南市中学九年级上数学提优训练一

2022-2023学年苏科版九年级数学上《2.4 圆周角》强化提优训练（一） （时间：90分钟 满分：120分）一．选择题(30分）1．下列四个图中，∠α是圆周角的是( ) A.B C D 第1题图 第2题图 第3题图2．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，连接OB ，OC ，若∠BAC 和∠BOC 互补，则∠BAC 的度数是( )A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°3．如图AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上异于A ，B 的一点，∠B ＝30°，则∠A 的度数为( )A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°4.如图，AB 为⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ADC ＝35°，则∠CAB 的度数为( )A ．35°B ．45°C ．55°D ．65°第4题图 第5题图 第6题图 第7题图 第8题图5．如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，B 是AC ︵的中点，M 是半径OD 上任意一点．若∠BDC＝40°，则∠AMB 的度数不可能是( )A ．45°B ．60°C ．75°D ．85°6.如图，⊙O 的直径BD ＝4，∠A ＝60°，则BC 的长为( )A. 3 B ．2 C ．2 3 D ．4 37．如图，已知⊙O 的半径为5，弦AB ，CD 所对的圆心角分别是∠AOB ，∠COD ，若∠AOB 与∠COD 互补，弦CD ＝6，则弦AB 的长为( )A ．6B ．8C ．5 2D ．5 38．如图，点A ，B ，C ，P 在⊙O 上，CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，∠DCE ＝40°，则∠P 的度数为( )A ．140°B ．70°C ．60°D ．40°9.如图，在⊙O 中，∠AOB 的度数为m ，C 是ACB ︵上一点，D ，E 是AB ︵上不同的两点(不与A ，B两点重合)，则∠D＋∠E 的度数为( )A. m B ．180°－m2 C ．90°＋m 2 D ．m 2第9题图 第10题图 第11题图 第12题图 第13题图10..如图，已知EF 是⊙O 的直径，把∠A 为60°的直角三角板ABC 的一条直角边BC 放在直线EF 上，斜边AB 与⊙O 交于点P ，点B 与点O 重合．将三角板ABC 沿OE 方向平移，使得点B 与点E 重合为止．设∠POF＝x °，则x 的取值范围是( )A ．30≤x ≤60B ．30≤x ≤90C ．30≤x ≤120D ．60≤x ≤120二．填空题(30分)11．如图，在⊙O 中，弦AC ＝2 3，B 是圆上一点，且∠ABC ＝45°，则⊙O 的半径R=__．12．如图，点A ，B ，C 都在⊙O 上，OC ⊥OB ，点A 在劣弧BC 上，且OA ＝AB ，则∠ABC ＝____°.13.如图，在直角△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，D 、E 分别是AC 、BC 上的一点，且DE ＝3.若以DE 为直径的圆与斜边AB 相交于M 、N ，则MN 最大值为______14已知AB 是⊙O 的弦，∠AOB ＝88°，则弦AB 所对的圆周角是________．15.如图，AB 是半⊙O 的直径，点C 在半⊙O 上，AB ＝5cm ，AC ＝4cm.D 是弧BC 上的一个动点，连接AD ，过点C 作CE ⊥AD 于E ，连接BE.在点D 移动的过程中，BE 的最小值为 .第15题图 第16题图 第17题图 第18题图 第19题图 第20题图16.如图已知AB ＝AC ＝AD ，∠CBD ＝2∠BDC ，∠BAC ＝44°，则∠CAD 的度数为________．17．如图，有一个圆形展厅，在其圆形边缘上的点A 处安装了一台监视器，它的监控角度是40°.为了监控整个展厅，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器_____台．18．如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，CO 的延长线交AB 于点D ，∠A ＝50°，∠B ＝30°，则∠ADC 的度数为 ．19．如图，⊙O 中两条弦AB 、CD 相交于点P ，已知PA ＝3，PB ＝4，PC ＝2，那么PD 长为 ．20.已知，如图：AB 为⊙O 的直径，AB ＝AC ，BC 交⊙O 于点D ，AC 交⊙O 于点E ，∠BAC ＝45°．给出以下四个结论：①∠EBC ＝22.5°；②BD ＝DC ；③劣弧是劣弧的2倍；④AE ＝BC ．其中正确结论的序号是 ．三。

轧东卡州北占业市传业学校江都区九年级数学提优练习题一〔〕 教1、把二次根式1(x-1)1x-中根号外的因式移到根号内，结果是__________。

2、观察：11111112,23,34, (334455)+=+=+=请你将发现的规律用含字母表示出来 。

3.假设最简二次根式1a +与42a -是同类二次根式，那么a 的值为 。

4. 假设整数m 满足条件2)1(+m ＝1+m 且m ＜52，那么m 的值是 ．5.= 。

6、=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=x y y x 11111313，则， .7.51=-aa ，那么 aa 1-的值= 。

8. 当x 取______时，2-x -5的值最大，最大值是________. 9.23231+-与的关系是 . 10．如果524-+=+b a b a ，那么b a 2+=___________。

11.假设a ＜0，那么a a -2＝ ；假设b ＜0，化简b a b ab a 32+＝ 。

12.21+=m ，21-=n ，那么代数式mn n m 322-+的值为 。

13.假设201120121m =-，那么54322011m m m --的值是 ．14.a b 、为有理数，m n 、分别为57的整数局部和小数局部，且21amn bn +=，那么2a b += 。

15. 以下各式计算正确的选项是〔 〕A ．33431163116=⋅= B ． a a a a a --=-⋅--=--111)1(11)1(2〔a ＜1〕C ．53232333=+=+ D ．2321321=-++16.计算：①．x x x x 3)1246(÷- ②． abb a ab b 3)23(235÷-⋅ ③．(3 2 －2 3 )2－(3 2 ＋ 2 3 )2④．3〕17、：实数a ，b 在数轴上的位置如下列图a b -18、假设x ，y 为实数，且y ＝x 41-＋14-x ＋21，求xy y x ++2 －xy y x+-2的值。

第6题图 第12题图 第14题图2014-9-14提优16.ABCD 是边长为1的正方形，△BPC 是等边三角形，则△BPD 的面积为 （ ）A.41 B.413- C.81132-二、填空题（每空2分，共20分）12.如图所示，三角形ABO 的面积为12，且AO ＝AB ，双曲线y ＝x k 过AB 的中点D ，则k 的值为 ． 13.无论a 取什么实数，点P (a －1，2a －3)都在直线l 上，Q (m ，n )是直线l 上的点，则(2m －n ＋3)2= ．14．如图，△POA 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3，……，△P n A n －1A n 都是等腰直角三角形，点P 1，P 2，P 3，……，P n在函数xy 4=(x ＞0)的图象上，斜边OA 1，A 1A 2，A 2A 3，……，A n －1A n 都在x 轴上，则点A 2010的坐标是 ．18.（6分）如图，一次函数11+=kx y ()0≠k 与反比例函数xm y =2()0≠m 的图象有公共点A （1，2）．直线l ⊥x 轴于点N （3，0），与一次函数和反比例函数的图象分别交于点B ，C ．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）直接写出21y y >的x 的取值范围；（3）求△ABC 的面积？19.（6分）某物体从P 点运动到Q 点所用时间为7秒，其运动速度V （米/秒）关于时间t （秒）的函数关系如图所示。

某学习小组经过探究发现：该物体前3秒运动的路程在数值上等于矩形AODB 的面积。

有物理学知识还可知：该物体前n （73≤<t ）秒运动的路程在数值上等于矩形AODB 的面积与梯形BDMN 的面积之和。

根据以上信息，完成下列问题：（1）当73≤<t 时，用含t 的代数式表示v ；（2）分别求该物体在30≤≤t 和3t 7<≤时，运动的路程s （米）关于时间t （秒）的函数关系式；并求该物体从P 点运动到Q 点总路程的710时所用的时间。

九年级数学第一次提优试题1.如图1，已知点A（x1，0），B（x2，0），其中x1，x2是方程x2-8x+12=0的两根，且x1＜x2，C（3，）．（1）求点A、B的坐标．（2）作CH⊥AB于H，设E为OC延长线上一点，连EH交线段BC于F，问是否存在点E，使△CHF与△BEF相似？如果存在，求OE的长，如果不存在，说明理由．（3）如图2，取AB的中点D，问在直线CD上是否存在点P，使△ABP是直角三角形？若存在，求出所有符合条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．2.已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=12cm，BD=16cm．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，直线EF从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s，EF⊥BD，且与AD，BD，CD分别交于点E，Q，F；当直线EF停止运动时，点P也停止运动．连接PF，设运动时间为t（s）（0＜t＜8）．解答下列问题：（1）当t为何值时，四边形APFD是平行四边形？（2）设四边形APFE的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使S四边形APFE：S菱形ABCD=17：40？若存在，求出t的值，并求出此时P，E两点间的距离；若不存在，请说明理由．3.如图，在平面直角坐标系中，以点B（0，8）为端点的射线BG∥x轴，点A是射线BG上一个动点（点A与点B不重合），在射线AG上取AD=OB，作线段AD的垂直平分线，垂足为E，且与x轴交于点F，过点A作AC⊥OA，交射线EF于点C，连接OC、CD．设点A的横坐标为t．（1）用含t的式子表示点E的坐标为 ______ ；（2）当t为何值时，∠OCD=180°？（3）当点C与点F不重合时，设△OCF的面积为S，求S与t之间的函数解析式．4.如图：⊙M经过O点，并且与x轴、y轴分别交于A、B两点，线段OA、OB（OA﹥OB）的长是方程x2-17x+60=0的两根．（1）求⊙M的直径；（2）若点C在劣弧OA上,连结BC交OA于D，当OC2=CD×CB时，求点C的坐标；（3）若点C在优弧OA上，作直线BC交x轴于D，是否存在△COB和△CDO相似，若存在，直接写出点C 的坐标，若不存在，请说明理由．5.如图1，已知四边形ABCD，点P为平面内一动点．如果∠PAD=∠PBC，那么我们称点P为四边形ABCD 关于A、B的等角点．如图2，以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，点C的横坐标为6．(1)若A、D两点的坐标分别为A(0，4)、D(6，4)，当四边形ABCD关于A、B的等角点P在DC边上时，则点P的坐标为；(2)若A、D两点的坐标分别为A(2，4)、D(6，4)，当四边形ABCD关于A、B的等角点P在DC边上时，求点P的坐标；(3)若A、D两点的坐标分别为A(2，4)、D(10，4)，点P(x，y)为四边形ABCD关于A、B的等角点，其中x＞2，y＞0，求y与x之间的关系式．6.在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，M是AD边的中点，P是射线AB上的一个动点（不与A，B重合），MN⊥PM交射线BC于N点．（1）如图1，当点N与点C重合时，求AP的长；（2）如图2，在点N的运动过程中，求证：为定值；（3）在射线AB上，是否存在点P，使得△DCN∽△PMN？若存在，求此时AP的长；若不存在，请说明理由．。

课时提优计划数学九年级上册答案第一章测试卷一、选择题(每小题2分，共计16分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 A B D B B C C D二、填空题(每小题2分，共计20分)9、-1210、311、53.512、213、1214、正方体(答案不唯一)15、(1+40%) x=16816、-217、4或1218、πa2-2a2三、解答题(本大题共9题，共计64分)19、(8分)解：(1)原式=12×36-712×36+56×36 1分=18-21+30 3分=27。

4分(2)原式=-9+16×(-12)×12 2分=-9-4 3分=-13。

4分20、(6分)解：原式=6a2b-2ab2+ab2-2a2b 2分=4a2b-ab2。

4分当a=2、b=-1时，原式=4×22×(-1)-2×(-1)2=-16-2=-18。

6分21、(8分)解：(1)3x+3=9。

1分3x=6。

3分x=2. 4分(2)2(2x-1)=6-(2x-1)。

1分4x-2=6-2x+1。

2分6x=9。

3分x=32。

4分22、(6分)解：(1)画图正确，DE∥AB. 6分23、(6分)解：(1)长方体; 2分(2)2×(3×3+3×4+3×4)=66 cm2. 6分答：这个几何体的表面积是66 cm。

24、(6分)解：小明的错误是“他设中的x和方程中的x表示的意义不同”。

2分正确的解答：设这个班共有x名学生.根据题意，得 x6-x8=2。

4分解这个方程，得 x=48。

5分答：这个班共有48名学生。

6分25、(8分)解：(1)因为OF平分∠AOE，∠AOE=120°，所以∠AOF=12∠AOE=60°。

2分因为OF⊥CD，所以∠COF=90°。

3分所以∠AOC=∠COF-∠AOF=30°。

11月3日九年级数学上第一学期期中复习周末提优训练练习题含答案1．如图，一个圆锥的高为3√3cm，侧面展开图是半圆，圆锥的全面积为__________．2．抛物线y＝x2－5x+4与x轴交点A1、A2的坐标记为x1、x2，将x1≤x≤x2部分的抛物线记为C1；将抛物线C1绕点A2旋转180°得C2，交x轴于点A3；将C2绕点A3旋转180°得C3，交x轴于点A4，……，如此进行下去，若P（2018，m）在其中某段抛物线上，则m＝．3．抛物线y＝－3x2+6x+c经过点（－2，0），则与x轴的另一个交点坐标为．4．将抛物线y＝2x2－12x－23先向左平移4个单位长度，再向下平移6个单位长度得到的抛物线的解析式为．5．若二次函数y＝2（x+1）2+3的图象上有三个不同的点A（x1，4）、B（x1+x2，n）、C（x2，4），则n的值为．6．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x＝－1，经过点（0，1）有以下结论：①a+b+c＜0；②b2－4ac＞0；③abc＞0；④4a－2b+c＜0；⑤c－a＞1，其中所有正确结论的序号是．7．已知关于x的方程x2－6x+m2－3m＝0的一根为2．则5m2－15m－100的值为___________．8．在如图所示的网格中，每个小方格的边长都是1．（1）分别作出四边形ABCD关于y轴、原点的对称图形；（2）以原点O为中心，将△ABD顺时针旋转90°，试画出旋转后的图形，并求旋转过程中△ABD扫过图形的面积．9．（1）如图1，O是等边△ABC内一点，连接OA、OB、OC，且OA＝3，OB＝4，OC＝5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．求：①旋转角的度数；②线段OD的长；③∠BDC的度数．（2）如图2所示，O是等腰直角△ABC（∠ABC＝90°）内一点，连接OA、OB、OC，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．当OA、OB、OC满足什么条件时，∠ODC＝90°？请给出证明．10．某蔬菜经销商去蔬菜生产基地批发某种蔬菜，已知这种蔬菜的批发量在20千克～50千克之间（含20千克和50千克）时，每千克批发价是5元；若超过50千克时，批发的这种蔬菜全部打八折．（1）根据题意，填写如表：蔬菜的批发量（千克）…25 50 65 80 …所付的金额（元）…125 260 …（2）此种蔬菜的日销售量y（千克）受零售价x（元/千克）的影响较大，为此该经销商试销一周获得如下数据零售价x（元/千克） 5 5.5 6 6.5 7日销售量y（千克）90 75 60 45 30根据以上数据求出y与x之间的函数关系式；（3）若每天批发的蔬菜能够全部销售完，且当日零售价不变，那么零售价定为多少时，该经销商销售此种蔬菜的当日利润最大？最大利润为多少元？此时进货量应为多少？11．如图，已知二次函数y＝ax2+2x+c图象经过点A（1，4）和点C（0，3）．（1）求该二次函数的解析式；（2）结合函数图象，直接回答下列问题：①当－1＜x＜2时，求函数y的取值范围：．②当y≥3时，求x的取值范围：．12．如图1在平面直角坐标系中，⊙O1与x轴切于A（－3，0）与y轴交于B、C两点，BC＝8，连AB．（1）求证：∠ABO1＝∠ABO；（2）求AB的长；（3）如图2，过A、B两点作⊙O2与y轴的正半轴交于M，与O1B的延长线交于N，当⊙O2的大小变化时，得出下列两个结论：①BM－BN的值不变；②BM+BN的值不变．其中有且只有一个结论正确，请判断正确结论并证明．13．如图直角坐标系中，已知A（－8，0），B（0，6），点M在线段AB上．（1）如图1，如果点M是线段AB的中点，且⊙M的半径为4，试判断直线OB与⊙M的位置关系，并说明理由；（2）如图2，⊙M与x轴、y轴都相切，切点分别是点E、F，试求出点M的坐标．14．如图所示，在直角坐标系中，点E从O点出发，以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，点F从O点出发，以2个单位/秒的速度沿y轴正方向运动，B（4，2），以BE为直径作⊙O1．（1）若点E、F同时出发，设线段EF与线段OB交于点G，试判断点G与⊙O1的位置关系，并证明你的结论；（2）在（1）的条件下，连结FB，几秒时FB与⊙O1相切？15．研究发现，抛物线y＝14x2上的点到点F（0，1）的距离与到直线l：y＝－1的距离相等．如图1所示，若点P是抛物线y＝14x2上任意一点，PH⊥l于点H，则PF＝PH．基于上述发现，对于平面直角坐标系xOy中的点M，记点M到点P的距离与点P到点F的距离之和的最小值为d，称d为点M关于抛物线y＝14x2的关联距离；当2≤d≤4时，称点M为抛物线y＝14x2的关联点．（1）在点M1（2，0），M2（1，2），M3（4，5），M4（0，－4）中，抛物线y＝14x2的关联点是；（2）如图2，在矩形ABCD中，点A（t，1），点C（t+1，3）①若t＝4，点M在矩形ABCD上，求点M关于抛物线y＝14x2的关联距离d的取值范围；②若矩形ABCD上的所有点都是抛物线y＝14x2的关联点，则t的取值范围是．11月3日九年级数学上第一学期期中复习周末提优训练练习题答案一．解答题（共13小题）1．定义：若两个一元二次方程有一个相同的实数根，则称这两个方程为“友好方程”，已知关于x的一元二次方程x2－2x＝0与x2+3x+m－1＝0为“友好方程”，求m的值．【分析】首先解得第一个方程，然后利用友好方程的定义代入第二个方程求得m的值即可；解：解x2－2x＝0得：x＝0或x＝2，∵关于x的一元二次方程x2－2x＝0与x2+3x+m－1＝0为“友好方程”，∴22+3×2+m－1＝0或02+3×0+m－1＝0，解得：m＝－9或m＝1，∴m的值为－9或1．【点评】本题考查了一元二次方程的解的知识，解题的关键是能够理解友好方程的定义，难度不大．2．已知关于x的方程x2－6x+m2－3m＝0的一根为2．（1）求5m2－15m－100的值；（2）求方程的另一根．【分析】把x＝2代入已知方程可以求得m2－3m＝8．（1）将其整体代入5m2－15m－100进行求值；（2）利用根与系数的关系来去另一根．解：把x＝2代入x2－6x+m2－3m＝0，得m2－3m＝8．（1）5m2－15m－100＝5（m2－3m）－100＝5×8－100＝－60；（2）原方程为x2－6x+8＝0，设方程的另一根为t，则2+t＝6，解得t＝4，即方程的另一根为4．【点评】本题考查了求代数式的值，一元二次方程的解的应用，用了整体代入思想．3．（1）如图1，O是等边△ABC内一点，连接OA、OB、OC，且OA＝3，OB＝4，OC＝5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．求：①旋转角的度数；②线段OD的长；③∠BDC的度数．（2）如图2所示，O是等腰直角△ABC（∠ABC＝90°）内一点，连接OA、OB、OC，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．当OA、OB、OC满足什么条件时，∠ODC＝90°？请给出证明．【分析】（1）①根据等边三角形的性质得BA＝BC，∠ABC＝60°，再根据旋转的性质得∠OBD＝∠ABC＝60°，于是可确定旋转角的度数为60°；②由旋转的性质得BO＝BD，加上∠OBD＝60°，则可判断△OBD为等边三角形，所以OD＝OB＝4；③由△BOD为等边三角形得到∠BDO＝60°，再利用旋转的性质得CD＝AO＝3，然后根据勾股定理的逆定理可证明△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°，所以∠BDC＝∠BDO+∠ODC＝150°；（2）根据旋转的性质得∠OBD＝∠ABC＝90°，BO＝BD，CD＝AO，则可判断△OBD为等腰直角三角形，则OD ＝√2OB，然后根据勾股定理的逆定理，当CD2+OD2＝OC2时，△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°．解：（1）①∵△ABC为等边三角形，∴BA＝BC，∠ABC＝60°，∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，∴∠OBD＝∠ABC＝60°，∴旋转角的度数为60°；②∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，∴BO＝BD，而∠OBD＝60°，∴△OBD为等边三角形；∴OD＝OB＝4；③∵△BOD为等边三角形，∴∠BDO＝60°，∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，∴CD＝AO＝3，在△OCD中，CD＝3，OD＝4，OC＝5，∵32+42＝52，∴CD2+OD2＝OC2，∴△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°，∴∠BDC＝∠BDO+∠ODC＝60°+90°＝150°；（2）OA2+2OB2＝OC2时，∠ODC＝90°．理由如下：∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，∴∠OBD＝∠ABC＝90°，BO＝BD，CD＝AO，∴△OBD为等腰直角三角形，∴OD＝√2OB，∵当CD2+OD2＝OC2时，△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°，∴OA2+2OB2＝OC2，∴当OA、OB、OC满足OA2+2OB2＝OC2时，∠ODC＝90°．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判断与性质和勾股定理的逆定理．4．在如图所示的网格中，每个小方格的边长都是1．（1）分别作出四边形ABCD关于y轴、原点的对称图形；（2）以原点O为中心，将△ABD顺时针旋转90°，试画出旋转后的图形，并求旋转过程中△ABD扫过图形的面积．【分析】（1）根据关于y轴对称及关于原点对称的点的性质，分别作出A、B、C和D四个顶点关于y轴及原点的对称点，然后顺次连接各对应点即可；（2）先画出△ABD顺时针旋转90°后得到的图形，△ABD扫过图形的面积即是线段AB所扫过的扇环面积与△ABD 的面积之和．解：（1）所画图形如下图所示，（2）如上图所示，△A ′B ′D ′即为△ABD 顺时针旋转90°后得到的图形，在旋转过程中可知：△ABD 扫过图形的面积即是线段AB 所扫过的扇环面积（S 1）与△ABD 的面积（S 2）之和（S ）， 则有：S ＝S 1+S 2＝[14π×OA 2－14π×OB 2]+12×AD ×1＝[14π×（22+42）－14π×（12+12）]+12×2×1＝9π2+1．【点评】此题主要考查了关于坐标轴以及原点对称的图形作法和不规则图形的面积求法，得出对应点的坐标及将不规则图形分为几个规则的图形来求面积是解决问题的关键．5．如图1在平面直角坐标系中，⊙O 1与x 轴切于A （－3，0）与y 轴交于B 、C 两点，BC ＝8，连AB ．（1）求证：∠ABO 1＝∠ABO ； （2）求AB 的长；（3）如图2，过A 、B 两点作⊙O 2与y 轴的正半轴交于M ，与O 1B 的延长线交于N ，当⊙O 2的大小变化时，得出下列两个结论：①BM －BN 的值不变；②BM +BN 的值不变．其中有且只有一个结论正确，请判断正确结论并证明．【分析】（1）连接O 1A ，由圆O 1与x 轴切于A ，根据切线的性质得到O 1A 垂直于OA ，由OB 与AO 垂直，根据平面内垂直于同一条直线的两直线平行，得到O 1A 与OB 平行，根据两直线平行内错角相等，得到一对内错角相等，再由O 1A ＝O 1B ，根据等边对等角可得出一对角相等，等量代换可得出∠ABO 1＝∠ABO ，得证；（2）作O 1E ⊥BC 于点E ，根据垂径定理得到E 为BC 的中点，由BC 的长求出BE 的长，再由A 的横坐标得出OA 的长，即为O 1E 的长，在直角三角形O 1BE 中，根据勾股定理求出O 1B 的长，用OE －BE 求出OB 的长，在直角三角形AOB 中，根据勾股定理即可求出AB 的长；（3）两个结论中，①BM －BN 的值不变正确，理由为：在MB 上取一点G ，使MG ＝BN ，连接AM 、AN 、AG 、MN ，由∠ABO 1为四边形ABMN 的外角，根据圆内接四边形的外角等于它的内对角，可得出∠ABO 1＝∠NMA ，再由∠ABO 1＝∠ABO ，等量代换可得出∠ABO ＝∠NMA ，然后利用同弧所对的圆周角相等可得出∠ABO ＝∠ANM ，等量代换可得出∠NMA ＝∠ANM ，根据等角对等边可得出AM ＝AN ，再由同弧所对的圆周角相等，及OM ＝BN ，利用SAS 可得出三角形AMG 与三角形ABN 全等，根据全等三角形的对应边相等可得出AG ＝AB ，由AO 与BG 垂直，根据三线合一得到O 为BG 的中点，根据OB 的长求出BG 的长，然后BM －BN ＝BM －MG ＝BG ，由BG 为常数得到BM －BN 的长不变，得证． 解：（1）连接O 1A ，则O 1A ⊥OA ，又OB ⊥OA ，∴O 1A ∥OB ， ∴∠O 1AB ＝∠ABO ， 又∵O 1A ＝O 1B ， ∴∠O 1AB ＝∠O 1BA ， ∴∠ABO 1＝∠ABO ；（2）作O 1E ⊥BC 于点E ， ∴E 为BC 的中点， ∵BC ＝8，∴BE ＝12BC ＝4， ∵A （－3，0）， ∴O 1E ＝OA ＝3， 在直角三角形O 1BE 中，根据勾股定理得：O 1B ＝√BE 2+O 1B 2＝2+32＝5， ∴O 1A ＝EO ＝5， ∴BO ＝5－4＝1， 在直角三角形AOB 中，根据勾股定理得：AB ＝√AO 2+BO 2＝√10；（3）①BM －BN 的值不变，理由为：证明：在MB 上取一点G ，使MG ＝BN ，连接AM 、AN 、AG 、MN ， ∵∠ABO 1为四边形ABMN 的外角， ∴∠ABO 1＝∠NMA ，又∠ABO 1＝∠ABO ， ∴∠ABO ＝∠NMA ，又∠ABO ＝∠ANM ， ∴∠AMN ＝∠ANM ， ∴AM ＝AN ，∵∠AMG 和∠ANB 都为AB ̂所对的圆周角， ∴∠AMG ＝∠ANB ， 在△AMG 和△ANB 中，∵{AM ＝AN ∠AMG ＝∠ANB MG ＝BN，∴△AMG ≌△ANB （SAS ）， ∴AG ＝AB ， ∵AO ⊥BG ， ∴BG ＝2BO ＝2，∴BM －BN ＝BM －MG ＝BG ＝2其值不变．【点评】此题考查了切线的性质，坐标与图形性质，垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质，以及全等三角形的判定与性质．熟练掌握性质及定理是解本题的关键．6．如图直角坐标系中，已知A （－8，0），B （0，6），点M 在线段AB 上．（1）如图1，如果点M 是线段AB 的中点，且⊙M 的半径为4，试判断直线OB 与⊙M 的位置关系，并说明理由； （2）如图2，⊙M 与x 轴、y 轴都相切，切点分别是点E 、F ，试求出点M 的坐标．【分析】（1）设线段OB 的中点为D ，连结MD ，根据三角形的中位线求出MD ，根据直线和圆的位置关系得出即可；（2）求出过点A 、B 的一次函数关系式是y ＝34x +6，设M （a ，－a ），把x ＝a ，y ＝－a 代入y ＝34x +6得出关于a 的方程，求出即可．解：（1）直线OB 与⊙M 相切，理由：设线段OB 的中点为D ，连结MD ，如图1，∵点M 是线段AB 的中点，所以MD ∥AO ，MD ＝4． ∴∠AOB ＝∠MDB ＝90°， ∴MD ⊥OB ，点D 在⊙M 上，又∵点D 在直线OB 上， ∴直线OB 与⊙M 相切； ，（2）解：连接ME ，MF ，如图2，∵A （－8，0），B （0，6）， ∴设直线AB 的解析式是y ＝kx +b ， ∴{0＝−8k +b 6＝b ， 解得：k ＝34，b ＝6，即直线AB 的函数关系式是y ＝34x +6，∵⊙M 与x 轴、y 轴都相切，∴点M 到x 轴、y 轴的距离都相等，即ME ＝MF ， 设M （a ，－a ）（－8＜a ＜0）， 把x ＝a ，y ＝－a 代入y ＝34x +6， 得－a ＝34a +6，得a ＝－247，∴点M 的坐标为（－247，247）．【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，用待定系数法求一次函数的解析式的应用，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，注意：直线和圆有三种位置关系：已知⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离是，当d ＝r 时，直线l 和⊙O 相切．7．如图，一个圆锥的高为3√3cm ，侧面展开图是半圆，求： （1）圆锥的底面半径r 与母线R 之比； （2）圆锥的全面积．【分析】（1）设出圆锥的底面半径及圆锥的母线长，利用底面周长等于圆锥的弧长得到圆锥的母线与底面的半径之比即可；（2）首先求得圆锥的底面半径和圆锥的母线长，然后利用圆锥的侧面积的计算方法求得其侧面积即可．解：（1）由题意可知2πr＝2πR⋅180°360°R，R＝2r（3分）r：R＝r：2r＝1：2；∴r＝12（2）在Rt△AOC中，ℎ＝3√3cm∵R2＝r2+h2∴(2r)2＝r2+(3√3)2（5分），4r2＝r2+27r2＝9，r＝±3∵r＞0∴r＝3，R＝6（6分）＝πr2＝9π（cm2）∴S侧＝πRr＝18π（cm2）S底∴S全＝S侧+S底＝18π+9π＝27π（cm2）．【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是牢记有关的公式．8．如图所示，在直角坐标系中，点E从O点出发，以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，点F从O点出发，以2个单位/秒的速度沿y轴正方向运动，B（4，2），以BE为直径作⊙O1．（1）若点E、F同时出发，设线段EF与线段OB交于点G，试判断点G与⊙O1的位置关系，并证明你的结论；（2）在（1）的条件下，连结FB，几秒时FB与⊙O1相切？【分析】（1）要判断点G 与⊙O 1的位置关系，只需比较O 1G 与⊙O 1的半径O 1B 的大小；（2）如果t 秒时FB 与⊙O 1相切，那么∠FBE ＝90°；在RT △BEF 与RT △OEF 中，根据EF 不变列出方程，求出t 的值．解：（1）∵点B 的坐标为（4，2）， 又∵OE ：OF ＝1：2，∠OFE ＝∠EOB ． ∴∠FGO ＝90°， 又∵BE 为⊙O 1的直径， ∴点G 在⊙O 1上．（2）过点B 作BM ⊥OF ，设 OE ＝x ，则OF ＝2x ，BF 2＝BM 2+FM 2＝42+（2x －2）2＝4x 2－8x +20，BE 2＝（4－x ）2+22＝x 2－8x +20， 又∵OE 2+OF 2＝BE 2+BF 2， ∴x 2+4x 2＝5x 2－16x +40， ∴x ＝52（x ＞0），即52秒时，BF 与⊙O 1相切．【点评】本题综合考查了切线的判定，三角函数等知识，解题中要善于抓住不变量，找到等量关系，题目有一定难度，可以考查学生的综合实力．9．已知二次函数的图象经过点（3，0），对称轴是直线x ＝－2，与y 轴的交点（0，－3）． （1）求抛物线与x 轴的另一个交点坐标； （2）求抛物线的解析式．【分析】（1）根据抛物线的对称性确定抛物线与x 轴的另一个交点坐标； （2）设交点式y ＝a （x +7）（x －3），然后把（0，－3）代入求出a 即可． 解：（1）∵抛物线与x 轴的一个交点坐标为（3，0），对称轴是直线x ＝－2， ∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（－7，0）； （2）设抛物线解析式为y ＝a （x +7）（x －3），把（0，－3）代入得a （0+7）（0－3）＝－3，解得a ＝17，∴抛物线解析式为y ＝17（x +7）（x －3），即y ＝17x 2+47x －3．【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）与x 轴的交点坐标问题转化解关于x 的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质．10．研究发现，抛物线y ＝14x 2上的点到点F （0，1）的距离与到直线l ：y ＝－1的距离相等．如图1所示，若点P 是抛物线y ＝14x 2上任意一点，PH ⊥l 于点H ，则PF ＝PH ．基于上述发现，对于平面直角坐标系xOy 中的点M ，记点M 到点P 的距离与点P 到点F 的距离之和的最小值为d ，称d为点M关于抛物线y＝14x2的关联距离；当2≤d≤4时，称点M为抛物线y＝14x2的关联点．（1）在点M1（2，0），M2（1，2），M3（4，5），M4（0，－4）中，抛物线y＝14x2的关联点是M1；（2）如图2，在矩形ABCD中，点A（t，1），点C（t+1，3）①若t＝4，点M在矩形ABCD上，求点M关于抛物线y＝14x2的关联距离d的取值范围；②若矩形ABCD上的所有点都是抛物线y＝14x2的关联点，则t的取值范围是－2√3≤t≤2√3－1．【分析】（1）（1）根据“关联点”的定义得到：当点M与F在抛物线的两侧时，点F、P、M共点时，PF+MP的值最小，且FM的取值范围为：2≤FM≤4符合题意．当点M与F在抛物线的同侧时，MP+PF的值等于点M到直线l：y＝－1的距离，求出这个距离即可判断；（2）①当点F、M、A共点时，符合题意．若点A与点M重合时，d取最小值；若点M与点C重合时，d取最大值；③根据题意知，（i）t＞0时，当点A在抛物线y＝14x2上时，t取最小值；当点C在抛物线y＝14x2上时，t取最大值．（ii）t＜0时，当点B在抛物线y＝14x2上时，t取最小值；当点D在抛物线y＝14x2上时，t取最大值．（iii）t＝0时，点A与点F重合．解：（1）由题意知，当点M与F在抛物线的两侧时，点F、P、M共点时，PF+MP的值最小，且FM的取值范围为：2≤FM≤4符合题意．∵F（0，1），M1（2，0），∴FM1＝√22+(0−1)2＝√5，符合题意．FM4＝5＞4．不符合题意；当点M与F在抛物线的同侧时，MP+PF的值等于点M到直线l：y＝－1的距离，∵点M2到直线y＝－1的距离为3，2＜3＜4，∴M2是抛物线y＝14x2的关联点，∵点M3到直线y＝－1的距离为6，6＞4，不符合题意，综上所述，抛物线y＝14x2的关联点是M1，M2；故答案是：M1，M2；（2）①当t＝4时，A（4，1），C（5，3）．B（5，1），D（4，3）．∵F（0，1），∴当点A与点M重合时，d＝√(42+(1−1)2＝4；当点C与点M重合时，d＝√(5−0)2+(3−1)2＝√29，当点D与点M重合时，d＝2√5＞4，当点B与点M重合时，d＝5，∴点M关于抛物线y＝14x2的关联距离d的取值范围是：4≤d≤√29．②∵在矩形ABCD中，点A（t，1），点C（t+1，3），∴B（t+1，1），点D（t，3）．（i）t＞0时，当点A在抛物线y＝14x2上时，把y＝1代入y＝14x2，得t＝2；当点C在抛物线y＝14x2上时，d取最大值，此时4＝CF，即4＝√(t+1−0)2+(3−1)2，故t＝2√3－1．此时2≤t≤2√3－1．（ii）t＜0时，当点B在抛物线y＝14x2上时，把y＝1代入y＝14x2，得t＝－3；当点D在抛物线y＝14x2上时，d取最大值，此时4＝CF，即4＝√t2+(3−1)2，故t＝－2√3．此时－2√3≤t≤－3．（iii）t＝0时，A（0，1），C（1，3），B（1，1），D（0，3）．故矩形ABCD上的所有点都是抛物线y＝14x2的关联点，综上所述，t的取值范围是：－2√3≤t≤2√3－1．故答案是：－2√3≤t≤2√3－1．【点评】考查了二次函数综合题．需要熟练运用二次函数图象上点的坐标特征，两点间的距离公式，解题时，需要分类讨论，解题的关键是掌握“点M为抛物线y＝14x2的关联点”的定义，难度较大．11．如图，已知二次函数y＝ax2+2x+c图象经过点A（1，4）和点C（0，3）．（1）求该二次函数的解析式；（2）结合函数图象，直接回答下列问题：①当－1＜x＜2时，求函数y的取值范围：0＜9＜4．②当y≥3时，求x的取值范围：0≤x≤2．【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式； （2）根据函数图象即可得到结论．解：（1）将点A 和点C 的坐标代入函数解析式，得{a +2+c ＝4c ＝3，解得{a ＝−1c ＝3，二次函数的解析式为y ＝－x 2+2x +3；（2）由图象知，①当－1＜x ＜2时，求函数y 的取值范围：0＜y ≤4． ②当y ≥3时，求x 的取值范围：0≤x ≤2． 故答案为：0＜y ≤4，0≤x ≤2．【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式的知识及二次函数的顶点坐标的知识，属于基础题，解答本题的关键是待定系数法的运用．12．已知y 是关于x 的函数，若其函数图象经过点P （t ，t ），则称点P 为函数图象上的“和谐点”． （1）求出直线y ＝3x －2的“和谐点”坐标；（2）若抛物线y ＝－12x 2+（23a +1）x －a +1上有“和谐点”，且“和谐点”为A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2），求W ＝x 12+x 22的最小值；（3）若函数y ＝14x 2+（m －t +1）x +n +t －2的图象上存在唯一的一个“和谐点”且当2≤m ≤3时，n 的最小值为t ，求t 的值．【分析】（1）根据“和谐点”的坐标特征设出坐标，代入双曲线中，有解则有“和谐点”；（2）设抛物线“和谐点”的坐标为（x ，x ），代入抛物线的关系式中得到关于x 的一元二次方程，因为有两个“和谐点”，则这两个“和谐点”的横坐标就是这个一元二次方程的两个根，再由根与系数的关系得：两根和与两根据积的式子，得到w 关于a 的二次函数，求最小值即可；（3）设函数“和谐点”的坐标为（x ，x ），代入函数的关系式中得到关于x 的一元二次方程，因为有一个“和谐点”，则△＝0，得到n ＝（m －t ）2－t +2，把它看成一个二次函数，对称轴m ＝t ，分三种情况讨论即可． 解：（1）设“和谐点”的坐标为（t ，t ）， 将点坐标代入直线y ＝3x －2得：t ＝3t －2， 解得：t ＝1，故“和谐点”的坐标为（1，1）；（2）设抛物线“和谐点”的坐标为P （x ，x ）， 代入抛物线y ＝－12x 2+（23a +1）x －a +1中得： x ＝－12x 2+（23a +1）x －a +1， －12x 2+23ax －a +1＝0，∵“和谐点”为A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2）， ∴x 1、x 2是方程－12x 2+23ax －a +1＝0的两个根，则x 1+x 2＝－23a −12＝4a3，x 1•x 2＝−a+1−12＝2a －2，w ＝x 12+x 22＝（x 1+x 2）2－2x 1x 2＝（4a 3）2－2（2a －2）， w ＝16a 29－4a +4＝169（a －98）2+74，∵169＞0，∴抛物线开口向上当a ＝98时，w 有最小值是74；（3）设函数“和谐点”的坐标为P （x ，x ）， 代入函数y ＝14x 2+（m －t +1）x +n +t －2得：x ＝14x 2+（m －t +1）x +n +t －2，14x 2+（m －t ）x +n +t －2＝0， ∵存在唯一的一个“和谐点”，∴△＝（m －t ）2－4×14×（n +t －2）＝0，n ＝（m －t ）2－t +2，这是一个n 关于m 的二次函数，图象为抛物线，开口向上，对称轴为m ＝t ，对称轴左侧，n 随m 的增大而减小；对称轴右侧，n 随m 的增大而增大； ①t ＜2，当2≤m ≤3时，在对称轴右侧递增， ∴当m ＝2时，n 有最小值为t ， 即（2－t ）2－t +2＝t ， t 2－6t +6＝0，解得：t 1＝3+√3＞2（舍去），t 2＝3－√3， ②t ＞3，当2≤m ≤3时，在对称轴左侧递减， ∴当m ＝3时，n 有最小值为t ， 即（3－t ）2－t +2＝t ，解得：t 1＝4+√5，t 2＝4－√5＜3（舍）， ③当2≤t ≤3，当2≤m ≤3时，n 有最小值为－t +2， ∴－t +2＝t ， t ＝1＜2（舍去），综上所以述：t 的值为3+√3或4+√5．【点评】本题是一个阅读理解问题，考查了二次函数的性质及一元二次方程的根与二次函数的关系；明确一元二次方程根据与系数的关系，方程的解与根的判别式的关系；尤其是二次函数的最值问题，在自变量的所有取值中：当a ＞0时，抛物线在对称轴左侧，y 随x 的增大而减少；在对称轴右侧，y 随x 的增大而增大，函数有最小值，当a ＜0时，抛物线在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大；在对称轴右侧，y 随x 的增大而减少，函数有最大值；如果在规定的取值中，要看图象和增减性来判断．13．某蔬菜经销商去蔬菜生产基地批发某种蔬菜，已知这种蔬菜的批发量在20千克～50千克之间（含20千克和50千克）时，每千克批发价是5元；若超过50千克时，批发的这种蔬菜全部打八折．（1）根据题意，填写如表：蔬菜的批发量（千克）…25 50 65 80 …所付的金额（元）…125 250260 320…（2）此种蔬菜的日销售量y（千克）受零售价x（元/千克）的影响较大，为此该经销商试销一周获得如下数据零售价x（元/千克） 5 5.5 6 6.5 7日销售量y（千克）90 75 60 45 30根据以上数据求出y与x之间的函数关系式；（3）若每天批发的蔬菜能够全部销售完，且当日零售价不变，那么零售价定为多少时，该经销商销售此种蔬菜的当日利润最大？最大利润为多少元？此时进货量应为多少？【分析】本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题．依据题意销售利润＝销售量×（售价－进价），列出平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润．解：（1）5×50＝250（元），80×5×0.8＝320元，故答案是250、320；（2）将点（5，90）、（6，60）代入一次函数不等式y＝kx+b，易求函数表达式为：y＝－30x+240，答：y与x之间的函数关系式为：y＝－30x+240；（3）①当日销售量y：20≤y≤50时，利润W1＝（x－5）•y＝（x－5）（－30x+240）＝－30x2+390x－1200，x＝－b2a ＝－3902⋅(−30)＝6.5，利润最大值W1＝c－b24a＝67.5，此时y＝45，②当当日销售量y：50＜y时，利润W1＝（x－4）•y＝（x－4）（－30x+240）＝－30x2+360x－960，易得：x＝6，利润最大值W2＝120，此时y＝60，由①②得：W1＜W2，故：当零售价为6元时，利润最大．答：当零售价为6元时，经销商销售此种蔬菜的当日利润最大，最大利润为120元，此时进货量应为60千克．【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，本题要根据当日销售量y千克，分两段（20≤y≤50、50＜y）列出函数表达式．二．填空题（共6小题）14．抛物线y＝x2－5x+4与x轴交点A1、A2的坐标记为x1、x2，将x1≤x≤x2部分的抛物线记为C1；将抛物线C1绕点A2旋转180°得C2，交x轴于点A3；将C2绕点A3旋转180°得C3，交x轴于点A4，……，如此进行下去，若P（2018，m）在其中某段抛物线上，则m＝－2．【分析】解方程x2－5x+4＝0得A1（1，0），A2（4，0），则A1A2＝3，再利用中心对称的性质得到A1A2＝A2A3＝A3A4＝…＝3，由于2018－1＝2017，2017＝3×672+1，可判断P（2018，m）在C673上，利用交点式表示出抛物线C673的解析式为y＝（x－2017）（x－2020），然后把x＝2018代入计算即可得到m的值．解：解方程x2－5x+4＝0得x1＝1，x2＝4，则A1（1，0），A2（4，0），∴A1A2＝3，∵将抛物线C1绕点A2旋转180°得C2，交x轴于点A3；将C2绕点A3旋转180°得C3，交x轴于点A4，……，如此进行下去，∴A1A2＝A2A3＝A3A4＝ (3)∵2018－1＝2017，2017＝3×672+1，∴P（2018，m）在C673上抛物线C673的解析式为y＝（x－2017）（x－2020），当x＝2018时，y＝（x－2017）（x－2020）＝2．即m＝－2．故答案为－2．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．15．已知抛物线y＝－3x2+6x+c经过点（－2，0），则与x轴的另一个交点坐标为（4，0）．【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x＝1，然后根据抛物线的对称性确定抛物线与x轴的另一个交点坐标．＝1，解：抛物线的对称轴为直线x＝－62×(−3)而抛物线与x轴的一个交点为（－2，0），所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为（4，0）．故答案为（4，0）．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质．16．将抛物线y＝2x2－12x－23先向左平移4个单位长度，再向下平移6个单位长度得到的抛物线的解析式为y ＝2（x+1）2－47．【分析】先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（3，－41），再利用点平移的规律得到点（3，－41）平移后所得对应点的坐标为（－1，－47），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．解：y＝2x2－12x－23＝2（x－3）2－41，抛物线的顶点坐标为（3，－41），把点（3，－41）先向左平移4个单位长度，再向下平移6个单位长度所得对应点的坐标为（－1，－47），所以平移后的抛物线解析式为y＝2（x+1）2－47．故答案为y＝2（x+1）2－47．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．17．抛物线y＝x2－8x+1的顶点坐标是（4，－15）．【分析】用配方法把抛物线的一般式转化为顶点式，可求顶点坐标．解：∵y＝x2－8x+1＝（x－4）2－15，∴抛物线顶点坐标为（4，－15）．故答案为（4，－15）．【点评】本题可以用配方法把抛物线的一般式转化为顶点式，也可以用顶点坐标公式求解．18．若二次函数y＝2（x+1）2+3的图象上有三个不同的点A（x1，4）、B（x1+x2，n）、C（x2，4），则n的值为5．【分析】先根据点A，C的坐标，建立方程求出x1+x2＝－2，代入二次函数解析式即可得出结论．解：∵A（x1，4）、C（x2，4）在二次函数y＝2（x+1）2+3的图象上，∴2（x+1）2+3＝4，∴2x2+4x+1＝0，根据根与系数的关系得，x1+x2＝－2，∵B（x1+x2，n）在二次函数y＝2（x+1）2+3的图象上，∴n＝2（－2+1）2+3＝5，故答案为5．【点评】此题主要考查了二次函数图象上点的特点，根与系数的关系，求出x1+x2＝－2是解本题的关键．19．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x＝－1，经过点（0，1）有以下结论：①a+b+c＜0；②b2－4ac＞0；③abc＞0；④4a－2b+c＜0；⑤c－a＞1，其中所有正确结论的序号是①②③⑤．【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．解：①由图象可知：x＝1时，y＜0，∴y＝a+b+c＜0，故①正确；②由图象可知：△＞0，∴b2－4ac＞0，故②正确；＜0，③由图象可知：−b2a∴ab＞0，又∵c＝1，∴abc＞0，故③正确；④由图象可知：（0，0）关于x＝－1对称点为（－2，0）∴令x＝－2，y＞0，∴4a－2b+c＞0，故④错误；⑤由图象可知：a＜0，c＝1，∴c－a＝1－a＞1，故⑤正确；故答案为：①②③⑤【点评】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象，本题属于中等题型．第21页（共21页）。

第二十四章综合提优测评卷(时刻：60分钟 总分值：100分)一、 选择题(每题2分，共20分)1．一个点到一个圆的最短距离是3cm ，最长距离是6cm ，那么那个圆的半径是( ).A ．4.5cmB ．1.5cmC ．4.5cm 或1.5cmD ．9 cm 或3 cm2．假设⊙O 的半径长是4cm ，圆外一点A 与⊙O 上各点的最远距离是12cm ，那么自点A 所引⊙O 的切线长为( )．A ．16 cmB ．cm 34C ．cm 24D ．cm 643．四边形ABCD 内接于⊙O ，BC 是⊙O 的直径，假设∠ADC ＝120°，那么∠ACB 等于( )．A ．30°B ．40°C ．60°D ．80°4．三角形的外心是( )．A ．三条中线的交点B ．三个内角的角平分线的交点C ．三条边的垂直平分线的交点D ．三条高的交点5．如图，A 是半径为2的⊙O 外的一点，OA ＝4，AB 是⊙O 的切线，B 是切点，弦BC ∥OA ，那么的长为( )．A ．π32B ．π38C ．πD ．3π326.如图,两正方形彼此相邻且内接于半圆,假设小正方形的面积为16cm 2,那么该半圆的半径为（ ）.A.)54(+ c mB. 9 cm54 26（第6题） （第8题）7. ⊙O 的半径为15，在⊙O 内有一点P 到圆心O 的距离为9，那么通过点P 且长度是整数值的弦的条数是( )．A. 5B. 7C. 10D. 128.如图，一张半径为1的圆形纸片在边长为(3)a a ≥的正方形内任意移动，那么在该正方形内，这张圆形纸片“不能接触到的部份”的面积是（ ）.A.2πa -B. 2(4π)a - C. π D. 4π-9．如图，AB 为⊙O 的一固定直径，它把⊙O 分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C 作弦CD ⊥AB ，∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，当点C 在上半圆(不包括A 、B 两点)上移动时，点P ( ) .A ．到CD 的距离维持不变B. 位置不变C ．等分D ．随点C 的移动而移动(第9题 ) (第 10题)10.如图，等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝21cm,CD =9cm ，DA ＝10cm.⊙1O 与⊙2O 别离为ABD ∆和BCD ∆的内切圆，它们的半径别离为21,r r ，那么21r r 的值是（ ）. A ．47 B ．38 C ．37 D ．49 二、 填空题(每题2分，共20分)11．如图，在⊙O 中，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠AOC ＝60°，那么∠B ＝______．(第11题) (第12题)12．如图，在直径AB＝12的⊙O中，弦CD⊥AB于M，且M是半径OB的中点，那么弦CD的长是_______.13．假设圆锥的底面半径是2cm，母线长是4cm，那么圆锥的侧面积是________cm2．14．已知两圆的半径R、r别离为方程0652=+-xx的两根，两圆的圆心距为1，两圆的位置关系是.15．已知半径为2cm的两圆外切，半径为4cm且和这两个圆都相切的圆共有______个．16．如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好通过圆心O，那么折痕AB的长为________．（第16题）（第17题）17．如图，在平面直角坐标系中，⊙P与x轴相切于原点O，平行于y轴的直线交⊙P于M、N两点．假设点M的坐标是(2,-1)，那么点N的坐标是18．如图，∠ABC＝90°，O为射线BC上一点，以点O为圆心、BO21长为半径作⊙O，当射线BA绕点B按顺时针方向旋转______度时与⊙O相切．(第18题) (第19题)19.如图，在正方形ABCD内有一折线段，其中AE⊥EF，EF⊥F C，而且AE=6，EF=8，FC=10，那么正方形与其外接圆之间形成的阴影部份的面积为_______.20.如图，六边形ABCDEF是正六边形，曲线FK1K2K3K4K5K6K7…叫做“正六边形的渐开线”，其中FK1，K1K2，K2K3，K3K4，K4K5，K5K6，…的圆心依次按点A、B、C、D、E、F循环，其弧长别离记为l1，l2，l3，l4，l5，l6，…….当AB＝1时，l2 011等于_______.三、 解答题(第21～23题每题8分，其余每题9分，共60分)21. 如图(1)和图(2)，MN 是⊙O 的直径，弦AB 、CD 相交于MN 上的一点P ，∠APM ＝∠CPM .(1)由以上条件，你以为AB 和CD 大小关系是什么，请说明理由；(2)假设交点P 在⊙O 的外部，上述结论是不是成立？假设成立，加以证明；假设不成立，请说明理由．(1) (2)(第21题)22．如图，在Rt ΔABC 中，∠C ＝90º，点D 是AC 的中点，且∠A ＋∠CDB ＝90º,过点A 、D 作⊙O ，使圆心O 在AB 上，⊙O 与AB 交于点E ．（1）求证：直线BD 与⊙O 相切；（2）假设AD ：AE ＝4：5，BC ＝6,求⊙O 的直径．(第22题)23．如图，⊙O 是Rt △ABC 的外接圆，AB 为直径，∠ABC ＝30°，CD 是⊙O 的切线，ED ⊥AB 于F ．(1)判定△DCE 的形状；(2)设⊙O 的半径为1，且213-=OF 求证：△DCE ≌△OCB ． (第23题)24．如图是一纸杯,它的母线AC 和EF（第20题） A B C D E F K 1 2 34K 5 K 6K 7延长后形成的立体图形是圆锥,该圆锥的侧面展开图形是扇形OAB .经测量,纸杯上开口圆的直径是6cm,下底面直径为4cm,母线长EF =8cm.求扇形OAB 的圆心角及那个纸杯的表面积.(结果用π表示)（第24题）25．如图，已知AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，AB ⊥CD 于点E ，OF ⊥AC 于点F ，BE =OF .(1) 求证：OF ∥BC ；(2) 求证：△AFO ≌△CEB ；(3) 若EB =5cm ，CD =310cm ，设OE=x ，求x 的值及阴影部份的面积.（第.25题）26. 如图是两个半径都为2的⊙O 1和⊙O 2，由重合状态．．．．沿水平方向运动到相互外切．．．．进程中的三个位置，⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B 两点，别离连接O 1A 、O 1B 、O 2A 、O 2B 和AB .(1)如图(2)，当∠AO 1B ＝120°时，求两圆重叠部份．．．．图形的周长l ； (2)设∠AO 1B 的度数为x ，两圆重叠部份图形的周长为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(3)关于第(2)问，假设y ＝2π，那么线段O 2A 所在的直线与⊙O 1有何位置关系，什么缘故？除此之外，它们还有哪些其他的位置关系？写出其他位置关系时x 的取值范围．(1)(2)(3)(第26题)27．已知⊙O 1的半径为R ，周长为C ．（1）在⊙O 1内任意作三条弦，其长别离是1l ,2l ,3l ．求证：1l +2l +3l < C ； ＝（2）如图，在直角坐标系x O y 中，设⊙O 1的圆心为O 1)(R R ，．①当直线l ：)0(>+=b b x y 与⊙O 1相切时，求b 的值； ②当反比例函数)0(>=k xk y 的图象与 ⊙O 1有两个交点时，求k 的取值范围．第二十四章综合提优测评卷1．C 2．B 3．A 4．C 5．A 6．C 7. D 8．D 9．B 10．A11．30° 12．63 13．8π 14．内切 15．五 16．cm.32 17．(2,-4) 18．60或120 19.80π160- 20.2011π321. (1)AB ＝CD .理由：过点O 作OE 、OF 别离垂直于AB 、CD ，垂足别离为E 、F .∵ ∠APM ＝∠CPM ，∴ ∠DPO ＝∠BPO .∴ OE ＝OF .连接OD 、OB 且OB ＝OD ，∴ Rt △OFD ≌Rt △OEB .∴ DF ＝BE .依照垂径定理可得AB ＝CD .(2)作OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足为E 、F .∵ ∠APM ＝∠CPN ，且OP ＝OP ，∠PEO ＝∠PFO ＝90°，∴ Rt △OPE ≌Rt △OPF .∴ OE ＝OF .连接OA 、OB 、OC 、OD .易证Rt △OBE ≌Rt △ODF ，Rt △OAE ≌Rt △OCF .∴ ∠BOE ＋∠AOE ＝∠DOF ＋∠CDF .∴ AB ＝CD .22．（1）连接OD ，在AOD ∆中，OA =OD ，因此A ODA ∠=∠.又因为90A CDB ︒∠+∠=，因此90ODA CDB ︒∠+∠=..因此1809090BDO ︒︒︒∠=-=，即OD BD ⊥.因此BD 与⊙O 相切.（2）由于AE 为直径，因此90ADE ︒∠=,由题意可知//DE BC .又D 是AC 的中点，且:4:5,6AD AE BC ==，因此可得5AE =，即⊙O 的直径为5. 23．(1)∵ ∠ABC ＝30°，∴ ∠BAC ＝60°．∵ OA ＝OC ，∴ △AOC 是正三角形．∵ CD 是切线，∴ ∠OCD ＝90°．∴ ∠DCE ＝180°－60°－90°＝30°．∴ ∠DCE ＝∠DEC ．而ED ⊥AB 于点F ，∴ ∠CED ＝90°－∠BAC ＝30°．故△CDE 为等腰三角形．(2)在△ABC 中，∵AB ＝2，AC ＝AO ＝1，.3=∴BC又 ∠AEF ＝30°， ∴.132+==AF AE而∠OCB ＝∠ACB －∠ACO ＝30°＝∠ABC ，故△DCE ≌△OCB ．24．扇形OAB 的圆心角为45°,纸杯的表面积为44π c ㎡.25.（1）∵ AB 为⊙O 的直径,∴ ∠ACB =90°.∵ OF ⊥AC 于点F ，∴ ∠AFO =90°.∴ ∠ACB =∠AFO .∴ OF ∥BC.（2）由（1）知，∠CAB +∠ABC =90°.由已知AB ⊥CD 于点E 可得 ∠BEC =90°，∠CBE +∠ABC =90°， ∴ ∠CBE =∠CAB .又 ∠AFO =∠BEC ，BE =OF ,∴ △AFO ≌△CEB .（3）∵ AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，AB ⊥CD 于点E ， ∴ ∠OEC =90°,CE ＝21CD ＝.3531021=⨯ 在Ｒｔ△ＯＣＥ中，设OE=x ，ＯＢ＝５＋ｘ＝ＯＣ,由勾股定理得OC=OE+EC,∴ （５＋ｘ）２＝()2235x + .解得ｘ＝５．在Ｒｔ△ＯＣＥ中，∠ＣＯＥ为锐角,∴ ∠OEC =６0°.由圆的轴对称性可知阴影部份的面积为：()2100π253cm 3=-. 26. (1)由对称性，得∠AO 2B ＝∠AO 1B ＝120°，∴ l ＝2×13×(2π×2)＝8π3. (2)y ＝π45x (0≤x ≤180) (3)假设y ＝2π，那么线段O 2A 所在直线与⊙O 1相切．理由如下：由π45x ＝2π，解得x ＝90.∴ ∠AO 1B ＝90°，菱形AO 1BO 2是正方形．∴ ∠O 1AO 2＝90°，即O 2A ⊥O 1A .而O 1A 是⊙O 1的半径，且点A 为O 1A 的外端， ∴ 线段O 2A 所在的直线与⊙O 1相切．还有线段O 2A 所在的直线与⊙O 1相交，现在0≤x ＜90和90＜x ≤180.27．（1）∵ 12l R ≤，R l 22≤，R l 23≤,∴ 1l +2l +3l C R R =⨯<⨯≤223π,∴ 1l +2l +3l < C ．（2）①如图(1)，依照题意可知⊙O 1与x 轴,y 轴别离相切，设直线l 与⊙O 1相切于点M ，那么O 1M ⊥l ，过点O 1作直线NH ⊥x 轴，与l 交于点N ，与x 轴交于点H . 又直线l 与x 轴、y 轴别离交于点E （b -，0）、F （0，b ）， ∴ OE ＝OF ＝b .∴ ∠NEO ＝45o .∴ ∠ENO 1＝45o . H NMF E l 0yxO 1（第27题（1））在Rt △O 1MN 中，O 1N ＝R 2，∴ 点N 的坐标为N （R ，R R +2）.把点N 坐标代入b x y +=,得b R R R +=+2，解得R b 2=.②如图（2），设通过点O 、O 1的直线交⊙O 1于点A 、D ，那么由已知直线OO 1：x y =是圆与反比例函数图象的对称轴，当反比例函数x k y =的图象与⊙O 1直径AD 相交时（点A 、D 除外），那么反比例函数x k y =的图象与⊙O 1有两个交点． E DC B AO 1xy 0y=kx（第27题（2））过点A 作AB ⊥x 轴交x 轴于点B ，过O 1作O 1C ⊥x 轴于点C ，OO 1＝O 1C ÷sin45o ＝R 2，OA ＝R R +2，因此OB ＝AB ＝=⋅+22)2(R R R R 22+， 因此点A 的坐标是A )22,22(R R R R ++，将点A 的坐标代入x k y =， 解得2)223(R k +=． 同理可求得点D 的坐标为D )22,22(R R R R --.将点D 的坐标代入x k y =，解得23(.2k R = 因此当反比例函数)0(>=k xk y 的图象与⊙O 1有两个交点时，k 的取值范围是2233((.22R k R <<+。

一元二次方程根与系数的关系考点一 已知一元二次方程的一个解 根据根与系数的关系求另一个解考点二 根据一元二次方程的根与系数的关系求代数式的值考点三 根据一元二次方程的根与系数的关系求参数问题考点四 一元二次方程根的判别式与根与系数的综合问题考点一 已知一元二次方程的一个解 根据根与系数的关系求另一个解例题：（2022·陕西·西安铁一中分校三模）若关于x 的方程250x x a -+=有一个根是2 则另一个根是（ ）A ．6B ．3C ．3-D ．7-【答案】B【解析】【分析】由根和系数的关系即可求得方程的另一个根．【详解】解：设另一个根为m 由根和系数的关系有：25m +=解得3m =故选：B ．【点睛】本题考查一元二次方程根和系数的关系 熟练掌握相关知识是解题的关键．【变式训练】1．（2022·江苏南京·二模）关于x 的方程x 2+bx −2=0有一个根是1 则方程的另一个根是______．【答案】-2【解析】【分析】设方程的另一个根为t 根据根与系数的关系得到1×t =-2 然后解一次方程即可．【详解】解：设方程的另一个根为t根据题意得1×t=-2解得t=-2．故答案为：-2．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时x1+x2=-bax1x2=ca．2．（2022·四川成都·二模）已知关于x的方程x2+3x+m＝0的一个根是1则此方程的另一个根为_____．【答案】-4【解析】【分析】设该方程的两根为x1x2根据一元二次方程根与系数的关系求出两根之和结合“已知关于x的方程x2+3x+m＝0的一个根是1” 即可得到答案．【详解】设该方程的两根为x1x2则x1+x2＝﹣3∵该方程的一个根为1∵另一个根为：﹣3﹣1＝﹣4故答案为：﹣4．【点睛】本题考查了根与系数的关系一元二次方程的解正确掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．考点二根据一元二次方程的根与系数的关系求参数问题例题：（2022·江苏南京·模拟预测）已知关于x的方程x2+2（m﹣1）x﹣4m＝0的两个实数根是x1x2且x1+x2＝4则m的值为__．【答案】-1【解析】【分析】根据根与系数的关系得出x1+x2＝﹣2（m﹣1）＝4再解方程即可．【详解】解：∵关于x 的方程x 2+2（m ﹣1）x ﹣4m ＝0的两个实数根是x 1和x 2 且x 1+x 2＝4∵由根与系数的关系得：x 1+x 2＝﹣2（m ﹣1）＝4解得：m ＝﹣1故答案为：﹣1．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系 能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键．【变式训练】1．（2022·四川泸州·中考真题）已知关于x 的方程()22210x m x m --+=的两实数根为1x 2x 若()()12113++=x x 则m 的值为（ ）A ．3-B ．1-C ．3-或3D ．1-或3【答案】A【解析】【分析】利用根与系数的关系以及()22=2140∆--≥m m 求解即可．【详解】 解：由题意可知：1221221x x m x x m+=-⎧⎨⋅=⎩ 且()22=2140∆--≥m m ∵()()121212111=3++=⋅+++x x x x x x∵()22113+-+=m m 解得：3m =-或1m =∵()22=2140∆--≥m m 即14m ≤∵3m =-故选：A【点睛】 本题考查根与系数的关系以及根据方程根的情况确定参数范围 解题的关键是求出14m ≤再利用根与系数的关系求出3m =-或1m =（舍去）． 2．（2022·四川泸州·二模）已知12,x x 是关于x 的一元二次方程222230x ax a a -+--=两个实数根 且221222x x += 则a ＝______．【答案】2【解析】【分析】 先根据一元二次方程根的判别式可得32a ≥- 再根据一元二次方程的根与系数的关系可得1212,x x x x + 然后根据221222x x +=建立方程 解方程即可得．【详解】解：由题意 此方程根的判别式2244)02(3a a a ∆--=-≥ 解得32a ≥- 12,x x 是关于x 的一元二次方程222230x ax a a -+--=两个实数根2121222,231a x x a a x a x -∴+=--=-= 2222121212(4)226x x x x a x x a ∴-=+++=+221222x x +=262224a a +∴=+解得2a =或342a =-<-（舍去） 故答案为：2．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、解一元二次方程等知识点 熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．考点三 根据一元二次方程的根与系数的关系求代数式的值例题：（2021·江西九江·九年级期中）若1x 2x 是方程22340x x --=的两个根 则1212x x x x ++的值为__________． 【答案】12- 【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．【详解】解：∵1x 2x 是方程22340x x --=的两个根 ∵213322x x -+=-= 12422x x -==- ∵121212x x x x ++=- 故答案为：12-． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系 熟知一元二次方程根于系数的关系式解题的关键．【变式训练】1．（2022·四川眉山·中考真题）设1x 2x 是方程2230x x +-=的两个实数根 则2212x x +的值为________．【答案】10【解析】【分析】由根与系数的关系 得到122x x +=- 123x x =- 然后根据完全平方公式变形求值 即可得到答案．【详解】解：根据题意∵1x 2x 是方程2230x x +-=的两个实数根∵122x x +=- 123x x =-∵2212122212()2(2)2(3)10x x x x x x =+-=--⨯-=+；故答案为：10．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系 完全平方公式变形求值 解题的关键是掌握得到122x x +=- 123x x =-．2．（2022·全国·九年级）如果m 、n 是两个不相等的实数 且满足m 2﹣m ＝3 n 2﹣n ＝3 那么代数式2n 2﹣mn ＋2m ＋2021＝___．【答案】2032【解析】【分析】由题意得m n 是x 2﹣x ﹣3＝0的两个不相等的实数根 则根据根与系数的关系可知：m +n ＝1 mn ＝﹣3 则2n 2﹣mn +2m +2021＝2（n +3）﹣mn +2m +2021＝2n +6﹣mn +2m +2021＝2（m +n ）﹣mn +2027 代入求解即可．【详解】由题意可知：m n 是两个不相等的实数 且满足m 2﹣m ＝3 n 2﹣n ＝3所以m n 是x 2﹣x ﹣3＝0的两个不相等的实数根所以m +n ＝1 mn ＝﹣3 又n 2＝n +3所以2n 2﹣mn +2m +2021＝2（n +3）﹣mn +2m +2021＝2n +6﹣mn +2m +2021＝2（m +n ）﹣mn +2027＝2×1﹣（﹣3）+2027＝2+3+2027＝2032；故答案为：2032．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系 解题关键是把所求代数式化成两根之和、两根之积的系数 然后利用根与系数的关系式求值．考点四 一元二次方程根的判别式与根与系数的综合问题例题：（2022年四川省南充市中考数学试卷）已知关于x 的一元二次方程2320x x k ++-=有实数根．(1)求实数k 的取值范围．(2)设方程的两个实数根分别为12,x x 若()()12111x x ++=- 求k 的值．【答案】(1)k 174≤； (2)k =3【解析】【分析】根据一元二次方程有实数根得到32-4（k -2）≥0 解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到12123,2x x x x k -+==- 将等式左侧展开代入计算即可得到k 值．(1)解：∵一元二次方程2320x x k ++-=有实数根．∵∆≥0 即32-4（k -2）≥0解得k 174≤(2)∵方程的两个实数根分别为12,x x∵12123,2x x x x k -+==-∵()()12111x x ++=-∵121211x x x x +++=-∵2311k --+=-解得k =3．【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式 一元二次方程根与系数的关系式 熟练掌握一元二次方程有关知识是解题的关键．【变式训练】1．（2022·湖南·双牌县教育研究室模拟预测）已知关于x 的一元二次方程26210x x m -+-=有1x 2x 两个实数根．(1)求m 的取值范围；(2)若11x = 求2x 及m 的值；(3)是否存在实数m 满足()()12229m x x --=-？若存在 求出实数m 的值？若不存在 请说明理由．【答案】(1)5m ≤(2)25x =；3m =(3)存在；3或32 【解析】【分析】（1）根据方程有两个实数根 得到根的判别式大于等于0 求出m 的范围即可；（2）利用根与系数的关系求出两根之和 把x 1的值代入计算求出x 2 进而求出m 的值即可； （3）利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积 代入已知等式计算 判断即可．(1)解：∵关于x 的一元二次方程26210x x m -+-=有1x 2x 两个实数根∵2(6)4(21)0m ∆=---≥解得5m ≤；(2)解：∵126x x += 11x = 1221x x m =-∵25x =∵1521m ⨯=-解得3m =；(3)解：存在 理由如下：∵126x x += 1221x x m =- ()()12229m x x --=-∵()()1212249m x x x x -++=-⎡⎤⎣⎦∵()211249m m --+=-⎡⎤⎣⎦整理得22990m m -+=∵2(9)429817290∆=--⨯⨯=-=> ∵934m ±= 解得13m = 232m =． 【点睛】此题考查了根与系数的关系 以及根的判别式 熟练掌握一元二次方程根与系数的关系及根的判别式意义是解本题的关键．2．（2022·湖北荆门·一模）已知关于x 的一元二次方程2(31)210ax a x a -+++=．(1)求证：无论a 为任何非零实数 此方程总有两个实数根；(2)若该方程的两个实数根分别为1x 、2x 且212x x -= 求a 的值．【答案】(1)见解析；(2)11a = 213a =- 【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式判断即可；（2）利用一元二次方程根与系数的关系 结合完全平方公式的变形求值即可．(1)解：∵一元二次方程2(31)210ax a x a -+++=2(31)4(21)a a a ∆=+-+221a a =++2(1)0a =+≥∵无论a 为任何非零实数 此方程总有两个实数根；(2)解：依题意得 1231a a x x ++= 1221a ax x += ∵212x x -= ∵21212()44x x x x +-= ∵2314(21)()4a a a a++-= 即23210a a --= （3a +1）（a -1）=0解得11a = 213a =-； 【点睛】本题考查了一元二次方程()200++=≠ax bx c a 根的判别式24b ac ∆=-及根与系数的关系12b x x a+=- 12c x x a=．一、选择题1．（2022·宁夏固原·一模）已知方程220x mx ++=的一个根是1 则它的另一个根是（ ） A ．1B ．2C ．2-D ．3【答案】B【解析】【分析】设方程的另一个根为x 1 根据两根之积等于c a 即可得出关于x 1的一元一次方程 解之即可得出结论． 【详解】解：设方程的另一个根为x 1 根据题意得：11x ⨯ =2 解得 x 1=2．故选:B ．【点睛】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解以及解一元一次方程 牢记一元二次方程ax ²+bx +c =0(a ≠0)的两根之积等于c a是解题的关键． 2．（2022·江苏·滨海县第一初级中学三模）若1x 、2x 是一元二次方程2350x x +-=的两根 则12x x ⋅的值是（ ）A ．3B ．-3C ．5D ．-5 【答案】D【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系计算求值即可；【详解】解：∵1x 、2x 是一元二次方程2350x x +-=的两根 ∵12551x x -==-故选：D ． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若1x 、2x 是一元二次方程()200++=≠ax bx c a 的两根 则12b x x a +=- 12cx x a=．3．（2022·湖北省直辖县级单位·二模）设方程230x x -=两个根为1x 、2x 则2212x x +=（ ）A ．9+B ．9-C ．9D ．9【答案】A 【解析】 【分析】()2221212122x x x x x x +=+- 由韦达定理可知 123x x += 12x x = 代入即可求解．【详解】()2221212122x x x x x x +=+-由韦达定理可知 123x x += 12x x =则2212x x +=(2329-⨯=+故选A ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系 熟练利用完全平方公式进行变形是解题的关键．4．（2022·广东汕头·一模）若p 、q 是一元二次方程2490x x +-=的两个根 则23p p q +-的值是（ ） A ．6 B ．9 C ．12 D ．13【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系得4p q +=- 再根据一元二次方程的解的意义得2490p p +-= 即239p p p +=- 再把4p q +=-代入计算即可．【详解】∵p 、q 是一元二次方程2490x x +-=的两个根∵4p q +=- 2490p p +-= ∵239p p p +=- ∵23p p q +- 9p q =--()9p q =-+ ()94=--13=．故选D ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的意义和根与系数的关系 熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．5．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知关于x 的一元二次方程2220x mx m m ++-=的两实数根为12,x x 且满足122x x = 则12x x +的值为（ ）A ．4B ．-4C ．4或-2D ．-4或2【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系 根的判别式及解一元二次方程可求出m 的值 即可求解． 【详解】关于x 的一元二次方程2220x mx m m ++-=的两实数根为12,x x212122,x x m x x m m ∴+=-⋅=- 22(2)4()40m m m m ∆=--=>0m ∴>122x x = 即22m m -= 解得2m =或1- 2m ∴=12224x x ∴+=-⨯=-【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系 根的判别式及解一元二次方程 如果方程20(a 0)++=≠ax bx c 的两个实数根是12,x x 那么12b x x a +=- 12cx x a=；也就是说 对于任何一个有实数根的一元二次方程 两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商． 二、填空题6．（2022·山东济南·二模）已知关于x 的方程230x x m +-=的一个根为3- 则它的另一个根为__________． 【答案】0 【解析】 【分析】由于已知方程的二次项系数和一次项系数 所以要求方程的另一根 可利用一元二次方程的两根之和与系数的关系． 【详解】解：设a 是方230x x m +-=的另一个根 则a +（-3）=-3 即a =0． 故答案为：0． 【点睛】此题考查了根与系数的关系 一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0） 当方程有解 即b 2-4ac ≥0时 设方程的解分别为x 1 x 2 则有1212,b cx x x x a a+=-⋅=．7．（2022·江苏·南京市花园中学模拟预测）设1x 2x 是关于x 的方程220x kx k -+-=的两个根 121x x =+ 则12x x =_____． 【答案】1- 【解析】 【分析】运用根与系数关系定理 具体化求解即可．解：∵12x x 、是关于x 的方程x 2﹣kx +k ﹣2＝0的两个根 121x x =+ ∵121x x =+＝k 12x x ＝k ﹣2 ∵12x x ＝1﹣2＝﹣1． 故答案为﹣1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数关系 熟练掌握定理并灵活运用是解题的关键．8．（2022·山东·济宁学院附属中学三模）已知m n 是一元二次方程220210x x +-=的两个实数根 则代数式2m n -的值等于___________． 【答案】2022 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义得到220210m m +-= 得到22021m m =-+()220212021m n m n m n -=-+-=-+ 根据根与系数的关系得出式子的值．【详解】解：∵m n 是一元二次方程220210x x +-=的两个实数根 ∵111b m n a +=-=-=- 220210m m +-= 即22021m m =-+ ∵22021m n m n -=-+- ()2021m n =-+ ()20211=--20211=+ 2022=故答案为：2022． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根 根与系数的关系 求代数式的值 根据题意得出22021m m =-+ 熟练掌握根与系数的关系：12b x x a +=- 12cx x a= 是解题的关键．9．（2022·四川眉山·九年级期中）设a 、b 是方程220220x x -+=的两个实数根 则(1)(1)a b --的值为__________． 【答案】2022 【解析】 【分析】由一元二次方程根与系数的关系可得a +b 、ab 的值 再把(1)(1)a b --展开再整体代入即可求得结果． 【详解】∵a 、b 是方程220220x x -+=的两个实数根 ∵a +b =1 ab =2022∵(1)(1)()12022112022a b ab a b --=-++=-+= 故答案为：2022． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系 多项式乘法 整体代入法求代数式的值等知识 利用一元二次方程根与系数的关系并用多项式乘法展开是解题的关键．10．（2022·四川成都·二模）已知关于x 的一元二次方程2210x x m -++=有两个实数根分别为1x 2x ．若2212126x x x x ++= 则m 的值为______．【答案】-3 【解析】 【分析】根据根与系数的关系得出122x x +＝ 121x x m ⋅+＝ 代入求出即可． 【详解】∵关于x 的一元二次方程2210x x m -++=有两个实数根1x 2x ∵122x x +＝ 121x x m ⋅+＝∵2212126x x x x ++=即有21212()6x x x x +-=∵4-(m +1)=6解得：m =-3经检验当m =-3时 方程有两个解 故答案为-3． 【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系 能根据根与系数的关系得出关系式122x x +＝和121x x m ⋅+＝是解此题的关键． 三、解答题11．（2022·全国·九年级）已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=．(1)k 取什么值时 方程有两个实数根；(2)如果方程有两个实数根12,x x 且12||x x = 求k 的值． 【答案】(1)k ≥32(2)k =32【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式 即可求解；（2）分两种情况讨论：当x 1≥0时 x 1=x 2；当x 1＜0时 得x 2=-x 1 再根据一元二次方程根与系数关系和根的判别式 即可求解． (1)解：∵=[-（k +1）]2-4（14k 2+1）=2k -3∵当∵≥0 方程有两个实数根 ∵2k -3≥0 解得∵k ≥32∵当k ≥32时 方程有两个实数根；(2)解∵由|x 1|=x 2 ①当x 1≥0时 x 1=x 2 ∵方程有两个相等实数根 ∵∵=0 即2k -3=0∵k=32．又当k=32时有x1=x2=52＞0∵k=32符合条件；②当x1＜0时得x2=-x1∵x1+x2=0由根与系数关系得k+1=0∵k=-1由（1）知与当k≥32矛盾∵k=-1舍去综上可得k=32．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数关系和根的判别式熟练掌握一元二次方程根与系数关系和根的判别式是解题的关键．12．（2022·四川攀枝花·九年级期末）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0有两个实数根．(1)求k的取值范围；(2)若方程的两根x1x2满足（x1+1）（x2+1）＝4求k的值．【答案】(1)k≥﹣3且k≠1(2)2【解析】【分析】（1）由方程有两个实数根结合根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式并使k﹣1≠0即可得出结论．（2）根据一元二次方程的根与系数的关系可以得到x1+x2＝41k-x1x2＝﹣11k-再将它们代入（x1+1）（x2+1）＝4即可求出k的值．(1)解：（1）∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0有两个实数根．∵k﹣1≠0∆＝b2﹣4ac≥0即（﹣4）2﹣4×（k﹣1）×（﹣1）≥0∵k ≥﹣3且k ≠1． (2)解：∵关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣4x ﹣1＝0的两根为x 1 x 2 ∵x 1+x 2＝41k - x 1x 2＝﹣11k -． ∵（x 1+1）（x 2+1）＝4 ∵（x 1+x 2）+x 1x 2+1＝4 即41k -﹣11k -+1＝4 整理 得：k ﹣1＝1 解得：k ＝2经检验 k ＝2是方程的解 ∵k ＝2． ∵k 的值为2． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系 解题关键是熟练运用根与系数关系列出方程或不等式． 13．（2022·福建泉州·九年级期末）关于x 的一元二次方程2310x x k -++=有实数根． (1)求k 的取值范围；(2)如果12,x x 是方程的两个解 令221212=++w x x x x k 求w 的最大值．【答案】(1)54k ≤ (2)8 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ≥0 即可得出关于k 的一元一次不等式 解之即可得出k 的取值范围；（2）利用根与系数的关系可得出x 1＋x 2＝3 x 1•x 2＝k ＋1 结合w ＝x 1x 22＋x 12x 2＋k 由增减性可求w 的最大值． (1)解：（1）∵关于x 的一元二次方程x 2−3x ＋k ＋1＝0有实数根 ∵Δ＝b 2−4ac ＝（−3）2−4×1×（k ＋1）≥0解得：k ≤54∵k 的取值范围为k ≤54；(2)∵x 1 x 2是关于x 的一元二次方程x 2−3x ＋k ＋1＝0的两个解 ∵x 1＋x 2＝3 x 1•x 2＝k ＋1．∵w ＝x 1x 22＋x 12x 2＋k ＝x 1x 2（x 1＋x 2）＋k ＝3（k ＋1）＋k ＝4k ＋3 ∵k ＝54时 w 的最大值为4×54＋3＝5＋3＝8．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式 解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时 方程有实数根”；（2）利用根与系数的关系结合w ＝x 1x 22＋x 12x 2＋k 根据增减性可求w 的最大值． 14．（2021·湖南湘西·九年级期中）已知关于x 的方程()()22140.50x k x k -++-= (1)求证：不论k 取什么实数值 这个方程总有实数根；(2)若等腰三角形ABC 的一边长为4a = 另两边的长b 、c 恰好是这个方程的两个根 求∵ABC 的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2)∵ABC 的周长为10 【解析】 【分析】（1）由题意知 ∆()()221440.5k k =+-⨯- 判断∆与0的大小关系 进而可证结论； （2）由题意知 ()21211k b c k -++=-=+ 分两种情况求解：①当边长4a =为底边时 则b c = 根据∆()2230k =-= 计算求解,,k b c 的值 然后判断三边关系是否能构成等腰三角形 进而可求周长；②当边长4a =为等腰三角形的腰时 则4是方程的根 将4x = 代入一元二次方程得()()2442140.50k k -++-= 计算求解,,k b c 的值 然后判断三边关系是否能构成等腰三角形 进而可求周长． (1)证明：由题意知 ∆()()221440.5k k =+-⨯- 24129k k =-+()223k =-∵∆≥0∵不论k 取什么实数值 这个方程总有实数根． (2)解：由题意知 ()21211k b c k -++=-=+ ①当边长4a =为底边时 则b c = ∵∆()2230k =-= ∵32k∵214b c k +=+= ∵b c a +=∵不满足三角形三边的关系 舍去；②当边长4a =为等腰三角形的腰时 则4是方程的根将4x = 代入一元二次方程得()()2442140.50k k -++-=解得52k =∵52+162b c +=⨯= 2c =∵此时 ABC 的三边长为2 4 4∵10a b c ++=∵此时ABC 的周长为10 综上所述 ABC 的周长为10．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的个数 一元二次方程的解与系数的关系 等腰三角形的性质 构成三角形的三边关系等知识．解题的关键在于熟练掌握一元二次方程的解．15．（2021·四川内江·一模）已知关于x 的一元二次方程：22(12)10k x k x +-+=有两个不相等的实数根． (1)求k 的取值范围；(2)若原方程的两个实数根为1x 、2x 且满足1212||||23x x x x +=- 求k 的值． 【答案】(1)14k <且0k ≠(2)13- 【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到∵Δ=（1-2k ）2-4k 2>0且k 2≠0 然后求出两个不等式的公共部分即可；（2）利用根与系数的关系得到12221k x x k -∴+= 1221x x k = 加上k<14且k ≠0 则可判断x 1<0 x 2<0 所以-x 1-x 2=2x 1x 2-3 即-（x 1+x 2）=2x 1x 2-3．则222123k k k --=- 然后解方程求出k 即可得到满足条件的k 的值． (1)解： 关于x 的一元二次方程22(12)10k x k x +-+=有两个不相等的实数根∴△22(12)40k k =-->且20k ≠ 解得14k <且0k ≠ k ∴的取值范围是14k <且0k ≠； (2) 解：原方程的两个实数根为1x 、2x12221k x x k -∴+= 1221x x k= 而14k <且0k ≠； 122210k x x k -∴+=< 12210x x k => 10x ∴< 20x <1212||||23x x x x +=-121223x x x x ∴--=- 即1212()23x x x x -+=-． ∴222123k k k--=- 整理得23210--=k k解得：11k = 213k =-． 又14k <且0k ≠11k ∴=不合题意 舍去．经检验 213k =-是方程222123k k k --=-的解． k ∴的值为13-． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1 x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根时 x 1+x 2=-b a x 1x 2=c a．也考查了根的判别式．。

初中九年级上数学提优测试（一）试题卷一．选择题（共9小题，每小题3分，共27分） 1．若a b <，则下列不等式正确的是( ) A ．1a b< B ．22ac bc < C ．b a -<- D ．0b a -<2．若a 、b 是一元二次方程2360x x +-=的两个不相等的根，则23a b -的值是( ) A ．15B ．15-C ．3-D ．33．轮船在静水中的航速为40/km h ，它以该航速沿河顺流航行100km 所用时间，和它以该航速沿河逆流航行80km 所用时间相等，设河水的流速/vkm h ，则可列方程为（ ） A ．100804040v v =+- B ．100804040v v =+- C ．100804040v v =-+ D ．100804040v v=-+ 4．在ABC ∆中，6AC =、8BC =，10AB =，用尺规作图的方法在BC 上确定一点P ，设PC x =，下列作图方法中，不能求出PC 的长的作图是( )A ．B ．C ．D ．5．如图，点E 是菱形ABCD 对角线BD 上任一点，点F 是CD 上任一点，连接CE ，EF 当45ABC ∠=︒，10BC =时，CE EF +的最小值是( )A ．10B ．5C ．102D ．26．如图，在坐标系中，平行四边形OABC 的边OA 在x 轴的正半轴上，反比例函数(0)ky x x=>的图象经过对角线OB 的中点D 和顶点C ．若平行四边形OABC 的面积为12，则k 的值为( ) A ．6 B ．5C ．4D ．3CAP7．一次函数1y mx n =+与2y x a =-+的图像如图所示， 则0mx n x a <+<-+的解集为( ) A ．23x << B ．2x <C ．3x >D ．02x <<8．如图，已知：在矩形ABCD 中，AD=2，AB =3，点E 、F 分别是AD 的中点和AB 边上的动点，连接EF ，并把△AEF 沿着EF 对折得△GEF ，当F 点从点A 运动至B 时，点G 的运动的轨迹长为( ) A ．2πB ．32π C ．无法计算 D ．π9．利用学过的绝对值知识，可将函数23||2y x x =-+转化为y=x 2-3x+2（x ≥0）或y=x 2+3x+2（x ≤0）则下列结论中正确的有( )①当2x >时，y 随x 增大而增大； ②此函数图象有两条对称轴；③函数图象中两个最低点之间的距离为3；④当23||20x x -+<时，x 的取值范围是21x -<<-或12x <<． A ．①②③B ．①③④C ．①③D ．③④二．填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 10．2019331(1)64|223|()2--+-= ．11．已知x ，y ，z 是ABC ∆的三边，且满足2222xy x yz z +=+，则ABC ∆的形状是 ．12．小天想要计算一组数据92，90，94，86，99，85的方差20s ，在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4，4-，9，5-，记这组新数据的方差为21s ，则21s 20s （填“>”，“ =”或” <” )GECBD13．在平面直角坐标系中，已知点(3,0)A ，(0,4)B ，将BOA ∆绕点A 按顺时针方向旋转得CDA ∆，连接OD ．当DOA OBA ∠=∠时，OD 的长为_______，点D 的坐标为______． 14．四边形ABCD 内接于圆，∠DAB =60°，弦AD =AB ，弦CD 和弦BC 的和为4，则AC 两点的距离为_________，四边形ABCD 的面积为__________．第13题图 第14题图三．解答题（共4小题，满分33分） 15．（7分）先化简再求值：若2a =-，求221(1)1a a a a -÷---的值．16．（8分）2019年1月，旨在加强生活垃圾分类管理，提高生活垃圾减量化、资源化、无害化处理水平及推进生态文明建设的《海宁市生活垃圾分类管理办法》开始施行．为了了解居民对生活垃圾分类相关知识的了解程度，某社区随机抽取了部分本社区居民进行调查，并绘制了如下统计图（不完整）（1）接受调査的总人数为 人，并请补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，“了解一点”部分扇形的圆心角是 ︒；（3）若该社区总共有8000名居民，请你估计其中对生活垃圾分类相关知识“了解一点”和“完全不了解”的总人数．ABDC17．（8分）大学生小王相应国家“自主创业”的号召，利用银行小额无息贷款开办了一家饰品店．该店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件．市场调查反映：调整价格时，售价每涨1元每月要少卖10件；售价每下降1元每月多卖20件．为获得更大的利润，现将饰品售价调整为60x -（元/件）(0x >即售价下降，0x <即售价上涨），每月饰品销量为y （件)，月利润为w （元)． （1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）如何确定销售价格才能使月利润最大？求最大月利润；18．（10分）我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．（1）已知：如图1，四边形ABCD 是“等对角四边形”， A C ∠≠∠，75A ∠=︒，85D ∠=︒，则C ∠= ．（2）已知：在“等对角四边形” ABCD 中，60DAB ∠=︒，90ABC ∠=︒，4AB =，3AD =．求BC 的长．（3）已知：如图2，在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 是“等对角四边形”，其中(2,0)A -、(2,0)C 、(1,3)B --，点D 在y 轴上，抛物线2(0)y ax bx c a =++<过点A 、D ，且当-2≤x ≤2时，函数2y ax bx c =++取最大值为3，求二次项系数a 的值．。

BD1若直角三角形的两直角边长为a 、b ，且满足，则该直角三角形的斜边长为 ．2如图，将菱形纸片ABCD 折叠，使点A 恰好落在菱形的对称中心O 处，折痕为EF.若菱形ABCD 的边长为2cm ，∠A=120°，则EF=_________cm 。

3如图，BD 为圆O 的直径，直线ED 为圆O 的切线，A 、C 两点在圆上，AC 平分∠BAD 且交BD 于F 点，若∠ADE ＝19°，则∠AFB 的度数为 ▲ ．4．把一个半径为1cm 的圆O ，从边长为5cm 的正△ABC 的顶点A 处，按顺时针方向沿着三角形ABC 的三边滚动，则圆O 绕△ABC 滚动一周时圆心O 所经过的路线长为 ▲ ．5如图，已知反比例函数y=k 1x ( k 1＞0)和y=k 2x( k 2＜0)。

点A 在y 轴的正半轴上，过点A 作直线BC∥x 轴，且分别与两个反比例函数的图象交于点B 和C ，连接OC 、OB 。

若△BOC 的面积为52，AC ：AB=2：3，则k 1= ，k 2= 。

6．已知点P 是抛物线y ＝ax 2＋c 上一个动点且点P 到直线y ＝－2的距离始终等于PO(O 为坐标原点)，则该抛物线的解析式为 ▲ ，7如图，△ABC 是等边三角形，P 是∠ABC 的平分线BD 上一点，PE⊥AB 于点E ，线段BP 的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q ．若BF=2，则PE 的长为【 】(7)(8)A ． 2B ． 2C ．D ． 38如图，⊙O 的半径OD ⊥弦AB 于点C ，连结AO 并延长交⊙O 于点E ，连结EC ．若AB=8，CD=2，则EC 的长为（ ） 229如图，有一圆心角为120 、半径长为6cm 的扇形，若将OA 、OB 重合后围成一圆锥侧面，那么圆锥的高是（）A ．24cm B ．35cm C ．62cm D ．32 c 10如图，P 是边长为1的正六边形对角线CD 上一点，则AP ＋BP 的最小值为（ ）DA 、1B 、3C 、2D 、2311如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，△AEF 是等边三角形，连接AC 交EF 于G ，下列结论：①BE ＝DF ，②∠DAF ＝15°，③AC 垂直平分EF ，④BE +DF ＝EF ，⑤S △CEF ＝2S △ABE ．其中正确的结论有( )个A ．2B ．3C ．4D ．512如图，AB 是⊙O 的直径，且AB=10，弦MN 的长为8，若弦MN 的两端在圆上滑动时，始终与AB 相交，记点A 、B 到MN 的距离分别为h 1，h 2，则|h 1－h 2| 等于（ ） A 、5 B 、6 C 、7 D 、813如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD ，小李在山坡的坡脚A 处测得广告牌底部D 的仰角为60°，沿坡面AB 向上走到B 处测得广告牌顶部C 的仰角为45°，已知山坡 AB 的坡度i=1：，AB=8米，AE=12米． （1）求点B 距水平面AE 的高度BH ； （2）求广告牌CD 的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）14已知：如图，AB 是⊙O 的直径，E 是⊙O 外一点，过点E 作AB 的垂线ED ，交BA 的延长线于点D ,EA 的延长线与⊙O 交于点C ，DE DC =．（1）求证：DC 是⊙O 的切线；（2）若55sin =∠ACD ，⊙O 的半径为5，求AE 的长．15矩形ABCD中，AB=4，AD=3，把矩形沿直线AC折叠，使点B落在点E处，AE交CD 于点F，连接DE．（1）求证：△DEC≌△EDA；（2）求DF的值；（3）如图2，若P为线段EC上一动点，过点P作△AEC的内接矩形，使其定点Q落在线段AE上，定点M、N落在线段AC上，当线段PE的长为何值时，矩形PQMN的面积最大？并求出其最大值．16如图1，Rt△ABC两直角边的边长为AC＝3，BC＝4．（1）如图2，⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点X，与边BC相切于点Y．请你在图2中作出并标明⊙O的圆心（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）P是这个Rt△ABC上和其内部的动点，以P为圆心的⊙P与Rt△ABC的两条边相切．设⊙P的面积为S，你认为能否确定S的最大值？若能，请你求出S的最大值；若不能，请你说明不能确定S的最大值的理由．17如图①，O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形OACB是平行四边形，sin∠AOB=，反比例函数y=（k＞0）在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F．（1）若OA=10，求反比例函数解析式；（2）若点F为BC的中点，且△AOF的面积S=12，求OA的长和点C的坐标；（3）在（2）中的条件下，过点F作EF∥OB，交OA于点E（如图②），点P为直线EF上的一个动点，连接PA，PO．是否存在这样的点P，使以P、O、A为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．18在平面直角坐标系xOy 中,已知二次函数214y x mx n =++的图象经过点(2,0)A 和点3(1,)4B -,直线l 经过抛物线的顶点且与y 轴垂直,垂足为Q .(1) 求该二次函数的表达式；(2) 设抛物线上有一动点P 从点B 处出发沿抛物线向上运动,其纵坐标1y 随时间(t t ≥0)的变化规律为1324y t =-+.现以线段OP 为直径作C .①当点P 在起始位置点B 处时,试判断直线l 与C 的位置关系,并说明理由；在点P 运动的过程中,直线l 与C 是否始终保持这种位置关系? 请说明你的理由； ②若在点P 开始运动的同时,直线l 也向上平行移动,且垂足Q 的纵坐标2y 随时间t 的变化规律为213y t =-+,则当t 在什么范围内变化时,直线l 与C 相交? 此时,若直线l 被C 所截得的弦长为a ,试求2a 的最大值.第28题备用图第28题图。