矩阵秩的8大性质、重要定理以及关系

矩阵的秩与特征值矩阵是线性代数中的重要概念，它与多个数学领域有着密切的联系。

在矩阵理论中，矩阵的秩和特征值是两个重要的概念，它们对于矩阵的性质和应用具有重要的影响。

一、矩阵的秩矩阵的秩是指线性无关的行（或列）向量的最大数量。

它可以用来衡量矩阵的线性相关性和自由度。

矩阵的秩具有以下性质：1. 矩阵的秩不超过矩阵的行数和列数的较小值。

2. 对于m×n的矩阵，秩r满足0 ≤ r ≤ min(m, n)。

3. 若矩阵A的秩为r，则存在r个行线性无关的行向量和r个列线性无关的列向量。

4. 行最简形式的矩阵的秩等于其非零行的个数。

二、矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量是矩阵理论中的重要概念，用来描述线性变换过程中的不变性。

设A是一个n阶方阵，如果存在一个非零向量x，使得Ax=kx，其中k为常数，则称k为矩阵A的特征值，x为对应于特征值k的特征向量。

矩阵的特征值与特征向量有以下性质：1. 一个n阶矩阵A最多有n个线性无关的特征向量。

2. 特征值与特征向量的存在与矩阵A的秩有关。

如果A的秩为r，则至少存在n-r个特征值为零的特征向量。

3. 矩阵的特征值与特征向量可以用于对矩阵进行对角化处理，简化计算过程。

矩阵的秩与特征值的关系：1. 若矩阵A的秩为r，则A的零特征值的个数为n-r。

2. 若矩阵A的特征值均为非零值，则A的秩等于它的阶数n。

3. 若矩阵A的所有特征值均为0，则A的秩为0，即A为零矩阵。

综上所述，矩阵的秩和特征值是矩阵理论中重要的概念，它们相互关联并对矩阵的性质和应用产生重要影响。

通过对矩阵的秩和特征值的研究，可以进一步了解矩阵的性质，并在实际应用中发挥其重要作用。

矩阵秩的性质大全及证明矩阵的秩是指矩阵中最多能线性无关的列（或行）的数量。

下面是矩阵秩的一些性质和证明：秩加性性质如果有两个矩阵$A$ 和$B$，则有：$$\text{rank}(A+B) \leq \text{rank}(A)+\text{rank}(B)$$证明：设$A$ 的秩为$r_A$，$B$ 的秩为$r_B$。

则存在$r_A$ 个线性无关列$a_1, a_2, \dots, a_{r_A}$ 和$r_B$ 个线性无关列$b_1, b_2, \dots, b_{r_B}$，使得$A$ 和$B$ 分别可以写成如下形式：$$A = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & \dots & a_{r_A} & * & \dots & * \end{bmatrix}$$$$B = \begin{bmatrix} b_1 & b_2 & \dots & b_{r_B} & * & \dots & * \end{bmatrix}$$其中星号表示可以是任意列。

由于$a_1, a_2, \dots, a_{r_A}$ 和$b_1, b_2, \dots, b_{r_B}$ 都是线性无关的，所以$A+B$ 中前$r_A+r_B$ 列是线性无关的。

因此$\text{rank}(A+B) \leq r_A+r_B = \text{rank}(A)+\text{rank}(B)$。

秩乘法性质如果有两个矩阵$A$ 和$B$，则有：$$\text{rank}(AB) \leq \min(\text{rank}(A),\text{rank}(B))$$证明：设$A$ 的秩为$r_A$，$B$ 的秩为$r_B$。

则存在$r_A$ 个线性。

第一章 矩阵的秩矩阵理论是高等代数的主要内容之一, 在数学及其它科学领域中有着广泛的应用.在矩阵理论中, 矩阵的秩是一个重要的概念. 它是矩阵的一个数量特征, 而且是初等变换下的不变量. 本文归纳了矩阵的秩与向量的线性关系; 线性方程组的求解; 空间中点面位置关系; 二次型; 线性变换等问题的密切的联系.1 矩阵的秩的定义及简单的公式1.1 矩阵的秩的定义定义1一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩. 所谓矩阵的行秩就是矩阵的行向量组的秩, 矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩. 矩阵的行秩等于矩阵的列秩, 并统称为矩阵的秩. 另外, 矩阵的秩等于它的不为零的子式的最高阶数, 这是矩阵的秩的行列式定义.定义2设()n m a A ij ⨯=有r 阶子式不为0，任何r +1阶子式(如果存在的话)全为0 , 称r 为矩阵A 的秩，记作()A R 或。

定义3 矩阵A 经过初等变换所化成的阶梯型中非零行的个数称为矩阵A 的秩． 矩阵A 的秩为r ，记为()r A R =.特别，零矩阵的秩()00=R1.2 矩阵的秩的几个简单性质性质1 ()0=A r , 当且仅当A 是零矩阵 性质2 ()n A r =, 当且仅当|A |≠0性质3 设A 是m ×n 矩阵, 则()}{n m A r ,min 0≤≤ 性质4 ()()()B r A r B A r +≤+性质5 ()()TA rank A rank =1.3矩阵秩的求法（1）定义法找出矩阵A 中不为零的最高子式，算出它的阶数． （2）初等变换法用初等变换（行、列均可）将矩阵A 化为标准形r E O O O ⎛⎫⎪⎝⎭，即可得出()R A r =；或化成阶梯形矩阵，其非零行的个数即为秩．例设6117404112901316124223A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭, 求秩(A) 解 A →1290404161171316124223-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭→1290084010115570525108403-⎛⎫⎪- ⎪⎪- ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭→12900151015711015150153-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-- ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭→12900151000458800034000014-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪- ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭所以()3R A =.第二章 矩阵的秩的相关问题1 矩阵的秩在向量组线性相关性问题中的应用向量组的线性相关性是线性代数中一个较为抽象的概念, 它既是线性代数的重点, 又是一个难点。

矩阵秩的8大性质:①A,宀)冬mini加小I ;③若A〜叭则R(A) = K(B)j④若可逆•则R(PAQ) = R(A),下面再介绍几个常用的矩阵秩的性质：⑤maxi R( A )>R(B)|^J R(A t B)^J R(A) + P (B), 特别地，当B = b为非零列向量时，有R(A)MR(A』)MR(A)+ 1.⑦R(AB)^min{K(A)t K(B)|,(见下节定理7)⑧若A…B“二0,则R(A) + R(B)Mm(见下章例13)设AB= O■若A为列满秩矩阵，则B-0.线性方程组的解:定理3 H元线性方程组A x=&(i)无解的充分必要条件是K(A)CR(A』)；(ii)有惟一解的充分必要条件是R(A) = R(A,b)=n;(iii)有无限多解的充分必要条件是R(A) = R(A』)Cr?・定理4 n元齐次线性方程组Ax=OW零解的充分必要条件是R(A)Cm £35翹方聽AE鬧械酬髓件默⑷=R(A"定理6解方gAX=£有解的充分必要条件是R(A) = R(A,B).定理7 «AB = C,则R(C)Wmin|R(A),R(B)h向量组的线性相关性:定鰹1向跖能由向量组严心线憐示的充分必要桑件是j£^A=(a H fl J1»<t a w )的秩等于矩阵B =(爲卫?广』册』)的税.定理2向虽组B4訥严上能由向蚩组A0 叫…心 线性表示的 充分必要条件是矩阵A = («i 严心)的秩等于矩阵(A,B)=(釦严心, 27啲秩，即 R(A} = R(A,B)・推论向輦组宀％与向HfflB ：*1(h lt -s6,等价的充分必要 条件是J?(A) = R(B)-J?(A,B)t其中A 和月是向僮组A 和B 所构成的矩阵”定理3设向員组Bl 】』?「讪能由向證组A a 厲厂心线性表示. 则R(h 』W 血KR 仏曲宀仇)・阵A = g 曲严松)的秩小于向懂个数奶向咼组线性无关曲充分必要条件 是R ⑷二皿血“也线性相关成盲之，若向储组B 线性无关侧向A 也线性无关.(2) 7«个"维向虽组成的向量组,当维数«小于向虽个数加时一定钱牲相 关•特别地,n + ltwt 向量一定线性相关，(3) 设向量组人：叭』2,线性无关，而向量组线性 相关侧向虽b 必能由向鈕组A 钱性表示,且表示式是惟一的.定理4,％线性相关的充分必要条件是它所构成的矩 定理5 (1)若向员组A0严心线性相关』IJ 向量組SW *对比:矩阵A =(叭』加小,％)的秧等于矩阵B = 的税,定理5线性方程组曲M 有解的充分必要憑件是R ⑷= R(A ；b)?l定理2向虽组时血严血能由向量组A ：釘』线性表示的 充分必要条件是矩阵4二(尙，伽「・,心)的秩等于矩阵= 儿7)的秩,即R(A) = R(A 』｝.条件是定理1 JSA 仙疋“5—线性表示的充分必要条件是 推论 向量组A ：%与向 组…出等价的充分必要曬b 能由向 R(A) = R(B) = R(A t B),其中A 和B 是向世组A 和B 所构成的矩阵・定理6矩阵方程AX=B 有解的充分必要条件是R(A) = R(A t B).则RO】』?严,h)WR(a*2严叫)・n定理4向燧组小勺严心黠相关的充分必要条件是它所构成的矩阵亦⑴曲「心)的秩小于向齢数用洞鞠黠无关的充分必縣件是R(A)n||能4 "元制:黠方翻X0有鶴繃充分必要条瞬丽石~|觀5如騎次難方翻(13)的系協行臟D判屈粽黠方翱(13)蹣粹館定理5’如果撅黠方翩(13)辭輔』陀的系舫脱必腮.。

矩阵的秩的性质总结1. 什么是矩阵的秩?矩阵的秩是矩阵最重要的性质之一。

它是描述矩阵列空间的维度，也可以看作是矩阵中线性无关的列或行的数量。

对于一个 m × n 的矩阵 A，它的秩记作 rank(A) 或 r(A)。

矩阵的秩是矩阵A的最大非零子式的阶数。

2. 矩阵秩的性质性质1：矩阵的行秩等于列秩对于任意 m × n 的矩阵 A，它的行秩和列秩是相等的，即 rank(A) = rank(A^T)，其中 A^T 表示 A 的转置矩阵。

性质2：矩阵的秩不超过它的维数对于任意 m × n 的矩阵 A，它的秩不会超过它的行数和列数中的较小值，即rank(A) ≤ min{m, n}。

性质3：矩阵的零空间维数等于它的列数减去秩对于一个 m × n 的矩阵 A，它的零空间维数等于 n - rank(A)，其中 n 为矩阵 A的列数。

性质4：矩阵的秩可能受大小变化的影响矩阵的秩在进行大小变化时可能发生变化。

例如，如果一个矩阵 A 的某一行乘以一个非零数，那么这个矩阵的秩不会改变。

性质5：矩阵乘法中秩的关系对于两个矩阵 A 和 B，我们有以下关系：rank(AB) ≤ min{rank(A), rank(B)}。

3. 矩阵秩的应用解线性方程组矩阵的秩在解线性方程组时起到了重要的作用。

通过求解矩阵 A 的秩和增广矩阵的秩，可以判断线性方程组的解的情况。

线性相关性与线性无关性矩阵的秩可以用来判断向量组的线性相关性与线性无关性。

一个向量组的秩等于向量组中线性无关向量的最大个数。

求矩阵的逆对于一个方阵 A，如果它的秩等于它的行数（或列数），那么它是一个可逆矩阵，可以求出它的逆矩阵。

矩阵的相抵标准形矩阵的秩可以用来推导矩阵的相抵标准形。

相抵标准形是矩阵在初等行变换和初等列变换下的标准形式。

结论矩阵的秩是矩阵理论中一个非常重要的概念。

它能够帮助我们理解矩阵的性质，并在线性方程组求解、线性相关性判断、矩阵逆的求解等问题中发挥重要作用。

规定：零矩阵的秩等于0.
例1 求矩阵A和 B的秩.
1 A 2
4
2 3 7
3 5, 1
2
B
0 0 0
1 3 0 0
0 1 0 0
3 2 4 0
2
5
3 0
6
在 A中，容易看出一个2阶
1 2 3
子式
12
D
1 0,
23
A的3阶子式只有一个 A 0,
因此 R( A) 2.
B
2
一、概念的引入
第 三 节
用初等变换把矩阵
A
2 3
4 6
5 4
3 2
化为标准形.
4 8 17 11
矩 阵
解 2
A 3 4
4 6 8
5 4 17
3
1
2 11
r1 2 r1 r2
ห้องสมุดไป่ตู้
3 4
2 6 8
6 4 17
4 2 11
的 秩
r2 3r1 1
r3
4r1
0 0
2 0 0
6 14 7
例如
2 4 5 3 A3 6 4 2
4 8 17 11
D是 A的一个2阶
6 2 子式，A 的2阶子
D 8
11
式共有
C
32C
2 4
18
个.
一般地，m
n
矩阵
A的
k
阶子式共有C
k m
C
k n
个.
5
三、矩阵的秩
定义 设在矩阵 A中有一个不等于零的 r阶子 式D ，且所有 r 1阶子式（如果存在的话）全等 于零，那么 D称为矩阵 A的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵的秩，记作 R( A)或 r(A) .

同解,则对应齐次方程组AX=O的基础解系
(1)不存在
(2)仅含有一个非零向量
(3)含有两个非零向量 (4)含有三个非零向量
4.设向量 1 (1,2,0)T , 2 (1, a 2,3a)T ,
3 (1,b 2, a 2b)T 及 (1,3,3)T ,试讨论当a,b
为何值时,
, , (1) 不能由 1 2 2
2x1 x2 2x3 2x4 3
解
增广矩阵
1 3
2 1
3 5
1 3
1 2
2 1 2 2 3
1 2 3 1 1 1 2 3 1 1 0 5 4 0 1 0 5 4 0 1
0 5 4 0 1 0 0 0 0 2
上计算结果表明，增广矩阵的秩=3，而原方程组系数矩阵 A 的
若 A 经过有限次行的初等变换化为梯形矩阵 B，称 A、B 等价(equivalent)，记为 A~B。 性质：若 A~B，则 B~A；若 A~B，B~C，则 A~C。 定理 若 A~B，则 R(A)=R(B) 证明略。
所以，为求 R(A)，可将 A 先化为梯形矩阵，再计算 R(A)。
3 2 0 5 0
矩阵的秩及其性质
(The rank of matrixs and its properties)
定义 设矩阵Amn ，在其中任取 k 行和 k 列（k m, k n），位
于这些行、列交叉位置元素所构成的 k 级行列式叫做 A 的一个 k 阶子式 (k-order minor determinant)
x21
b11 b21
a11 a21
x12
a12 a22
x22
b12 b22
即B中的向量可以用A中向量表示。

高等代数第二次大作业1120133839 周碧莹30011303班矩阵的秩的性质1.阶梯型矩阵J的行秩和列秩相等，它们都等于J的非零行的数目；并且J的主元所在的列构成列向量的一个极大线性无关组。

2.矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩。

证明：设矩阵A的行向量组是a1，…,as.设A经过1型初等行变换变成矩阵B，则B的行向量组是a1，…,ai,kai+aj,…,as.显然a1，…,ai,kai+aj,…,as可以由a1，…,as线性表处。

由于aj=1*(kai+aj)-kai,因此a1，…,as可以由a 1，…,ai,kai+aj,…,as线性表处。

于是它们等价。

而等价的向量组由相同的秩，因此A的行秩等于B的行秩。

同理可证2和3型初等行变换使所得矩阵的行向量组与原矩阵的行向量组等价，从而不改变矩阵的行秩。

3.矩阵的初等行变换不改变矩阵的列向量组的线性相关性。

证明：一是为什么初等行变换不改变列向量的线性相关性?二是列向量进行初等行变换后，为什么可以根据行最简形矩阵写出不属于极大无关组的向量用极大无关组表示的表示式?第一个问题：设α1，α2，…，αn是n个m维列向量，则它们的线性相关性等价于线性方程组AX=0(其中A=(α1，α2，…，αn)，X=(x1，x2，…，xn)T)是否有非零解，即α1，α2，…，αn线性相关等价于AX=0有非零解，α1，α2，…，αn 线性无关等价于AX=0只有零解。

而对A进行三种行初等变换分别相当于对线性方程组中的方程进行：两个方程交换位置，对一个方程乘一个非零常数，将一个方程的常数倍对应加到另一个方程上。

显然进行三种变换后所得方程组与原方程组同解，若设所得方程组为BX=0，则B即为对A进行行初等变换后所得矩阵。

B 的列向量的线性相关性与BX=0是否有解等价，也就是与AX=0是否有解等价，即与A的列向量的线性相关性等价!第二个问题以一个具体例子来说明。

例：设矩阵，求A的列向量组的一个极大无关组，并把不属于极大无关组的列向量用极大无关组线性表示。

a1 a1 a2 a2 2 A = (b1 , b2 , " bn ) (b1 , b2 , " bn ) # # a a n n a1 a = 2 ⋅ k ⋅ (b1 , b2 , " bn ) # a n a1 a = k ⋅ 2 (b1 , b2 , " bn ) # a n = kA
r ( A1 + A2 + " + Ak ) ≤ k
证明：由定理 1 得
r ( A1 + A2 + " + Ak ) ≤ r ( A1 ) + r ( A2 + A3 + " + Ak ) ≤ r ( A1 ) + r ( A2 ) + r ( A3 + A4 + " + Ak ) "" ≤ r ( A1 ) + r ( A2 ) + " + r ( Ak ) =k
所以 r ( A 3 ) ≥ r ( A 2 ) + r ( A 2 ) − r ( A) ≥ r ( A 2 ) 由定理 2 得
r ( A 3 ) = r ( A 2 ⋅ A) ≤ r ( A 2 )
故 r ( A 2 ) = r ( A3 ) 由此可推得 r ( A 3 ) = r ( A 4 ), r ( A 4 ) = r ( A 5 ), " 故对任意自然数 k，有 r ( A k ) = r ( A)
则 A 的任何一个二阶子式
a1b2 a 2 b2 " a n b2
" a1bn " a 2 bn " " " a n bn

于是这个 r 阶子式的列向量组线性无关.从而它的延伸组，即 A 的第������1 , ⋯ , ������������ 列线性 无关.由于 A 的列秩为 r，因此 A 的第������1 , ⋯ , ������������ 列构成 A 的列向量组的一个极大无关组. 类似地可证明 A 的行向量的极大无关组的结论. █ 【定理8】 非零矩阵 A 不等于 0 的子式的最高阶数称为 A 的行列式秩，A 的行列式 秩与 A 的秩相等 证明 设������ × ������的矩阵的秩为 r，则 A 的行向量组的秩为 r，有 r 个行向量线性无关，设为 αi1 ，αi2 ，…，αir . 取此 r 个向量组成的������ × ������子矩阵������1 ， 则rank A1 = r.于是������1 列向量组秩也为 r.同理 组成������1 的 r 级子矩阵������2 ，则������2 的列向量组线性无关.故 ������2 ≠ 0.而即是矩阵������1 的一个 r 阶子式 ������2 = ������ ������1 ������1 ������2 ������2 ⋯ ������������ ⋯ ������������
所以 A 存在一个 r 阶不等于 0 的子式. 另一方面，当������ < ������������������ ������, ������ 时，任取 A 的一个 k 阶子式i（������ ≤ ������ ≤ ������������������ ������, ������ ) ������ ������ ⋯ ������������ ������ = ������ 1 2 ������1 ������2 ⋯ ������������ 设 A 的列向量组为������1 ，������2 ， ⋯ ，������������ ， 其一个极大无关组为������������1 , ������������2 , ⋯ , ������������������ .则 A 的列 向量组������������ 1 , ������������ 2 , ⋯ , ������������ ������ 可由其线性表出.因������ > ������，故������������ 1 , ������������ 2 , ⋯ , ������������ ������ 相性相关. ∵子式 M 恰在此列向量组上 ∴M 的列向量组即其缩短组. 所以由������������ 1 , ������������ 2 , ⋯ , ������������ ������ 相性相关可得 M 列向量组也线性相关.因此������ = 0

的一个最高阶非零子式. 则这个子式便是 A 的一个最高阶非零子式
线性代数——第 3章
1 0 例7 求矩阵A = 2 3
1 1 1 −1 3 a 5 1
1 b 的秩, 其中a, b为参数. 4 7
线性代数——第 3章
三、矩阵秩的性质
( 1)
(2 )
R ( AT ) = R ( A )
线性代数——第 3章
定义2 定义2
设在矩阵中有一个不等于 的 阶子式 阶子式D， 设在矩阵中有一个不等于0的r阶子式 ，且 有一个不等于
所有r 所有 + 1阶子式（如果存在的话）全等于 ，那么 阶子式（如果存在的话）全等于0 那么D 称为矩阵A的最高阶非零子式， 称为矩阵 的秩， 称为矩阵A的秩 称为矩阵 的最高阶非零子式，数r称为矩阵 的秩， 记作R (A)， 并规定零矩阵的秩等于零 记作 ， 并规定零矩阵的秩等于零.
线性代数——第 3章
§3 矩阵的秩
一、矩阵秩的概念 二、矩阵秩的求法 三、矩阵秩的性质 小结、 四、小结、思考题
线性代数——第 3章
一、矩阵秩的概念
任何矩阵 Am × n , 总可经过有限次初等行 变换 把它变为行阶 梯形，行阶 梯形矩阵中非零行的行 梯形， 数是唯一确定的 .
矩阵的秩
线性代数——第 3章
解
r1 ↔ r4 r2 − r4
r3 − 2r1 r4 − 3r1
6 4 −4 −1 1 3 1 −1 0 − 4 0 − 12 9 7 − 11 0 − 16 12 8 − 12
线性代数——第 3章
r3 − 3r2
r4 − 4r2
1 6 − 4 −1 4 1 − 1 0 − 4 3 0 0 0 4 − 8 0 0 0 4 − 8

结论1 以下命题等价：
(i) A满秩；
(ii) A E;
(iii) A非奇异； (iv) A P1P2 Pm (其中Pi为初等矩阵).
16
1 1 1 1 1 1 当x 1时，A 1 1 1 0 0 0 r( A) 1；
1 1 1 0 0 0
2 1 1 1 1 2
当x
2时，A
1
2
1 0 1 1， r( A) 2.
1 1 2 0 0 0
14
二、矩阵秩的性质
解法2 利用初等变换求秩
x 1 1 1 1 x 1 1
x
1 x 1 1 x 1 0
若方阵A 的秩与其阶数相等，则称A 为满秩矩阵，否则，称矩阵A 为
定义
降秩阵.
定义 定理2.3
若方阵A 的行列式值不为零，则称A 为非奇异矩阵，否则，称矩阵A为
奇异矩阵.
方阵A可逆的充要条件是 A 0，且在A可逆时，有 A1 A .
A
满秩 非奇异
降秩 奇异
结论1 设A 为满秩阵，则A 的标准型为E. 即A 与单位矩阵等价.
不推荐使用
计算得四个三阶子式均为零，
所以 r( A) 2.
12
二、矩阵秩的性质
1 2 3 4
例3
求秩：B 1 0
1
2
.
3 1 1 0
1 2 0 5
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
解
B 1 0
1
2
0
2
2
2
0 1
1
1
3 1 1 0 0 7 10 12 0 7 10 12
线性代数（慕课版）
第二章 矩阵
第八讲 矩阵的秩(1)

几个简单结论 (1) 若 矩 阵 A 中 有 某 个 s 阶 子 式 不 为 0 则 R(A)s 若A中所有t 阶子式全为0 则R(A)t (2)若A为mn矩阵 则0R(A)min{m n} (3)R(AT)R(A) (4)对于n阶矩阵A 当|A|0时 R(A)n 当 |A|0时 R(A)n 可逆矩阵又称为满秩矩阵 不可逆矩阵(奇 异矩阵)又称为降秩矩阵
则
R( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3
也就式说矩阵A的秩和它行向量组和列向量组 的秩是相等的。 那么这到底是巧合还是必然呢？下面我们就来 研究这个问题
二、矩阵与向量组秩的关系
定理1 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于
它的行向量组的秩.
定理1说明求向量组的秩可以转化为求矩阵的 秩
例1 求矩阵
1 0 A 0 0 1 1 2 1 4 0 0 5 0 0 0 3
的秩
解
显然A的四阶子式 A 0
1 1 1
而A的一个三阶子式 D 0 2 4 10 0 因此R(A)＝3
0 0 5
注意A是一个行阶梯矩阵，而它的秩恰好是非 零行的行数。
E 0
0 0
但是在第一章中我们不能确定E的阶数， 而学习完矩阵的秩的有关知识以后我们知道E 的阶就是矩阵A的秩 由此我们也知道对于一个可逆矩阵它的等价标 准形就是与它同阶的单位矩阵。
说明
（1）初等变换不改变矩阵的秩
（2）用初等行（列）变换把矩阵化成行（列） 阶梯时，非零行（列）的个数就是矩阵的秩 （3）把矩阵A化成行（列）阶梯矩阵B，则B的 列（行）向量组中任意最大无关组所对应的A的 列（行）向量组构成A的一个最大无关组。
三、矩阵秩的求法
1、用定义

当 A B时, 分三种情况讨论: (1) Dr中不含第 i 行; (2) Dr中同时含第 i 行和第 j 行; (3) Dr中含第 i 行但不含第 j 行.
对(1),(2)两种情形, 显然B中与Dr对应的子式Dr有 Dr = Dr 0, 从而, R(B) r . 对情形(3),
设A为n阶可逆方阵. 因为| A | 0, 所以, A的最高阶非零子式为| A |, 则R(A)=n.
故, 可逆方阵A的标准形为单位阵E, 即A E. 即可逆矩阵的秩等于阶数. 故又称可逆(非奇异)矩 阵为满秩矩阵, 奇异矩阵又称为降秩矩阵. 1 2 2 1 1 2 4 8 0 2 , b , 例5:设 A 2 4 2 3 3 3 6 0 6 4 求矩阵A和矩阵B=(A | b)的秩. 分析: 设矩阵B的行阶梯形矩阵为B=(A| b), 则A就是A的行阶梯形矩阵. 因此可以从B=(A| b)中同时考察出R(A)及R(B).
二、矩阵秩的求法
因为任何矩阵Amn, 总可以经过有限次初等行变 换把它们变为行阶梯形矩阵. 问题: 经过变换矩阵的秩改变吗? 定理1: 若A B, 则 R(A) = R(B). 证: 先证明: 若A经过一次初等行变换变为B, 则R(A)=R(B). 设R(A)=r, 且A的某个r 阶子式Dr 0. ri r j ri k 当 A B 或 A B 时, 则在B中总能找到与Dr 相对应的子式Dr . 由于 Dr = Dr , 或 Dr = –Dr , 或 Dr = kDr . 因此Dr 0, 从而R(B) r .
三、小结
1. 矩阵秩的概念 2. 求矩阵秩的方法 (1) 利用定义 寻找矩阵中非零子式的最高阶数; (2) 初等变换法

矩阵的秩相关公式
矩阵的秩是指矩阵中最大行数，也就是矩阵中主对角线以下的行数。

矩阵的秩对于矩阵的计算和分析都非常重要。

以下是矩阵秩的一些相关公式:
1. 矩阵秩的计算公式：设 $A$ 为 $m times n$ 矩阵，则矩阵$A$ 的秩为 $min(n,m)$,即 $A$ 的秩不超过矩阵中任何一行或一列的最大值。

2. 矩阵秩的性质：矩阵秩的值不受矩阵中个别行或列的影响，即对于任意两个矩阵 $A$ 和 $B$,如果 $A$ 的秩等于 $B$ 的秩，则$A$ 和 $B$ 中所有行和列的秩都相等。

3. 矩阵秩的应用：矩阵秩的计算和分析对于矩阵的计算和分析都非常重要。

矩阵的秩可以用来判断矩阵是否可逆，也可以用来求解线性方程组和矩阵的对角化等。

拓展:
4. 矩阵秩的符号：矩阵秩的符号与矩阵中行向量的秩有关。

如果矩阵 $A$ 的秩为 $n$,则 $A$ 中所有行向量的秩都为 $n$,也就是说，$A$ 中所有非零行向量都是线性相关的。

如果矩阵 $A$ 的秩为 $m$,则 $A$ 中所有行向量的秩都为 $m$,也就是说，$A$ 中所有非零行向量都是线性相关的。

5. 矩阵秩的递增顺序：对于任意两个矩阵 $A$ 和 $B$,如果$A$ 的秩大于 $B$ 的秩，则 $A$ 中所有行向量的秩都大于 $B$ 中所有行向量的秩。

反之，如果 $B$ 的秩大于 $A$ 的秩，则 $B$ 中
所有行向量的秩都大于 $A$ 中所有行向量的秩。

5−λ =0 , 即5=λ . µ−1=0 µ =1
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矩阵秩的性质 (1)0≤R(Am×n)≤min{m, n}. (2)R(AT)=R(A). (3)若A~B, 则R(A)=R(B). (4)若P、Q可逆, 则R(PAQ)=R(A). (5)若A可逆，则R(AB)= R(B). (6) R(AB)≤min{R(A), R(B)}.
1 0 −1 2 r3 − 2 r2 0 −1 3 1 = B → 0 0 0 0
显然B是阶梯型矩阵， 显然 是阶梯型矩阵，R(B)=2，所以，由定理 是阶梯型矩阵 ，所以，由定理2.5 知R(A)=2。 。
进一步， 变为C： 进一步，将B变为 ： 变为
1 0 −1 2 1 0 −1 2 0 −1 3 1 0 1 −3 −1 = C −r2 B= → 0 0 0 0 0 0 0 0
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矩阵的秩 设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D, 且所有r+1阶子 式(如果存在的话)全等于0, 那么D称为矩阵A的最高阶非零子 式, 数r称为矩阵A的秩, 记作R(A). 并规定零矩阵的秩等于0. 几个简单结论 (1)若矩阵A中有某个s阶子式不为0, 则R(A)≥s; 若A中所有 t阶子式全为0, 则R(A)<t. (2)若A为m×n矩阵, 则0≤R(A)≤min{m, n}. (3)R(AT)=R(A).
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k阶子式 在m×n矩阵A中, 任取k行与k列(k≤m, k≤n), 位于这些行列 交叉处的k2个元素, 不改变它们在A中所处的位置次序而得的 k阶行列式, 称为矩阵A的k阶子式. 例如
1 1 −2 1 4 A= 2 −1 −1 1 2 , 2 −3 1 −1 2 −3 −1 3 6 −9 7 9 D= 1 1 是A的一个二阶子式. −3 −1 k k m×n 矩阵A 的k 阶子式有CmCn 个.

矩阵的秩及相关定理矩阵是⼀个数表，⾥⾯的元素有很多种理解⽅式，现在我们将矩阵理解为由⾏向量或列向量组成的⼀个向量组。

则矩阵的秩就是：⾏向量组或者列向量组中极⼤线性⽆关组所含向量的个数，或者说秩是列(⾏)向量空间的最低维度。

所以我们拿到⼀组向量，通过构造矩阵求秩，就可以知道这些向量所在空间的最低维度。

怎么理解呢？线性空间是我们⽤来容纳向量的集合，⽐如⽔平⾯就是⼀个线性空间，平⾯上的所有向量都是该空间内的元素，⽽⽔平⾯内的向量其实⼜全包含在三维空间内，所以三维空间也可以构成⼀个线性空间，来容纳⽔平⾯上的所有向量，⼀组向量所处的线性空间维度是没有上限的，但有下限，这个下限就是这个向量组的秩，⽐如平⾯上的所有向量秩为 2，那最少得⽤⼀个平⾯来容纳它们，总不能⽤直线来容纳吧。

总之：秩就是容纳这些向量的最⼩向量空间的维数。

设有若⼲个向量，它们能找到⼀个维数为n的空间容纳，且⽆法再找到更低维度的空间，那么它们的线性组合必然也能被这个空间容纳。

这是由线性空间的封闭性决定的。

注：如果不了解什么是向量空间的维数和向量维数，可先阅读。

进⼀步理解：以AB=C为例α1α2...αn⋅b11b12 (1)b21b22 (2)............b n1b n2...b nn=β1β2...βn矩阵C的列向量组可以由矩阵A的列向量组线性表出，输出向量组所在向量空间的最低维度必然不会超过矩阵A的秩。

输出的向量可能就被压缩到低维度的空间，即降秩(取决于变换的矩阵)。

理解了上述内容，可以得到⼀个定理：r(AB)≤min(r(A),r(B))1）将A看成变换矩阵，按列分块，矩阵B即为输⼊向量的坐标，则输出矩阵列向量都可以由A列向量组表⽰，故r(AB)≤r(A)。

2）将B看成变换矩阵，按⾏分块，矩阵A即为输⼊向量的坐标，则输出矩阵⾏向量都可以由B⾏向量组表⽰，故r(AB)≤r(B)。

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