立体几何证明方法总结及经典3例(可编辑修改word版)

立体几何常见证明方法1、线线平行①利用相似三角形或平行四边形②利用公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行③线面平行⇒线线平行 即////a a a l l αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭ ④面面平行⇒线线平行即b a b a ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫==γβγαβα即b a b a //⇒⎭⎬⎫⊥⊥αα2、线线垂直①两条直线所成角为90︒②线面垂直⇒线线垂直即b a b a ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα ③三垂线定理及其逆定理三垂线定理：l AC l BC AB ⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥α 三垂线逆定理：l BC l AC AB ⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥α ④两直线平行，其中一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于这条直线。

3、线面平行①定义：若一条直线和一个平面没有公共点，则它们平行；②线线平行⇒线面平行若平面外的一条直线平行于平面内的一条直线，则它与这个平面平行。

即ααα////a a b b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂③面面平行⇒线面平行若两平面平行，则其中一个平面内的任一条直线平行于另一个平面。

即βαβα////a a ⇒⎭⎬⎫⊂4、线面垂直①线线垂直⇒线面垂直若一条直线垂直平面内两条相交直线，则这条直线垂直这个平面。

即ααα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⊂⊂⊥⊥a O c bc b c a b a ,,②面面垂直⇒线面垂直两平面垂直，其中一个平面内的一条直线垂直于它们的交线，则这条直线垂直于另一个平面。

即βαβαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥⊂=⊥a l a a l ,,即αββα⊥⇒⎭⎬⎫⊥l l //即αα⊥⇒⎭⎬⎫⊥b a b a // 5、面面平行①线面平行⇒面面平行若一个平面内两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行。

即βαααββ//,//,//⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⊂⊂O b a b a b a②平行于同一平面的两个平面平行即βαγβγα//////⇒⎭⎬⎫即βαβα//⇒⎭⎬⎫⊥⊥l l 6、面面垂直①依定义，二面角的平面角为90︒； ②βαα⊥⇒⎬⎫⊂a l。

一．直线和平面的三种位置关系：1. 线面平行2. 线面相交l符号表示：符号表示：3. 线在面内符号表示：二．平行关系：1.线线平行：方法一：用线面平行实现。

方法二：用面面平行实现。

mlmll////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂βαβαmlml////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂=⋂βγαγβα方法三：用线面垂直实现。

若αα⊥⊥ml,，则ml//。

2.线面平行：方法一：用线线平行实现。

ααα////llmml⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂方法二：用面面平行实现。

αββα////ll⇒⎭⎬⎫⊂3.面面平行：方法一：用线线平行实现。

方法二：用线面平行实现βααβ//',','//'//⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂⊂且相交且相交mlmlmmll。

βαβαα//,////⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂且相交mlml三．垂直关系：l学习资料分享学习资料分享1. 线面垂直：方法一：用线线垂直实现。

方法二：用面面垂直实现。

αα⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂=⋂⊥⊥l AB AC A AB AC AB l AC l ,αββαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥=⋂⊥l l m l m , 2. 面面垂直：方法一：用线面垂直实现。

方法二：计算所成二面角为直角。

βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥l l3. 线线垂直：方法一：用线面垂直实现。

m l m l ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα方法二：三垂线定理及其逆定理。

PO l OA l PA l αα⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⊂⎭。

立体几何方法归纳小结一、线线平行的证明方法1、根据公理4，证明两直线都与第三条直线平行。

2、根据线面平行的性质定理，若直线a平行于平面A ，过a的平面B与平面A相交于b ，则a//b。

3、根据线面垂直的性质定理，若直线a与直线b都与平面A垂直，则a//b 。

4、根据面面平行的性质定理，若平面A//平面B，平面C与平面A和平面B的交线分别为直线a与直线b，则a//b 。

二、线面平行的证明方法1、根据线面平行的定义，证直线与平面没有公共点。

2、根据线面平行的判定定理，若平面A内存在一条直线b与平面外的直线a平行，则a//A 。

(用相似三角形或平行四边形)3、根据平面与平面平行的性质定理，若两平面平行，则一个平面内的任一直线与另一个平面平行。

三、面面平行的证明方法1、根据定义，若两平面没有公共点，则两平面平行。

2、根据两平面平行的判定定理，一个平面内有两相交直线与另一平面平行，则两平面平行。

或根据两平面平行的判定定理的推论，一平面内有两相交直线与另一平面内两相交直线平行，则两平面平行。

3、垂直同一直线的两平面平行。

4、平行同一平面的两平面平行。

四、两直线垂直的证明方法1、根据定义,证明两直线所成的角为90°2、一直线垂直于两平行直线中的一条,也垂直于另一条.3、一直线垂直于一个平面,则它垂直于平面内的所有直线.4、根据三垂线定理及逆定理,若平面内的直线垂直于平面的一条斜线(或斜线在平面内的射影),则它垂直于斜线在平面内的射影(或平面的斜线).五、线面垂直的证明方法1、根据定义,证明一直线与平面内的任一(所有)直线垂直,则直线垂直于平面.2、根据判定定理,一直线垂直于平面内的两相交直线,则直线垂直于平面.3、一直线垂直于两平行平面中的一个,也垂直于另一个.4、两平行直线中的一条垂直于一个平面,另一条也垂直于这个平面.5、根据两平面垂直的性质定理,两平面垂直,则一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.六、面面垂直的证明方法1、根据面面垂直的定义，两平面相交所成的二面角为直二面角，则两平面垂直。

立体几何证明方法总结及典例例1：平行类证明 【平行类证明方法总结】 线线平行的证明方法：三线间平行的传递性，三角形中位线，平行四边形对边平行且相等，梯形的上下底平行，棱柱圆柱的侧棱平行且相等，两平行面被第三面所截交线平行，成比例（相似）证平行等等。

线面平行的证明方法：面外线与面内线平行，两面平行则面内一线与另面平行等等 面面平行的证明方法：面内相交线与另面平行则面面平行，三面间平行的传递性等等。

【例】正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB ，在AE 、BD 上各有一点P 、Q ，且AP=DQ.求证：PQ ∥面BCE.证法一：如图（1），作PM ∥AB 交BE 于M ， 作QN ∥AB 交BC 于N,连接MN, 因为面ABCD ∩面ABEF=AB, 则AE=DB. 又∵AP=DQ, ∴PE=QB.又∵PM ∥AB ∥QN, ∴AE PE AB PM =,BD BQDC QN =. ∴DCQNAB PM =. ∴PM ∥QN.四边形PMNQ 为平行四边形. ∴PQ ∥MN.又∵MN ⊂面BCE ，PQ ⊄面BCE ， ∴PQ ∥面BCE. 证法二：如图(2)，连结AQ 并延长交BC 或BC 的延长线于点K ，连结EK. ∵AD ∥BC, ∴QKAQQB DQ =. 又∵正方形ABCD 与正方形ABEF 有公共边AB ，且AP=DQ ， ∴PEAPQK AQ =.则PQ ∥EK. ∴EK ⊂面BCE ，PQ ⊄面BCE. ∴PQ ∥面BCE. 例2：垂直类证明 【垂直类证明方法总结】证垂直的几种方法：勾股定理、等腰（边）三角形三线合一、菱形对角线、矩形（含正方形）、90o 、相似三角形（与直角三角形）、圆直径对的圆周角、平行线、射影定理（三垂线定理）、线面垂直、面面垂直等【例】如图所示，ABCD 为正方形，SA ⊥平面ABCD ，过A 且垂直于SC 的平面分别交SB SC SD ，，于E F G ，，．求证：AE SB ⊥，AG SD ⊥．证明：∵SA ⊥平面ABCD ，∴SA BC ⊥． ∵AB BC ⊥，∴BC ⊥平面SAB ． 又∵AE ⊂平面SAB ， ∴BC AE ⊥． ∵SC⊥平面AEFG ，∴SC AE ⊥．∴AE ⊥平面SBC ． ∴AE SB ⊥． 同理证AG SD ⊥． 例3：向量法解立体几何类 【量法解立体几何类公式总结】 基本公式若),,(),,,(222111z y x b z y x a ==，则①212121z z y y x x b a ++=⋅；②222222212121||,||z y x b z y x a ++=++=；③212121z z y y x x b a ++=⋅④222222212121212121,cos z y x z y x z z y y x x b a ++⋅++++>=<夹角公式：.||||cos 2121n n n n ⋅⋅-=θ距离公式：||||||n n AB CD d ⋅== 【例】已知两个正四棱锥P －ABCD 与Q －ABCD 的高都为2，AB ＝4． （1）证明：PQ ⊥平面ABCD ；（2）求异面直线AQ 与PB 所成的角； （3）求点P 到面QAD 的距离．简解：（1）略；（2）由题设知，ABCD 是正方形，且AC ⊥BD ．由（1），PQ ⊥平面ABCD ，故可分别以直线CA DB QP ，，为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系（如图1），易得(2202)(0222)AQ PB =--=-，，，，，，1cos 3AQ PB AQ PB AQ PB<>==，． 所求异面直线所成的角是1arccos3． （3）由（2）知，点(0220)(22220)(004)D AD PQ -=--=-，，，，，，，，设n =（x ，y ，z ）是平面QAD 的一个法向量，则00AQ AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，n n 得200x z x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，，取x ＝1，得(112)--，，n =．点P到平面QAD 的距离22PQ d==n n．立体几何证明经典习题平行题目1、P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点.求证：PC∥面BDQ.2、如图（1），在直角梯形P1DCB中，P1D//BC，CD⊥P1D，且P1D=8，BC=4，DC=46，A是P1D的中点，沿AB把平面P1AB折起到平面PAB的位置（如图（2）），使二面角P—CD—B成45°，设E、F分别是线段AB、PD的中点.求证：AF//平面PEC；垂直题目3、如图2，P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．求证：BC⊥平面PAC．4、如图2，在三棱锥Ａ－BCD 中，BC ＝AC ，AD ＝BD ，作BE ⊥CD ，Ｅ为垂足，作AH ⊥BE 于Ｈ．求证：AH ⊥平面BCD向量法解立体几何题目5、在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥侧面BB 1C 1C ，E 为棱CC 1上异于C 、C 1的一点，EA ⊥EB 1．已知2AB =，BB 1＝2，BC ＝1，∠BCC 1＝3π．求二面角A －EB 1－A 1的平面角的正切值．立体几何证明经典习题答案1、证明：如图，连结AC 交BD 于点O . ∵ABCD 是平行四边形，∴A O =O C.连结O Q ，则O Q 在平面BDQ 内， 且O Q 是△APC 的中位线， ∴PC ∥O Q.∵PC 在平面BDQ 外， ∴PC ∥平面BDQ.2、证明：如图，设PC 中点为G ，连结FG ，则FG//CD//AE ，且FG=21CD=AE ， ∴四边形AEGF 是平行四边形 ∴AF//EG ，又∵AF ⊄平面PEC ，EG ⊂平面PEC ， ∴AF//平面PEC3、证明：在平面PAC 内作AD ⊥PC 交PC 于D ． ∵平面PAC ⊥平面PBC ，且两平面交 于PC ，AD ⊂平面PAC ，且AD ⊥PC ，∴AD ⊥平面PBC ． 又∵BC ⊂平面PBC ， ∴AD ⊥BC ．∵PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴PA ⊥BC ． ∵AD ∩PA =A ， ∴BC ⊥平面PAC ．4、证明：取AB 的中点Ｆ，连结CF ，DF ． ∵ACBC =， ∴CFAB ⊥．∵AD BD =，（等腰三角形三线合一）∴DF AB ⊥． 又CFDF F =，∴AB ⊥平面CDF ．∵CD ⊂平面CDF ，∴CD AB ⊥．又CD BE ⊥，BEAB B =，∴CD ⊥平面ABE ，CD AH ⊥．∵AH CD ⊥，AH BE ⊥，CD BE E =，∴ AH ⊥平面BCD ．5、以B 为原点，分别以BB 1、BA 所在直线为y 轴、z 轴，过B 点垂直于平面AB 1的直线为x 轴建立空间直角坐标系． 由于BC ＝1，BB 1＝2，AB ＝2，∠BCC 1＝3π， ∴在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，有B （０，０，０）、A （０，０，2）、B 1（０，2，０）、31022c ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，，、133022C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，．设302E a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，且1322a -<<， 由EA ⊥EB 1，得10EA EB =，即3322022a a ⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，， 233(2)2044a a a a =+-=-+=，∴13022a a ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即12a =或32a =（舍去）．故31022E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，． 由已知有1EA EB ⊥，111B A EB ⊥，故二面角A －EB 1－A 1的平面角θ的大小为向量11B A 与EA 的夹角．因11(002)B A BA ==，，，31222EA ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，， 故11112cos 3EA B A EA B A θ==，即2tan 2θ=。

GPABCDF EABC DEF① 中位线定理例题：已知如图：平行四边形ABCD 中，6BC =，正方形ADEF 所在平面与平面ABCD 垂直，G ，H 分别是DF ，BE 的中点． （１）求证：GH ∥平面CDE ；（２）若2,42CD DB ==，求四棱锥F-ABCD 的体积．练习：1、如下图所示：在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA 1=4，点D 是AB 的中点。

求证：AC 1∥平面CDB 1；2. 如图，1111D C B A ABCD -是正四棱柱侧棱长为1，底面边长为2，E是棱BC 的中点。

（1）求证：//1BD 平面DE C 1；（2）求三棱锥BCD D 1-的体积.3、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，4,3PD DC ==，E 是PC 的中点。

（1）证明：//PA BDE 平面；（2）求PAD ∆以PA 为轴旋转所围成的几何体体积。

例2、 如图, 在矩形ABCD 中,2AB BC = , ,P Q 分别为线段,AB CD 的中点, EP ⊥平面ABCD .求证: AQ ∥平面CEP ；（利用平行四边形）练习：①如图，PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面，E 、F 分别是AB 、PD 的中点。

求证：AF ∥平面PCE ；②如图，已知P 是矩形ABCD 所在平面外一点，ABCD 平面PD ⊥，M ，N 分别是AB ，PC 中点。

求证：//PAD MN 平面③ 如图，已知AB ?平面ACD ，DE 求证：AF 1111D C B A O ABCD 证：//1O C 面11AB D ．③比例关系例题3、P 是平行四边形ABCD 平面外一点，M 、N 分别是PB BC 上的点，且NCBNPM BM =,求证：MN ABCD ⊥EA ABCD //EF AB =4,=2,=1AB AE EF Ⅱ）若点M 在线段AC 上，且满足14CM CA =, 求证：//EM 平面FBC ；E A 1B 1C 1D 1DC BA_ H_ G_ D_ A_ B_ CEFD ABEFMA BCDEF1A 1C 1B E FGACBEBACNDFM④面面平行-线面平行例题4、如图,矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE ∠∠︒903P ABCD -ABCD PD ⊥ABCD 2PD AB ==E F G PC PD BCEFG PA 面//P EFG-111ABC A B C -090ACB ∠=,,E F G 11,,AA AC BB 1CG C G⊥(Ⅰ)求证：//CG BEF 平面；3、如图所示,正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直,,//,22AD CD AB CD CD AB AD ⊥==. 在EC 上找一点M ,使得//BM 平面ADEF ,请确定M点的位置,并给出证明．4、（2012山东文）如图，几何体E ABCD -是四棱锥，△ABD 为正三角形，,CB CD EC BD =⊥.(Ⅰ)求证：BE DE =；(Ⅱ)若∠120BCD =︒，M 为线段AE 的中点， 求证：DM ∥平面BEC .例题： 如图，已知四棱锥ABCD P -。

立体几何证明定理归纳立体几何是几何学的一个重要分支，研究的是三维空间中的图形和物体。

在立体几何中，定理归纳是一种常用的证明方法。

通过对特定情况的证明，推导出一般情况的结论。

本文将以立体几何证明定理归纳为主题，探讨该证明方法的应用。

定理归纳是一种基于数学归纳法的证明方法，通过先证明一个特定情况的结论，再通过归纳推理得出一般情况的结论。

在立体几何中，定理归纳常被用于证明与体积、表面积、角度等相关的定理。

我们来看一个简单的例子，证明一个等腰直角三角形的斜边长度等于两直角边长度之和。

我们假设等腰直角三角形的两直角边长度分别为a，那么根据勾股定理，斜边的长度为：c = √(a² + a²) = a√2这是特定情况下的结论。

接下来，我们假设等腰直角三角形的两直角边长度分别为k和k，其中k为任意正实数。

同样使用勾股定理，我们可以得出：c = √(k² + k²) = k√2由此可见，在特定情况下的结论成立的情况下，一般情况下的结论也成立。

这就是定理归纳的基本思想。

在立体几何中，定理归纳的应用非常广泛。

下面我们将通过几个具体的例子，进一步探讨定理归纳的方法。

例一：证明正方体的体对角线长度等于边长的平方根乘以√3。

我们假设正方体的边长为a，那么根据勾股定理，体对角线的长度为：d = √(a² + a² + a²) = √(3a²) = a√3这是特定情况下的结论。

接下来，我们假设正方体的边长为k，其中k为任意正实数。

同样使用勾股定理，我们可以得出：d = √(k² + k² + k²) = √(3k²) = k√3由此可见，在特定情况下的结论成立的情况下，一般情况下的结论也成立。

例二：证明一个圆锥的侧面积等于底面积的一半乘以斜高。

我们假设圆锥的底面积为A，斜高为h，那么根据圆锥的侧面积公式，侧面积为：S = 1/2 * A * l其中l为斜高。