(寒假总动员)2019年高二数学寒假作业 专题07 抛物线的标准方程(测)(含解析)

（21）抛物线1、若抛物线()240y px p =->的焦点为F ,准线为l 则p 表示( ). A. F 到l 的距离 B. F 到y 轴的距离 C. F 点的横坐标 D. F 到l 的距离的142、设抛物线的顶点在原点,准线方程为2x =-,则抛物线的方程是( )A. 28y x =-B. 24y x =-C. 28y x =D. 24y x =3、设抛物线28y x =上一点P 到y 轴的距离是4,则点P 到该抛物线焦点的距离是( ). A.4 B.6 C.8 D.124、已知抛物线2:4C x y =,直线:1l y =-,,PA PB 为抛物线C 的两条切线,切点分别为,A B ,则“点P 在l 上”是“PA PB ⊥”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6、若抛物线22(0)y px p =>的焦点与双曲线22122x y -=的右焦点重合,则P 的值为（ ） A.-2 B.2 C.-4 D.47、过抛物线()220y px p =>的焦点F 作一条直线l 交抛物线于,A B 两点,以AB 直径的圆和该抛物线的准线l 的位置关系是( )A.相交B.相离C.相切D.不能确定8、已知抛物线22y x =的内接三角形ABC 的三条边所在直线与抛物线22x y =均相切,设,A B 两点的纵坐标分别是,a b ,则点C 的纵坐标为( )A. a b +B. 22a b +C. a b --D. 22a b --9、已知拋物线C :28y x =的焦点为F ,准线与x 轴的交点为K ,点A 在C 上且AK =,则AFK ∆的面积为( )A.4B.8C.16D.3210、已知点P 为抛物线22y x =上的动点,点P 在y 轴上的射影是M ,A 点坐标为7,42⎛⎫⎪⎝⎭,则PA PM +的最小值是( ) A.112 B. 4 C.92D. 511、若抛物线22y px =的焦点坐标为()1,0,则p =__________;准线方程为__________.12、过点()2,0F 作直线FM 交y 轴于点M ,过点M 作MN MF ⊥交x 轴于点N ,延长NM 至点P ,使得,NM MP =则P 点的轨迹方程为__________13、是抛物线上一动点,以为圆心,作与抛物线准线相切的圆,则这个圆一定经过一个定点,点的坐标是 .14、已知点(),0,P a 对于抛物线24y x =上任意一点Q ,都满足,PQ a ≥则a 的取值范围是________.15、如图,已知直线与抛物线22(0)ypx p =>相交于,?A B 两点,且,OA OB OD AB ⊥⊥交AB于D ,且点D 的坐标为(1.求P 的值;2.若F 为抛物线的焦点, M 为抛物线上任一点,求MD MF +的最小值.答案以及解析1答案及解析： 答案：B 解析：由已知得焦点F 到准线的距离为2p , 故p 为F 到y 轴的距离.2答案及解析： 答案：C解析：由准线方程为2x =-,顶点在原点，可得两条信息：①该抛物线的焦点为(2,0)F ;②该抛物线的准焦距4p =，故所求抛物线方程为28y x =3答案及解析： 答案：B解析：抛物线28y x =的焦点是(2,0)F ,准线为2x =-,如图所示,4,2,6PA AB PB PF ==∴==,故选B.4答案及解析： 答案：C解析：设221212,,,44x x A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,对24x y =求导得'2xy =,则直线,PA PB 的斜率分别为1211,22PAPB k x k x ==,所以直线PA 的方程为211124x y x x =-①,若直线PB 的方程为222124x y x x =-②.联立①②可得点1212,24x x x x P +⎛⎫⎪⎝⎭,由点点P 在l 上,可得1214x x =-,所以1212111224PA PB x x k k x x ⋅=⋅==-, 所以PA PB ⊥,所以“点P 在l 上”是“PA PB ⊥”的充分条件; 由PA PB ⊥,可得1212111224PA PB x x k k x x ⋅=⋅==-,即1P y =-,所以点P 在Z 上,所以“点P 在l 上”是“PA PB ⊥”的必要条件.故“点P 在l 上”是“PA PB ⊥”的充要条件.6答案及解析： 答案：D解析：双曲线22122x y -=的右焦点坐标为(2,0)，所以22p=，所以4p =7答案及解析： 答案：C解析： 设AB 的中点为M ,AD l ⊥于D ,l BC ⊥于C ,MN l ⊥于N .AD AF =,BC BF =,()1122MN AD BC AB =+=, ∴以AB 为直径的圆与抛物线的准线l 相切.8答案及解析： 答案：C解析：设点2,2c C c ⎛⎫ ⎪⎝⎭,且过点2,2a A a ⎛⎫⎪⎝⎭的直线与抛物线22x y =相切于点200,2x M x ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 由22x y =得y x '=,所以过点M 的切线斜率为0200202'|2x x x a y x ax =-==-, 即220020x a x a -+= (*),显然(*)有两个实数12,x x ,则21212,2x x a x x a +==.由题可知2,2b B b ⎛⎫ ⎪⎝⎭,不妨设1222,22AB a b x k a b a b -===+-222222AC a c x k a c a c -===+-, 所以222a a b a c +=++① , 222a a b a c⋅=++,② ①÷②得a b a c a +++=,即c a b =--.9答案及解析： 答案：B 解析：10答案及解析： 答案：C解析：由已知得焦点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，点A 在抛物线外，111222PA PM PA PF FA +=+-≥-=19522=-=故选C11答案及解析： 答案： 2;1x =-解析： 因为抛物线的焦点坐标为()1,0,所以12p =,2p =,准线方程为12px =-=-.12答案及解析： 答案：28y x =解析：如图,依题意以,FP FN 为邻边的平行四边形FPQN 应为菱形,由OMF AMQ ∆≅∆知,2AQ =,即点Q 在直线2x =上,又,PF PQ =所以P 点的轨迹是以F 为焦点,2x =为准线的抛物线,其方程为28y x =13答案及解析： 答案： (1,0)解析： 到准线的距离等于圆的半径,又根据抛物线的定义,可知到焦点的距离等于到准线的距离,所以这个圆过抛物线的焦点,即.14答案及解析： 答案：(,2]-∞解析：设2,4t Q t ⎛⎫ ⎪⎝⎭,由PQ a ≥,得22224t a t a ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭即22(168)0t t a +-≥所以21680t a +-≥,所以2816t a ≥-恒成立,则8160a -≤即2a ≤。

专题7 抛物线及其标准方程【练一练】一．选择题1.设抛物线y2=8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( )(A)4 (B)6 (C)8 (D)122.若抛物线y2=2p x(p>0)的焦点在圆x2+y2+2x-3=0上，则p=( )(A) 0.5 (B)1 (C)2 (D)33. 抛物线y2＝2px(p>0)上一点M 到焦点的距离是a(a>p 2)，则点M 的横坐标是( ) A ．a ＋p 2 B ．a －p 2C ．a ＋pD ．a －p4.过点M(2,4)作与抛物线y2＝8x 只有一个公共点的直线l 有( )A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条5. 已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x －3)2＋y2＝16相切，则p 的值为( )A.0.5 B ．1 C ．2 D ．4 【答案】C【解析】试题分析：准线方程为x ＝－p 2.∵准线与圆相切，圆的方程为(x －3)2＋y2＝16，∴3＋p 2＝4，∴p ＝2.二、填空题6. 若动点P在y＝2x2＋1上，则点P与点Q(0，－1)连线中点的轨迹方程是__________．7. 已知抛物线x2＝y＋1上一定点A(－1,0)和两动点P，Q，当PA⊥PQ时，点Q的横坐标的取值范围是_____．三．解答题8. 已知抛物线y2＝2px (p>0)上的一点M到定点A)4,27(和焦点F的距离之和的最小值等于5，求抛物线的方程．()MF MA＋最小，即5AF＝，即2274=522p⎛⎫-+⎪⎝⎭，∴p＝1或p＝13(舍)，∴抛物线方程为22y x＝.综上抛物线方程为26y x＝或22y x＝.。

高二数学抛物线试题答案及解析1.抛物线截直线所得弦长等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设直线与抛物线交点坐标分别为，将直线方程代入抛物线方程并化简的，由根与系数的关系可知，由弦长公式可知弦长，答案选A.【考点】直线与抛物线相交弦长公式2.设抛物线的焦点为，经过点的直线交抛物线于、两点，分别过、两点作抛物线的两条切线交于点，则有（）A．B．C．D．【答案】A．【解析】设出过点F的直线方程即，联立方程组，化简整理得，设，，则由韦达定理得，．，．由可得，，所以，所以抛物线在A,B两点处的切线的斜率分别为，．所以在点A处的切线方程为，即．同理在点B处的切线方程为．于是解方程组可得，，所以点C的坐标为．所以故答案应选A．【考点】直线与抛物线的位置关系；向量的数量积．3.抛物线（）的焦点为，已知点，为抛物线上的两个动点，且满足.过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为（）A．B．1C．D．2【答案】A.【解析】设，连接AF、BF，由抛物线的定义知，，在梯形ABPQ中，；应用余弦定理得，配方得，又因为，所以，得到.所以，即的最大值为，故选A.【考点】抛物线的简单性质.4.已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，若点到该抛物线焦点的距离为3，则=（）A．B．C．4D．【答案】B．【解析】由题意可设抛物线方程为，因为点到该抛物线焦点的距离为3，所以，即，即抛物线方程为，又因为点在抛物线上，所以，所以，故选B．【考点】抛物线的简单性质．5.设抛物线的焦点为，经过点的直线与抛物线相交于两点且点恰为的中点，则【答案】8【解析】设，因为是的中点，所以，由点在抛物线上，所以所以所以答案填：8.【考点】抛物线的定义与标准方程.6.如图，已知某探照灯反光镜的纵切面是抛物线的一部分，光源安装在焦点上，且灯的深度等于灯口直径，且为64 ，则光源安装的位置到灯的顶端的距离为____________．【答案】.【解析】先以反射镜定点为原点，以顶点和焦点所在直线为轴，建立直角坐标系．设抛物线方程为，依题意可点在抛物线上，代入抛物线方程得，求得，进而可求得焦距为，即为所求．【考点】抛物线的应用．7.已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点．求证：(1)为定值；(2) 为定值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设过焦点的直线方程与联立，利用韦达定理，即可得出结论；（2）利用，及根与系数的关系即可得出．(1)抛物线的焦点为，设直线的方程为．由消去，得.由根与系数的关系，得(定值)．当轴时，，，也成立．(2)由抛物线的定义，知，.(定值)．当轴时，，上式仍成立．【考点】抛物线的简单性质.8.已知抛物线过点．（1）求抛物线的方程，并求其准线方程；（2）过焦点且斜率为的直线与抛物线交于两点，求的面积．【答案】（1）抛物线的方程为，准线方程为；（2）.【解析】（1）先由抛物线过点得到，进而解出的值，这样即可确定该抛物线的方程，进而再根据抛物线的几何性质得到准线方程；（2）由（1）中抛物线的方程先确定，进而根据点斜式可写出直线的方程，设点，联立直线与抛物线的方程，消去得到，进而根据二次方程根与系数的关系得到，进而可根据弦长计算公式计算出弦长，然后由点到直线的距离公式算出原点到直线的距离，进而可求出的面积.（1）根据抛物线过点可得，解得从而抛物线的方程为，准线方程为 5分（2）抛物线焦点坐标为，所以直线 6分设点联立得：，即 8分则由韦达定理有： 9分则弦长 11分而原点到直线的距离 12分故 13分.【考点】1.抛物线的标准方程及其几何性质；2.直线与抛物线的位置关系；3.点到直线的距离公式.9.抛物线的焦点坐标为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据抛物线的性质可知抛物线的焦点坐标为【考点】抛物线的性质．10.在平面直角坐标系中，已知动点到点的距离为，到轴的距离为，且．（1）求点的轨迹的方程；（2）若直线斜率为1且过点，其与轨迹交于点，求的值．【答案】（1）（2）．【解析】（1）方法一：由抛物线的定义直接得到结果；方法二：根据题中所给数据直接列出等式，化简即可得到结果．（2）将直线，与，联立，得，利用弦长公式得，将韦达定理代入即可得到结果．（1）方法一：由抛物线的定义可知，；方法二：，．可得，．（2）直线，联立，得，【考点】1．抛物线的定义；2．直线与抛物线的位置关系．11.点是抛物线上一动点，则点到点的距离与到直线的距离和的最小值是 .【答案】【解析】∵P点到直线x=-1的距离等于P点到抛物线y2=4x焦点F的距离故当P点位于AF上时，点P到点A（0，-1）的距离与到直线x=-1的距离和最小此时|PA|+|PF|=|AF|=.【考点】抛物线的简单性质．12.在平面直角坐标系xOy中，焦点为F(5，0)的抛物线的标准方程是．【答案】y2＝20x【解析】焦点为F(5，0)，所以抛物线开口向右，标准方程可设为，又所以，抛物线的标准方程是y2＝20x【考点】抛物线的焦点坐标与方程关系13.抛物线上的一点M到焦点的距离为1，则点M到y轴的距离是( )A．B．C．1D．【答案】D【解析】抛物线的准线方程为，根据抛物线的定义可知点到准线的距离为1，所以点到的距离为。

寒假作业（21）抛物线1、平面直角坐标系xOy 中，动点P 到圆()2221x y -+=上的点的最小距离与其到直线1x =-的距离相等，则P 点的轨迹方程是（ ）A ．28y x =B ．28x y =C ．24y x =D ．24x y =2、O 为坐标原点, F 为抛物线2:C y =的焦点,P 为 C 上一点，若 PF =POF △ 的面积为 ( )A ．2B ．C ．D ．43、设抛物线2(:0)2C y px p >=的焦点为F ，点M 在C 上， 5MF =，若以MF 为直径的圆过点()0,2，则C 的方程为（ ） A.24y x =或28y x = B.22y x =或28y x = C.24y x =或216y x =D.22y x =或216y x =4、已知直线:4360l x y -+=和抛物线2:4C y x =，P 为C 上的一点，且点P 到直线l 的距离与点P 到抛物线C 的焦点的距离相等，那么这样的点P 有（ ） A.0个B.1个C.2个D.无数个5、抛物线22=y x 上的点到直线50++=x 距离的最小值是 （ ） A.3B.74C.85D.436、过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作直线l ,交抛物线于点,M N ,交抛物线的准线于点P .若2PM PN =,则直线l 的斜率为( )A. B.2±C.±D.4±7、过抛物线2(0)y mx m =>焦点的直线l 与抛物线交于,A B 两点,以AB 为直径的圆的方程为22(4)(2)25x y -+-=,则m =( )A.2B.4C.2或4D.108、已知点()()1122,,,A x y B x y 是抛物线24y x =上相异两点，且满足124x x +=，若AB 的垂直平分线交x 轴于点M ，则AMB △的面积的最大值是（ ）A. B.8 C.D.69、定长为4的线段MN 的两端点在抛物线2y x =上移动，设点P 为线段MN 的中点， 则点P 到y 轴距离的最小值为( ) A.12B.1C.54D.7410、已知抛物线2:2C y x =，过原点作两条互相垂直的直线分别交C 于,A B 两点（,A B 均不与坐标原点重合），则抛物线的焦点F 到直线AB 距离的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．32D ．4 11、设F 为抛物线28y x =的焦点，,,A B C 为该抛物线上三点，若0FA FB FC ++=，则FA FB FC ++=_______.12、在抛物线2y x =上存在两个不同的点,M N 关于直线92y kx =+对称，则实数k 的取值范围为____________.13、如图,已知点F 为抛物线2:4C y x =的焦点,过点F 且斜率存在的直线交抛物线C 于,A B 两点,点D 为准线l 与x 轴的交点,则DAB △的面积S 的取值范围为___________.14、已知抛物线2:4C y x =上一点P,若以P 为圆心,PO 为半径作圆与抛物线l 的准线交于不同的两点,M N ,设准线l 与x 轴的交点为A,则11AMAN+的取值范围是__________. 15、如图，已知点(10)F ，为抛物线22(0)y px p =>，点F 为焦点，过点F 的直线交抛物线于A B 、两点，点C 在抛物线上，使得ABC △的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 右侧.记,AFG CQG △△的面积为12,S S .1.求P 的值及抛物线的标准方程；2.求12S S 的最小值及此时点G 的坐标.答案以及解析1答案及解析： 答案：A解析：设圆心为C ，动点P 到直线的距离为d ，根据题意得：1PC d -=，可得1PC d =+，即：动点P 到圆()2221x y -+=上的点的最小距离与其到直线2x =-的距离相等，根据抛物线的定义，动点P 的轨迹为以()2,0为焦点，以2x =-为准线的抛物线，设方程为22y px =，则22p=，4p =，所以抛物线方程为：28y x =，选A ．2答案及解析：答案：C 解析：3答案及解析： 答案：C解析： 设点M 的坐标为00(,)x y ，由抛物线的定义，得052MF x p =+=，则052p x =-. 又点F 的坐标为,02p⎛⎫⎪⎝⎭，所以以MF 为直径的圆的方程为()00()02P x y x y y x ⎛⎫⋅-+-= ⎪⎝⎭-. 将0x =，2y =代入得00840px y -+=，即204802y y -+=，所以04y =. 由202y px =，得16252p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 解得2p =，或8p =.所以C 的方程为24y x =或216y x =.故选C4答案及解析： 答案：C解析：由题意设2,4P y y ⎛⎫⎪⎝⎭，则由抛物线的定义得点P 到抛物线C 的焦点的距离等于点P 到准线1x =-的距离，其值为214y+，点P 到直线l 的距离为2243643655y y y y ⨯-+-+=则2236145y y y -++=，化简得21240y y +-=，()212441600∆=-⨯-=>，则满足条件的点P 有两个，故选C.5答案及解析： 答案：B 解析：6答案及解析： 答案：C解析：过点,M N 分别作抛物线2px =-的垂线，垂足分别为11,M N .由抛物线定义可得11,MM MF MN NF ==，则1112PN NN NF PMMM MF===，设NF m =，则3PN m =，所以34PN m p PF ==，所以34m p =，设点11(,)M x y ，则122p x m +=,所以132222p p x m p p =-=-=，所以(,)M p ,所以直线l的斜率2MF k ==±7答案及解析： 答案：B解析：由题意,可得弦AB 的中点的横坐标为4,10AB =.设1122(,),(,)A x y B x y ,则12124,1022x x mx x +=++=,解得4m =,故选B.8答案及解析：答案：B解析：当AB 垂直于x 轴时，显然不符合题意.设AB 中点为()2,P t ，于是1212221212124244AB y y y y k y y x x y y t --====-+-. ∴ 可设直线AB 的方程为()22y t x t-=-， 联立方程：()2224y t x t y x ⎧-=-⎪⎨⎪=⎩消去得：222280y ty t -+-=，∴ 122y y t +=，21228y y t =-，∴AB =由12AB MP MP t k k k ⋅=-⇒-，得():22tMP y t x -=--， 令0y =时，得()4,0M ，∴MP =，于是(211422MAB S AB MP t =⋅=+△令m =()221112622S m m m m =-⋅=-+，，，，20200)2)(2(236232>⇒<'<<⇒>'-+-=+-='m S m S m m m S ()()233'62222S m m m =-+=-+-，'002,'02S m S m >⇒<<<⇒>∴ 当2m =时， ()max 8MAB S =△，此时24t =.9答案及解析：答案：D 解析：10答案及解析：答案：C 解析：11答案及解析： 答案：12 解析：12答案及解析： 答案：11,,44⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解析：设221122(,),(,)M x x N x x关于直线92y kx =+对称，∴0k ≠，∴2212121x x x x k-=--，即121x x k +=-.设线段MN 的中点为00(,)P x y ，则00119,4222x y k k k ⎛⎫=-=⨯-+= ⎪⎝⎭.∵中点P 在2y x =内，∴2142k ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，解得14k >或14k <-.13答案及解析： 答案：(4,)+∞解析：由抛物线2:4C y x =可得焦点(1,0)F .设1122(,),(,)A x y B x y ,直线AB 的方程为(1)(0)y k x k =-≠.联立2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩,可得2222(24)0k x k x k -++=,则1212242,1x x x x k +=+=,∴224(1)k AB k +=.点(1,0)D -到直线AB的距离d =,∴2214(1)42k S d AB k +=⋅==,∴DAB △的面积S 的取值范围为(4,)+∞.14答案及解析：答案：解析：15答案及解析： 答案：1.由题意得12p=，即2p = 所以，抛物线的准线方程为1x =-2.设()()(),,,,,A A B B c c A x y B x y C x y ，重心(),G G G x y .令2,0A y t t =≠，则2A x t =.由于直线AB 过F ，故直线AB 方程为2112t x y t-=+，代入24y x =，得()222140t y y t---=，故24B ty =-，即2B y t=-，所以212,B t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭.又由于()()11,33G A B c G A B c x x x x y y y y =++=++及重心G 在x 轴上，故220c t y t-+=，得242211222,2,,03t t C t t G t t t ⎛⎫⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 所以，直线AC 方程为()222y t t x t -=-，得()21,0Q t -.由于Q 在焦点F 的右侧，故22t >.从而4224221244242222211|2|||322221222211|||1||2|23Ac t t t FG y t S t t t t t S t t QG y t t t t-+-⋅⋅--====--+--⋅--⋅-.令22m t =-，则0m >，122122213434S m S m m m m =-=-≥=+++++.当m 时，12S S取得最小值120G （，）. 解析：。