2πω，所以ω＝2，将点⎝⎛⎭⎫7π12，－2代入f (x )＝2sin(2x ＋φ)，得－2＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×7π12＋φ，所以sin ⎝⎛⎭⎫7π6＋φ＝－1，所以7π6＋φ＝3π2＋2k π(k ∈Z )，解得φ＝π3＋2k π(k ∈Z )，即f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，所以f (0)＝2sin π3＝2×32＝62.答案：623．函数f (x )＝cosπx 2cos π(x －1)2的最小正周期为________． 解析：因为f (x )＝cos πx 2cos π(x －1)2＝cos πx 2cos π2－πx 2＝sin πx 2cos πx 2＝12sin πx ，所以最小正周期为2ππ＝2.答案：24．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A 、ω、φ为常数，A >0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图像如图所示，则ω＝________.解析：由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像可知：T2＝⎝⎛⎭⎫－π3－⎝⎛⎭⎫－23π＝π3， 则T ＝23π.∵T ＝2πω＝23π，∴ω＝3.答案：34.4函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用作业1．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的取值为________． 答案 k π＋π4，k ∈Z解析 把函数y ＝sin(2x ＋φ)沿x 轴向左平移π8个单位后得到函数y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋φ2＋π8＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π4为偶函数，则φ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π＋π4，k ∈Z . 2．函数f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是________． 答案 π，1解析 f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 所以最小正周期为π，振幅为1.3．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，且|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f (x )的单调递增区间是________．答案 [k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z解析 由函数的图象可得14T ＝23π－512π，∴T ＝π，则ω＝2.又图象过点(512π，2)，∴2sin(2×512π＋φ)＝2，∴φ＝－π3＋2k π，k ∈Z ，∵|φ|<π2.∴取k ＝0，即得f (x )＝2sin(2x －π3)，其单调递增区间为[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z .4．已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间[－π3，π4]上的最小值为－2，则ω的取值范围是_____________．答案 (－∞，－2]∪[32，＋∞)解析 当ω>0时，－π3ω≤ωx ≤π4ω，由题意知－π3ω≤－π2，即ω≥32；当ω<0时，π4ω≤ωx ≤－π3ω，由题意知π4ω≤－π2，∴ω≤－2.综上可知，ω的取值范围是(－∞，－2]∪[32，＋∞)．5.设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f (16)的值为________．答案34解析 取K ，L 中点N ，则MN ＝12， 因此A ＝12. 由T ＝2得ω＝π.∵函数为偶函数，0<φ<π，∴φ＝π2， ∴f (x )＝12cos πx ， ∴f (16)＝12cos π6＝34. 6．已知函数f (x )＝cos x ·cos(x －π3)． (1)求f (2π3)的值； (2)求使f (x )<14成立的x 的取值集合． 解 (1)f (2π3)＝cos 2π3·cos π3＝－cos π3·cos π3＝－(12)2＝－14. (2)f (x )＝cos x cos(x －π3)＝cos x ·(12cos x ＋32sin x ) ＝12cos 2x ＋32sin x cos x ＝14(1＋cos 2x )＋34sin 2x ＝12cos(2x －π3)＋14. f (x )<14等价于12cos(2x －π3)＋14<14， 即cos(2x －π3)<0， 于是2k π＋π2<2x －π3<2k π＋3π2，k ∈Z . 解得k π＋5π12<x <k π＋11π12，k ∈Z .故使f (x )<14成立的x 的取值集合为{x |k π＋5π12<x <k π＋11π12，k ∈Z }． 7．已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12. (1)若0<α<π2，且sin α＝22，求f (α)的值； (2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．解 方法一 (1)因为0<α<π2，sin α＝22， 所以cos α＝22. 所以f (α)＝22×(22＋22)－12＝12. (2)因为f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin(2x ＋π4)， 所以T ＝2π2＝π. 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得 k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间为[k π－3π8，k π＋π8]，k ∈Z . 方法二 f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12＝12sin 2x ＋12cos 2x＝22sin(2x ＋π4)． (1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以α＝π4， 从而f (α)＝22sin(2α＋π4)＝22sin 3π4＝12. (2)T ＝2π2＝π. 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得 k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间为[k π－3π8，k π＋π8]，k ∈Z . 8．某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0,24)． (1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？解 (1)因为f (t )＝10－2(32cos π12t ＋12sin π12t ) ＝10－2sin(π12t ＋π3)， 又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3， －1≤sin(π12t ＋π3)≤1. 当t ＝2时，sin(π12t ＋π3)＝1； 当t ＝14时，sin(π12t ＋π3)＝－1. 于是f (t )在[0,24)上的最大值为12，最小值为8.故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃.(2)依题意，当f (t )>11时实验室需要降温．由(1)得f (t )＝10－2sin(π12t ＋π3)， 故有10－2sin(π12t ＋π3)>11， 即sin(π12t ＋π3)<－12. 又0≤t <24，因此7π6<π12t ＋π3<11π6， 即10<t <18.故在10时至18时实验室需要降温．9．已知函数f (x )＝3sin ωx ·cos ωx ＋cos 2ωx －12(ω>0)，其最小正周期为π2. (1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间[0，π2]上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．解 (1)f (x )＝3sin ωx ·cos ωx ＋cos 2ωx －12＝32sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋12－12＝sin(2ωx ＋π6)， 由题意知f (x )的最小正周期T ＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2， 所以ω＝2，所以f (x )＝sin(4x ＋π6)． (2)将f (x )的图象向右平移π8个单位长度后，得到y ＝sin(4x －π3)的图象；再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin(2x －π3)的图象，所以g (x )＝sin(2x －π3)，因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤2π3， 所以g (x )∈[－32，1] 又g (x )＋k ＝0在区间[0，π2]上有且只有一个实数解，即函数y ＝g (x )与y ＝－k 在区间[0，π2]上有且只有一个交点，由正弦函数的图象可知－32≤－k <32或－k ＝1， 解得－32<k ≤32或k ＝－1，所以实数k 的取值范围是(－32，32]∪{－1}.。

函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用知识梳理1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念 y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)，x ∈[0，＋∞)表示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相 AT ＝2πωf ＝1T ＝ω2πωx ＋φφ2．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示： x －φω －φω＋π2ωπ－φω 3π2ω－φω 2π－φω ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ) 0A－A3．函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的步骤 法一 法二1、y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象变换1． 弹簧振子的振动是简谐运动，在振动过程中，位移s 与时间t 之间的关系式为s ＝10sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫12t －π4，t ∈[0，＋∞)，则弹簧振子振动的周期为________，频率为________，振幅为________，相位是________， 初相是________．2．把y ＝sin 12x 的图象上点的横坐标变为原来的2倍得到y ＝sin ωx 的图象，则ω的值为( )A ．1B ．4 C.14 D ．23．(2010·全国卷Ⅱ)为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6的图象( )A ．向左平移π4个长度单位B ．向右平移π4个长度单位 C ．向左平移π2个长度单位 D ．向右平移π2个长度单位4、由y=sin2x 向______平移_______单位可得到y=cos2x 的图像.5、将函数y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ≤π)的图象向左平移π6个单位后，所得的函数恰好是偶函数，则φ的值是________．6．设函数f (x )＝cos ωx (ω＞0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )A.13 B ．3 C ．6D ．92、函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象的作法7、已知函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3.(1)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(2)说明y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到．【变式训练】 1.设f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6＋1.(1)画出f (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π2，π2上的图象；(2)求函数的单调区间；(3)如何由y ＝sin x 的图象变换得到f (x )的图象．3.求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式8. (1)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A ＞0，ω＞0)的部分图象如图(1)所示，则f (0)＝________.(2)如图(2)所示是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，|φ|∈⎝⎛⎭⎫0，π2图象的一部分，则f (x )的解析式为________．图(1) 图(2)9．设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π2)的部分图象如图所示，直线x ＝π6是它的一条对称轴，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 B ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3 D ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 10．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2，y ＝f (x )的部分图象如图，则f ⎝⎛⎭⎫π24等于( )A ．2＋3 B. 3 C.33D ．2－ 311．(2013·潍坊模拟)如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P (x ，y )．若初始位置为P 0⎝⎛⎭⎫32，12，当秒针从P 0(注：此时t ＝0)正常开始走时，那么点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π30t ＋π6B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π60t －π6 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π30t ＋π6 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π30t －π3 4.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质的应用12．函数y ＝sin(x ＋π2)，x ∈R ( )A ．在[－π2，π2]上是增函数 B ．在[0，π]上是减函数 C ．在[－π，0]上是减函数 D ．在[－π，π]上是减函数13．函数y ＝sin(3x －π4)的图象的一个对称中心是( )A ．(－7π12，0)B ．(－π12，0) C ．(7π12，0) D ．(11π12，0).________],[)62sin(.14条对称轴有在πππ--=x y15．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6(ω＞0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________． 16．(2012全国高考新课标卷)已知ω>0，函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)在(π2，π)上单调递减。

第四节 函数)sin(ϕω+=x A y 的 图像及三角函数模型的简单应用1．函数)sin(ϕω+=x A y 的有关概念2．用五点画)sin(ϕω+=x A y 一个周期内的简图用五点画)sin(ϕω+=x A y 一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示．3．函数x y sin =的图像经变换得到)sin(ϕω+=x A y 的图像的步骤如下4．三角函数模型的应用(1)根据图像建立解析式或根据解析式作出图像．(2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．(3)利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型，课前热身1．函数)32(π-=x ms y 在区间],2[ππ-上的简图是图中的( )2．要得到函数x y 2sin 3=的图像，可将函数]42cos(3=-=πx y 的图像 ( )A ．沿x 轴向左平移⋅8π个单位长度 B ．沿x 轴向右平移8π个单位长度C ．沿x 轴向左平移4π个单位长度D ．沿x 轴向右平移4π个单位长度3．函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图像如图则 （ ）4,2.πϕπω==A 6,3.πϕπω==B 4,4.πϕπω==c 45,2.πϕπω==D4．若函数)0,0()sin(>>++=ωϕωA m x A y 的最大值为4，最小值为0，最小正周期为,2π直线3π=x 是其图像的一条对称轴，则它的解析式是 ( ))64sin(4π+=⋅x y A 2)32sin(2++=⋅πx y B2)34sin(2++=⋅πx y C 2)64sin(2++=⋅πx y D5．弹簧振子的振动是简谐运动，在振动过程中，位移s 与时间t 之间的关系式为),421sin(10π-=t s),,0[+∞∈t 则弹簧振动的周期为 ，频率为 ，振幅为____，相位是____，初相是 ．课堂设计题型一 函数)sin(ϕω+=x A y 的图像【例1】已知函数⋅+=)32sin(2πx y(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图像； (3)说明)32sin(2π+=x y 的图像可由x y sin =的图像经过怎样的变换而得到．题型二 由图像求三角函数的解析式及对称元素【例2】已知函数++=)sin()(ϕωx A x f )2||,0,0(πϕω<>>A b 的图像的一部分如图所示．(1)求)(x f 的表达式；(2)试写出)(x f 图像的对称轴方程； (3)求)(x f 图像的对称中心，题型三 函数)sin(ϕω+=x A y 的图像与性质的综合问题【例3】 已知函数)sin()(ϕω+=x A x f )2||,0,0(πϕω<>>A 的部分图像如图所示．(1)求函数)(x f 的解析式； (2)令),67()(π+=x f x g 判断函数)(x g 的奇偶性，并说明理由，技法巧点1．图像变换的一般规律(1)平稳变换：①沿x 轴平移时，由)(x f y =变为)(ϕ+=x f y 时，“左加右减”即,0>ϕ左移；,0<ϕ右移， ②沿y 轴平移：由)(x f y =变为k x f y +=)(时，“上加下减”即,0>k 上移；,0<k 下移． (2)伸缩变换：①由x 轴伸缩：由)(x f y =变为)(x f y ω=时，点的纵坐标不变，横坐标变为原来的||1ω倍②沿y 轴伸缩：由)(x f y =变为)(x Af y =时，点的横坐标不变，横坐标变为原来的｜A ｜倍． 2．确定b x A y ++=)sin(ϕω的解析式的步骤 (1)求A ，b ．确定函数的最大值M 和最小值m ， 则⋅+=-=2,2mM b m M A(2)求w 确定函数的周期T ，则,2Tπω= 由图像可观察出4432T T T T 、、、等． (3)求鼽常用方法有：①代入法：把图像上的一个已知点代入1.)sin(++=ϕωx A y （此时，A ，w ，b 已知）或代入图像与直线b y =的交点求解．此法适用于ϕ的范围已知的情况． ②五点法：确定ϕ值时，往往以寻找“五点”中的第一零点)0,(ωϕ-作为突破口．具体如下：失误防范1．由函数)(sin R x x y ∈=的图像经过变换得到函数=y )sin(ϕω+x A 的图像，在具体问题中，可先平移变换后伸缩变换，也可以先伸缩变换后平移变换，但要注意：先伸缩，后平移时要把z 前面的系数提取出来．2．函数)sin(ϕω+=x A y 的图像和性质是本节考查的重点，也是高考热点，复习时尽可能使用数形结合的思想方法，如求解对称轴、对称中心和单调区间等．3．注意复合形式的三角函数的单调区间的求法，函数=y )0,0)(sin(>>+ωϕωA x A 的单调区间的确定，基本思想是把φω+x 看做一个整体，在单调性应用方面，比较大小是一类常见的题目，依据是同一区间内函数的单调性，随堂反馈1．已知a 是实数，则函数ax a x f sin 1)(+=的图像不可能是 ( )2．使奇函数)2(3)2sin().(θθ+∞++=x s x x f 在]0,4[π-上为减函数的护的值为 ( )3.π-A 6.π-B 65.πc 32.πD 3．若函数,,sin )2cos 1()(2R x x x x f ∈+=则)(x f 是 （ ）A ．最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数 D.最小正周期为2π的偶函数4．电流I(A)随时间)(s t 变化的函数)sin(ϕω+=t A I )20,0,0(πϕω<<>>A 的图像如图所示，则当s t 1001=时，电流是( )A A 5.- AB 5. AC 35. AD 10.5．若),0(1)sin()(πϕωϕω<>++=x A x f 对任意实数t ，都有),3()3(ππ+-=+t f t f 记,1)cos()(-+=ϕωx A x g 则=)3(πg课后作业一、选择题1．已知函数)2||,0)(sin(πϕωϕω<>+=x y 的部分图像如图所示，则( )6,1.πϕω==A 6,1.πϕω-==B 6,2.πϕω==c 6,2.πϕω-==D2．已知)0)(3sin()(>+=ωπωx x f 的图像与1-=y 的图像的相邻两交点间的距离为π ，要得到)(x f y =的图像，只需把x y 2cos =的图像 ( )A ．向右平移⋅12π个单位 B ．向右平移⋅125π个单位 C ．向左平移12π个单位 D ．向左平移125π个单位3．将函数x y 2sin =的图像向右平移4π个单位，再向上平移1个单位，所得图像的函数解析式是( ) x y A 2cos 2=⋅ x y B 2sin 2=⋅ )42sin(1π++=⋅x y C x y D 2cos =⋅4．关于函数),42sin()(π-=x x f 有下列命题：①其表达式可写成)42cos()(π+=x x f ；②直线8π-=x是)(x f 图像的一条对称轴；③)(x f 的图像可由x x g 2sin )(=的图像向右平移4π个单位得到；④存在∈α),,0(π使)3()(α+=+x f a x f 恒成立，其中真命题为( )A ．②③ B．①② C ．②④ D．③④ 5．已知函数)20,0()sin()(πϕωϕω<<>++=h x A x f 的图像如图所示，则=)(x f ( )2)42sin(4.++πx A 2)42sin(4.+--πx B 4)42(2.++πx ms C 4)42sin(2.++-πx D6.函数)2||,0)(sin()(πϕωϕω<>+=x x f 的最小正周期为π，且其图像向左平移6π个单位后得到的函数为奇函数，则函数)(x f 的图像 ( ) A ．关于点)0,12(π对称 B ．关于点125π=x 对称C ．关于点)0,125(π对称 D ．关于点12π=x 对称 二、填空题7．函数ϕωϕω,,)(sin()(A x A x f +=为常数，）0,0>>ωA 的部分图像如图所示，则)0(f 的值是8．已知函数),0)(sin()(πϕπωϕω<≤->+=x x f 的图像如图所示，则=)(x f 9．若将函数)3sin(2ϕ+=x y 的图像向右平移4π个单位后得到的图像关于点)0,3(π对称，则｜ϕ｜的最小值是三、解答题 10．已知函数+=ϕsin 2sin 21)(x x f )2sin(21cos 2ϕπϕ+-∞x s ),0(πϕ<<⋅其图像过点⋅)21,6(π (1)求ϕ的值；(2)将函数)(x f y =的图像上各点的横坐标缩短到原来的,21纵坐标不变，得到函数)(x g y =的图像，求函数)(x g 在]4,0[π上的最大值和最小值.11．已知函数R x x A x f ∈+=),sin()(ϕω（其中,0,0>>ωA )20πϕ<<的图像与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为,2π且图像上一个最低点为⋅-)2,32(πM (1)求)(x f 的解析式； (2)当]2,12[ππ∈x 时，求)(x f 的值域．12．已知函数)0(1)cos (sin cos 2)(>+-=ωωωωx x x x f的最小正周期为π. (1)求函数)(x f 图像的对称轴方程和单调递减区间； (2)若函数，)4()()(x f x f x g --=π求函数)(x g 在区间]43,8[ππ上的最小值和最大值.。

文档收集于互联网，已重新整理排版.word 版本可编辑.欢迎下载支持.知识点15 函数y=Asin （wx ϕ+）的图像及三角函数模型的简单应用 一、选择题1.（2014·浙江高考文科·Ｔ4）为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图象，可以将函数y x =的图像（ ）A ．向右平移12π个单位B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移12π个单位 D ．向左平移4π个单位【解题提示】 由函数sin()y A x ωϕ=+的图象平移与变换解决.【解析】选A.因为sin 3cos3)4y x x x π=+=-，故只需将y x =的图象向右平移12π个单位即可.2.（2014·浙江高考理科·Ｔ4）为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像（ ）A.向右平移4π个单位B.向左平移4π个单位C.向右平移12π个单位D.向左平移12π个单位【解题指南】由函数sin()y A x ωϕ=+的图象平移与变换解决.【解析】选D.因为sin 3cos3)4y x x x π=+=+，故只需将x y 3sin 2=的图象向左平移12π个单位即可.3.（2014·安徽高考文科·Ｔ7）若将函数()sin 2cos 2f x x x 的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（ ）A.8π B.4π C.83π D.43π【解题提示】平移后得到的函数是余弦函数。

【解析】选C ，将函数()sin 2cos 22sin(2)4f x x xx的图像向右平移ϕ个单位，所得函数为()2sin[2()]2sin[2(2)]44f x xx ，其图像关于y 轴对称，则()2cos 2f x x ，所以2=+42k ，所以ϕ的最小正值是38. 4.（2014·四川高考理科·Ｔ3）为了得到函数)12sin(+=x y 的图象，只需把函数x y 2sin =的图象上所有的点（ ）A.向左平行移动21个长度单位B. 向右平行移动21个长度单位C.向左平行移动1个长度单位D. 向右平行移动1个长度单位【解题提示】x y 2sin =−−−−−−−−→1向左平行移动个长度单位21sin[2()1]2y x =++sin(21)x =+. 【解析】选 A. 将x y 2sin =的图象上所有的点向左平行移动21个长度单位得到函数1sin[2()1]2y x =++sin(21)x =+.故选A.5.（2014·四川高考文科·Ｔ3）为了得到函数sin(1)y x =+的图象，只需把函数sin y x =的图象上所有的点（ ）A ．向左平行移动1个单位长度B ．向右平行移动1个单位长度C ．向左平行移动π个单位长度D ．向右平行移动π个单位长度【解题提示】sin y x =−−−−−−−−→向左平行移动1个长度单位sin(1)y x =+. 【解析】选A. 只需把sin y x =的图象上所有的点向左平行移动1个单位长度，便得到函数sin(1)y x =+的图象，选A.二、填空题6. （2014·上海高考文科·Ｔ12）【解题提示】 【解析】7.（2014·重庆高考文科·Ｔ13）将函数()sin()0,22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-≤< ⎪⎝⎭ 图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移6π个单位长度得到sin y x = 的图象，则6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭.【解题提示】先根据三角函数图象变换求出,ωϕ的值，然后求出实数6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值.【解析】函数()sin()f x x ωϕ=+ 图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，则函数变为sin(2)y x ωϕ=+，再向右平移6π个单位长度得到的函数为sin 2sin 2sin 63y x x x πωωϕωπϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以212,3k k Z ωωπϕπ=⎧⎪⎨-+=∈⎪⎩ 又因为0,22ππωϕ>-≤<可求得1,26πωϕ== ，所以1()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以1sin sin 626642f ππππ⎛⎫⎛⎫=•+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭答案：三、解答题8. (2014·湖北高考文科·T13)某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t (单位:h )的变化近似满足函数关系: f (t )错误!未找到引用源。

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考点14 函数y=Asin （wx ϕ+）的图象及三角函数模型的简单应用一、选择题1.（2014·浙江高考文科·Ｔ4）为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图象，可以将函数y x 的图像（ ）A ．向右平移12π个单位B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移12π个单位 D ．向左平移4π个单位【解题提示】 由函数sin()y A x ωϕ=+的图象平移与变换解决.【解析】选A.因为sin 3cos3)4y x x x π=+=-，故只需将y x =的图象向右平移12π个单位即可.2.（2014·浙江高考理科·Ｔ4）为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像（ ）A.向右平移4π个单位B.向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12π个单位【解题指南】由函数sin()y A x ωϕ=+的图象平移与变换解决.【解析】选D.因为sin 3cos3)4y x x x π=+=+，故只需将x y 3sin 2=的图象向左平移12π个单位即可.3.（2014·安徽高考文科·Ｔ7）若将函数()sin 2cos 2f x x x =+的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（ ）A.8π B.4π C.83π D.43π 【解题提示】平移后得到的函数是余弦函数。

【解析】选C ，将函数()sin 2cos 2sin(2)4f x x x x p=++的图像向右平移ϕ个单位，所得函数为())](2)]44f x x x p pj j -+=+-，其图像关于y 轴对称，则()f x x ，所以2=+42k p p j p -，所以ϕ的最小正值是38p. 4.（2014·四川高考理科·Ｔ3）为了得到函数)12sin(+=x y 的图象，只需把函数x y 2sin =的图象上所有的点（ ）A.向左平行移动21个长度单位B. 向右平行移动21个长度单位C.向左平行移动1个长度单位D. 向右平行移动1个长度单位【解题提示】x y 2sin =→1向左平行移动个长度单位21sin[2()1]2y x =++sin(21)x =+. 【解析】选 A. 将x y 2sin =的图象上所有的点向左平行移动21个长度单位得到函数1sin[2()1]2y x =++sin(21)x =+.故选A.5.（2014·四川高考文科·Ｔ3）为了得到函数sin(1)y x =+的图象，只需把函数sin y x =的图象上所有的点（ ）A ．向左平行移动1个单位长度B ．向右平行移动1个单位长度C ．向左平行移动π个单位长度D ．向右平行移动π个单位长度【解题提示】sin y x =−−−−−−−−→向左平行移动1个长度单位sin(1)y x =+. 【解析】选A. 只需把sin y x =的图象上所有的点向左平行移动1个单位长度，便得到函数sin(1)y x =+的图象，选A.二、填空题6. （2014·上海高考文科·Ｔ12）[]sin 10,2______.x x π=方程在区间上的所有解的和等于【解题提示】ωϕ首先将左边函数化为Asin(x+)的形式，再根据三角函数的图像特点可求.【解析】152sin()1,sin(),2+332366117.2637.3x x x xππππππππππ=+=+=+=令所以即或解得x=或，所以所有解的和为答案：7.（2014·重庆高考文科·Ｔ13）将函数()sin()0,22f x xππωϕωϕ⎛⎫=+>-≤<⎪⎝⎭图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移6π个单位长度得到siny x=的图象，则6fπ⎛⎫=⎪⎝⎭.【解题提示】先根据三角函数图象变换求出,ωϕ的值，然后求出实数6fπ⎛⎫⎪⎝⎭的值.【解析】函数()sin()f x xωϕ=+图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，则函数变为sin(2)y xωϕ=+，再向右平移6π个单位长度得到的函数为sin2sin2sin63y x x xπωωϕωπϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+=⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以212,3k k Zωωπϕπ=⎧⎪⎨-+=∈⎪⎩又因为0,22ππωϕ>-≤<可求得1,26πωϕ==，所以1()sin26f x xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭所以1sin sin62664fππππ⎛⎫⎛⎫=∙+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭答案：2三、解答题8. (2014·湖北高考文科·T13)某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系:错误！未找到引用源。

考点15函数y=Asin的图象及三角函数模型的简单应用函数y = Asin(wx+￠)表示一个正弦函数，其中A为振幅，w为角速度，￠为初相位。

首先，我们来看下正弦函数的图象：正弦函数的图象是一条波浪线，它在x轴上的周期为2π/w。

振幅A 决定了波浪的高度。

接下来，我们来看一下参数A、w、￠对正弦函数图象的影响：1.参数A：振幅A决定了正弦函数的波动幅度。

如果A增大，波浪的高度也会增大；如果A减小，波浪的高度也会减小。

如果A等于0，表示没有波动，图象就是一条直线。

2.参数w：角速度w决定了正弦函数的周期。

如果w增大，波浪的周期变小；如果w减小，波浪的周期变大。

如果w等于0，表示没有周期性的波动，图象就是一条水平线。

3.参数￠：初相位￠决定了正弦函数的起始位置。

如果￠增大，图象向左移动；如果￠减小，图象向右移动。

接下来，我们来看一些简单的应用：1.表示周期性变化的函数：正弦函数可以用来表示一些周期性变化的现象，比如季节变化、日出日落时间、海洋潮汐等。

通过调整参数A、w、￠来适应不同的情况。

2.声音和音乐：音乐中的音调是由声音的频率决定的，而频率与正弦函数的周期有关。

通过改变正弦函数的周期，可以改变音调的高低。

3.电子信号：正弦函数在电子工程中有广泛的应用。

例如，交流电信号正是一个正弦函数。

通过调整正弦函数的振幅和周期，可以控制电流或电压的大小和频率。

4.振动和波动：正弦函数可以用来描述物体的振动和波动现象。

比如，弹簧的振动、水波的传播等。

通过调整正弦函数的振幅、周期和起始位置，可以描述不同类型的振动和波动。

在实际应用中，可以通过调整参数A、w、￠来适应不同的情况和需求。

正弦函数模型在物理、工程、生物学等领域有着广泛的应用。

知识点15函数y 二Asin （W% + 0）的图像及三角函数模型的简单应用 一、选择题为了得到函数y = sin3“cos3x 的图象，可以将函数y = V5cos3兀的图71A.向右平移12个单位71B.向右平移4个单位71C.向左平移12个单位71D.向左平移°个单位【解题提示】 由函数丁 = Asin （处+ 0）的图象平移与变换解决.兀故只需将）匸血cos3尢的图象向右平移12个单位即可.2. （2014 •浙江高考理科・T4）为了得到函数^ = sin3x+cos3x 的图像，可以将函数y = V2sin3x 的图像（）【解题指南】由函数）'=人"11（亦+0）的图彖平移与变换解决. y = sin 3x + cos 3x = >/2 sin （3x + —） rr .—【解析】选D.因为 4 ,故只需将y =的图象向左平移12个单位即可.3. （2014 •安徽高考文科• T7）若将函数/（x ） =sin2x+cos2x 的图像向右平移0个单位, 所得图像关于y 轴对称，则炉的最小正值是（）A. -B. -C. —D.— 8 48 4【解题提示】平移后得到的函数是余弦函数。

【解析】选C,将函数/（x ） = sin 2x +cos 2x = ^2 sin （2x +^-）的图像向右平移0个单位，所1. （2014・浙江高考文科・T4） 【解析】选A •因为71A. 向右平移4个单位71B. 向左平移°个单位7CC.向右平移12个单位71D.向左平移12个单位得函数为 /(x) = >/2sin[2(x-j )+—] = ^2sin[2x+(^--2/ )],其图像关于 y 轴对称，则4 4/(x) = V2 cos ,所以中二》+切，所以卩的最小正值是*・4. (2014 •四川高考理科・T3)为了得到函数y = sin(2x + l)的图象，只需把函数y = sin2x 的图象上所有的点()A.向左平行移动专个长度单位B.向右平行移动专个长度单位2 2C.向左平行移动1个长度单位D.向右平行移动1个长度单位【解析】选A.将y = sin 2x 的图象上所有的点向左平行移动f 个长度单位得到函数 y 二 sin[2(x +丄) + 1] =sin(2x + l).故选 A.5. (2014 •四川高考文科・T3)为了得到函数y = sin(x+l)的图象，只需把函数y = sinx的图象上所有的点()A.向左平行移动1个单位长度B.向右平行移动1个单位长度C.向左平行移动©个单位长度 D.向右平行移动龙个单位长度【解题提示】 尸si” 向左平行移动仆度单位》y = sin (兀+1)・【解析】选A.只需把j = sinx 的图象上所有的点向左平行移动1个单位长度，便得到函 数y = sin(x + l)的图象，选A.二、填空题6. (2014・上海高考文科• T 12)方程sin^ + V3cosx = l 在区间[0,2刘上的所有解的和等于 ___________ . 【解题提示】首先将左边函数化为Asindx+炉)的形式，再根据三角函数的图像特点可求. 【解析】令 f (x)=sinx+>/3 cosx = 2sin(x+—) = 1,所以 sin(x + —) = —+ —= —3^2^+ —3 3 2 3 6 6解得x 二仝或凹，所以所有解的和为互.2637 71答 .【解题提示】y = sin 2x向杆行移动朴长度单位y = sin[2(x+—) + 1] = sin(2x +1).7. (2014 •重庆高考文科・T13)将函数/3 = sin (0r + 0)(D>G~<(p<-\图象上每 I 22 丿一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移£个单位长度得到y = sinx 6 的图象，则f(- = _____________________ ・16丿(兀、 【解题提示】先根据三角函数图象变换求出00的值，然后求出实数/ -的值.16丿【解析】函数/(Q=sin@x+久 图彖上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变, 则函数变为y = s i n 匝①炉,再向右平移兰 个单位长度得到的函数为 6/ 、71y = s 1 n colx ——+(p< 6丿2Q = 1可求得 3 = \(P = 2，所以 /(x) = sin2 6答案：¥三、解答题& (2014 •湖北高考文科・T13)某实验室一天的温度弹位:。

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考点14 函数y=Asin（xωϕ+）的图象及三角函数模型的简单应用一、选择题1.(2015·新课标全国卷Ⅰ理科·T8)函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为( )A.))(43,41(Zkkk∈+-ππ B. ))(432,412(Zkkk∈+-ππC))(43,41(Zkkk∈+- D. ))(432,412(Zkkk∈+-【解题指南】根据图象,利用五点法求出ω,φ的值,确定f(x)的解析式,求出f(x)的单调递减区间.【解析】选D.由五点作图知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+2345241πϕϖπϕϖ,,解得ω=π,4πϕ=，所以)4cos()(ππ+=xxf令zkkxk∈+<+<,242πππππ，解得432412+<<-kxk，zk∈，故单调递减区间为))(432,412(zkkk∈+-.2.(2015·新课标全国卷Ⅰ文科·T8)函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为( )A.(k π−14,k π+34)(k ∈Z) B.(2k π−14,2k π+34)(k ∈Z) C.(k −14,k +34)(k ∈Z) D.(2k −14,2k +34)(k ∈Z)【解题指南】根据图象,利用五点法求出ω,φ的值,确定f(x)的解析式,求出f(x)的单调递减区间.【解析】选 D.由五点作图知,{14ω+φ=π2,54ω+φ=3π2,解得ω=π,φ=π4,所以f(x)=cos (πx +π4),令2k π<πx+π4<2k π+π,k ∈Z,解得2k-14<x<2k+34,k ∈Z,故单调递减区间为(2k −14,2k +34)(k ∈Z).3.(2015·山东高考理科·T3) 要得到函数sin 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 4y x=的图象A. 向左平移12π个单位 B. 向右平移12π个单位 C. 向左平移3π个单位 D. 向右平移3π个单位【解题指南】对于()sin y A x ωφ=+一类的图象的左右平移问题，一定要将函数变形为sin y A x φωω⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦再加以判断，即针对x 的变化了φω个单位（左加右减）.【解析】选B. 要得到sin 4()12sin 43y x x ππ⎛⎫=-⎡⎤=-⎢⎥⎣⎪⎝⎭⎦ 的图象，只需将sin 4y x =的图象向右平移12π个单位， 4.(2015·山东高考文科·T4) 要得到函数sin 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 4y x =的图象A. 向左平移12π个单位 B. 向右平移12π个单位 C. 向左平移3π个单位 D. 向右平移3π个单位【解题指南】对于()sin y A x ωφ=+一类的图象的左右平移问题，一定要将函数变形为sin y A x φωω⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦再加以判断，即针对x 的变化了φω个单位（左加右减）.【解析】选B. 要得到sin 4()12sin 43y x x ππ⎛⎫=-⎡⎤=-⎢⎥⎣⎪⎝⎭⎦ 的图象，只需将sin 4y x =的图象向右平移12π个单位， 5. (2015·陕西高考理科·T3)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin(π6x+φ)+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为 ( )A.5B.6C.8D.10【解题指南】本题考查由y=Asin(ωx+φ)+k 的部分图像确定函数的最大值,可得y max =3+k ,y min =k-3,整理可求最大值.【解析】选C.不妨设水深的最大值为M,由题意结合函数图像可得3+k=M ① k-3=2 ② 解之得M=8.6.（2015·安徽高考理科·T10）已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（A ，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ ）（A ）()()()220f f f <-< （B ）()()()022f f f <<-（C ）()()()202f f f -<< （D ）()()()202f f f <<-【解题指南】求出函数f(x)的解析式，利用正弦函数的图像和性质进行判断。

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考点14 函数y=Asin （wx+￠）的图像及三角函数模型的简单应用一、选择题1.（2011·山东高考理科·Ｔ6）若函数()sin f x x ω= (ω>0)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω= （A ）3 （B ）2 （C ）32 （D ）23【思路点拨】由正弦函数图象，先求周期，再求ω 【精讲精析】选C.由解析式看出，图象过原点，所以34π=T ，34π=T ，342πωπ=，解得23=ω 2.（2011·山东高考文科·Ｔ6）若函数()sin f x x ω= (ω>0)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω= (A)23 (B)32(C) 2 (D)3 【思路点拨】由正弦函数图象，先求周期，再求ω 【精讲精析】由题意知,函数在3x π=处取得最大值1,所以1=sin3ωπ, 32,6,322k k k Z πωππω∴=+=+∈. 故选B. 3．（2011·陕西高考理科·T3）设函数()f x （x ∈R ）满足()()f x f x -=，(2)()f x f x +=，则()y f x =的图象可能是【思路点拨】根据题意，确定函数()y f x =的性质，再判断哪一个图像具有这些性质．【精讲精析】选B 由()()f x f x -=得()y f x =是偶函数，所以函数()y f x =的图象关于y 轴对称，可知B ，D 符合；由(2)()f x f x +=得()y f x =是周期为2的周期函数，选项D 中图像的最小正周期是4，不符合，选项B 的图像的最小正周期是2，符合，故选B ．4.（2011·天津高考文科·Ｔ7）已知函数()2sin(),f x x x R w j =+?，其中0,,()f x w p j p >-<?若的最小正周期为6π，且当2x p=时，()f x 取得最大值，则 （ ） A ．()f x 在区间[2,0]π-上是增函数 B ．()f x 在区间[3,]ππ--上是增函数C ．()f x 在区间[3,5]ππ上是减函数D ．()f x 在区间[4,6]ππ上是减函数【思路点拨】求出函数()f x 的解析式，再根据三角函数的性质判断. 【精讲精析】选A,由题意可得13w=，当3p j =-，所以1f (x)2sin(x )33p =+，当1x 2332p p p-??，即5-22x pp＃时函数是增函数，故选A. 二、解答题5.（2011·福建卷理科·Ｔ16）(本小题满分13分)已知等比数列{a n }的公比q=3，前3项和313.3S = （I ）求数列{a n }的通项公式；（II ）若函数()sin(2)(0,0)f x A x A p ϕϕπ=+><<<在6x π=处取得最大值，且最大值为a 3，求函数f （x ）的解析式.【思路点拨】（1）由公比q 和3S 可求得{}n a 的首项1a 的值，根据1a 和q 的值写出{}n a 的通项公式； （2）由{}n a 的通项公式得到3a 的值，从而确定A 的值，若函数()f x 在6x π=时取到最大值，则sin(2)16πϕ⨯+=，再给合0ϕπ<<确定ϕ值.【精讲精析】(I)由3133,3q S ==得31(13)13,133-=-a ，解得11.3a = 所以123133.n n n a --⨯==（II ）由（1）可知23,n n a -=所以33a =.因为函数()f x 的最大值为3，所以3A =. 因为当6x π=时()f x 取得最大值，所以sin(2) 1.6πϕ⨯+=又0,ϕπ<<故.6πϕ=所以函数()f x 的解析式为()3sin(2)6f x x π=+6.（2011·福建卷文科·Ｔ21）设函数f （θ）cos θθ+，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点P （x,y ），且0θπ≤≤. （I ）若点P的坐标为1(2，求f ()θ的值； （II ）若点P （x ，y ）为平面区域Ω：x+y 1x 1y 1≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩.上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数()f θ的最小值和最大值.【思路点拨】(1)由点P 坐标和三角函数的定义可求得sin θ和cos θ的具体值，代入()f θ得()f θ的值；（2）画出平面区域111x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，结合图形可以看出点P 横坐标的取值范围，从而可求得θ的取值范围，作为()f θ的定义域，将()f θ化为()sin()f A θωθϕ+＝的形式，然后利用三角函数的图象及性质求()f θ的值域.【精讲精析】（1）由点P的坐标和三角函数的定义可得sin 1cos 2⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩θθ于是1()cos 2.22f θθθ=+=+= （2）作出平面区域Ω（即三角形区域ABC ）如图，其中A （1,0），B （1,1），C （0,1）. 于是0.2πθ≤≤又()cos 2sin().6f πθθθθ=+=+且2663πππθ≤+≤， 故当,62ππθ+=即3πθ=时，()f θ取得最大值，且最大值等于2；当66ππθ+=，即0θ=时，()f θ取得最小值，且最小值等于1.7.（2011·北京高考理科·T15）(13分)已知函数()4cos sin()16f x x x π=+-.（Ⅰ）求 ()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[,]64ππ-上的最大值和最小值. 【思路点拨】先利用和角公式展开，再利用降幂公式、化一公式转化为正弦型函数，最后求周期及闭区间上的最值.【精讲精析】（Ⅰ）因为()4cos sin()16f x x x π=+-14cos (sin cos )122x x x =+-222cos 1x x =+-2cos 22sin(2)6x x x π=+=+， 所以()f x 的最小正周期为π. （Ⅱ）因为64x ππ-≤≤，所以22663x πππ-≤+≤.于是，当262x ππ+=，即6x π=时，()f x 取得最大值2；当266x ππ+=-，即6x π=-时，()f x 取得最小值-1.。