当前位置：文档之家 › 多元函数介值定理的推广

多元函数介值定理的推广

  • 格式：pdf
  • 大小：185.74 KB
  • 文档页数：3
ｇ ｅ ｎ ｅ ｒ ａ ｌ ｉ ｚ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｎ ｌ ｙ ｗ ｉ ｔ ｈ ｔ ｈ ｅ ｆ ｉ ｒ ｓ ｔ ｃ ｌ ａ ｓ ｓ ｂ ｒ ｅ ａ ｋ ｐ ｏ ｉ ｎ ｔ ｔ ｏ ｔ ｈ ｅ ｇ ｅ ｎ ｅ ｒ ａ ｌ ｉ ｚ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｉ ｎ ｔ ｅ ｇ ｒ ａ ｌ ｍｅ ａ ｎ ｖ ａ ｌ ｕ ｅ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｅ ｍ， ａ ｎ ｄ
（ ｒ － ０ ） ≤ ≤ ｒ ＋ ０ ）
ａ ＋ ０ ） ｂ 一 ０ ） ） ， 存在 ｒ （ ６ ） ， 使 得＿ 厂
以下 出现 的 ｍ 和 的定 义 如 上， 不再 一 一 说 明 。
Ｇｅ ｎ ｅ ｒ ａ ｌ ｉ ｚ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ Ｍｕ ｌ ｔ ｉ ｖ ａ ｒ ｉ ａ ｔ ｅ Ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｉ ｎ ｔ ｅ ｒ ｍｅ ｄ ｉ ａ ｔ ｅ Ｖａ ｌ ｕ ｅ Ｔｈ ｅ ｏ ｒ ｅ ｍ ／ ／ Ｋａ ｎ ｇ Ｗａ ｎ ｇ ｑ ｉ ａ ｎ ｇ Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ Ｔ ｈ ｅ ｉ ｎ ｔ ｅ ｒ ｍｅ ｄ ｉ ａ ｔ ｅ ｖ ａ ｌ ｕ ｅ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｅ ｍ ｉ ｓ ａ ｎ ｉ ｍｐ ｏ ｒ ｔ ａ ｎ ｔ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｅ ｍ ｉ ｎ ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｌ ａ ａ ｎ ａ ｌ ｙ ｓ ｉ ｓ ａ ｎ ｄ ｉ ｓ ｉ ｍｐ ｏ ｒ ｔ ａ ｎ ｔ ｆ ｏ ｒ ｐ ｒ ｏ ｂ ｌ ｅ ｍｓ
文 给出 了推广 的连续 函数介值 定理， 即函数． ） 在 ６ １ 上 只含有第一类 间断点 的介值定理， 如下 ：
ｇ ｅ ｎ ｅ ｒ ａ ｌ ｉ ｚ ｅ ｄ ｔ ｈ ｅ ｒ ｅ ｓ ｕ ｌ ｔ ｓ ｏ ｆ ａ ｔ ｒ ｉ ｃ ｌ ｅ ．
Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ ｉ ｎ ｔ ｅ ｍ ｅ ｒ ｄ ｉ ａ ｔ ｅ ｖ ａ ｌ ｕ ｅ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｅ ｍ； ｉ ｎ ｔ ｅ ｒａ ｇ ｌ ｍｅ ａ ｎ ｖ ａ ｌ ｕ ｅ ｔ ｈ ｅ －
为 了证 明本文的结论需要用到以下基本定义和 引理 ：
１ 引言
介值定理是闭区间上连续 函数 的重要性质之一， 在研究 函数方 程根 的存在性 、不 动点 和积分中值定理等问题方面
应用广泛 。连续 函数的介值定理如下：
引理嗍 ： 若 ） 在 ６ ］ 上只含有第 一类间断点 且 ｏ ＋ ０ ） ｂ 一 ０ ） ， 则 任给
间断点， 若 ａ ＋ ０ ） ｂ 一 ０ ） ＜ ０ ， 则存在 ｒ ∈ （ 。 ， ｂ ） ， 使得 ０ ［ 厂 Ｉ 卜
０ ） ｒ ＋ ０ ） ］ 。
ｖ ａ ｌ ｕ ｅ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｅ ｍ’ Ｓ ｓ ｐ ｒ ｅ ａ ｄ ｉ ｎ ｍｕ ｌ ｔ ｉ ｖ ａ ｒ ｉ ａ ｔ ｅ ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ， ａ ｎ ｄ ａ ｐ ｐ ｌ ｉ ｅ ｄ ｔ ｈ ｅ
介 值 定 理 是 数 学分 析 的 一个 重 要 定 理 ，对 研 究 函
２ 基本 定义 和 需要 的引理 、 定 理
设 ） 为闭区间ｋ６ 】 上只有第一类 间断 点的函数， 本文记
．
数 方 程根 的存 在 性 、不 动点 和 积 分 中值定 理 等 问题 起 到 重 要作 用 。在 多元 函数 中推 广 介 值 定 理 ， 并 且 将 只 有 第 一类 间 断 点 的 函 数 的介 值 定 理 推 广 运 用 到 积 分 中值 定 理 中 ，推 广
ｏ ｒ ｅ ｍ； ｉ ｍｐｒ ｏ ｐ ｅ ｒ ｉ ｎｔ ｅ ｒａ ｇ ｌ
引理［ ４ １ 设函数＿ 厂 任意的／ ｘ ∈（ ｍ， ） ， 存在 ｒ ∈（ ａ ， ｂ ） ， ０ ， １ 】 ， 使得
＝ ｒ ＿ ０ ） ＋ （ １ ＋ ０ ） ｒ ＋ Ｏ ）
引理 ： 设函数ｌ 厂 （ ） 在 ｈ ｉ ￣只有第一类间断点， 若 ｎ ＋
０ ） ｂ 一 ０ ） ＜ ０ ， 则存在 ｒ （ ａ ， ｂ ） ， 使得
叶０ ） 卜０ ） ＞０ ／ ｂ 一 ０ ） ｒ ＋ ０ ） ＞０ ／
ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｅ ｘ ｉ ｓ ｔ ｅ ｎ ｃ ｅ ｏ ｆ ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｒ ｏ ｏ ｔ ， ｉ ｆ ｘ ｅ ｄ ｐ ｏ ｉ ｎ ｔ ａ ｎ ｄ ｔ ｈ ｅ
ｉ ｎ ｔ ｅ ｇ ｒ ａ ｌ ｍｅ ａ ｎ ｖ ａ ｌ ｕ ｅ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｅ ｍ． Ｔ ｈ ｉ ｓ ｐ ａ ｐ ｅ ｒ ｅ ｓ ｔ ａ ｂ ｌ ｉ ｓ ｈ ｅ ｄ ｉ ｎ ｔ ｅ ｒ ｍｅ ｄ ｉ ａ ｔ ｅ
由上述 引理容易得到 ： 设函数 ） 在 ６ 】 上只有第一类
教 改教 法
多元函数介值定理的推广
康 旺 强
（ 广西师范大学漓江学院经济政法 系 广西・ 桂林
中图分 类号 ： Ｇ ６ ４ ２
摘 要
５ ４ １ ０ ０ ６ ）
文献标识码 ： Ａ
文章编号 ： １ ６ ７ ２ — ７ ８ ９ ４ （ ２ ０ １ ４） １ ２ — ０ ０ ４ ２ — ０ ３
了文 ］ 的结 论 。
ｍ ｍ ｍ １
ｆ
ｆ
、 ｘ Ｅ Ｌ ｈ Ｊ
± ０ ） ， ａ ＋ Ｏ ） ， ｂ － Ｏ ） ｆ ，
］
１
关键词
介 值 定 理 积分 中值 定 理
广 义积 分
Ｍ ＝ ｍ ａ ｘ ｛ ｓ ｕ ｐ ， 、 灶 ０ ） ， ｎ ＋ ０ ） ， ｂ － ０ ） ｆ ，

合集下载

介值定理的一种推广

介值定理的一种推广


之 ； 否则必有厂 （ ｃ 。 一 ０ ）＜０ 或 ｃ 。 ＋ ０ ）＞０ ， 则 当厂 （ ｃ 。 一 ０ ）＜０ 但 ｃ ｏ ＋ ０ ）≤０ 时记 ［ 口 。 ， ｂ 。 ］＝［ 口 ，
ｃ ｏ ］ ， 当 ｃ ｏ 一０ ）≥０ 但 ｃ ０ ＋ ０ ）＞０时记 ［ 口 １ ， ｂ 。 ］＝［ ｃ ｏ ， ｂ ］ ， 而当， （ ｃ ０ —０ ）＜０ 且厂 （ Ｃ ｏ ＋０ ）＞０时 在［ 口 ， ｃ 。 ］与［ ｃ 。 ， ｂ ］ 中任取一个记为［ ０ ， ， ｂ ］ ． 于是有
Ｖｏ １ ． １ ６ Ｎｏ ． ３
Ｓ ｅ ｐ． ２ ０１ ７
介值 定理的一种推广
胡茂林
（ 淮 阴师范学 院 数学 科学 学院 ， 江 苏 淮安 ２ ２ ３ ３ ０ ０ ）
摘 要 ： 利用 区间套定理将闭区间上连续 函数的介值定理推广 到 了更加一般 的情况 ， 给 出了 闭区间上仅有第一类间断点的函数的介值定理． 推广后 的介值定理包含 了原定理的情况 ， 在 原定 理 的条件 下仍 是原定 理 的结论 ．
把微分中值定理推广到了开区间内存在不可导点的情形． 郑权ｌ ６ 把有关积分中值定理 中间点的渐近性
的结果 ， 推广到了更加一般的情形． 赵益坤等 人更是讨论 了曲线积分 中值定理中间点的渐近性． 而关 于介值定理的推广变形研究则较为鲜见． 鉴于介值定理本身在微积分学中的重要地位及在证 明积分中 值定理时的重要作用 ， 有必要考虑这一定理的更加一般的形式． 因此 ， 本文试 图把闭区间上连续 函数的 介值定理推广到闭区间上仅有第一类 间断点的函数的情形．
通讯作者 ： 胡茂林 （ １ ９ ６ ３ 一 ） ， 男， 宁夏固原人 ， 教授 ， 研究方 向为组合优化．Ｅ － ｍ ａ ｉ ｌ ： ｈ ｕ ｍ ａ ｏ ｌ ｉ ｎ ２ ０ ０ ０ ＠１ ６ ３ ． ｃ ｏ ｎ ｒ
多元函数

多元函数

多元函数
性质3（介值定理） 在有界闭区域Ｄ上的连续函数，
一定能够取得介于最大值和最小值
之间的任何数值． 4. 二元初等连续函数定义 由变量 x, y 的基本初等函数及常数 经过有限次四则运算或复合步骤而构
多元函数
成的，且用一数学式子表示的函数 称为二元初等函数.
说明：
二元初等函数在其定义区域(是指
多元函数
u x
lim
f ( x x, y, z ) f ( x, y, z ) x
u u , . y z
x 0
同样地，可以定义偏导数
多元函数
二、偏导数的计算 求多元函数的偏导数就相当于求一元 函数导数.一元函数的求导法则和求导公 式对求多元函数的偏导数仍然适用.
如:
多元函数
说明：
二元函数的定义域的求法与一元 函数的定义域的求法类似，只不过
二元函数的定义域一般为一平面区
域 求函数的定义域，就是求出使函 数有定义的所有自变量的取值范围.
多元函数
例1
的定义域 y 解： 要使函数有意义，须且
2 2
求出二元函数 z 1 x y
x y 1
2 2
D o
邻域内有定义，在点 P0 处的增量为 z 若
x 0 y 0
lim z 0
则称函数 f ( x, y) 在点 P0 ( x0 , y0 )处连续.
多元函数
3. 有界闭区域上二元连续函数的性质 性质１（有界性定理）
在有界闭区域Ｄ上的连续函数 一定有界． 性质2（最大值和最小值定理） 在有界闭区域Ｄ上的连续函数一 定能够取得最大值和最小值．
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) x
第1节多元函数的概念(二)

第1节多元函数的概念(二)

lim 多元函数的连续定义 p p f ( P ) f ( P0 )
0
由于这种形式上的统一，使得多元函数的一些主 要概念、性质与二元函数类似. 因此，对于多元函数 微积分的研究主要以二元函数为主,多元函数微积分 可以由二元函数微积分类似推广.
小 结
一.多元函数的连续性
x x 0 , y y0
2.二元函数z=f (x, y)在区域D上的连续性 如果二元函数z=f (x, y)在平面区域D内 每一点都连续， 则函数z=f (x, y)在区域D内 连续，并称z=f (x, y)为区域D上的连续函数. 二元连续函数的图形 是空间中的一个不断开 (无孔无缝)的连续曲面。
四.多元函数的连续性
z
z f ( x, y )
x 0 y 0
lim
f ( x, y ) f ( x0 , y0 )
lim z 0
二.闭区域上连续函数的性质
作业:P302 5(1)
四.多元函数的连续性
思考题1
设为空间任一有界闭区域，P为外 一点。问上是否一定有到P点最远和 最近的点存在？为什么？
四.多元函数的连续性
思考题1解答 有. 设P点的坐标为 ( x0 , y0 , z0 )，Q( x , y , z )为上 任意一点 , 则两点间距离为
PQ ( x x 0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z 0 ) 2
它 上 连 函 ， 是 的 续 数 由闭区域上连续函 数的性质可知，一定有最大值和最小值存在
在(0,0)的连续性． 解 取 y kx
xy k kx 2 lim 2 2 lim 2 2 2 2 x 0 x y x 0 x k x 1 k y0
y kx
8.2 多元函数的极限与连续

8.2 多元函数的极限与连续

y→2 y→2
13
8.2
多元函数的极限与连续
x2 x+ y
3− x + y +9 （3） lim x→0 x2 + y2
2 2 y→0
1 （4） lim(1 + ) x →∞ x y →a
1 =− . 解： 3）原式 = lim 2 （ x→0 2 2 2 6 ( x + y )(3 + x + y + 9) y→0
9
8.2
多元函数的极限与连续
若在开区域（或闭区域） D 内某些孤立点，或者沿 D 内 若在开区域（或闭区域） 内某些孤立点， 某些曲线，函数没有定义，但在 D 内其余部分， f ( x , y ) 都 某些曲线，函数没有定义， 内其余部分， 部分 有定义， 有定义，则这些孤立点或这些曲线上的点都是函数 f ( x , y ) 的间断点。 的间断点。
证
y = kx 3 , 取
x3 y x 3 ⋅ kx 3 k lim 6 = lim 6 , = 2 x →0 x + y 2 x →0 x + k 2 x 6 1+ k y→ 0 y = kx 3
的不同而变化， 其值随 k 的不同而变化， 故极限不存在． 故极限不存在．
关于二元函数的极限概念， 关于二元函数的极限概念，可相应地推广到 n 元函数
2．函数 f ( x, y) 在区域 D 上的连续性
如果函数 上任意一点都连续， 如果函数 z = f ( x , y ) 在区域 D 上任意一点都连续，则称
f ( x , y ) 在区域 D 上连续。 上连续。
二元连续函数的图形是一个没有任何孔隙和裂缝的曲面。 二元连续函数的图形是一个没有任何孔隙和裂缝的曲面。 连续函数的图形是一个没有任何孔隙和裂缝的曲面