专题1.5函数的综合应用-2021年高考数学(理)尖子生培优题典(原卷版)

2021年高考数学尖子生培优题典（新高考专版）专题09 圆锥曲线姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________一、单选题1．椭圆22154x y +=的长轴长是（ ）A ．2B ．4C ．D ．10【答案】C【解析】因为椭圆的方程是22154x y +=， 所以25a =，解得a =，所以长轴长是2a =2．双曲线22221124x y m m−=+−的焦距是（ ）A ．4B ．C ．8D ．【答案】C【解析】由题意可得，c 2�a 2+b 2�m 2+12+4�m 2�16 �c ＝4 焦距2c �8 3．抛物线214y x =的焦点坐标是（ ）A ．1,016B ．()1,0C ．1-,016D ．()0,1【答案】D 【解析】214y x =即24x y =，所以其焦点在y 轴正半轴，坐标为()0,1 4．抛物线212x y =的准线方程为（ ） A ．18y =− B ．18y =C ．12x =−D ．12x =【答案】A【解析】解：由于抛物线22x py =的准线方程为2p y =−， 则有抛物线212x y =的准线方程是18y =−． 5．已知12F F 、是双曲线2222:1x y E a b−=的左、右焦点，过点1F 且与x 轴垂直的直线与双曲线左支交于点,M N ，已知2MF N ∆是等腰直角三角形，则双曲线的离心率是（ ）．A B ．2C ．1+D ．2+【答案】C【解析】由题意得222222210,11b c c a ac e e e e a=⇒−=⇒−−=>⇒=6．焦点在x 轴上的椭圆222125x y a +=焦距为8，两个焦点为12,F F ，弦AB 过点1F ，则2ABF 的周长为（ ）A ．20B ．28C ．D ．【答案】D【解析】解：因为焦点在x 轴上的椭圆222125x y a += 焦距为8，所以22254a −=，解得a =如图，根据椭圆的定义可得122AF AF a +=，122BF BF a +=，所以22211224ABF C AB AF BF AF BF AF BF a =++=+++== 故选：D7．抛物线24y x =的焦点到双曲线221x y −=的渐近线的距离为（ ）A ．12BCD ．2【答案】B【解析】因为抛物线的焦点为(1,0)，双曲线的渐近线为0x y ±=，所以抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为d8．已知抛物线2:2C y px =的焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点（设点A 在第一象限），分别过,A B 作准线的垂线，垂足分别为11,A B ，若1AFA 为等边三角形，1BFB 的面积为1S ，四边形11A B BF 的面积为2S ，则12S S =（ ）A ．13B ．14C ．16D ．17【答案】D【解析】由条件可得1160AFx AFA A FO °∠=∠=∠=，1130BFB OFB °∠=∠=，直线AB的方程为2p yx − ，与22y px =联立，消去y ，整理得2233504p x px −+=，解得6p x =或32p x =，故3,,26p pA B ，则1|2|||623p p p BF BB ==+=，则1BFB的面积为11262p p S =×+ 11A B BF的面积为2S p p=+−⋅=，故1217S S =．二、多选题9．已知抛物线()220y px p =>上一点M 到其准线及对称轴的距离分别为3和p 的值可以是( ) A ．2 B ．6C ．4D ．8【答案】AC【解析】设M 的横坐标为x ，由题意，32px +=，28px =，解得2p =或4p =. 10．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线221412x y −=，则（ ）A ．实轴长为2 B．渐近线方程为y =C ．离心率为2D ．一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为3【答案】BC【解析】由双曲线方程221412x y −=，得2a =，b =4c ==，所以实轴长24a =，故选项A 错误；渐近线方程为b y x a=±，故选项B 正确； 离心率2cea==，故选项C 正确； 准线方程21a x c=±=±，取其中一条准线1x =，y =与1x =的交点(A ，点A到直线y =的距离dD 错误.11．已知F 是抛物线2:16C y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则（ ）A ．C 的准线方程为4x =−B ．F 点的坐标为()0,4C ．12FN = D．三角形ONF 的面积为（O 为坐标原点）【答案】ACD【解析】如图，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线l 与x 轴交于点F ′，作MB l ⊥于点B ，NA l ⊥于点A . 由抛物线的解析式可得准线方程为4x =−，F 点的坐标为()4,0，则4AN =，8FF ′=，在直角梯形ANFF ′中，中位线62AN FF BM′+==，由抛物线的定义有6MF MB ==，结合题意，有6MN MF ==，故6612FN FM NM =+=+=，ON =，142QNF S =×=△.12．已知曲线22:1C mx ny +=.（ ） A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B ．若m =n >0，则CC ．若mn <0，则C是双曲线，其渐近线方程为y = D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线 【答案】ACD【解析】对于A ，若0m n >>，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=， 因为0m n >>，所以11m n<， 即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；对于B ，若0m n =>，则221mx ny +=可化为221x y n+=， 此时曲线C的圆，故B 不正确； 对于C ，若0mn <，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=， 此时曲线C 表示双曲线，由220mx ny +=可得y =，故C 正确； 对于D ，若0,0m n =>，则221mx ny +=可化为21y n=，y =，此时曲线C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确；三、填空题13．双曲线2213x y −=的焦距长为_______．【答案】4【解析】1,a b==，222c a b =+ ，2c ∴=，焦距长24c=.14．以双曲线22145x y −=的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为_____．【答案】22195x y +=【解析】由双曲线的相关性质可知，双曲线22:145x y C -=的焦点为(3,0)±，顶点为(20)±,，所以椭圆的顶点为(3,0)±，焦点为(20)±,，因为2225b a c =-=，所以椭圆的方程为22195x y +=15．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，C ：()(2216x a y −+−=过点F 且与l相切，则p =______. 【答案】2或6【解析】解：02p F，在()(2216x a y −+−=上所以(220162p a −+−=，即22pa −=（1）， ()(2216x a y −+−=和与l 相切，42pa +=（2）， 由（1）（2）得，所以2p =或6p =16．如图，椭圆E 的左右焦点为1F ，2F ，以2F 为圆心的圆过原点，且与椭圆E 在第一象限交于点P ，若过P ､1F 的直线l 与圆2F 相切，则直线l 的斜率k =______；椭圆E 的离心率e =______.1 【解析】连接2PF ，由于l 是圆2F 的切线，所以12PF PF ⊥.在12Rt PF F 中，212PF OF OF c ===， 所以21212PF F F =，所以126PF F π∠=，所以直线l的斜率6tan πk ==. 1PF =，根据椭圆的定义可知1212212F F c cea aPF PF ====−+.四、解答题17．求适合下列条件的椭圆标准方程：（1）与椭圆2212x y +=有相同的焦点，且经过点3(1,)2（2）经过(2,(A B 两点 【解析】（1）椭圆2212x y +=的焦点坐标为(1,0)±，∵椭圆过点3(1,)2，∴24a ==，∴2,a b ==，∴椭圆的标准方程为22143x y +=.（2）设所求的椭圆方程为221(0,0,)x y m n m n m n+=>>≠．把(2,(A B 两点代入， 得：14213241mnm n+=+= ，解得81m n ==，， ∴椭圆方程为2218x y +=．18．已知双曲线22221(0,0)y x a b a b−=>>的一个焦点在直线:3120l y ++=上，且其一条渐近线与直线l 平行，求该双曲线的方程.【解析】依题意得，双曲线的焦点在y 轴上，又直线l 与y 轴的交点为(0,4)−，所以双曲线的一个焦点坐标为(0,4)−，即4c ==.又因为直线l的斜率为a b =224,12a b ==， 故双曲线的方程为221412y x −=.19．已知抛物线22(0)y px p =>的准线方程为1x =−. （Ⅰ）求p 的值；（Ⅱ）直线:1l y x =−交抛物线于A 、B 两点，求弦长AB .【解析】（Ⅰ）依已知得12p =，所以2p =； （Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ，由214y x y x =− =消去y ，得2610x x −+=， 则126x x +=，121x x =，所以AB =8=. 20．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b −=>>的一个焦点与抛物线28y x =的焦点相同，且经过点(2,3)． （Ⅰ）求双曲线C 的标准方程和其渐近线方程； （Ⅱ）设直线l 经过点(0,1)−，且斜率为k ．求直线l 与双曲线C 有两个公共点时k 的取值范围．【解析】（Ⅰ）由已知，双曲线的焦点为(2,0)−和(2,0)根据定义有：221a a −⇒= 故21a =，24c =，23b =，从而所求双曲线C 的方程为2213y x −=其渐近线方程为：y =.（Ⅱ）由22133y kx x y =− −= 得：()223240k x kx −+−=当230k −≠，即k ≠时，若>0∆，即()()22244(4)31240k k k ∆=−−−=−>24022k k ⇒−>⇒−<<时， 直线与双曲线相交，有两个公共点；所以，当22k −<<，且k ≠时，直线与双曲线有两个公共点．21．已知椭圆M ：22219x y b+=（0b >）的一个焦点为()2,0，设椭圆N 的焦点恰为椭圆M 短轴上的顶点，且椭圆N 过点． （1）求N 的方程；（2）若直线2y x =−与椭圆N 交于A ，B 两点，求AB ．【解析】（1）由椭圆M ：22219x y b+=（0b >）的一个焦点为()2,0，得2c =，且222945b a c =−=−=，∴椭圆N 的焦点为(0,，(．又椭圆N 过点，∴椭圆N∴椭圆N 1．∴N 的方程为2216y x +=；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ， 联立22216y x y x =− +=消去y ，整理得27420x x −−=， 则1247x x +=，1227x x =−， ∴127AB =. 22．已知动圆Q 经过定点()0,F a ，且与定直线:l y a =−相切（其中a 为常数，且0a >）.记动圆圆心Q 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线？ （2）设点P 的坐标为()0,a −，过点P 作曲线C 的切线，切点为A ，若过点P 的直线m 与曲线C 交于M ，N 两点，证明：AFM AFN ∠=∠.【解析】（1）设(),Q x y，由题意得y a =+，化简得24x ay =， 所以动圆圆心Q 的轨迹方程为24x ay =， 它是以F 为焦点，以直线l 为准线的抛物线.（2）不妨设()2,04t A t t a >. 因为24x y a=，所以2x y a ′=， 从而直线PA 的斜率为2402t a t a t a+=−，解得2t a =，即()2,A a a ， 又()0,F a ，所以//AF x 轴.要使AFM AFN ∠=∠，只需0FM FN k k +=. 设直线m 的方程为y kx a =−，代入24x ay =并整理， 得22440x akx a −+=.所以()221610a k ∆=−>，解得1k <−或1k >. 设()11,M x y ，()22,N x y ，则124x x ak +=，2124x x a =. ()()2112121212FM FN x y a x y a y a y a k k x x x x −+−−−+=+= ()()()21121212122222x kx a x kx a a x x k x x x x −+−+==− 224204a ak k a ⋅=−=. 故存在直线m ，使得AFM AFN ∠=∠， 此时直线m 的斜率的取值范围为()(),11,−∞−∪+∞.。

一、选择题1.【2017天津，理6】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）（A ）a b c << （B ）c b a << （C ）b a c <<（D ）b c a <<【答案】C【解析】因为()f x 是奇函数且在R 上是增函数，所以在0x >时，()0f x >， 从而()()g x xf x =是R 上的偶函数，且在[0,)+∞上是增函数，22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=，0.822<，又4 5.18<<，则22log 5.13<<，所以即0.8202log 5.13<<<，0.82(2)(log 5.1)(3)g g g <<，所以b a c <<，故选C ．【考点】 指数、对数、函数的单调性2.【2016年高考北京理数】已知x ，y R ∈，且0x y >>，则（ ） A.110x y ->B.sin sin 0x y ->C.11()()022x y -<D.ln ln 0x y +> 【答案】C 【解析】试题分析：A ：由0>>y x ，得y x 11<，即011<-yx ，A 不正确； B ：由0>>y x 及正弦函数sin y x =的单调性，可知0sin sin >-y x 不一定成立； C ：由1210<<，0>>y x ，得y x )21()21(<，故0)21()21(<-y x ，C 正确； D ：由0>>y x ，得0>xy ，不一定大于1，故0ln ln >+y x 不一定成立，故选C.考点： 函数性质3.【2016高考新课标2理数】已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()miii x y =+=∑（ ）（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m 【答案】C 【解析】试题分析：由于()()2f x f x -+=，不妨设()1f x x =+，与函数111x y x x+==+的交点为()()1,2,1,0-，故12122x x y y +++=，故选C. 考点： 函数图象的性质【名师点睛】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图象有对称轴2a bx +=；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数的图象有对称中心.4. 【2016高考山东理数】已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，3()1f x x =- ；当11x -≤≤ 时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=- .则f (6)= （ ）【答案】D考点：1.函数的奇偶性与周期性；2.分段函数.【名师点睛】本题主要考查分段函数的概念、函数的奇偶性与周期性，是高考常考知识内容.本题具备一定难度.解答此类问题，关键在于利用分段函数的概念，发现周期函数特征，进行函数值的转化.本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.5.【2015高考福建，理2】下列函数为奇函数的是( ) A ．y x = B ．sin y x = C ．cos y x = D ．x x y e e -=-【答案】D 【解析】函数y x =是非奇非偶函数；sin y x =和cos y x =是偶函数；x x y e e -=-是奇函数，故选D ．【考点定位】函数的奇偶性．6.【2015湖南理2】设函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--，则()f x 是（ ） A.奇函数，且在(0,1)上是增函数 B. 奇函数，且在(0,1)上是减函数 C. 偶函数，且在(0,1)上是增函数 D. 偶函数，且在(0,1)上是减函数 【答案】A. 【解析】试题分析：显然，)(x f 定义域为)1,1(-，关于原点对称，又∵)()1ln()1ln()(x f x x x f -=+--=-，∴)(x f 为奇函数，显然，)(x f 在)1,0(上单调递增，故选A. 【考点定位】函数的性质.【名师点睛】本题主要考查了以对数函数为背景的单调性与奇偶性，属于中档题，首先根据函数奇偶性的 判定可知其为奇函数，判定时需首先考虑定义域关于原点对称是函数为奇函数的必要条件，再结合复合函7.【2017课标3，理15】设函数10()20x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是_________.【答案】1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】试题分析：令()()12g x f x f x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，当102x <≤时，()()11222x g x f x f x x ⎛⎫=+-=++ ⎪⎝⎭，当12x>时，()()()112122xg x f x f x-⎛⎫=+-=+⎪⎝⎭，写成分段函数的形式：()()()132,021112,02221212,2xxx xg x f x f x x xx-⎧+≤⎪⎪⎪⎛⎫=+-=++<≤⎨⎪⎝⎭⎪⎪+>⎪⎩，函数()g x在区间(]11,0,0,,,22⎛⎤⎛⎫-∞+∞⎪⎥⎝⎦⎝⎭三段区间内均单调递增，且：()001111,201,212142g-⎛⎫-=++>+⨯>⎪⎝⎭，据此x的取值范围是：1,4⎛⎫-+∞⎪⎝⎭.【考点】分段函数；分类讨论的思想8.【2017山东，理15】若函数()xe f x（ 2.71828e=是自然对数的底数）在()f x的定义域上单调递增，则称函数()f x具有M性质.下列函数中所有具有M性质的函数的序号为.①()2xf x-=②()3xf x-=③()3f x x=④()22f x x=+【答案】①④【解析】试题分析：①()22xx x xee f x e-⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭在R上单调递增，故()2xf x-=具有M性质；②()33xx x xee f x e-⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭在R上单调递减，故()3xf x-=不具有M性质；③()3x xe f x e x=⋅，令()3xg x e x=⋅，则()()32232x x xg x e x e x x e x'=⋅+⋅=+，∴当2x>-时，()0g x'>，当2x<-时，()0g x'<，∴()3x xe f x e x=⋅在(),2-∞-上单调递减，在()2,-+∞上单调递增，故()3f x x =不具有M 性质；④()()22x x e f x e x =+，令()()22x g x e x =+，则()()()2222110xx x g x ex e x e x ⎡⎤'=++⋅=++>⎣⎦，∴()()22x x e f x e x =+在R 上单调递增，故()22f x x =+具有M 性质．【考点】1.新定义问题.2.利用导数研究函数的单调性. 【名师点睛】2.求可导函数单调区间的一般步骤 (1)确定函数f (x )的定义域(定义域优先)； (2)求导函数f ′(x )；(3)在函数f (x )的定义域内求不等式f ′(x )＞0或f ′(x )＜0的解集．(4)由f ′(x )＞0(f ′(x )＜0)的解集确定函数f (x )的单调增(减)区间．若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间．3.由函数f (x )在(a ，b )上的单调性，求参数范围问题，可转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立问题，要注意“＝”是否可以取到．9.【2017浙江，17】已知α∈R ，函数a a xx x f +-+=|4|)(在区间[1，4]上的最大值是5，则a 的取值范围是___________． 【答案】9(,]2-∞ 【解析】试题分析：[][]41,4,4,5x x x∈+∈，分类讨论： ①．当5a ≥时，()442f x a x a a x x x =--+=--，函数的最大值9245,2a a -=∴=，舍去；②．当4a ≤时，()445f x x a a x x x=+-+=+≤，此时命题成立；③．当45a <<时，(){}max max 4,5f x a a a a =-+-+⎡⎤⎣⎦，则：4545a a a a a a ⎧-+≥-+⎪⎨-+=⎪⎩或：4555a a a a a a ⎧-+<-+⎪⎨-+=⎪⎩，解得：92a =或92a <综上可得，实数a的取值范围是9,2⎛⎤-∞⎥⎝⎦．【考点】基本不等式、函数最值10.【2016年高考四川理数】已知函数()f x是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，()4xf x=，则5()(1)2f f-+= .【答案】-2【解析】试题分析：因为函数()f x是定义在R上周期为2的奇函数，所以(1)(1),(1)(12)(1)f f f f f-=--=-+=，所以(1)(1)f f-=，即(1)0f=，125111()(2)()()422222f f f f-=--=-=-=-=-，所以5()(1)22f f-+=-.考点：函数的奇偶性和周期性.【名师点睛】本题考查函数的奇偶性，周期性，属于基本题，在求值时，只要把5()2f-和(1)f，利用奇偶性与周期性化为(0,1)上的函数值即可．11.【2015高考新课标1，理13】若函数f(x)=2ln()x x a x++为偶函数，则a=【答案】1【解析】由题知2ln()y x a x=++是奇函数，所以22ln()ln()x a x x a x+++-++=22ln()ln0a x x a+-==，解得a=1.【考点定位】函数的奇偶性12. 【2015高考北京，理14】设函数()()()2142 1.x a xf xx a x a x⎧-<⎪=⎨--⎪⎩‚‚‚≥①若1a=，则()f x的最小值为；②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是．【答案】(1)1，(2)112a ≤<或2a ≥. 【解析】①1a =时，()()()211412 1.≥⎧-<⎪=⎨--⎪⎩x x f x x x x ‚‚‚，函数()f x 在(,1)-∞上为增函数，函数值大于1，在3[1,]2为减函数，在3[,)2+∞为增函数，当32x =时，()f x 取得最小值为1； （2）①若函数()2xg x a =-在1x <时与x 轴有一个交点，则0a >，并且当1x =时，(1)2g a =->0，则02a <<，函数()4()(2)h x x a x a =--与x 轴有一个交点，所以21且1a a ≥<⇒112a ≤<； ②若函数()2xg x a =-与x 轴有无交点，则函数()4()(2)h x x a x a =--与x 轴有两个交点，当0a ≤时()g x 与x 轴有无交点，()4()(2)h x x a x a =--在1x ≥与x 轴有无交点，不合题意；当(1)20h a =-≥时，2a ≥，()h x 与x 轴有两个交点，x a =和2x a =，由于2a ≥，两交点横坐标均满足1x ≥；综上所述a 的取值范围112a ≤<或2a ≥. 考点定位：本题考点为函数的有关性质，涉及函数图象、函数的最值，函数的零点、分类讨论思想解 【名师点睛】本题考查函数图象与函数零点的有关知识，本题属于中等题，第一步正确画出图象，利用函数图象研究函数的单调性，求出函数的最值，第二步涉计参数问题，针对参数进行分类讨论，按照题目所给零点的条件，找出符合零点要求的参数a ，讨论要全面，注意数形结合．13.【2016高考天津理数】已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间（-∞，0）上单调递增.若实数a 足1(2)(2)a f f ->，则a 的取值范围是______.【答案】13(,)22【解析】试题分析：由题意()f x 在(0,)+∞上递减，又()f x 是偶函数，则不等式1(2)(2)a f f ->-或化为1(2)2)a f f ->，则122a -<112a -<，解得1322a <<，即答案为13(,)22．考点：利用函数性质解不等式14.【2017江苏，11】已知函数31()2e ex x f x x x =-+-, 其中e 是自然对数的底数. 若2(1)(2)0f a f a -+≤,则实数a 的取值范围是 ▲ . 【答案】1[1,]2-【解析】因为31()2e ()ex x f x x f x x -=-++-=-，所以函数()f x 是奇函数， 因为22()32e e 322e e 0x x x x f 'x x x --=-++≥-+⋅≥，所以数()f x 在R 上单调递增， 又21)02()(f f a a +-≤，即2())2(1a a f f ≤-，所以221a a ≤-，即2120a a +-≤， 解得112a -≤≤，故实数a 的取值范围为1[1,]2-. 【考点】利用函数性质解不等式【名师点睛】解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内15.【2015高考江苏，13】已知函数|ln |)(x x f =，⎩⎨⎧>--≤<=1,2|4|10,0)(2x x x x g ，则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为 【答案】4【解析】由题意得：求函数()y f x =与1()y g x =-交点个数以及函数()y f x =与1()y g x =--交点个数之和，因为221,011()7,21,12x y g x x x x x <≤⎧⎪=-=-≥⎨⎪-<<⎩，所以函数()y f x =与1()y g x =-有两个交点，又221,011()5,23,12x y g x x x x x -<≤⎧⎪=--=-≥⎨⎪-<<⎩，所以函数()y f x =与1()y g x =--有两个交点，因此共有4个交点【考点定位】函数与方程16.【2016年高考四川理数】在平面直角坐标系中，当P (x ，y )不是原点时，定义P 的“伴随点”为'2222(,)y xP x y x y -++；当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身，平面曲线C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线'C 定义为曲线C 的“伴随曲线”.现有下列命题：①若点A 的“伴随点”是点'A ，则点'A 的“伴随点”是点A ②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线C 关于x 轴对称，则其“伴随曲线”'C 关于y 轴对称； ④一条直线的“伴随曲线”是一条直线.其中的真命题是_____________（写出所有真命题的序列）. 【答案】②③ 【解析】试题分析：对于①，若令(1,1)P ，则其伴随点为11(,)22P '-，而11(,)22P '-的伴随点为(1,1)--，而不是P ，故①错误；对于②，设曲线(,)0f x y =关于x 轴对称，则(,)0f x y -=与方程(,)0f x y =表示同一曲线，其伴随曲线分别为2222(,)0y x f x y x y -=++与2222(,)0y xf x y x y --=++也表示同一曲线，又曲线2222(,)0y x f x y x y -=++与曲线2222(,)0y xf x y x y --=++的图象关于y 轴对称，所以②正确；③设单位圆上任一点的坐标为(cos ,sin )P x x ，其伴随点为(sin ,cos )P x x '-仍在单位圆上，故②正确；对于④，直线y kx b =+上任一点P (,)x y 的伴随点是'P 2222(,)y xx y x y -++，消参后点'P 轨迹是圆，故④错误.所以正确的为序号为②③.考点：对新定义的理解、函数的对称性.17. 【2016年高考北京理数】设函数33,()2,x x x af x x x a⎧-≤=⎨->⎩.①若0a =，则()f x 的最大值为______________； ②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是________. 【答案】2，(,1)-∞-. 【解析】试题分析：如图作出函数3()3g x x x =-与直线2y x =-的图象，它们的交点是(1,2)A -，(0,0)O ，(1,2)B -，由2'()33g x x =-，知1x =是函数()g x 的极大值点，①当0a =时，33,0()2,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，因此()f x 的最大值是(1)2f -=；②由图象知当1a ≥-时，()f x 有最大值是(1)2f -=；只有当1a <-时，由332a a a -<-，因此()f x 无最大值，∴所求a 的范围是(,1)-∞-，故填：2，(,1)-∞-．考点：1.分段函数求最值；2.数形结合的数学思想.18.【2015高考福建，理14】若函数()6,2,3log ,2,a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩（0a > 且1a ≠ ）的值域是[)4,+∞ ，则实数a 的取值范围是 ．【答案】(1,2]【解析】当2x ≤，故64x -+≥，要使得函数()f x 的值域为[)4,+∞，只需1()3log a f x x =+（2x >）的值域包含于[)4,+∞，故1a >，所以1()3log 2a f x >+，所以3log 24a +≥，解得12a <≤，所以实数a 的取值范围是(1,2]．【考点定位】分段函数求值域．【名师点睛】本题考查分段函数的值域问题，分段函数是一个函数，其值域是各段函数值取值范围的并集，将分段函数的值域问题转化为集合之间的包含关系，是本题的一个亮点，要注意分类讨论思想的运用，属于中档题．。

2 / 22021学年高考数学（文）尖子生同步培优题典专题1.5函数的综合应用姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：一、选择题（在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（2020·安徽高三月考（文））函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数.若(1)1f =-，则满足1(2)1f x -≤-≤的x 取值范围是（ ）A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]2．（2020·四川省泸县第四中学高三月考（文））若对l x ∀，()2,x m ∈+∞，且2l x x <，都有122121ln ln 1x x x x x x -<-，则m 的最小值是( )注：(e 为自然对数的底数，即 2.71828)e =⋯ A ．1eB ．eC ．1D ．3e3．（2020·河北枣强中学高三月考（文））已知定义在R 上的奇函数()y f x =，对任意的x ∈R 都有(1)(1)f x f x +=-，当10x -≤<时，2()log ()f x x ，则函数()()2g x f x =-在()0,8内所有零点之和为（ ） A ．6B ．8C ．10D ．124．（2020·辽宁高三三模（文））设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，23()log (1)1f x x ax a =++-+(a 为常数)，则不等式(34)5f x +>-的解集为（ ） A ．(,1)-∞-B ．(1,)-+∞C ．(,2)-∞-D ．(2,)-+∞5．（2019·河北路南唐山一中高三期中（文））某工厂产生的废气经过过滤后排放，在过滤过程中，污染物的2 / 2数量p (单位：毫克/升)不断减少，已知p 与时间t (单位：小时)满足p (t )＝302t p -⨯，其中p 0为t ＝0时的污染物数量．又测得当t ∈[0,30]时，污染物数量的变化率是－10ln 2，则p (60)＝( ) A ．150毫克/升 B ．300毫克/升 C ．150ln 2毫克/升D ．300ln 2毫克/升6．（2019·河北路南唐山一中高三期中（文））已知函数,0()2(1),0xx m e mx x f x e x x -⎧++<⎪=⎨⎪-≥⎩（e 为自然对数的底），若方程()()0-+=f x f x 有且仅有四个不同的解，则实数m 的取值范围是（ ）． A ．(0,)eB ．(,)e +∞C ．(0,2)eD ．(2,)e +∞7．（2020·安徽黄山高三二模（文））定义在R 上的函数()f x 满足：()()1f x f x '+>，(0)3f =，则不等式()2x xe f x e >+的解集为（）A ．(0,)+∞B ．(,0)(3,)-∞⋃+∞C ．(,0)(0,)-∞+∞D ．(3,)+∞8．（2020·浙江高三其他）设函数()()()()13,4kxxf x e ex k -=--=，则（ ）A ．3k =时，()f x 有极大值，也有极小值B ．3k =时，()f x 有极小值，但无极大值C ．4k =时，()f x 有极大值，但无极小值D ．4k =时，()f x 有极小值，但无极大值 9．（2019·浙江高三月考）设数列{}n a 满足1102a <<，()1ln 2n n n a a a +=+-对任意的*n N ∈恒成立，则下列说法正确的是（ ） A ．2019102a <<B ．2019112a << C ．2019312a <<D ．2019322a <<2 / 210．（2020·黑龙江南岗哈师大附中高三其他（文））已知函数()sin f x x a x =-，对任意的()12,,x x ∈-∞+∞，且12x x ≠，不等式()()1212f x f x a x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．12a <B ．12a ≤C ．12a >D ．12a ≥11．（2020·巩义市教育科研培训中心高三其他（文））若对任意实数(,1]x ∈-∞，2211xx ax e-+≥恒成立，则a =（ ） A ．12-B ．0C ．12D ．e12．（2020·浙江高三开学考试）数列{}n a 满足11,02a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，且()()1ln 1n n n a a a n *+=-+∈N ，则（ ） A ．215a >，435S > B ．215a >，435S < C ．215a <，435S > D ．215a <，435S <二、填空题（不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上） 13．（2020·浙江鄞州宁波华茂外国语学校高三一模）设函数()23axf x x =+，若()()f f x x =恒成立，则实数a 的值为_____.14．（2020·安徽蚌埠高三其他（文））已知函数22,1()log (1),1x x f x x x -⎧≥-=⎨-<-⎩，则(0)(3)f f --=_______.15．（2020·湖北武汉高三其他（文））函数2()2ln f x x x =-的单调递减区间是_________.16．（2020·山西运城高三月考（文））曲线21()ln 2f x x x x =+在点(1(1))f ，处的切线与直线10ax y --=垂2 / 2直，则a =________.17．（2020·河北新华�石家庄二中高三其他（文））曲线22xx x y e+=在(0,0)处的切线方程为_________. 18．（2020·浙江高三开学考试）已知函数()2af x x t x=+-（1020a ≤≤，且a ∈N ）在[]1,4上的最大值为()g t ，若()g t 的最小值为4，则常数a =_______．三、解答题（请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（2020·湖北荆门�高三期末（文））已知函数21()(1)(12)ln (0)2f x ax a x a x a =+-+->． （1）若2x =是函数的极值点，求a 的值及函数()f x 的极值； （2）讨论函数的单调性．20．（2020·武威第六中学高三其他（文））已知()()ln 1f x x a x =+-. (1)讨论()f x 的单调性；(2)当()f x 有最大值，且最大值大于22a -时，求a 的取值范围.21．（2020·甘肃城关兰州一中高三二模（文））已知函数()2ln f x x x x =-+（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）证明当2a ≥时，关于x 的不等式()2(1)12af x x ax <-+-恒成立；22．（2020·云南高三一模（文））已知函数()3()xf x e ax a R =--∈（1）若函数f (x )在(1，f (1))处的切线与直线x -y =0平行，求实数a 的值；2 / 2（2）当a =2，k 为整数，且当x >1时，()()210,x k f x x '-++>求k 的最大值. 23．（2020·安徽省六安中学高二期中（文））已知函数()()xf x e x a a R =--∈．(1)当0a =时，求证：()f x x >；(2)讨论函数()f x 在R 上的零点个数，并求出相对应的a 的取值范围． 24．（2020·湖南天心长郡中学高三其他（文））已知函数()()()1xf x e x a a R =-∈-.（1）讨论()f x 在区间[]1,2上的单调性； （2）若()af x e≥恒成立，求实数a 的最大值.（e 为自然对数的底） 25．（2020·山东牡丹菏泽一中高三月考）已知函数()sin ln(1)f x x m x =-+，且()f x 在0x =处切线垂直于y 轴． （1）求m 的值；（2）求函数()f x 在[]0,1上的最小值；（3）若2sin ln 10x x ax x e --+->恒成立，求满足条件的整数a 的最大值． （参考数据sin10.84≈，ln 20.693=）26．（2020·安徽蚌埠高三其他（文））已知函数()1sin ()x f x e a x a R =--∈.（1）当1a =时，求曲线()f x 在(0,(0))f 处的切线方程；（2）若当[0,]x π∈时，()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.27．（2020·安徽马鞍山高三三模（文））函数()x f x e =，()1=-g x ax ，其中a R ∈，e 是自然对数的底数.2 / 2（1）若a e =，求函数()()()F x f x g x =-的最小值； （2）若0x ≥时，()()1f x xg x +≥恒成立，求a 的取值范围.28．（2020·湖南怀化高三二模（文））已知函数()sin f x kx x =+，其中k ∈R .（1）若函数()f x 在区间π5π,36⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，求k 的取值范围； （2）若1k =时，不等式c (s )o ax f x x ≥在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，求实数a 的取值范围.29．（2020·浙江省兰溪市第三中学高三开学考试）设函数()1xf x e a x =++1x ≥-．（1）当1a =-时，若0x 为函数()f x 的极值点，求证：0102x -<< （2）若不等式()25242f x ax x a++≤对任意0x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．注： 2.71828e =⋅⋅⋅为自然对数的底数．30．（2020·广西高三一模（文））设函数ln ()4x xf x x =+，已知ln 20.69≈. (1)证明：11,42t ⎛⎫∃∈⎪⎝⎭，()f x 在(,)t +∞上单调递增； (2)若1()16f x m >对(0,)x ∈+∞恒成立，求整数m 的最大值.。

（新课标）高考数学一轮复习名校尖子生培优大专题函数的图像与性质新人教A版x 0例11.. 若x, y 满足约束条件：x 2y 3；则x y 的取值范围为▲2x y 3【答案】[ 3,0] 。

【考点】简单线性规划。

【解析】求x y 的取值范围，则求出x y 的最大值和最小值即可。

作图，可知约束条件对应ABC边际及内的区域：3A(0,3), B(0, ), C (1,1)。

2当x 1, y 1时，x y 取得最大值0；当x 0, y 3 时，x y 取得最小值3。

∴x y的取值范围为[ 3,0] 。

例12. ）已知正数a，b，c满足：5c 3a≤b≤4c a，clnb≥a cln c，则ba的取值范围是▲．【答案】e，7 。

【考点】可行域。

【解析】条件5c 3a≤b ≤4c a，cln b≥a cln c 可化为：a b3 5c ca bc c4。

b cace设a =x y=b，，则题目转化为：c c3x y 5已知x，y 满足x yxy e4，求yx的取值范围。

x > 0，y > 0作出（x，y ）所在平面区域（如图）。

求出y= e x 的切线的斜率 e ，设过切点P x0，y0 的切线为y =ex m m 0 ，1y ex m m则0 0= =ex x x0 0 0，要使它最小，须m=0 。

∴yx的最小值在xP x ，y 处，为 e 。

此时，点P x0，y0 在=y e 上A,B 之间。

0 0当（x，y ）对应点 C 时，y=4 x 5 y=20 5x yy=7 x =7y=5 3x 4 y=20 12x x，∴yx的最大值在 C 处，为7。

∴yx的取值范围为e，7 ，即ba的取值范围是e，7 。

例13. 已知正三角形ABC的顶点A(1,1) ，B(1,3) ，顶点C在第一象限，若点（x，y）在△ABC内部，则z=－x+y 的取值范围是【】（A）(1 －3，2) （B）(0 ，2) （C）( 3－1，2) （D）(0 ，1+ 3)【答案】A。

2 / 22021学年高考数学（文）尖子生同步培优题典专题2.3 三角函数的综合应用姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：一、选择题（在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（2020·全国高三其他（文））在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若tan 21tan B b C c -=，且π3A =，则C =（ ）. A ．π6B ．π4C ．5π12D ．7π122．（2020·宁夏原州固原一中高三其他（文））在ABC 中，4ABC π∠=，2AB =，3BC =，则sin BAC ∠=（ ） A 10 B 10 C 310 D 5 3．（2020·福建高三其他（文））在等腰ABC 中，120C =︒，6AB BC ⋅=-，2AD DC =，则BD CA ⋅=（ ）A ．103-B ．103C ．223D ．234．（2020·陕西省商丹高新学校高三其他（文））在ABC ∆中，若cos 1cos 2cos 1cos 2b C C c B B+=+，则ABC ∆的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形2 / 25．（2020·湖北武汉高三其他（文））ABC ∆中，25BC =D 为BC 的中点，4BAD π∠=，1AD =，则AC =（ ）A ．5B ．22C ．65D ．2 6．（2020·湖北荆门高三期末（文））在△ABC 中，若1tan 15013A C BC ︒===，，，则△ABC 的面积S 是( ) A 33- B 33-C 33+D 33+ 7．（2020·河北桃城衡水中学高三三模（文））在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若60A ∠=︒，1b >，12c a =+，当ABC 的周长最短时，b 的值为（ ） A ．22 B 2 C ．212+ D ．128．（2020·湖北东西湖华中师大一附中高三其他（文））在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos 23sin B C A b c +=cos 32B B =，则a c +的取值范围是（ ） A ．33⎝ B ．332⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．332⎣ D ．332⎡⎢⎣ 9．（2020·湖南高三其他（文））设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2a =，2B A =，则b 的取值范围为（ ）A ．()0,4B ．(2,23C ．(22,23D ．()22,4 10．（2020·甘肃靖远�高三其他（文））ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知3a =sin sin sin sin b B c C a A c B +=+，则ABC 的周长的最大值是（ ）2 / 2A ．33B ．33C ．236D ．43+11．（2020·罗定第二中学高三期末（文））已知ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且2222,b b c a bc =+-=，若BC 边上的中线7AD =ABC ∆的外接圆面积为（ ）A ．4πB ．7πC ．12πD ．16π12．（2020·云南高三一模（文））如图，某公园内有一个半圆形湖面，O 为圆心，半径为1千米，现规划在半圆弧岸边上取点C ，D ，E ，满足2AOD DOE AOC ∠=∠=∠，在扇形AOC 和四边形ODEB 区域内种植荷花，在扇形COD 区域内修建水上项目，并在湖面上修建栈道DE ，EB 作为观光路线，则当DE EB +取得最大值时，sin AOC ∠=（ ）A 2B ．14C 2D ．1213．（2020·四川青羊树德中学高三二模（文））在ABC ∆中a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，ABC ∆的面积2S =，且满足cos (1cos )a B b A =+，29B π=，则2222c a b ab --+的值是（ ） A 83 B ．1683-C ．1682-D 838- 14．（2019·武邑宏达学校高三其他（文））在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边长分别a 、b 、c ，满足()22sin 340a a B B -++=，7b =ABC 的面积为A ．2B 2C ．23D32 / 215．（2020·安徽蚌山蚌埠二中高三月考（文））已知在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且6a =，点O 为其外接圆的圆心.已知·15BO AC =，则当角C 取到最大值时ABC 的面积为（ ） A ．35B ．5C 30D ．56 二、填空题（不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）16．（2020·全国高三其他（文））ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，23A π=，7a =，若ABC ∆的面积为1534，则其周长是________. 17．（2020·四川金牛成都外国语学校高三月考（文））在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，ABC的面积为S ，()22tan 8a b C S +=，则222sin sin sin A B C +＝_____． 18．（2020·安徽黄山高三二模（文））在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足tan tan 1tan tan A B A B ++=，2c =.则ABC 面积的最大值为______.19．（2020·河南中原郑州一中高三其他（文））在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC的面积为2224b c a +-，sin sin 2A C b C c +=，则角C ＝_____. 20．（2020·湖南天心长郡中学高三其他（文））阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆现有ABC ，6AC =，sin 2sin C A =，则当ABC 的面积最大时，它的内切圆的半径为______.21．（2020·广东高三月考（文））在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且ABC 的面积为214a ，则c b b c+的最大值是_________．2 / 222．（2020·辽宁高三三模（文））在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，设ABC 的面积为S ，若2224sin sin s 3in 2A B+C =，且2b c =，则S AB AC=⋅________． 23．（2020·河南南阳高三二模（文））在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且BC 边上的2，则c b b c +的最大值是______． 24．（2020·全国高三二模（文））在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知8a b +=，()2sin sin sin A B A B +=+，则ABC 面积的取值范围为______.25．（2020·辽宁高三其他（文））在平面五边形ABCDE 中，已知120A ∠=︒，90B ∠=︒，120C ∠=︒，90E ∠=︒，3AB =，3AE =，当五边形ABCDE 的面积[63,93)S ∈时，则BC 的取值范围为__________． 三、解答题（请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）26．（2020·福建高三其他（文））在ABC 中，7AB =，3AC =，D 在BC 上，且满足sin 7sin 3CAD BAD ∠=∠. （1）求证：D 为BC 的中点；（2）若32=AD ABC 的面积.27．（2020·全国高三三模（文））已知ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且8b =，62c = （1）若tan 22B =ABC 的面积；（2）若点M 是线段BC 上靠近C 的三等分点，且MAB MBA ∠=∠，求a 的值.28．（2020·全国高三其他（文））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2c =，D 为AB 的中点，且3sin 4cos 0c A a C +=．（1）求cos C 的值；2 / 2（2）求CD 的取值范围.．29．（2020·梅河口市第五中学高三月考（文））在锐角ABC 中，,,a b c 分别为,,A B C ∠∠∠所对的边，已知()3cos cos b c A a C -=.（1）求cos A 的值；（2）E 为BC 中点，22AE =2c =，求ABC 的面积.30．（2020·黑龙江南岔伊春二中高三期末（文））在ABC ∆中，A ∠，B ，C ∠的对边分别为a ，b ，c ，若cos (2)cos b C a c B =-，（1）求B 的大小；（2）若7b =，4a c +=，求a ，c 的值.31．（2020·陕西西安高三三模（文））在△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a 、b 、c ，满足22cos 1cos cos 22cos 2C A B A B =-+． （1）求cos B 的值；（2）设△ABC 外接圆半径为R ，且()sin +sin 1R A C =，求b 的取值范围．32．（2020·云南高三一模（文））在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若334sin s sin sin in C B b c a B C +=．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若2sin 2sin 3b B c C bc a +=，求ABC 面积的最大值．33．（2020·安徽金安六安一中高三其他（文））�ABC 的内角A �B �C 的对边分别为a �b �c ，且满足2a =�cos (2)cos a B c b A =-��1�求角A 的大小�2 / 2�2�求�ABC 周长的最大值．34．（2020·重庆九龙坡高三其他（文））已知函数()23cos 2sin cos 44f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （Ⅰ）求函数()f x 的对称轴方程；（Ⅱ）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2263π⎛⎫+= ⎪⎝⎭B f ，1a c +=，求b 的取值范围．。

14 / 172021年高考数学尖子生培优题典（新高考专版）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________一、 选择题1．若1sin 4θ=，则cos2θ= （ ） A ．1516-B ．1516C ．78D ．78-2．在ABC ∆中，4a b B π===，则A 等于（ ）A ．6π B ．3πC ．6π或56πD ．3π或23π 3．已知cos 5α=，()sin 10αβ-=-，α、β0,2π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos β的值为（ ）A．2BC．2D ．124．在ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，它的面积为2224b c a +-，则角A 等于（ ）A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒5．设当x θ=时，函数()2sin cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=（ ）ABC． D．6．函数2cos 53y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期是（ ）14 / 17A ．5π B ．52πC ．2πD ．5π7．达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷，现将画中女子的嘴唇近似的看作一个圆弧，设嘴角A 、B 间的圆弧长为l ，嘴角间的距离为d ，圆弧所对的圆心角为θ（θ为弧度角），则l 、d 和θ所满足的恒等关系为（ ）A ．sin2=d lθθB ．2sin2=d lθθC ．cos2=d lθθD ．2cos2=d lθθ8．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，,tan ≠=a c B ABC的面积为则2||b ac -的最小值为（ ）A．B．C．D．9．函数()()sin 22f x A x πϕϕ⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭部分图象如图所示，对不同的[]12,,x x a b ∈，若()()12f x f x =，有()12f x x +=，则（ ）A ．()f x 在5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上是减函数 B ．()f x 在5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数14 / 17C ．()f x 在5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数 D ．()f x 在5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数 10．如图，某景区欲在两山顶A ，C 之间建缆车，需要测量两山顶间的距离.已知山高)km AB =，)km CD =，在水平面上E 处测得山顶A 的仰角为30°，山顶C 的仰角为45°，150BED ∠=︒，则两山顶A 、C 之间的距离为（ ）A)km B．)km C)kmD)km11．关于函数πsin 23f x xx R ，给出下列命题：（1）函数()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数；（2）函数()f x 的图像关于点(),026k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭对称； （3）为得到函数()sin 2g x x =的图像，只要把函数()f x 的图像上所有的点向右平行移动6π个单位长度．其中正确命题的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．312．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且)(sin sin )()sin b A B cb C -=-，a =S 为ABC ∆的面积，则cos S B C +的最大值为（ ）14 / 17A ．1B ．2CD．13．知函数()()2sin f x x ωϕ=+（0>ω，0ϕπ<<）满足()()f x f x -=，其图象与直线2y =的某两个交点横坐标为1x ，2x ，且12x x -的最小值为π．现给出了以下结论．①2ω=且2ϕπ=②在0,4π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上()f x 单调递减且02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π ③在,02π⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上()f x 单调递增且16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭ ④,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x 的对称中心 则以上正确的结论编号为（ ） A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②④14．函数()sin ([,0])f x x x x π=-∈-的单调递增区间是（ ）A ．5[,]6ππ--B ．5[,]66ππ-- C ．[,0]3π-D ．[,0]6π-15．要得到函数2cos 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需将函数2cos 2y x x =-的图象（ ） A ．向左平移2π个单位 B ．向左平移4π个单位 C ．向右平移3π个单位 D ．向右平移6π个单位 16．（多选题）函数2sin cos y x x x =-的图象的一个对称中心为（ ）A．,3π⎛⎝⎭B．5,6π⎛⎝⎭C．23π⎛-⎝⎭D．2,3π⎛⎝ 17．（多选题）将函数cos y x =的图象向左平移32π个单位，得到函数()y f x =的函数图象，则下列说法正确的是（ ）14 / 17A ．()y f x =是奇函数B ．()y f x =的周期是πC ．()y f x =的图象关于直线2x π=对称D ．()y f x =的图象关于,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称18．（多选题）下图是函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω，0||x ϕ<<）的部分图象，下列结论正确的是（ ）A ．函数12y f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象关于顶点对称 B ．函数()f x 的图象关于点,012π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 C ．函数()f x 在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．方程()1f x =在区间23,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的所有实根之和为83π二、 解答题19．如图，在ABC中，2,AB AC BC ===，点D 在BC 边上，45ADC ∠=︒14 / 17（1）求BAC ∠的度数； （2）求AD 的长度.20．已知()2sin 216f x x a π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭（a 为常数）. （1）求()f x 的单调递增区间；（2）若当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最大值为4，求a 的值. 21．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，sin 3sin A B 且b c =.（1）求角A 的大小；（2）若a =B 的平分线交AC 于点D ，求ABD ∆的面积. 22．设函数()sin sin 2f x x x π⎛⎫=⋅++⎪⎝⎭2x （Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，若()1f A =，且能盖住ABC ∆的最小圆的面积为4π，求ABC ∆周长的取值范围.14 / 172021年高考数学尖子生培优题典（新高考专版）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________一、选择题1．若1sin 4θ=，则cos2θ= （ ） A ．1516-B ．1516C ．78D ．78-【答案】C【解析】解：41sin θ=， 217cos 212sin 188θθ∴=-=-=，故选：C.2．在ABC ∆中，4a b B π===，则A 等于（ ）A ．6π B ．3πC ．6π或56πD ．3π或23π 【答案】D【解析】由正弦定理得sin sin a b A B =，所以sin sin sin a B A b π===，又a b >，所以4A π>，所以3A π=或23A π=．选D ．3．已知cos 5α=，()sin 10αβ-=-，α、β0,2π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos β的值为（ ）A ．2B14 / 17CD ．12【答案】A【解析】解：α、β0,2π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,02πβ⎛⎫-∈-⎪⎝⎭，∴sin α==，,22ππαβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭()sin 010αβ-=-<， ∴,02παβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭.∴()cos αβ-==.∴()cos cos βααβ=--⎡⎤⎣⎦()()cos cos sin sin ααβααβ=⋅-+⋅-2⎛== ⎝⎭. 故选：A.4．在ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，它的面积为2224b c a +-，则角A 等于（ ）A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒【答案】B14 / 17【解析】解：由余弦定理得2222cos 1cos 442b c a bc A bc A +-==，又根据三角形面积公式得2221sin 42b c a bc A +-=，∴sin cos A A =， 又角A 为ABC 的内角， ∴45A ︒=， 故选：B ．5．设当x θ=时，函数()2sin cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=（ ）ABC． D．【答案】D【解析】由题得sin cos sin cos cos sin )x x x x x ϕϕϕ=⋅-⋅-,其中cos ϕϕ== 当sin()1x ϕ-=，即2()x 222x k k z k ππϕππϕ-=+∈=++即时，函数取到最大值.所以=2,cos cos(2)sin 22k k ππθπϕθπϕϕ++∴=++=-=. 6．函数2cos 53y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期是（ ）14 / 17A ．5π B ．52πC ．2πD ．5π【答案】D【解析】由题意，函数2cos()53y x π=+，所以函数的最小正周期是：2525T ππ==. 7．达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷，现将画中女子的嘴唇近似的看作一个圆弧，设嘴角A 、B 间的圆弧长为l ，嘴角间的距离为d ，圆弧所对的圆心角为θ（θ为弧度角），则l 、d 和θ所满足的恒等关系为（ ）A ．sin2=d lθθB ．2sin2=d lθθC ．cos2=d lθθD ．2cos2=d lθθ【答案】B 【解析】设该圆弧所对应的圆的半径为r ，则2sin2r d θ=，⋅=r l θ，两式相除得2sin2=d lθθ14 / 178．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，,tan ≠=a c B ABC的面积为则2||b ac -的最小值为（ ）A．B．C．D．【答案】C【解析】解：tan B =1cos 3B ∴=，sin 3B =，又1sin 2==S ac B ，6ac ∴=， 由余弦定理可得2222222cos 4()8=+-=+-=-+b a c ac B a c a c ，22()88||||||||-+∴==-+≥---b a c a c a c a c a c 8||||-=-a c a c 等号成立．9．函数()()sin 22f x A x πϕϕ⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭部分图象如图所示，对不同的[]12,,x x a b ∈，若()()12f x f x =，有()12f x x +=，则（ ）A ．()f x 在5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上是减函数 B ．()f x 在5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数 C ．()f x 在5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数 D ．()f x 在5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数14 / 17【答案】C【解析】由题中图像可知2A =，由图像，因为对不同的[]12,,x x a b ∈，都有()()12f x f x =，易知函数在122x x x +=取到最大值， 所以12222x x πϕ+⎛⎫+=⎪⎝⎭，故122x x πϕ+=-，又()12f x x +=， 故()()122sin 2x x ϕ++=，得()sin 2πϕϕ-+=， 因为2πϕ≤，所以3πϕ=，所以()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．由222,232k x k k πππ-+π≤+≤+π∈Z 解得：5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈； 即函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的递增区间为5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；由3222,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈解得：7,1212ππππ+≤≤+∈k x k k Z ； 即函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的递减区间为7,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦； 故C 选项正确，ABD 都错； 故选：C.10．如图，某景区欲在两山顶A ，C 之间建缆车，需要测量两山顶间的距离.已知山高)km AB =，)km CD =，在水平面上E 处测得山顶A 的仰角为30°，山顶C 的仰角为45°，150BED ∠=︒，则两山顶A 、C 之间的距离为（ ）14 / 17A)km B．)km C)km D)km【答案】B【解析】过A 作AF CD ⊥，垂足为F ，在直角三角形AEB 中，tan 30AB BE=33==()km ， 在直角三角形CED 中，tan 45CDED CD ===)km ，在BED 中，2222cos150BD BE ED BE ED =+-⋅⋅92723(=+-⨯⨯ 63=，在直角三角形AFC 中，22222AC AF FC BD FC =+=+263=+75=， 所以)km AC =.14 / 17故选：B.11．关于函数πsin 23f x xx R ，给出下列命题：（1）函数()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数；（2）函数()f x 的图像关于点(),026k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭对称； （3）为得到函数()sin 2g x x =的图像，只要把函数()f x 的图像上所有的点向右平行移动6π个单位长度．其中正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】当πππ2π22π232k x k k Z ，即51212k x k ππππ-+<<+，函数()f x 是增函数，故（1）错； ()23x k k Z ππ+=∈，即62πk πx =-+， 则函数()f x 的图像关于点(),026k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭对称，（2）正确； 将函数()f x 的图像上所有的点向右平行移动6π个单位长度， 得到函数()sin 2sin 263g x x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，（3）正确， 故选：C .12．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且)(sin sin )()sin b A B c b C -=-，a =S 为ABC ∆的面积，则cos S B C +的最大值为（ ）14 / 17A ．1B ．2CD．【答案】C【解析】因为a =)(sin sin )()sin b A B c b C -=-可化为(a b)()(c b)a b c +-=-，即222a b c bc =+-，可得2221cos 22b c a A bc +-==，所以3A π=. 又由正弦定理得2sin bB =，2sin cC =，所以1cos sin cos 2S B C bc A B C =+sin cos cos ))B C B C B C =+=-， 当且仅当B C =时，cos S B C +.13．知函数()()2sin f x x ωϕ=+（0>ω，0ϕπ<<）满足()()f x f x -=，其图象与直线2y =的某两个交点横坐标为1x ，2x ，且12x x -的最小值为π．现给出了以下结论．①2ω=且2ϕπ= ②在0,4π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上()f x 单调递减且02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π③在,02π⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上()f x 单调递增且16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭ ④,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x 的对称中心 则以上正确的结论编号为（ ） A ．①②③ B ．②③④ C ．①③④ D ．①②④【答案】C【解析】根据()()2sin f x x ωϕ=+及条件12x x -的最小值为π， 可知函数()f x 的最大值为2，()f x 的最小正周期为π，14 / 17∴2T ππω==，因为0>ω，所以2ω=，因为()()f x f x -=，所以函数()f x 是偶函数，而0ϕπ<<，所以2ϕπ=．于是序号①正确，进而知()2sin 22cos 22f x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭；对于序号②：∵2202f cos ππ⎛⎫==-≠⎪⎝⎭，于是序号②错误； 对于序号③，当且仅当取222()k x k k Z πππ-+≤≤∈时， 解得()2k x k K Z πππ-+≤≤∈，即,()2k k k Z πππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦为()f x 的单调增区间，显然)2,02(,k k k Z ππππ⎡⎫⎡⎤∈-+∈⎪⎢⎢⎥⎣⎣⎦-⎭，又2cos 163f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故序号③正确；对于序号④，令cos20x =，解得()24m x m Z ππ=+∈， 即,0()24m m Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭为函数2cos2y x =的对称中心， 显然,04π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的其中一个对称中心，故④序号正确， 综上知正确的序号为①③④．14．函数()sin ([,0])f x x x x π=-∈-的单调递增区间是（ ）A ．5[,]6ππ--B ．5[,]66ππ-- C ．[,0]3π-D ．[,0]6π-【答案】D14 / 17【解析】 ()sin 23f x x x sin x π⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，因为[],0x π∈-4,,333x πππ⎡⎤∴-∈--⎢⎥⎣⎦，由1,323x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，得,06x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，函数()[]()sin ,0f x x x x π=∈-的单调递增区间是,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故选D. 15．要得到函数2cos 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需将函数2cos 2y x x =-的图象（ ） A ．向左平移2π个单位 B ．向左平移4π个单位 C ．向右平移3π个单位 D ．向右平移6π个单位 【答案】B【解析】2cos 22sin 26y x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，故只需向左平移4π个单位就可得到2sin 22sin 22cos 246626y x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.16．（多选题）函数2sin cos y x x x =-的图象的一个对称中心为（ ）A．,32π⎛⎫-⎪⎝⎭B．5,62π⎛-⎝⎭C．2,32π⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭D．2,3π⎛⎝ 【答案】AB【解析】11sin 2cos 2)sin 2cos 2sin(2)2222232y x x x x x π=++=+-=+- 令2,()326k x k x k Z ππππ+==-∈,当k=1时，3x π=,对称中心是,32π⎛- ⎝⎭;当k=2时，56x π=,对称中心14 / 17是5,6π⎛⎝⎭. 17．（多选题）将函数cos y x =的图象向左平移32π个单位，得到函数()y f x =的函数图象，则下列说法正确的是（ ） A ．()y f x =是奇函数B ．()y f x =的周期是πC ．()y f x =的图象关于直线2x π=对称D ．()y f x =的图象关于,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称【答案】AC【解析】将函数cos y x =的图象向左平移32π个单位，可得()3cos sin 2x x y f x π⎛⎫== ⎪⎝⎭=+， 所以()y f x =是奇函数，且图象关于直线π2x =对称. 18．（多选题）下图是函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω，0||x ϕ<<）的部分图象，下列结论正确的是（ ）A ．函数12y f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象关于顶点对称 B ．函数()f x 的图象关于点,012π⎛⎫-⎪⎝⎭对称14 / 17C ．函数()f x 在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．方程()1f x =在区间23,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的所有实根之和为83π 【答案】ABD【解析】由已知，2A =，2543124T πππ=-=，因此T π=， ∴22πωπ==，所以()2sin(2)f x x ϕ=+，过点2,23π⎛⎫-⎪⎝⎭， 因此43232k ππϕπ+=+，k ∈Z ，又0||ϕπ<<， 所以6π=ϕ，∴()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对A ，2sin 212y f x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭图象关于原点对称，故A 正确； 对B ，当12x π=-时，012f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故B 正确； 对C ，由222262k x k πππππ-≤+≤+，有36k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z 故C 不正确；对D ，当231212x ππ-≤≤时，2[0,4]6x ππ+∈，所以1y =与函数()y f x =有4个交点令横坐标为1x ，2x ，3x ，4x ，12317822663x x x x πππ+++=⨯+⨯=，故D 正确.三、 解答题14 / 1719．如图，在ABC中，2,AB AC BC ===，点D 在BC 边上，45ADC ∠=︒（1）求BAC ∠的度数； （2）求AD 的长度. 【解析】解：（1）在ABC ∆中，2AB AC ==，BC =∴由余弦定理，有2221cos 2?2AB AC BC BAC AB AC +-∠==-，∴在ABC ∆中，120BAC ∠=︒；（2）由（1）知30ACB ∠=︒， 在ADC ∆中，由正弦定理，有sin30sin 45AD AC=︒︒，∴sin30sin 45AC AD ︒==︒20．已知()2sin 216f x x a π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭（a 为常数）. （1）求()f x 的单调递增区间；（2）若当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最大值为4，求a 的值. 【解析】（1）由222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈得,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，14 / 17所以函数的单调递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴72666x πππ≤+≤，2sin 26x π⎛⎫∴+ ⎪⎝⎭的最大值为2，()2sin 216f x x a π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最大值为4，214a ∴++=，1a ．21．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，sin 3sin A B 且b c =.（1）求角A 的大小；（2）若a =B 的平分线交AC 于点D ，求ABD ∆的面积.【解析】（1）由sin 3sin A B 及正弦定理知3a b ，又b c =，由余弦定理得222cos 2b c a A bc +-=22223122b b b b +-==-.()0,A π∈，23A π=.（2）由（1）知6B Cπ==，又a =ABC ∆中，由正弦定理知：2AB =，在ABD ∆中，由正弦定理sin sin AB AD D ABD =∠及12ABD π∠=，4D π∠=14 / 17解得1AD =， 故332ABD S ∆.22．设函数()sin sin 2f x x x π⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭2x （Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，若()1f A =，且能盖住ABC ∆的最小圆的面积为4π，求ABC ∆周长的取值范围.【解析】（Ⅰ）因为()2sin cos f x x x x =11cos2sin 2122x x +=++=1sin 212x x +sin 213x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 由222232k x k πππππ-≤+≤+，解得51212k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈ 所以函数()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈. （Ⅱ）因为()1f A =，所以sin 203A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 又因为ABC ∆为锐角三角形，所以02A π<<，42,333A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭. 所以23A ππ+=，故有3A π=.已知能盖住ABC ∆的最小圆为ABC ∆的外接圆，而其面积为4π.所以24R ππ=外，解得=2R 外，ABC ∆的角A ，B ，C 所对的边分别为a ,b ,c . 由正弦定理2=4sin sin sin a b c R A B C===外.14 / 17所以4sin 3a π==4sin b B =，4sin c C =，4sin 4sin 4sin b c B C B +=+=+24sin 36B B ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由ABC ∆为锐角三角形，所以62B ππ<<. 所以2363B πππ<+<sin 16B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，故6b c <+≤，所以6a b c +<++≤. 故此ABC ∆的周长的取值范围为(6+.。

20202021学年上学期六年级数学尖子生同步培优题典【沪教版】专题1.1 整数和整除姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，考试时间60分钟，试题共25题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.一个三位数41□，当□里填（）时，它既是3的倍数又是2的倍数．A．6B．4C．2D．02.在四位数23□0的方框里填入一个数字，使它能同时被2、3、5整除，最多有（）种填法．A．1B．2C．33.甲数×3＝乙数，（甲乙都是非0自然数），则乙数是甲数的（）A．倍数B．因数C．自然数D．质数4.下面的说法错误的是（）A．一个数的最小倍数是它本身B．两个质数相乘，积一定是合数C．棱长是6厘米的正方体表面积和体积一样大D．若是假分数，那么a最小一定是75.在786620这个数中，“7”表示（）A．7000B．70000C．7000006.一个三位数，百位上是最小的合数，个位上是最小的质数，这个数能被3整除，它可能是（）A．402B．403C．203D．204二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）7.既是2和3的倍数，又是5的倍数的最大两位数是，最小三位数是．8.有一个两位数，十位上的数是个位上的数的，如果十位上的数加1，就和个位上的数相等，这个两位数是．9.405 2631是位数，4在位上，表示个，5在位上，它的计数单位是，四舍五入到万位约是．10.一个四位数□34□，既是2的倍数，又是5的倍数，则这个四位数最大是，最小是．11.用8、5、0、4四张数字卡片组成的既是2的倍数又是5的倍数的最大三位数是，既是2的倍数又是3的倍数的最小三位数是，同时是2、3、5的倍数的三位数有12.要使17□50同时是2、3、5的倍数，那么□里最大能填，最小能填．13.一个三位数除以37，余数是17，除以36，余数是3，则这个三位数是．14.猜号码：提示：A﹣﹣5的最小倍数B﹣﹣最小的自然数C﹣﹣5的最大因数D﹣﹣它既是4的倍数，又是4的因数E﹣﹣它的所有因数是1，2，3，6F﹣﹣它的所有因数是1，3G﹣﹣它只有一个因数这个号码就是．三、解答题（本大题共7小题，共64分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.五（3）班共有40名学生，现在要把这些学生分成人数相等的若干小组（不能分成40组），有几种分法？每组最多有多少人？16.小朋友到文具店买日记本，日记本的单价已看不清楚，他买了3本日记本，售货员阿姨说应付134元，小红认为不对．你能解释这是为什么吗？17.牡丹江百货大楼新进一批不同样式的书包，其价格都既是2的倍数，也是3的倍数，还是5的倍数．（1）这批书包中最低价格是多少元？（2）如果价格不超过100元，有哪几种价格？18.从下面4个数字中选取出三个，按要求组成三位数．（每种只组一个）（1）奇数：；偶数：；（2）同时是2、5、3的倍数．19.五（1）班6名同学去给小树苗浇水，小树苗不到30棵，他们发现每人浇水棵数相同，这批小树苗可能有多少棵？20.菲菲家的号码是一个八位数，记为：ABCDEFGH．已知：A是最小的质数，B是最小的合数，C既不是质数也不是合数，D是比最小的质数小2的数，E是10以内最大的合数，F只有因数1和5，G是8的最大因数，H是6的最小倍数．。

2020-2021学年八年级数学下册尖子生同步培优题典【人教版】专题19.10一次函数的应用：方案问题（重难点培优）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2019春•德阳期末）某电信公司有A、B两种计费方案：月通话费用y（元）与通话时间x（分钟）的关系，如图所示，下列说法中正确的是（）A．月通话时间低于200分钟选B方案划算B．月通话时间超过300分钟且少于400分钟选A方案划算C．月通话费用为70元时，A方案比B方案的通话时间长D．月通话时间在400分钟内，B方案通话费用始终是50元2．（2019•唐县二模）超市有A，B两种型号的瓶子，其容量和价格如表，小张买瓶子用来分装15升油（瓶子都装满，且无剩油）；当日促销活动：购买A型瓶3个或以上，一次性返还现金5元，设购买A型瓶x （个），所需总费用为y（元），则下列说法不一定成立的是（）型号A B单个盒子容量（升）23单价（元）56A．购买B型瓶的个数是（5−23x）为正整数时的值B．购买A型瓶最多为6个C．y与x之间的函数关系式为y＝x+30 D．小张买瓶子的最少费用是28元3．（2020•路桥区模拟）甲、乙两个草莓采摘园为吸引顾客，在草莓销售价格相同的基础上分别推出优惠方案，甲园：顾客进园需购买门票，采摘的草莓按六折优惠．乙园：顾客进园免门票，采摘草莓超过一定数量后，超过的部分打折销售．活动期间，某顾客的草莓采摘量为xkg，若在甲园采摘需总费用y1元，若在乙园采摘需总费用y2元．y1，y2与x之间的函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（）A．甲园的门票费用是60元B．草莓优惠前的销售价格是40元/kgC．乙园超过5kg后，超过的部分价格优惠是打五折D．若顾客采摘12kg草莓，那么到甲园或乙园的总费用相同4．（2019秋•包河区期中）广宇同学以每千克1.1元的价格从批发市场购进若干千克西瓜到周谷堆市场上销售，在销售了40千克之后，余下的打七五折全部售完，销售金额y（元）与售出西瓜的千克数x（千克）之间的关系如图所示，下列结论正确的是（）A．降价后西瓜的单价为2元/千克B．广宇一共进了50千克西瓜C．售完西瓜后广字获得的总利润为44元D．降价前的单价比降价后的单价多0.6元5．（2019•宁德一模）小卖部从批发市场购进一批杨梅，在销售了部分杨梅之后，余下的每千克降价3元，直至全部售完．销售金额y元与杨梅销售量x千克之间的关系如图所示．若销售这批杨梅一共赢利220元，那么这批杨梅的进价是（）A．10元/千克B．12元/千克C．12.5元/千克D．14.4元/千克6．（2019秋•连州市期末）如图是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位：天）的函数关系，图②是一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系，已知日销售利润＝日销售量×一件产品的销售利润，下列结论错误的是（）A．第20天的日销售利润是750元B．第30天的日销售量为150件C．第24天的日销售量为200件D．第30天的日销售利润是750元7．（2020秋•金水区校级期中）甲、乙两个草莓采摘园为吸引顾客，在草莓销售价格相同的基础上分别推出优惠方案，甲园：顾客进园需购买门票，采摘的草莓按六折优惠．乙园：顾客进园免门票，采摘草莓超过一定数量后，超过的部分打折销售．活动期间，某顾客的草莓采摘量为x千克，若在甲园采摘需总费用y1元，若在乙园采摘需总费用y2元．y1，y2与x之间的函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（）A．甲园的门票费用是60元B．草莓优惠前的销售价格是40元/千克C．乙园超过5千克后，超过的部分价格优惠是打五折D．若顾客采摘15千克草莓，那么到甲园比到乙园采摘更实惠8．（2019•常州模拟）我市某储运部紧急调拨一批物资，调进物资共用4小时，调进物资2小时后开始调出物资（调进物资与调出物资的速度均保持不变）．储运部库存物资S（吨）与时间t（小时）之间的函数关系如图所示，这批物资从开始调进到全部调出需要的时间是（）A．4小时B．4.3小时C．4.4小时D．5小时9．（2019秋•义乌市期末）某公司为调动职工工作积极性，向工会代言人提供了两个加薪方案，要求他从中选择：方案一：是12个月后，在年薪20000元的基础上每年提高500元（第一年年薪20000元）；方案二：是6个月后，在半年薪10000元的基础上每半年提高250元（第6个月末发薪水10000元）但不管是选哪一种方案，公司都是每半年发一次工资，如果你是工会代言人，认为哪种方案对员工更有利？（）A．方案一B．方案二C．两种方案一样D．工龄短的选方案一，工龄长的选方案二10．（2018秋•武邑县校级期末）为了鼓励居民节约用水，某市决定实行两级收费制度，水费y（元）与用水量x（吨）之间的函数关系如图所示．若每月用水量不超过20吨（含20吨），按政府优惠价收费；若每月用水量超过20吨，超过部分按市场价4元/吨收费，那么政府优惠价是（）A．2.2元/吨B．2.4元/吨C．2.6元/吨D．2.8元/吨二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020春•金平区期末）我国很多城市水资源缺乏，为了加强居民的节水意识，某自来水公司采取分段收费标准，某市居民月交水费y（元）与用水量x（吨）之间的关系如图所示，若某户居民4月份用水20吨，则应交水费元．12．（2019秋•渝中区校级月考）国庆期间，鲁能巴蜀中学团委决定组织同学们观看电影《我和我的祖国》，《中国机长》和《攀登者》，小明准备到电影院提前购票．已知三部电影单价之和为100元，计划购买三部电影票总共不超过135张；其中《攀登者》票价为30元，计划购买35张，《中国机长》至少购买25张，《我和我的祖国》数量不少于《中国机长》的2倍粗心的小明在做预算时将《我和我的祖国》和《中国机长》的票价弄反了，结果实际购买三种电影票时的总价比预算多了112元，若三部电影票的单价均为整数，则小明实际购买这三部电影票最多需要花费元．13．（2016春•历下区校级期末）如图所示，是某电信公司甲、乙两种业务：每月通话费用y（元）与通话时间x（分）之间的函数关系．某企业的周经理想从两种业务中选择一种，如果周经理每个月的通话时间都在100分钟以上，那么选择种业务合算．14．（2020•宝应县二模）如图，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，如果班级搞一次茶话会，一次购买26千克这种苹果需元．15．（2020•浙江自主招生）某市政府大力扶持大学生创业．小甬在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似地看作一次函数：y＝﹣10x+500．根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果小甬想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要元．（成本＝进价×销售量）16．（2020•历下区校级模拟）某快递公司每天上午9：30﹣10：30为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，那么从9：30开始，经过分钟时，两仓库快递件数相同．17．（2019秋•广饶县期末）如图，l1表示某机床公司一天的销售收入与机床销售量的关系，l2表示该公司一天的销售成本与机床销售量的关系．有以下四个结论：①l1对应的函数表达式是y＝x；②l2对应的函数表达式是y＝x+1；③当销售量为2件时，销售收入等于销售成本；④利润与销售量之间的函数表达式是w＝0.5x﹣1．其中正确的结论为（请把所有正确的序号填写在横线上）．18．（2020春•武川县期末）如图2是本地区一种产品30天的销售图象，图1是产品日销售量y（单位：件）与时间t单位：天）的函数关系，图2是一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系，已知日销售利润＝日销售量×一件产品的销售利润，下列正确结论的序号是．①第24天的销售量为200件；②第10天销售一件产品的利润是15元；③第12天与第30天这两天的日销售利润相等；④第30天的日销售利润是750元．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020春•惠安县期末）某中学为了加强学生体育锻炼，准备购进一批篮球和足球．据调查，某体育器材专卖店销售40个足球和60个篮球一共9200元；销售100个足球和30个篮球一共11000元．（1）求足球和篮球的单价；（2）该校计划使用10420元资金用于购买足球和篮球120个，且篮球数量不少于足球数量的2倍．购买时恰逢该专卖店在做优惠活动，信息如表：球类购买数量低于50个购买数量不低于50个足球原价销售八折销售篮球原价销售九折销售问在使用资金不超额的情况下，可有几种购买方案？如何购买费用最少？20．（2020春•文水县期末）为了加强环境保护，进一步提升污水处理能力，我县某污水处理厂决定购买A、B两种型号的污水处理设备共20台，每台A型污水处理设备12万元，每台B型污水处理设备10万元，已知1台A型污水处理设备和2台B型污水处理设备每周可以处理污水640吨，2台A型污水处理设备和3台B型污水处理设备每周可以处理污水1080吨．（1）求A、B两种型号污水处理设备每周分别可以处理污水多少吨？（2）现要求购买A种型号污水处理设备的台数不少于B种型号污水处理设备台数的2倍，问如何设计购买方案，使购买这两种型号污水处理设备的费用最少，最少费用是多少？21．（2020春•大余县期末）为拓宽学生视野，引导学生主动适应社会，我县某中学决定组织部分班级去丫山开展研学旅行活动．在参加此次活动的师生中，若每位老师带17个学生，还剩12个学生没人带；若每位老师带18个学生，就有一位老师少带4个学生，现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如下表所示，为了安全既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少要有2名老师．甲种客车乙种客车载客量（人/辆）3042租金（元/辆）300400（1）参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？（2）设租用两种车共8辆，其中a辆甲种客车，租车总费用为W元．请求出W与a之间的函数关系式（不要求写出a的取值范围）．（3）在（2）的条件下，学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过3100元，且保证师生都有座位，请问有哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由．22．（2020秋•兴化市期末）供销商场购进甲、乙两种洗衣机共80台进行销售，其中乙洗衣机的数量不超过甲洗衣机的3倍，甲洗衣机每台利润为500元，乙洗衣机每台利润为600元．设购进甲洗衣机x（台），这80台洗衣机全部售出的总利润为W（元）．（1）求W关于x的函数表达式；（2）当甲洗衣机购进多少台时，销售总利润最大？最大利润是多少？23．（2020秋•余杭区期末）文具店出售书包和文具盒，书包每个定价为30元，文具盒每个定价5元．该店制定了两种优惠方案：①买一个书包赠送一个文具盒；②按总价的九折付款．某班学生需购买8个书包和若干个文具盒（不少于8个），设购买文具盒个数为x（个），付款总金额为y （元）．（1）分别写出两种优惠方案中y与x之间的函数关系式；（2）请你通过计算，结合购买文具盒的个数说明哪种方案更省钱？24．（2020秋•蜀山区期末）某童装店近两周A、B两款童装的销售情况如下表所示：（进价、售价均保持不变，利润＝售价﹣进价）销售时段销售数量（件）销售收入A款B款第一周452050元第二周492890元（1）求A、B两款童装的销售单价；（2）若A、B两款童装每件的进价分别为190元、170元，该童装店准备在下个月进这两款童装共50件（每款童装至少进1件），并且在当月全部销售完，请求出该童装店下个月销售这两款童装的最大利润．。

2021年高考数学尖子生培优题典（新高考专版）专题计数原理姓名：__________________班级：______________得分：_________________一、单选题1．（2020·广西南宁·月考（理））()()3112x x -+展开式中2x 项的系数为（）A ．5B ．6C ．-6D ．-4【答案】B【解析】分解()()()()333112=1212x x x x x -++-+，求这两部分的2x 项的系数和，2x 项为()()()2212331226C x x C x x ⨯+-⨯=.2．（2020·古丈县第一中学高二月考）世界华商大会的某分会场有,,A B C ，将甲，乙，丙，丁共4名“双语”志愿者分配到这三个展台，每个展台至少1人，其中甲、乙两人被分配到同一展台的不同分法的种数（）A ．12种B ．10种C ．8种D ．6种【答案】D【解析】 甲、乙两人被分配到同一展台，∴甲与乙捆在一起，看成一个人，然后将3个人分到3个展台上的全排列，即有33A 种，∴甲、乙两人被分配到同一展台的不同分法的种数336A =种．3．（2020·渝中·重庆巴蜀中学高三月考（理））自新型冠状病毒爆发以来，全国各地医护人员勇当“逆行者”支援湖北.重庆第一批共派出甲、乙、丙、丁4支医疗队奔赴武汉、孝感、黄冈三个地方，每个地方至少一支医疗队，每支医疗队只去一个地方，则甲、乙都在武汉的概率为（）A ．13B ．16C ．29D ．118【答案】D【解析】 4支队伍分配到三个地方，每个地方至少一支队伍，每支队伍只去一个地方，共有234336n C A ==种情况，甲、乙都在武汉共2m =种情况，118m P n ∴==，故选:D4．（2020·山西应县一中高三开学考试（理））有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种【答案】C【解析】因,故应选C ．5．（2020·安徽合肥·高三月考（理））周六晚上，小红和爸爸、妈妈、弟弟一起去看电影，订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起，为安全起见，每个孩子至少有一侧有家长陪坐，则不同的坐法种数为（）A ．8B ．12C ．16D ．20【答案】C【解析】4个人坐四个座位，共有4424A =种坐法，当孩子坐在一起并且坐在最边上时，有一个孩子没有大人陪伴，共有222228A A =种，所以每个孩子旁边必须有大人陪着共有24-8=16种坐法.6．（2020·全国高三开学考试）61ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的常数项为160-，则实数a =（）A ．2B ．-2C ．1D ．-1【答案】B【解析】61ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项6662161()rrr r r r r T C ax C a x x ---+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令620r -=，得3r =，所以3636160C a-=-，解得2a =-，故选：B.7．（2020·永安市第一中学高三开学考试）从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（）A ．40种B ．60种C ．100种D ．120种【答案】B【解析】根据题意，首先从5人中抽出两人在星期五参加活动，有种情况，再从剩下的3人中，抽取两人安排在星期六、星期日参加活动，有种情况，则由分步计数原理，可得不同的选派方法共有=60种.8．（2020·四川仁寿一中高三月考（理））现从4名男医生和3名女医生中抽取两人加入“援鄂医疗队”，用A 表示事件“抽到的两名医生性别相同”，B 表示事件“抽到的两名医生都是女医生”，则()P B A =（）A ．13B ．47C ．23D ．34【答案】A【解析】解：由已知得22432793()217C C P A C +===,232731()217C P AB C ===，则()P B A =1()173()37P AB P A ==，故选：A 9．（2020·浙江高三其他）()()5211x x +-的展开式中的5x 的系数为（）A ．1B ．-9C ．11D ．21【答案】C【解析】由题可得()51x -的x 3项为：23235(1)10C x x -=，x 5项为：05055(1)C x x -=，然后和()21x +相乘去括号得5x 项为：5551011x x x +=，故()()5211x x +-的展开式中的5x 的系数为11，选C.10．（2020·云南昆明一中其他（理））数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读.数学中有回文数，如343，12521等.两位数的回文数有11，22，3，……，99共9个，则在三位数的回文数中偶数的个数是（）A ．40B ．30C ．20D ．10【答案】A【解析】由题意，若三位数的回文数是偶数，则末（首）位可能为2，4，6，8.如果末（首）位为2，中间一位数有10种可能，同理可得，如果末（首）位为4或6或8，中间一位数均有10种可能，所以有41040⨯=个，故选：A11．（2020·内蒙古集宁一中月考（理））若423401234(2x a a x a x a x a x =++++，则2202413()()a a a a a ++-+的值为（）A ．1B ．1-C ．0D ．2【答案】A【解析】(a 0+a 2+a 4)2－(a1+a 3)2444014014()()(2(2(43)1a a a a a a =+++-++=+-+=-+= 选A12．（2020·陕西省丹凤中学一模（理））设a 是函数()cos y x x x R =+∈的最大值，则二项式6⎛ ⎝的展开式中含2x 项的系数是（）A ．192B ．182C ．-192D ．-182【答案】C【解析】因为cos 2sin 6y x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，由此可得2a =，由二项展开式的通项公式为：(()6631661rrr rr r rr T C C a x---+⎛=⋅=-⋅⋅⋅ ⎝，令32r -=，得1r =，所以展开式中含2x 项的系数是()661192rrr C a --⋅⋅=-.13．（2020·安徽省六安中学开学考试（理））某市为了提高整体教学质量，在高中率先实施了市区共建“1+2”合作体，现某市直属高中学校选定了6名教师和2名中层干部去2所共建学校交流学习，若每所共建学校需要派3名教师和1名中层干部，则该市直属高中学校共有（）种选派方法A ．160B ．80C ．40D ．20【答案】C【解析】先给一所学校派3名教师和1名中层干部，则有3162C C 种选派方法，剩余的3名教师和1名中层干部直接去另一所学校，只有1种方法，∴共有316240C C =种选派方法，14．（2020·天津静海一中高二月考）某校迎新晚会上有6个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起．则该校迎新晚会节目演出顺序的编排方案共有（）A ．120种B ．156种C ．188种D ．240种【答案】A【解析】先考虑将丙、丁排在一起的排法种数，将丙、丁捆绑在一起，与其他四人形成五个元素，排法种数为25252120240A A =⨯=，利用对称性思想，节目甲放在前三位或后三位的排法种数是一样的，因此，该校迎新晚会节目演出顺序的编排方案共有2401202=种，故选A.15．（2020·辽宁锦州·开学考试（理））已知225sin )a x dx -=⎰，且2am π=.则展开式212(1)m x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭中x 的系数为（）A ．12B ．-12C ．4D ．-4【答案】D【解析】∵2222215sin )2522a x dx cosx ππ--==⋅⋅-=⎰，且24am π==，则展开式()()422112121m x x x x ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2342121464x x x x x ⎛⎫=-⋅-+-+ ⎪⎝⎭，故含x 的系数为844-+=-，故选D ．16．（2020·全国月考）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”.下图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”，其中正方形ABCD 内部为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的.我们将图中阴影所在的四个三角形称为同一片“风叶”的概率为（）A ．37B ．47C ．314D ．1114【答案】A【解析】由题意，从“数学风车”的八个顶点中任取两个顶点的基本事件有2828C =种，其中这两个顶点取自同一片“风叶”的基本事件有234C 12=，根据古典概型的概率计算公式，可得所求概率123287P ==.17．（2020·海南枫叶国际学校高二期中）某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是（）A ．若任意选择三门课程，选法总数为37A B ．若物理和化学至少选一门，选法总数为1225C C C ．若物理和历史不能同时选，选法总数为3175C C -D ．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不能同时选，选法总数为121255C C C -【答案】ABD【解析】若任意选择三门课程，选法总数为37C ，故A 错误若物理和化学至少选一门，选法总数为12212525C C C C +，故B 错误若物理和历史不能同时选，选法总数为321725C C C -，故C 正确若物理和化学至少选一门，且物理和历史不能同时选，选法总数为1221125255C C C C C +-故D 错误18．（2020·三亚华侨学校高二开学考试）已知()na b +的展开式中第5项的二项式系数最大，则n 的值可以为（）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】ABC【解析】∵已知()na b +的展开式中第5项的二项式系数4n C 最大,则7n =或n ＝8或n ＝919．（2020·福建省福州外国语学校期末）已知2((0)n ax a+>的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是（）A ．展开式中奇数项的二项式系数和为256B ．展开式中第6项的系数最大C ．展开式中存在常数项D ．展开式中含15x 项的系数为45【答案】BCD【解析】由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等可知10n =,又展开式的各项系数之和为1024,即当1x =时,()1011024a +=,所以1a =,所以二项式为10101222x x x-⎛⎫⎛+=+ ⎪ ⎝⎝⎭,则二项式系数和为1021024=,则奇数项的二项式系数和为110245122⨯=,故A 错误；由10n =可知展开式共有11项,中间项的二项式系数最大,即第6项的二项式系数最大,因为2x 与12x -的系数均为1,则该二项式展开式的二项式系数与系数相同,所以第6项的系数最大,故B 正确；若展开式中存在常数项,由通项()12102110r r r r T C xx--+=可得()121002r r --=,解得8r =,故C 正确；由通项()12102110r r r r TC xx--+=可得()1210152r r --=,解得2r =,所以系数为21045C =,故D 正确,20．（2020·山东临朐·高三月考）下列有关说法正确的是（）A ．5122x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含23x y 项的二项式系数为20；B ．事件A B 为必然事件，则事件A 、B 是互为对立事件；C ．设随机变量ξ服从正态分布(),7N μ，若()()24P P ξξ<=>，则μ与D ξ的值分别为3μ=，7D ξ=；D ．甲、乙、丙、丁4个人到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A =“4个人去的景点各不相同”，事件B =“甲独自去一个景点”，则()2|9P A B =.【答案】CD【解析】对于A ，由二项式定理得：51(2)2x y -的展开式中含23x y 项的二项式系数为3510C =，故A 错误；对于B ，事件A B 为必然事件，若A ，B 互斥，则事件A 、B 是互为对立事件；若A ，B 不互斥，则事件A 、B 不是互为对立事件，故B 错误对于C ，设随机变量ξ服从正态分布(,7)N μ，若(2)(4)P P ξξ<=>，则曲线关于3x =对称，则μ与D ξ的值分别为3μ=，7D ξ=．故C 正确．对于D ，设事件A =“4个人去的景点不相同”，事件B =“甲独自去一个景点”，则P （A ）44!4=，P （B ）344327464==，443!3()432P AB ⨯==，则()2(|)()9P AB P A B P B ==，故D 正确；21．（2020·深圳市高级中学高二期中）(1)在(1＋x)n 的展开式中，若第3项与第6项系数相等，则n 等于多少？(2)n⎛⎝的展开式奇数项的二项式系数之和为128，求展开式中二项式系数最大项．【解析】(1)由已知得2n C ＝5n C 得n ＝7.(2)由已知得0n C ＋2n C ＋4n C ＋…＝128，2n －1＝128，n ＝8，所以展开式中二项式系数最大项是T 5＝48C(x)44＝70x22．（2020·四川省仁寿第二中学高二月考（理））在某大型活动中，甲、乙等五名志愿者被随机地分到A ，B ，C ，D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者.(1)求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率；(2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；(3)求五名志愿者中仅有一人参加A 岗位服务的概率.【解析】(1)记“甲、乙两人同时参加A 岗位服务”为事件E A ，那么()332454140A A P E C A ==，即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是140；(2)记“甲、乙两人同时参加同一岗位服务”为事件E ，那么()442454110A C A P E ==，所以甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P (E )＝1－P (E )＝910；(3)因为有两人同时参加A 岗位服务的概率23532454214C A C A P ==，所以仅有一人参加A 岗位服务的概率P 1＝1－P 2＝34.23．（2020·上海高三专题练习）已知n 的展开式中，第三项的系数与第五项的系数之比是1:4，且第四项等于1600-，求x 的值．【解析】1((2)r n r r r r n r rr n n T C C --+=⋅-⋅-⋅=⋅由2244(2):(2)1:4n n C C ⎡⎤⎡⎤⋅-⋅-=⎣⎦⎣⎦，得31,4(2)(3)4n n n =≥--，6n ∴=，由33346(T C =⋅⋅-21601600x =-=-，得x =（x =舍）24．（2020·四川省新津中学开学考试（理））已知()()2*01212,6n n n x a a x a x a x n N n +=++++∈ ，其中012,,,,n a a a a R ∈ ．（1）当6n =时，求6(12)x +的展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项；（2）若n 为偶数，求246n a a a a +++⋯+的值．【解析】（1）()()2*01212,6n n n x a a x a x a x n N n +=++++∈ 中6n =时，展开式中有7项，中间一项的二项式系数最大，此项为3336(2)160C x x =，又166(2)2r r r r r T C x C +==，设第1k +项系数最大，则116611662222k k k k k k k k C C C C ++--⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩，解得111433k ≤≤，∴4k =，即第5项系数最大，第5项为4446(2)240C x x =；二项式系数最大的项是第4项为3160x ，系数最大的项是第5项为4240x ；（2）首先01a =，记()()2*012()12,6n n n f x x a a x a x a x n N n =+=++++∈ ，则012(1)3nn f a a a a ==++++ ，01231(1)n n f a a a a a a --=-+-+-+ ，所以024(1)(1)3(1)31222n n n n f f a a a a +-+-+++++=== ，所以243131122n n n a a a +-+++=-= ．25．（2020·江苏鼓楼·南京师大附中高三其他）某中学有4位学生申请A 、B 、C 三所大学的自主招生．若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的．（1）求恰有2人申请A 大学的概率；（2）求被申请大学的个数X 的概率分布列与数学期望()E X ．【解析】（1）所有可能的方式有43种，恰有2人申请A 大学的申请方式有2242C ⋅种，从而恰有2人申请A 大学的概率为224428327C ⋅=；（2）由题意可知，随机变量的可能取值有1、2、3，则()4311327P X ===，()2232434341422327C A C A P X ⋅+===，()234344339C A P X ===.所以，随机变量X 的分布列如下表所示：X 123P 127142749()1144651232727927E X =⨯+⨯+⨯=.。

2021年高考数学分项版专题?函数与导数?试题解析理创作人：荧多莘日期：二O二二年1月17日一、选择题:1. (2021年高考卷理科5)对于函数(),y f x x R=∈,“|()|y f x=的图象关于y轴对称〞是“y=()f x是奇函数〞的〔A〕充分而不必要条件〔B〕必要而不充分条件〔C〕充要条件〔D〕既不充分也不必要【答案】B【解析】由奇函数定义,容易得选项B正确.2. (2021年高考卷理科9)函数2sin2xy x=-的图象大致是【答案】C【解析】因为'12cos2y x=-,所以令'12cos02y x=->,得1cos4x<,此时原函数是增函数;令'12cos02y x=-<,得1cos4x>,此时原函数是减函数,结合余弦函数图象，可得选C正确.3. (2021年高考卷理科10)()f x是R上最小正周期为2的周期函数，且当02x≤<时,3()f x x x=-,那么函数()y f x=的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为〔A 〕6 〔B 〕7 〔C 〕8 〔D 〕9 【答案】B【解析】因为当02x ≤<时,3()f x x x =-,又因为()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且(0)0f =,所以(6)(4)(2)(0)0f f f f ====,又因为(1)0f =,所以(3)0f =,(5)0f =,故函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为7个,选B.4．(2021年高考卷理科3)设()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，()f x x x 2=2-，那么()f 1=〔A 〕-3 (B) -1 〔Ｃ〕１ 〔Ｄ〕３6．(2021年高考卷理科9)设函数f 〔x 〕=⎩⎨⎧≤，＞，，，1x x log -11x 22x -1那么满足f 〔x 〕≤2的x 的取值范围是〔 〕〔A 〕[-1，2] 〔B 〕[0，2] 〔C 〕[1，+∞〕 〔D 〕[0，+∞〕 答案： D解析：不等式等价于11,22x x -≤⎧⎨≤⎩或者21,1log 2,x x >⎧⎨-≤⎩解不等式组，可得01x ≤≤或者1x >，即0x ≥，应选D.7．(2021年高考卷理科11)函数f 〔x 〕的定义域为R ，f 〔-1〕=2，对任意x ∈R ，f ’(x)＞2，那么f 〔x 〕＞2x+4的解集为〔 〕〔A 〕〔-1，1〕 〔B 〕〔-1，+∞〕 〔C 〕〔-∞，-1〕 〔D 〕〔-∞，+∞〕 答案： B解析：设g(x)= f(x)-(2x+4), g ’(x)= f ’x R ∈，f ’〔x 〕＞2，所以对任意x R ∈，g ’(x)>0，那么函数g(x)在R 上单调递增.又因为g(-1)= f(-1)-(-2+4)=0，故g(x)>0,即f(x)＞2x+4的解集为(-1，+∞).8．(2021年高考卷理科1)设函数2,0,()()4,0.x x f x f x x α-≤⎧==⎨>⎩若,那么实数α=〔A 〕-4或者-2 〔B 〕-4或者2 〔C 〕-2或者4 〔D 〕-2或者2 【答案】 B【解析】：当2042,a a a >=⇒=时,044a a a ≤=⇒=-当时,-，应选B 9. (2021年高考全国新课标卷理科2)以下函数中，既是偶函数又是区间),0(+∞上的增函数的是〔 〕A 3x y =B 1+=x yC 12+-=x yD x y -=2【答案】B解析：由偶函数可排除A ，再由增函数排除C,D,应选B ； 点评：此题考察复合函数的奇偶性和单调性，因为函数xy x y -==和都是偶函数，所以，内层有它们的就是偶函数，但是，它们在),0(+∞的单调性相反，再加上外层函数的单调性就可以确定。