(鲁京津琼专用)2020版高考数学大一轮复习第三章导数及其应用微专题二导数中的函数构造问题教案(含解析)

回顾3 三角函数与平面向量[必记知识]1．诱导公式[提醒] 奇变偶不变，符号看象限,“奇、偶”指的是π2的倍数是奇数，还是偶数，“变与不变”指的是三角函数名称的变化，“变”是指正弦变余弦（或余弦变正弦）.“符号看象限”的含义是：把角α看作锐角，看n ·π2±α（n ∈Z ）是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号.2．三种三角函数的性质[提醒] 求函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，要注意A 与ω的符号，当ω＜0时，需把ω的符号化为正值后求解.3．三角函数图象的变换由函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象的两种方法[提醒] 图象变换的实质是点的坐标的变换，所以三角函数图象的伸缩、平移变换可以利用两个函数图象上的特征点之间的对应确定变换的方式，一般选取离y 轴最近的最高点或最低点，当然也可以选取在原点左侧或右侧的第一个对称中心点，根据这些点的坐标即可确定变换的方式、平移的单位与方向等.)4．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β. tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.sin(α＋β)sin(α－β)＝sin 2α－sin 2β(平方正弦公式)． cos(α＋β)cos(α－β)＝cos 2α－sin 2β. 5．二倍角、辅助角及半角公式 (1)二倍角公式sin 2α＝2sin αcos α.cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. tan 2α＝2tan α1－tan 2α. ①1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2. ②1－sin 2α＝(sin α－cos α)2. (2)辅助角公式y ＝a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中角φ的终边所在象限由a ，b 的符号确定，角φ的值由tan φ＝b a(a ≠0)确定．6．正、余弦定理及其变形[提醒] 在已知两边和其中一边的对角时，要注意检验解是否满足“大边对大角”，避免增解.7．平面向量数量积的坐标表示已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为向量a ，b 的夹角．与任意非零向量平行.(2)a ·b ＞0是〈a ，b 〉为锐角的必要不充分条件；,a ·b ＜0是〈a ，b 〉为钝角的必要不充分条件.[必会结论]1．降幂、升幂公式 (1)降幂公式①sin 2α＝1－cos 2α2；②cos 2α＝1＋cos 2α2；③sin αcos α＝12sin 2α.(2)升幂公式①1＋cos α＝2cos 2α2；②1－cos α＝2sin 2α2；③1＋sin α＝⎝⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22；④1－sin α＝⎝⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22.2．常见的辅助角结论(1)sin x ±cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ±π4.(2)cos x ±sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∓π4. (3)sin x ±3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ±π3.(4)cos x ±3sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∓π3. (5)3sin x ±cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ±π6.(6)3cos x ±sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∓π6. [必练习题]1．已知tan α＝3，则cos （π－α）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2的值为( )A ．－13B ．－3C ．13D ．3解析：选A.cos （π－α）cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2＝－cos αsin α＝－1tan α＝－13.2．已知x ∈(0，π)，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x ，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4等于( )A ．13B ．－13C ．3D ．－3解析：选A.由cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x 得sin 2x ＝sin 2x ，因为x ∈(0，π)，所以tan x ＝2，所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝tan x －11＋tan x ＝13.3．函数y ＝cos 2x ＋2sin x 的最大值为( ) A ．34 B ．1 C ．32D ．2解析：选C.y ＝cos 2x ＋2sin x ＝－2sin 2x ＋2sin x ＋1.设t ＝sin x (－1≤t ≤1)，则原函数可以化为y ＝－2t 2＋2t ＋1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋32，所以当t ＝12时，函数取得最大值32.4．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)，其导函数f ′(x )的图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2的值为( )A ．2 2B ． 2C ．－22D ．－24解析：选D.依题意得f ′(x )＝A ωcos(ωx ＋φ)，结合函数y ＝f ′(x )的图象可知，T ＝2πω＝4⎝⎛⎭⎪⎫3π8－π8＝π，ω＝2.又A ω＝1，因此A ＝12.因为0＜φ＜π，3π4＜3π4＋φ＜7π4，且f ′⎝⎛⎭⎪⎫3π8＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝－1，所以3π4＋φ＝π，所以φ＝π4，f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π4＝－12×22＝－24，故选D.5．已知x ＝π12是函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)(0＜φ＜x )图象的一条对称轴，将函数f (x )的图象向右平移3π4个单位长度后得到函数g (x )的图象，则函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最小值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．－ 2D ．－ 3解析：选B.因为x ＝π12是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋φ图象的一条对称轴，所以π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，因为0＜φ＜π，所以φ＝π6，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以g (x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－1.6．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C ＝223，b cos A ＋a cos B＝2，则△ABC 的外接圆面积为( )A ．4πB ．8πC ．9πD ．36π解析：选C.由题意知c ＝b cos A ＋a cos B ＝2，由cos C ＝223得sin C ＝13，再由正弦定理可得2R ＝csin C＝6，所以△ABC 的外接圆面积为πR 2＝9π，故选C.7．已知非零单位向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则a 与b －a 的夹角可能是( ) A ．π6B ．π3C ．π4D ．3π4解析：选D.由|a ＋b |＝|a －b |可得(a ＋b )2＝(a －b )2，即a ·b ＝0，而a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝－|a |2＜0，即a 与b －a 的夹角为钝角，故选D.8．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(－2，k )，且(a ＋2b )∥(3a －b )，则实数k ＝________． 解析：a ＋2b ＝(－3，3＋2k )，3a －b ＝(5，9－k )，由题意可得－3(9－k )＝5(3＋2k )，解得k ＝－6.答案：－69．已知向量a ＝(1，0)，|b |＝2，a 与b 的夹角为45°，若c ＝a ＋b ，d ＝a －b ，则c 在d 方向上的投影为________．解析：依题意得|a |＝1，a ·b ＝1×2×cos 45°＝1，|d |＝（a －b ）2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝1，c ·d ＝a 2－b 2＝－1，因此c 在d 方向上的投影等于c ·d|d |＝－1. 答案：－110．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)，A ，B 是函数y ＝f (x )图象上相邻的最高点和最低点，若|AB |＝22，则f (1)＝________．解析：设f (x )的最小正周期为T ，则由题意，得22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫T 22＝22，解得T ＝4，所以ω＝2πT ＝2π4＝π2，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π3，所以f (1)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π3＝sin 5π6＝12. 答案：1211．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则csin C＝______．解析：依题意得，12bc sin A ＝34c ＝3，则c ＝4.由余弦定理得a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝13，因此a sin A ＝13sin 60°＝2393.由正弦定理得c sin C ＝2393.答案：2393。

(－1,0)∪(0,1) 2f(x)>xf′(x)，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是_______________.
fx 思路点拨 满足“xf′(x)－nf(x)”形式，优先构造F(x)＝ n ，然后利用函数的 x 单调性、奇偶性和数形结合求解即可.
(二)利用f(x)与ex构造
u 1.f(x)与 e 构造，一方面是对 u· v，v函数形式的考察，另外一方面是对(ex)′＝ex
f(x)]>0，f(2－x)＝f(x)· e2－2x，则下列判断一定正确的是 A.f(1)<f(0)
√
C.f(3)>e3f(0)
fx 思路点拨 满足“f′(x)－f(x)”形式，优先构造F(x)＝ x ，然后利用函数的单 e 调性和数形结合求解即可.注意选项的转化.
(三)利用f(x)与sin x，cos x构造 sin x，cos x因为导函数存在一定的特殊性，所以也是重点考察的范畴，我们 一起看看常考的几种形式.
fx x x 是比较简单常见的f(x)与e 之间的函数关系式，如果碰见复杂 e 的，我们是否也能找出此类函数的一般形式呢？
2.同样exf(x)，
F(x)＝enxf(x)，
F′(x)＝n· enxf(x)＋enxf′(x)＝enx[f′(x)＋nf(x)]；
nx nx f ′ x e － n e fx f′x－nfx fx F(x)＝ enx ，F′(x)＝ ＝ ； e2nx enx
{x|x>0} 的解集为________.
x 然后利用函数 思路点拨 满足“f′(x)－2f(x)>0”形式，优先构造F(x)＝ f2 e x， 的单调性和数形结合求解即可.注意选项的转化.
例6

阶段自测卷(二)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2019·沈阳东北育才学校联考)已知曲线y ＝f (x )在x ＝5处的切线方程是y ＝－x ＋5，则f (5)与f ′(5)分别为( )A ．5，－1B ．－1,5C ．－1,0D ．0，－1 答案 D解析 由题意可得f (5)＝－5＋5＝0，f ′(5)＝－1，故选D. 2．已知函数f (x )＝x sin x ＋ax ，且f ′⎝⎛⎭⎫π2＝1，则a 等于( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 答案 A解析 ∵f ′(x )＝sin x ＋x cos x ＋a ，且f ′⎝⎛⎭⎫π2＝1， ∴sin π2＋π2cos π2＋a ＝1，即a ＝0.3．(2019·淄博期中)若曲线y ＝mx ＋ln x 在点(1，m )处的切线垂直于y 轴，则实数m 等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 答案 A解析 f (x )的导数为f ′(x )＝m ＋1x ，曲线y ＝f (x )在点(1，m )处的切线斜率为k ＝m ＋1＝0，可得m ＝－1.故选A.4．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 020(x )等于( ) A ．－sin x －cos x B ．sin x －cos x C ．－sin x ＋cos x D ．sin x ＋cos x答案 B解析 ∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ，∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，∴f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ， ∴f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ，∴f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ＝f 1(x )，∴f n (x )是以4为周期的函数，∴f 2 020(x )＝f 4(x )＝sin x －cos x ，故选B.5．(2019·四川诊断)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x (其中e 为自然对数的底数)，则f ′(e)等于( ) A ．1 B ．－1 C ．－e D ．－e －1 答案 D解析 已知f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ， 其导数f ′(x )＝2f ′(e)＋1x，令x ＝e ，可得f ′(e)＝2f ′(e)＋1e ，变形可得f ′(e)＝－1e ，故选D.6．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )A ．(－1,1]B ．(0,1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞) 答案 B解析 由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由y ′＝x －1x ≤0，解得0<x ≤1，所以函数的单调递减区间为(0,1]．7．(2019·沈阳东北育才学校模拟)已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x )＝x 2＋m ，g (x )＝6ln x －4x ，设两曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在公共点处的切线相同，则m 值等于( ) A ．5 B ．3 C ．－3 D ．－5 答案 D解析 f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝6x －4，令2x ＝6x －4，解得x ＝1，这就是切点的横坐标，代入g (x )求得切点的纵坐标为－4，将(1，－4)代入f (x )得1＋m ＝－4，m ＝－5.故选D.8．(2019·新乡模拟)若函数f (x )＝a e x ＋sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2，0上单调递增，则a 的取值范围为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－22π4e ，＋∞ B ．[－1,1] C ．[－1，＋∞) D ．[0，＋∞)答案 D解析 依题意得，f ′(x )＝a e x ＋cos x ≥0， 即a ≥－cos xe x 对x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，0恒成立， 设g (x )＝－cos xex ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，0，g ′(x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4ex，令g ′(x )＝0，则x ＝－π4，当x ∈⎣⎡⎭⎫－π2，－π4时，g ′(x )<0； 当x ∈⎝⎛⎦⎤－π4，0时，g ′(x )>0， 故g (x )max ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫g ⎝⎛⎭⎫－π2，g (0)＝0，则a ≥0. 故选D.9.(2019·河北衡水中学调研)如图所示，某几何体由底面半径和高均为5的圆柱与半径为5的半球面对接而成，该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且小圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为( )A.2 000π9B.4 000π27 C ．81π D ．128π答案 B解析 小圆柱的高分为上下两部分，上部分同大圆柱一样为5，下部分深入底部半球内设为h (0<h <5)，小圆柱的底面半径设为r (0<r <5)，由于r ，h 和球的半径5满足勾股定理，即r 2＋h 2＝52，所以小圆柱体积V ＝πr 2(h ＋5)＝π(25－h 2)(h ＋5)(0<h <5)，求导V ′＝－π(3h －5)·(h ＋5)，当0<h ≤53时，体积V 单调递增，当53<h <5时，体积V 单调递减．所以当h ＝53时，小圆柱体积取得最大值，V max ＝π⎝⎛⎭⎫25－259⎝⎛⎭⎫53＋5＝4 000π27，故选B. 10．(2019·凉山诊断)若对任意的0<x 1<x 2<a 都有x 2ln x 1－x 1ln x 2<x 1－x 2成立，则a 的最大值为( )A.12 B ．1 C ．e D ．2e 答案 B解析 原不等式可转化为1＋ln x 1x 1<1＋ln x 2x 2，构造函数f (x )＝1＋ln x x ，f ′(x )＝－ln xx 2，故函数在(0,1)上导数大于零，单调递增，在(1，＋∞)上导数小于零，单调递减．由于x 1<x 2且f (x 1)<f (x 2)，故x 1，x 2在区间(0,1)上，故a 的最大值为1，故选B.11．(2019·洛阳、许昌质检)设函数y ＝f (x )，x ∈R 的导函数为f ′(x )，且f (x )＝f (－x ), f ′(x )<f (x )，则下列不等式成立的是(注：e 为自然对数的底数)( ) A ．f (0)<e －1f (1)<e 2f (2) B ．e －1f (1)<f (0)<e 2f (2) C ．e 2f (2)<e －1f (1)<f (0) D ．e 2f (2)<f (0)<e －1f (1) 答案 B解析 设g (x )＝e －x f (x )，∴g ′(x )＝－e －x f (x )＋e －x f ′(x )＝e －x (f ′(x )－f (x ))， ∵f ′(x )<f (x )，∴g ′(x )<0，∴g (x )为减函数． ∵g (0)＝e 0f (0)＝ f (0)，g (1)＝e －1f (1), g (－2)＝e 2f (－2)＝e 2f (2)， 且g (－2)>g (0)>g (1)， ∴e －1f (1)< f (0)<e 2f (2)，故选B.12．(2019·廊坊省级示范高中联考)已知函数f (x )＝－13x 3－12x 2＋ax －b 的图象在x ＝0处的切线方程为2x －y －a ＝0，若关于x 的方程f (x 2)＝m 有四个不同的实数解，则m 的取值范围为( ) A.⎣⎡⎭⎫－323，－56 B.⎣⎡⎭⎫－2，－56 C.⎝⎛⎭⎫－323，－56 D.⎝⎛⎭⎫－2，－56 答案 D解析 由函数f (x )＝－13x 3－12x 2＋ax －b ，可得f ′(x )＝－x 2－x ＋a ，则f (0)＝－b ＝－a ，f ′(0)＝a ＝2，则b ＝2 ， 即f (x )＝－13x 3－12x 2＋2x －2，f ′(x )＝－x 2－x ＋2＝－(x －1)(x ＋2)，所以函数f (x )在(－2,1)上单调递增，在(－∞，－2)，(1，＋∞)上单调递减，又由关于x 的方程f (x 2)＝m 有四个不同的实数解，等价于函数f (x )的图象与直线y ＝m 在x ∈(0，＋∞)，上有两个交点，又f (0)＝－2，f (1)＝－56，所以－2<m <－56，故选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2019·陕西四校联考)已知函数f (x )＝ln x ＋2x 2－4x ，则函数f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为________________． 答案 x －y －3＝0解析 ∵f (x )＝ln x ＋2x 2－4x ，∴f ′(x )＝1x ＋4x －4，∴f ′(1)＝1，又f (1)＝－2，∴所求切线方程为y －(－2)＝x －1，即x －y －3＝0.14．已知函数f (x )＝(x －a )ln x (a ∈R )，若函数f (x )存在三个单调区间，则实数a 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－1e 2，0 解析f ′(x )＝ln x ＋1x (x －a )＝ln x ＋1－ax，函数f (x )＝(x －a )ln x (a ∈R )，若函数f (x )存在三个单调区间，则f ′(x )有两个变号零点， 即f ′(x )＝0有两个不等实根，即a ＝x (ln x ＋1)有两个不等实根，转化为y ＝a 与y ＝x (ln x ＋1)的图象有两个不同的交点．令g (x )＝x (ln x ＋1)， 则g ′(x )＝ln x ＋2，令ln x ＋2＝0，则x ＝1e 2，即g (x )＝x (ln x ＋1)在⎝⎛⎭⎫0，1e 2上单调递减， 在⎝⎛⎭⎫1e 2，＋∞上单调递增． [g (x )]min ＝－1e2，当x →0时，g (x )→0，当x →＋∞时，f (x )→＋∞，所以结合f (x )的图象(图略)可知a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－1e 2，0. 15．(2019·山师大附中模拟)已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数，f (a －1)＋f (2a 2) ≤0，则实数a 的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤－1，12 解析 由函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，得f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋1e x ≥－2＋e x ＋1e x ≥－2＋2e x ·1ex＝0，当且仅当x ＝0时等号成立，可得f (x )在R 上递增，又f (－x )＋f (x )＝(－x )3＋2x ＋e －x －e x ＋x 3－2x ＋e x －1e x ＝0，可得f (x )为奇函数，则f (a －1)＋f (2a 2)≤0 ，即有f (2a 2)≤0－f (a －1)＝f (1－a )，即有2a 2≤1－a ，解得－1≤a ≤12.16．(2019·湖北黄冈中学、华师附中等八校联考)定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，且对任意的不相等的实数x 1，x 2∈[0，＋∞)有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，若关于x 的不等式f (2mx －ln x－3)≥ 2f (3)－f (－2mx ＋ln x ＋3)在x ∈[1,3]上恒成立，则实数m 的取值范围是______________． 答案 ⎣⎡⎦⎤12e，1＋ln 36 解析 ∵函数f (x )满足f (－x )＝f (x )， ∴函数f (x )为偶函数．又f (2mx －ln x －3)≥2f (3)－f (－2mx ＋ln x ＋3) ＝2f (3)－f (2mx －ln x －3)， ∴f (2mx －ln x －3)≥f (3)．由题意可得函数f (x )在(－∞，0)上单调递增，在[0，＋∞)上单调递减． ∴|2mx －ln x －3|≤3对x ∈[1,3]恒成立， ∴－3≤2mx －ln x －3≤3对x ∈[1,3]恒成立， 即ln x2x ≤m ≤ln x ＋62x 对x ∈[1,3]恒成立． 令g (x )＝ln x2x ，x ∈[1,3]，则g ′(x )＝1－ln x 2x 2，∴g (x )在[1，e ]上单调递增，在(e,3]上单调递减， ∴g (x )max ＝g (e)＝12e.令h (x )＝ln x ＋62x ，x ∈[1,3]，则h ′(x )＝－5－ln x2x 2<0，∴h (x )在[1,3]上单调递减， ∴h (x )min ＝h (3)＝6＋ln 36＝1＋ln 36. 综上可得实数m 的取值范围为⎣⎡⎦⎤12e ，1＋ln 36. 三、解答题(本大题共70分)17．(10分)(2019·辽宁重点高中联考)已知函数f (x )＝x 3＋mx 2－m 2x ＋1(m 为常数，且m >0)有极大值9. (1)求m 的值；(2)若斜率为－5的直线是曲线y ＝f (x )的切线，求此直线方程． 解 (1)f ′(x )＝3x 2＋2mx －m 2＝(x ＋m )(3x －m )＝0， 令f ′(x )＝0，则x ＝－m 或x ＝13m ，当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：从而可知，当x ＝－m 时，函数f (x )取得极大值9， 即f (－m )＝－m 3＋m 3＋m 3＋1＝9，∴m ＝2. (2)由(1)知，f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋1， 依题意知f ′(x )＝3x 2＋4x －4＝－5， ∴x ＝－1或x ＝－13，又f (－1)＝6，f ⎝⎛⎭⎫－13＝6827，所以切线方程为y －6＝－5(x ＋1)或 y －6827＝－5⎝⎛⎭⎫x ＋13， 即5x ＋y －1＝0或135x ＋27y －23＝0.18．(12分)(2019·成都七中诊断)已知函数f (x )＝x sin x ＋2cos x ＋ax ＋2，其中a 为常数． (1)若曲线y ＝f (x )在x ＝π2处的切线斜率为－2，求该切线的方程；(2)求函数f (x )在x ∈[0，π]上的最小值． 解 (1)求导得f ′(x )＝x cos x －sin x ＋a ， 由f ′⎝⎛⎭⎫π2＝a －1＝－2，解得a ＝－1. 此时f ⎝⎛⎭⎫π2＝2，所以该切线的方程为 y －2＝－2⎝⎛⎭⎫x －π2，即2x ＋y －2－π＝0. (2)对任意x ∈[0，π]，f ″(x )＝－x sin x ≤0， 所以f ′(x )在[0，π]内单调递减． 当a ≤0时，f ′(x )≤f ′(0)＝a ≤0，∴f (x )在区间[0，π]上单调递减，故f (x )min ＝f (π)＝a π. 当a ≥π时，f ′(x )≥f ′(π)＝a －π≥0，∴f (x )在区间[0，π]上单调递增，故f (x )min ＝f (0)＝4.当0<a <π时，因为f ′(0)＝a >0，f ′(π)＝a －π<0，且f ′(x )在区间[0，π]上单调递减，结合零点存在定理可知，存在唯一x 0∈(0，π)，使得f ′(x 0)＝0，且f (x )在[0，x 0]上单调递增，在[x 0，π]上单调递减．故f (x )的最小值等于f (0)＝4和f (π)＝a π中较小的一个值． ①当4π≤a <π时，f (0)≤f (π)，故f (x )的最小值为f (0)＝4.②当0<a <4π时，f (π)≤f (0)，故f (x )的最小值为f (π)＝a π.综上所述，函数f (x )的最小值f (x )min＝⎩⎨⎧4，a ≥4π，a π，a <4π.19．(12分)(2019·武汉示范高中联考)已知函数f (x )＝4ln x －mx 2＋1(m ∈R )．(1)若函数f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线2x －y －1＝0平行，求实数m 的值； (2)若对于任意x ∈[1，e ]，f (x )≤0恒成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)∵f (x )＝4ln x －mx 2＋1， ∴f ′(x )＝4x －2mx ，∴f ′(1)＝4－2m ，∵函数f (x )在(1，f (1))处的切线与直线2x －y －1＝0平行，∴f ′(1)＝4－2m ＝2， ∴m ＝1.(2)∵对于任意x ∈[1，e ]，f (x )≤0恒成立， ∴4ln x －mx 2＋1≤0，在x ∈[1，e ]上恒成立， 即对于任意x ∈[1，e ]，m ≥4ln x ＋1x 2恒成立， 令g (x )＝4ln x ＋1x 2，x ∈[1，e ]，g ′(x )＝2(1－4ln x )x 3，令g ′(x )>0，得1<x <14e ， 令g ′(x )<0，得14e <x <e ，当x 变化时，g ′(x )，g (x )的变化如下表：∴函数g (x )在区间[1，e ]上的最大值g (x )max ＝g (14e )＝141244ln e 1(e )+＝2e e ，∴m ≥2ee， 即实数m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫2e e ，＋∞.20．(12分)已知函数f (x )＝ln x －ax (ax ＋1)，其中a ∈R . (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )在(0,1]内至少有1个零点，求实数a 的取值范围． 解 (1)依题意知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 且f ′(x )＝1x －2a 2x －a ＝2a 2x 2＋ax －1－x＝(2ax －1)(ax ＋1)－x，当a ＝0时，f (x )＝ln x ，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a >0时，由f ′(x )>0，得0<x <12a ，由f ′(x )<0，得x >12a，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12a 上单调递增， 在⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞上单调递减． 当a <0时，由f ′(x )>0，得0<x <－1a ，由f ′(x )<0，得x >－1a，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞上单调递减. (2)①当a ＝0时，函数f (x )在(]0，1内有1个零点x 0＝1;②当a >0时，由(1)知函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞上单调递减． 若12a ≥1，即0<a ≤12时，f (x )在(0,1]上单调递增，由于当x →0时，f (x )→－∞且f (1)＝－a 2－a <0知，函数f (x )在(0,1]内无零点；若0<12a <1，即当a >12时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12a 上单调递增，在⎝⎛⎦⎤12a ，1上单调递减，要使函数f (x )在(0,1]内至少有1个零点，只需满足f ⎝⎛⎭⎫12a ≥0，即ln 12a ≥34， 又∵a >12，∴ln 12a <0，∴不等式不成立．∴f (x )在(0,1]内无零点；③当a <0时，由(1)知函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞上单调递减．若－1a ≥1，即－1≤a <0时，f (x )在(0,1]上单调递增，由于当x →0时，f (x )→－∞，且f (1)＝－a 2－a >0，知函数f (x )在(0,1]内有1个零点；若0<－1a <1，即a <－1时，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－1a 上单调递增，在⎝⎛⎦⎤－1a ，1上单调递减，由于当x →0时，f (x )→－∞，且当a <－1时，f ⎝⎛⎭⎫－1a ＝ln ⎝⎛⎭⎫－1a <0，知函数f (x )在(0,1]内无零点． 综上可得a 的取值范围是[－1,0]．21．(12分)(2019·湖北黄冈中学、华师附中等八校联考)在工业生产中，对一正三角形薄钢板(厚度不计)进行裁剪可以得到一种梯形钢板零件，现有一边长为3(单位：米)的正三角形钢板(如图)，沿平行于边BC 的直线DE 将△ADE 剪去，得到所需的梯形钢板BCED ，记这个梯形钢板的周长为x (单位：米)，面积为S (单位：平方米)．(1)求梯形BCED 的面积S 关于它的周长x 的函数关系式；(2)若在生产中，梯形BCED 的面积与周长之比⎝⎛⎭⎫即Sx 达到最大值时，零件才能符合使用要求，试确定这个梯形的周长x 为多少时，该零件才可以在生产中使用？ 解 (1)∵DE ∥BC ，△ABC 是正三角形，∴△ADE 是正三角形，AD ＝DE ＝AE ，BD ＝CE ＝3－AD ， 则DE ＋2(3－AD )＋3＝9－AD ＝x ， S ＝(3＋AD )·(3－AD )·sin 60°2＝3(12－x )(x －6)4(6<x <9)，化简得S ＝34(－x 2＋18x －72)(6<x <9)． 故梯形BCED 的面积S 关于它的周长x 的函数关系式为 S ＝34(－x 2＋18x －72)(6<x <9)．(2)∵由(1)得S ＝34(－x 2＋18x －72)(6<x <9)， 令f (x )＝S x ＝34⎝⎛⎭⎫－x －72x ＋18(6<x <9)， ∴f ′(x )＝34⎝⎛⎭⎫－1＋72x 2，令f ′(x )＝0，得x ＝62或x ＝－62(舍去)， f (x )，f ′(x )随x 的变化如下表：∴当x ＝62时，函数f (x )＝Sx 有最大值，为f (62)＝923－3 6.∴当x ＝62米时，该零件才可以在生产中使用．22．(12分)(2019·衡水中学调研)已知函数f (x )＝k e x －x 2(其中k ∈R ，e 是自然对数的底数)． (1)若k ＝2，当x ∈(0，＋∞)时，试比较f (x )与2的大小；(2)若函数f (x )有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)，求k 的取值范围，并证明：0<f (x 1)<1.解 (1)当k ＝2时，f (x )＝2e x －x 2，则f ′(x )＝2e x －2x ，令h (x )＝2e x －2x ，h ′(x )＝2e x －2， 由于x ∈(0，＋∞)，故h ′(x )＝2e x －2>0，于是h (x )＝2e x －2x 在(0，＋∞)上为增函数， 所以h (x )＝2e x －2x >h (0)＝2>0，即f ′(x )＝2e x －2x >0在(0，＋∞)上恒成立， 从而f (x )＝2e x －x 2在(0，＋∞)上为增函数， 故f (x )＝2e x －x 2>f (0)＝2.(2)函数f (x )有两个极值点x 1，x 2，则x 1，x 2是f ′(x )＝k e x －2x ＝0的两个根，即方程k ＝2x e x 有两个根，设φ(x )＝2xe x ，则φ′(x )＝2－2x ex ，当x <0时，φ′(x )>0，函数φ(x )单调递增且φ(x )<0；当0<x <1时，φ′(x )>0，函数φ(x )单调递增且φ(x )>0； 当x >1时，φ′(x )<0，函数φ(x )单调递减且φ(x )>0. 作出函数φ(x )的图象如图所示，要使方程k ＝2x e x 有两个根，只需0<k <φ(1)＝2e，故实数k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，2e ，又可知函数f (x )的两个极值点x 1，x 2满足0<x 1<1<x 2， 由f ′(x 1)＝1e xk －2x 1＝0得k ＝112ex x ， 所以f (x 1)＝1e xk －x 21＝112ex x 1e x －x 21＝－x 21＋2x 1 ＝－(x 1－1)2＋1，由于x 1∈(0,1)，所以0<－(x 1－1)2＋1<1， 所以0<f (x 1)<1.。

综上，当 a≤0 时，函数 f(x)无极值；
当 a>0 时，f(x)在 x＝ln a 处取得极小值 ln a，无极大值．
命题点 3 根据极值(点)求参数
( ) x3 a
1
例 3 若函数 f(x)＝ － x2＋x＋1 在区间 ，4 上有极值点，则实数 a 的取值范围是( )
32
3
( )10
A. 2， 3
①当 a＝0 时，f′(x)＝－4x＋1，显然不满足条件；
②当 a≠0 时，f′(x)≥0 或 f′(x)≤0 恒成立的充要条件是 Δ＝(－4)2－4×3a×1≤0，即 16－ 4
12a≤0，解得 a≥ . 3
[ ) 4
综上，a 的取值范围为 ，＋∞ . 3
题型二 用导数求函数的最值
x－1 例 4 (2018·贵阳检测)已知函数 f(x)＝ －ln x.
解 f′(x)＝3ax2－4x＋1.
(1)函数 f(x)的图象过点(0,1)时，有 f(0)＝c＝1.
当 a＝1 时，f(x)＝x3－2x2＋x＋1，f′(x)＝3x2－4x＋1，
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1 由 f′(x)>0，解得 x< 或 x>1；
3 1 由 f′(x)<0，解得 <x<1. 3
e
1
( ) ( ) 1
1
1
1
1
又 f ＝1－e－ln ＝2－e，f(e)＝1－ －ln e＝－ ，且 f <f(e)，
e
e
e
e
e
[ ] ( ) 1
1
∴f(x)在 ，e 上的最小值为 f ＝2－e.
e
e
[ ]1