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求极限的各种方法
1．约去零因子求极限
例1：求极限1
1
lim 41--→x x x
【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。
【解】6)1)(1(lim 1
)
1)(1)(1(lim
2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限
例2：求极限1
3lim 32
3+-∞→x x x x
【说明】
∞
∞
型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 【解】3131lim 13lim 3
11323=
+-=+-∞→∞→x x
x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方；
(2) ⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧
=<∞>=++++++----∞→n
m b a n m n m b x b x b a x a x a n n
m m m m n n n n x 0lim 01101
1 3．分子(母)有理化求极限
例3：求极限)13(lim 22+-++∞
→x x x
【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 【解】1
3)
13)(13(lim
)13(lim 2
2
22222
2
+++++++-+=+-++∞
→+∞
→x x x x x x x x x x
01
32lim
2
2
=+++=+∞
→x x x
例4：求极限3
sin 1tan 1lim
x
x
x x +-+→ 【解】)
sin 1tan 1(sin tan lim sin 1tan 1lim
3030
x x x x
x x x x x x +++-=+-+→→
41
sin tan lim 21sin tan lim
sin 1tan 11
lim
30300
=-=-+++=→→→x x x x x x x
x x x x 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．是解题的关键
4．应用两个重要极限求极限
两个重要极限是1sin lim 0=→x
x
x 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1
0)1(lim )11(lim )11(lim ，第
一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。
例5：求极限x
x x x ⎪⎭
⎫
⎝⎛-++∞→11lim
【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X
1
+，最后凑指数部分。
【解】22
21212112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x
x x
x =⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+∞→+∞→+∞→ 例6：(1)x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→211lim ；(2)已知82lim =⎪⎭⎫
⎝⎛-++∞
→x
x a x a x ，求a 。
5．用等价无穷小量代换求极限 【说明】
(1)常见等价无穷小有：
当0→x 时,~)1ln(~arctan ~arcsin ~tan ~sin ~x x x x x x +1e x
-,
()abx ax x x b
~11,2
1~
cos 12-+-； (2) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式．．
； (3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选．．．．．
。 例7：求极限0ln(1)
lim
1cos x x x x →+=-
【解】 002
ln(1)lim lim 211cos 2
x x x x x x
x x →→+⋅==-.
例8：求极限x
x
x x 30tan sin lim -→
【解】x x x x 30tan sin lim -→613lim 31cos lim sin lim 22
2
102030-=-==-=-=→→→x
x x x x x x x x x
6．用罗必塔法则求极限
例9：求极限2
20)
sin 1ln(2cos ln lim x x x x +-→
【说明】
∞∞或0
型的极限,可通过罗必塔法则来求。 【解】220)sin 1ln(2cos ln lim x x x x +-→x x x
x x x 2sin 12sin 2cos 2sin 2lim 20+-
-=→ 3sin 112cos 222sin lim
20-=⎪⎭
⎫
⎝⎛+--=→x x x x x 【注】许多变动上显的积分表示的极限，常用罗必塔法则求解
例10：设函数f(x)连续，且0)0(≠f ，求极限.)()()(lim
⎰⎰--→x x
x dt
t x f x dt
t f t x
【解】 由于
⎰
⎰⎰
=-=
-=-0
)())(()(x
x
x
u t x du u f du u f dt t x f ,于是
⎰⎰⎰⎰⎰
-=--→→x
x
x
x x x
x du
u f x dt
t tf dt t f x dt
t x f x dt
t f t x 00
)()()(lim
)()()(lim
=⎰
⎰+-+→x
x
x x xf du u f x xf x xf dt t f 0
)
()()
()()(lim
=⎰
⎰+→x x
x x xf du u f dt
t f 0
)
()()(lim
=)
()()(lim
x f x du
u f x dt
t f x
x
x +⎰
⎰
→=
.2
1
)0()0()0(=+f f f
7．用对数恒等式求)()(lim x g x f 极限
例11：极限x
x x 20
)]1ln(1[lim ++→
【解】 x
x x 20
)]1ln(1[lim ++→=)]1ln(1ln[2
lim x x
x e
++→=.2)
1ln(2lim
)]
1ln(1ln[2lim
e e
e
x
x x
x x x ==+++→→
【注】对于∞1型未定式)()(lim x g x f 的极限，也可用公式
)()(lim x g x f )1(∞=)()1)(lim(x g x f e -
