标准差和标准误的区别与联系
在日常的统计分析中，标准差和标准误是一对十分重要的统计量，两者有区别也有联系。但是很多人却没有弄清其中的差异，经常性地进行一些错误的使用。对于标准差与标
准误的区别，很多书上这样表达：标准差表示数据的离散程度，标准误表示抽样误差的大小。这样的解释可能对于许多人来说等于没有解释。其实这两者的区别可以采用数据分
布表达方式描述如下：如果样本服从均值为μ，标准差为δ的正态分布，即X～Nμ,
δ2,那么样本均值服从均值为0，标准差为δ2/n的正态分布，即?～Nμ,δ2/n。这里
δ为标准差，δ/n1/2为标准误。明白了吧，用统计学的方法解释起来就是这么简单。
可是，实际使用中总体参数往往未知，多数情况下用样本统计量来表示。那么，关于
这两者的区别可以这样表述：标准差是样本数据方差的平方根，它衡量的是样本数据的离
散程度;标准误是样本均值的标准差，衡量的是样本均值的离散程度。而在实际的抽样中，习惯用样本均值来推断总体均值，那么样本均值的离散程度标准误越大，抽样误差就越大。所以用标准误来衡量抽样误差的大小。
在此举一个例子。比如，某学校共有500名学生，现在要通过抽取样本量为30的一
个样本，来推断学生的数学成绩。这时可以依据抽取的样本信息，计算出样本的均值与标
准差。如果我们抽取的不是一个样本，而是10个样本，每个样本30人，那么每个样本都
可以计算出均值，这样就会有10个均值。也就是形成了一个10个数字的数列，然后计算
这10个数字的标准差，此时的标准差就是标准误。但是，在实际抽样中我们不可能抽取
10个样本。所以，标准误就由样本标准差除以样本量来表示。当然，这样的结论也不是随心所欲，而是经过了统计学家的严密证明的。
在实际的应用中，标准差主要有两点作用，一是用来对样本进行标准化处理，即样本
观察值减去样本均值，然后除以标准差，这样就变成了标准正态分布;而是通过标准差来
确定异常值，常用的方法就是样本均值加减n倍的标准差。标准误的作用主要是用来做区
间估计，常用的估计区间是均值加减n倍的标准误。
标准偏差反映的是个体观察值的变异，标准误反映的是样本均数之间的变异即样本均
数的标准差，是描述均数抽样分布的离散程度及衡量均数抽样误差大小的尺度，标准误不
是标准差，是样本平均数的标准差。标准误用来衡量抽样误差。标准误越小，表明样本
统计量与总体参数的值越接近，样本对总体越有代表性，用样本统计量推断总体参数的可
靠度越大。因此，标准误是统计推断可靠性的指标。
在相同测量条件下进行的测量称为等精度测量，例如在同样的条件下，用同一个游标
卡尺测量铜棒的直径若干次，这就是等精度测量。对于等精度测量来说，还有一种更好的
表示误差的方法，就是标准误差。
标准误差定义为各测量值误差的平方和的平均值的平方根，故又称为均方误差。
设n个测量值的误差为ε1、ε2……εn，则这组测量值的标准误差ζ等于：
此处为一公式，显示不出来，你看下文字就可以知道这个公式是什么样的。
由于被测量的真值是未知数，各测量值的误差也都不知道，因此不能按上式求得标准
误差。测量时能够得到的是算术平均值，它最接近真值N，而且也容易算出测量值和算术
平均值之差，称为残差记为v。理论分析表明①可以用残差v表示有限次n次观测中的某
一次测量结果的标准误差ζ，其计算公式为
此处为一公式，显示不出来，你看下文字就可以知道这个公式是什么样的。
对于一组等精度测量n次测量数据的算术平均值，其误差应该更小些。理论分析表明，它的算术平均值的标准误差。有的书中或计算器上用符号s表示与一次测量值的标准误差
ζ之间的关系是
此处为一公式，显示不出来，你看下文字就可以知道这个公式是什么样的。
需要注意的是，标准误差不是测量值的实际误差，也不是误差范围，它只是对一组测
量数据可靠性的估计。标准误差小，测量的可靠性大一些，反之，测量就不大可靠。进一
步的分析表明，根据偶然误差的高斯理论，当一组测量值的标准误差为ζ时，则其中的
任何一个测量值的误差εi有68.3%的可能性是在-ζ，+ζ区间内。
世界上多数国家的物理实验和正式的科学实验报告都是用标准误差评价数据的，现在
稍好一些的计算器都有计算标准误差的功能，因此，了解标准误差是必要的。
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