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2014-2015年内蒙古包头市北重三中高二上学期期末数学试卷(理科)与解析

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2014-2015学年内蒙古包头市北重三中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案，请将正确答案涂在答题卡上）1．（5分）已知命题p：x=1是方程ax2+bx+c=0的一个根，q：a+b+c=0，则命题p 是命题q的（）A．充分不必要B．必要不充分C．既不充分又不必要D．充要2．（5分）以S n表示等差数列{a n}的前n项和，若a2+a7﹣a5=6，则S7=（）A．42B．28C．21D．143．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最大值为（）A．1B．4C．5D．64．（5分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则P的值为（）A．﹣2B．2C．4D．﹣45．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n≥1），则a6=（）A．3×44B．3×44+1C．44D．44+16．（5分）双曲线my2﹣x2=1的一个顶点在抛物线y=x2的准线上，则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．2D．7．（5分）函数y=sin（πx+φ）（φ＞0）的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A，B是图象与x轴的交点，则tan∠APB=（）A．10B．8C．D．8．（5分）给出下列说法：①命题“若α=，则sin α=”的否命题是假命题；②命题p：“∃x0∈R，使＞1”，则¬p：“∀x∈R，sin x≤1”；③“φ=+2kπ（k∈Z）”是“函数y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件；④命题p：“∃x∈（0，），使sin x+cos x=”，命题q：“在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B”，那么命题￢p∧q为真命题．其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．19．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）A．B．C．D．10．（5分）过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点F做倾斜角为30°的直线，与抛物线交于A、B两点（点A在y轴左侧），则的值为（）A．3B．C．1D．11．（5分）已知正项等比数列{a n}满足S8=17S4，若存在两项a m，a n使得=4a1，则+的最小值为（）A．B．1+C．D．12．（5分）如图，在棱长为4的正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，E、F分别是AD、A′D′的中点，长为2的线段MN的一个端点M在线段EF上运动，另一个端点N 在底面A′B′C′D′上运动，则线段MN的中点P的轨迹（曲面）与二面角A﹣A′D′﹣B′所围成的几何体的体积为（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共20分，请将答案写在答题卡上．）13．（5分）如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降2米后水面宽米．14．（5分）过双曲线2x2﹣y2=2的右焦点F的直线交双曲线于A、B两点，若|AB|=4，则这样的直线有条．15．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则的取值范围是．16．（5分）已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且它们在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF2为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，双曲线的离心率的取值范围为（1，2）．则该椭圆的离心率的取值范围是．三、解答题（共6小题，共70分，要求在答题卡上写出详细的解答过程．）17．（10分）焦点分别为F1，F2的椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点M（2，1），且△MF2F1的面积为，求椭圆C的方程．18．（12分）△ABC中，A、B、C是三角形的三内角，a、b、c是三内角对应的三边，已知b2+c2﹣a2=bc．（1）求角A的大小；（2）若a=，且△ABC的面积为，求b+c的值．19．（12分）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＜0；q：实数x满足≥0，且￢p是￢q的必要不充分条件，求a的取值范围．20．（12分）（普通文科做）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，E、E1分别是棱AD，AA1的中点，F为AB的中点．求：（1）点D到平面EE1C的距离；（2）求三棱锥E1﹣FCC1的体积21．（12分）已知函数f（x）=x2+bx为偶函数，数列{a n}满足a n+1=2f（a n﹣1）+1，且a1=3，a n＞1．（1）设b n=log2（a n﹣1），求证：数列{b n+1}为等比数列；（2）设c n=nb n，求数列{c n}的前n项和S n．22．（12分）如图，已知圆G：x2+y2﹣2x﹣y=0，经过椭圆=1（a＞b＞0）的右焦点F及上顶点B，过圆外一点M（m，0）（m＞a）倾斜角为的直线l交椭圆于C，D两点，（1）求椭圆的方程；（2）若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的内部，求m的取值范围．2014-2015学年内蒙古包头市北重三中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案，请将正确答案涂在答题卡上）1．（5分）已知命题p：x=1是方程ax2+bx+c=0的一个根，q：a+b+c=0，则命题p 是命题q的（）A．充分不必要B．必要不充分C．既不充分又不必要D．充要【解答】解：若x=1是方程ax2+bx+c=0的一个根，则a+b+c=0，若a+b+c=0，则c=﹣a﹣b，则ax2+bx+c=0等价为ax2+bx﹣a﹣b=0，即a（x﹣1）（x+1）+b（x﹣1）=（x﹣1）[a（x+1）+b]=0，则由x﹣1=0，解得x=1，即x=1是方程ax2+bx+c=0的一个根，故命题p是命题q的充要条件，故选：D．2．（5分）以S n表示等差数列{a n}的前n项和，若a2+a7﹣a5=6，则S7=（）A．42B．28C．21D．14【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a2+a7﹣a5=6，∴（a1+d）+（a1+6d）﹣（a1+4d）=6，∴a1+3d=6，即a4=6，∴S7=（a1+a7）=×2a4=7a4=42故选：A．3．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最大值为（）A．1B．4C．5D．6【解答】解：作出可行域如图，由z=x+2y知，y=﹣x+z，所以动直线y=﹣x+z的纵截距z取得最大值时，目标函数取得最大值．由得A（1，2.5）．结合可行域可知当动直线经过点A（1，2.5）时，目标函数取得最大值z=1+2×2.5=6．故选：D．4．（5分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则P的值为（）A．﹣2B．2C．4D．﹣4【解答】解：由a2=6、b2=2，可得c2=a2﹣b2=4，∴到椭圆的右焦点为（2，0），∴抛物线y2=2px的焦点（2，0），∴p=4，故选：C．5．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n≥1），则a6=（）A．3×44B．3×44+1C．44D．44+1【解答】解：由a n=3S n，得到a n=3S n﹣1（n≥2），+1﹣a n=3（S n﹣S n﹣1）=3a n，两式相减得：a n+1则a n=4a n（n≥2），又a1=1，a2=3S1=3a1=3，+1得到此数列除去第一项后，为首项是3，公比为4的等比数列，所以a n=a2q n﹣2=3×4n﹣2（n≥2）则a6=3×44．故选：A．6．（5分）双曲线my2﹣x2=1的一个顶点在抛物线y=x2的准线上，则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．2D．【解答】解：抛物线y=x2的准线为y=﹣，即有双曲线的一个顶点为（0，﹣），双曲线my2﹣x2=1即为﹣x2=1，则=，则m=4，则有a=，b=1，c==，则e==．故选：A．7．（5分）函数y=sin（πx+φ）（φ＞0）的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A，B是图象与x轴的交点，则tan∠APB=（）A．10B．8C．D．【解答】解：函数y=sin（πx+φ）∴T=，最大值为1，过p作PD⊥x轴于D，则AD是四分之一个周期，有AD=，DB=，DP=1，在直角三角形中有tan∠APD=与tan∠BPD=，所以tan∠APB=tan（∠APD+∠BPD）==8．故选：B．8．（5分）给出下列说法：①命题“若α=，则sin α=”的否命题是假命题；②命题p：“∃x0∈R，使＞1”，则¬p：“∀x∈R，sin x≤1”；③“φ=+2kπ（k∈Z）”是“函数y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件；④命题p：“∃x∈（0，），使sin x+cos x=”，命题q：“在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B”，那么命题￢p∧q为真命题．其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．1【解答】解：①原命题的否命题为“若α≠，则sin α≠”，当α=时，满足α≠，但sin α=，所以原命题的否命题是假命题，所以①的判断正确．②特称命题的否定是全称命题，所以¬p：“∀x∈R，sin x≤1，所以②正确．③若函数y=sin（2x+φ）为偶函数，则φ=+kπ（k∈Z），所以φ=+2kπ（k∈Z）不是“函数y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件，所以③错误．④因为，当x∈（0，）时，，此时，所以命题p为假命题．在△ABC中，若sin A＞sin B，由正弦定理得a＞b，根据大边对大角关系可得，A ＞B，所以命题q为真，所以￢p为真，所以命题￢p∧q为真命题，所以④正确．故选：B．9．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，如图：BC 的中点为O，连结ON，，则MN0B是平行四边形，BM与AN所成角就是∠ANO，∵BC=CA=CC1，设BC=CA=CC1=2，∴CO=1，AO=，AN=，MB===，在△ANO中，由余弦定理可得：cos∠ANO===．故选：C．10．（5分）过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点F做倾斜角为30°的直线，与抛物线交于A、B两点（点A在y轴左侧），则的值为（）A．3B．C．1D．【解答】解：设直线l的方程为：x=（y﹣），设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线方程代入抛物线方程，消去x可得12y2﹣20py+3p2=0，解方程得y1=，y2=由抛物线的性质知，==故选：B．11．（5分）已知正项等比数列{a n}满足S8=17S4，若存在两项a m，a n使得=4a1，则+的最小值为（）A．B．1+C．D．【解答】解：经验证q=1不成立，∴q＞0且q≠1．∵S8=17S4，∴利用等比数列的求和公式可化为q8﹣17q4+16=0，解得q4=1或16．又q＞0且q≠1，∴q=2．∵存在两项a m，a n使得=4a1，∴=4a1，m+n=6．∴+=（+）（m+n）=（6++）≥1+，当且仅当=时取等号．∵m，n都应该为整数+的最小值是．故选：A．12．（5分）如图，在棱长为4的正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，E、F分别是AD、A′D′的中点，长为2的线段MN的一个端点M在线段EF上运动，另一个端点N 在底面A′B′C′D′上运动，则线段MN的中点P的轨迹（曲面）与二面角A﹣A′D′﹣B′所围成的几何体的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：依题意可知|FP|=|MN|=1，因此点P的轨迹是以点F为球心、1为半径的球面的．于是所求的体积是×（π×13）=π．故选：C．二、填空题（每小题5分，共20分，请将答案写在答题卡上．）13．（5分）如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降2米后水面宽米．【解答】解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=my，将A（2，﹣2）代入x2=my，得m=﹣2∴x2=﹣2y，代入B（x0，﹣4）得x0=2 ，故水面宽为m．故答案为：．14．（5分）过双曲线2x2﹣y2=2的右焦点F的直线交双曲线于A、B两点，若|AB|=4，则这样的直线有3条．【解答】解：将双曲线化为标准形式可得：x2﹣=1，则a=1，b=；若AB只与双曲线右支相交时，|AB|的最小距离是通径，长度为=4，此时只有一条直线符合条件；若AB与双曲线的两支都相交时，此时|AB|的最小距离是实轴两顶点的距离，长度为2a=2，距离无最大值，结合双曲线的对称性，可得此时有2条直线符合条件；综合可得，有3条直线符合条件；故答案为3．15．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则的取值范围是[0，1] ．【解答】解：以所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴，以所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系．则D（0，0，0）、C（0，1，0）、A（1，0，0）、B（1，1，0）、D1（0，0，1）．∴=（0，1，0）、（﹣1，﹣1，1）．∵点P在线段BD1上运动，∴=λ•=（﹣λ，﹣λ，λ），且0≤λ≤1．∴=+=+=（﹣λ，1﹣λ，λ），∴=1﹣λ∈[0，1]，故答案为[0，1]．16．（5分）已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且它们在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF2为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，双曲线的离心率的取值范围为（1，2）．则该椭圆的离心率的取值范围是（，1）．【解答】解：如图，设双曲线的半实轴长，半焦距分别为a2，c，∵△PF1F2是以PF2为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，∴|PF1|=|F1F2|=10，即c=5，|PF2|=10﹣2a2，又由双曲线的离心率的取值范围为（1，2）．故∈（1，2）．∴a2∈（，5），设椭圆的半实轴长为a1，则|PF1|+|PF2|=2a1=20﹣2a2，即a1=10﹣a2∈（5，）故e=∈（，1）故答案为：（，1）三、解答题（共6小题，共70分，要求在答题卡上写出详细的解答过程．）17．（10分）焦点分别为F1，F2的椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点M（2，1），且△MF2F1的面积为，求椭圆C的方程．【解答】解：∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点M（2，1），且△MF2F1的面积为，∴，=，∵a2=b2+c2，∴c=，a=，b=，∴椭圆C的方程为．18．（12分）△ABC中，A、B、C是三角形的三内角，a、b、c是三内角对应的三边，已知b2+c2﹣a2=bc．（1）求角A的大小；（2）若a=，且△ABC的面积为，求b+c的值．【解答】解：（1）∵b2+c2﹣a2=bc，∴cosA===，又A为三角形内角，∴A=；=，（2）∵a=，A=，S△ABC∴由面积公式得：bcsin=，即bc=6①，由余弦定理得：b2+c2﹣2bccos=7，即b2+c2﹣bc=7②，变形得：（b+c）2=25，则b+c=5．19．（12分）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＜0；q：实数x满足≥0，且￢p是￢q的必要不充分条件，求a的取值范围．【解答】解：由￢p是￢q的必要不充分条件，转化成它的逆否命题q是p的必要不充分条件，即p 是q的充分不必要条件，也就是p推出q且q不能推出p．…（4分）化简条件p得，A={x|3a＜x＜a，a＜0}，化简条件q得，B={x|x＜﹣4或x≥﹣2}．…（8分）由A⊊B，得或解得a≤﹣4或﹣≤a＜0．…（12分）20．（12分）（普通文科做）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，E、E1分别是棱AD，AA1的中点，F为AB的中点．求：（1）点D到平面EE1C的距离；（2）求三棱锥E1﹣FCC1的体积【解答】解：（1）以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，由已知得D（0，0，0），E（1，0，0），E1（2，0，1），C（﹣1，，0），=（1，0，1），=（﹣2，，0），设平面EE1C的法向量=（x，y，z），则，取x=，得=（，2，﹣），=（1，0，0），∴点D到平面EE1C的距离：d===．（2）由题意得CC1⊥CF，CC1=CF=2，∴=，∵平面CC1F∥平面DAA1D1，∴平面CC1F的法向量=（0，1，0），∵=（﹣3，，﹣1），∴E1到平面FCC1的距离h===，∴三棱锥E1﹣FCC1的体积V=•h==．21．（12分）已知函数f（x）=x2+bx为偶函数，数列{a n}满足a n+1=2f（a n﹣1）+1，且a1=3，a n＞1．（1）设b n=log2（a n﹣1），求证：数列{b n+1}为等比数列；（2）设c n=nb n，求数列{c n}的前n项和S n．【解答】（1）证明：∵函数f（x）=x2+bx为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴b=0∵a n=2f（a n﹣1）+1，+1﹣1=2（a n﹣1）2，∴a n+1∵b n=log2（a n﹣1），=1+2b n，∴b n+1∴b n+1=2（b n+1）+1∴数列{b n+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列（2）解：由（1）可得，b n+1=2n，∴b n=2n﹣1∴c n=nb n=n•2n﹣n，∴S n=1•2+2•22+…+n•2n﹣令T=1•2+2•22+…+n•2n，2T n=1•22+2•23+…+（n﹣1）•2n+n•2n+1两式相减可得，﹣T n=2+22+23+…+2n﹣n•2n+1=（1﹣n）•2n+1﹣2∴T n=（n﹣1）•2n+1+2，∴S n=（n﹣1）•2n+1+2﹣．22．（12分）如图，已知圆G：x2+y2﹣2x﹣y=0，经过椭圆=1（a＞b＞0）的右焦点F及上顶点B，过圆外一点M（m，0）（m＞a）倾斜角为的直线l交椭圆于C，D两点，（1）求椭圆的方程；（2）若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的内部，求m的取值范围．【解答】解：（1）过点F、B，∴F（2，0），，故椭圆的方程为（2）直线l：消y得2x2﹣2mx+（m2﹣6）=0由△＞0⇒，又⇒设C （x 1，y 1）、D （x 2，y 2），则x 1+x 2=m ，，，，∴∵F 在圆E 的内部，∴，又⇒．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值 （1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 yxo()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。

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内蒙古包头市青山区北重三中2014-2015学年高二上学期期末物理试题及答案

内蒙古包头市青山区北重三中2014-2015学年高二上学期期末物理试题及答案

2014-2015学年内蒙古包头市青山区北重三中高二（上）期末物理试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共15小题，每小题4分，满分60分）1．（4分）（2012•江苏）真空中，A、B两点与点电荷Q的距离分别为r和3r，则A、B两点的电场强度大小之比为（）A．3：1 B．1：3 C．9：1 D．1：9考点：点电荷的场强．专题：电场力与电势的性质专题．分析：直接根据库伦定律公式计算出试探电荷q所受电场力，然后利用电场强度的定义式即可求出在M所在处的场强的大小．解答：解：引入一个试探电荷q，分别计算它在AB两点受的电场力．，，得：F1=9F2根据电场强度的定义式：，得：故选：C点评：本题很简单直接考查了库伦定律和电场强度定义式的应用，对于这些公式一定要明确其适用条件和公式中各个物理量的含义．2．（4分）（2014•河西区二模）某电场的电场线分布如图所示，下列说法正确的是（）A．a点的电势高于b点的电势B．c点的电场强度大于d点的电场强度C．若将一正试探电荷由a点移到b点，电场力做负功D．若将一负试探电荷由c点移到d点，电势能增加考点：电场线；电场强度；电势；电势能．分析：要正确在电场中通过电场线来判断电场强度、电势、电势能大小变化，理解这些概念之间的关系．解答：解：A、做出通过b点的等势线，等势线与过a点的电场线相交，根据沿电场线电势降低可知：a点的电势低于b点的电势，故A错误；B、从电场线的分布情况可知，d处的电场线比c处的密，所以c点的电场强度小于d点的电场强度，故B错误；C、正电荷所受电场力和电场线方向相同，因此正试探电荷由a点移到b点时电场力做负功，故C正确；D、当负试探电荷由c点移到d点时电场力做正功，电势能减小，故D错误．故选C．点评：电场强度、电势、电势能、电场力做功等概念是本章的重点和难点，要弄清它们之间的区别和联系，并能在实际电场中或者电荷运动过程中弄清它们的变化．3．（4分）关于磁感线和磁通量的概念，下列说法中正确的是（）A．磁感线是磁场中客观存在、肉眼看不见的曲线，且总是从磁体的N极指向S极B．两个磁场叠加的区域，磁感线就有可能相交C．穿过闭合回路的磁通量发生变化，一定是磁场发生变化引起的D．穿过线圈的磁通量为零，但该处的磁感应强度不一定为零考点：磁通量；磁感线及用磁感线描述磁场．分析：磁体周围存在着磁场，磁场对放入磁场中的磁体有力的作用，为了描述磁场的性质而引入了有方向的曲线，称为磁感线．本题考查了磁感线的引入的原因和特点、磁化的概念、磁场的性质．由于磁场是看不见，摸不着的，为了描述磁场的性质而引入了磁感线的概念，它是假想出来的有方向的曲线，但可以描述磁场的性质．解答：解：A、磁感线是磁场中假想的曲线，而磁场却是客观存在的且肉眼看不见，故A错误；B、两个磁场叠加的区域，磁感线不可能相交，故B错误；C、穿过闭合回路的磁通量发生变化，可能是磁场发生变化引起的，也可能是回路面积变化引起的，故C错误；D、根据公式Φ=BSsinθ，穿过线圈的磁通量为零，该处的磁感应强度不一定为零，可能是线圈与磁场平行导致，故D正确；故选：D点评：本题考查了磁感线的引入的原因和特点、磁化的概念、磁场的性质．由于磁场是看不见，摸不着的，为了描述磁场的性质而引入了磁感线的概念，它是假想出来的有方向的曲线，但可以描述磁场的性质．解决本题的关键知道磁场的方向是小磁针静止时N 极的指向，磁感线上某点的切线方向为该点的磁场方向．4．（4分）一个矩形线圈在匀强磁场中转动产生的交流电动势为e=220sin100πt （V）．关于这个交变电流，下列说法中正确的是（）A．交变电流的频率为100Hz B．电动势的有效值为220VC．t=0时，穿过线圈的磁通量为零D．t=0时，线圈平面与中性面垂直考点：正弦式电流的图象和三角函数表达式；正弦式电流的最大值和有效值、周期和频率．专题：交流电专题．分析：本题考查了交流电的描述，根据交流电的表达式，可知知道其最大值，以及线圈转动的角速度等物理量，然后进一步求出其它物理量，如有效值、周期、频率等．解答：解：A、线圈的转速为100πrad/s，故其频率为：f==50Hz，故A错误B由e=220sin 100πt可知该交流电的电动势最大值为220V，即311V，有效值为220V，故B正确；C、由e=220sin 100πt可知，当t=0时e=0，此时线圈处在中性面上，穿过线圈的磁通量最大，故CD错误．故选：B．点评：对于交流电的产生和描述要正确理解，要会推导交流电的表达式，明确交流电表达式中各个物理量的含义．5．（4分）（2007•宁夏）电阻R、电容C与一线圈连成闭合回路，条形磁铁静止于线圈的正上方，N极朝下，如图所示．现使磁铁开始自由下落，在N极接近线圈上端的过程中，流过R的电流方向和电容器极板的带电情况是（）A．从a到b，上极板带正电B．从a到b，下极板带正电C．从b到a，上极板带正电D．从b到a，下极板带正电考点：法拉第电磁感应定律；电容；楞次定律．专题：压轴题；电磁感应与电路结合．分析：现使磁铁开始自由下落，在N极接近线圈上端的过程中，导致线圈的磁通量发生变化，从而产生感应电动势，线圈中出现感应电流，由楞次定律可判定电流的方向．当线圈中有电动势后，对电阻来说通电后发热，对电容器来说要不断充电直至稳定．解答：解：当磁铁N极向下运动时，导致向下穿过线圈的磁通量变大，由楞次定律可得，感应磁场方向与原来磁场方向相反，再由安培定则可得感应电流方向沿线圈盘旋而下，由于线圈相当于电源，则流过R的电流方向是从b到a，对电容器充电下极板带正电．故选：D．点评：此时线圈相当于电源，则外电路的电流方向是从正极到负极，而内电路则是从负极到正极．同时电容器在充电时电压随着电量增加而增大．6．（4分）已知电荷q均匀分布在半球面AB上，球面半径为R，CD为通过半球顶点与球心O 的轴线，如图所示，M是位于CD轴线上球面外侧，且OM=ON=L=2R．已知M点的场强为E，则N点的场强为（）A．E B．C．D．考点：电场的叠加；电场强度．专题：电场力与电势的性质专题．分析：利用等效法这样分析．均匀带电半球相当于一个均匀带正电的求和半个均匀带负电的球，这个半球放在图的另一边．解答：解：利用等效法这样分析．均匀带电半球相当于一个均匀带正电的球和半个均匀带负电的球，这个半球放在图的另一边．M点的场强E=K+E′，E′=E﹣K为带负电的半球在M点产生的场强，所以，N点正电半球产生的电场强度相当于负电半球在M点产生的电场强度，而与M点的环境比较，唯一的区别是电荷符号相反，从而电场大小相同，方向相反，故N点电场强度为﹣E′=K﹣E，D正确．故选D点评：本题比较巧妙的考查了电场的叠加，难度较大．7．（4分）（2015•天水一模）如图所示，两平行的虚线间的区域内存在着有界匀强磁场，有一较小的三角形线框abc的ab边与磁场边界平行，现使此线框向右匀速穿过磁场区域，运动过程中始终保持速度方向与ab边垂直．则下列各图中哪一个可以定性地表示线框在进入磁场的过程中感应电流随时间变化的规律（）A．B．C．D．考点：导体切割磁感线时的感应电动势；闭合电路的欧姆定律．专题：电磁感应与电路结合．分析：首先根据右手定则判断边cb刚进入磁场时回路中感应电流方向，排除部分答案，然后根据进入磁场中有效切割长度的变化，求出感应电流的变化，从而得出正确结果．解答：解：开始时进入磁场切割磁感线，根据右手定则可知，电流方向为逆时针，当开始出磁场时，回路中磁通量减小，产生的感应电流为顺时针；不论进入磁场，还是出磁场时，由于切割的有效长度变小，导致产生感应电流大小变小，故ABC错误，D正确；故选D．点评：对于图象问题可以通过排除法进行求解，如根据图象过不过原点、电流正负、大小变化等进行排除．8．（4分）（2013•通州区二模）如图所示，T为理想变压器，副线圈回路中的输电线ab和cd的电阻不可忽略，其余输电线电阻可不计，则当开关S闭合时（）A．交流电压表V3的示数变小B．交流电压表V2和V3的示数一定都变小C．交流电流表A1、A2和A3的示数一定变大D．只有A1的示数变大考点：变压器的构造和原理．专题：交流电专题．分析：输出电压是由输入电压和匝数比决定的，输入的功率的大小是由输出功率的大小决定的，电压与匝数成正比，电流与匝数成反比，根据理想变压器的原理分析即可．解答：解：A、当S闭合时，两个电阻并联，电路的总电阻减小，由于输入电压和匝数比不变，所以副线圈的输出的电压不变，副线圈的电流变大，副线圈回路中的输电线ab和cd的电阻不可忽略，所以输电线ab和cd上的电压变大，所以V2的示数变小，交流电压表V3的示数变小，故A正确，B错误C、副线圈的电流变大，A2和A1的示数变大，A3的示数减小，故C错误D、A2和A1的示数变大，故D错误故选A．点评：本题主要考查变压器的知识，要能对变压器的最大值、有效值、瞬时值以及变压器变压原理、功率等问题彻底理解．9．（4分）如图所示，表示一交变电流随时间变化的图象，此交流电的有效值是（）A．5 A B．5A C．3.5 A D．3.5A考点：交流的峰值、有效值以及它们的关系．专题：交流电专题．分析：根据有效值的定义求解．取一个周期时间，将交流与直流分别通过相同的电阻，若产生的热量相同，直流的电流值，即为此交流的有效值．解答：解：将交流与直流通过阻值都为R的电阻，设直流电流为I，则根据有效值的定义有：（4）2R•+（3）2R•=I2RT解得：I=5A；故选：B．点评：对于非正弦式电流可根据有效值的定义求解有效值．常见题型，要熟练掌握．10．（4分）（2006•上海）在如图所示电路中，闭合电键S，当滑动变阻器的滑动触头P 向下滑动时，四个理想电表的示数都发生变化，电表的示数分别用I．U1．U2和U3表示，电表示数变化量的大小分别用△I．△U1．△U2和△U3表示．下列比值正确的是（）A．U1：I不变，△U1：△I不变B．U2：I变大，△U2：△I变大C．U2：I变大，△U2：△I不变D．U3：I变大，△U3：△I不变考点：闭合电路的欧姆定律；欧姆定律．分析：由电路图可知R1与R2串联，V1测量R1两端的电压，V2测量R2两端的电压，V3测量路端电压，由欧姆定律可得出电压与电流的变化；由闭合电路的欧姆定律可分析得出电压的变化值与电流变化值的比值．解答：解：因R1不变，则由欧姆定律可得，=R1保持不变；由数学规律可知，也保持不变，故A正确；因滑片向下移动，故R2的接入电阻增大，故变大；而==R1+r，故保持不变，故B错误，C正确；因=R1+R2，故比值增大；而==r，故比值保持不变，故D正确；故选ACD．点评：本题难点在于U2和U3电压的变化量与电流变化量的比值的分析判断，不能再简单地根据A直接得出B答案也正确，当电阻变化时，其电压及电流变化量的比值不再保持不变，应通过闭合电路的欧姆定律分析得出其电压变化值的表达式，再进行分析．11．（4分）1932年，美国的物理学家劳伦斯设计出了回旋加速器．回旋加速器的工作原理如图所示，置于高真空中的两D形金属盒半径为R，两盒间的狭缝很小，带电粒子穿过的时间可以忽略不计．磁感应强度为B的匀强磁场与盒面垂直．A处粒子源产生的质量为m、电荷量为+q粒子在加速器中被加速，其加速电压恒为U．带电粒子在加速过程中不考虑相对论效应和重力的作用．则（）A．带电粒子在加速器中第1次和第2次做曲线运动的时间分别为t1和t2，则t1：t2=1：2 B．带电粒子第1次和第2次经过两D形盒间狭缝后轨道半径之比r1：r2=：2C．两D形盒狭缝间的交变电场的周期T=D．带电粒子离开回旋加速器时获得的动能为考点：质谱仪和回旋加速器的工作原理．专题：带电粒子在磁场中的运动专题．分析：回旋加速器利用电场加速和磁场偏转来加速粒子，带电粒子在磁场中运动的周期与带电粒子的速度无关．根据洛伦兹力提供向心力得出轨道半径的公式，从而根据速度的关系得出轨道半径的关系．粒子离开回旋加速度时的轨道半径等于D形盒的半径，根据半径公式求出离开时的速度大小，从而得出动能．解答：解：A、带电粒子在磁场中运动的周期与电场变化的周期相等，根据，则v=，周期T=，与粒子的速度无关，t1：t2=1：1．交变电场的周期也为．故A错误，C正确．B、根据v2=2ax得，带电粒子第一次和和第二次经过加速后的速度比为，根据知，带电粒子第1次和第2次经过两D形盒间狭缝后轨道半径之比r1：r2=：2．故B正确．D、根据，知v=，则带电粒子离开回旋加速器时获得动能为．故D正确．故选BCD．点评：解决本题的关键知道回旋加速器加速粒子的原理，知道带电粒子在磁场中运动的周期与交变电场的周期相同，以及掌握带电粒子在磁场中运动的轨道半径公式和周期公式．12．（4分）如图所示，一电量为q的带电粒子在竖直向上的匀强电场E和垂直纸面向里的匀强磁场B正交的空间区域做竖直平面内的匀速圆周运动，重力加速度为g，则下列说法正确的是（）A．粒子带负电B．粒子沿逆时针方向做匀速圆周运动C．粒子的质量为D．粒子从圆轨道的最高点运动到最低点的时间为考点：带电粒子在混合场中的运动．专题：带电粒子在复合场中的运动专题．分析：粒子能做匀速圆周运动则说明电场力和重力任意位置做功为零，则电场力和重力大小相等，方向相反．据此分析各选项．解答：解：A、粒子受电场力向上，E向上，则带正电．故A错误B、洛仑兹力提供向心力，受力方向指抽圆心，由左手定则知粒子沿逆时针方向做匀速圆周运动．故A正确C、因电场力等于重力，因mg=Eq，则粒子的质量为．故C正确D、因T=又 mg=qE 则T=．粒子从圆轨道的最高点运动到最低点的时间为．故D正确故选：BCD点评：考查带电粒子的运动规律，明确粒子能做匀速圆周运动的条件．13．（4分）（2012•无锡二模）如图所示，L1、L2、L3是完全相同的灯泡，L为直流电阻可忽略的自感线圈，电源内阻不计，开关S原来接通，现将开关S断开，则（）A．L1点亮，L2变暗，最终两灯一样亮B．L2闪亮一下后恢复到原来的亮度C．L3变暗一下后恢复到原来的亮度D．L3闪亮一下后恢复到原来的亮度考点：自感现象和自感系数．分析：线圈在接通瞬间阻碍电流增大，在断开瞬间产生一感应电动势相当于电源，阻碍电流减小．解答：解：开关接通时L1被短路不亮断开瞬间由于线圈自感产生一电动势（相当于电源）与原来的电源串联，所以L3更亮而后恢复原来亮度，故C错误D正确；L2和L1串联后变得更暗，最终两灯一样亮，而L1由不亮到亮，故A正确，B错误．故选：AD点评：做本类题目要注意：线圈与哪种电器相配，是电容还是电阻，再结合线圈特点分析．14．（4分）如图甲所示，两平行金属板竖直放置，左极板接地，中间有小孔，右极板电势随时间变化的规律如图乙所示，电子原来静止在左极板小孔处，不计电子的重力，下列说法正确的是（）A．从t=0时刻释放电子，电子始终向右运动，直到打到右极板上B．从t=0时刻释放电子，电子可能在两板间振动C．从t=时刻释放电子，电子可能在两板间振动，也可能打到右极板上D．从t=时刻释放电子，电子必然打到左极板上考点：带电粒子在匀强电场中的运动．专题：带电粒子在电场中的运动专题．分析：分析电子的受力情况，来分析电子的运动情况，若一直向右运动，可以打在右板，若电子时而向右运动，时而向左运动，根据位移关系，分析电子的运动情况．解答：解：A、若t=0时刻释放电子，在前内，电子受到的电场力向右，向右做匀加速直线运动；后内，电子受到向左的电场力作用，电子继续向右做匀减速直线运动；接着周而复始，所以电子一直向右做单向的直线运动，直到打在右板上．即电子将重复先加速后减速，直到打到右极板，不会在两板间振动，故A正确，B错误；C、若从t=T时刻释放电子，电子先加速T，再减速T，有可能电子已到达右极板，若此时未到达右极板，则电子将在两极板间振动，故C正确；D、同理，若从t=T时刻释放电子，电子有可能到达右极板，也有可能从左极板射出，这取决于两板间的距离，故D错误；故选：AC点评：本题中电子在周期性变化的电场中，电场力是周期性变化的，关键要正确分析电子的受力情况，再根据牛顿运动定律分析电子的运动情况．15．（4分）图甲中的变压器为理想变压器，原线圈匝数n1与副线圈匝数n2之比为10：1，变压器的原线圈接如图乙所示的正弦式交流电，三个阻值均为20Ω的电阻R1、R2、R3和电容器C构成的电路与副线圈相接，其中，电容器的击穿电压为8V，电压表V为理想交流电表，开关S处于断开状态，则（）A．电压表V的读数约为7.07 V B．电流表A的读数为0.05 AC．电阻R2上消耗的功率为2.5 w D．若闭合开关S，电容器会被击穿考点：变压器的构造和原理．专题：交流电专题．分析：开关断开时，副线圈为R1和R2串联，电压表测量R2的电压，当开关闭合时，R1与R3并联后和R2串联，电容器的电压为并联部分的电压，根据变压器电压、电流与匝数的关系以及串并联电路的特点即可求解．解答：解：A、开关断开时，副线圈为R1和R2串联，电压表测量R2的电压，由图可知原线圈电压为，所以副线圈电压为10V，则R2的电压为5V≈7.07V，故A正确；B、由A的分析可知，副线圈电流为A，所以原线圈电流为A，故B错误；C、电阻R2上消耗的功率为，故C正确；D、当开关闭合时，R1与R3并联后和R2串联，电容器的电压为并联部分的电压，并联部分电阻为，所以并联部分的电压为V，最大值为，所以电容器不会被击穿，故D错误．故选AC点评：本题考查了变压器的原理及最大值与有效值之间的数量关系．能根据欧姆定律求解电路中的电流，会求功率，知道电表示数为有效值，电容器的击穿电压为最大值，难度适中．二、实验题（18分）16．（1分）如图所示金属丝直径的测量值为d= 0.864 mm．考点：螺旋测微器的使用．专题：实验题．分析：螺旋测微器的读数方法是固定刻度读数加上可动刻度读数，在读可动刻度读数时需估读．解答：解：螺旋测微器固定刻度读数为0.5mm，可动刻度读数为0.01mm×36.4=0.364mm，所以最终读数为0.5mm+0.364mm=0.864mm故答案为：0.864．点评：解决本题的关键掌握螺旋测微器的读数方法是固定刻度读数加上可动刻度读数，在读可动刻度读数时需估读．17．（2分）用多用电表粗测某一电阻．将选择开关调到欧姆挡“×10”档位，测量时发现指针向右偏转角度太大，这时他应该：a．将选择开关换成欧姆挡的“×1”档位（选填“×100”或“×1”）b．调零后再次测量电阻丝的阻值，其表盘及指针所指位置如图所示，则此段金属丝的电阻约为12 Ω．考点：用多用电表测电阻．专题：实验题．分析：应用欧姆表测电阻要选择合适的挡位，使指针指在中央刻度线附近，欧姆表示数与挡位的乘积是欧姆表示数．解答：解：将选择开关调到欧姆挡“×10”档位，测量时发现指针向右偏转角度太大，说明所选挡位太大，为准确测电阻，应选择小挡位；a、将选择开关换成欧姆挡的“×1”档位．b、由图示可知，此段金属丝的电阻约为12×1=12Ω；故答案为：×1；12．点评：本题考查了用欧姆表测电阻，应用欧姆表测电阻要选择合适的挡位，使指针指在中央刻度线附近，欧姆表示数与挡位的乘积是欧姆表示数，欧姆表换挡后要重新调零．18．（15分）实验室购买了一捆标称长度为100m的铜导线，某同学想通过实验测定其实际长度．该同学首先测得导线横截面积为1.0mm2，查得铜的电阻率为1.7×10﹣8Ω•m，再利用图甲所示电路测出铜导线的电阻R x，从而确定导线的实际长度．可供使用的器材有：电流表：量程0.6A，内阻约0.2Ω；电压表：量程3V，内阻约9kΩ；滑动变阻器R1：最大阻值5Ω；滑动变阻器R2：最大阻值20Ω；定值电阻：R0=3Ω；电源：电动势6V，内阻可不计；开关、导线若干．回答下列问题：（1）实验中滑动变阻器应选R2（填“R1”或“R2”），闭合开关S前应将滑片移至 a 端（填“a”或“b”）．（2）在实物图中，已正确连接了部分导线，请根据图甲电路完成剩余部分的连接．（3）调节滑动变阻器，当电流表的读数为0.50A时，电压表示数如图乙所示，读数为 2.3 V．（4）导线实际长度为94 m（保留2位有效数字）．考点：伏安法测电阻．专题：实验题；恒定电流专题．分析：（1）本实验采用限流法测电阻，所以滑动变阻器的最大阻值应为R0和R x总阻值的4倍以上，闭合开关S前应将滑片移至阻值最大处；（2）根据实验电路图，连接实物图；（3）根据图乙读出电压，注意估读；（4）根据欧姆定律及电阻定律即可求解．解答：解：（1）本实验采用限流法测电阻，所以滑动变阻器的最大阻值应为R0和R x总阻值的4倍以上，R0=3Ω，所以滑动变阻器选R2，闭合开关S前应将滑片移至阻值最大处，即a处；（2）根据实验电路图，连接实物图，如图所示：（3）电压表量程为3V，由图乙所示电压表可知，其分度值为0.1V所示为：2.30V；（4）根据欧姆定律得：R0+R x===4.6Ω，则R x=1.6Ω由电阻定律：R x=ρ可知：L=，代入数据解得：L=94m；故答案为：（1）R2，a；（2）如图所示；（3）2.30；（4）94．点评：本题主要考查了电学元件选取原则和欧姆定律及电阻定律的直接应用，能根据电路图连接实物图，难度适中．三、计算题（本题共4小题，共72分，解答应写明必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写出答案的不能得分，有数值计算的题，答案中必须写出数值和单位）19．（15分）一个正方形导线圈边长a=0.2m，共有N=100匝，其总电阻r=4Ω，线圈与阻值R=16Ω的外电阻连成闭合回路，线圈所在区域存在着匀强磁场，磁场方向垂直线圈所在平面，如图甲所示，磁场的大小随时间变化如图乙所示，求：（1）线圈中产生的感应电动势大小．（2）通过电阻R的电流大小．考点：法拉第电磁感应定律；闭合电路的欧姆定律．专题：电磁感应与电路结合．分析：（1）根据法拉第电磁感应定律公式E=N求解感应电动势即可；（2）根据闭合电路欧姆定律列式求解通过电阻R的电流即可．解答：解：（1）根据图乙，磁感应强度的变化率为：根据法拉第电磁感应定律，感应电动势为：E=N=NS=100×0.22×100=400V（2）根据闭合电路欧姆定律，电流为：I===20A答：（1）线圈中产生的感应电动势大小为400V．（2）通过电阻R的电流大小为20A．点评：本题关键先根据闭合电路欧姆定律列式求解感应电动势，然后根据闭合电路欧姆定律列式求解电流．20．（15分）如图，发电机输出功率为100kW，输出电压为U1=250V，在输电线路中设置的升、降变压器原、副线圈的匝数比分别为1：20和240：11．两变压器之间输电线的总电阻为R=10Ω，其它电线的电阻不计．试求：（变压器是理想的）（1）发电机输出电流和输电线上的电流大小．（2）用户需要的电压和输电线中因发热而损失的功率为多少？考点：变压器的构造和原理；电功、电功率．专题：交流电专题．分析：画出输电线路图，由发电机输出功率与输出电压求得升压变压器的原线圈的电流I1，由升压变压器的匝数比得由输电线损耗功率求出输电电流I2；由升压变压器的匝数比后可求出降压变压器的原线圈的电压，再由降压变压器的匝数比可得用户电压，又P线=I22R线求出导线损失的功率．解答：解：（1）输电线路的示意图如图所示，原线圈中输入电流为：I1==A=400 A输电线电流为：I2=I3=I1==20 A（2）根据电压和匝数成正比知：U2=U1=250×20 V=5000 V故副线圈输入电压为：U3=U2﹣U线=5000﹣20×10 V=4800 V根据=用户得到电压为：U4==220V又P线=I22R线输电线中因发热而损失的功率为：。

内蒙古包头市数学高二上学期理数期末考试试卷

内蒙古包头市数学高二上学期理数期末考试试卷

内蒙古包头市数学高二上学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2015高一上·福建期末) 若直线l的斜率为，则直线l的倾斜角为（）A . 115°B . 120°C . 135°D . 150°2. （2分）若点A(1,3)与点B(m,7)之间的距离等于5，那么实数m的值为（）A . 4B . －2C . －4或2D . 4或－23. （2分） (2016高二上·金华期中) 方程x2+y2﹣x+y+m=0表示一个圆，则m的取值范围是（）A .B .C .D .4. （2分）如果直线x＋2y－1＝0和y＝kx互相平行，则实数k的值为（）．A . 2B .C . －2D . －5. （2分） (2018高二上·临汾月考) 如图，在正方体中，若是线段上的动点，则下列结论不正确的是（）A . 三棱锥的正视图面积是定值B . 异面直线，所成的角可为C . 异面直线，所成的角为D . 直线与平面所成的角可为6. （2分） (2017高一上·珠海期末) 空间二直线a，b和二平面α，β，下列一定成立的命题是（）A . 若α⊥β，a⊥b，a⊥α，则b⊥βB . 若α⊥β，a⊥b，a⊥α，则b∥βC . 若α⊥β，a∥α，b∥β，则a⊥bD . 若α∥β，a⊥α，b⊂β，则a⊥b7. （2分）设二元一次不等式组所表示的平面区域为，使函数的图像过区域的的取值范围是（）A .B .C .D .8. （2分）在2016年春节期间，3路公交车由原来的每15分钟一班改为现在的每10分钟一班，在车站停1分钟，则乘客到达站台立即乘上车的概率是（）A .B .C .D .9. （2分） (2017高一下·河北期末) 在空间中，给出下面四个命题，则其中正确命题的个数为（）①过平面外的两点，有且只有一个平面与平面垂直；②若平面内有不共线三点到平面的距离都相等，则∥ ；③若直线与平面内的无数条直线垂直，则；④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两平行线；A . 3B . 2C . 1D . 010. （2分） (2016高二上·自贡期中) 直线y=mx+（2m+1）恒过一定点，则此点是（）A . （1，2）B . （2，1）C . （﹣2，1）D . （1，﹣2）11. （2分）点M（3，4）到圆上的点的距离的最小值是（）A . 1B . 4C . 5D . 612. （2分） (2019高二上·遵义期中) 如图所示，已知四棱锥的高为3，底面ABCD为正方形，且，则四棱锥外接球的半径为A .B . 2C .D . 3二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高一上·武邑月考) 直线绕其与轴交点旋转90°的直线方程是________．14. （1分） (2018高二上·如东月考) 已知一组数据3，6，9，8，4，则该组数据的方差是________．15. （1分） (2019高二下·盐城期末) 某学校拟从2名男教师和1名女教师中随机选派2名教师去参加一个教师培训活动，则2名男教师去参加培训的概率是________．16. （1分） (2018高二上·宾阳月考) 将一颗骰子投掷两次分别得到点数a，b，则直线ax－by=0与圆(x－2)2＋y2＝2相交的概率为________．三、解答题 (共6题；共80分)17. （10分）如图所示，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，M，N分别是AC，AD的中点，BC⊥CD．（1）求异面直线MN与BC所成的角；（2）求证：平面AC D⊥平面ABC．18. （15分）在某地区的12～30岁居民中随机抽取了10个人的身高和体重的统计资料如表：根据上述数据，画出散点图并判断居民的身高和体重之间是否有相关关系．19. （15分）已知抛物线x2=8（y+8）与y轴交点为M，动点P，Q在抛物线上滑动，且 =0（1）求PQ中点R的轨迹方程W；（2）点A，B，C，D在W上，A，D关于y轴对称，过点D作切线l，且BC与l平行，点D到AB，AC的距离为d1，d2，且d1+d2= |AD|，若△ABC的面积S=48，求点A的坐标．20. （15分）某中学为丰富教职工生活，在元旦期间举办趣味投篮比赛，设置A，B两个投篮位置，在A点投中一球得1分，在B点投中一球得2分，规则是：每人按先A后B的顺序各投篮一次（计为投篮两次），教师甲在A 点和B点投中的概率分别为和，且在A，B两点投中与否相互独立（1）若教师甲投篮两次，求教师甲投篮得分0分的概率（2）若教师乙与教师甲在A，B投中的概率相同，两人按规则投篮两次，求甲得分比乙高的概率．21. （10分） (2019高二下·上海月考) 如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，垂直于圆所在的平面，且．（Ⅰ）若为线段的中点，求证平面；（Ⅱ）求三棱锥体积的最大值；（Ⅲ）若，点在线段上，求的最小值．22. （15分） (2017高二下·衡水期末) 已知动圆M恒过点（0，1），且与直线y=﹣1相切．（1）求圆心M的轨迹方程；（2）动直线l过点P（0，﹣2），且与点M的轨迹交于A、B两点，点C与点B关于y轴对称，求证：直线AC 恒过定点．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共80分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、。

理科答案

理科答案

2014——2015学年高二上学期期末考试数学参考答案（理科）一、ACCDB DBCBD AD二、13. 34- 14.2 15. 2343或 16. ①② 三、17.解（1）易知：A = 2 半周期π=32T ∴T = 6π 即πωπ62= （0>ω） 从而：31=ω 设12sin()3y x ϕ=+ 令x = 0 有2sin 1ϕ= 又||2πϕ< ∴6πϕ= ∴所求函数解析式为)631sin(2π+=x y ……………5分 （2）令22631πππ+=+k x ，即ππ+=k x 6时， )631sin(2π+=x y 有最大值2，故当{}z k k x x ∈+=,6|ππ时， )631sin(2π+=x y 取最大值2 . ……10分 18.解:(1)在△ABC 中,由,可得bsinA=asinB,又由bsinA=3csinB,可得a=3c,又a=3,故c=1.由b 2=a 2+c 2-2accosB,cosB=,可得b=.…………6分(2)由cos B=,得sin B=,进而得cos2B= 2cos 2B-1= - ,sin2B=2sinBcosB=.所以sin =sin2Bcos -cos2Bsin .…………12分19.解:(1)由|a |2=(sinx)2+(sinx)2=4sin 2x, |b |2=(cosx)2+(sinx)2=1,及|a |=|b |,得4sin 2x=1.又x ∈,从而sinx=,所以x=. …………6分(2)f(x)=a ·b =sinx ·cosx+sin 2x =sin2x-cos2x+ =sin ,当x=时,sin 取最大值1.所以f(x)的最大值为. …………12分20.解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则依题意有0q >且4212211413d q d q ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩，，…………………………………………………………………1分 解得2d =，2q =．……………………………………………………………2分 所以1(1)21n a n d n =+-=-，………………………………………………3分 112n n n b q --==．…………………………………………………………………4分 （Ⅱ）1212n n n a n b --=．……………………………………………………………5分1111212221212n n n ----=+⨯-- 12362n n -+=-．………………………………………………………12分 21.解法1：设矩形栏目的高为a cm ，宽为b cm ，则ab=9000……① 广告的高为a+20，宽为2b+25，其中a ＞0，b ＞0．广告的面积S ＝(a+20)(2b+25)＝2ab+40b+25a+500＝18500+25a+40b …………6分≥18500+2b a 4025∙=18500+.245001000=ab当且仅当25a ＝40b 时等号成立，此时b =a 85，代入①式得a=120， 从而b=75．即当a =120，b =75时，S 取得最小值24500．故广告的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使广告的面积最小．…12分解法2：设广告的高为宽分别为x cm ，y cm ，则每栏的高和宽分别为x －20，,225-y 其中x ＞20，y ＞25两栏面积之和为2(x －20)18000225=-y ，由此得y=,252018000+-x 广告的面积S=xy=x(252018000+-x )＝252018000+-x x ， 整理得S=.18500)20(2520360000+-+-x x …………6分 因为x －20＞0，所以S ≥2.2450018500)20(2520360000=+-⨯-x x 当且仅当)20(2520360000-=-x x 时等号成立，此时有(x －20)2＝14400(x ＞20)，解得x=140，代入y=2018000-x +25， 得y ＝175，即当x=140，y ＝175时，S 取得最小值24500 故当广告的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使广告的面积最小．答：画面高为88cm ，宽为55cm 时，能使所用纸张面积最小． ……12分22.解（1）由题意得：3=a ，半焦距2=c ，则1=b ，所以椭圆C 的方程为：1322=+y x ， …………4分 “伴随圆”方程为422=+y x . …………6分（2）设过点P 且与椭圆有一个交点的直线为：m kx y +=，则⎪⎩⎪⎨⎧=++=1322y x m kx y ，整理得0)33(6)31(222=-+++m k m x x k ，所以0)33)(31(4)6(222=-+-=∆m k km ，化简整理得2231m k =+ ① …………8分 又因为直线截椭圆C 的“伴随圆”所得的弦长为22，则有22122222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-k m 化简得 22)1(2m k =+ ②联立①②解得12=k ，42=m ，0<m ，所以2-=m…………12分。

2014-2015年内蒙古包头市北重三中高三(上)期中数学试卷及参考答案(理科)

2014-2015年内蒙古包头市北重三中高三(上)期中数学试卷及参考答案(理科)

2014-2015学年内蒙古包头市北重三中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求）1．（5分）已知复数z满足（1﹣i）=2，则z5=（）A．16 B．﹣4+4i C．﹣16 D．﹣16i2．（5分）若A={x|log2（x﹣4）＜1}，B={y|y=3x+2，﹣4≤x≤3}，则A∩B=（）A．[﹣10，6）B．（4，6） C．（6，11] D．（0，11]3．（5分）已知函数y=sin（2x+φ）向左平移个单位，所得函数图象关于y轴对称，则φ的最小正值为（）A．B．C．D．4．（5分）下列各式中最小值为2的是（）A．B．C．e x+e﹣x（x∈R）D．5．（5分）已知z=2x+y，x，y满足，且z的最大值是最小值的4倍，则a的值是（）A．B．C．D．6．（5分）由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4 C．D．67．（5分）已知Rt△ABC，∠C=90°，CA=3，CB=4，点D、E在AB上，满足，，则=（）A．B．C．D．8．（5分）已知定义域为R的函数f（x）在（﹣∞，﹣4）上为增函数，且函数y=f（x﹣4）为偶函数，则（）A．f（﹣5）＞f（﹣3） B．f（﹣7）＜f（﹣3） C．f（﹣2）＞f（﹣3） D．f（﹣8）＞f（0）9．（5分）若β=α+30°，则sin2α+cos2β+sinαcosβ=（）A．B．C．cos2βD．sin2α10．（5分）已知每项均大于零的数列{a n}中，首项a1=1且前n项的和S n满足=（）（n∈N*，且n≥2），则aA．638 B．639 C．640 D．64111．（5分）对任意x，y∈R，|x﹣1|+|x|+|y﹣1|+|y+1|的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．412．（5分）函数f（x）的定义域是R，f（0）=2，对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，则不等式e x•f（x）＞e x+1的解集为（）A．{x|x＞0}B．{x|x＜0}C．{x|x＜﹣1，或x＞1}D．{x|x＜﹣1，或0＜x＜1}二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）函数f（x）=x2+|x﹣a|具有奇偶性，则a=．14．（5分）在△ABC中，若A=，sinB=cosC 则△ABC为（填形状）15．（5分）已知命题p：f（x）=a x为增函数，q：函数q（x）=x+（a＞0）在[2，+∞）上单调递增，若p且q 为假，p或q为真，则a的取值范围为．16．（5分）设数列{a n}中，a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则数列{a n}前12项和等于．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）设函数f（x）=x3+bx2+cx+d（x∈R）已知F（x）=f（x）﹣f′（x）是奇函数，且F（1）=﹣11（1）求b、c、d的值；（2）求F（x）的单调区间与极值．18．（12分）三角形ABC中，内角A，B，C所对边a，b，c成公比小于1的等比数列，且sinB+sin（A﹣C）=2sin2C．（1）求内角B的余弦值；（2）若b=，求△ABC的面积．19．（12分）如图所示，A，B分别是单位圆与x轴、y轴正半轴的交点，点P在单位圆上，∠AOP=θ（0＜θ＜π），C点坐标为（﹣2，0），平行四边形OAQP的面积为S．（1）求•+S的最大值；（2）若CB∥OP，求sin（2θ﹣）的值．20．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，数列{S n+1}是公比为2的等比数列，a2是a1和a3的等比中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{na n}的前n项和T n．21．（12分）已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（Ⅰ）当a＞1时，求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（Ⅱ）若函数y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，求t的值；（Ⅲ）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，试求a的取值范围．【选修4-1：几何证明选讲】（共1小题，满分10分）22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若，求的值．【选修4-4：坐标系与参数方程选讲】（共1小题，满分0分）23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是（α是参数）．以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P 的直角坐标．【选修4-5：不等式选讲】（共1小题，满分0分）24．设函数f（x）=|x﹣|+|x﹣a|，x∈R．（Ⅰ）求证：当a=﹣时，不等式lnf（x）＞1成立．（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求实数a的最大值．2014-2015学年内蒙古包头市北重三中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求）1．（5分）已知复数z满足（1﹣i）=2，则z5=（）A．16 B．﹣4+4i C．﹣16 D．﹣16i【解答】解：∵（1﹣i）=2，∴，则z=1﹣i．∴25=（1﹣i）5=（1﹣i）4（1﹣i）=﹣4（1﹣i）=﹣4+4i．故选：B．2．（5分）若A={x|log2（x﹣4）＜1}，B={y|y=3x+2，﹣4≤x≤3}，则A∩B=（）A．[﹣10，6）B．（4，6） C．（6，11] D．（0，11]【解答】解：∵A={x|log2（x﹣4）＜1}={x|0＜x﹣4＜2}={x|4＜x＜6}，B={y|y=3x+2，﹣4≤x≤3}={x|﹣10≤x≤11，∴A∩B=（4，6），故选：B．3．（5分）已知函数y=sin（2x+φ）向左平移个单位，所得函数图象关于y轴对称，则φ的最小正值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵y=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位后得：g（x）=f（x+）=sin（2x+φ+），∵g（x）=sin（2x+φ+）的图象关于y轴对称，∴g（x）=sin（2x+φ+）为偶函数，∴φ+=kπ+，k∈Z，∴φ=kπ+，k∈Z．∵φ＞0，∴φmin=．故选：B．4．（5分）下列各式中最小值为2的是（）A．B．C．e x+e﹣x（x∈R）D．【解答】解：A．∵，∴sinx∈（0，1），∴=2，因此无最小值．B.=+＞2，因此无最小值；C．e x+e﹣x=2，当且仅当x=0时取等号，因此最小值为2．D．x＜0时，＜2，最小值不可能是2．综上可得：只有C满足题意．故选：C．5．（5分）已知z=2x+y，x，y满足，且z的最大值是最小值的4倍，则a的值是（）A．B．C．D．【解答】解：画出x，y满足的可行域如下图：由，得A（1，1），由，得B（a，a），当直线z=2x+y过点A（1，1）时，目标函数z=2x+y取得最大值，最大值为3；当直线z=2x+y过点B（a，a）时，目标函数z=2x+y取得最小值，最小值为3a；由条件得3=4×3a，∴a=，故选：B．6．（5分）由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4 C．D．6【解答】解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为：S=．故选C．7．（5分）已知Rt△ABC，∠C=90°，CA=3，CB=4，点D、E在AB上，满足，，则=（）A．B．C．D．【解答】解：===，其中=0，=4×5×=16，=5×3×（﹣）=﹣9，=25，所以=×16﹣×（﹣9）﹣=；故选：C．8．（5分）已知定义域为R的函数f（x）在（﹣∞，﹣4）上为增函数，且函数y=f（x﹣4）为偶函数，则（）A．f（﹣5）＞f（﹣3） B．f（﹣7）＜f（﹣3） C．f（﹣2）＞f（﹣3） D．f（﹣8）＞f（0）【解答】解：∵y=f（x﹣4）为偶函数；∴f（﹣3）=f（1﹣4）=f（﹣1﹣4）=f（﹣5）；f（﹣2）=f（2﹣4）=f（﹣2﹣4）=f（﹣6）；f（0）=f（4﹣4）=f（﹣4﹣4）=f（﹣8）；又f（x）在（﹣∞，﹣4）为增函数；∴f（﹣5）=f（﹣3）；f（﹣7）＜f（﹣5），即f（﹣7）＜f（﹣3）；f（﹣6）＜f（﹣5），即f（﹣2）＜f（﹣3）；f（﹣8）=f（0）；∴B正确．故选：B．9．（5分）若β=α+30°，则sin2α+cos2β+sinαcosβ=（）A．B．C．cos2βD．sin2α【解答】解：∵β=α+30°，∴cos2β=（cosαcos30°﹣sinαsin30°）2=cos2α﹣sinαcosα+sin2αsinαcosβ=sinαcos（α+30°）=sinα（cosαcos30°﹣sinαsin30°）=sinαcosα﹣sin2α∴sin2α+cos2β+sinαcosβ=sin2α+（cos2α﹣sinαcosα+sin2α）+（sinαcosα﹣sin2α）=sin2α+cos2α+sin2α﹣sin2α=sin2α+cos2α=（sin2α+cos2α）=故选：B．10．（5分）已知每项均大于零的数列{a n}中，首项a1=1且前n项的和S n满足=（）（n∈N*，且n≥2），则aA．638 B．639 C．640 D．641【解答】解：∵，∴=2（n∈N*，且n≥2），∵a 1=1，∴=1∴{}是以1为首项，2为公差的等差数列∴=1+2（n﹣1）=2n﹣1∴S n=4n2﹣4n+1．∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（4n2﹣4n+1）﹣[4（n﹣1）2﹣4（n﹣1）+1]=8n﹣8．∴a81=8×81﹣8=640故选：C．11．（5分）对任意x，y∈R，|x﹣1|+|x|+|y﹣1|+|y+1|的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：对任意x，y∈R，|x﹣1|+|x|+|y﹣1|+|y+1|=|x﹣1|+|﹣x|+|1﹣y|+|y+1|≥|x﹣1﹣x|+|1﹣y+y+1|=3，当且仅当x∈[0，1]，y∈[﹣1，1]成立．故选：C．12．（5分）函数f（x）的定义域是R，f（0）=2，对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，则不等式e x•f（x）＞e x+1的解集为（）A．{x|x＞0}B．{x|x＜0}C．{x|x＜﹣1，或x＞1}D．{x|x＜﹣1，或0＜x＜1}【解答】解：令g（x）=e x•f（x）﹣e x，则g′（x）=e x•[f（x）+f′（x）﹣1]∵对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，∴g′（x）＞0恒成立即g（x）=e x•f（x）﹣e x在R上为增函数又∵f（0）=2，∴g（0）=1故g（x）=e x•f（x）﹣e x＞1的解集为{x|x＞0}即不等式e x•f（x）＞e x+1的解集为{x|x＞0}故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）函数f（x）=x2+|x﹣a|具有奇偶性，则a=0．【解答】解：∵f（x）=x2+|x﹣a|具有奇偶性，∴f（x）=f（﹣x）或f（x）+f（﹣x）=0，∴a=0，故答案为：0．14．（5分）在△ABC中，若A=，sinB=cosC 则△ABC为等腰直角三角形（填形状）【解答】解：在△ABC中，sinB=cosCsin（A+C）=cosC若A=，则：tanC=10°＜C＜135°C=45°所以：有三角形内角和定理得：B=90°所以：△ABC为等腰直角三角形故答案为：等腰直角三角形15．（5分）已知命题p：f（x）=a x为增函数，q：函数q（x）=x+（a＞0）在[2，+∞）上单调递增，若p且q 为假，p或q为真，则a的取值范围为（0，1）∪（4，+∞）．【解答】解：∵f（x）=a x为增函数，∴a＞1，∴p：a＞1，∵函数q（x）=x+（a＞0）在[2，+∞）上单调递增，∴，q：0＜a≤4，∵若p且q 为假，p或q为真，∴p，q一真一假，当p真q假时，即a＞4，当p假q真时，，即0＜a＜1，a的取值范围为：a＞4或0＜a＜1，故答案为：（0，1）∪（4，+∞）16．（5分）设数列{a n}中，a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则数列{a n}前12项和等于78．【解答】解：∵a n+（﹣1）n a n=2n﹣1，+1∴a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，a8﹣a7=13，a9+a8=15，a10﹣a9=17，a11+a10=19，a12﹣a11=21，∴从第一项开始，相邻的两个式子作差得：a1+a3=a5+a7=a9+a11=2，即依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，相邻的两个式子相加得：a4+a2=8，a6+a8=24，a12+a10=40，即依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．以上式子相加可得，S12=a1+a2+…+a12=（a1+a3）+（a5+a7）+（a9+a11）+（a2+a4）+（a6+a8）+（a10+a12）=3×2+8+24+40=78故答案为：78．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）设函数f（x）=x3+bx2+cx+d（x∈R）已知F（x）=f（x）﹣f′（x）是奇函数，且F（1）=﹣11（1）求b、c、d的值；（2）求F（x）的单调区间与极值．【解答】解：（1）f'（x）=3x2+2bx+c，∴F（x）=f（x）﹣f′（x）=x3+（b﹣3）x2+（c﹣2b）x+d﹣c，∵F（x）是奇函数，∴b﹣3=0，且d﹣c=0，即b=3，d=c．∴F（x）=x3+（c﹣2b）x．∵F（1）=﹣11，∴F（1）=1+c﹣2b=﹣11，即c﹣2b=﹣12，∴c=2b﹣12=﹣6，又d=c，可得d=﹣6．综上知，b=3，c=﹣6，d=﹣6．（2）由（1）知f（x）=x3+3x2﹣6x﹣6．f'（x）=3x2+6x﹣6，∴F（x）=f（x）﹣f′（x）=x3﹣12x，∴F′（x）=3x2﹣12=3（x+2）（x﹣2），∴当x＜﹣2或x＞2时，F′（x）＞0，当﹣2＜x＜2时，F′（x）＜0，∴F（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣2）和（2，+∞），单调递减区间是（﹣2，2）．∴当x=﹣2时，F（x）=F（﹣2）=（﹣2）3﹣12×（﹣2）=16，极大值=F（2）=23﹣12×2=﹣16．当x=2时，F（x）极小值∴函数单调递增，无极值．即函数F（x）的单调区间是R，无极值．18．（12分）三角形ABC中，内角A，B，C所对边a，b，c成公比小于1的等比数列，且sinB+sin（A﹣C）=2sin2C．（1）求内角B的余弦值；（2）若b=，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）三角形ABC中，∵sinB+sin（A﹣C）=2sin2C，∴sin（A+C）+sin（A﹣C）=4sinCcosC，∴sinA=2sinC，或cosC=0．∴a=2c，或C=90°（不满足a，b，c成公比小于1的等比数列，故舍去）．由边a，b，c成公比小于1的等比数列，可得b2=ac，∴b=c，∴cosB===．（Ⅱ）∵b=，cosB=，∴ac=b2=3，sinB=，∴△ABC的面积S=ac•sinB=．19．（12分）如图所示，A，B分别是单位圆与x轴、y轴正半轴的交点，点P在单位圆上，∠AOP=θ（0＜θ＜π），C点坐标为（﹣2，0），平行四边形OAQP的面积为S．（1）求•+S的最大值；（2）若CB∥OP，求sin（2θ﹣）的值．【解答】解：（1）由已知，得A（1，0），B（0，1）．P（cos θ，sin θ），因为四边形OAQP是平行四边形，所以=+=（1+cosθ，sinθ）．所以•=1+cosθ．（3分）又平行四边形OAQP的面积为S=|•|sin θ=sin θ，所以•+S=1+cosθ+sin θ=sin（θ+）+1．（5分）又0＜θ＜π，所以当θ=时，•+S的最大值为+1．（7分）（2）由题意，知=（2，1），=（cosθ，sinθ），因为CB∥OP，所以cosθ=2sinθ．又0＜θ＜π，cos2θ+sin2θ=1，解得sin θ=，cos θ=，所以sin2θ=2sin θcosθ=，cos 2θ=cos2θ﹣sin2θ=．所以sin（2θ﹣）=sin 2θcos﹣cos 2θsin=×﹣×=．（13分）20．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，数列{S n+1}是公比为2的等比数列，a2是a1和a3的等比中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{na n}的前n项和T n．【解答】解：（1）∵数列{a n}的前n项和为S n，数列{S n+1}是公比为2的等比数列，∴S n+1=2n﹣1（S1+1）=2n﹣1（a1+1）①S n﹣1+1=2n﹣2（a1+1）②①﹣②得a n=2n﹣2（a1+1），n≥2a2=a1+1，a3=2（a1+1）a2是a1和a3的等比中项，故a22=a1a3，（a1+1）2=a1•2（a1+1），解得a1=1，（a1=﹣1则a2=0不合题意舍去）故a n=2n﹣1．（2）由a n=2n﹣1，知na n=n×2n﹣1，∴T n=1×20+2×21+3×22+…+n×2n﹣1，①2T n=1×21+2×22+3×23+…+n×2n，②②﹣①得T n=n×2n﹣（20+21+22+23+…+2n﹣1）=n×2n﹣=n×2n﹣2n+1．21．（12分）已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（Ⅰ）当a＞1时，求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（Ⅱ）若函数y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，求t的值；（Ⅲ）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，试求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=a x+x2﹣xlna，∴f′（x）=a x lna+2x﹣lna=2x+（a x ﹣1）lna，由于a＞1，故当x∈（0，+∞）时，lna＞0，a x﹣1＞0，所以f′（x）＞0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．（Ⅱ）当a＞0，a≠1时，因为f′（0）=0，且f（x）在（0，+∞）上单调递增，故f′（x）=0有唯一解x=0．所以x，f′（x），f（x）的变化情况如下表所示：又函数y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，所以方程f（x）=t±1有三个根，即y=f（x）的图象与两条平行于x轴的两条直线y=t±1共有三个交点．不妨取a＞1，y=f（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增，极小值f（0）=1也是最小值，当x→±∞时，f（x）→+∞．∵t﹣1＜t+1，∴f（x）=t+1有两个根，f（x）=t﹣1只有一个根．∴t﹣1=f min（x）=f（0）=1，∴t=2．（Ⅲ）因为存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，所以当x∈[﹣1，1]时，|（f（x））max﹣（f（x））min|=（f（x））max﹣（f（x））≥e﹣1，min由（Ⅱ）知，f（x）在[﹣1，0]上递减，在[0，1]上递增，所以当x∈[﹣1，1]时，（f（x））min=f（0）=1，（f（x））max=max{f（﹣1），f（1）}，而，记，因为（当t=1时取等号），所以在t∈（0，+∞）上单调递增，而g（1）=0，所以当t＞1时，g（t）＞0；当0＜t＜1时，g（t）＜0，也就是当a＞1时，f（1）＞f（﹣1），当0＜a＜1时，f（1）＜f（﹣1）．综合可得，①当a＞1时，由f（1）﹣f（0）≥e﹣1，可得a﹣lna≥e﹣1，求得a ≥e．②当0＜a＜1时，由，综上知，所求a的取值范围为（0，]∪[e，+∞）．【选修4-1：几何证明选讲】（共1小题，满分10分）22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若，求的值．【解答】（I）证明：连接OD，可得∠ODA=∠OAD=∠DAC（2分）∴OD∥AE又AE⊥DE（3分）∴DE⊥OD，又OD为半径∴DE是的⊙O切线（5分）（II）解：过D作DH⊥AB于H，则有∠DOH=∠CAB（6分）设OD=5x，则AB=10x，OH=2x，∴AH=7x（7分）由△AED≌△AHD可得AE=AH=7x（8分）又由△AEF∽△DOF可得∴【选修4-4：坐标系与参数方程选讲】（共1小题，满分0分）23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是（α是参数）．以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P 的直角坐标．【解答】解：（1）由曲线C1：，可得，两式两边平方相加得：，即曲线C1的普通方程为：．由曲线C2：得：，即ρsinθ+ρcosθ=8，所以x+y﹣8=0，即曲线C2的直角坐标方程为：x+y﹣8=0．（2）由（1）知椭圆C1与直线C2无公共点，椭圆上的点到直线x+y﹣8=0的距离为，∴当时，d的最小值为，此时点P的坐标为．【选修4-5：不等式选讲】（共1小题，满分0分）24．设函数f（x）=|x﹣|+|x﹣a|，x∈R．（Ⅰ）求证：当a=﹣时，不等式lnf（x）＞1成立．（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求实数a的最大值．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵当a=﹣时，f（x）=|x﹣|+|x+|=的最小值为3，∴lnf（x）最小值为ln3＞lne=1，∴lnf（x）＞1成立．（Ⅱ）由绝对值三角不等式可得f（x）=|x﹣|+|x﹣a|≥|（x﹣）﹣（x﹣a）|=|a﹣|，再由不等式f（x）≥a在R上恒成立，可得|a﹣|≥a，∴a﹣≥a，或a﹣≤﹣a，解得a≤，故a的最大值为．。