4-2正态分布的数字特征

P( X 100 1.2) 1 P( X 100 1.2) 1 P( X 100 2) 0.6
1 P(2 X 100 2) 1[ (2) (2)]
0.6 1[0.9772 (1 0.9772)] 0.0456 4.56%.
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
1
(
t) et2
2dt
2 π
e t2 2dt
t
e t 2
2dt.
2 π
2 π
因为 e t2 2dt 2 π , t et2 2dt 0 ,所以
E(X ) .
概率论与数理统计
§4.2 正态分布的数字特征
D(X ) 1
(x
)2
e(
x )2 2 2
dx
2 π
2 t 2 et2 2dt . 2 π
当 y 0 时，
FY ( y) 0 ;
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
当 y 0 时，
y
FY ( y) P( y X y)
y
1
y x2
e 2 dx
2π y
所以，Y 的分布函数为
y o
yx
FY ( y)
2
y x2
e 2 dx ,
2π 0
0,
y 0; y 0.
e
(
x )2 2 2
,
x
.
2.标准正态分布N(0 ,1)的概率密度与分布函数：
(x) Φ(x)
1
x2
e 2,
2π
x
.
1
x t2
e 2 dt.
2 π
概率论与数理统计

《概率论与数理统计》第4－7章自测题讲评第四章﹑数字特征1. 设随机变量X 的密度函数f(x)= ⎩⎨⎧5x 4 0≤x ≤10 其他 , 求数学期望EX 。

【讲评】考点：连续型随机变量数学期望的定义为EX= ∫-∞+∞xf(x)dx 。

[解]：EX= ∫-∞+∞xf(x)dx = 5∫01x 5dx = 5[x 56]01= 562.设随机变量X ～N (-1，3)，Y ～N (0，5)，Cov(X ,Y )=0.4，求D (X +Y )的值。

【讲评】考点：正态分布N(μ, σ2)的数字特征，EX=μ，DX=σ2。

和的方差公式：D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X, Y)。

[解]：D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X, Y)= 3+5+2×0.4 = 8.83. 设随机变量X 和Y 的密度函数分别为f X (x)= ⎩⎨⎧0.5， 1≤x ≤30， 其它 ，f Y (y)= ⎩⎨⎧3e -3y ， y>00， y ≤0 ，若X ，Y 相互独立，求： E(XY)【讲评】考点：均匀分布与指数分布的数学期望，X~U[a,b] ⇒ EX=a+b 2 。

X~exp(λ) ⇒ EX=1λ 。

若X 与Y 相互独立，则 E(XY)=EXEY 。

本题：注意：X~U[1,3], Y~Exp(3) ⇒ EX=1+32 =1, EY=1/3，因为X, Y 相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y)=1×(1/3) =1/34. 设 X 服从参数为 λ 的普阿松分布(λ>0)，则下列6个等式中那几个是错误的。

DX=1λ , E(X)D(X) =1 , E(X 2)=E(X)[E(X)+1] , E(X) = λ , E (X - λ)2 = 0, EX=λ2+λ【讲评】考点：普阿松分布X~P(λ)的数字特征：EX=λ, DX=λ 。

及DX = E(X-EX)2 = EX 2 – (EX)2 , EX 2 =DX+(EX)2本题：X~P(λ) ⇒ EX=λ, DX=λ, EX 2=λ+λ2 .所以E(X)D(X) =1，E(X 2)=λ2＋λ＝E(X)[E(X)+1]，E(X) = λ，但是 DX=1λ , E (X - λ)2 = 0, 这两个是错误等式。

4-2 随机变量函数的数学期望
第四章
随机变量的数字特征
一、随机变量函数的数学期望 设随机变量X 具有以下分布，试求Y 2 X的数学期望 3 1 5 Ｘ
P
0.3 0.4 0.3
解
Y P
2
0.3
6
0.4
10
0.3
E (Y ) 2 0.3 6 0.4 10 0.3 y1 p(Y y1 ) y2 p(Y y2 ) y3 p(Y y3 ) y1 p( X x1 ) y2 p( X x2 ) y3 p( X x3 ) g( x1 ) p( X x1 ) g( x2 ) p( X x2 ) g( x3 ) p( X x3 )
g ( x i ) pi
i 1 3
1
4-2 随机变量函数的数学期望
第四章
随机变量的数字特征
设X是随机变量,Y=g(X),且E(g(X))存在,则; (1)若X为离散型,P(X=xn)=pn,n=1,2,...,则E(g(X))=∑g(xn)pn (2)若X为连续型随机变量,X~f(x),则E ( g ( X )) g ( x) f ( x)dx

1 4000 E (Y ) g ( x) f ( x)dx g ( x)dx 2000 2000 1 y 1 4000 1 2 6 ( 4 x y ) dx 3 ydx ( y 7000 y 4 10 ) 2000 2000 2000 y 1000

E[ g ( X , Y )]

g ( x, y) f ( x, y)dxdy
2
4-2 随机变量函数的数学期望
第四章

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第六篇
第4章
(4)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826，
数ξ取值0,1，ξ服从参数p＝0.8的两点分布．
(2)重复十次投篮，各次相互独立，这是十次独立重 复试验，命中次数ξ～B(10,0.8)．
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解析：(1)ξ的分布列为 ξ P 0 0.2 1 0.8
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那么ξ的数学期望E(ξ)＝________，设η＝2ξ＋1，则η 的数学期望E(η)＝________. 解析：由离散型随机变量的期望公式及性质可得， E(ξ)
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量．
P(Y＝aX＋b)＝p(X＝xi)，i＝1,2，„，n， E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b. D(Y)＝D(aX＋b)＝a2D(X)． (2)随机变量X的方差是它与期望E(X)差的平方的数学
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期望，即D(X)＝E(X－E(X))2.