高中数学第三章三角恒等变换3.2两角和与差的三角函数1自我小测

解：（1） 原式 =
tan 60∘ − tan 15∘ 1 + tan 60∘ ⋅ tan 15∘ = tan(60∘ − 15∘ ) = tan 45∘ = 1.
（2）根据tan α + tan β = tan(α + β)(1 − tan α tan β) ，则有 原式 = tan 120 ∘ (1 − tan 55∘ tan 65∘ ) − √3 tan 55∘ tan 65∘
π )，向左平移 m 个单位后，得到的函数为 3 π π π y = 2 sin (x + + m)，若所得到的图像关于 y 轴对称，则 + m = + kπ, k ∈ Z ，所以 3 3 2 π π m = + kπ ，k ∈ Z．取 k = 0 时，m = ． 6 6
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和差角公式 辅助角公式
三、知识讲解
1.和差角公式 描述： 两角差的余弦公式 对于任意角α，β 有cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β，称为差角的余弦公式，简记C(α−β) ． 两角和的余弦公式 对于任意角α，β 有cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β，称为和角的余弦公式，简记C(α＋β) ． 两角和的正弦公式 对于任意角α，β 有sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β，称为和角的正弦公式，简记S (α＋β) ． 两角差的正弦公式 对于任意角α，β 有sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β，称为差角的正弦公式，简记S (α−β) ． 两角和的正切公式 对于任意角α，β 有tan(α + β) = 两角差的正切公式 对于任意角α，β 有tan(α − β) =

3.2.2 两角和与差的正弦、余弦函数第2课时 两角和与差的正弦函数1．两角和与差的正弦公式预习交流1根据公式C α±β的识记规律，你能总结出公式S α±β的记忆规律吗？ 2．推导公式 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝______，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝______；cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－sin α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝sin α.3．辅助角公式通常把a sin x ＋b cos x (a ，b 不同时为0)写成a sin x ＋b cos x ＝________sin(x ＋θ)的形式，我们把这种形式称为辅助角公式，其中cos θ＝________，sin θ＝________，角θ叫作辅助角．对辅助角公式的认识和理解：(1)a sin x ＋b cos x (a ，b 不同时为0)中的角x 必须为同一个角，否则不成立．(2)通过化单角(x )为复角(x ＋θ)，达到减少函数名称合二为一的目的．最终化为一个(复)角的一种三角函数，有利于进一步研究相关性质．(3)化简的形式不唯一． 由于选用的辅助角不一样，所以化简的结果也会不相同，这实际上是由化简过程中采用的公式决定的．如f (x )＝3sin x ＋cos x 可以写成f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，还可以写成f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3.预习交流2已知函数f (x )＝sin x －3cos x . (1)求f (x )的周期与值域； (2)求f (x )的单调递增区间．答案：1．sin αcos β＋cos αsin β sin αcos β－cos αsin β预习交流1：提示：对比公式C α±β的识记规律“余余正正，和差相反”可得公式S α±β的记忆规律：“正余余正，和差相同”．2．－cos α －cos α3.a 2＋b 2aa 2＋b2b a 2＋b 2预习交流2：解：f (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x －32cos x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos π3－cos x ·si n π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3. (1)周期T ＝2πω＝2π，值域为[－2,2]．(2)由2k π－π2≤x －π3≤2k π＋π2，得2k π－π6≤x ≤2k π＋5π6(k ∈Z )．故f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋5π6(k ∈Z )．1．给角求值化简下列各式：(1)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°； (2)sin π12－3cos π12.思路分析：本题给出了具体的角求值，根据公式的特点，解答(1)可先用诱导公式再用两角和的正弦公式；(2)可直接用辅助角公式化简．求值或化简： (1)cos ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α；(2)sin 80°·cos 35°－sin 10°·cos 55°； (3)sin π12＋cos π12；(4)sin 37°－sin 45°cos 8°sin 8°.运用公式求值小技巧：解答这类题目一般先要用诱导公式把角化正、化小，化切为弦，统一函数名称，然后观察角的关系以及式子的结构特点，选择合适的公式进行求值．2．给值(式)求值(1)已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝1213，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值；(2)已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝－435，－π2＜α＜0，求cos α的值．思路分析：(1)观察发现α＋π4＝(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4，进而可用S α－β求解；(2)将已知条件展开、化简，即得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6，再利用角的变换α＝⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6.(2011·广东高考，文16)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π6，x ∈R .(1)求f (0)的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎪⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝65，求sin(α＋β)的值．解决这类问题的关键在于从整体上把握所求的角与已知条件中角的运算关系，具体有以下几种情况：(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式． (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．如：已知角π4－α的相关三角函数值，那么要求角π4＋α的三角函数值，就可以利用π4＋α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α变换得到．(3)角的拆分方法不唯一，要注意根据题目合理选择．3．利用辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋θ)(a ，b 不同时为零)研究三角函数的性质若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x ＜π2.(1)把f (x )化成A sin(ωx ＋φ)的形式；(2)判断f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2上的单调性，并求f (x )的最大值．思路分析：本题关键是对f (x )进行合理化简，然后利用三角函数的相关性质，求单调性及最值．1．(1)函数f (x )＝sin x ＋cos x 的最小正周期是__________； (2)函数f (x )＝sin x －cos x 的最小值是__________．2．已知a ＝(3，－1)，b ＝(sin x ，cos x )，x ∈R ，f (x )＝a ·b . (1)求f (x )的表达式；(2)求函数f (x )的周期、值域、单调区间．辅助角公式化简的步骤及应用(1)“提”常数即提取a 2＋b 2，使a sin x ＋b cos x 变成a 2＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2sin x ＋b a 2＋b 2cos x . (2)“定”θ值 令cos θ＝a a 2＋b2，sin θ＝b a 2＋b 2确定辅助角θ的值．(3)用处多利用辅助角公式我们可以进一步研究这类函数的周期、值域、单调性、对称性等很多问题．答案：活动与探究1：解：(1)原式＝sin 14°cos 16°＋sin(90°－14°)cos(90°－16°)＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°＝sin(14°＋16°)＝sin 30°＝12.(2)原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin π12－32cos π12＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos π3sin π12－sin π3·co s π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－ 2. 迁移与应用：解：(1)原式＝cos π3cos α－sin π3sin α＋sin π6cos α＋cos π6sin α＝12cos α－32sin α＋12cos α＋32sin α＝cos α. (2)原式＝sin 80°·cos 35°－cos 80°·sin 35°＝sin(80°－35°)＝sin 45°＝22.(3)原式＝2·⎝⎛⎭⎪⎫22sin π12＋22cos π12 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π4 ＝2sin π3＝2×32＝62.(4)原式＝sin(45°－8°)－sin 45°·cos 8°sin 8°＝sin 45°·cos 8°－cos 45°·sin 8°－sin 45°·cos 8°sin 8°＝－cos 45°＝－22. 活动与探究2：解：(1)∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，∴3π2＜α＋β＜2π，π2＜β－π4＜3π4. 故cos(α＋β)＝45，cos ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝－513. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4 ＝sin(α＋β)·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4－cos(α＋β)·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513－45×1213＝1565－4865＝－3365.(2)由已知，得sin αcos π3＋cos αsin π3＋sin α＝－435，∴32sin α＋32cos α＝－435. ∴32sin α＋12cos α＝－45， 即sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45. ∵－π2＜α＜0，∴－π3＜α＋π6＜π6.∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35. ∴cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π6＝35×32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×12＝33－410.迁移与应用：解：(1)f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－2sin π6＝－1；(2)∵1013＝f ⎝⎛⎭⎪⎫3α＋π2＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13×⎝⎛⎭⎪⎫3α＋π2－π6＝2sin α， 65＝f (3β＋2π)＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13×(3β＋2π)－π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫β＋π2＝2cos β， ∴sin α＝513，cos β＝35，∴cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝1213， sin β＝1－cos 2β＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45， 故sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝513×35＋1213×45＝6365.活动与探究3：解：(1)f (x )＝(1＋3tan x )·cos x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3sin x cos x ·cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.(2)∵0≤x ＜π2，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上是增加的，在⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2上是减少的．∴当x ＝π3时，f (x )有最大值2.迁移与应用：1.(1)2π (2)－ 2 解析：(1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，最小正周期是2π.(2)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，最小值是－ 2.2．解：(1)f (x )＝a ·b ＝(3，－1)·(sin x ，cos x )＝3sin x －cos x (x ∈R )．(2)f (x )＝3sin x －cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x －12cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6.∴T ＝2πω＝2π，值域为[－2,2]．由－π2＋2k π≤x －π6≤π2＋2k π(k ∈Z )得f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋2k π，2π3＋2k π，k ∈Z ； 由π2＋2k π≤x －π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )得f (x )的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3＋2k π，5π3＋2k π，k ∈Z .1．对等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β的认识正确的是( )． A ．对任意的角α，β都成立B ．只对α，β取几个特殊值时成立C ．对于任何角α，β都不成立D ．有无限个α，β的值使等式成立2．计算sin 59°·cos 29°－cos 59°sin 29°的结果等于( )． A.33B.32C.12D.223．在△ABC 中，已知sin(A －B )cos B ＋cos(A －B )sin B ≥1，则△ABC 是( )． A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰非直角三角形4．函数f (x )＝sin x ＋cos x ＋1的最大值是__________．5．(2012·安徽重点中学模拟，17改编)已知函数f (x )＝cos 2x －sin 2xsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.(1)求函数f (x )的定义域；(2)若f (x )＝43，求sin x ·cos x 的值．答案：1．D2．C 解析：原式＝sin(59°－29°)＝sin 30°＝12.3．C 解析：已知条件可化为sin A ≥1，又∵sin A ≤1，∴sin A ＝1.∴A ＝π2.故△ABC 是直角三角形．4.2＋1 解析：f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋1，故f (x )的最大值为2＋1.5．解：(1)由题意，sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≠0，∴x ＋π4≠k π(k ∈Z )．∴x ≠k π－π4(k ∈Z )．函数f (x )的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π－π4，k ∈Z .(2)f (x )＝cos 2x －sin 2xsin x ·co s π4＋cos x ·si nπ4＝2(cos x ＋sin x )(cos x －sin x )sin x ＋cos x＝2(cos x －sin x )，∵f (x )＝43，∴cos x －sin x ＝223.∴1－2sin x ·cos x ＝89.∴sin x ·cos x ＝118.。

3.2.2 两角和与差的正弦、余弦函数备课资料一、备用习题1.计算οοοοοο8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin -+的值.2.利用和差角公式计算下列各式的值.(1)sin72°cos42°-cos72°sin42°.(2)cos20°cos70°-sin20°sin70°.(3)sin(54°-x)cos(36°+x)+cos(54°-x)sin(36°+x).3.化简cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β.4.已知2π＜β＜α＜43π,cos(α-β)=1312,sin(α+β)=-54,求cos2β的值.5.求证:cos α+3sin α=2sin(6π+α).参考答案:1.解:原式=οοοοοοοοοοοοοοοοοοοο8sin 15sin 8sin 15sin 8cos 15cos 8sin 15cos 8sin 15cos 8cos 15sin 8sin 15sin )815cos(8sin 15cos )815sin(-++-=--+- =οοοο8cos 15cos 8cos 15sin =tan15°=tan(45°-30°) =3233133130tan 45tan 130tan 45tan -=+-=+-οοοο.2.解:(1)原式=sin(72°-42°)=sin30°=21.(2)原式=cos(20°+70°)=cos90°=0.(3)原式=sin ［(54°-x)+(36°+x)］=sin90°=1.3.解:原式=cos ［(α+β)-β］=cos α.4.解:∵2π＜β＜α＜43π,∴0＜α-β＜4π,π＜α+β＜23π.又∵cos(α-β)=1312,sin(α+β)=-54,∴sin(α-β)=135,cos(α+β)=-53.∴cos2β=cos ［(α+β)-(α-β)］=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β) =-53×1312+(-54)×135=-6556.5.证明:方法一:右边=2(sin 6πcos α+cos 6πsin α)=2(21cos α+23sin α)=cos α+3sin α=左边. 方法二:左边=2(21cosα+23sinα) =2(sin 6πcosα+cos 6πsinα)=2sin(6π+α)=右边. 本题点评:本题题目虽小但意义重大,也可设计为本节例题.对于此题的证明,学生首先想到的证法就是把等式右边利用公式S α+β展开,化简整理即可得到左边,这是很自然的,教师要给予鼓励.同时教师可以有目的地引导学生把等式左边转化为公式S α+β的右边的形式,然后逆用公式化简即可求得等式右边的式子,这种证明方法不仅仅是方法的变化,更重要是把两个三角函数化为了一个三角函数.本题给出了两种证法,方法一是正用公式的典例,而方法二则是逆用公式证明的,此法也给了我们一种重要的转化方法:将两个三角函数转化为一个三角函数,要求学生熟练掌握其精神实质.本例的方法二将左边的系数1与3分别变为了21与23,即辅助角6π的正、余弦.关于形如asinx+bcosx(a,b 不同时为零)的式子引入辅助变形为Asin(x+φ)的形式,其基本思想是“从右向左”用和角的正弦公式,把它化成Asin(x+φ)的形式.一般情况下,如果a=Acosφ,b=Asinφ,那么asinx+bcosx=A(sinxcosφ+cosxsinφ)=Asin(x+φ).由sin 2φ+cos 2φ=1,可得A 2=a 2+b 2,A=±22b a +,不妨取A=22b a +,于是得到cosφ=2222sin ,b a b b a a+=+ϕ,从而得到tanφ=b a ,因此asinx+bcosx=22b a +sin(x+φ),通过引入辅助角φ,可以将asinx+bcosx 这种形式的三角函数式化为一个角的一个三角函数的形式,化为这种形式可解决asinx+bcosx 的许多问题,比如值域、最值、周期、单调区间等.教师应提醒学生注意,这种引入辅助角的变形思想很重要,即把两个三角函数化为了一个三角函数,实质上是消元思想,这样就可以根据三角函数的图像与性质来研究它的性质,因此在历年高考试题中出现的频率非常高,在解答高考物理试题时也常常被使用,应让学生领悟其实质并熟练地掌握它.二、三角函数知识歌诀三角函数是函数,象限符号坐标注;函数图像单位圆,周期奇偶增减现.同角关系很重要,化简证明都需要;同角仅是正余切,平方商除有技巧.诱导公式就是好,负化正后大化小;变成锐角好查表,化简证明少不了.三角公式就是美,二的一半整数倍;千变万化有规律,奇数化余偶不变.将其后者视锐角,符号原来函数判;两角和的余弦值,化为单角好求值.计算证明角先行,注意结构函数名;保持基本量不变,繁难向着简易变.换角变形众公式,抓住角的相对性;公式虽多有主线,互余角度名称变.单位圆中有玄机,逻辑推理要严密;恒等变形不变质;向量有了用武地.三角公式变形多,联系过程巧记忆;总结规律常思考,数学原来真美丽.。

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式自我小测1．若，，则tan 2α的值为( )．A. B.C．D．2．(2011辽宁高考，理7)设，则sin 2θ＝( )．A．B． C．D．3．若，则cos4x－sin4x等于( )．A． B．C． D．4．设a＝(sin 17°＋cos 17°)，b＝2cos213°－1，c＝，则( )．A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c5．若cos x＝，则cos 2x－sin2x＝__________.6．(2011大纲全国高考，理14)已知，，则tan 2α＝______. 7．求证：8．已知向量，，且x∈．(1)求a·b及|a＋b|；(2)求函数f(x)＝a·b－|a＋b|的最小值及此时的x值．9已知函数f(x)＝sin2x＋3sin x cos x＋2cos2x，x∈R，(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；(2)函数f(x)的图象可以由函数y＝sin 2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到？参考答案1答案：B解析：∵，，∴，∴. 再由倍角公式得，故选B.2答案：A解析：由，得，即，两边平方，得，所以.3答案：D解析：cos4x－sin4x＝(cos2x－sin2x)(cos2x＋sin2x)＝cos2x－sin2x＝cos 2x＝＝，故选D.4答案：A解析：a＝cos 45°sin 17°＋sin 45°cos 17°＝sin 62°，b＝cos 26°＝sin 64°，c＝sin 60°，所以b＞a＞c，故选A.5答案：解析：cos 2x－sin2x＝2cos2x－1－1＋cos2x＝3cos2x－2＝.6答案：解析：∵，，∴.∴，∴7证明：左边＝＝右边．∴原等式成立．8解：(1)，|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝1＋1＋2×cos 2x＝2＋2cos 2x＝4cos2x，∴|a＋b|＝2cos x.(2)，∴当，即时，f(x)取最小值.9解：(1)，∴f(x)的最小正周期，由题意得，k∈Z.即，k∈Z.∴f(x)的单调增区间为，k∈Z.(2)先把y＝sin 2x图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，再把所得图象上所有的点向上平移个单位长度，就得到的图象．。