精选高中数学第2章函数2.3映射的概念练习苏教版必修1

2.3 映射概念精析一、概念1．映射是两个集合之间的一种对应关系，对应与集合一样，是一个不加定义的概念，不能用更基本的概念来定义它．理解对应概念应注意下列两点：(1)A的元素都能在f下确定至少一个元素属于B，即A的元素都“参加”；(2 )A的元素在f下确定的元素存在即可，个数不很就上述两点可以解释为：对应可以有四种形式：即多多对应、多一对应、一多对应、一一对应。

2．映射概念的三个特征（1）集合A.B及对应法则f是确定的，是一个整本，是一个系统；（2）对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集今B的对应，它与从集合B到集合A的对应关系一般是不同的；（3）对于映射f：A B来说，则应满足：①集合A中每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的，即影射中“原象”必然有“象”与之对应，对于集合A中的任一元素，集合B中有且只有一个元素与之对应，即集合B中不能有两个或两个以上的元素与之对应，绝不允许“一对多”；②集合A中不同元素，在集合B中对应的象可以是同一个；③不要求集合B中的每一个元素，在集合A中都有原象．④A和B可以是不相同的集合，也可以是相同的集合。

二、例题选析例1.下列说法正确的是（）．(1)对于任意两个集合M和N,都可以建立一个从M到N的映射；(2)对无限集M和有限集N，一定不能建立一个从M到N的映射；（3）对于单元素集合M和非空集合N,只能建立一个从M到N的映射；(4)对于非空集合M和单元素集合N,只能建立一个从M到N的映射．分析：紧扣映射的概念，当M=Φ或N=Φ时，（1）不正确；(2)也不正确，因为至少可以建立M中的元素全与N中某一个元素对应的映射；（3）说法不正确，因N中有n个元素时，则可以建立n个从M到N的映射；（4）是正确的，因为M中的任一元素都只能和N中的唯一元素对应．评注：根据映射特征（1），即集合A、B及对应法则f是确定的，集合A,B均为非空的集合．映射可以“一对一”，也可以“多对一”，但不能“一对多”，也不能“多对多”；M中任一元素，在N中均有唯一的一个元素与之对应，但允许N中有一些元素不是M中任一元素的象．例2.对映射f：A→B，下面命题(1)A中的每一个元素，在集合B中有且仅有一个象；(2)集合A中的不同元素，在集合B中的象必不相同；(3)集合B中的每个元素在集合A中都有原象；(4)集合B中的元素在集合A中可以有两个以上的原象，也可以无原象．假命题的个数是( )(A) 1 (B)2 (C)3 (D)4解：(1)是真命题，符合定义；(2)是假命题，因为A中的不同元素，在集合B中可以有相同的象；(3)是假命题，因为映射定义只要求A中的任一元素在集合B中都有惟一的象,不要求B 中的每一个元素在A中都有原象；(4)是真命题，符合定义．综上，假命题的个数是2，故应选(B)．评注：判断一个对应是否是映射，先看第一个集合A中的每一个元素是否都有对应元素，若有，再看对应元素是否惟一；至于B中的每一个元素是否都有原象不作要求．例3．设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{ y|0≤y≤2}，下列4个图中能表示集合M到N的映射关系的个数为（）(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3解：①中M的一部分元素(如2)无象；②中M的一部分元素象不在N内；④中M的一个元素有两个象，所以①、②、④不能表示集合M到集合N的映射．而③中M的元素在N 内有不同的象；⑤中N的一部分元素无原象，均符合映射的定义．故有③、⑤两个正确，而选(B)．。

映射的概念练习．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则为：明文，，，对应密文＋＋＋．例如，明文对应密文．当接收方收到密文时，则解密得到的明文为．．下列说法中正确的是．①对于任意两个集合和，都可以建立一个从到的映射；②对无限集和有限集，一定不能建立一个从到的映射；③对于单元素集合和非空集合，只能建立一个从到的映射；④对于非空集合和单元素集合，只能建立一个从到的映射．．点(，)在映射下的对应元素为，则点()在作用下的对应元素(，)为．．计算机中常用的十六进制是逢进的计数制，采用数字～和字母～共个计数符号，这些十六进制十进制．设集合＝{≤≤}，＝{≤≤}，从到的对应法则是映射．(写出一个即可)．已知集合＝＝{}，则下列从到的对应关系为映射的是．．已知＝*，＝{正奇数}，映射：→使中任一元素与中元素－相对应，则在：→中，中元素与中元素对应；与集合中元素对应的中元素为．．设集合＝{，，}，＝{，}，那么集合到的不同映射最多可以有个．．集合、是平面直角坐标系上的两个点集，给定从→的映射：(，)→(＋，)，求中的元素()所对应中的元素．．现代社会对破译密文的难度要求越来越大，有一种密码把英文的明文(真实文)按两个字母一组分组(如果最后剩一个字母，则任意添一个字母，拼成一组)，例如：，分组为，，，，，，得到其中英文的，，，…，给出如下一个变换公式将明文转换为密文．如→→，即变成(说明：÷余数为)；又如→→，即变成(说明：÷余数为÷余数为)．()按上述方法将明文译成密文；()若按上述方法将某明文译成的密文是，请你找出它的明文．参考答案．解析：由题意得＋＝＋＝＋＝，＝，解之，得＝，＝，＝，＝．答案：．解析：紧扣映射的概念，当＝或＝时，①不正确；②也不正确，因为至少可以建立中的元素全与中某一个元素对应的映射；③的说法不正确，因中有个元素时，则可以建立个从到的映射；④是正确的，因为中的任一元素都只能和中的惟一元素对应．答案：④．解析：，．答案：(，－)．解析：×＝×＝÷＝余，而在进制中用表示，故×＝．答案：．答案：：→＝(不惟一)．解析：在()()中，集合中都存在元素在集合中找不到元素与之对应，()中，集合中的一个元素在集合中有两个元素与之对应，也不是映射．答案：()．解析：根据映射的定义，在：→中，中元素与中元素×－＝对应．在这个映射中，设中元素与中元素对应，则－＝，解得＝．答案：．解析：个，分别是。

2．3映射的概念学习目标 1.了解映射的概念，掌握映射的三要素(难点)；2.会判断给出的两集合，能否构成映射(重点)．预习教材P46－47，完成下面问题：知识点一映射的概念一般地，设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对于A中的每一个元素，在B中都有唯一的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从集合A 到集合B的映射，记为f：A→B.【预习评价】下面各图表示的对应构成映射的有________．解析①②③这三个图所表示的对应都符合映射的定义，即A中的每一个元素在对应法则下，B中都有唯一的元素与之对应．对于④⑤，A中的每一个元素在B中有2个元素与之对应，所以不是A到B的映射；对于⑥，A中的元素a3，a4，在B中没有元素与之对应，所以不是A到B的映射．答案①②③知识点二映射与函数的关系名称区别与联系函数映射区别函数中的两个集合A和B必须是非空数集映射中的两个集合A和B可以是数集，也可以是其他集合，只要非空即可联系函数是一种特殊的映射；映射是函数概念的推广，但不一定是函数函数与映射有何区别与联系？提示函数是一种特殊的映射，即一个对应关系是函数，则一定是映射，但反之，一个对应关系是映射，则不一定是函数．题型一映射的判断【例1】以下给出的对应是不是从集合A到集合B的映射？(1)集合A＝{P|P是数轴上的点}，集合B＝R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；(2)集合A＝{P|P是平面直角坐标系中的点}，集合B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；(3)集合A＝{x|x是三角形}，集合B＝{x|x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；(4)集合A＝{x|x是新华中学的班级}，集合B＝{x|x是新华中学的学生}，对应法则f：每一个班级都对应班里的学生．解(1)按照建立数轴的方法可知，数轴上的任意一个点，都有唯一的实数与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到集合B的一个映射．(2)按照建立平面直角坐标系的方法可知，平面直角坐标系中的任意一个点，都有唯一的一个实数对与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到集合B的一个映射．(3)由于每一个三角形只有一个内切圆与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到集合B的一个映射．(4)新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即与一个班级对应的学生不止一个，所以这个对应f ：A →B 不是从集合A 到集合B 的一个映射．规律方法 映射是一种特殊的对应，它具有：(1)方向性：映射是有次序的，一般地从A 到B 的映射与从B 到A 的映射是不同的；(2)唯一性：集合A 中的任意一个元素在集合B 中都有唯一的元素与之对应，可以是：一对一，多对一，但不能一对多．【训练1】 设集合A ＝{x |1≤x ≤2}，B ＝{x |1≤x ≤4}，则下述对应法则f 中，不能构成从A 到B 的映射的是________． ①f ：x →y ＝x 2 ②f ：x →y ＝3x －2 ③f ：x →y ＝－x ＋4④f ：x →y ＝4－x 2解析 对于①，任一实数x 都有唯一的x 2与之对应，是映射，这个映射是一对一；对于②，任一x 都有唯一3x －2与之对应，是映射，一对一．③类似于②.对于④，当x ＝2时，由对应法则y ＝4－x 2得y ＝0，在集合B 中没有元素与之对应，所以④不能构成从A 到B 的映射． 答案 ④题型二 利用对应法则求对应元素【例2】 设集合A 和B 为坐标平面上的点集{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，映射f ：A →B 使集合A 中的元素(x ，y )映射成集合B 中的元素(x ＋y ，xy )，那么(1,2)在映射f 作用下的对应元素为________；若在f 作用下的对应元素为(－2，－3)，则它原来的元素为________．解析 根据映射的定义，当x ＝1，y ＝2时，x ＋y ＝3，xy ＝2，则(1,2)在映射f 作用下的对应元素为(3,2)；由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝－2，xy ＝－3，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－3， 即(－2，－3)所对应的原来的元素为(－3,1)或(1，－3)． 答案 (3,2) (－3,1)或(1，－3)规律方法 求一个映射(f ：A →B )中，A 中元素在B 中的对应元素或B 中元素在A 中的对应元素的方法，主要是根据对应法则列方程或方程组求解．【训练2】 已知集合A ＝R ，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，f ：A →B 是从A 到B 的映射，f ：x →(x ＋1，x 2＋1)，求A 中元素2在B 中的对应元素和B 中元素⎝ ⎛⎭⎪⎫32，54在A 中的对应元素．解 将x ＝2代入对应法则，可求出其在B 中的对应元素为(2＋1,3)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝32，x 2＋1＝54，可得x ＝12.所以2在B 中的对应元素为(2＋1,3)，⎝ ⎛⎭⎪⎫32，54在A 中的对应元素为12. 互动 探究题型三 映射的个数问题【探究(1)从A 到B 可以建立多少个不同的映射？从B 到A 呢？(2)若f (a )＋f (b )＋f (c )＝0，则从A 到B 的映射中满足条件的映射有几个？ 解 (1)从A 到B 可以建立8个映射，如下图所示．从B 到A 可以建立9个映射，如图所示．(2)欲使f (a )＋f (b )＋f (c )＝0，需a ，b ，c 中有两个元素对应－1，一个元素对应2，共可建立3个映射．【探究2】 已知集合A ＝{a ，b ，c }，B ＝{1,2,3}，映射f ：A →B 满足A 中元素a 在B 中的对应元素是1，问这样的映射有几个． 解 由已知f (a )＝1，所以，①f (b )＝f (c )＝1时有1个； ②f (b )＝f (c )＝2或f (b )＝f (c )＝3时各有1个，共2个； ③f (b )＝1，f (c )＝2时有1个； ④f (b )＝1，f (c )＝3时有1个； ⑤f (c )＝1，f (b )＝2时有1个； ⑥f (c )＝1，f (b )＝3时有1个； ⑦f (b )＝2，f (c )＝3时有1个； ⑧f (b )＝3，f (c )＝2时有1个． 综上可知，共有不同映射9个．【探究3】 已知从集合A 到集合B ＝{0,1,2,3}的映射f ：x →1|x |－1，则集合A 中的元素最多有几个？ 解 ∵f ：x →1|x |－1是从集合A 到集合B 的映射，∴A 中的每一个元素在集合B 中都应该有对应元素． 令1|x |－1＝0，该方程无解，分别令1|x |－1＝1,2,3， 解得x ＝±2，x ＝±32，x ＝±43， ∴集合A 中的元素最多有6个．【探究4】 设M ＝{a ，b ，c }，N ＝{－2,0,2}． (1)求从M 到N 的映射个数；(2)从M 到N 的映射满足f (a )＞f (b )≥f (c )，试确定这样的映射f 的个数．解 (1)M 中元素a 可以对应N 中的－2,0,2中任意一个，有3种对应方法，同理，M 中元素b ，c 也各有3种对应方法．因此从M 到N 的映射个数为3×3×3＝27. (2)满足f (a )＞f (b )≥f (c )的映射是从M 到N 的特殊映射，可具体化，通过列表求解(如下表).f (a ) f (b ) f (c ) 0 －2 －2 2 －2 －2 2 0 －2 2故符合条件的映射有4个．规律方法 (1)映射是一种特殊的对应，一对一，多对一均为映射，但一对多不构成映射．(2)判断两个集合的一种对应能否构成函数，首先判断能否构成映射，且构成映射的两个集合都是数集，这样的映射才能构成函数．①如果集合A 中有m 个元素，集合B 中有n 个元素，那么从集合A 到集合B 的映射共有n m 个，从B 到A 的映射共有m n 个．②映射带有方向性，从A 到B 的映射与从B 到A 的映射是不同的．课堂达标1．若f ：A 中元素(x ，y )对应B 中的元素(x ＋y ，x －y )，则B 中元素________与A 中元素(1,2)对应，A 中元素________与B 中元素(1,2)对应． 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝3，1－2＝－1，得B 中元素(3，－1)与A 中(1,2)对应．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝－12，所以A 中元素⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12与B 中元素(1,2)对应．答案 (3，－1) ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－122．设集合A ＝{1,2,3}，集合B ＝{－1，－2，－3}，试问，从集合A 到集合B 的不同映射有________个．解析 每个元素都有3种对应，所以3×3×3＝27. 答案 273．设f ，g 都是由A 到A 的映射，其对应法则如下表： 映射f 的对应法则如下：映射g则f (g (1))＝________. 解析 因为g (1)＝4， 所以f (g (1))＝f (4)＝1. 答案 14．设f ：x →x 2是集合A 到集合B 的函数，若B ＝{1}，则A ∩B ＝________. 解析 由f ：x →x 2是集合A 到集合B 的函数，如果B ＝{1}，则A ＝{－1,1}或A ＝{－1}或A ＝{1}，所以A ∩B ＝∅或{1}． 答案 ∅或{1}5．已知B ＝{－1,3,5}，若集合A 使得f ：x →3x －2是A 到B 的映射，求集合A . 解 由f ：x →3x －2，分别令：3x －2＝－1，3x －2＝3,3x －2＝5，得x ＝13，53，73. ∴A 是集合{13，53，73}的非空子集．即A 为：{13}，{53}，{73}，{13，53}，{13，73}，{53，73}，{13，53，73}，共7个．课堂小结对映射定义的理解(1)A 、B 必须是非空集合(可以是数集，也可以是其他集合)；(2)对应关系有“方向性”，即从集合A 到集合B 的对应与从B 到A 的对应关系一般是不同的；(3)集合A 中每一个元素，在集合B 中必须有对应元素，并且对应元素是唯一的； (4)集合A 中不同元素，在集合B 中对应的元素可以是相同的； (5)不要求集合B 中的每一个元素在集合A 中都有对应元素.。

2．3映射的概念教学目标1．理解映射的概念及表达方法．2．会判断一个对应是否为映射．教学过程映射的概念一般地，设A、B是两个非空集合，如果按某种对应法则f，对于A中的每一个元素，在B中都有惟一的元素与之对应，那么，这样的单值对应就叫集合A到集合B的映射．记作f：A→B．若集合A有n个元素，集合B有m个元素，则集合A到集合B的映射有m n个．【做一做1－1】根据对应法则f：x→2x－1，写出图中给定元素的对应元素．(1)(2)答案：(1)135(2)45 6【做一做1－2】已知映射f：A→B，其中集合A＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，集合B中的元素都是A中的元素在映射f下的元素，且对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中的元素的个数是________．答案：41．怎样理解映射的概念？剖析：(1)映射定义中的两个集合A、B是有先后次序的，A到B的映射与B到A的映射是不同的．(2)映射是由集合A、B以及从A到B的对应法则f所确定的．(3)在一个映射中，在对应法则f的作用下，集合A中的任何一个元素a对应着集合B 中的元素b．(4)符号“f：A→B”表示集合A到集合B的映射，其中对应法则f的具体内容可用汉字叙述，如“求正弦”“乘以2再加5”等．但在专业教材中，一般用比较抽象的符号来表示．(5)在一个映射中，集合A、B可以是数集，也可以是点集或其他集合；集合A、B也可以是同一集合，但在确定的映射中，集合A、B的地位一般是不要求对等的．2．为什么说映射是一种特殊的对应？剖析：(1)映射也是两个集合A与B元素之间存在的某种对应关系．说其是一种特殊的映射，就是因为它只允许存在“一对一”与“多对一”这两种对应，而不允许存在“一对多”的对应．(2)映射中所允许的“一对一”与“多对一”这两种对应的特点，从A到B的映射f：A→B 实际是要求集合A中的任一元素都必须对应于集合B中惟一的元素．但对集合B中的元素并无任何要求，即允许集合B中的元素在集合A中可能有一个元素与之对应，可能有两个或多个元素与之对应，也可能没有元素与之对应．题型一映射的概念【例1】下列对应是不是从A到B的映射？(1)A＝Q，B＝{x∈Q|x＞0}，f：x→|x|；(2)A＝B＝N*，f：x→|x－2|；(3)A＝{x∈N|x≥2}，B＝{y∈Z|y≥0}，f：x→y＝x2－2x＋1；(4)A＝{x|x＞0}，B＝{y|y∈R}，f：x→y＝±x．解：(1)中，当x＝0∈A时，|x|＝0B，即A中的元素0按照对应法则在B中找不到应该对应的元素，故(1)不是映射．(2)中，当x＝2∈A时，|x－2|＝0B，与(1)类似，(2)也不是映射．(3)中，因为y＝(x－1)2≥0，所以对任意x，总有y≥0；又当x∈N时，x2－2x＋1必为整数，即y∈Z．所以当x∈A时，x2－2x＋1∈B，且对A中每一个元素x，在B中都有惟一的y与之对应，故(3)是映射．(4)中，任意一个x都有两个y与之对应，故不是映射．反思：给定两集合A、B及对应法则f，判断是否是从集合A到集合B的映射，其基本方法是利用映射的定义．用通俗的语言讲：A→B的对应有“多对一”“一对一”及“一对多”，前两种对应是A→B的映射，而后一种不是A→B的映射．题型二映射的个数问题【例2】已知M＝{a，b，c}，N＝{－2,0,2}，且从M到N的映射满足f(a)＞f(b)≥f(c)，试确定这样的映射f 的个数为__________．解析：因为从M 到N 的映射满足f (a )＞f (b )≥f (c )，所以，(1)当f (a )＝2时，有⎩⎨⎧ f (b )＝0，f (c )＝0或⎩⎨⎧ f (b )＝－2，f (c )＝－2或⎩⎨⎧ f (b )＝0，f (c )＝－2.(2)当f (a )＝0时，有⎩⎨⎧f (b )＝－2，f (c )＝－2. 综上，从M 到N 满足f (a )＞f (b )≥f (c )的映射f 的个数是4．答案：4反思：对于这类有条件的映射问题，求解时要注意考虑周到，注意分情况讨论，切勿遗漏情况．【例3】已知A ＝{1,2,3,4}，B ＝{6,7}，则以A 为定义域，B 为值域的不同函数的个数为__________．解析：当A 中有三个元素对应B 中元素6时，另一个元素必须对应B 中元素7，这样可组成4个满足题意的不同函数；当A 中有三个元素对应B 中元素7时，另一个元素必须对应B 中元素6，这样可组成4个满足题意的不同函数；当A 中有两个元素对应B 中元素6时，剩下两个元素必对应7，这样可组成6个满足题意的函数．所以共可组成4＋4＋6＝14(个)不同函数．答案：14反思：求解此题要特别注意集合B 必须为函数的值域的特别要求，它实际是要求集合B 恰好是集合A 中的所有元素所对应的元素组成的．题型三 映射的应用【例4】为了增加破译密文的难度，有一种密码把英文的明文按两个字母一组分组，如果最后剩一个字母，则任意添一个字母，拼成一组．例如I am your f riend 添一个o ，分组为：Ia my ou r f ri en do ，得到⎩⎨⎧⎭⎬⎫91，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1325，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1521，⎩⎨⎧⎭⎬⎫186，⎩⎨⎧⎭⎬⎫189，⎩⎨⎧⎭⎬⎫514，⎩⎨⎧⎭⎬⎫415． 其中9表示I 在26个英文字母中的序号，1表示a 在26个英文字母中的序号，依此类推，然后用一个公式，比如：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x y ⇒⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ′＝2x ＋3y y ′＝x ＋4y 来进行变换． 由⎩⎨⎧⎭⎬⎫91⇒⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ′＝2×9＋3×1＝21y ′＝9＋4×1＝13＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2113， 21÷26＝0余21,21对应字母u,13÷26＝0余13,13对应字母m ，即Ia 变成um ．将⎩⎨⎧⎭⎬⎫1325变成x ′＝2×13＋3×25＝101除以26得余数为23，即w ；y ′＝13＋4×25＝113除以26得余数为9，即i ．试按上述方法及变换公式将明文I am your f riend 写成密文．解：因26的倍数除以26所得的余数为0，英文字母中没有与0对应的字母，故令与0对应的字母为z ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫1521⇒⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ′＝2×15＋3×21＝93≡15(mod 26)y ′＝15＋4×21＝99≡21(mod 26)＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1521，即ou 不变； ⎩⎨⎧⎭⎬⎫186⇒⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ′＝2×18＋3×6＝54≡2(mod 26)y ′＝18＋4×6＝42≡16(mod 26)＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫216，即rf 变成bp ； ⎩⎨⎧⎭⎬⎫189⇒⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ′＝2×18＋3×9＝63≡11(mod 26)y ′＝18＋4×9＝54≡2(mod 26)＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫112，即ri 变成kb ； ⎩⎨⎧⎭⎬⎫514⇒⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ′＝2×5＋3×14＝52≡0(mod 26)y ′＝5＋4×14＝61≡9(mod 26)＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫09，即en 变成zi ； ⎩⎨⎧⎭⎬⎫415⇒⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ′＝2×4＋3×15＝53≡1(mod 26)y ′＝4＋4×15＝64≡12(mod 26)＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫112，即do 变成al ． 故密文为umwioubpkbzial ．反思：密码学问题涉及到很多的知识，上面的例题只是一种很简单的形式，也是一类很好的映射应用问题，解决此类问题既要读懂题意，又要看准对应法则，按照题目的引例进行计算．1下图中表示的是从集合X 到集合Y 的对应，其中能构成映射的是__________．解析：图象中必须满足对于x 的每一个值，y 都有惟一的值与之对应．答案：①2若A ＝{(x ，y )|x ∈Z ，|x |＜2，y ∈N *，x ＋y ＜3}，B ＝{0,1,2}，从A 到B 的对应关系f ：(x ，y )→x ＋y ，说明f 是A 到B 的映射，并画出对应图，指出B 中的元素2与A 中的哪个元素对应．分析：按照映射的定义，对于集合A中的每一元素，在集合B中都要有惟一的元素与它对应，但要注意集合A中的多个元素是可以对应于B中的同一个元素的．解：集合A的元素共有六个，用列举法表示为{(－1,2)，(－1,3)，(－1,1)，(0,1)，(0,2)，(1,1)}．对应图如下图所示：∵集合A中的每一元素，集合B中都有惟一的元素与之对应，∴f是A到B的映射．2与A中对应的元素有三个，即(－1,3)、(0,2)、(1,1)．3(1)已知集合A＝{a1，a2}，B＝{b1，b2}，试问从集合A到集合B的所有不同的映射有多少个？(2)已知集合A＝{a1，a2}，B＝{b1，b2，b3}，试问从集合A到集合B的所有不同的映射有多少个？分析：当所给集合中的元素数目不大时，可直接用图示的方法展现所有不同的映射；若不然，可采用分析的方法解之．解：(1)用图示的方法可以清楚地看到从A到B能建立4个不同的映射(见下图)．(2)分A中元素对应B中同一元素和A中元素对应B中不同元素两种情况考虑．A中2个元素对应B中相同元素的对应有3个，这时有3个不同的映射；A中2个元素同时对应B 中2个不同的元素的对应有6个，这时有6个不同的映射．所以，集合A到集合B的所有不同的映射一共有9个．已知集合A＝R，B＝{(x，y)|x，y∈R}，f：A→B是A到B的映射，规定为：f：x→(x＋1，x 2＋1)，试求2在B 中的对应元素及35,24⎛⎫ ⎪⎝⎭在A 中的对应元素． 解：由条件知当x ＝2时，x ＋1＝2＋1，x 2＋1＝3． 所以2在B 中的对应元素为(2＋1,3)；再由⎩⎨⎧ x ＋1＝32，x 2＋1＝54，得x ＝12， 说明点35,24⎛⎫ ⎪⎝⎭在A 中的对应元素为12． 5已知集合A 到集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，1，12，13的映射是f ：x →1|x |－1，那么集合A 中的元素最多有几个？并写出元素最多时的集合A ．解：∵f 是映射，∴A 中的每一个元素在B 中都有惟一元素与它对应，但1|x |－1≠0， ∴0在集合A 中不存在元素与它对应．当1|x |－1＝1时，得x ＝±2； 当1|x |－1＝12时，得x ＝±3； 当1|x |－1＝13时，得x ＝±4． ∴A 中元素最多只能有6个，即A ＝{－4，－3，－2,2,3,4}．。