长途列车的用餐销售效益问题

省城高校第三届六校数学建模联赛承诺书我们仔细阅读了太原地区数学建模联赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛试题题目是:A题长途列车的用餐销售效益问题参赛报名号为：04016参赛队员(打印并签名) ：1.郭舒鹏2.韩合坤3.陈绪高日期：2012年04月27日评阅记录A题列车的用餐销售效益问题目录： (1)1. 摘要 (2)2. 问题重述 (3)3. 问题假设 (3)4. 问题假设 (3)5. 符号说明 (4)6. 模型建立与求解 (5)7. 模型优缺点与改进 (12)8. 模型推广 (14)9. 参考文献 (14)㈠．摘要铁路旅客餐饮服务是现代铁路客运工作的重要组成部分，是吸引客流的有效手段和塑造铁路良好形象的主要窗口。

如何确定火车上餐饮价格，使列车在用餐销售上效益最大，是一个最优化问题。

首先要考虑到售出相同的食物，单位价格越高，销售效益越大；但是，单价越高，购买食物的人相应会减少，此消彼长，最终会有一个最大值。

我们就是要确定售价与购买人数"相应"的关系。

为确定这个"相应关系"，即建立销售价格与销售量的关系。

对于本题目我们需要引入微观经济学的理念由于提高价格会降低购买意欲，我们将运用运筹学知识,通过定量分析,拟采用线性规划单纯形表法, 建立实现目标利润最大化和目标成本最小化的数学模型,以实现利润最大化。

根据火车上各种资源的限制,利用线性规划方法建立生产计划的数学模型,就利润最大和成本最小问题, 采用单纯形法及单纯形表的格式,应用求三元函数的极值方法,按照相应的数学程序进行相关的逻辑运算, 以期找到最大目标利润和最小目标成本，并给出相应的销售最优方案，最终求出列车在用餐销售上效益最大为1887.81元；春运期间列车在用餐销售上效益最大为3446.70元。

关键词：运筹学，线性规划，最优方案，最大收益㈡.问题重述长途列车由于时间漫长，需要提供车上的一些服务，尤其是提供三餐。

由于火车上各方面的成本高，因此车上食物的价格也略高。

以K237次太原到广州的长途列车为例，每天早餐为一碗粥、一个鸡蛋及些许咸菜，价格15元；中午及晚上为盒饭，价格一律20元。

由于价格偏贵，乘客一般会自带食品如方便面、面包等。

列车上也卖方便面及面包等食品，但价格也偏贵。

如一般售价5元的方便面卖10元。

当然，由于列车容量有限，因此提供的用餐量及食品是有限的，适当提高价格是正常的。

但高出的价格应有一个限制，不能高得过头。

假如车上有乘客1500人，其中750人有在车上买饭的要求，但车上盒饭每餐只能供给300人；另外，车上还可提供每餐200人的方便面。

在上面原则的基础上解决以下两个问题：（1）根据实际情况设计一个价格方案，使列车在用餐销售上效益最大。

（2）在设计的价格方案基础上，进一步分析春运期间三餐价格的制定方案，使得列车的用餐销售效益最大化。

㈢.问题分析上面两个问题是最优化问题，首先应该考虑食物价格和食物的销售量。

根据需求规律：在假设其他因素既定的条件下，盒饭与方便面的需求量（乘客的购买量）与价格之间存在着反向的依存关系，即，商品的价格上升，需求量减少；商品的价格下降，需求量增加。

收益函数=价格×需求量，是非单调函数，这样把离散函数近似看成连续函数利用求导法则可求出最大值最优化价格方案问题可以归结为最优化数学模型的建立于求解问题。

在列车的特定条件下，其需求量、供给量及价格将直接决定销售的最大利益。

由于列车容量有限，所提供的用餐量和食品是有限的。

要达到销售利润最大，最好能达到供求均衡，才能保证成本与亏损最小，同时保证销售额最大。

㈣.问题假设①、假设进货渠道货源充足，没有价格变动的情况；②、假设食品质量良好，对销售情况不产生影响；③、假设列车售票情况良好，客源充足；④、假设一份早餐的成本价为5元，一份盒饭的成本价为10元，方便面的成本为5元；而且随着食品价格的变化，乘客可以自由选择自己想吃的东西；⑤、饭菜质与量不变且不影响人们购买欲；⑥、每餐后早饭、盒饭、方便面卖不完的按成本价出售完；⑦、乘务员服务态度不影响乘客购买欲，饭菜分量相同，且一份饭成年人吃后不必再买泡面吃，吃泡面一样，不再买盒饭；⑧、乘客个人是否购买不受其他人的影响；⑨、考虑到春运期间人流量要比平常大很多，所以火车上食品的需求量大于供给量，所以火车上所供给的200袋方便面，100份早餐，300份盒饭都可以卖完；⑩、春运期间早餐，盒饭，方便面在火车上有的前提下，乘客在任何时段都可以买到；㈤.符号说明x：一份盒饭的成本价；x：一份盒饭的销售价；n：一份盒饭售价为x时的销售量；xN：盒饭的进货量；xy：一包方便面的成本价；y：一包方便面的销售价；n：一包方便面售价为y时的销售量；yN：方便面的进货量；yz：一份早餐的成本价；z : 一份早餐的销售价；n : 一份早餐售价为z时的销售量ZN : 早餐的库存量；ZM：销售总收入；N：进货总成本；Q：总利润㈥.模型建立与求解1）制定价格方案，使列车在用餐销售上效益最大。

在火车上，食品的销售量随食品的价格的变化而变化。

根据实际调查统计显示，它们之间的关系是]1[线性的（见表一，二，三）。

可用函数11b x a n x +=、22b x a n y +=和33b a n z+=表示，其中321321b b b a a a 、、、、、均为常数。

此时，总收入可表示为z n y n x n M z y x ++=，总成本可表示为000z N y N x N N z y x ++=。

则总利润为:)()(000z N y N x N z n y n x n N M Q z y x z y x ++-++=-=对收集到的数据用]2[Matlab进行拟合，得到函数关系和图像（见图㈠，㈡，㈢）。

即0123.4972134.21+-=x n x ，4612.3167812.27+-=y n y ，0113.1311201.7z +-=z n 。

若要利润最大，则最好达到]3[供求平衡状态，即x x N n =，y y N n =，z N n =z ，此时总利润的表达式为：))(())(())((033022011z z b z a y y b y a x x b x a Q -++-++-+=。

要求Q 的最大值，先对x 求偏导，再，对y 求偏导最后对z 求偏导，然后取最大值。

)(20111x a b x a Q x -+=,令0=x Q ，得到11012a b x a x -=时，出售盒饭的利润最大。

)(20222y a b y a Q y -+=,令0=y Q ，得到22022a b y a y -=时，出售方便面的利润最大。

)(20333z z a b z a Q -+=,令0=x Q ，得到33032a b z a z -=时，出售盒饭的利润最大通过]4[实际调查得到，一份盒饭的成本价为10元，一包方便面的成本价为5元，一份早餐的成本价为5元。

带入上式，得到：7146.16=x ，1956.8=y ，7001.11z =，此时销售量分别为143=x n ，89=y n ，96z =n 。

总利润Q 取最大值为1887.81元。

从以上模型看出，在供求平衡的条件下，在一餐的进货量分别为盒饭143份，方便面89包，早餐份数为96时，总利润最大为1887.81元，此时指定的价格方案为：盒饭一份16.7元，方便面一包8.2元，早餐一份11.7元。

实际调查得到的表格盒饭的销售量随售价的变化(表一)方便面的销售量随售价的变化(表二)早餐的销售量随售价的变化(表三)表格的图像Matlab 拟合程序及图像： 1、表一的拟合程序及图像X= [10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20]Y= [287 265 249 220 201 179 156 138 117 98 75] Plot ( X ,Y,'-xo')图㈠2、表二的拟合程序及图像：X= [5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5]Y= [182 168 155 137 122 108 94 82 70 57] Plot ( X ,Y,'-y o')图㈡3、表三的拟合程序及图像：X= [5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15]Y= [96 89 80 75 67 60 54 45 39 33 25]Plot (X , Y,'-z o')图㈢2）在上述价格方案基础上，进一步分析春运期间三餐价格的制定方案，使得列车的用餐销售效益最大化春运期间方便面，早餐，盒饭的相关价格数据如表四、五、六； 对收集到的数据用]2[Matlab进行拟合，得到函数关系和图像（见图（四）、㈤、㈥）。

即5332.4020150.10+-=x n x ；6823.2676667.14+-=y n y1033.1216002.4z +-=z n 。

同1）中的分析：若要利润最大，则最好达到]3[供求平衡状态，即x x N n =，y y N n =，z N n =z ，此时总利润的表达式为：))(())(())((033022011z z b z a y y b y a x x b x a Q -++-++-+=。

同理可得：要求Q 的最大值，先对x 求偏导，再，对y 求偏导最后对z 求偏导，然后取最大值。

)(20111x a b x a Q x -+=,令0=x Q ，得到11012a b x a x -=时，出售盒饭的利润最大。

)(20222y a b y a Q y -+=,令0=y Q ，得到22022a b y a y -=时，出售方便面的利润最大。

)(20333z z a b z a Q -+=,令0=x Q ，得到33032a b z a z -=时，出售早餐的利润最大。

通过]5[实际调查得到，一份盒饭的成本价为10元，一包方便面的成本价为5元，一份早餐的成本价为5元。

带入上式，得到：1096.25=x ，6255.11=y ，6628.15z =，此时销售量分别为151=x n ，97=y n ，49z =n ；则：春运期间总利润Q 取最大值为3446.70元。