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LU矩阵分解实例

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例：给定一4阶矩阵421
58
721048366849A ⎡⎤
⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
，通过LU 分解求逆矩阵1A -。

解：算法过程为：1
111()A L U U L u l
----=⨯=⨯=⨯，
第一步：求LU 矩阵
设
00000102
0310
1111121320212222
2330
31
32
3333000000000000L U U U U L
L U U U L U L L L U U L L L L U →
⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⨯=↓⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
，
通过（4）~（7）式可逐步进行矩阵L 和U 中元素的计算，如下所示：
001122330000010102020303102030102030000000111110011212100213131003()1,(U )
4,2,1,5,(L )
8462,1, 1.5,
444(U )
7223,2210,10L L L L L U a U a U a U a a a a L L L U U U U a L U U a L U U a L U ======================-=-⨯==-=-⨯==-=计算的对角的第一行的第一列的第二行250,
-⨯=
2121200111313130011122222002211223232003211332323002311222(L )
11
()(812)2
3115
()(8 1.52)33
U 311202,615201,
L 115
()(4 1.5123L a L U U L a L U U U a L U L U U a L U L U L a L U L U U =-=⨯-⨯==
-=⨯-⨯==--=-⨯-⨯==--=-⨯-⨯==--=⨯-⨯-的第二列（的第三行）
（的第三列）
33333003311332230) 1.25,
U 5
9 1.550 1.2510.25;3
U a L U L U L U ⨯==---=-⨯-
⨯-⨯=（的第四行）
经迭代计算，最后得到L 和U 矩阵为：
第二步：求L 和U 矩阵的逆u ，l
11,;u U l L --==
（1）求U 矩阵的逆
1
1
0001020300
0102
0311121311121322232223333342
15000300000000210
000
00
00.25U U U U u u u u U U U u u u u U U u u U u --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===↑⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢
⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦⎣⎦
由式（9）可得矩阵U 的逆的各元素计算如下：
000011010111110022122222110112022200332333332211
(1),4
111111
(2)()(2),3436111
(3)0.5()(00.5)03
11
()(2010.5)0.1254111
(4)4()(14)22
u U u u U u U U u U u U U U u U u U u U u U U =====-=-⨯=-===-=-⨯==-
+=-⨯+⨯=-===-=-⨯=-12022313，，u u ，u u 12231333110113022303330011
()(0(2)04)03
11
()(201(2)54) 4.54
U u U u U U u U u U u U =-+=-⨯-+⨯==-
++=-⨯+⨯-+⨯=-03u
（2）求L 矩阵的逆
1
1
0000
10
111011
20212220212230
31
32
3330
3132
330000
001
000000
021*********.50.6667 1.25
1L l L L l l l L L L l l l L L L L l l l l --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===↓⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦⎣⎦
由（8）式可得L 矩阵的逆的各元素计算如下
001010002020002110303000311032201121113131113221223222(1)1,2,()3,
5
()(1.51(2)13) 1.916667
3
(2)2,()0.83333(3)() 1.251;
l l L l l L l L l l L l L l L l l l L l l L l L l l l L l l ==-=-=-+==-++=-⨯+⨯-+⨯≈-=-=-=-+==-=-=213233=1,=1,(4)
所以得到的逆矩阵为：
（3）求A 的逆矩阵
由式（10）可计算得到矩阵A 的逆，如下：
10.250.1666670.125 4.5100
000.33333002100000.5232100
004 1.9166670.83333 1.2518.833334 3.66667 5.5 4.50.666670.33333005.333333 2.66667327.666667 3.333335
4A u l
-=⨯---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⨯⎢⎥⎢⎥--⎢
⎥⎢
⎥--⎣⎦⎣⎦
--⎡⎤⎢-⎢
=⎢--⎢
--⎣⎦
⎥⎥⎥⎥由程序计算出的结果如下：。

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lu分解方法求矩阵特征值

lu分解方法求矩阵特征值

lu分解方法求矩阵特征值
矩阵的特征值是在许多数学和工程应用中都非常重要的概念。

特征值可以通过LU分解方法来求解。

LU分解是将一个矩阵分解为
一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积的过程。

在这个过程中，我们可以利用LU分解来求解矩阵的特征值。

首先，我们需要将原始矩阵A进行LU分解，得到两个矩阵L和U。

然后，我们可以利用LU分解后的矩阵L和U来求解特征值。

具
体步骤如下：
1. 对矩阵A进行LU分解，得到下三角矩阵L和上三角矩阵U。

2. 将方程Ax=λx转化为(Ux)=λ(Lx)，其中x是特征向量，λ
是特征值。

3. 令y=Ux，解得Ly=y=λy。

4. 解Ly=y=λy可以得到特征值λ。

5. 求解特征值λ后，再通过代入原方程(A-λI)x=0来求解特
征向量x。

需要注意的是，LU分解方法求解特征值时可能需要进行一些数
值计算，因此在实际应用中需要考虑数值稳定性和计算精度的影响。

总之，利用LU分解方法可以求解矩阵的特征值，但需要注意数
值计算的精度和稳定性。

希望以上回答能够帮助你全面了解LU分解
方法求矩阵特征值的过程。

LU分解的C++实现

LU分解的C++实现

LU分解的C++实现 ⼜是⼀次数值科学与计算⽅法的实验题⽬，LU分解的推导就不赘述，其核⼼公式如下：$u_{1i}=a_{1i} (i=1,2,3,\cdots ,n) $$l_{i1}=a_{i1}/u_{11} ( i=2,3,\cdots ,n)$$u_{ri}=a_{ri}-\sum_{k=1}^{r-1}l_{rk}u_{ki} (i=r,r+1,r+2,\cdots ,n)$$l_{ir}=(a_{ir}-\sum_{k=1}^{r-1}l_{ik}u_{kr}) /u_{rr} (i=r+1,\cdots ,n;且r\ne n)$ C++实现⽅⾯，⾸先LU分解的函数传⼊两个参数，⽅阵的⼀阶数组和⽅阵的阶数（⽅阵⽤⼀维数组的⾏优先表⽰）。

计算步骤： 1. 初始化LU矩阵，L矩阵上三⾓为0，对⾓线为1，U矩阵下三⾓为0. 2. 计算U矩阵的第⼀⾏和L矩阵的第⼀列 3. 循环计算U矩阵和L矩阵，第⼀层循环表⽰U计算到第⼏⾏，同时也表⽰L计算到第⼏列，先计算U后计算L。

第⼆层循环分别表⽰U矩阵改⾏的第⼏列元素。

第三层循环就是公式中的求和符号部分。

程序如下：#include <iostream>// 参数：⼀个order阶矩阵，和矩阵的阶数void lowerUpperFactor(double *matrix, int order) {printf("--------原矩阵：--------\n");printMatrix(matrix, order,order);// 结果变量 L矩阵和U矩阵都是order阶矩阵double *L = new double[order*order];double *U = new double[order*order];// 初始化全为0for (int i = 0; i < order; i++) {// 初始化U下三⾓为0for (int j = 0; j < i; j++) {*(U + i * order + j) = 0;}//初始化L对⾓线为1，上三⾓为0*(L + i * order + i) = 1;for (int j = i + 1; j < order; j++) {*(L + i * order + j) = 0;}}// 计算U的第⼀⾏和L的第⼀列int i = 0;for (i = 0; i < order; i++) {*(U + i) = *(matrix + i);}for (i = 1; i < order; i++) {*(L + i * order) = *(matrix + i * order) / *U;}// 计算其余⾏列int temp;for (int i = 1; i < order; i++) {// 计算矩阵Ufor (int j = i; j < order; j++) {temp = 0;for (int k = 0; k < i; k++) {temp+= (*(U + k * order + j) * (*(L + i * order + k)));}*(U + i * order + j) = *(matrix + i * order + j) - temp;}// 计算矩阵Lfor (int j = i+1; j < order; j++) {temp = 0;for (int k = 0; k < i; k++) {temp += *(U + k * order + i) * (*(L + j * order + k));}*(L + j * order + i) = (*(matrix +j * order + i) - temp) / (*(U+i* order + i));}}printf("------矩阵U------\n");printMatrix(U, order,order);printf("------矩阵L------\n");printMatrix(L, order, order);if (L) {delete[] L;}if (U) {delete[] U;}}void printMatrix(double *matrix, int row, int column) { for (int i = 0; i < row; i++) { for (int j = 0; j < column; j++) { printf("%6.2lf ", *(matrix + i * column + j)); } printf("\n"); }}int main() {//double matrix[] = { 1,2,3,2,5,2,3,1,5 };//int order = 3;double matrix1[] = { 1,1,-1,2,1,2,0,2,-1,-1,2,0,0,0,-1,1 };int order1 = 4;lowerUpperFactor(matrix1, order1);}提供两个算例验证其正确性和通⽤性：1. 这个取⾃《数值分析》第四版孙家⼴中的例题通过程序计算如下：2. 这个取⾃《Numerical Analysis-Burden Faires》中的例题程序计算如下：。

浅谈矩阵的LU分解和QR分解及其应用

浅谈矩阵的LU分解和QR分解及其应用

浅谈矩阵的LU分解和QR分解及其应用基于理论研究和计算的需要，往往有必要把矩阵分解为具有某种特性的矩阵之积，这就是我们所说的矩阵分解.本文将介绍两种常用的矩阵分解方法，以及其在解线性方程组及求矩阵特征值中的应用.1.矩阵的LU 分解及其在解线性方程组中的应用1.1高斯消元法通过学习，我们了解到利用Gauss消去法及其一些变形是解决低阶稠密矩阵方程组的有效方法. 并且近些年来利用此类方法求具有较大型稀疏矩阵也取得了较大进展. 下面我们就通过介绍Gauss 消去法，从而引出矩阵的LU 分解及讨论其对解线性方程组的优越性.首先通过一个例子引入：(1.1)例1, 解方程组(1.2)(1.3)解. Step1 (1.1) ( 2) (1.3) 消去(1.3)中未知数, 得到4x2 x3 11 (1.4)Shep2 . (1.2) (1.4) 消去(1.4) 中的未知数x2x1 x2 x3 6 1有4x2x3 5 显然方程组的解为x* 2 上述过程相当于2x3 6 31 1 1 6 1 1 1 6 1 1 1 60 4 1 5 0 4 1 5 0 4 1 52 2 1 10 4 1 100 2 62)+ (r i 表示矩阵的i行)由此看出，消去法的基本思想是： 用逐次消去未知数的方法把原方程化为与 其等价的三角方程组 .下面介绍解一般 n 阶线性方程组的 Gauss 消去法 .a11a1nx 1b 1设AXb则n 阶线性方程组a n1annx nb nAX b (1.5) 并且 A 为非奇异矩阵 .通过归纳法可以将 AX b 化为与其等价的三角形方程，事实上： 及方程(1.5)为A 1 X b 1 ,其中A1Ab 1b(1) 设 a 1(11)0，首先对行计算乘数 mi1a i11m 111. 用 m i1乘 (1.5)的第一个方程加到第 i i 2,3, ,n 个方程上 .消去方程 (1.5)的第 2个方程直到第 n 个方程的未知数 x . a 111 得到与 (1.5) 等价的方程组A 2 b 2(1.6)其中 a ij 2a ij 1m i1a ij 1b i 2b i 1m i1b 11(2) 一般第 k 1 k n 1 次消去，设第 k 1步计算完成 . 即等价于A kX b k(1.7)a 111 a 112 a222且消去未知数 x 1,x 2, ,x k 1.其中 A kb 11简记作 b n 2由设 D i 0(i 1, ,k)及式 (1.8)有 a kk k设 a k (kk) 0 计 算 m ik a ik k/a k kk (ik= 1, n,ikn用 m ik aa ik k (i k 1, ,n) 消去 第k 1 个 方 程直 到第 n 个 方 程的 未知 数 x k . 得 到与 (1. 7等)价的 方 程组 A k 1X b k 1故由数学归纳法知，最后可以把原方程化成一个与原方程等价的三 角方程组 . 但是以上分析明显存在一个问题，即使 A 非奇异也无法保证 a ii i0, 需要把非奇异的条件加强 .D i 0. 即a11 D1 a11 0,Dkak1aikakk证明 利用数学归纳法证明引理的充分性 . 显然，当 k 1 时引理的充分性是成 立的，现在假设引理对 k 1是成立的，求证引理对 k 亦a ii i0 i 1,2 k 1 于是可用 Gauss 消去法将中，即a 111 a 121a 222A1 A ka kk a 11na 22nka knD 2a122 a 111 a 222a 222Dka n k ka n knnnD 3 a 111 a 222 a 333a2ka 111 a 222 a kk k(1.8)a k kka 222显然，由假设 a ii10 i 1,2 k ，利用(1.8) 亦可以推出D i 0(i 1, ,k) 从而由此前的分析易得；定理 1 如果n阶矩阵A的所有顺序主子式均不为零，则可通过Gauss消去法(不进行交换两行的初等变换) ，将方程组(1.5) 约化成上三角方程组，即a111a112a11n x1 b11a222 a22n x2 b22(1.9)a n n n x nb n n1.2矩阵LU 分解从而由以上讨论即能引出矩阵的LU 分解，通过高等代数我们得知对 A 施行行初等变换相当于用初等矩阵左乘A，即L1A1 A2 L1b 1 b2其中1m21 1L1m n1 0 1一般第k 步消元，，相当于L k A k A k 1 Lkb k b k 1重复这一过程，最后得到L n 1 L2L1A1A nn 1 2 11 n(1.10)L n 1 L2L1b 1 b n1m k 1,k 1m nk将上三角形矩阵A n记作U,由式(1.9)得到A=L11L21L n11U LU ,其中其中1m21 1m n1 m n2 1 由以上分析得；定理 2 （LU 分解） 设 A 为n阶矩阵，如果 A 的顺序主子式D i 0（i 1,2,, n 1）. 则 A 可分解为一个单位下三角矩阵 L 和一个上三角矩阵 U的乘积，且这种分解是唯一的 .证明 由先前的分析得出存在性是显然的，即 A LU . 下证唯一性 ,设A LU CD 其中 L , C 为单位下三角矩阵， U , D 为上三角矩阵 . 由于D 1 L C UD 上式右端为上三角矩阵，左端为单位下三角矩阵，从而上式两端都 必须等于单位矩阵，故 U D , L C . 证毕.11 例 2 对于例子 1 系数矩阵矩阵 A 0 4 22 结合例 1，故1 0 0 1 1 1A LU0 1 0 0 4 121 10 2对于一般的非奇异矩阵， 我们可以利用初等排列矩阵 I ki （由交换单位矩阵 I的第 k 行与第 i k 行得到)，即L 1I 1i 1A 1 A 2 ,L 1I 1i 1b 1 b21 1 (1.11) L k I ki kA k A k 1 ,L k I ki kb kbk 1(1.11)利用(1.11)得L n 1I n 1,i n 1 L 1I 1i 1A AU .简记做. 其中面就 n 情况来考察一下矩阵A AL4I 4i 4L 3I 3i 3L 2I 2i 2L 1I 1i 1A L 4 I 4i 4L 3I 4i 4 (I 4i 4I3i 3I 2i 2L 1I 4i 4I 3i 3I 2i 2) (I 4i 4 I 3i 3I 2i 2I 1i 1)A11 由 Gauss 消去法，得(I4i 4 I 3i 3L 2I 4i 4I 3i 3 )从而记从而容易的为单位下三角矩阵, 总结以上讨论可得如下定理.定理3 如果A非奇异矩阵，则存在排列矩阵P使PA LU 其中L为单位下三角矩阵，U 为上三角矩阵.1.3矩阵LU 分解的应用以上对非奇异矩阵 A 的LU 分解进行了全面的讨论，一下我们就简单介绍一下应用.对于矩阵A一旦实现了LU 分解，则解线性方程的问题,便可以等价于：(1) Ly b 求y (2) Ux=y , 求x (1.12)即，设 A 为非奇异矩阵，且有分解式 A LU ，其中三角矩阵。

LU分解法程序及其运行结果

LU分解法程序及其运行结果

实验报告线性方程组的求解一．上机题目已知方程组为：x1-2*x2+2*x3=-2;2*x1-3*x2-3*x3=4;4*x1+x2+6*x3=3；分别用矩阵的三角分解法和高斯列主元消去法求方程组的解二．目的要求掌握用矩阵的三角分解法和高斯列主元消去法设计程序，从而实现对线性方程组的求解。

三．方法原理1．高斯消去法是通过逐步消元的方法把原方程组化为等价的上三角形方程组，然后回代的求解过程。

高斯列主元消去法是在高斯消去法第k步时，不取a[k][k]作为主元，而是取满足|a[r][k]|=max|a[i][k]|(k<=i<=n)的a[r][k]作为主元，若有多个r满足则取最小的，然后再去交换第r行与第k行；最后利用高斯消元法求解。

2. 矩阵的三角分解法是方程组的系数矩阵A可以分解为一个下三角阵L和一个上三角阵U的乘积，即A=LU，则AX=b为LUX=b,根据Ly=b和UX=y求出方程组的解。

其中求L,U的过程为：先计算U的第一行和L的第一列U[1][j]=a[1][j](1<=j<=n),L[i][1]=a[i][1]/U[1][1];然后根据U[k][j]=a[k][j]-∑L[k][r]*U[r][j](1<=r<=k-1;j=k,k+1,…n)和L[i][k]=(a[i][k]-∑L[i][r]*U[r][k])/U[k][k](1<=r<k-1;i=k+1,…n)计算出U的第k行和L的第k 列，从而求出L和U矩阵四．算法步骤（N-S流程图）1．矩阵的三角分解法算法步骤如下：Step1:计算U的第一行和L的第一列U的第一行：i=1时a[1][j]=L[1][1]*U[1][j]则U[1][j]=a[1][j] L[1][1]=1 (j=1,2,…n );L的第一列：j=1时a[i][1]=L[i][1]*U[1][1]则L[i][1]=a[i][1]/a[1][j] (i=2,3,…n);Step2:计算U的第二行和L的第二列U的第二行：i=2时a[2][j]=L[2][1]*U[1][j]+L[2][2]*U[2][j] L[2][2]=1则U[2][j]=a[2][j] –L[2][1]*U[1][j] (j=2,3,…n);L的第二列：j=2时 a[i][2]=L[i][1]*U[1][2]]+L[i][2]*U[2][2]则L[i][2]=(a[i][2]-L[i][1]*U[1][2])/U[2][2] (i=3,4,…n);Step3:假设已经进行了（k-1）步，得到了U的前k-1行和L的前k-1列，则计算U的第k行和L的第k列U的第k行：i=k时U[k][j]=a[k][j]-∑L[k][r]*U[r][j] (1<=r<=k-1;j=k,k+1,…n)L的第k列：j=k时L[i][k]=(a[i][k]-∑L[i][r]*U[r][k])/U[k][k] (1<=r<k-1;i=k+1,…n)Step4:利用L，U求解方程组的解根据A=L*U,A*X=y,从而得到 Ly=b和UX=y，然后根据高斯消元法的回代部分即可分别求出y和x2. 高斯列主元消去法算法步骤如下：Step1:选出列主元a[r][k]=max|a[i][k]| (k<=i<=n);Step2:判断方程组是否适合使用该方法求解若a[r][k]<e,则方程组不适合使用该方法求解，程序结束，否则进行下一步Step3:若r不等于k，交换r,k行Step4:高斯消元求解过程消元过程：当k=0,i=1时，令a[1][0]=a[1][0]/a[0][0];b[1]=b[1]-a[1][0]*b[1]； j=1时a[1][1]=a[1][1]-a[1][0]*a[0][1]当消元进行到第k次时，令a[k][k-1]=a[k][k-1]/a[k-1][k-1]; b[k]=b[k]-a[k][k-1]*b[k]； j=k时a[k][k]=a[k][k]-a[k][k-1]*a[k][k-1]回代求解过程：b[n-1]=b[n-1]/a[n-1][n-1];当k=n-1时，b[k]=(b[k]-∑a[k][j]*b[j])/a[k][k](k+1<=j<=n;k=n-1,n-2,...1);返回值b[k]即为所求解。