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两角和与差的余弦公式

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两角和与差的余弦公式教学目标：1、通过推导两角差的余弦公式，体会向量与三角函数的联系2、掌握两角和差的余弦，能正确运用这些公式进行简章的三角函数式的化简、求值和恒等式的证明。

教学重、难点：两角差角的余弦公式的推导教学过程：一、问题情境：1、情境：由向量的数量积运算法则可知：cos sin(cos,sin)(1,1)(cos,sin)(1,1)x x x xx xθθ+=⋅⋅==其中θ为向量(cos,sin)x x与向量(1,1)的夹角，于是有cos sin)4x x xπ+=-cos()4xπ-可以用,4xπ的三角函数值来表示2、问题：cos()αβ-能否用α的三角函数与β的三角函数值来表示呢？二、学生活动12(cos,sin),(cos,sin)OP OPββαα==12OP OP⋅=1212||||cos()OP OP OP OPβα⋅=-三、数学建构1、两角差的余弦公式：cos()cos cos sin sinαβαβαβ-=+Cαβ-两角和的余弦公式：cos()cos cos sin sinαβαβαβ+=-Cαβ+思考：用“β-”代替“β”的换元法体现在图形上具有什么几何意义？四、数学运用：例1、利用两角和（差）的余弦公式证明下列诱导公式 （1）cos()sin 2παα-= （2）sin()cos 2παα-=例2、利用两角和（差）的余弦公式，求0cos75,cos15,sin15,tan15例3、已知233sin ,(,),cos ,(,)3252ππααπββπ=∈=-∈，求cos()αβ+的值。

例4、（1）已知,(0,)2παβ∈，且111cos ,cos()714ααβ=+=-，求β的值 （2）已知11cos cos ,sin sin 23αβαβ-=-=-，求cos()αβ-的值（3）已知1212cos(),cos()1313αβαβ-=-+=，且3(,),(,2)22ππαβπαβπ-∈+∈求cos 2,cos 2αβ练习：（1）在三角形ABC 中，若sin sin cos cos A B A B <，则三角形ABC 的外心位于它的 （ ）A 、内部B 、外部C 、一边上D 、不确定（2）44cos(),cos(),(cos ,sin ),(cos ,sin )55a b αβαβααββ+=-=-==则a b ⋅=（3）sin cos ,y x x x R =-∈的值域为 五、小结与作业：§1 两角和与差的余弦作业班级 姓名 学号 得分一、选择题1、5cos(2)2x π-= （ ） A 、 sin 2x B 、 sin 2x - C 、 cos2x D 、 cos 2x -2、0sin 20cos50sin 70cos 40-= ( )A 、12 B 、 12- C 、 D 、3、已知312sin ,cos ,cos()513αβαβ==-的值 （ ）A 、 6365B 、 3365±C 、 6365±或3365D 、6365±或3365±二、填空题4、0cos 24cos36cos66cos54-=5、cos()cos()sin()sin()αβαβαβαβ-++-+=6、0cos58sin37sin122sin53+=7、cos()cos()33ππθθ++-=8、已知15sin ,(,)172πααπ=∈，则cos()3πα-=三、解答题9、（1）35,(0,),sin ,cos 2513παβαβ∈==求cos()αβ+ （2）23sin ,cos ,,34αβαβ==-在第二象限，求cos()αβ-10、3123,cos(),sin()24135ππβααβαβ<<<-=+=-，求cos2,cos2αβ11、11,(0,),tan)214παβααβ∈=+=-，求cosβ12、已知11cos(),cos()35αβαβ+=-=，求tan tanαβ⋅§2两角和与差的正弦教学目标：1、由两角和与差的余弦推导出两角和与差的正弦2、利用两角和与差的正弦公式进行求值。

教学重点：sin()αβ±的推导及应用。

教学难点：利用公式求值过程中的角的变换。

教学过程：一、引入：问题：已知cos()αβ±，如何求sin()αβ±sin()cos[()]2παβαβ+=-+二、建构数学：sin()αβ+= sin()αβ-=三、数学应用： 例1、已知：233sin ,(,),cos ,(,)3252ππααπββπ=∈=-∈，求sin()αβ+例2、已知54cos(),cos ,(0,)1352παββαβ+==∈，求sin α练习：98P 2、3、6、7例3、求1sin 2y x x =的最大值，周期。

练习：求下列函数的最值与周期（1）cos y x x =+（2）1sin 22y x x =- 推广：sin cos y a x b x =+的最值。

小结：§2两角和与差的正弦作业班级 姓名 学号 得分一、选择题：1、0cos10cos50cos80cos 40-的值 （ ）A 、12 B 、 12- C 、2 D 、 2-2、已知123cos ,(,)132πθθπ=-∈，则sin()4πθ+的值 （ ）A 、 26-B 、 126-C 、 26D 、 263、若s i n ()c o s c o s ()s i n 0αββαββ+-+=，则s i n (2)s i n (2)αβαβ++-=（ ）A 、 1B 、 1-C 、 0D 、 1±4、已知sin()cos cos()sin m αβααβα---=，且β为第三象限角，则cos β=（ ）A 、B 、C 、D 、5、3sin ),(,)x x x ϕϕππ=+∈-，则ϕ= （ ） A 、 6π-B 、6πC 、 56π-D 、 56π二、填空题 6、35,(0,),sin ,cos 2513παβαβ∈==，则sin()αβ+=7、cos y x x =+的最大值 单调增区间 对称轴方程 8、340,sin ,cos()255παβπααβ<<<<=+=-，则sin β= 9、11sin(),sin()210αβαβ+=-=，则tan tan αβ=三、解答题：10、已知sin(),sin()a b αβαβ+=-=，求证： 11、已知42ππαβ<<<且412sin(),cos()513αβαβ+=-=，求cos 2,sin 2,tan 2ααα12、已知：1),(sin ,cos ),,()a b x x x R f x a b =-=∈=⋅（1）求()f x 的表达式（2）求()f x 的周期、值域、单调区间。

1sin cos ()21cos sin ()2a b a b αβαβ=+=-§3两角和与差的正弦（二）教学目标：比较灵活运用和与差的三角函数进行化简、求值、证明教学重点：利用公式化简与证明、求值 教学难点：同上教学方法：启发引导体会化归思想的运用 教学过程：复习：cos()αβ±= s i n ()αβ±= 例1、 求证：sin(2)sin 2cos()sin sin A B BA B A A+-+=练习：求证：（1）22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=- （2）22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-例2、已知sin sin(2)m βαβ=+其中1,,22m k k ππαπαβπ≠≠++≠+，求证：1tan()tan 1mmαβα++=-例3、求002cos10sin20cos20-的值。

例4、已知21sin(),sin()35αβαβ+=-=-，求tantanαβ的值。

练习：已知11sin sin,cos cos23αβαβ+=-=，求cos()αβ+课堂小结：§3两角和与差的正弦（二）作业班级 姓名 学号 得分一、填空题1、ABC ∆中，若sin A B ==sin()A B += 2、ABC ∆中，若412cos ,cos 513A B ==，则cos C = 3、ABC ∆中，若35sin ,cos 513A B ==，则cos C = 4、2sin()42sin()3πααπαα--=+ 5、000000sin12cos30sin18cos12sin 30sin18+=- 6、ABC ∆中，若2cos sin sin B A C =，则ABC ∆的形状一定是7、已知cos cos cos 0,sin sin sin 0αβγαβγ++=++=，则cos()αβ-=二、解答题8、已知13sin 5cos 9,13cos 5sin 15αβαβ+=+=，求sin()αβ+9、计算：000000sin 7cos15sin8cos 7sin15sin8+-10、已知3,(0,),sin ,cos ,cos()25x y παβαβαβ∈==+=-，求函数()y f x =的解析式，并求其定义域。

11、已知(),(cos 2,sin 2)a a b x x == 若函数()2,[0,]4f x a b a b x π=-⋅++∈ 且()f x 值域为[5,1]-，求,a b 的值。

§4两角和与差的正切（一）教学目标：1、两角和与差的正切公式及其应用2、运用公式解决问题，进一步体会化归思想的作用教学重点：两角和与差的正切公式的推导及运用教学难点：运用公式化简、求值、证明教学方法：启发引导、探究教学过程：一、复习引入：求000sin15,cos15,tan15如何用,αβ的三角函数值表示tan(),tan()αβαβ+-的值二、建构数学 tan()αβ+=tan()αβ-= 求00tan 75,tan105三、数学应用例1、已知tan ,tan αβ是2560x x +-=的两根，求tan()αβ+例2、求证明：01tan151tan15+=-练习104P 1、2、3、4、5例3、,4k k Z παβπ+=+∈，求证：(1tan )(1tan )2αβ++=练习：0000tan10tan 20tan 20)+的值例4、三个相同的正方形相接，求证：4παβ+=课堂小结：βα§4两角和与差的正切（一）作业班级 姓名 学号 得分一、选择题1、0tan(165)-的值 （ ）A 、 2B 、 2C 、 2D 、 22、已知12tan ,tan()25ααβ=-=-，则tan(2)βα-= ( ) A 、 112 B 、 112- C 、 18 D 、 18- 3、若21tan(),tan()544παββ+=-=，则tan()4πα+= ( ) A 、 1318 B 、 1322 C 、 322 D 、 16 4、00tan 6730'tan 2230'-= ( )A 、 1B 、C 、 2D 、 4二、填空题 5、0000sin15cos15sin15cos15+=- 6、已知0020,25A B ==，则(1tan )(1tan )A B ++= 7、00000(1tan1)(1tan 2)(1tan 3)(1tan 44)(1tan 45)+++++= 8、0000tan 55tan 3851tan(305)tan(25)-=--- 三、解答题9、已知tan(),tan()m n αβαβ=+=-，且1mn ≠，求证：tan 21m n mnα+=-10、已知11tan(),tan()2223βααβ-=-=，求tan 2αβ+11、已知tan ,tan αβ是方程23570x x +-=的两根，求下列各式的值（1）tan()αβ+ （2）sin()cos()αβαβ+- （3）2cos ()αβ+§5两角和与差的正切（二）教学目标：利用tan()αβ±公式进行三角函数式化简、求值、证明 教学重、难点：公式综合运用教学方法：讲练结合教学过程：一、复习回顾tan()αβ±=tan tan αβ+= tan tan αβ-=二、例题选讲例1、在斜三角形ABC 中，求证：tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=一般地：,tan tan tan tan tan tan A B C n A B C A B C π++=++= ABC ∆中，tan tan tan 0,A B C ABC ++>∆形状为例2、已知1tan ,tan 23αβ==-，0,22ππαβπ<<<<，αβ+的值例3、求0000tan 25tan3525tan35++的值。

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两角和与差的余弦,正弦正切公式

两角和与差的余弦,正弦正切公式


(4) cos 20 cos 70 − sin 20 sin 70 ;
。 。 。 。
(5) cos 79 cos 56 − cos11 cos 34
o o o
o
sin( α + β ) cos( α + β )
sin( α + β ) tan( α + β ) = = cos( α + β )
？ ⇒ tan( α + β ) sin α ⋅ cos β + cos α ⋅ sin β
tan α ⋅ cos β + sin β tan α + tan β = = cos β − tan α ⋅ sin β 1 − tan α ⋅ tan β
两角和的正切公式
简记作 T( α + β )
tan α + tan β tan (α + β ) = 1 − tan α ⋅ tan β
C ( α − β ) cos( α − β ) = cos α ⋅ cos β + sin α ⋅ sin β C ( α + β ) cos( α + β ) = cos α ⋅ cos β − sin α ⋅ sin β S ( α − β ) sin (α − β ) = sin α ⋅ cos β − cos α ⋅ sin β
分析： 三角函数中一定要注意观察 分析： cos β = cos (α + β ) − α 角度之间的关系， 角度之间的关系，例如
× + ×
α 变角: 变角 β = ( + β ) − α
[
]
= cos ( +β)cosα + sin ( +β)sinα α α
两角和与差的余弦公式的五种推导方式之对照

两角和与差的余弦公式的五种推导方式之对照

两角和与差的余弦公式的五种推导方式之对照第一种推导方式：我们知道余弦函数的定义为：cosθ = adj/hyp其中，adj表示邻边的长度，hyp表示斜边的长度。

现在考虑两个角度的和，即θ1+θ2、根据余弦函数的定义，我们可以得到：cos(θ1 + θ2) = adj1/hyp1现在我们将θ1和θ2分别表示为它们的余弦函数：cosθ1 = adj1/hyp1cosθ2 = adj2/hyp2将这两个式子相加，得到：cosθ1 + cosθ2 = (adj1 + adj2) / (hyp1 + hyp2)这就是两角和的余弦公式。

第二种推导方式：我们知道余弦函数的定义为：cosθ = adj/hyp我们还知道余弦函数的复合角公式，即：cos(θ1 + θ2) = cosθ1⋅cosθ2 - sinθ1⋅sinθ2现在我们将θ1和θ2表示为它们的余弦函数和正弦函数：cosθ1 = adj1/hyp1cosθ2 = adj2/hyp2sinθ1 = opp1/hyp1sinθ2 = opp2/hyp2将这些式子代入复合角公式中，得到：cos(θ1 + θ2) = (adj1/hyp1)⋅(adj2/hyp2) -(opp1/hyp1)⋅(opp2/hyp2)= (adj1⋅adj2 - opp1⋅opp2) / (hyp1⋅hyp2)这就是第二种推导方式。

第三种推导方式：我们知道余弦函数的定义为：cosθ = adj/hyp我们还知道正弦函数的平方与余弦函数的平方之和等于1，即：sin²θ + cos²θ = 1现在我们考虑θ1和θ2的和，即(θ1+θ2)。

我们可以得到：cos(θ1 + θ2) = adj1+2/hyp1+2现在我们将θ1+2表示为(θ1+θ2)的余弦函数和正弦函数：cos(θ1 + θ2) = adj1+2/hyp1+2= (adj1⋅cosθ2 - opp1⋅sinθ2) / (hyp1⋅cosθ2 + hyp2⋅sinθ2) = (adj1⋅adj2 - opp1⋅opp2) / (hyp1⋅ hyp2)这就是第三种推导方式。

两角和与差的余弦公式

两角和与差的余弦公式

两角和与差的余弦公式余弦公式是用来计算三角形中一个角的余弦值的公式。

它通常用于计算三角形的边长或角度。

余弦公式有两种形式，分别对应两角和与差：1.两角和的余弦公式：在三角形ABC中，设边长分别为a、b、c，对应的内角为A、B、C。

假设我们要计算角C的余弦值。

根据余弦定理，有以下公式：cos(C) = cos(A+B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)2.两角差的余弦公式：在三角形ABC中，设边长分别为a、b、c，对应的内角为A、B、C。

假设我们要计算角C与角A的差的余弦值。

根据余弦定理，有以下公式：cos(C-A) = cos(C)cos(A) + sin(C)sin(A)这两个公式可以用来计算三角形中的角度，也可以用来计算边长。

下面我们通过一些例子来说明如何应用这两个公式。

例1：已知三角形ABC，边长分别为AB=5，BC=7，AC=8、计算角C的余弦值。

解：根据余弦公式，我们需要先计算出角A和角B的余弦值，然后代入两角和的余弦公式中。

根据余弦定理，有以下公式：cos(C) = (AB^2 + AC^2 - BC^2) / (2 * AB * AC)代入具体数值，得到：cos(C) = (5^2 + 8^2 - 7^2) / (2 * 5 * 8)=(25+64-49)/80=40/80=0.5所以角C的余弦值为0.5例2：已知三角形ABC，边长分别为AB=4，AC=5，BC=6、计算角C与角A的差的余弦值。

解：根据余弦定理，我们需要先计算出角C和角A的余弦值，然后代入两角差的余弦公式中。

使用余弦定理计算角C的余弦值：cos(C) = (AB^2 + AC^2 - BC^2) / (2 * AB * AC)=(4^2+5^2-6^2)/(2*4*5)=(16+25-36)/40=5/40=0.125使用余弦定理计算角A的余弦值：cos(A) = (BC^2 + AC^2 - AB^2) / (2 * BC * AC)=(6^2+5^2-4^2)/(2*6*5)=(36+25-16)/60=45/60=0.75代入两角差的余弦公式，得到：cos(C-A) = cos(C)cos(A) + sin(C)sin(A)= (0.125)(0.75) + (sqrt(1 - 0.125^2))(sqrt(1 - 0.75^2))综上所述，这就是两角和与差的余弦公式的用法。

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式

3.12 两角和与差的正弦、余弦、正切公式知识点一 两角和的余弦公式解决给角求值问题的策略(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子．分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．1．sin7°cos37°－sin83°sin37° 2.sin50°－sin20°cos30°cos20°3、sin14°cos16°＋sin76°cos74°4、sin7°＋cos15°sin8°cos7°－sin15°sin8°5、已知角α的终边经过点(－3,4)，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值为6．求函数f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域．类型二 给值求值1、已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋α＝513，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β＝35，且0<α<π4<β<3π4，求cos(α＋β)．2、已知cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝35，x ∈(0，π)，求sin x 的值。

3．已知锐角α，β满足sin α＝255，cos β＝1010，求α＋β。

类型三 辅助角公式对于形如y=asinx+bcosx 的三角式，可变形如下： y=asinx=bcosx =++++a b x a a bx b a b222222(sin cos )··。

上式中的a a b22+与b a b22+的平方和为1，故可记a a b22+=cos θ，b a b22+=sin θ，则。

)x sin(b a )sin x cos cos x (sin b a y 2222θ++=θ+θ+=1、求值（1）cos π12＋3sin π12 （2）sin π12－3cos π12（3）2cos π12＋6sin π12 （4）当函数y ＝sin x －3cos x (0≤x ≤2π)取得最大值时，求x.2、求周期求函数y x x x =+-+24432cos()cos()sin ππ的最小正周期。