相似图形的性质(二)

课题：相似三角形的性质（2）Ⅱ.新课讲解一．相似三角形周长比等于相似比问题：图中(1)(2)(3)分别是边长为1，2，3的等边三角形,它们都相似吗？(1)与(2)的相似比=______,(1)与(3)的相似比=______,(1)与(2)的周长比=______，(1)与(3)的周长比=______.结论：相似三角形的周长比等于______。

（1）（2）（3）想一想：怎么证明这一结论呢？求证：相似三角形的周长比等于相似比.归纳总结：相似三角形周长的比等于相似比.二．相似三角形的面积比等于相似比的平方问题：图中(1)(2)(3)分别是边长为1，2，3的等边三角形,回答以下问题：(1)与(2)的相似比=______,(1)与(2)的面积比=______(1)与(3)的相似比=______,(1)与(3)的面积比=______结论：相似三角形的面积比等于__________．想一想：怎么证明这一结论呢？归纳总结：相似三角形面积的比等于相似比的平方.1.已知ΔABC与ΔA′B′C′的相似比为2：3，则对应边上中线之比_______，面积之比为__________．2. 如果两个相似三角形的面积之比为1:9，周长的比为______ .典例精析：例1：将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分的面积是△ABC的面积的一半.已知BC=2，求△ABC平移的距离. 使学生建立从特殊到一般的思想。

要求学生能用相似多边形的对应周长和对应面积比的性质来解决生活中的实际问题。

让学生亲历问题发现的过程，对知识从初步的印象上升到理论探求，证明的高度今后在记忆和应用上会更加深刻。

学生在相似多边形性质的证明过程中对性质已经有了全面的认识，通过上面两个问题的回答，进一步完善了对相似多边形性质的理解和认识。

在对相似三角形对应周长的比等于相似比的探究基础上，进一步运用转化的思想解决面积的比的问题，从一维到二维，让学生深入体会相似比的应用．．进一步巩固两三角形相似的判定方法，初步学会运例2： 如图，在 △ABC 和 △DEF 中，AB = 2 DE ，AC = 2 DF ，∠A = ∠D. 若 △ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 125，求 △DEF 的边 EF 上的高和面积.练一练：如果两个相似三角形的面积之比为 2 : 7，较大三角形一边上的高为 7，则较小三角形对应边上的高为______.例3： 如图，D ，E 分别是 AC ，AB 上的点，已知△ABC 的面积为100 ,53,c 2==AB AD AC AE m 且 求四边形 BCDE 的面积.例4：如图，△ABC 中，点 D 、E 、F 分别在 AB 、AC 、BC 上，且 DE ∥BC ，EF ∥AB. 当 D 点为 AB 中点时，求 S 四边形BFED : S △ABC 的值.用新知求三角形的对应线段的长度和面积．Ⅲ.课堂练习1. 判断：(1) 一个三角形的各边长扩大为原来的 5 倍，这个 三角形的周长也扩大为原来的 5 倍 ( )(2) 一个四边形的各边长扩大为原来的 9 倍，这个 四边形的面积也扩大为原来的 9 倍 ( )2. 在 △ABC 和 △DEF 中，AB ＝2 DE ，AC ＝2 DF ，∠A结合三角形相似的判定，考查“相似三角形周长的比等于相似比”和“相似三角＝∠D，AP，DQ 是中线，若AP＝2，则DQ 的值为( )A．2 B．4 C．1 D.213.连接三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于______，面积比等于_____.4.两个相似三角形对应的中线长分别是6 cm 和18 cm，若较大三角形的周长是42 cm，面积是12 2cm，则较小三角形的周长____cm，面积为____2c m.5.如图，这是圆桌正上方的灯泡(点A) 发出的光线照射桌面形成阴影的示意图，已知桌面的直径为米，桌面距离地面为 1 米，若灯泡距离地面3 米，则地面上阴影部分的面积约为多少(结果保留两位小数)？6.△ABC 中，DE∥BC，EF∥AB，已知△ADE 和△EFC 的面积分别为4 和9，求△ABC 的面积.7.如图，△ABC 中，DE∥BC，DE 分别交AB、AC 于点D、E，S△ADE＝2 S△DCE，求S△ADE ∶S△ABC. 形面积的比等于相似比的平方”的运用．对三角形对应线段的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方进行了巩固运用．题难度有所加大，要让学生找相似三角形，再通过周长的比、面积的比与相似比的关系解决．Ⅳ.课时小结本节课主要根据相似三角形的性质和判定推导出了相似三角形的性质：相似三角形的周长的比都等于相似比.相似三角形的面积的比都等于相似比的平方。

三角形相似的判定和性质1一、知识梳理：1、相似的判定：①如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

（两角对应相等，两个三角形相似。

）②如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

（两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。

）③如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似。

（三边对应成比例，两个三角形相似。

）④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

（斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似。

）⑤两个三角形三边对应平行，则两个三角形相似。

（三边对应平行，两个三角形相似。

）⑥如果两个三角形全等，那么这两个三角形相似（相似比为1：1）（全等三角形相似）。

2、相似的性质：①相似三角形的对应角相等；相似三角形的对应边成比例。

②相似三角形的周长比，对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

③相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似比等于面积比的算术平方根。

3、推论：推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。

推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。

推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。

推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。

推论五：如果一个三角形的两边和三角形任意一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。

4、射影定理：射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

①CD2＝AD·BD；②AC2＝AD·AB；③BC2＝BD·AB二、相似的基本图形：（一）平行线型如图，若DE∥BC,则△ADE∽△ABC,形象地说图为“A”型或“X”型,故称之为平行线型的基本图形.例1、如图,在平行四边形ABCD中,E是AB延长线上一点,连结DE交AC于G，交BC于F,则图中相似三角形(不含全等三角形)共有 对. （二）相交线型若∠AED=∠B,则△ADE ∽△ABC,称之为相交线型的基本图形.例2、如图，D 、E 分别为△ABC 的边AC 、AB 上一点，BD,CE 交于点O,且CODOBO EO,试问△ADE 与△ABC 相似吗?如果是,请说明理由.（三）母子型如图，有△ACD ∽△ABC,称之为“子母”型的基本图形.特别地,令∠ACB=90,CD 则为斜边上高(如图9), 则有△ACD ∽△ABC ∽△CBD.DABCABCD例3 如图,在△ABC 中,P 为AB 上一点,要使△APC ∽△ACB,还需具备的一个条件是 或 或 或 ； （四）旋转型△ADE ∽△ABC,称之为旋转型的基本图形.AB例4、如图，D 为△ABC 内一点，E 为△ABC 外一点，且∠1=∠2，∠3=∠4． 证明：△ABC ∽△DBE ．（五）三垂直型如右图，AB⊥BC, AD⊥DE, CE⊥BC,则△ABD∽△DCE,这种图形称之为三垂直型.AEBD C随堂练习一．选择题：1．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（）A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C．= D．=2．△ABC和△DEF满足下列条件，其中能使△ABC与△DEF相似的是（）DE=EF=DF=，AC=BC=DE=△BDE△CDE△DOE△AOC 的值为（）A． B． C． D．4．如图为两正方形ABCD、BEFG和矩形DGHI的位置图，其中G、F两点分别在BC、EH上．若AB=5，BG=3，则△GFH的面积为何？（）A．10 B．11 C． D．二．填空题：5．如图，△ABC中，D为BC上一点，∠BAD=∠C，AB=6，BD=4，则CD的长为．6．如图，四边形ABCD为矩形，，则∠MAN的度数为度．7．如图，小伟在打网球时，击球点距离球网的水平距离是8米，已知网高是0.8米，要使球恰好能打过网，且落在离网4米的位置，则球拍击球的高度h为米．8．△ABC中，AB：AC：BC=4：3：2，△A1B1C1中，A1B1：A1C1：B1C1=3：2：4，则△ABC与△A1B1C1（相似或不相似）．9．如图，已知△ABC中，AE：EB=1：3，BD：DC=2，AD与CE相交于F，则= ．10．如图，菱形ABCD的边长为1，直线l过点C，交AB的延长线于M，交AD的延长线于N，则+= ．11．如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，=，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则的值等于．12．已知正方形ABC1D1的边长为1，延长C1D1到A1，以A1C1为边向右作正方形A1C1C2D2，延长C2D2到A2，以A2C2为边向右作正方形A2C2C3D3（如图所示），以此类推…．若A1C1=2，且点A，D1，D2，D3，…，D10都在同一直线上，则正方形A9C9C10D10的边长是．三．解答题：13．如图，等边△ABC，点D、E分别在BC、AC上，且BD=CE，AD与BE相交于点F．（1）试求出∠AFE的度数．（2）△AEF与△ABE相似吗？说说你的理由．（3）BD2=AD•DF吗？请说明理由．14．已知：平行四边形ABCD，E是BA延长线上一点，CE与AD、BD交于G、F．求证：CF2=GF•EF．15．如图，过▱ABCD的顶点A的直线交BD于点P，交CD于点Q，交BC的延长线于点R．求证：．16．如图，四边形ABCD，DCFE，EFGH是三个正方形．求∠1+∠2+∠3的度数．17．如下图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm．点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s 的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1 cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤6）那么：（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？（2）求四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论；（3）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？九年级数学图形的相似2参考答案一．选择题（共4小题）1．D 2．C 3．D 4．D二．填空题（共8小题）5．5 6．90 7．2.4 8．相似 9．10．1 11．12．。

初中数学图形相似知识点【篇一：初中数学图形相似知识点】相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等;②相似三角形的对应边成比例;③相似三角形的周长之比等于相似比;④相似三角形的面积比等于相似比的平方;相似多边形的性质：①相似多边形的对应角相等;②相似多边形的对应边成比例;③相似多边形的面积之比等于相似比的平方;图形的位似与图形相似的关系：两个图形相似不一定是位似图形，两个位似图形一定是相似图形;1【篇二：初中数学图形相似知识点】【相似图形的集锦】在初中数学的教材上有指出，形状相同的图形叫做相似图形。

相似图形1. 如果选用同一个长度单位量得的两条线段ab,cd的长度分别是m,n那么就说这两条线段的比ab：cd=m:n，或写成ab/cd=m/n。

分别叫做这个线段比的前项后项。

2. 在地图或工程图纸上，图上长度与实际长度的比通常称为比例尺。

3. 四条线段a,b,c,d中，如果a与b的比等于c与d的比，即a/b=c/d，那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段，简称比例线段。

4. 如果a/b=c/d，那么ad=bc. 如果ad=bc(a,b,c,d都不等于0)，那么a/b=c/d.5. 如果a/b=c/d，那么(a b)/b=(c d)/d;那么(a kb)/b=(c kd)/d;那么a/b ka=c/d kc6如果a/b=c/d= =m/n(b+d+ +n 0)，那么(a+c+ +m)/(b+d+ +n)=a/b.7 如果ac/ab=bc/ac，那么称线段ab被点c黄金分割，点c叫做线段ab的黄金分割点，( 5-1)/2叫做黄金比。

8. 长于宽的比等于黄金比的矩形叫做黄金矩形。

9. 三角形abc与三角形a b c 是形状形同的图形，其中10 各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形。

11.相似多边形的比叫做相似比。

12.三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。

若三角形abc与三角形def相似，记作：△ abc∽△def，把对应定点的字母写在相应的位置上13.探索三角形相似的条件：①两角对应相等的两个三角形相似。

相似形的性质与判定方法相似形是几何学中的重要概念，指的是两个或多个图形在形状、大小和比例上相似的性质。

相似形的性质与判定方法在几何学的学习中具有重要的意义，下面将就相似形的性质和判定方法进行详细的论述。

一、相似形的性质1. 形状相似性：相似形的形状是指两个或多个图形之间具有相同的内角度和边数的性质。

当两个图形的对应内角度相等且对应边之间的比例相等时，这两个图形就是形状相似的。

2. 边长比例性：相似形的边长比例是指两个或多个图形之间对应边长之间的比例关系。

当两个图形的对应边长之比相等时，这两个图形就是边长比例相似的。

3. 面积比例性：相似形的面积比例是指两个或多个图形之间对应面积之比的关系。

当两个图形的对应面积之比等于它们的边长比例的平方时，这两个图形就是面积比例相似的。

二、相似形的判定方法1. AA判定法：当两个三角形的两个对应角度相等时，这两个三角形是相似的。

这是由于三角形的内角和定理所决定的。

2. SSS判定法：当两个三角形的三个对应边长之比相等时，这两个三角形是相似的。

3. SAS判定法：当两个三角形的两个对应边长之比相等，且这两个边之间的夹角相等时，这两个三角形是相似的。

4. 直角三角形判定法：若两个直角三角形的两个锐角相等，则这两个三角形是相似的。

小角相似定理对于相似三角形的判定起着重要的作用。

5. 倍数判定法：两个平面图形具有相同形状，但尺寸不同，且尺寸之间的比例为一个常数时，这两个图形是相似的。

这常数称为相似比例因子。

三、相似形的应用相似形在实际生活中具有广泛的应用。

以下列举几个例子：1. 建筑设计：在建筑设计中，相似形可以用于将真实的建筑物缩小比例，以便在纸上（平面上）进行绘制。

2. 地图缩放：地图的制作也使用了相似形的原理。

将地球按照一定的比例缩小，使得它可以以合适的比例在纸面上呈现。

3. 图案设计：相似形的特性常常用于图案设计中，通过调整图案的比例和形状，使得图案更加美观和统一。

相似形的性质与判定相似形是指两个或多个几何图形在形状上相似，但尺寸不一致。

在数学几何中，相似形是研究形状相似但大小不同的图形之间的性质和关系的分支。

相似形的性质与判定是几何学中重要的概念，对于解决实际问题和推理逻辑具有重要意义。

一、相似形的性质1. 对应边的比值相等：相似形的边长比值相等，即两个相似形的对应边的长度比等于相似比。

例如两个相似的三角形，它们对应边AB和A'B'的比值等于边AC和A'C'的比值等于边BC和B'C'的比值。

2. 对应角的相等：相似形的对应角相等，即两个相似形的对应角度度数相等。

例如两个相似的角度，它们分别是角ABC和角A'B'C'的度数相等。

3. 对应的边数成比例：相似形的对应边数成比例，即两个相似形的边数之比等于相似比。

例如一个三角形和另一个三角形相似，那么它们的边数之比等于相似比。

二、相似形的判定1. AA判定法：若两个三角形的两个角分别相等，那么这两个三角形是相似的。

也就是说，如果两个三角形的两个角分别相等，则它们的第三个角也相等，从而确定两个三角形是相似的。

2. SSS判定法：若两个三角形的对应边的比值相等，那么这两个三角形是相似的。

也就是说，如果两个三角形的三条边之间的比例相等，则它们的对应角度也相等，从而确定两个三角形是相似的。

3. SAS判定法：若两个三角形的一对对应边的比值相等，并且包含这对边的两个角度分别相等，那么这两个三角形是相似的。

也就是说，如果两个三角形的一对对应边的比例相等，并且包含这对边的两个角度也相等，则它们的对应角度也相等，从而确定两个三角形是相似的。

三、相似形的应用相似形的性质与判定在实际应用中具有广泛的应用价值。

以下是相似形在实际中的一些应用：1. 测量高楼建筑的高度：由于高楼建筑往往难以直接测量其高度，可以利用相似形的性质与判定，通过测量建筑物与地面的距离和测量测量仪器与建筑物尖顶之间的距离，以及测量仪器与地面的高度，来计算出建筑物的准确高度。

相似图形的性质与判断相似图形是初中数学中一个重要的概念，它在几何学中有着广泛的应用。

掌握相似图形的性质与判断方法，不仅可以帮助我们解决各种几何问题，还能培养我们的逻辑思维和分析能力。

本文将详细介绍相似图形的性质与判断方法，以帮助中学生和他们的家长更好地理解和应用这一概念。

一、相似图形的定义相似图形是指形状相似但大小不同的两个或多个图形。

在相似图形中，对应角度相等，对应边的比例相等。

例如，两个三角形的对应角度相等且对应边的比例相等，那么这两个三角形就是相似的。

二、相似图形的性质1. 相似三角形的边比例性质：在相似三角形中，对应边的比例相等。

例如，若三角形ABC与三角形DEF相似，则AB/DE = BC/EF = AC/DF。

2. 相似三角形的角度性质：在相似三角形中，对应角度相等。

例如，若三角形ABC与三角形DEF相似，则∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。

3. 相似图形的周长比例性质：在相似图形中，对应边的比例等于对应边的长度比例，即周长比例等于边长比例。

例如，若两个矩形的对应边长比例为a:b，则它们的周长比例也为a:b。

4. 相似图形的面积比例性质：在相似图形中，对应边的比例的平方等于对应面积的比例。

例如，若两个三角形的对应边长比例为a:b，则它们的面积比例为a²:b²。

三、相似图形的判断方法1. 角度判断法：若两个图形的对应角度相等，则它们是相似的。

例如，若两个三角形的对应角度分别为60°、30°和90°、60°，则它们是相似的。

2. 边长比例法：若两个图形的对应边的比例相等，则它们是相似的。

例如，若两个矩形的对应边长比例为3:4，则它们是相似的。

3. 边长比例加角度判断法：若两个图形的对应边的比例相等且对应角度相等，则它们是相似的。

例如，若两个三角形的对应边长比例为2:3且对应角度分别为60°、30°和120°、60°，则它们是相似的。

相似形的概念与性质相似形是几何学中的一个重要概念，它在形状、大小及比例等方面与另一图形相似。

相似形的研究对于几何学的发展起到了重要的推动作用。

本文将探讨相似形的概念与性质，以及其应用。

一、相似形的定义相似形是指两个或更多个图形，在形状上相似，但大小可能不同。

形状相似意味着它们的内部角度相等，并且相应边的比值相等。

以两个三角形为例，如果它们的内部角度相等，并且对应边的比值相等，那么这两个三角形就是相似的。

比如，三角形ABC与三角形DEF是相似的，记作∆ABC∼∆DEF。

二、相似形的性质1. 内部角度相等相似形的最重要性质之一是内部角度相等。

两个相似的图形的对应角度始终相等。

例如，在相似三角形∆ABC与∆DEF中，∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。

2. 边长比例相等另一个重要的性质是边长比例相等。

对于两个相似的图形，它们对应边的比值始终相等。

在∆ABC与∆DEF中，我们有AB/DE = BC/EF = AC/DF。

3. 面积比例相等相似形的面积比例也是相等的。

如果两个图形相似，那么它们的面积比例等于相应边的比例的平方。

在∆ABC与∆DEF中，我们有S(∆ABC)/S(∆D EF) = (AB/DE)^2 = (BC/EF)^2 = (AC/DF)^2。

三、相似形的应用1. 测量不规则图形的面积相似形的性质可以应用于测量不规则图形的面积。

通过将不规则图形划分为许多相似的简单形状，然后计算各个相似形的面积，最后将它们相加，我们可以得到整个不规则图形的近似面积。

2. 设计和建筑相似形的概念在设计和建筑领域也得到广泛应用。

设计师和建筑师可以利用相似形的性质来保持设计的对称性和美感。

使用相似形理论可以确保建筑物的各个部分在形状和比例上是一致的。

3. 地图制作在地图制作中，相似形也发挥了重要的作用。

地图上的各种地物和地区通过相似形来表示，使得地图更加准确和易读。

四、总结相似形作为几何学的一个重要概念，具有多样的性质与应用。

相似三角形的性质与判定相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的两个三角形。

在几何学中，相似的三角形有着许多有趣的性质和特点。

本文将介绍相似三角形的性质和判定方法。

一、相似三角形的性质1. 相似三角形的对应角相等。

如果两个三角形的对应角分别相等，则它们是相似的。

例如，若∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，则三角形ABC相似于DEF。

2. 相似三角形的对应边成比例。

如果两个三角形的对应边长之比相等，则它们是相似的。

例如，若AB/DE = BC/EF = AC/DF，则三角形ABC相似于DEF。

3. 相似三角形的周长比例等于任意一边长的比例。

如果两个三角形相似，则它们的周长之比等于任意一边的比例。

例如，若三角形ABC 相似于DEF，则AB+BC+AC/DE+EF+DF = AB/DE = BC/EF = AC/DF。

4. 相似三角形的面积比例等于边长比例的平方。

如果两个三角形相似，则它们的面积之比等于对应边长比例的平方。

例如，若三角形ABC相似于DEF，则△ABC的面积/△DEF的面积 = (AB/DE)² = (BC/EF)² = (AC/DF)²。

二、相似三角形的判定方法1. AA判定法：若两个三角形的两对角分别相等，则它们是相似的。

例如，如果∠A = ∠D，∠B = ∠E，则三角形ABC相似于DEF。

2. SAS判定法：若两个三角形的一个角相等，两边成比例，则它们是相似的。

例如，如果∠A = ∠D，AB/DE = AC/DF，则三角形ABC相似于DEF。

3. SSS判定法：若两个三角形的三边成比例，则它们是相似的。

例如，如果AB/DE = BC/EF = AC/DF，则三角形ABC相似于DEF。

4. 直角三角形的判定法：若两个直角三角形的斜边和直角边成比例，则它们是相似的。

例如，若∠C = ∠F = 90°，AB/DE = AC/DF，则三角形ABC相似于DEF。