2019版一轮优化探究理数(苏教版)练习：选修4-5第三节柯西不等式与排序不等式

．求不等式－＋＋<的解集．解析：由题意＝时，－＝，＝－时，＋＝(以下分类讨论)．所以①当<－时，原不等式等价于(\\(<－()，,－＋－－<.))得－<<－.②当－≤≤时，原不等式等价于(\\(－()≤≤，,－＋＋＋<.))得－≤<.③当>时，原不等式等价于(\\(>，－＋＋<.))得无解．由①②③得原不等式的解集为{－<<}．．设函数()＝＋－－.()解不等式()>；()求函数＝()的最小值．解析：()令＝＋－－，则＝(\\(－－，≤－()，－，－()<<，＋，≥.))作出函数＝＋－－的图象，它与直线＝的交点为(－)和(，)．所以＋－－>的解集为(－∞，－)∪(，＋∞)．()由函数＝＋－－的图象可知，当＝－时，＝＋－－取得最小值－.．已知一次函数()＝－.()当＝时，解不等式()<；()解关于的不等式()<；()若不等式()≤对任意∈[]恒成立，求实数的取值范围．解析：()当＝时，则()＝－，∴()<⇔－<⇔－<－<⇔－<<⇔－<<.∴不等式的解集为{－<<}．()()<⇔－<⇔－<－<⇔－<<.当>时，不等式的解集为{－<<}；当<时，不等式的解集为{<<－}．()()≤⇔－≤⇔－≤－≤⇔－≤≤⇔(\\(≤，≥－.))又∈[]，∴－≤≤，且≠.．已知关于的不等式－＋－<.()当＝时，解上述不等式；()如果关于的不等式－＋－<的解集为空集，求实数的取值范围．解析：()∵＝，∴－＋－<，当<时，原不等式化为－<，解得>，∴<<；当≤≤时，原不等式化为<，∴≤≤；当>时，原不等式化为－<，解得<，∴<<.综上可知，原不等式的解集为{<<}．()作出＝－＋－与＝的图象，若使不等式－＋－<的解集为空集，则必有＝－＋－的图象在＝的图象的上方，或＝与＝重合，∴≤.∴的取值范围为(－∞，]．。

排序不等式一、单选题1．若圆x2+y2=4上每个点的横坐标不变．纵坐标缩短为原的，则所得曲线的方程是（）A. B. C. D.2．如图，111213212223313233a a aa a aa a a⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭三行三列的方阵中有9个数(1,2,3;1,2,3)ija i j==，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（）A．37B．47C．114D．13143．已知a,b,c是正实数,且a+b+c=1,则111a b c++的最小值为( )(A)3 (B) 6 (C) 9 (D) 12 4．已知a bad bcc d=-,则46121420042006810161820082010+++=( )A．－2008 B．2008 C．2010 D．－20105．我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方将1，2，…，9填入3×3的方格内，使三行、三列、二对角线的三个数之和都等于15，如图1所示，一般地，将连续的正整数1，2，3，…n2填入n×n个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n阶幻方，记n阶幻方的对角线上数的和为N，如图1的幻方记为N3=15，那么N12的值为（）A．869 B．870 C．871 D．875二、填空题6．已知二阶矩阵11aMb⎡⎤=⎢⎥⎣⎦属于特征值5λ=的一个特征向量为11e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则a b+=__________．7．圆C x2+y2=1经过伸缩变换（其中a，b∈R，0＜a＜2，0＜b＜2，a、b的取值都是随机的．）得到曲线C′，则在已知曲线C′是焦点在x 轴上的椭圆的情形下，C′的离心率的概率等于 ．8．定义行列式运算12121221a a b b a b a b =-，将函数sin 2cos 2()x xf x 的图象向左平移t （t>0）个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则t 的最小值为______． 9．若以⎪⎪⎭⎫⎝⎛1431a a 为增广矩阵的线性方程组有唯一一组解，则实数a 的取值范围为 ．10．函数x x x x x x x f sin cos sin 2)cos(cos sin )(--+=π的最小正周期=T三、解答题11．已知线性变换τ ⎩⎨⎧+='+='y x y y x x 22,3对应的矩阵为T ，向量β⎪⎪⎭⎫⎝⎛=65． （Ⅰ）求矩阵T 的逆矩阵1-T；（Ⅱ）若向量α在τ作用下变为向量β，求向量α． 12．已知矩阵A=2110⎛⎫⎪⎝⎭,求直线x+2y=1在A 2对应变换作用下得到的曲线方程. 13．[选修4-5 不等式选讲]（本小题满分10分）设均为正数,且,求证.参考答案1．C 【解析】试题分析 在曲线C 上任取一个动点P （x ，y ），根据图象的变换可知点（x ，3y ）在圆x 2+y 2=4上．代入圆方程即可求得x 和y 的关系式，即曲线的方程． 解 在曲线C 上任取一个动点P （x ，y ），根据图象的变换可知点（x ，3y ）在圆x 2+y 2=4上， ∴x 2+9y 2=4，即则所得曲线为 ．故选C ．点评 本题主要考查变换法求解曲线的方程，理解变换前后坐标的变化是关键考查了学生分析问题的能力及数学化归思想． 2．D 【解析】 3．C【解析】本题考查均值不等式等知识。

1．求点(1，π2)关于ρcos θ＝12对称的点的极坐标．解析：化点的极坐标(1，π2)为平面直角坐标(0,1)，化ρcos θ＝12为直角坐标方程得x ＝12，所以(0,1)关于直线x ＝12对称的点为(1,1)．由⎩⎨⎧1＝ρcos θ，1＝ρsin θ.可得θ＝π4，ρ＝12＋12＝ 2. 所求对称点的极坐标为(2，π4)．2．求以点A (2,0)为圆心，且过点B (23，π6)的圆的极坐标方程．解析：由已知圆的半径为AB ＝ 22＋(23)2－2×2×23cos π6＝2， 又圆的圆心坐标为A (2,0)，所以圆的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4.由⎩⎨⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，得圆的极坐标方程是ρ＝4cos θ. 3．已知⊙C ：ρ＝cos θ＋sin θ，直线l ：ρ＝22cos (θ＋π4).求⊙C 上点到直线l 距离的最小值．解析：⊙C 的直角坐标方程是x 2＋y 2－x －y ＝0， 即(x －12)2＋(y －12)2＝12.又直线l 的极坐标方程为ρ(cos θ－sin θ)＝4，所以直线l 的直角坐标方程为x －y －4＝0. 圆心到直线l 的距离为22，则⊙C 上的点到直线l 距离的最小值为22－22＝32 2.4．已知两点A，B的极坐标分别为(4，π2)，(4，π6)．(1)求A，B两点间的距离；(2)求直线AB的极坐标方程．解析：(1)∠AOB＝π2－π6＝π3，△OAB为正三角形，故AB＝4. (2)设O在直线AB上的射影为H，则H的坐标为(23，π3)．设P(ρ，θ)为直线AB上任一点，则由△OPH为直角三角形得ρcos(θ－π3)＝23即为所求的直线AB的极坐标方程．。

课时作业A 组——基础对点练1．(2018·成都市模拟)已知f (x )＝|x －a |，a ∈R.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )＋|2x －5|≥6的解集；(2)若函数g (x )＝f (x )－|x －3|的值域为A ，且[－1,2]⊆A ，求a 的取值范围．解析：(1)当a ＝1时，不等式即为|x －1|＋|2x －5|≥6.当x ≤1时，不等式可化为－(x －1)－(2x －5)≥6，∴x ≤0；当1＜x ＜52时，不等式可化为(x －1)－(2x －5)≥6，无解；当x ≥52时，不等式可化为(x －1)＋(2x －5)≥6，∴x ≥4.综上所述：原不等式的解集为{x |x ≤0或x ≥4}．(2)∵||x －a |－|x －3||≤|x －a －(x －3)|＝|a －3|，∴f (x )－|x －3|＝|x －a |－|x －3|∈[－|a －3|，|a －3|]．∴函数g (x )的值域A ＝[－|a －3|，|a －3|]．∵[－1,2] ⊆A ，∴⎩⎨⎧－|a －3|≤－1，|a －3|≥2.解得a ≤1或a ≥5.∴a 的取值范围是(－∞，1]∪[5，＋∞)．2．(2018·长沙市模拟)已知函数f (x )＝14(x ＋1)2.(1)证明：f (x )＋|f (x )－2|≥2；(2)当x ≠－1时，求y ＝14f (x )＋[f (x )]2的最小值． 解析：(1)证明：∵f (x )＝14(x ＋1)2≥0，∴f (x )＋|f (x )－2|＝|f (x )|＋|2－f (x )|≥|f (x )＋[2－f (x )]|＝|2|＝2.(2)当x ≠－1时，f (x )＝14(x ＋1)2＞0，∴y ＝14f (x )＋[f (x )]2＝18f (x )＋18f (x )＋[f (x )]2≥3·318f (x )·18f (x )·[f (x )]2＝34， 当且仅当18f (x )＝18f (x )＝[f (x )]2时取等号，即x ＝－1±2时取等号． ∴y ＝14f (x )＋[f (x )]2的最小值为34. B 组——能力提升练1．(2018·温州摸拟)已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R)，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}．(1)求a 的值；(2)若⎪⎪⎪⎪⎪⎪f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2≤k 恒成立，求k 的取值范围． 解析：(1)由|ax ＋1|≤3得－4≤ax ≤2.又f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，所以当a ≤0时，不合题意．当a >0时，有－4a ≤x ≤2a ，得a ＝2.(2)记h (x )＝f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，则 h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x ≤－1，－4x －3，－1<x <－12，－1，x ≥－12，所以|h (x )|≤1，因此k ≥1. 2．(1)已知函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －a |(a ＞0)，若不等式f (x )≥5的解集为{x |x ≤－2或x ≥3}，求a 的值；(2)已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝m ，求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥92m. 解析：(1)因为a ＞0，所以f (x )＝|x ＋1|＋|x －a |＝⎩⎨⎧ －2x ＋a －1，x <－1，a ＋1，－1≤x <a ，2x －a ＋1，x ≥a .又不等式f (x )≥5的解集为{x |x ≤－2或x ≥3}，解得a ＝2.(2)证明：1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ＝(1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a )(a ＋b ＋b ＋c ＋c ＋a )2m＝1＋b ＋c a ＋b ＋c ＋a a ＋b ＋1＋a ＋b b ＋c ＋c ＋a b ＋c ＋1＋a ＋b c ＋a ＋b ＋c c ＋a 2m＝3＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b b ＋c ＋c ＋a b ＋c ＋b ＋c c ＋a ＋a ＋b c ＋a ＋c ＋a a ＋b 2m≥92m (当且仅当a ＝b ＝c ＝m 3时，取等号)． BSD。