普陀区2010学年度第一学期初中八年级期末质量调研数学试卷参考答案

2015-2016学年上海市普陀区八年级（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共有14题，每题2分，满分28分）1．化简：（x＞0）=．2．方程2x2﹣x=0的根是．3．函数：的定义域是．4．某件商品原价为100元，经过两次促销降价后的价格为64元，如果连续两次降价的百分率相同，那么这件商品降价的百分率是．5．在实数范围内分解因式：2x2+3x﹣1=．6．如果函数f（x）=，那么f（）=．7．关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．8．正比例函数y=（2a﹣1）x的图象经过第二、四象限，那么a的取值范围是．9．已知点，A（x，y）和点B（x，y），在反比例函数y=的图象上，如果当0＜x＜x，可得y＞y，11221212那么k0．（填“＞”、“=”、“＜”）10．经过定点A且半径为2cm的圆的圆心的轨迹是．11．请写出“等腰三角形的两底角相等”的逆命题：．12．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线AD交BC于点D，BC=5，BD=3，那么点D到AB的距离是．13．如果点A的坐标为（﹣3，1），点B的坐标为（1，4），那么线段AB的长等于．14．在△R t ABC中，∠C=90°，将这个三角形折叠，使点B与点A重合，折痕交AB于点M，交BC于点N，如果BN=2AC，那么∠B=度．二、选择题（本大题共有4题，每题3分，满分12分）15．下列方程中，是一元二次方程的是（）A．4x2=3y B．x（x+1）=5x2﹣1C．﹣3=5x2﹣D．+3x﹣1=016．已知等腰三角形的周长等于20，那么底边长y与腰长x的函数解析式和定义域分别是（）A．y=20﹣2x（0＜x＜20）B．y=20﹣2x（0＜x＜10）C．y=20﹣2x（5＜x＜10）D．y=（5＜x＜10）17．下列问题中，两个变量成正比例的是（）A．圆的面积S与它的半径rB．正方形的周长C与它的边长aC．三角形面积一定时，它的底边a和底边上的高hD．路程不变时，匀速通过全程所需要的时间t与运动的速度v18．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，如果D是BC的中点，DE⊥AB，垂足是E，那么AE：BE的值等于（）A．B．C．D．三、（本大题共有7题，满分60分）19．计算：（﹣6）﹣（﹣）．20．用配方法解方程：3x2+6x﹣1=0．21．已知y=y+y，y与x成正比例，y与x﹣2成反比例，且当x=1时，y=﹣1；当x=3时，y=5．求y与x 1212的函数关系式．22．已知：如图，在△ABC中，∠ACB=45°，AD是边BC上的高，G是AD上一点，联结CG，点E、F分别是AB、CG的中点，且DE=DF．求证：△ABD≌△CGD．23．已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD为△ABC的外角平分线，交BC的延长线于点D，且∠B=2∠D．求证：AB+AC=CD．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=x与反比例函数y=（k≠0）的图象交于点A，且点A的横坐标为1，点B是x轴正半轴上一点，且AB⊥OA．（1）求反比例函数的解析式；（2）求点B的坐标；（3）先在∠AOB的内部求作点P，使点P到∠AOB的两边OA、OB的距离相等，且PA=PB；再写出点P的坐标．（不写作法，保留作图痕迹，在图上标注清楚点P）25．如图，在△ABC中，D是AB的中点，E是边AC上一动点，联结DE，过点D作DF⊥DE交边BC于点F（点F与点B、C不重合），延长FD到点G，使DG=DF，联结EF、AG，已知AB=10，BC=6，AC=8．（1）求证：AC⊥AG；（2）设AE=x，CF=y，求y与x的函数解析式，并写出定义域；（3）当△BDF是以BF为腰的等腰三角形时，求AE的长．2015-2016学年上海市普陀区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有14题，每题2分，满分28分）1．化简：（x＞0）=3x．【考点】二次根式的性质与化简．【分析】根据二次根式的性质，即可解答．【解答】解：（x＞0）=3x，故答案为：3x．【点评】本题考查了二次根式的性质，解决本题的关键是熟记二次根式的性质．2．方程2x2﹣x=0的根是x=0，x=．12【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；令每个因式分别为零得到两个一元一次方程；解这两个一元一次方程可得．【解答】解：左边因式分解，得：x（2x﹣1）=0，∴x=0或2x﹣1=0，解得：x=0，x=，12故答案为：x=0，x=．12【点评】本题主要考查因式分解法解一元二次方程，通过将方程左边因式分解，把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题是因式分解法解一元二次方程的关键．3．函数：的定义域是x≥2．【考点】函数自变量的取值范围；二次根式有意义的条件．【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，可知：x﹣2≥0，解得x的范围．【解答】解：根据题意得：x﹣2≥0，解得：x≥2．【点评】本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．4．某件商品原价为100元，经过两次促销降价后的价格为64元，如果连续两次降价的百分率相同，那么这件商品降价的百分率是20%．【考点】一元二次方程的应用．【专题】增长率问题．【分析】设每次降价的百分率为x，第一次降价后价格变为100（1﹣x），第二次在第一次降价后的基础上再降，变为100（x﹣1）（x﹣1），从而列出方程，求出答案．【解答】解：设每次降价的百分率为x，第二次降价后价格变为100（x﹣1）2元，根据题意得：100（x﹣1）2=64，即x﹣1=0.8，解之得x=1.8，x=0.2．12因x=1.8不合题意，故舍去，所以x=0.2．即每次降价的百分率为0.2，即20%．故答案为：20%．【点评】此题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键在于分析降价后的价格，要注意降价的基础，另外还要注意解的取舍，难度一般．5．在实数范围内分解因式：2x2+3x﹣1=2（x﹣【考点】实数范围内分解因式．【分析】利用公式法分解因式．【解答】解：令2x2+3x﹣1=0，则x=，x=，12）（x﹣）．∴2x2+3x﹣1=2（x﹣故答案是：2（x﹣）（x﹣）（x﹣）．）．【点评】本题考查对一个多项式进行因式分解的能力，当要求在实数范围内进行分解时，分解的结果一般要分到出现无理数为止．6．如果函数f（x）=【考点】函数值．，那么f（）=﹣1．【分析】把x=【解答】解：f（代入函数关系式，即可解答．）==．【点评】本题考查了函数值，解决本题的关键是利用代入法求函数值．7．关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k＜且k≠0．【考点】根的判别式．【专题】方程思想．【分析】根据一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，知△=b2﹣4ac＞0，然后据此列出关于k的方程，解方程即可．【解答】解：∵kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，∴△=1﹣4k＞0，且k≠0，解得，k＜且k≠0；故答案是：k＜且k≠0．【点评】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式．解题时，注意一元二次方程的“二次项系数不为0”这一条件．8．正比例函数y=（2a﹣1）x的图象经过第二、四象限，那么a的取值范围是a．【考点】正比例函数的性质．【分析】先根据正比例函数的图象经过第二、四象限列出关于a的不等式，求出a的取值范围即可．【解答】解：∵正比例函数y=（2a﹣1）x的图象经过第二、第四象限，∴2a﹣1＜0，∴a．故答案为：a．【点评】本题考查了正比例函数的性质，正比例函数y=kx（k≠0），k＞0时，图象在一三象限，呈上升趋势，当k＜0时，图象在二四象限，呈下降趋势．9．已知点，A（x，y）和点B（x，y），在反比例函数y=的图象上，如果当0＜x＜x，可得y＞y，11221212那么k＞0．（填“＞”、“=”、“＜”）【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得到y=1，y=，则＞，然后利用0＜x＜x可确212定k的符号．【解答】解：∵点A（x，y）和点B（x，y）在反比例函数y=的图象上，1122∴y=，y=，12∵y＞y，12∴＞，而0＜x＜x，12∴k＞0．故答案为＞．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．本题还可以利用反比例函数的增减性求解．10．经过定点A且半径为2cm的圆的圆心的轨迹是以点A为圆心，2cm为半径的圆．【考点】轨迹．【分析】求圆心的轨迹实际上是求距A点2厘米能画一个什么图形．【解答】解：所求圆心的轨迹，就是到A点的距离等于2厘米的点的集合，因此应该是一个以点A为圆心，2cm为半径的圆，故答案为：以点A为圆心，2cm为半径的圆．【点评】此题所求圆心的轨迹，就是到顶点的距离等于定长的点的集合，因此应该是一个圆．11．请写出“等腰三角形的两底角相等”的逆命题：两个角相等三角形是等腰三角形．【考点】命题与定理．【专题】应用题．【分析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题．【解答】解：∵原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，∴命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个底角相等三角形是等腰三角形”，故答案为：两个角相等三角形是等腰三角形．【点评】本题考查了逆命题的概念，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题，难度适中．12．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线AD交BC于点D，BC=5，BD=3，那么点D到AB的距离是2．【考点】角平分线的性质．【分析】过点D作DE⊥AB于点E，根据角平分线的性质可得，DE=DC，根据BC=5，BD=3，求得CD即可求解．【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，∵∠C=90°，AD是△ABC中∠CAB的角平分线，DE⊥AB于E，∴DE=CD，∴BC=5，BD=3，∴CD=BC﹣BD=5﹣3=2，∴DE=2．故答案为：2．【点评】此题主要考查角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．13．如果点A的坐标为（﹣3，1），点B的坐标为（1，4），那么线段AB的长等于5．【考点】点的坐标．【分析】利用勾股定理列式计算即可得解．【解答】解：AB==5．故答案为：5．【点评】本题考查了点的坐标，此类题目，利用两点的坐标结合勾股定理求解．14．在△R t ABC中，∠C=90°，将这个三角形折叠，使点B与点A重合，折痕交AB于点M，交BC于点N，如果BN=2AC，那么∠B=15度．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】根据折叠的性质得到∠1=∠B=15°，NA=NB，再利用三角形的外角定理得∠2=2∠B，然后根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：如图，∵三角形折叠，得点B与点A重合，折痕交AB于点M，交BC于点N，∴∠1=∠B，NA=NB，∵BN=2AC，∴AN=2AC，∵∠C=90°，∴∠2=30°，∵∠2=2∠B，∴∠B=15°，故答案为：15．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即得到对应角相等，对应线段相等．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．二、选择题（本大题共有4题，每题3分，满分12分）15．下列方程中，是一元二次方程的是（）A．4x2=3y B．x（x+1）=5x2﹣1C．﹣3=5x2﹣D．+3x﹣1=0【考点】一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．【解答】解：A、4x2=3y是二元二次方程，故A错误；B、x（x+1）=5x2﹣1是一元二次方程，故B正确；C、D、﹣3=5x2﹣是无理方程，故C错误；+3x﹣1=0是分式方程，故D错误；故选：B．【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．16．已知等腰三角形的周长等于20，那么底边长y与腰长x的函数解析式和定义域分别是（）A．y=20﹣2x（0＜x＜20）B．y=20﹣2x（0＜x＜10）C．y=20﹣2x（5＜x＜10）D．y=（5＜x＜10）【考点】根据实际问题列一次函数关系式；等腰三角形的性质．【分析】根据等腰三角形的周长等于20列出方程，整理变形得出底边长y与腰长x的函数解析式，再根据三角形三边的关系确定义域即可．【解答】解：∵等腰三角形的周长等于20，底边长y，腰长x，∴2x+y=20，∴y=20﹣2x，∵两边之和大于第三边，∴，解得5＜x＜10．故选C．【点评】本题考查了根据实际问题列一次函数关系式，等腰三角形的性质及三角形三边关系；根据三角形周长的定义列出方程是解答本题的关键．17．下列问题中，两个变量成正比例的是（）A．圆的面积S与它的半径rB．正方形的周长C与它的边长aC．三角形面积一定时，它的底边a和底边上的高hD．路程不变时，匀速通过全程所需要的时间t与运动的速度v【考点】正比例函数的定义．【分析】根据正比例函数的定义计算．【解答】解：A、圆的面积=π×半径2，不是正比例函数，故本选项错误；B、正方形的周长=边长×4，是正比例函数，故本选项正确；C、三角形面积S一定时，它的底边a和底边上的高h的关系s=ah，不是正比例函数，故本选项错误；D、设路程为s，则依题意得s=vt，则v与t不是正比例关系．故选B．【点评】本题考查正比例函数的定义：一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y=kx（k为常数，且k≠0）的函数，那么y就叫做x的正比例函数．18．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，如果D是BC的中点，DE⊥AB，垂足是E，那么AE：BE的值等于（）A．B．C．D．【考点】含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质．【分析】连接AD，根据直角三角形的性质得到AD=AB，AE=AD，得到AE=AB，结合图形得到答案．【解答】解：连接AD，∵AB=AC，∠A=120°，∴∠BAD=60°，∠B=30°，∴AD=AB，AE=AD，∴AE=AB，∴AE：BE=，故选：A．【点评】本题考查的是直角三角形的性质，在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．三、（本大题共有7题，满分60分）19．计算：（﹣6）﹣（﹣）．【考点】二次根式的加减法．【分析】首先化简二次根式进而合并同类二次根式得出答案．【解答】解：原式=（﹣2）﹣（﹣5）==﹣2+3﹣．+5【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．20．用配方法解方程：3x2+6x﹣1=0．【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】先把方程两边都除以3，使二次项的系数为1，然后再配上一次项系数一半的平方，利用配方法解方程．【解答】解：把方程x2+2x﹣=0的常数项移到等号的右边，得x2+2x=，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得x2+2x+1=+1配方得（x+1）2=，开方得x+1=±解得x=±，﹣1．【点评】本题考查了配方法解方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．21．已知y=y+y，y与x成正比例，y与x﹣2成反比例，且当x=1时，y=﹣1；当x=3时，y=5．求y与x 1212的函数关系式．【考点】待定系数法求反比例函数解析式；二元一次方程的解．【专题】待定系数法．【分析】根据正比例和反比例函数的定义设表达式，再根据给出自变量和函数的对应值求出待定的系数则可．【解答】解：设y=k x（k≠0），y=1112∴y=k x+1∵当x=1时，y=﹣1；当x=3时，y=5，∴．所以．所以y=x+．【点评】本题考查了正比例和反比例函数的定义，并且考查了二元一次方程组的解法，难度稍大．22．已知：如图，在△ABC中，∠ACB=45°，AD是边BC上的高，G是AD上一点，联结CG，点E、F分别是AB、CG的中点，且DE=DF．求证：△ABD≌△CGD．【考点】全等三角形的判定；直角三角形斜边上的中线．【专题】证明题．【分析】先根据直角三角形的性质，得到AB=GC，再根据等腰直角三角形的性质，得到AD=CD，最后判定Rt △ABD≌△R t CGD即可．【解答】证明：∵AD是边BC上的高，点E、F分别是AB、CG的中点，∴DE=AB，DF=GC，∵DE=DF，∴AB=GC，∵∠ACB=45°，AD是边BC上的高，∴∠CAD=45°，∴∠CAD=∠ACD，∴AD=CD，在△R t ABD和△R t CGD中，，∴Rt△ABD≌△R t CGD（HL）．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定方法，证明时注意：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即直角三角形的外心位于斜边的中点．23．已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD为△ABC的外角平分线，交BC的延长线于点D，且∠B=2∠D．求证：AB+AC=CD．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】过点D作DE⊥AB，垂足为点E，由“在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等”可知DE=DC，再证明△R t ACD≌△R t AED，由此可得AC=AE，在证明BE=DE即可．【解答】证明：过点D作DE⊥AB，垂足为点E，又∵∠ACB=90°（已知），∴DE=DC（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）．在△R t ACD和△R t AED中∴Rt△ACD≌△R t AED（H．L）．∴AC=AE，∠CDA=∠EDA．∵∠B=2∠D（已知），∴∠B=∠BDE．∴BE=DE．又∵AB+AE=BE，∴AB+AC=CD．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，关键是作辅助线使得AB与AC在同一条直线上才好证AB+AC=CD．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=x与反比例函数y=（k≠0）的图象交于点A，且点A的横坐标为1，点B是x轴正半轴上一点，且AB⊥OA．（1）求反比例函数的解析式；（2）求点B的坐标；（3）先在∠AOB的内部求作点P，使点P到∠AOB的两边OA、OB的距离相等，且PA=PB；再写出点P的坐标．（不写作法，保留作图痕迹，在图上标注清楚点P）【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）利用待定系数法先求出点A纵坐标，再求出反比例系数k即可．（2）过点A作AC⊥OB⊥，垂足为点C，在△R T AOC中先求出OA，再在△R T AOB中求出OB即可解决问题．（3）画出∠AOB的平分线OM，线段AB的垂直平分线EF，OM与EF的交点就是所求的点P，设点P（m，m），根据PA2=PB2，列出方程即可解决问题．【解答】解：（1）由题意，设点A的坐标为（1，m），∵点A在正比例函数y=x的图象上，∴m=．∴点A的坐标（1，），∵点A在反比例函数y=的图象上，∴=，解得k=，∴反比例函数的解析式为y=．（2）过点A作AC⊥OB⊥，垂足为点C，可得OC=1，AC=．∵AC⊥OB，∴∠ACO=90°．由勾股定理，得AO=2，∴OC=AO，∴∠OAC=30°，∴∠ACO=60°，∵AB⊥OA，∴∠OAB=90°，∴∠ABO=30°，∴OB=2OA，∴OB=4，∴点B的坐标是（4，0）．（3）如图作∠AOB的平分线OM，AB的垂直平分线EF，OM与EF的交点就是所求的点P，∵∠POB=30°，∴可以设点P坐标（m，∵PA2=PB2，m），∴（m﹣1）2+（m﹣）2=（m﹣4）2+（m）2，解得m=3，∴点P的坐标是（3，）．【点评】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点问题，直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用待定系数法确定函数解析式，学会利用两点间距离公式列方程解决问题，属于中考常考题型．25．如图，在△ABC中，D是AB的中点，E是边AC上一动点，联结DE，过点D作DF⊥DE交边BC于点F（点F与点B、C不重合），延长FD到点G，使DG=DF，联结EF、AG，已知AB=10，BC=6，AC=8．（1）求证：AC⊥AG；（2）设AE=x，CF=y，求y与x的函数解析式，并写出定义域；（3）当△BDF是以BF为腰的等腰三角形时，求AE的长．【考点】三角形综合题．【分析】（△1）根据勾股定理的逆定理得到ABC是直角三角形，由D是AB的中点，得到AD=BD，根据全等三角形的性质得到∠GAB=∠B，推出∠EAG=90°，于是得到结论；2+2（2）连接EG，根据勾股定理得到EF2=（8﹣x）2+y2，根据全等三角形的性质得到AG=BF，由勾股定理得到EG2=x2+（6﹣y）2，于是得到方程（8﹣x）2+y2=x2+（6﹣y）2，即可得到结论（3）①当BF=DB时，6﹣y=5，列方程得到AE=；②当DF=FB时，连接DC，过点D作DH⊥FB，垂足为点H，可得DF=FB=6﹣y，根据勾股定理得方程（6﹣y）=42（3﹣y），求得y=，于是得到=求得AE=．【解答】（1）证明：∵BC=6，AC=8，∴BC2+AC2=36+64=100，∵AB2=100，∴BC2+AC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，∵D是AB的中点，∴AD=BD，在△ADG和△BDF中，∴△ADG≌△BDF，∴∠GAB=∠B，∵∠ACB=90°，∴∠CAB+∠B=90°，∴∠CAB+∠GAB=90°，∴∠EAG=90°，即：AC⊥AG；（2）连接EG，∵AE=x，AC=8，∴EC=8﹣x，∵∠ACB=90°，由勾股定理，得EF2=（8﹣x）2+y2，∵△ADG≌△BDF，∴AG=BF，∵CF=y，BC=6，∴AG=BF=6﹣y，∵∠EAG=90°，由勾股定理，得EG2=x2+（6﹣y）2，∵DG=DF，DF⊥DE，∴EF=EG，∴（8﹣x）2+y2=x2+（6﹣y）2，∴y=，定义域：＜x＜；（3）①当BF=DB时，6﹣y=5，∴y=1，∴1=，∴x=，即AE=；②当DF=FB时，连接DC，过点D作DH⊥FB，垂足为点H，可得DF=FB=6﹣y，∵∠ACB=90°，D是AB的中点，∴DC=DB=5，∵DH⊥FB，BC=6，∴CH=HB=3，∴FH=3﹣y，∵DH⊥FB，由勾股定理，得DH=4，在△R t DHF中，可得（6﹣y）2=42+（3﹣y）2，解得：y=∴=解得x=，，即AE=，综上所述，AE的长度是，．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．。

2023-2024学年上海市普陀区八年级（下）期末数学试卷一.单项选择题（本大题共有6题，每题2分，共12分）1．（2分）下列函数中，y是x的一次函数的是（）A．y＝x2B．y＝3C．D．y＝1﹣2x2．（2分）下列关于x的方程中，属于分式方程的是（）A．B．C．D．3．（2分）下列事件中，属于确定事件的是（）A．在实数中任取一个数，这个数的平方大于0B．太阳东升西落C．掷一次骰子，点数为6的一面朝上D．买一张彩票，中500万大奖4．（2分）下列说法中，正确的是（）A．如果和是相反向量，那么B．如果和是平行向量，那么C．如果，那么D．如果，那么5．（2分）如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，添加下列一个条件后，不能判定四边形ABCD是菱形的是（）A．AD＝AB B．∠BOC＝90°C．∠ABC＝∠BCD D．∠ADB＝∠CDB6．（2分）某天小涵同学去上学，先步行一段路后改骑单车，结果到校时还是迟到了4分钟，其离家的路程y（单位：m）与出行的时间x（单位：min）变化关系如图．若他出门时直接骑单车（车速不变），则他（）A．仍会迟到3分钟到校B．刚好按时到校C．可以提前8分钟到校D．可以提前2分钟到校二.填空题（本大题共有12题，每题3分，满分35分）7．（3分）一次函数y＝x﹣3的截距为．8．（3分）方程3x3＝81的根是．9．（3分）如果把直线沿y轴向上平移3个单位，那么平移后的直线表达式为．10．（3分）关于x的方程a2x+x＝1的解是．11．（3分）用换元法解方程，如果设，那么原方程可以化为关于y的整式方程为．12．（3分）如果一个多边形的内角和是它外角和的3倍，那么这个多边形是边形．13．（3分）布袋中有2个红球和1个白球，它们除颜色外其他都一样，如果从布袋中一次摸出两个球，那么一次摸出的两个球都是红球的概率为．14．（3分）已知一个菱形的边长为10，其中一条对角线长为12，那么另一条对角线的长为．15．（3分）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，∠ACB的平分线交DE于点F，如果AC ＝12，BC＝18，那么DF的长为．16．（3分）在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，AC的垂直平分线交BC于点E，交AD于点F，联结AE，CF，那么四边形AECF的面积等于．17．（3分）新定义：对于线段PQ，将线段PQ绕点P顺时针旋转75°，得到线段PQ；将线段PQ绕点Q 逆时针旋转75°，得到线段QP1，旋转后的线段PQ1和QP1所在的直线交于点M，我们称点M为线段PQ的“双旋点”．如图，已知直线y＝﹣x+4与x轴和y轴分别相交于点A，点B，那么线段AB在第一象限的“双旋点”N的坐标为．18．（2分）如图矩形ABCD中，AD＝5，AB＝7，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D 的对应点D′落在∠ABC的角平分线上时，DE的长为．三.简答题（本大题共有4题，每题6分，满分24分）19．（6分）解方程：．20．（6分）解方程组：．21．（6分）如图，在△ABC中，点D为边AC的中点，设，．（1）试用向量，表示下列向量：＝；＝；（2）求作：．（画图表示并写出结论，不必写作法）22．（6分）闵行区政府为提高道路的绿化率，在道路两边进行植树工程，计划第一期先栽种1500棵梧桐树．为了加快进度，绿化队在实际栽种时增加了植树人员，每天栽种的梧桐树比原计划多200棵，结果提前2天完成任务．求实际每天栽种多少棵梧桐树？四.解答题（本大题共3题，第23、24题每题8分，第25题12分，满分20分）23．（8分）已知：如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，点E为边BC上一点，且AE＝DC．（1）求证：四边形AECD是平行四边形；（2）当∠B＝2∠DCA时，求证：四边形AECD是菱形．24．（12分）小普同学在研究四边形的过程中发现：对角线互相垂直的四边形有一些优美的结论，例如，其两组对边的平方和相等．（1）如图1，在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直，垂足为点O．求证：AB2+CD2＝BC2+AD2；（2）小普同学把对角线互相垂直的四边形取名为“垂美四边形”．如图2，过点C分别作正方形ABCD 与正方形CEFG，且正方形ABCD边长为3，正方形CEFG边长为4．①联结BD、EG，请你判断四边形BEGD是否为“垂美四边形”？并说明理由；如果BE＝6，那么DG＝．②当0°≤∠BCG≤180°时，分别取DG、BE的中点M、N，联结MN，求MN长度的取值范围（直接写出答案）．2023-2024学年上海市普陀区八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一.单项选择题（本大题共有6题，每题2分，共12分）1．【分析】根据一次函数的定义：y＝kx+b（k≠0），进行判断即可．【解答】解：A．y＝x2不是一次函数，不符合题意；B．y＝3不是一次函数，不符合题意；C、y＝不是一次函数，不符合题意；D、y＝1﹣2x是一次函数，符合题意；故选：D．【点评】本题考查一次函数的定义y＝kx+b（k≠0），熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．2．【分析】分母中含有未知数的有理方程即为分式方程，据此进行判断即可．【解答】解：A中方程的分母中不含未知数，则A不符合题意；B中方程的分母中不含未知数，则B不符合题意；C中方程不是有理方程，则C不符合题意；D中方程符合分式方程的定义，则D符合题意；故选：D．【点评】本题考查分式方程的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．3．【分析】根据事件发生可能性的大小判断即可．【解答】解：A．在实数中任取一个数，这个数的平方大于等于0，所以“在实数中任取一个数，这个数的平方大于0”是随机事件，故本选项不符合题意；B．“太阳东升西落”是必然事件，故本选项符合题意；C．“掷一次骰子，点数为6的一面朝上”是随机事件，故本选项不符合题意；D．“买一张彩票，中500万大奖”是随机事件，故本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题主要考查了随机事件，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．4．【分析】根据平面向量的相关定义与性质逐一判断即可．【解答】解：如果和是相反向量，那么，故选项A错误；如果和是平行向量，那么和方向相同或相反，模不一定相等，故选B错误；由无法得到＝，因为方向不一定相同，故选项C错误；如果，那么，正确，故选项D正确；故选：D．【点评】本题考查了平面向量，熟记平面向量的相关定义与性质是解题的关键．5．【分析】根据菱形的判定方法分别对各个选项进行判定，即可得出结论．【解答】解：A、当AD＝AB时，平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意；B、当∠BOC＝90°时，平行四边形ABCD是菱形，故选项B不符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∵∠ABC＝∠BCD，∴∠ABC＝∠BCD＝90°，平行四边形ABCD是矩形，故C符合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADB＝∠DBC＝∠CDB，∴CD＝CB，平行四边形ABCD是菱形，故选项D不符合题意，故选：C．【点评】本题考查了菱形的判定，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．6．【分析】先求出小涵骑单车的速度，再求出若小涵开始时直接骑单车，则前400m所用的时间，接着求出前400m可以节约的时间，进行比较即可得出答案．【解答】解：由图象可知，小涵骑单车的速度为（2400﹣400）÷（16﹣6）＝2000÷10＝200（m/min），若小涵开始时直接骑单车，则前400m所用的时间为400÷200＝2（m/min），则可以节约6﹣2＝4（min），∵先步行一段路后改骑单车，结果到校时还是迟到了4分钟，∴若小涵开始时直接骑单车，则他刚好按时到校．故选：B．【点评】本题主要考查函数的图象，利用数形结合思想是解题的关键．二.填空题（本大题共有12题，每题3分，满分35分）7．【分析】代入x＝0求出y值，此题得解．【解答】解：当x＝0时，y＝x﹣3＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记截距的定义是解题的关键．8．【分析】运用立方根知识进行求解．【解答】解：两边都除以3，得x3＝27，开立方，得x＝3，故答案为：x＝3．【点评】此题考查了运用立方根进行有关方程求解的能力，关键是能准确理解并运用以上知识．9．【分析】根据上加下减的法则可得出答案．【解答】解：y＝x+1沿y轴向上平移3个单位得到直线：y＝x+1+3＝x+4，故答案为：y＝x+4．【点评】本题考查一次函数的图象变换，注意上下移动改变的是y，左右移动改变的是x，规律是上加下减，左加右减．10．【分析】方程合并后，将x系数化为1，即可求出解．【解答】解：方程合并得：（a2+1）x＝1，解得：x＝，故答案为：【点评】此题考查了分式的混合运算，以及解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．11．【分析】由已知＝y，则原方程化为＝1，方程两边乘y即可得答案．【解答】解：设＝y，则原方程化为：﹣3y＝1，方程两边乘y得：1﹣3y2＝y，即3y2+y﹣1＝0，故答案为：3y2+y﹣1＝0．【点评】本题考查了解分式方程，能正确换元是解此题的关键．12．【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°与外角和定理列出方程，然后求解即可．【解答】解：设这个多边形是n边形，根据题意得，（n﹣2）•180°＝3×360°，解得n＝8．故答案为：八．【点评】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°．13．【分析】画树状图，共有6个等可能的结果，摸到的两个红球的结果有2个，再由概率公式求解即可．【解答】解：画树状图如图：共有6个等可能的结果，摸到的两个红球的有2种结果，∴摸到的两个红球的概率是＝．故答案为：．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．14．【分析】作出图形，根据菱形的对角线互相垂直平分求出OA＝6，然后利用勾股定理列式求出另一条对角线BD的一半OB的长，即可得解．【解答】解：如图，∵菱形的一条对角线长AC为12，∴OA＝AC＝×12＝6，∵菱形的对角线AC⊥BD，AB＝10，∴OB＝＝＝8，∴BD＝2OB＝2×8＝16．故答案为：16．【点评】本题主要考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，勾股定理的应用，作出图形更形象直观．15．【分析】根据三角形中位线定理得到DE∥BC，DE＝BC，求出EF，进而求出DF．【解答】解：∵CF是∠ABC的平分线，∴∠ACF＝∠FCB，∵点D、E分别为边AB、AC的中点，∴DE∥BC，DE＝BC＝＝9，∴∠EFC＝∠FCB，∴∠ACF＝∠EFC，∴EF＝EC＝AC＝×12＝6，∴DF＝DE﹣EF＝9﹣6＝3．故答案为：3．【点评】本题考查的是三角形中位线定理，角平分线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．16．【分析】连接AE，CF，根据矩形的性质求出AD∥BC，从而求出∠AFE＝∠OEC，再根据线段垂直平分线的性质证明AO＝BO，∠AOF＝∠COE＝90°，从而证明△AOF≌△COE，得到AF＝CE，再证出DF＝BE，最后根据四边形AECF的面积＝长方形ABC的面积﹣△ABE的面积﹣△CDF的面积，进行解答即可．【解答】解：如图所示：连接AE，CF，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，∠B＝∠D＝90°∴∠AFE＝∠OEC，∵EF是AC的垂直平分线，∴AO＝BO，∠AOF＝∠COE＝90°，∴△AOF≌△COE（AAS），∴AF＝CE，∴AD﹣AF＝BC﹣CE，DF＝BE，设DF＝x，则AF＝AB﹣DF＝4﹣x，∵EF是AC的垂直平分线，∴AF＝CF＝4﹣x，在Rt△DCF中，DF2+CD2＝CF2，x2+32＝（4﹣x）2，x2+9＝16﹣8x+x2，8x＝7，，∵AB＝CD，∠B＝∠D，DF＝BE，∴△ABE≌△CDF（ASA），∴，S矩形ABCD＝AB•BC＝3×4＝12，∴S四边形AECF﹣S△ABE﹣S△CDE＝S矩形ABCD＝＝，故答案为：．【点评】本题主要考查了矩形的性质和线段垂直平分线的性质，解题关键是添加辅助线，熟练掌握矩形的性质和线段垂直平分线的性质．17．【分析】先根据“双旋点”的定义得出∠ANB＝30°，再构造出正方形利用勾股定理即可解决问题．【解答】解：因为∠NAB＝75°，∠NBA＝75°，过点N分别作x轴和y轴的垂线，垂足为D和E，将y＝0代入y＝﹣x+4得，x＝4，即A（4，0）．将x＝0代入y＝﹣x+4得，y＝4，即B（0，4）．所以OA＝OB＝4．所以AB＝2．又NA＝NB，所以点O和点N都在AB的垂直平分线上，故NO垂直平分线段AB，所以NA＝NB，故四边形NDOE是正方形．令BE＝m，因为∠NBE＝180°﹣75°﹣45°＝60°，所以NE＝BE＝m，则由ND＝NE得，m＝m+4，解得m＝2（+1），所以NE＝6+2，故点N的坐标为（6+2，6+2）．故答案为（6+2，6+2）．【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形的变化﹣旋转，构造出正方形并巧妙利用勾股定理是解题的关键．18．【分析】连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB于点M，CD于点N，作D′P⊥BC交BC于点P，先利用勾股定理求出MD′，再分两种情况利用勾股定理求出DE．【解答】解：如图，连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB于点M，CD于点N，作D′P⊥BC交BC 于点P∵点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上，∴MD′＝PD′，设MD′＝x，则PD′＝BM＝x，∴AM＝AB﹣BM＝7﹣x，又折叠图形可得AD＝AD′＝5，∴x2+（7﹣x）2＝25，解得x＝3或4，即MD′＝3或4．在Rt△END′中，设ED′＝a，①当MD′＝3时，AM＝7﹣3＝4，D′N＝5﹣3＝2，EN＝4﹣a，∴a2＝22+（4﹣a）2，解得a＝，即DE＝，②当MD′＝4时，AM＝7﹣4＝3，D′N＝5﹣4＝1，EN＝3﹣a，∴a2＝12+（3﹣a）2，解得a＝，即DE＝．故答案为：或．【点评】本题主要考查了折叠问题，解题的关键是明确掌握折叠以后有哪些线段是对应相等的．三.简答题（本大题共有4题，每题6分，满分24分）19．【分析】观察方程结构特点，将方程变形；设未知量化无理方程为有理方程，然后求解即可．【解答】解：移项得：，∴x﹣2＝x2﹣8x+16，∴x2﹣9x+18＝0，解得x1＝3，x2＝6，经检验：x1＝3是原方程的增根，舍去；x2＝6是原方程的解．所以原方程的解是x＝6．【点评】该题考查了无理方程的求解问题；解题的关键是化无理方程为有理方程；而换元法又往往成为常用方法之一．20．【分析】先把x2﹣2xy+y2＝1，化成（x﹣y）2＝1，直接开平方得x﹣y＝1或x﹣y＝﹣1，与原方程组组成二元一次方程组或，求解二元一次方程组即可得出答案．【解答】解：二元二次方程组或，∴原方程组的解为，．【点评】本题主要考查了二元二次方程组的解，根据题意先把二次方程降次为一次方程，再组成二元一次方程组进行求解是解决本题的关键．21．【分析】（1）根据三角形法则，由＝﹣即可求得的值，由点D为边AC的中点，与＝+即可求得的值；（2）作CE∥BD，且CE＝BD，则＝．【解答】解：（1），；（2）作图如下：＝．【点评】此题考查了作图﹣复杂作图，*平面向量，考查了学生的动手能力，解题的关键是三角形法则的应用．22．【分析】设原计划每天栽种x棵梧桐树，则实际每天栽种（x+200）棵梧桐树，由题意：栽种1500棵梧桐树，绿化队在实际栽种时增加了植树人员，每天栽种的梧桐树比原计划多200棵，结果提前2天完成任务，列出方程，解方程即可．【解答】解：设原计划每天栽种x棵梧桐树，则实际每天栽种（x+200）棵梧桐树，由题意得：﹣＝2，解得：x＝300或x＝﹣500（不合题意舍去），经检验，x＝300是原方程的解，且符合题意，则x+200＝500，答：实际每天栽种500棵梧桐树．【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的解法，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出分式方程．四.解答题（本大题共3题，第23、24题每题8分，第25题12分，满分20分）23．【分析】（1）由等腰梯形的性质（等腰梯形同一底上的角相等），可得∠B＝∠DCB，又由等腰三角形的性质（等边对等角）证得∠DCB＝∠AEB，即可得AE∥DC，则四边形AECD为平行四边形；（2）根据平行线的性质，易得∠EAC＝∠DCA，又由已知，由等量代换即可证得∠EAC＝∠ECA，根据等角对等边，即可得AE＝CE，则四边形AECD为菱形．【解答】证明：（1）∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，∴∠B＝∠DCB，（1分）∵AE＝DC，∴AE＝AB，（1分）∴∠B＝∠AEB，（1分）∴∠DCB＝∠AEB，（1分）∴AE∥DC，（1分）∴四边形AECD为平行四边形；（1分）（2）∵AE∥DC，∴∠EAC＝∠DCA，（1分）∵∠B＝2∠DCA，∠B＝∠DCB，∴∠DCB＝2∠DCA，（1分）∴∠ECA＝∠DCA，（1分）∴∠EAC＝∠ECA，（1分）∴AE＝CE，（1分）∵四边形AECD为平行四边形，∴四边形AECD为菱形．（1分）【点评】此题考查了等腰梯形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定以及等腰三角形的判定与性质．解题的关键是仔细识图，应用数形结合思想解答．24．【分析】（1）根据勾股定理得AB2＝AO2+OB2，CD2＝CO2+DO2，BC2＝OB2+OC2，AD2＝OA2+OD2，则AB2+CD2＝OA2+OB2+OC2+OD2，BC2+AD2＝OA2+OB2+OC2+OD2，所以AB2+CD2＝AD2+BC2；（2）①联结BD，EG，BG，DE，可证明△BCG≌△DCE，得∠CBG＝∠CDE，设BG与DE交于点I，BG与CD交于点P，则∠BPC＝∠DPI，所以∠DIG＝∠CDE+∠DPI＝∠CBG+∠BPC＝90°，则BG⊥DE，所以四边形BEGD为“垂美四边形”．因为DG2+BE2＝BD2+EG2，所以DG＝＝，于是得到问题的答案；②联结MN，取DE的中点H，联结HN、HM，求得BD＝3，EG＝4，由三角形中位线定理得HN＝BD＝，HM＝EG＝2，而HM﹣HN≤MN≤HM+HN，且HM﹣HN＝，HM+HN＝，则≤MN≤．【解答】（1）证明：如图1，∵AC⊥BD，∴∠AOB＝∠COD＝∠BOC＝∠DOA＝90°，∴AB2＝AO2+OB2，CD2＝CO2+DO2，BC2＝OB2+OC2，AD2＝OA2+OD2，∴AB2+CD2＝OA2+OB2+OC2+OD2，BC2+AD2＝OA2+OB2+OC2+OD2，∴AB2+CD2＝AD2+BC2．（2）解：①四边形BEGD为“垂美四边形”，理由：如图2，连接BD，EG，BG，DE，∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，∴BC＝DC，GC＝EC，∠BCD＝∠GCE＝90°，∴∠BCG＝∠DCE＝90°+∠GCD，在△BCG和△DCE中，，∴△BCG≌△DCE（SAS），∴∠CBG＝∠CDE，设BG与DE交于点I，BG与CD交于点P，∵∠BPC＝∠DPI，∴∠DIG＝∠CDE+∠DPI＝∠CBG+∠BPC＝90°，∴BG⊥DE，∴四边形BEGD为“垂美四边形”．∵BE＝6，BC＝DC＝3，GC＝EC＝4，∠BCD＝∠GCE＝90°，∴BE2＝62＝36，BD2＝BC2+DC2＝32+32＝18，EG2＝GC2+EC2＝42+42＝32，由（1）得DG2+BE2＝BD2+EG2，∴DG＝＝＝，故答案为：．②MN长度的取值范围是≤MN≤，理由：如图2，联结MN，取DE的中点H，联结HN、HM，∵BD＝＝＝3，EG＝＝＝4，且M、N分别为DG、BE的中点，∴HN＝BD＝×3＝，HM＝EG＝×4＝2，∵HM﹣HN≤MN≤HM+HN，且HM﹣HN＝2﹣＝，HM+HN＝2+＝，∴MN长度的取值范围是≤MN≤．【点评】此题重点考查勾股定理、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、两点之间线段最短等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键。

上海市复兴初级中学2010学年度第一学期初二年级数学期末考试试题28．如图（1），直角梯形OABC 中，∠A= 90°，AB ∥CO, 且AB=2，OA=23，∠BCO= 60°。

（1）求证：∆OBC 为等边三角形；（2）如图（2），OH ⊥BC 于点H ，动点P 从点H 出发，沿线段HO 向点O 运动，动点Q 从点O 出发，沿线段OA 向点A 运动，两点同时出发，速度都为1/秒。

设点P 运动的时间为t 秒，ΔOPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并求出t 的取值范围； （3）设PQ 与OB 交于点M ，当OM=PM 时，求t 的值。

上海市虹口区2010学年第一学期期终考试八年级数学八校联考试卷25．（本题满分9分，第1题3分，第2题3分，第3题3分）如图，正比例函数图像直线l 经过点A （3，5），点B 在x 轴的正半轴上，且∠ABO ＝45°。

AH ⊥OB ，垂足为点H 。

（1）求直线l 所对应的正比例函数解析式；（53=y ）（2）求线段AH 和OB 的长度；（3）如果点P 是线段OB 上一点，设OP ＝x ，△APB 的面积为S ，写出S 与x 的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围。

（80<≤-x ）图(1)60︒BCAo图(2)（备用图）H60︒BCA o图2图1ABCDEFF EDCBA26．（本题满分12分，第1题4分，第2题6分，第3题2分）已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，点D 是AB 上一点，AE ⊥AB ，且AE ＝BD ，DE 与AC 相交于点F 。

（1）若点D 是AB 的中点（如图1），那么△CDE 是___________三角形，并证明你的结论；（2）若点D 不是AB 的中点（如图2），那么（1）中的结论是否仍然成立，如果一定成立，请加以说明，如果不一定成立，请说明理由；（3）若AD ＝AC ，那么△AEF 是___________三角形。

普陀区2009学年度第一学期初中八年级期末质量调研数学试卷2010.1（时间90分钟，满分100分）说明：请规范书写，不要用铅笔答题．一、填空题（本大题共有14题，每题2分，满分28分） 1＝ .2．如果最简二次根式13+x 和75-x 是同类二次根式，那么x =_________.. 3．方程25x x =的根是.4．在实数范围内因式分解：231x x -+= .5．某商品的原价为120元，如果经过两次降价，且每次降价的百分率都是m ，那么该商品现在的价格是________________元（结果用含m 的代数式表示）. 6．函数y =的定义域是___________________. 7．如果函数()11f x x =+，那么f = .8．反比例函数8y x=的图像在第______________象限. 9．在正比例函数x m y )3(-=中，如果y 的值随自变量x 的增大而减小，那么m 的取值范围是____________________．10．经过定点A ，且半径为8厘米的圆的圆心轨迹是______________________________． 11．如图1，一棵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是 米.12．如图2，已知在△ABC 中，24AB AC ==,AC 的垂直平分线分别交AB 、AC 于学校_______________________ 班级__________ 学号_________ 姓名______________……………………密○………………………………………封○………………………………………○线………………………………………………图 1 点E 、F ，如果△BCE 的周长等于34，那么底边BC 的长等于 ． 13．如果直角三角形的面积是12，斜边上的高是2，那么斜边上的中线长是 ．14．如图3，在△ABC 中，90ACD ∠=，CA CB =，AD 是△ABC 的角平分线，点E 在AB 上，如果2DE CD =，那么ADE ∠＝___________度.二、单项选择题（本大题共有4题，每题2分，满分8分）15．在下列各方程中，有两个相等的实数根的方程是……………………………（ ）.(A) 122=-x x ； (B) 02222=+-x x ； (C) 012=-x ； (D) 0322=+-x x ．16．已知函数()0ky k x=≠中，在每个象限内，y 随x 的增大而增大，那么它和函数)0(≠=k kx y 在同一直角坐标平面内的大致图像是…………………（ ）．(A) (B) (C) (D)17．在下列各原命题中，逆命题是假命题的是……………………………………（ ） (A) 两直线平行，同旁内角互补；(B) 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；(C) 如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等； (D) 线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等．xyOx yOx yOxyO图2CBFEA图3DCBE A18．如图4，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=，如果CD 、CM 分别是斜边上的高和中线，那么下列结论中错误的是 ………………………………………………………（ ） (A) ACM BCD ∠=∠； (B) ACD B ∠=∠；(C) ACD BCM ∠=∠； (D) ACD MCD ∠=∠.三、（本大题共有6题，每题6分，满分36分） 19．计算：4+ 解：20．用配方法解方程:01422=--x x ． 解：21．已知关于x 的一元二次方程()22204k x k x +++=有实数根，求k 的取值范围. 解：图4……………………密○………………………………………封○…………………………………○线………………………………………………22．为预防“手足口病”，某校对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与燃烧时间x （分钟）成正比例；燃烧阶段后，y 与x 成反比例（这两个变量之间的关系如图5所示）．现测得药物10分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为8毫克．据以上信息解答下列问题：（1）求药物燃烧时y 与x 的函数解析式． （2）求药物燃烧阶段后y 与x 的函数解析式． （3）当“药熏消毒”时间到50分钟时，每立方米空气中的含药量对人体方能无毒害作用，那么当“药熏消毒”时间到50分钟时每立方米空气中的含药量为多少毫克？23．已知：如图6，△BCE 、△ACD 分别是以BE 、AD 为斜边的直角三角形，且BE AD ，△CDE 是等边三角形．求证：△ABC 是等边三角形．证明：图5 （毫克） 图6DCB EA24．如图7，在四边形ABCD 中，90D ∠=，12AB =，13BC =，4CD =，3AD =，求四边形ABCD 的面积． 解：四、（本大题共有2题，每题8分，满分16分）25．已知：如图8，在△ABC 中，AD 、BE 是高，F 是AB 的中点，FG DE ⊥，点G 是垂足．求证：点G 是DE 的中点．学校_______________________ 班级__________ 学号_________ 姓名______________…………………密○………………………………………封○………………………………………○线………………………………………………图7DC BA图8G DCB FE A26．如图9，在平面直角坐标系内，直线2y x 经过点(,6)A m ，点B 坐标为(4,0)， （1）求点A 的坐标；（2）若P 为射线OA 上的一点，当△POB 是直角三角形时，求P 点坐标．图9五、（本大题满分12分）27．如图10，在△OBC 中，点O 为坐标原点，点C 坐标为（4，0），点B 坐标为（2，23），AB y ⊥轴，点A 为垂足，BC OH ⊥，点H 为垂足．动点P 、Q 分别从点O 、A 同时出发，点P 沿线段OH 向点H 运动，点Q 沿线段AO 向点O 运动，速度都是每秒1个单位长度．设点P 的运动时间为t 秒． （1）求证：OB CB =；（2）若△OPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式及定义域； （3）当PQ OB ⊥（垂足为点M ）时，求五边形ABHPQ 的面积的值.普陀区2009学年度第一学期初中八年级数学期末质量调研参考答案与评分意见2010.1一、填空题（本大题共有14题，每题2分，满分28分）1．3π-； 2．4； 3．120,5x x ==； 4．x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭；5．()21201m -； 6．x ＞3-； 7； 8．一、三； 9． m ＜3； 10．以点A 为圆心，8厘米长为半径的圆； 11．8； 12．10； 13．6； 14．7.5； 二、单项选择题（本大题共有4题，每题2分，满分共8分） 15．B ； 16．B ； 17．C ； 18．D ． 三、（本大题共有6题，每题6分，满分36分）19．解：原式＝262+- ………………………………………………4分2．…………………………………………………………2分 【说明】没有过程，直接得结论扣3分．20．解：2241x x -=．………………………………………………………………… 1分2122x x -=．……………………………………………………………… 1分 ()2312x -=．……………………………………………………………… 1分解得 12x =+或12x =-．………………………………………… 2分所以 原方程的根是112x =+，212x =-．……………………… 1分 【说明】没有用配方法的扣3分．21．（1）⊿＝()22244k k +-⨯……………………………………………………… 1分＝ 44k +…………………………………………………………………… 2分 ∵一元二次方程有实数根，∴⊿≥0．……………………………………………………………………………… 1分 即 44k +≥0．解得 k ≥1-．…………………………………………………………………………… 2分 所以k 的取值范围是k ≥1-．22．解：（1）由于在药物燃烧阶段，y 与x 成正比例，因此设函数解析式为11(0)y k x k =≠，由图示可知，当10x =时，8y =．将10x =，8y =代入函数解析式，解得 145k =． …………………………………………………………1分 ∴药物燃烧阶段的函数解析式为45y x =． ……………………………1分（2）由于在药物燃烧阶段后，y 与x 成反比例，因此设函数解析式为22(0)k y k x=≠， 同理将10x =，8y =代入函数解析式，解得 280k =．…………1分 ∴药物燃烧阶段后的函数解析式为80y x=．……………………………1分 （3）当50x =时，8080 1.650y x ===．……………………………………1分 ∴当“药熏消毒”时间到50分钟时每立方米空气中的含药量为1.6毫克． 1分23．证明： ∵△CDE 是等边三角形，∴EC CD =，160∠=．…………………1分 ∵BE 、AD 都是斜边，∴90BCE ACD ∠=∠=……………………1分 在Rt △BCE 和Rt △ACD 中，DCAEC DC BE AD =⎧⎨=⎩,, ………………………………………………………………1分∴Rt △BCE ≌Rt △ACD ().H L ．………………………………………1分∴BC AC =．………………………………………………………………1分 ∵1290∠+∠=,3290∠+∠=,∴3160∠=∠=．…………………………………………………………1分 ∴△ABC 是等边三角形．24．解：联结AC ．………………………………………………………………………1分在△ADC 中， ∵90D ∠=，∴222AC AD CD =+(勾股定理)．……………1分 由4CD =，3AD =, 得2223425AC =+=． 在△ABC 中，∵12AB =，13BC =，∴2222131225BC AB -=-=．……………………………………………1分 得：222BC AB AC =+．……………………………………………………1分 ∴90CAB ∠=(勾股定理的逆定理) ．………………………………………1分 因此，ACDACBABCD S SS=+四边形=1122AD DC AB AC + =113412522⨯⨯+⨯⨯=36．………………………………1分 【说明】括号内注明理由的不写要扣分．DCBA四、（本大题共有2题，每题8分，满分16分）25．证明： 联结EF 、DF ．……………………………1分 ∵AD 是高， ∴AD BC ⊥，∴90ADB ∠=．………………………1分 又∵F 是AB 的中点， ∴12DF AB =(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半) ．……2分 同理可得：12EF AB =．……………………………………………1分∴EF DF =．…………………………………………………………1分又∵FG DE ⊥，…………………………………………………………1分 ∴DG EG =．…………………………………………………………1分即：点G 是DE 的中点．26．解：（1）∵直线2y x =经过点(,6)A m ，∴62m =，解得：3m =．……………………………………………1分∴点A 的坐标为(3,6) ………………………………………………1分（2） ①当90OBP ∠=时，点P 的横坐标与点B 的横坐标相同，均为4，将4x =代入2y x =，得8y =，∴点P 的坐标为(4,8)…………2分②当90OPB ∠=时，222PO PB OB +=．设P 点坐标为(,2)n n ，22222(2)(4)(2)4n n n n ++-+=，……………………………………1分解得145n =，20n =（舍去）………………………………………1分∴点P 的坐标为48(,)55………………………………………………1分综上所述：当△POB 是直角三角形时，点P 的坐标为(4,8)或48(,)55．……1分GFEDCB A27．解：（1）∵4OB ==………………………………………………1分4CB ==………………………………………1分 ∴OB CB = ………………………………………………………………1分（2）易证：△OBC 为等边三角形．∵BC OH ⊥，∴30BOH HOC ∠=∠=．………………1分∴30AOB ∠=．过点P 作PE OA ⊥垂足为点E ．在Rt △PEO 中，30EPO ∠=,PO t =，∴122t EO PO ==，由勾股定理得：PE =．…………………………1分 又∵OQ AO AQ t =-=，………………………………………………1分 ∴()2113632322t t S OQ PE t t -==-=．………………………1分 即：2342S t =-+（320<<t ）．……………………………………1分【说明】最后1分为定义域分数．（3）易证Rt △OAB ≌Rt △OHB ≌Rt △OHC ，∴2OABH 3OAB OHB OHB OHC OBC S S S S S S OC =+=+==⨯=四边形1分易证△OPQ 为等边三角形，∴OQ OP =，即：t t =，解得 t =．……………………………………………1分∴244OPQ S OP ==．…………………………………………………1分 ∴ABHPQ OPQ OABH SS S =-==五边形四边形1分。