(通用版)2020高考数学二轮复习80分小题精准练5理

80分小题精准练(五）(建议用时：50分钟）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝｛x∈R｜x2≥9｝，集合B＝{x∈R｜2≤x＜6｝，则A∪B＝（)A．［－3，6］B．（－3,6)C．(－∞，－3]∪[2，＋∞)D．(－∞，－3］∪［3,＋∞）C[∵集合A＝｛x∈R｜x2≥9}＝{x|x≤－3或x≥3}，集合B＝｛x∈R｜2≤x＜6}，∴A∪B＝｛x|x≤－3或x≥2}＝(－∞,－3］∪［2，＋∞)．故选C。

］2．若复数z满足i(z－3）＝－1＋3i(其中i是虚数单位)，则z的实部为（)A．6 B．1C．－1 D．－6A［∵i z－3i＝－1＋3i，∴i z＝－1＋6i,∴z＝6＋i，故z的实部为6。

］3．(2019·西城模拟)改革开放四十多年以来，某市居民生活发生了翻天覆地的变化．随着经济快速增长、居民收入稳步提升，消费结构逐步优化升级，生活品质显著增强，美好生活蓝图正在快速构建．某市城镇居民人均消费支出从2000年的7 500元增长到2019年的40 000元，2000年与2019年某市城镇居民消费结构对比如图所示:则下列叙述中不正确的是( ）A．2019年某市城镇居民食品支出占比同2000年相比大幅度降低B．2019年某市城镇居民人均教育文化娱乐类支出同2000年相比有所减少C．2019年某市城镇居民医疗保健支出占比同2000年相比提高约60％D．2019年某市城镇居民人均交通和通信类支出突破5 000元，大约是2000年的14倍B[由2000年与2019年某市城镇居民消费结构对比图，知：在A中，2019年某市城镇居民食品支出占比同2000年相比大幅度降低，故A正确;在B中，2019年某市城镇居民人均教育文化娱乐类支出：11%×40 000＝4 400元，2000年某市城镇居民人均教育文化娱乐类支出：14％×7 500＝1 050元，故2019年某市城镇居民人均教育文化娱乐类支出同2000年相比明显增加,故B错误;在C中，2019年某市城镇居民医疗保健支出占比同2000年相比提高约60％，故C正确；在D中，2019年某市城镇居民人均交通和通信类支出突破5 000元，大约是2000年的14倍，故D正确．故选B。

专题限时集训(五) 概率、随机变量及其分布[专题通关练] (建议用时：30分钟)1．袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是( )A.25 B.35 C.18125D.54125D [由题意可知抽到黄球的次数ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，35， ∴P (ξ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫352×25＝54125.]2．(2019·咸阳二模)已知甲、乙、丙三人去参加某公司面试，他们被公司录取的概率分别为16，14，13，且三人录取结果相互之间没有影响，则他们三人中至少有一人被录取的概率为( )A.3172B.712C.2572D.1572B [甲、乙、丙三人去参加某公司面试，他们被公司录取的概率分别为16，14，13，且三个录取结果相互之间没有影响，∴他们三人中至少有一人被录取的概率为：P ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝712.故选B.] 3.(2019·郑州二模)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N (－1,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )(附：X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.682 7，P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝0.954 5)A ．906B ．2 718C ．1 359D ．3 413C [∵X ～N (－1,1)，∴阴影部分的面积S ＝P (0﹤X ≤1)＝12[P (－3﹤x ≤1)－P (－2﹤x ≤0)]＝12(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9， ∴落入阴影部分的点的个数的估计值为10 000×0.135 9＝1 359.故选C.]4．甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为23，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为( )A.13 B.25 C.23D.45B [由题意，甲获得冠军的概率为23×23＋23×13×23＋13×23×23＝2027，其中比赛进行了3局的概率为23×13×23＋13×23×23＝827，∴所求概率为827÷2027＝25，故选B.]5．(2019·巢湖市一模)某次考试共有12个选择题，每个选择题的分值为5分，每个选择题四个选项且只有一个选项是正确的，A 学生对12个选择题中每个题的四个选择项都没有把握，最后选择题的得分为X 分，B 学生对12个选择题中每个题的四个选项都能判断其中有一个选项是错误的，对其它三个选项都没有把握，选择题的得分为Y 分，则D (Y )－D (X )的值为( )A.12512B.3512C.274D.234A [设A 学生答对题的个数为m ，得分5m ，则m ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14，D (m )＝12×14×34＝94， ∴D (X )＝25×94＝2254.设B 学生答对题的个数为n ，得分5n ，则n ～B ⎝⎛⎭⎪⎫12，13， D (n )＝12×13×23＝83，∴D (Y )＝25×83＝2003.∴D (Y )－D (X )＝2003－2254＝12512.故选A.]6．已知随机变量X 服从正态分布N (2，σ2)，且P (0≤X ≤2)＝0.3，则P (X ＞4)＝________. 0.2 [由正态分布的特征可知P (0≤X ≤2)＝P (2≤X ≤4)＝0.3.又P (X ≥2)＝0.5，∴P (X ＞4)＝0.5－0.3＝0.2.]7．[易错题]某种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为________．200 [将“没有发芽的种子数”记为ξ，则ξ＝1,2,3，…，1 000，由题意可知ξ～B (1 000,0.1)，所以E (ξ)＝1 000×0.1＝100，又因为X ＝2ξ，所以E (X )＝2E (ξ)＝200.]8．甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A 为“三个人去的景点不相同”，B 为“甲独自去一个景点”，则概率P (A |B )等于________．12[由题意可知，n (B )＝C 1322＝12，n (AB )＝A 33＝6， 所以P (A |B )＝n AB n B ＝612＝12.][能力提升练] (建议用时：30分钟)9．根据以往的数据统计，某支深受广大球迷喜欢的足球队中，乙球员能够胜任前锋、中场、后卫及守门员四个位置，且出场率分别为0.2,0.5,0.2,0.1，当出任前锋、中场、后卫及守门员时，球队输球的概率依次为0.4,0.2,0.6,0.2.则(1)当他参加比赛时，求球队某场比赛输球的概率；(2)当他参加比赛时，在球队输了某场比赛的条件下，求乙球员担当前锋的概率； (3)如果你是教练员，应用概率统计的相关知识分析，如何安排乙球员能使赢球场次更多？[解] 设A 1表示“乙球员担当前锋”，A 2表示“乙球员担当中场”，A 3表示“乙球员担当后卫”，A 4表示“乙球员担当守门员”，B 表示“球队某场比赛输球”．(1)P (B )＝P (A 1)P (B |A 1)＋P (A 2)P (B |A 2)＋P (A 3)P (B |A 3)＋P (A 4)P (B |A 4)＝0.2×0.4＋0.5×0.2＋0.2×0.6＋0.1×0.2＝0.32.(2)由(1)知，P (B )＝0.32， 所以P (A 1|B )＝P A 1B P B ＝0.2×0.40.32＝0.25.(3)因为P (A 1|B )∶P (A 2|B )∶P (A 3|B )∶P (A 4|B )＝0.08∶0.10∶0.12∶0.02＝4∶5∶6∶1， 所以多安排乙球员担当守门员，能够赢球场次更多．10．为了预防某种流感扩散，某校医务室采取积极的处理方式，对感染者进行短暂隔离直到康复．假设某班级已知6位同学中有1位同学被感染，需要通过化验血液来确定被感染的同学，血液化验结果呈阳性即被感染，呈阴性即未被感染．下面是两种化验方案．方案甲：逐个化验，直到能确定被感染的同学为止．方案乙：先任取3个同学，将他们的血液混在一起化验，若结果呈阳性则表明被感染同学为这3位中的1位，后再逐个化验，直到能确定被感染的同学为止；若结果呈阴性，则在另外3位同学中逐个检测．(1)求方案甲所需化验次数等于方案乙所需化验次数的概率；(2)η表示方案甲所需化验次数，ξ表示方案乙所需化验次数，假设每次化验的费用都相同，请从经济角度考虑哪种化验的方案最佳．[解] 设A i (i ＝1,2,3,4,5)表示方案甲所需化验次数为i 次；B j (j ＝2,3)表示方案乙所需化验的次数为j 次，方案甲与方案乙相互独立．(1)P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝P (A 4)＝16，P (A 5)＝13，P (B 2)＝C 25C 36C 13＋C 35C 36C 13＝13，P (B 3)＝1－P (B 2)＝23，用事件D 表示方案甲所需化验次数等于方案乙所需化验次数， 则P (D )＝P (A 2B 2＋A 3B 3)＝P (A 2)P (B 2)＋P (A 3)P (B 3)＝16×13＋16×23＝16.(2)η的可能取值为1,2,3,4,5.ξ的可能取值为2,3.由(1)知P (η＝1)＝P (η＝2)＝P (η＝3)＝P (η＝4)＝16，P (η＝5)＝13，所以E (η)＝1×16＋2×16＋3×16＋4×16＋5×13＝103，P (ξ＝2)＝P (B 2)＝13，P (ξ＝3)＝P (B 3)＝23，所以E (ξ)＝2×13＋3×23＝83. 因为E (ξ)＜E (η)，所以从经济角度考虑方案乙最佳．11．(2019·昆明模拟)为了解甲、乙两种产品的质量，从中分别随机抽取了10件样品，测量产品中某种元素的含量(单位：毫克)，如图所示是测量数据的茎叶图．规定：当产品中的此种元素的含量不小于18毫克时，该产品为优等品．(1)试用样品数据估计甲、乙两种产品的优等品率；(2)从乙产品抽取的10件样品中随机抽取3件，求抽到的3件样品中优等品数ξ的分布列及其数学期望E (ξ)；(3)从甲产品抽取的10件样品中有放回地随机抽取3件，也从乙产品抽取的10件样品中有放回地随机抽取3件，抽到的优等品中，记“甲产品恰比乙产品多2件”为事件C ，求事件C 的概率．[解](1)从甲产品抽取的10件样品中优等品有4件，优等品率为410＝25，从乙产品抽取的10件样品中优等品有5件，优等品率为510＝12.故甲、乙两种产品的优等品率分别为25，12.(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝C 35C 310＝112，P (ξ＝1)＝C 15C 25C 310＝512，P (ξ＝2)＝C 25C 15C 310＝512，P (ξ＝3)＝C 35C 310＝112.所以ξ的分布列为E (ξ)＝0×12＋1×12＋2×12＋3×12＝2.(3)抽到的优等品中，甲产品恰比乙产品多2件包括两种情况：“抽到的优等品数甲产品2件且乙产品0件”，“抽到的优等品数甲产品3件且乙产品1件”，分别记为事件A ，B ，P (A )＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫252⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25×C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫120×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－123＝9250， P (B )＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫253×C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＝3125， 故抽到的优等品中甲产品恰比乙产品多2件的概率为P (C )＝P (A )＋P (B )＝9250＋3125＝350. 12．春节期间某商店出售某种海鲜礼盒，假设每天该礼盒的需求量在{11,12，…，30}范围内等可能取值，该礼盒的进货量也在{11,12，…，30}范围内取值(每天进1次货)．商店每销售1盒礼盒可获利50元；若供大于求，剩余的削价处理，每处理1盒礼盒亏损10元；若供不应求，可从其他商店调拨，销售1盒礼盒可获利30元．设该礼盒每天的需求量为x 盒，进货量为a 盒，商店的日利润为y 元．(1)求商店的日利润y 关于需求量x 的函数表达式；(2)试计算进货量a 为多少时，商店日利润的期望值最大？并求出日利润期望值的最大值．[解](1)由题意得商店的日利润y 关于需求量x 的函数表达式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧50a ＋x －a ，a ≤x ≤30，x ∈Z ，50x －a －x ，11≤x ＜a ，x ∈Z ，化简得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧30x ＋20a ，a ≤x ≤30，x ∈Z ，60x －10a ，11≤x ＜a ，x ∈Z .(2)日利润y 的分布列为E (y )＝120·{(60×11－10a )＋(60×12－10a )＋…＋[60×(a －1)－10a ]}＋120·{(30a ＋20a )＋[30(a ＋1)＋20a ]＋…＋(30×30＋20a )}＝120⎣⎢⎡⎦⎥⎤60×＋a －a －2－10a a －＋30×a ＋－a2＋20a (31－a )＝－34a 2＋1434a ＋1 0652，结合二次函数的知识，当a ＝24时，日利润y 的数学期望最大，最大值为958.5元．【押题1】 三个元件T 1，T 2，T 3正常工作的概率分别为2，4，4，将T 2，T 3两个元件并联后再和T 1串联接入电路，如图所示，则电路不发生故障的概率为________．1532 [三个元件T 1，T 2，T 3正常工作的概率分别为12，34，34，将T 2，T 3两个元件并联后再和T 1串联接入电路，则电路不发生故障的概率为：p ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫14×34＋34×14＋34×34＝1532.] 【押题2】 某企业打算处理一批产品，这些产品每箱100件，以箱为单位销售．已知这批产品中每箱出现的废品率只有两种可能10%或者20%，两种可能对应的概率均为0.5.假设该产品正品每件市场价格为100元，废品不值钱．现处理价格为每箱8 400元，遇到废品不予更换．以一箱产品中正品的价格期望值作为决策依据．(1)在不开箱检验的情况下，判断是否可以购买；(2)现允许开箱，有放回地随机从一箱中抽取2件产品进行检验．①若此箱出现的废品率为20%，记抽到的废品数为X ，求X 的分布列和数学期望； ②若已发现在抽取检验的2件产品中，其中恰有一件是废品，判断是否可以购买． [解](1)在不开箱检验的情况下，一箱产品中正品的价格期望值为：E (ξ)＝100×(1－0.2)×100×0.5＋100×(1－0.1)×100×0.5＝8 500＞8 400，∴在不开箱检验的情况下，可以购买． (2)①X 的可能取值为0,1,2，P (X ＝0)＝C 02×0.20×0.82＝0.64， P (X ＝1)＝C 12×0.21×0.81＝0.32， P (X ＝2)＝C 22×0.80×0.22＝0.04，∴X 的分布列为：E (X )②设事件A ：发现在抽取检验的2件产品中，其中恰有一件是废品， 则P (A )＝C 12×0.2×0.8×0.5＋C 12×0.1×0.9×0.5＝0.25， 一箱产品中，设正品的价格的期望值为η，则η＝8 000,9 000， 事件B 1：抽取的废品率为20%的一箱，则P (η＝8 000)＝P (B 1|A )＝P AB 1P A＝C12×0.2×0.8×0.50.25＝0.64，事件B2：抽取的废品率为10%的一箱，则P(η＝9 000)＝P(B2|A)＝P AB2P A＝C12×0.1×0.9×0.50.25＝0.36，∴E(η)＝8 000×0.64＋9 000×0.36＝8 360＜8 400，∴已发现在抽取检验的2件产品中，其中恰有一件是废品，不可以购买．。

小题提速练(五) “12选择＋4填空”80分练(时间：45分钟 分值：80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x |x 2＋4x －12＜0}，B ＝{x |x ＞log 139}，则A ∩B ＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，2 B ．(－2,3) C ．(－2,2)D ．(－6，－2)C [因为A ＝{x |－6＜x ＜2}，B ＝{x |x ＞－2}，所以A ∩B ＝{x |－2＜x ＜2}．] 2．若复数z ＝1＋1i(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 的模为( )A ．0B ．1 C.2D ．2C [由z ＝1＋1i ＝1－i ，得|z |＝|1＋i|＝ 2.]3．某气象站天气预报的准确率为80%，则5次预报中至少有4次准确的概率约为( )A ．0.2B ．0.41C ．0.74D ．0.67C [P ＝C 45(0.8)4×0.2＋C 550.85≈0.74.]4．已知双曲线C 1：x 23－16y 2p2＝1(p ＞0)的左焦点在抛物线C 2：y 2＝2px 的准线上，则双曲线C 1的离心率为( )【导学号：07804214】A.43 B ． 3 C.233D ．4C [双曲线C 1的左焦点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－3＋p 216，0，抛物线C 2的准线方程为x ＝－p2.根据题意有－3＋p 216＝－p2， ∴p ＝4(舍去负值)， ∴双曲线中a ＝3，c ＝2，∴e ＝c a ＝233.]5．如图12为某几何体的三视图，则其体积为( )图12A ．π＋43B ．π3＋4C.23π＋43D ．23π＋4 A [由三视图知，该几何体是由一个半圆柱与一个四棱锥组合而成的简单组合体，因此其体积V ＝V 四棱锥＋12V 圆柱＝13×(2×2)×1＋12π×12×2＝43＋π.故选A.]6．函数y ＝x 2ln|x ||x |的图象大致是( )D [易知函数y ＝x 2ln|x ||x |是偶函数，可排除B ，当x ＞0时，y ＝x ln x ，y ′＝ln x ＋1，令y ′＞0，得x ＞e －1，所以当x ＞0时，函数在(e －1，＋∞)上单调递增，结合图象可知D 正确，故选D.]7．如果点P (x ，y )在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0x ＋y －2≤0，内，则x 2＋(y ＋1)2的最大值和最小值分别是( )【导学号：07804215】A ．3，35B ．9，95C ．9,2D ．3， 2B [先作出点P (x ，y )所在的平面区域如图中阴影部分所示．x 2＋(y ＋1)2表示动点P 到定点Q (0，－1)的距离的平方，点Q 到直线x －2y ＋1＝0的距离的平方为95，由图可知，x 2＋(y ＋1)2的最小值为95.当点P 为点(0,2)时，离Q 最远，则x 2＋(y ＋1)2的最大值为9. 因此x 2＋(y ＋1)2的最大值为9，最小值为95.]8．执行如图13的程序框图，如果输入的a ＝－1，则输出的S ＝( )图13A ．2B ．3C ．4D ．5B [当K ＝1时，S ＝0＋(－1)×1＝－1，a ＝1，执行K ＝K ＋1后，K ＝2； 当K ＝2时，S ＝－1＋1×2＝1，a ＝－1，执行K ＝K ＋1后，K ＝3； 当K ＝3时，S ＝1＋(－1)×3＝－2，a ＝1，执行K ＝K ＋1后，K ＝4； 当K ＝4时，S ＝－2＋1×4＝2，a ＝－1，执行K ＝K ＋1后，K ＝5； 当K ＝5时，S ＝2＋(－1)×5＝－3，a ＝1，执行K ＝K ＋1后，K ＝6；当K ＝6时，S ＝－3＋1×6＝3，a ＝－1，执行K ＝K ＋1后，K ＝7＞6，输出S ＝3.结束循环． 故选B.]9．在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M 为棱A 1B 1的中点，则异面直线AM 与B 1C 所成的角的余弦值为( )A.105B ．55C.45 D ．35A [取C 1D 1的中点N ，连接DN ，DA 1，A 1N ，MN .因为M ，N 分别是A 1B 1，C 1D 1的中点，所以MN ∥AD ，且MN ＝AD ，因此四边形ADNM 为平行四边形，所以AM ∥DN .同理，B 1C ∥A 1D ，所以∠A 1DN 或其补角为异面直线AM 与B 1C 所成的角． 设正方体的棱长为a ，则A 1D ＝2a ，A 1N ＝DN ＝52a ， 在△A 1DN 中，由余弦定理得cos∠A 1DN ＝105，故异面直线AM 与B 1C 所成角的余弦值为105.] 10．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为π2的等差数列，把函数f (x )的图象沿x 轴向左平移π6个单位，得到函数g (x )的图象．下列关于函数g (x )的说法正确的是( ) A ．函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上是增函数B ．函数g (x )的图象关于直线x ＝－π4对称C ．函数g (x )是奇函数D ．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3时，函数g (x )的值域是[－2,1]D [f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)，因为它的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为π2的等差数列，所以最小正周期T ＝π，则ω＝2，故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.把函数f (x )的图象沿x 轴向左平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，则g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x .易知A ，B ，C 错，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3时，2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，43π，则g (x )的值域是[－2,1]，故选D.]11．定义在R 上的偶函数f (x )的导函数为f ′(x )，若对任意的实数x ，都有2f (x )＋xf ′(x )＜2恒成立，则使x 2f (x )－f (1)＜x 2－1成立的实数x 的取值范围为( )A ．{x |x ≠±1}B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,1)D ．(－1,0)∪(0,1)B [x 2f (x )－f (1)＜x 2－1可化为x 2f (x )－x 2＜f (1)－1，令F (x )＝x 2f (x )－x 2， 则F (x )为偶函数．因为F ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )－2x ＝x [2f (x )＋xf ′(x )－2]， 且对任意的实数x ，都有2f (x )＋xf ′(x )＜2恒成立，所以当x ＜0时，F ′(x )＞0，F (x )为增函数，当x ＞0时，F ′(x )＜0，F (x )为减函数． 不等式x 2f (x )－f (1)＜x 2－1化为F (x )＜F (1)， 所以|x |＞1，解得x ＜－1或x ＞1.]12．如图14所示，平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD ，将其沿对角线BD折成四面体ABCD ，使平面ABD ⊥平面BCD ，若四面体ABCD 的顶点在同一个球面上，则该球的体积为( )图14A.3π2 B ．3πC.2π3D ．2πA [如图，取BD 的中点为E ，BC 的中点为O ，连接AE ，OD ，EO ，AO .因为AB ＝AD ，所以AE ⊥BD .由于平面ABD ⊥平面BCD ， 所以AE ⊥平面BCD .因为AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2， 所以AE ＝22，EO ＝12. 所以OA ＝32. 在Rt△BDC 中，OB ＝OC ＝OD ＝12BC ＝32，所以四面体ABCD 的外接球的球心为O ，半径为32. 所以该球的体积V ＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝32π.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知等边三角形ABC 的边长为3，D 是BC 边上一点，若BD ＝1，则AC →·AD →的值是________．[解析]AC →·AD →＝AC →·(AB →＋BD →)＝AC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋13BC →＝AC →·⎣⎢⎡⎦⎥⎤AB →＋13AC →－AB →＝AC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫13AC →＋23AB →＝13×32＋23×3×3×12＝6. [答案] 614．将⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4x－4展开后，常数项是________．[解析]⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x －4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋4－4x x ＝x －6x 3，它的通项T r ＋1＝C r6－r ·x6－rx3＝(－2)r·C r6·x3－r，令3－r ＝0，得r ＝3，所以常数项是C 36(－2)3＝－160. [答案] －16015．规定：“⊗”表示一种运算，即a ⊗b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)．若1⊗k ＝3，则k 的值为________，此时函数f (x )＝k ⊗xx的最小值为_______. 【导学号：07804216】[解析] 由题意得1⊗k ＝k ＋1＋k ＝3，即k ＋k －2＝0，解得k ＝1或k ＝－2(舍去)，所以k ＝1.故k 的值为1.又f (x )＝1⊗x x ＝x ＋x ＋1x ＝1＋x ＋1x ≥1＋2＝3，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号，故函数f (x )的最小值为3. [答案] 1 316．已知S n 是数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2n －1的前n 项和，若不等式|λ＋1|＜S n ＋n 2n －1对一切n ∈N *恒成立，则λ的取值范围是________．[解析]S n ＝1＋2×12＋3×122＋…＋(n －1)·12n －2＋n ·12n －1，12S n ＝1×12＋2×122＋…＋(n －1)·12n －1＋n ·12n ，两式相减，得12S n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n ·12n ＝2－n ＋22n ，所以S n ＝4－n ＋22n －1.由不等式|λ＋1|＜S n ＋n 2n －1＝4－22n －1对一切n ∈N *恒成立，得|λ＋1|＜2，解得－3＜λ＜1. [答案] －3＜λ＜1。

80分小题精准练(一)(建议用时：50分钟)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x |x 2－x －6≤0}，B ＝{x |y ＝lg(x －2)}，则A ∩B ＝( ) A ． B ．[－2,2) C ．(2,3]D ．(3，＋∞)C [A ＝{x |－2≤x ≤3}，B ＝{x |x ＞2}， ∴A ∩B ＝(2,3]，故选C.]2．设复数z 满足(1＋i)z ＝2i(其中i 为虚数单位)，则下列结论正确的是( ) A ．|z |＝2 B ．z 的虚部为i C ．z 2＝2D ．z 的共轭复数为1－iD [由(1＋i)z ＝2i ，得z ＝2i1＋i ＝2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋i ，∴|z |＝2，z 的虚部为1，z 2＝(1＋i)2＝2i ，z 的共轭复数为1－i.故选D.]3．若函数f (x )＝⎩⎨⎧10x －1，x ≤1lg x ，x ＞1，则f (f (10))＝( )A ．9B ．1C ．110D ．0B [∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x －1，x ≤1lg x ，x ＞1，∴f (10)＝lg 10＝1，f (f (10))＝f (1)＝101－1＝1.故选B.]4．(2019·全国卷Ⅰ)tan 255°＝( ) A ．－2－ 3 B ．－2＋ 3 C ．2－ 3D ．2＋ 3D[tan 255°＝tan(180°＋75°)＝tan 75°＝tan(45°＋30°)＝tan 45°＋tan 30°1－tan 45°tan 30°＝1＋331－33＝2＋ 3.故选D.]5．为计算T＝13×24×35×46×…×1719×1820，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入()A．W＝W×i B．W＝W×(i＋1)C．W＝W×(i＋2) D．W＝W×(i＋3)C[每个分式的分母比分子多2，即W＝W×(i＋2)，故选C.]6．已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝()A．2B．4 2C．6 D．210C[圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝22，圆心为C(2,1)，半径r＝2，由直线l是圆C的对称轴，知直线l过点C，所以2＋a×1－1＝0，a＝－1，所以A(－4，－1)，于是|AC|2＝40，所以|AB|＝|AC|2－22＝40－4＝6.故选C.] 7．已知函数f(x)＝e x－1＋e1－x，则满足f(x－1)＜e＋e－1的x的取值范围是() A．1＜x＜3 B．0＜x＜2C ．0＜x ＜eD ．1＜x ＜eA [函数f (x )＝e x －1＋e 1－x ，则f (x －1)＝e x －2＋e 2－x ， 令g (x )＝f (x －1)－(e ＋e －1)＝e x －2＋e 2－x －(e ＋e －1)， g ′(x )＝e x －2－e 2－x ，令g ′(x )＝0，解得x ＝2.所以函数g (x )在(－∞，2)上单调递减，(2，＋∞)上单调递增． g (x )min ＝g (2)＝2－(e ＋e －1)＜0， 又g (1)＝g (3)＝0，∴1＜x ＜3.故选A.]8.如图，矩形ABCD 的四个顶点的坐标分别为A (0，－1)，B (π，－1)，C (π，1)，D (0,1)，正弦曲线f (x )＝sin x 和余弦曲线g (x )＝cos x 在矩形ABCD 内交于点F ，向矩形ABCD 区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是()A.1＋2πB.1＋22πC.1πD.12πB [y ＝sin x 与y ＝cos x 围成的区域，其面积为⎠⎜⎛π4π(sin x －cos x )d x ＝(－cos x －sin x )⎪⎪⎪⎪ππ4＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－22－22＝1＋ 2 .又矩形ABCD 的面积为2π，由几何概型概率公式得该点落在阴影区域内的概率是1＋22π，故选B .]9.一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体任意旋转，则容器里水面的最大高度为( )A ．1 B. 2 C. 3D.233C [∵正方体的棱长为2，∴正方体底面对角线为22， 正方体的体对角线长为23，而正方体旋转的新位置的最大高度为23， 且水的体积是正方体体积的一半，∴容器里水面的最大高度为体对角线的一半，即最大液面高度为 3.故选C.] 10.如图，直线2x ＋2y －3＝0经过函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π)图象的最高点M 和最低点N ，则( )A ．ω＝π2，φ＝π4 B ．ω＝π，φ＝0 C ．ω＝π2，φ＝－π4 D ．ω＝π，φ＝π2A [因为M ，N 分别是图象的最高点和最低点，得M 、N 的纵坐标为1和－1，代入直线2x ＋2y －3＝0得M 、N 横坐标为12和52，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1、N ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－1 .得T 2＝52－12＝2，故T ＝4＝2πω，故ω＝π2. M 代入f (x )得1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2×12＋φ，故π2×12＋φ＝2k π＋π2，所以φ＝2k π＋π4，k ∈Z . 因为|φ|＜π，所以φ＝π4，故选A.]11．已知双曲线C ：x 216－y 2b 2＝1(b ＞0)，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，过F 2的直线l 交C 的左、右支分别于A ，B ，且|AF 1|＝|BF 1|，则|AB |＝( )A ．4B ．8C ．16D ．32C [由双曲线C ：x 216－y 2b 2＝1(b ＞0)可得a ＝4， 设|AF 1|＝|BF 1|＝m ，由双曲线的定义可得|AF 2|＝|AF 1|＋2a ＝2a ＋m ， |BF 2| ＝|BF 1|－2a ＝m －2a ，可得|AB |＝|AF 2|－|BF 2|＝2a ＋m －(m －2a )＝4a ＝16.故选C. ]12．设函数f (x )＝a e x －2sin x ，x ∈[0，π]有且仅有一个零点，则实数a 的值为( )A.2e π4B.2e -π4C.2e π2D.2e -π2B [函数f (x )＝a e x －2sin x ，x ∈[0，π]有且仅有一个零点等价于a ＝2sin xe x ，x ∈[0，π]有且仅有一个解，即直线y ＝a 与g (x )＝2sin xe x ，x ∈[0，π]的图象只有一个交点，设g (x )＝2sin xe x，x ∈[0，π]， 则g ′(x )＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4e x，当0≤x ＜π4时， g ′(x )＞0，当π4＜x ≤π时，g ′(x )＜0， 即g (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4为增函数，在⎝ ⎛⎦⎥⎤π4，π为减函数，又g (0)＝0，g (π)＝0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2e -π4，则实数a 的值为2e -π4，故选B.]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知向量a ＝(2,1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |＝________. 5 [因为向量a ＝(2,1)，所以|a |＝22＋12＝ 5.因为a ·b ＝10，所以|a ＋b |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝5＋2×10＋|b |2＝(52)2， 所以|b |2＝25，则|b |＝5.]14．甲、乙两人组队参加猜谜语大赛，比赛共两轮，每轮比赛甲、乙两人各猜一个谜语，已知甲猜对每个谜语的概率为34，乙猜对每个谜语的概率为23，甲、乙在猜谜语这件事上互不影响，则比赛结束时，甲、乙两人合起来共猜对三个谜语的概率为________．512 [甲、乙两人组队参加猜谜语大赛，比赛共两轮，每轮比赛甲、乙两人各猜一个谜语，甲猜对每个谜语的概率为34，乙猜对每个谜语的概率为23，甲、乙在猜谜语这件事上互不影响，则比赛结束时，甲、乙两人合起来共猜对三个谜语的概率为： P ＝34×23×34×13＋34×23×14×23＋34×13×34×23＋14×23×34×23＝512.]15．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝(－1)na n ＋12n ，则∑2 019i ＝1S i ＝________. 13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－141 010 [当n ＝1时，S 1＝－S 1＋12，解得S 1＝14. 当n ≥2时，S n ＝(－1)n a n ＋12n ＝(－1)n (S n －S n －1)＋12n ，①n ＝2k (k ∈N *)时，S n ＝S n －S n －1＋12n ，即S n －1＝12n ， 即S 2k －1＝122k .②n ＝2k ＋1(k ∈N *)时，S n ＝－S n ＋S n －1＋12n ， S n ＝12S n －1＋12n ＋1，即S 2k ＋1＝12S 2k ＋122k ＋2，122k ＋2＝12S 2k ＋122k ＋2， 即S 2k ＝0.即∑2 019i ＝1S i ＝(S 1＋S 3＋…＋S 2 019)＋(S 2＋S 4＋…＋S 2 018) ＝14＋142＋…＋141 010 ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－141 0101－14 ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－141 010.] 16.如图，一张矩形白纸ABCD 中，AB ＝10，AD ＝102，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，现分别将△ABE ，△CDF 沿BE ，DF 折起，且A 、C 在平面BFDE 同侧，下列命题正确的是________．(写出所有正确命题的序号)①当平面ABE ∥平面CDF 时，AC ∥平面BFDE ； ②当平面ABE ∥平面CDF 时，AE ∥CD ； ③当A 、C 重合于点P 时，PG ⊥PD ；④当A 、C 重合于点P 时，三棱锥P -DEF 的外接球的表面积为150π. ①④ [在△ABE 中，tan ∠ABE ＝22，在△ACD 中，tan ∠CAD ＝22，所以∠ABE ＝∠DAC ，由题意，将△ABE ，△DCF 沿BE ，DF 折起，且A ，C 在平面BEDF 同侧，此时A 、C 、G 、H 四点在同一平面内，平面ABE ∩平面AGHC ＝AG ，平面CDF ∩平面AGHC ＝CH ，当平面ABE ∥平面CDF 时，得到AG ∥CH ，显然AG ＝CH ，所以四边形AGHC 为平行四边形，所以AC ∥GH ，进而可得AC ∥平面BFDE ，故①正确；由于折叠后，直线AE 与直线CD 为异面直线，所以AE 与CD 不平行，故②不正确；当A 、C 重合于点P 时，可得PG ＝1033，PD ＝10，又GD ＝10，∴PG 2＋PD 2≠GD 2，所以PG 与PD 不垂直，故③不正确；当A ，C 重合于点P 时，在三棱锥P -DEF 中，△EFD 与△FCD 均为直角三角形，所以DF 为三棱锥P -DEF 的外接球的直径，即R ＝DF 2＝562，所以外接球的表面积为S ＝4πR 2＝4π×⎝⎛⎭⎪⎫5622＝150π，故④正确．综上，正确命题的序号为①④.]。