8.5.1平方差公式

公式通常表示为 (a^2 b^2 = (a+b)(a-b))，其 中 (a) 和 (b) 是实数。
公式应用场景
平方差公式在数学、物理 和工程等领域有广泛应用 ，用于简化计算和解决实 际问题。
公式形式
公式结构
平方差公式由两个因子组 成，即 (a+b) 和 (a-b)， 它们相乘得到 (a^2 b^2)。
代数证明通常采用数学归纳法或反证法，通过逐步推导和化简，最终得出结论。
代数证明是数学中最常用的证明方法之一，它能够严谨地证明数学定理和公式的正 确性。
几何证明
几何证明是通过几何图形和图 形性质来证明平方差公式的正 确性。
几何证明通常采用图形变换和 相似三角形等几何知识，通过 图形分析和推理，得出结论。
详细描述
让学生解决一些稍微复杂的平方差公式 问题，例如计算$(a+2b)^2 - (a2b)^2$。
综合练习
详细描述
总结词：综合运用平方差公式和 其他数学知识解决问题
让学生解决一些涉及到平方差公 式和其他数学知识的复杂问题， 例如计算一个多项式的平方差。
让学生解决一些涉及到平方差公 式的几何问题，例如计算两个相 似三角形的面积差。
平方和公式
平方和公式
$1^2 + 2^2 + 3^2 + ldots + n^2 = frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
推导过程
利用归纳法，结合等差数列求和公 式和平方差公式进行推导。
应用场景
在数学、物理和工程领域中，平方 和公式常用于计算一系列数字的平 方和。
平方差公式的推广
平方差公式推广
2023 WORK SUMMARY

$(a+b-c)^2 = a^2 + b^2 - c^2 + 2ab - 2bc$
$(a-b+c)^2 = a^2 - b^2 + c^2 + 2(ab)c$
平方差公式的其他变种形式
$(a+b)^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ $(a-b)^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$
平方差公式课件
目录
CONTENTS
• 平方差公式的基本概念 • 平方差公式的推导过程 • 平方差公式的证明 • 平方差公式的应用举例 • 平方差公式的变种 • 总结与回顾
01 平方差公式的基本概念
平方差公式的定义
总结词
平方差公式是数学中一个重要的恒等 式，用于表示两个数的平方差与这两 个数之间的关系。
$(a+b+c)^3 = (a+b+c)(a^2 - ab + b^2 - ac + bc - c^2)$
06 总结与回顾
本节课的重点回顾
01
02
03
04
平方差公式的形式和结 构
平方差公式的推导过程
平方差公式的应用范围 和条件
平方差公式的代数表示 和几何意义
本节课的难点解析
01
02
03
04
如何理解和记忆平方差公式的 形式和结构
目标
证明该公式成立
证明的步骤
01
02
03
步骤1
展开左侧，得到 $(a+b)(a-b) = a^2 b^2 + ab - ab$
步骤2
合并同类项，得到 $(a+b)(a-b) = a^2 b^2$

几何图形面积计算
计算矩形面积
在几何图形中，矩形的面积可以表示 为长乘以宽，即 $S = ab$。当长和 宽相差不大时，可以利用平方差公式 近似计算面积。
计算平行四边形面积
平行四边形的面积可以表示为底乘以 高，即 $S = ah$。当底和高相差不大 时，同样可以利用平方差公式进行近 似计算。
实际问题解决策略
公式形式及推导过程
公式形式： (a+b)(ab)=a²-b²
推导过程
=a²ab+ab-b²
=a²-b²
左边 =(a+b)(ab)
=右边
适用范围及注意事项
适用范围：平方差公式适用于所有实数 范围内的运算，包括正数、负数以及0。
在进行复杂运算时，可以结合其他公式 或定理进行推导和计算。
在进行因式分解时，需要注意符号问题 ，确保分解后的因式与原式相等。
完全平方公式定义
阐述完全平方公式的概念， 即形如$(a+b)^2$或$(ab)^2$的代数式展开后得 到的公式。
完全平方公式推导
通过代数运算，展示如何 从$(a+b)^2$和$(ab)^2$推导出完全平方公 式。
完全平方公式应用
举例说明完全平方公式在 因式分解、化简求值等问 题中的应用。
立方差、立方和公式推导
THANKS
感谢观看
06
总结回顾与展望未来
关键知识点总结回顾
平方差公式的基本形式
$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，其中$a$和$b$是任意实数。
平方差公式的推导过程
利用分配律和整式的乘法法则，可以将$(a + b)(a - b)$展开为 $a^2 - ab + ab - b^2$，化简后得到$a^2 - b^2$。

（3）已知(x y)2 25, (x y)2 16, 则xy ________。
（4）已知x2＋y2 ＝13，xy＝6， 求 x＋y
5.完全平方式 （1）已知，x2______。 （2）已知，4x2 kxy 25y2是完全平方式，
则k ___________。 (3)x2 12x m是完全平方式,则m _____ (4)请把4x4 1添加一项后是完全平方式， 可以添加____________.
7.计算： (1)(a b c)2 (2)(a b c)(a b c) (3)(a b c)(a b c)
(a+b)2= a2 +2ab+b2 公式变形1： (a-b)2= a2 - 2ab+b2
a2 +b2 =(a+b)2 -2ab
a2 +b2 = (a-b)2 +2ab
a2 b2 (a b)2 (a b)2 2
(a+b)2= a2 +2ab+b2 公式变形2： (a-b)2= a2 - 2ab+b2
(a b)2 (a b)2 4ab (a b)2 (a b)2 4ab
(a b)2 (a b)2 4ab
4.公式变形的应用：
（1）已知a b 1, ab 2, 则a2 b2 ________。
（2）已知x y 9, xy 8, 则x2 y2 ________。
公式推广：
(a b c)2 a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc (a b c)2 a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc
平方差公式和完全 平方公式变式

2
2
解:原式= a 2b 3c a 2b 3c a 2 b 3 c a 2 b 3 c
=2a(-4b+6c)
8ab 12ac
2、化简求值：
（） 1 (x 3) ( x 1)( x 2), 其中x 1
2 2
(a+b)2= a2 +2ab+b2
公式变形1：
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
2
a +b =(a+b) -2ab
a +b = (a-b) +2ab
( a b) ( a b) a b 2
2
2
(a+b)2= a2 +2ab+b2
公式变形2：
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
2
(2)(a b) (a b)(a b) 2b 1 其中a 3, b 3
2
2
3、在横线上添上适当的代数式，使 等式成立
(1)a b (a b) _____
2 2 2
(2)a b (a b) _____
2 2 2
(3)(a b) (a b) _______
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
谐音记忆：
首平方，末平方，首末2倍中间放
1、利用公式进行计算：
(1)( x 2 y)( x 2 y) (2)(a 2b)(2b a) (3)(2a 3b)
2 2
(4)(2 x y)
4.计算: (a-2b+3c) -(a+2b-3c)

练习 改正错误 (1)(x+3)(x-3)=x2-3 错，x2-9 (2)(-3a-1)(3a-1)=9a2-1 错，1-9a2 (3)(4x+3y)(4x-3y)=4x2-3y2 错，16x2-9y2 (4)(2xy-3)(2xy+3)=4xy2-9 错，4x2y2-9
看谁能用两判断下列式子能否用平方差公式计算：
(1) (a+2b)(a−2b) ； (不能) (没有相同的项) (2) (a+2b)(−a+2b) ； (能) = (2b)2 −a2 = 4b2 −a2 (3) (2a+b)(b+2a)； (不能)（没有互为相反数的项） (4) (a−3b)(a+3b) ； (能) = −(a2 −9b2) = −a2 + 9b2 ； (5) (2x+3y)(3y−2x)． (不能)
（5）(−3x+y)(3x+y) =y2－9x2
（6）(y−x)(−x−y) =x2－y2
例2 利用平方差公式计算：
（1）102×98 解：（1）102×98
=(100 +2) ×(100 −2)
（2）1992-1982 （2）1992-1982
=(199+198) ×(199-198)
=1002 − 22 =10 000 − 4 =9 996
Bye bye
已知：x-y=2，y-z=2，x+z=14，求x2-z2．
解：x2-z2=(x+z)(x-z) =(x+z)(x-y+y-z) =14×(2+2) =14×4 =56．
课堂小结
平方差公式 (a+b)(a−b)=a2−b2．

(x-y)2=49
1、 这里分别把”x+y”、”x-y”看作一个 整体，运用整体思想求解
2、逆用平方差公式
这节课你的收获是什么？
1、平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2即两个数的和与 这两个数的差的积，等于这两个数的平方差， 既会正着用，也会逆着用
2、判断两个多项式相乘能否用平方差公式的方法： 先看成性质符号，再看成运算符号
8.5乘法公式
（第一课时 平方差公式）
回忆旧知:
1.运算性质:
(am)n= amn
(ab) n= anbn
2.口算:
(1)(-a)3= -a3
(2)(-3x3)2= 9x6
(3)(a+b)(c-d)= ac-ad+bc-bd
3.填空
符号“+-”既可看成 (性质 ) 符号，又可看成 ( 运算 )符号
考考你：
1、计算：（每题2分，共4分）
(1) (5x+y)(5x-y） （2）(3m-2n)(-3m-2n)
（3)(4a+3b)(-3b+4a) (4)(a-b)(-b-a)
2、用平方差公式进行计算：（每题2分，共4分）
(1) 395×405
(2)49.8×50.2
3、解方程：（3分）
8x2+x-2(2x-3)(2x+3)=1
答案：
1、(1) 25x2-y2 (2) 4n2-9m2
(3)16a2-9b2 (4)b2-a2 2、(1) 159975 (2)2499.96 3、x=-17
1 4
作业：
习题A组2、3、4题,B组2题
谢谢合作
用微笑告诉别人，今天的我，比昨天更强。瀑布跨过险峻陡壁时，才显得格外雄伟壮观。勤奋可以弥补聪明的不足，但聪明无法弥补懒惰的缺陷。孤独是 每个强者必须经历的坎。有时候，坚持了你最不想干的事情之后，会得到你最想要的东西。生命太过短暂，今天放弃了明天不一定能得到。只有经历人生 的种种磨难，才能悟出人生的价值。没有比人更高的山，没有比脚更长的路学会坚强，做一只沙漠中永不哭泣的骆驼！一个人没有钱并不一定就穷，但没 有梦想那就穷定了。困难像弹簧，你强它就弱，你弱它就强。炫丽的彩虹，永远都在雨过天晴后。没有人能令你失望，除了你自己人生舞台的大幕随时都 可能拉开，关键是你愿意表演，还是选择躲避。能把在面前行走的机会抓住的人，十有八九都会成功。再长的路，一步步也能走完，再短的路，不迈开双 脚也无法到达。有志者自有千计万计，无志者只感千难万难。我成功因为我志在成功！再冷的石头，坐上三年也会暖。平凡的脚步也可以走完伟大的行程。 有福之人是那些抱有美好的企盼从而灵魂得到真正满足的人。如果我们都去做自己能力做得到的事，我们真会叫自己大吃一惊。只有不断找寻机会的人才 会及时把握机会。人之所以平凡，在于无法超越自己。无论才能知识多么卓著，如果缺乏热情，则无异纸上画饼充饥，无补于事。你可以选择这样的“三 心二意”：信心恒心决心；创意乐意。驾驭命运的舵是奋斗。不抱有一丝幻想，不放弃一点机会，不停止一日努力。如果一个人不知道他要驶向哪个码头， 那么任何风都不会是顺风。行动是理想最高贵的表达。你既然认准一条道路，何必去打听要走多久。勇气是控制恐惧心理，而不是心里毫无恐惧。不举步， 越不过栅栏；不迈腿，登不上高山。不知道明天干什么的人是不幸的！智者的梦再美，也不如愚人实干的脚印不要让安逸盗取我们的生命力。别人只能给 你指路，而不能帮你走路，自己的人生路，还需要自己走。勤奋可以弥补聪明的不足，但聪明无法弥补懒惰的缺陷。后悔是一种耗费精神的情绪，后悔是 比损失更大的损失，比错误更大的错误，所以，不要后悔！复杂的事情要简单做，简单的事情要认真做，认真的事情要重复做，重复的事情要创造性地做。 只有那些能耐心把简单事做得完美的人，才能获得做好困难事的本领。生活就像在飙车，越快越刺激，相反，越慢越枯燥无味。人生的含义是什么，是奋 斗。奋斗的动力是什么，是成功。决不能放弃，世界上没有失败，只有放弃。未跌过未识做人，不会哭未算幸运。人生就像赛跑，不在乎你是否第一个到 达终点，而在乎你有没有跑完全程。累了，就要休息，休息好了之后，把所的都忘掉，重新开始！人生苦短，行走在人生路上，总会有许多得失和起落。 人生离不开选择，少不了抉择，但选是累人的，择是费人的。坦然接受生活给你的馈赠吧，不管是好的还是坏的。现在很痛苦，等过阵子回头看看，会发 现其实那都不算事。要先把手放开，才抓得住精彩旳未来。可以爱，可以恨，不可以漫不经心。我比别人知道得多，不过是我知道自己的无知。你若不想 做，会找一个或无数个借口；你若想做，会想一个或无数个办法。见时间的离开，我在某年某月醒过来，飞过一片时间海，我们也常在爱情里受伤害。1、 只有在开水里，茶叶才能展开生命浓郁的香气。人生就像奔腾的江水，没有岛屿与暗礁，就难以激起美丽的浪花。别人能做到的事，我一定也能做到。不 要浪费你的生命，在你一定会后悔的地方上。逆境中，力挽狂澜使强者更强，随波逐流使弱者更弱。凉风把枫叶吹红，冷言让强者成熟。努力不不一定成 功，不努力一定不成功。永远不抱怨，一切靠自己。人生最大的改变就是去做自己害怕的事情。每一个成功者都有一个开始。勇于开始，才能找到成功的 路。社会上要想分出层次，只有一个办法，那就是竞争，你必须努力，否则结局就是被压在社会的底层。后悔是一种耗费精神的情绪后悔是比损失更大的 损失，比错误更大的错误所以不要后悔。每个人都有潜在的能量，只是很容易:被习惯所掩盖，被时间所迷离,被惰性所消磨。与其临渊羡鱼，不如退而结网。 生命之灯因热情而点燃，生命之舟因拼搏而前行。世界会向那些有目标和远见的人让路。不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海。骐骥一跃，不 能十步；驽马十驾，功在不舍。锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。若不给自己设限，则人生中就没有限制你发挥的藩篱。赚钱之道很多，但是 找不到赚钱的种子，便成不了事业家。最有效的资本是我们的信誉，它小时不停为我们工作。销售世界上第一号的产品——不是汽车，而是自己。在你成