【创新方案】高考数学一轮复习(知识回扣+热点突破+能力提升)空间向量的运算及空间位置关系 理 北师大版

第六节 空间向量的运算及空间位置关系【考纲下载】1．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置． 2．会推导空间两点间的距离公式．3．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．4．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．5．掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．1．空间直角坐标系及有关概念 (1)空间直角坐标系(2)右手直角坐标系的含义：伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四指先指向x 轴正方向，然后让四指沿握拳方向旋转90°指向y 轴正方向，此时大拇指的指向即为z 轴正方向，称这样的坐标系为右手系．(3)空间中点M 的坐标：空间中点M 的坐标常用有序实数组(x ，y ，z )来表示，记作M (x ，y ，z )，其中x 叫作点M 的横坐标，y 叫作点M 的纵坐标，z 叫作点M 的竖坐标．建立了空间直角坐标系后，空间中的点M 和有序实数组(x ，y ，z )可建立一一对应的关系． 2．空间两点间的距离(1)设点A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＋z 1－z 22.特别地，点P (x ，y ，z )与坐标原点O 的距离为|OP |＝x 2＋y 2＋z 2.(2)设点A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)是空间中两点，则线段AB 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22. 3．空间向量的有关概念〉≤π，〈a，b〉＝垂直于平面α4．空间向量的有关定理(1)共线向量定理：空间两个向量a与b(b≠0)共线的充分必要条件是存在实数λ，使得a＝λb.(2)空间向量基本定理：如果向量e1，e2，e3是空间三个不共面的向量，a是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3，使得a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3.把e1，e2，e3叫作这个空间的一个基底．5．线性运算的运算律(1)加法交换律：a＋b＝b＋a；(2)加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；(3)数乘向量分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb；(4)向量对实数加法的分配律：a(λ＋μ)＝λa＋μa；(5)数乘向量的结合律：λ(μa)＝(λμ)a.6．空间向量的数量积(1)定义：空间两个向量a和b的数量积等于|a||b|cos〈a，b〉，记作a·b.(2)运算律：①交换律：a·b＝b·a；②分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c；③结合律：λ(a·b)＝(λa)·b(λ∈R)．(3)常见结论：①|a|＝a·a；②a⊥b⇔a·b＝0；③cos〈a，b〉＝a·b|a||b|(a≠0，b≠0)．7．空间向量的坐标运算若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则(1)a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量)；(3)a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3；(4)a ＝a ·a ＝a 21＋a 22＋a 33；(5)cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23.1．空间直角坐标系中的坐标平面把空间分成几部分？坐标轴上的点的坐标有什么特点？ 提示：空间直角坐标系中的坐标平面将空间分成8部分．坐标轴上点的坐标的特点是另外两个坐标均为零．2．对于实数a ，b ，若ab ＝0，则一定有a ＝0或b ＝0，而对于向量a ，b ，若a ·b ＝0，则一定有a ＝0或b ＝0吗？提示：不一定．因为当a ≠0且b ≠0时，若a ⊥b ，也有a ·b ＝0. 3．对于非零向量b ，由a ·b ＝b ·c ⇒a ＝c ，这一运算是否成立？提示：不成立．根据向量数量积的几何意义，a ·b ＝b ·c 说明a 在b 方向上的投影与c 在b 方向上的投影相等，而不是a ＝c .1．(教材习题改编)下列命题：①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB ＋BC ＋CD ＋DA ＝0； ②|a |－|b |＝|a ＋b |是a 、b 共线的充要条件； ③若a 、b 共线，则a 与b 所在直线平行；④对空间任意一点O 与不共线的三点A 、B 、C ，若OP ＝x OA ＋y OB ＋z OC (其中x 、y 、z ∈R )，则P 、A 、B 、C 四点共面．其中不正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选B ①④正确；对于②，|a |－|b |＝|a ＋b |是a 、b 共线的充分不必要条件；对于③，a 与b 所在的直线可能是同一条直线，故②③错．2．已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中心，若AE ＝1AA ＋x AB ＋y AD ，则x ，y 的值分别为( )A ．x ＝1，y ＝1B ．x ＝1，y ＝12C ．x ＝12，y ＝12D ．x ＝12，y ＝1解析：选C 易求AE ＝1AA ＋12AB ＋12AD ，故x ＝y ＝12.3．已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则λ与μ的值可以是( )A ．2，12B ．－13，12C ．－3,2D ．2,2解析：选A 经验证可知，当λ＝2，μ＝12时，a ＝(3,0,2)，b ＝(6,0,4)，即b ＝2a ，故a ∥b .4．(教材习题改编)已知a ＝(－3,2,5)，b ＝(1，λ，－1)．若a ⊥b ，则λ＝________. 解析：∵a ⊥b ，∴(－3)×1＋2λ＋5×(－1)＝0，∴λ＝4. 答案：45. 如图所示，正方体的棱长为1，M 是所在棱上的中点，N 是所在棱上的四分之一分点(靠近y 轴)，则M 、N 之间的距离为________．解析：由条件知，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，12，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1，0， 故| MN |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－142＋－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－02＝294.答案：294[例1] (1)如图所示，在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．①化简1A O －12AB －12AD ＝________；②用AB ，AD ，1AA 表示1OC ，则1OC ＝________.(2)向量a ＝(3,5，－4)，b ＝(2,1,8)，计算2a ＋3b,3a －2b 的值．[自主解答] (1)①1A O －12AB －12AD ＝1A O －12(AB ＋AD )＝1A O －AO ＝1A O ＋OA ＝1A A .②OC ＝12AC ＝12(AB ＋AD )，∴1OC ＝OC ＋1CC ＝12(AB ＋AD )＋1AA ＝12AB ＋12AD ＋1AA .(2)2a ＋3b ＝2(3,5，－4)＋3(2,1,8)＝(6,10，－8)＋(6,3,24)＝(12,13,16)． 3a －2b ＝3(3,5，－4)－2(2,1,8)＝(9,15，－12)－(4,2,16)＝(5,13，－28)．[答案] (1)①1A A ②12AB ＋12AD ＋1AA【互动探究】本例中(1)条件不变，结论改为：设E 是棱DD 1上的点，且DE ＝231DD ，若EO ＝x AB ＋y AD ＋z 1AA ，试求x ，y ，z 的值．解：EO ＝ED ＋DO ＝－231DD ＋12(DA ＋DC )＝－231AA －12AD ＋12AB ＝12AB －12AD －231AA ，由条件知，x ＝12，y ＝－12，z ＝－23. 【方法规律】用已知向量表示某一向量的方法用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．如图所示，在平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，设1AA ＝a ，AB ＝b ，AD ＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1) AP ； (2) 1A N ； (3) MP ＋1NC .解：(1)∵P 是C 1D 1的中点，∴AP ＝1AA ＋11A D ＋1D P ＝a ＋AD ＋1211D C ＝a ＋c ＋12AB ―→＝a ＋c ＋12b .(2)∵N 是BC 的中点，∴1A N ＝1A A ＋AB ＋BN ＝－a ＋b ＋12BC ―→＝－a ＋b ＋12AD ―→＝－a ＋b ＋12c . (3)∵M 是AA 1的中点，∵MP ＝MA ＋AP ＝121A A ＋AP ＝－12a ＋⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c ＋12b ＝12a ＋12b ＋c ， 又1NC ＝NC ＋1CC ＝12BC ＋1AA ＝12AD ＋1AA ＝12c ＋a .∴MP ＋1NC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋12b ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12c ＝32a ＋12b ＋32c .考点二 共线、共面向量定理的应用[例2] 已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面； (2)求证：BD ∥平面EFGH ；(3)设M 是EG 和FH 的交点，求证：对空间任一点O ，有OM ＝14( OA ＋OB ＋OC ＋OD )．[自主解答](1)证明：连接BG ，则EG ＝EB ＋BG ＝EB ＋12(BC ＋BD )＝EB ＋BF ＋EH ＝EF ＋EH .所以E ，F ，G ，H 四点共面．(2)证明：因为EH ＝AH －AE ＝12AD －12AB ＝12(AD －AB )＝12BD .所以EH ∥BD .又EH 平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ，所以BD ∥平面EFGH . (3)找一点O ，并连接OM ，OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OG .由(2)知EH ＝12BD ，同理FG ＝12BD .所以EH ＝FG ，即EH ∥FG ，EH =FG ，所以四边EFGH 是平行四边形．所以EG ，FH 交于一点M 且被M 平分．故OM ＝12(OE ＋OG )＝12OE ＋12OG ＝12×1()2OA OB ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦＋121()2OC OD ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦＝14( OA ＋OB ＋OC ＋OD )．【方法规律】1．证明空间三点P 、A 、B 共线的方法 (1) PA ＝λPB (λ∈R )；(2)对空间任一点O ，OP ＝OA ＋t AB (t ∈R )； (3)对空间任一点O ，OP ＝x OA ＋y OB (x ＋y ＝1)． 2．证明空间四点P 、M 、A 、B 共面的方法 (1) MP ＝x MA ＋y MB ；(2)对空间任一点O ，OP ＝OM ＋x MA ＋y MB ；(3)对空间任一点O ，OP ＝x OM ＋y OA ＋z OB (x ＋y ＋z ＝1)； (4) PM ∥AB (或PA ∥MB 或PB ∥AM )．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，若点M 满足OM ＝13(OA ＋OB ＋OC )．(1)判断MA ，MB ，MC 三个向量是否共面； (2)判断点M 是否在平面ABC 内．解：(1)由题知OA ＋OB ＋OC ＝3OM ，∴OA －OM ＝(OM －OB )＋(OM －OC )，即MA ＝BM ＋CM ＝－MB －MC ，∴MA ，MB ，MC 共面．(2)由(1)知，MA ，MB ，MC 共面且基线过同一点M ，∴M C 四点共面，从而点考点三 [例AB 、BB ′的中点．(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值．[自主解答] (1)证明：设CA ＝a ，CB ＝b ，CC '＝c ， 由题意知，|a |＝|b |＝|c |且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0，∴CE ＝b ＋12c ，A D '＝－c ＋12b －12a .∴CE ·A D '＝－12c 2＋12b 2＝0.∴CE ⊥A D '，即CE ⊥A ′D . (2) AC '＝－a ＋c ，CE ＝b ＋12c ，∴|AC '|＝2|a |，|CE |＝52|a |.AC '·CE ＝(－a ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12c ＝12c 2＝12|a |2， ∴cos 〈AC '，CE 〉＝12|a |22·52|a |2＝1010.故异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010.【方法规律】空间向量数量积的应用(1)求夹角．设向量a ，b 所成的角为θ，则cos θ＝a ·b|a ||b |，进而可求两异面直线所成的角．(2)求长度(距离)．运用公式|a |2＝a·a ，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题．(3)解决垂直问题．利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0(a ≠0，b ≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题．已知平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧棱AA 1长为b ，且AA 1与AB ，AD 的夹角都是120°.求AC 1的长．解：|1AC |2＝1AC 2＝(AB ＋AD ＋1AA )2＝AB 2＋AD 2＋1AA 2＋2AB ·AD ＋2AD ·1AA ＋2AB ·1AA ＝a 2＋a 2＋b 2＋0＋2ab cos 120°＋2ab cos 120°＝2a 2＋b 2－2ab .所以|AC 1|＝2a 2＋b 2－2ab .—————————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————种意识——基底意识用向量解决立体几何问题应树立“基底”意识．种方法——基向量法和坐标法用向量解决立体几何问题时，可用基向量的运算求解，适于建系的可用坐标运算求解．个注意点——利用向量解决立体几何问题应注意的 问题 (1)注意向量夹角的确定，避免首尾相连的向量夹角确定错误； (2)注意向量夹角与两直线夹角的区别；(3)注意向量共线与两直线平行与重合的区别．方法博览(五)巧用基向量求解立体几何问题[典例] (2012·浙江高考)已知矩形ABCD ，AB ＝1，BC ＝2，将△ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中( )A ．存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直B ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直C ．存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直D ．对任意位置，三对直线“AC 与BD ”，“AB 与CD ”，“AD 与BC ”均不垂直[解题指导] 本题是研究直线AC 与BD 、AB 与CD 、AD 与BC 是否垂直的问题，故可利用向量证明AC ·BD 、AB ·CD 、AD ·BC 是否为0.[解析] 如图所示，在图(1)中，易知AE ＝CF ＝63，BE ＝EF ＝FD ＝33.在图(2)中，设AE ＝a ，EF ＝b ，FC ＝c ，则〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝90°，〈a ，c 〉＝θ，则AC ＝a ＋b ＋c ，BD ＝3b ，故AC ·BD ＝3b 2＝1≠0，故AC 与BD 不垂直，A 不正确；AB ＝AE ＋EB ＝a －b ，CD ＝CF ＋FD ＝b －c ，所以AB ·CD ＝－a ·c －b 2＝－23cos θ－13.当cos θ＝－12，即θ＝2π3时，AB ·CD ＝0，故B 正确；AD ＝AE ＋ED ＝a ＋2b ，BC ＝BF ＋FC ＝2b ＋c ，所以AD ·BC ＝a ·c ＋4b 2＝23cos θ＋43＝23(cos θ＋2)，故无论θ为何值，AD ·BC ≠0，故C 不正确．[答案] B[点评] 1.用向量法解决立体几何问题的关键是找到基底，且该基底既能反映条件的特征，也能方便地与结论联系；例如本题中，翻折过程中二面角A ­BD ­C 大小在变化，即π－θ在变化，因此可以AE 、EF 、FC 为基向量，同时也便于运算．2．注意将平面图形分析到位，并将已知条件转化到立体图形中去．空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，则OA 与BC 所成角的余弦值等于________．解析：由题意知AO ·BC ＝AO ·(AC －AB )＝AO ·AC －AO ·AB ＝8×4×cos 45°－8×6×cos 60°＝162－24.∴cos 〈AO ，BC 〉＝AO BCAO BC⋅⋅＝162－248×5＝22－35<0.∴OA 与BC 所成角的余弦值为3－225.答案：3－225[全盘巩固]1．点M (－8,6,1)关于x 轴的对称点的坐标是( ) A ．(－8，－6，－1) B ．(8，－6，－1) C ．(8，－6,1) D ．(－8，－6,1)解析：选A 点P (a ，b ，c )关于x 轴的对称点为P ′(a ，－b ，－c )．2．已知a ＝(2,3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，b ＝12x －2a ，则x ＝ ( )A ．(0,3，－6)B ．(0,6，－20)C ．(0,6，－6)D ．(6,6，－6)解析：选B 由b ＝12x －2a ，得x ＝4a ＋2b ＝(8,12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0,6，－20)．3．设A (3,3,1)，B (1,0,5)，C (0,1,0)，AB 的中点为M ，则|CM |＝( )A.534B.532C.532D.132解析：选C 设M (x ，y ，z )，则x ＝3＋12＝2，y ＝3＋02＝32，z ＝1＋52＝3，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，3， 则|CM |＝－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋－2＝532.4．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a 、b 、c 三个向量共面，则实数λ＝( )A.627B.637C.647D.657解析：选D 由于a ，b ，c 三个向量共面，所以存在实数m ，n 使得c ＝m a ＋n b ，即有⎩⎪⎨⎪⎧7＝2m －n ，5＝－m ＋4n ，λ＝3m －2n ，解得m ＝337，n ＝177，λ＝657.5. 以棱长为1的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱AB 、AD 、AA 1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则正方形AA 1B 1B 的对角线交点的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，12 解析：选B 连接AB 1和A 1B 交于点O .据题意知AB 1与A 1B 的交点即为AB 1的中点．由题意得A (0,0,0)，B 1(1,0,1)，故AB 1的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12.6．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E 、F 分别是BC 、AD 的中点，则AE ·AF ＝( )A ．a 2B.12a 2C.14a 2D.34a 2解析：选C 设AB ＝a ，AC ＝b ，AD ＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝a ，且a ，b ，c 三向量两两夹角为60°.又AE ＝12(a ＋b )，AF ＝12c ，故AE ·AF ＝12(a ＋b )·12c ＝14(a ·c ＋b ·c )＝14(a 2cos 60°＋a 2cos 60°)＝14a 2. 7．在空间直角坐标系中，点P (1，2，3)，过点P 作平面yOz 的垂线PQ ，则垂足Q 的坐标为________．解析：由题意知点Q 即为点P 在平面yOz 内的射影，所以垂足Q 的坐标为(0，2，3)． 答案：(0，2，3)8．已知空间四边形OABC ，点M 、N 分别是OA 、BC 的中点，且OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，用a 、b 、c 表示向量MN ＝________.解析：如图所示，MN ＝12(MB ＋MC )＝12[(OB －OM )＋(OC －OM )]＝12(OB ＋OC－2OM )＝12(OB ＋OC －OA )＝12(b ＋c －a )．答案：12(b ＋c －a )9．已知ABCD ­A 1B 1C 1D 1为正方体，①(1A A ＋11A D ＋11A B )2＝311A B 2； ②1A C ·(11A B －1A A )＝0； ③向量1AD 与向量1A B 的夹角是60°；④正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的体积为|AB ·1AA ·AD |.其中正确的序号是________．解析：①中，(1A A ＋11A D ＋11A B )2＝1A A 2＋11A D 2＋11A B 2＝311A B 2，故①正确； ②中，11A B －1A A ＝1AB ，因为AB 1⊥A 1C ，故②正确； ③中，两异面直线A 1B 与AD 1所成的角为60°，但1AD 与1A B 的夹角为120°，故③不正确；④中，|AB ·1AA ·AD |＝0，故④也不正确．答案：①②10. 在空间直角坐标系中，|BC |＝2，原点O 是BC 的中点，点D 在平面yOz 上，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，求点D 的坐标．解：过D 作DE ⊥BC ，垂足为E .在Rt △BCD 中，由∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，|BC |＝2，得|BD |＝1，|CD |＝3，∴|DE |＝|CD |sin 30°＝32，|OE |＝|OB |－|BE |＝|OB |－|BD |cos 60°＝1－12＝12， ∴点D 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－12，32. 11. 如图ABCD ­A 1B 1C 1D 1是正方体，M 、N 分别是线段AD 1和BD 的中点．(1)证明：直线MN ∥平面B 1CD 1；(2)设正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，若以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，试写出B 1、M 两点的坐标，并求线段B 1M 的长．解：(1)证明：如图，连接AC ，则N 是AC 的中点，在△ACD 1中，又M 是AD 1的中点，∴MN ∥CD 1.又MN ⊄平面B 1CD 1，CD 1平面B 1CD 1，∴MN ∥平面B 1CD 1.(2)由条件知B 1(a ，a ，a )，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，a 2，∴|B 1M |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 22＋a －2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 22＝62a ，即线段B 1M 的长为62a . 12. 如图，在棱长为a 的正方体OABC ­O 1A 1B 1C 1中，E 、F 分别是棱AB 、BC 上的动点，且AE ＝BF ＝x ，其中0≤x ≤a ，以O 为原点建立空间直角坐标系O ­xyz .(1)写出点E 、F 的坐标；(2)求证：A 1F ⊥C 1E ；(3)若A 1、E 、F 、C 1四点共面，求证：1A F ＝12 11AC ＋1A E . 解：(1)E (a ，x,0)，F (a －x ，a,0)．(2)证明：∵A 1(a,0，a )、C 1(0，a ，a )，∴1A F ＝(－x ，a ，－a )，1C E ＝(a ，x －a ，－a )，∴1A F ·1C E ＝－ax ＋a (x －a )＋a 2＝0，∴1A F ⊥1C E ，∴A 1F ⊥C 1E . (3)证明：∵A 1、E 、F 、C 1四点共面，∴1A E 、11AC 、1AF 共面． 选1A E 与11AC 为一组基向量，则存在唯一实数对(λ1，λ2)，使1A F ＝λ111AC ＋λ21A E ， 即(－x ，a ，－a )＝λ1(－a ，a,0)＋λ2(0，x ，－a )＝(－a λ1，a λ1＋x λ2，－a λ2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＝－a λ1，a ＝a λ1＋x λ2，－a ＝－a λ2，解得λ1＝12，λ2＝1.于是1A F ＝1211AC ＋1A E . [冲击名校]如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线都等于1，点E ，F ，G 分别是AB 、AD 、CD 的中点，求：(1) EF ·BA ；(2) EF ·DC ；(3)EG 的长；(4)异面直线AG 与CE 所成角的余弦值．解：设AB ＝a ，AC ＝b ，AD ＝c .则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， EF ＝12BD ＝12c －12a ，BA ＝－a ，DC ＝b －c ， (1) EF ·BA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12c －12a ·(－a )＝12a 2－12a ·c ＝14. (2) EF ·DC ＝12(c －a )·(b －c )＝12(b ·c －a ·b －c 2＋a ·c )＝－14. (3) EG ＝EB ＋BC ＋CG ＝12a ＋b －a ＋12c －12b ＝－12a ＋12b ＋12c ， |EG |2＝14a 2＋14b 2＋14c 2－12a ·b ＋12b ·c －12c ·a ＝12，则|EG |＝22. (4) AG ＝12b ＋12c ，CE ＝CA ＋AE ＝－b ＋12a ， cos 〈AG ，CE 〉＝AG CEAG CE ⋅⋅＝－23，由于异面直线所成角的范围是(0°，90°]， 所以异面直线AG 与CE 所成角的余弦值为23. [高频滚动]如图，在直四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，AC ⊥CD ，E 是AA 1上的一点．(1)求证：CD ⊥平面ACE ；(2)若平面CBE 交DD 1于点F ，求证：EF ∥AD .证明：(1)因为ABCD ­A 1B 1C 1D 1为直四棱柱，所以AA 1⊥平面ABCD .因为CD 平面ABCD ，所以AA 1⊥CD ，即AE ⊥CD .因为AC ⊥CD ，AE 平面AEC ，AC 平面AEC ，AE ∩AC ＝A ，所以CD ⊥平面AEC .(2)因为AD ∥BC ，AD 平面ADD 1A 1，BC ⊄平面ADD 1A 1，所以BC ∥平面ADD 1A 1. 因为BC 平面BCE ，平面BCE ∩平面ADD 1A 1＝EF ，所以EF ∥BC .所以EF ∥AD .。