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一元二次方程知识点总结及习题

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【基础知识巩固】知识点1. 一元二次方程概念只含有一个未知数，并且含有未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程。

1、判别下列方程是不是一元二次方程，(1)2x 2-x-3=0. (2)4y -y 2=0. (3) t 2=0. (4) x 3-x 2=1. (5) x 2-2y-1=0. (6) 21x -3=0. (7)x x 32- =2. (8)(x+2)(x-2)=(x+1)2.(9)3x 2-x4+6=0. (10)3x 2=4x-3.2、判断下列方程是否为一元二次方程：)0(0).7(0).6()2)(1(3).5(023).4(1).3(1).2(1).1(222222的常数为不等于m mx c bx ax x x x y x x xx x x x ==+++-=-=+-===+3、下列方程中，关于x 的一元二次方程是 （ ）（A ）()()23121x x +=+ （B ）21120x x +-=（C ）20ax bx c ++= （D ）2221x x x +=+4、下列方程中，不是一元二次方程的是 （ ）（A ）2x 2+7=0 （B ）2x 2+23x+1=0（C ）5x 2+x 1+4=0 （D ）3x 2+(1+x) +1=05、若关于x 的方程a (x －1)2=2x 2－2是一元二次方程，则a 的值是 （ ）（A ）2 （B ）－2 （C ）0 （D ）不等于26、已知关于x 的方程()()03122=+-++p x n x m ，当 时，方程为一次方程；当时，两根中有一个为零a 。

7、已知关于x 的方程()2220m m x x m --+-=：（1） m 为何值时方程为一元一次方程；（2） m 为何值时方程为一元二次方程。

知识点二.一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式是：()200ax bx c a ++=≠，其中2ax 是二次项，a 叫二次项系数；bx 是一次项，b 叫一次项系数，c 是常数项。

特别警示：（1）“0a ≠”是一元二次方程的一般形式的一个重要组成部分；（2）二次项系数、一次项系数及常数项都是方程在一般形式下定义的，所以求一元二次方程的各项系数时，必须先将方程化为一般形式。

1、指出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.2(1)109000x x --= 2(2)510 2.20x x +-= 2(3)2150x -= 2(4)30x x +=(5)3)2(2=+x (6)0)3)(3(=-+x x 2、关于x 的方程2320ax x ++=是一元二次方程，则 （ ）（A ）0a > （B ）0a ≠ （C ）1a = （D ）0a ≥3、将下列一元二次方程化成一般形式，并找出a 、b 、c 的值.(1) 2435x x -=；(2) ()()22831x x x ++=+ 4、方程（m 2－1）x 2＋mx －5＝0 是关于x 的一元二次方程，则m 满足的条件是…（ ）（A ）m ≠1 （B ）m ≠0 （C ）|m |≠1 （D ）m ＝±15、关于x 的方程06232=-+x x 中a 是 ；b 是 ；c 是 。

6、方程()()()()495235232=-+--++x x x x 的一般形式为 。

7、方程(m-5)(m-3)x 2-m +(m-3)x+5=0中，当m 为何值时，此方程为一元二次方程?知识点三.一元二次方程的解使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解。

1、已知方程2390x x m -+=的一个根是1，则m 的值是 。

2、已知1x =是一元二次方程2210x mx -+=的一个解，则m 的值是 （ ）（A ）1 （B ）0 （C ）0或1 （D ）0a ≥3、若1x =是一元二次方程220ax bx +-=的一个根，则a b += 。

4、实数aac b b 242-±是方程 的根 （ ） （A ）02=++c bx ax （B ）02=+-c bx ax（C ）02=--c bx ax （D ）02=-+c bx ax5、设a 是一元二次方程052=+x x 的较大根，b 是0232=+-x x 较小根，那么b a +的值是 （ ）（A ）-4 （B ）-3 （C ）1 （D ）26、已知关于x 的一元二次方程220x kx +-= 的一个解与方程131x x +=-的解相同。

（1） 求k 的值；（2） 求方程220x kx +-=的另一个解。

7、设12,x x 是关于x 的一元二次方程20x px q ++=的两个根，121,1x x ++是关于x 的一元二次方程20x qx p ++=的两个根，则,p q 的值分别等于多少？知识点四.一元二次方程的解法一元二次方程的四种解法：（1）直接开平方法：如果()20x k k =≥，则x =利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。

直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。

根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。

（2）配方法：要先把二次项系数化为1，然后方程两变同时加上一次项系数一半的平方，配成左边是完全平方式，右边是非负常数的形式，然后用直接开平方法求解；配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。

配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式（4）因式分解法：如果()()0x a x b --=则12,x a x b ==。

分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式温馨提示：一元二次方程四种解法都很重要，尤其是因式分解法，它使用的频率最高，在具体应用时，要注意选择最恰当的方法解。

1、方程2250x -=的解是： （ ）（A ）125x x == （B ）1225x x ==（C ）125,5x x ==- （D ）1225,25x x ==-2、方程220x x -=的解是： （ ）（A ）121x x == （B ）121,3x x =-=（C ）122,0x x == （D ）122,0x x =-=3、方程)(211x x =的较简便的解法应选用 。

4、解下列方程：（1）()2331x x +=+ （2）2230x x +-= （3）2230x x +-=5．开平方法解下列方程：012552=-x 289)3(1692=-x 03612=+y0)31(2=-m 85)13(22=+x6．配方法解方程：0522=-+x x0152=++y y 3422-=-y y7．公式法解下列方程：2632-=x xp p 3232=+ y y 1172=2592-=n n3)12)(2(2---=+x x x8．因式分解法解下列方程： 09412=-x04542=-+y y 031082=-+x x02172=-x x6223362-=-x x x 1)5(2)5(2--=-x x08)3(2)3(222=-+-+x x x9．用适当方法解下列方程：128)72(22=-x222)2(212m m m m -=+-)3)(2()2(6+-=-x x x x3)13(2)23(332-+-=+y y y y y22)3(144)52(81-=-x x10、解下列方程：()()y y 32322-=+()()1211312-=-x x ()2252)3(-=+x x()()()2222263-++=-y y y ()2233⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+m x m x()()122122=++++x x x x2330x x ---= ()024142=++++m x m mx知识点五.一元二次方程根的判别式对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根的判别式是24b ac -： （1） 当240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根；（2） 当240b ac -=时，方程有两个相等的实数根；（3） 当240b ac -<时，方程无实数根。

温馨提示：若方程有实数根，则有240b ac -≥。

1、已知方程230x x k -+=有两个不相等的实数根，则k= 。

2、关于x 的一元二次方程2210kx x +-=两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 （ ）（A ）1k >- （B ）1k >- （C ）0k ≠ （D ）10k k >-≠且3、在下列方程中，有实数根 的是 （ ）（A ）2310x x ++= （B 1=-（C ）2230x x ++= （D ）111x x x =-- 4、当m 满足何条件时，方程()019122=-+--m x m mx 有两个不相等实根？有两个相等实根？有实根？5、关于x 的方程()05222=+++-m x m mx 无实根，试解关于x 的方程()()02252=++--m x m x m 。

6、已知关于x 的一元二次方程()241210x m x m +++-=，求证：不论m 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根。

7、将一条长20m 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形。

（1） 要使这两个正方形的面积之和等于17平方米，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？（2） 两个正方形的面积之和可能等于12平方米吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由。

知识点六.一元二次方程根与系数的关系若一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两个实数根为12,x x ，则1212,b c x x x x a a+=-=。

（韦达定理） 温馨提示：利用根与系数的关系解题时，一元二次方程必须有实数根。

1、关于x 的一元二次方程22430x kx k ++-=的两个实数根分别是12,x x ，且满足1212x x x x +=，则k 的值为：（ ）（A ）314-或 （B ）1- （C ）34（D ）不存在 2、已知,αβ是关于x 的一元二次方程()22230x m x m +++=的两个不相等的实数根，且满足111αβ+=-，则m的值是 （ ）（A ）3或-1 （B ）3 （C ）1 （D ）-3或13、关于x 的一元二次方程222310x x m -+-=有两个实数根12,x x ，且12124x x x x >+-，则m 的取值范围是（ ）（A ）53m >-（B ）12m ≤ （C ）53m <- （D ）5132m -<≤ 4、方程2360x x --=与方程2630x x -+=的所有根的乘积是5、两个不相等的实数m,n 满足2264,64m m n n -=-=，则mn 的值为 。

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一元二次方程总复习知识点梳理

一元二次方程总复习知识点梳理

一元二次方程总复习考点1：一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方 程．一般形式：ax 2＋bx+c=0(a ≠0）。

注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式。

考点2：一元二次方程的解法1.直接开平方法：对形如(x+a ）2=b （b ≥0）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。

X+a=±b∴1x =-a+b 2x =-a-b2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax 2＋bx+c=0(k ≠0）的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a ）2=b 的形式；⑤如果b ≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b ≤0，则原方程无解．3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是aac b b x 242-±-=(b 2－4ac ≥0)。

步骤：①把方程转化为一般形式；②确定a ，b ，c 的值；③求出b 2－4ac 的值，当b 2－4ac ≥0时代入求根公式。

4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．理论根据：若ab=0，则a=0或b=0。

步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。

5．一元二次方程的注意事项：⑴ 在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a ≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．⑵ 应用求根公式解一元二次方程时应注意：①先化方程为一般形式再确定a ，b ，c 的值；②若b 2－4ac ＜0，则方程无解．⑶ 利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x ＋4)2 =3（x ＋4）中，不能随便约去x ＋4。

一元二次方程题型总结

一元二次方程题型总结

《一元二次方程》每日一练知识点一：一元二次方程的概念1、已知关于x 的方程（m ²-1）x ²+（m-2）x-2m+1=0，当m= 时是一元二次方程，当m = 时是一元一次方程。

2、关于y 的一元二次方程2y(y-3)= -4的一般形式是 ,它的二次项系数是_____ , 一次项是_____ ，常数项是 。

3、关于x 的一元二次方程01)1(22=-++-a x x a 的一个根是0，则a 的值为（ ）（A ）1 （B ）1- （C ）1或1- （D ）0.54、方程（m ＋2）｜m ｜＋3mx ＋1＝0是关于x 的一元二次方程，则（ ）。

（A ）m ＝±2 （B ）m ＝2 （C ）m ＝－2 （ D ）m ≠±2知识点二：一元二次方程的解法直接开平方法；配方法；公式法；因式分解法；十字相乘法1、用适当的方法解下列方程（1）（x+3）2 -12=0 （2） 3x 2－6x ＋1=0 （3）x 2－4x ＋1＝0。

（4）7x(x-2)＝2x-4 （5）2(3)4(3)0x x x -+-= （6）22510x x --=（7）9(x-1)2-4=0 （8）2x 2+6x-2=0 （9）(2)(35)1x x --=； （10）22)3()12(x x -=-2、方程x x =23的解是 ；方程 0)2)(1(=-+x x 的根是 ;3、等腰三角形的三条边长是x 2-6x+5=0的根，则这个等腰三角形的周长是____ _.4、方程2x 2-3x+1=0变为(x+a)2=b 的形式,正确的是( ) A. 23162x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; B.2312416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; C. 231416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; D.以上都不对 5、将二次三项式x 2-4x+1配方后得（ ） A ．（x-2）2+3 B ．（x-2）2-3 C ．（x+2）2+3 D ．（x+2）2-36、已知一元二次方程02=++c bx ax ，若0=++c b a ，则该方程一定有一根为（ ）A. 0B. 1C. -1D. 27、当代数式x 2+3x+5的值为7时，代数式3x 2+9x-2的值是（ ）．A .4B .0C .-2D .-4知识点三：根的判别式的应用△＞0，方程有2个不相等的实数根； △=0，方程有2个相等的实数根；△＜0，方程没有实数根； 0≥∆，方程有实数根。

一元二次方程知识点总结及相关练习题

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一元二次方程知识点总结及相关练习题一、一元二次方程一元二次方程是指含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。

它的一般形式为ax^2+bx+c=0（其中a≠0），其中ax^2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

二、一元二次方程的解法1.直接开平方法直接开平方法是利用平方根的定义直接开平方求解一元二次方程的方法。

它适用于解形如(x+a)=b的一元二次方程。

根据平方根的定义可知，x+a是b的平方根，当b≥0时，x=-a±b；当b<0时，方程没有实数根。

2.配方法配方法的理论根据是完全平方公式a±2ab+b=(a±b)^2，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有x±2bx+b=(x±b)^2.配方法的步骤是：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式。

3.公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程ax^2+bx+c=0的求根公式是x=(-b±√(b^2-4ac))/2a。

公式法的步骤是把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项的系数为c。

4.因式分解法因式分解法是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法。

这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

分解因式法的步骤是：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式、公式法或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式。

5.XXX定理利用韦达定理可以求出一元二次方程中的各系数。

韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a，二根之积=c/a也可以表示为x1+x2=-b/a,x1x2=c/a。

在题目中，XXX定理是很常用的。

三、一元二次方程根的判别式根的判别式指的是一元二次方程ax^2+bx+c=0的根的判别式，通常用“Δ”来表示，即Δ=b^2-4ac。

人教版九年级上册数学——一元二次方程知识点总结

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21章 一元二次方程知识点一、一元二次方程1、一元二次方程概念：等号两边是整式，含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程。

注意：（1）一元二次方程必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2 ；（4）二次项系数不能等于02、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x 的二次三项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。

注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。

（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。

（3）形如02=++c bx ax 不一定是一元二次方程，当且仅当0≠a 时是一元二次方程。

二、 一元二次方程的解使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当2=x 时，0232=+-x x 所以2=x 是0232=+-x x 方程的解。

一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。

一元二次方程有两个根（相等或不等）三、一元二次方程的解法1、直接开平方法:直接开平方法理论依据：平方根的定义。

利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。

根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。

三种类型：（1）()02≥=a a x 的解是a x ±=；（2）()()02≥=+n n m x 的解是m n x -±=；（3）()()0,02≥≠=+c m c n mx 且的解是mn c x -±=。

2、配方法:配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。