【百强校】2015-2016新疆哈密地区二中高二下期末考试理科数学卷(带解析)

2015-2016学年新疆哈密二中高一（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）在△ABC中，，则S△ABC＝（）A．B．C．D．2．（5分）不等式﹣6x2﹣x+2≤0的解集是（）A．{}B．{}C．{}D．{}3．（5分）设θ为第四象限的角，cosθ＝，则sin2θ＝（）A．B．C．﹣D．﹣4．（5分）已知＝（1，2），＝（﹣2，4），且k+与垂直，则k＝（）A．B．﹣C．﹣D．5．（5分）设a，b，c∈R，且a＞b，则（）A．ac＞bc B．C．a2＞b2D．a3＞b36．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于（）A．﹣4B．﹣6C．﹣8D．﹣107．（5分）将函数y＝sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（）A．y＝cos2x B．y＝2cos2xC．D．y＝2sin2x8．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，a2+a4＝6，则S5等于（）A．10B．12C．15D．309．（5分）同时具有性质：“①最小正周期是π；②图象关于直线对称；③在上是增函数．”的一个函数为（）A．B．C．D．10．（5分）在△ABC中，若＝，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形11．（5分）已知点P为△ABC所在平面内一点，且满足＝λ（+）（λ∈R），则直线AP必经过△ABC的（）A．重心B．内心C．垂心D．外心12．（5分）如图，由四个边长为1的等边三角形拼成一个边长为2的等边三角形，各项点依次为，A1，A2，A3，…A6则的值组成的集合为（）A．{﹣2，﹣1，0，1，2}B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知变量x，y，满足：，则z＝2x+y的最大值为．14．（5分）已知数列2，，，，，…，则是该数列中的第项．15．（5分）不等式≥0的解集为．16．（5分）E，F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点，则tan∠ECF＝，cos ∠BCF＝．二、解答题（17题10分，其它各题每题12分，共70分）17．（10分）已知等比数列{a n}的各项均为正数，a2＝8，a3+a4＝48．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝log4a n．证明：{b n}为等差数列，并求{b n}的前n项和S n．18．（12分）已知函数f（x）＝1﹣2sin2（x﹣），x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）判断函数f（x）在区间上是否为增函数？并说明理由．19．（12分）已知函数（1）若0＜a＜1，求f（a）+f（1﹣a）的值；（2）求的值．20．（12分）等差数列{a n}的各项均为正数，a1＝3，前n项和为S n，{b n}为等比数列，b1＝1，且b2S2＝64，b3S3＝960．（1）求a n与b n；（2）求和：．21．（12分）已知函数f（x）＝2cos2+cos（ωx+），（其中ω＞0的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值，并求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若f（A）＝﹣，c＝3，△ABC的面积为6，求△ABC的外接圆面积．22．（12分）已知点（x，y）是区域，（n∈N*）内的点，目标函数z＝x+y，z的最大值记作z n．若数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，且点（S n，a n）在直线z n＝x+y上．（Ⅰ）证明：数列{a n﹣2}为等比数列；（Ⅱ）求数列{S n}的前n项和T n．2015-2016学年新疆哈密二中高一（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）在△ABC中，，则S△ABC＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵，∴S△ABC＝＝＝故选：D．2．（5分）不等式﹣6x2﹣x+2≤0的解集是（）A．{}B．{}C．{}D．{}【解答】解：不等式﹣6x2﹣x+2≤0可化为6x2+x﹣2≥0，即（2x﹣1）（3x+2）≥0，解得或x故选：B．3．（5分）设θ为第四象限的角，cosθ＝，则sin2θ＝（）A．B．C．﹣D．﹣【解答】解：∵θ为第四象限的角，cosθ＝，∴sinθ＝﹣＝﹣，则sin2θ＝2sinθcosθ＝﹣，故选：D．4．（5分）已知＝（1，2），＝（﹣2，4），且k+与垂直，则k＝（）A．B．﹣C．﹣D．【解答】解：＝（1，2），＝（﹣2，4），可得•＝﹣2+8＝6，||＝＝2，由k+与垂直，可得（k+）•＝0，k•+2＝0，即有6k+20＝0，解得k＝﹣．故选：B．5．（5分）设a，b，c∈R，且a＞b，则（）A．ac＞bc B．C．a2＞b2D．a3＞b3【解答】解：A、3＞2，但是3×（﹣1）＜2×（﹣1），故A不正确；B、1＞﹣2，但是，故B不正确；C、﹣1＞﹣2，但是（﹣1）2＜（﹣2）2，故C不正确；D、∵a＞b，∴a3＞b3，成立，故D正确．故选：D．6．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于（）A．﹣4B．﹣6C．﹣8D．﹣10【解答】解：∵等差数列{a n}的公差为2，a1，a3，a4成等比数列，∴（a1+4）2＝a1（a1+6），∴a1＝﹣8，∴a2＝﹣6．故选：B．7．（5分）将函数y＝sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（）A．y＝cos2x B．y＝2cos2xC．D．y＝2sin2x【解答】解：令y＝f（x）＝sin2x，则f（x+）＝sin2（x+）＝cos2x，再将f（x+）的图象向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是y＝cos2x+1＝2cos2x，故选：B．8．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，a2+a4＝6，则S5等于（）A．10B．12C．15D．30【解答】解：a2+a4＝a1+a5＝6∴S5＝＝＝15故选：C．9．（5分）同时具有性质：“①最小正周期是π；②图象关于直线对称；③在上是增函数．”的一个函数为（）A．B．C．D．【解答】解：由于y＝sin（+）的最小正周期为＝4π，不满足①，故排除A．由于y＝cos（﹣）的最小正周期为＝4π，不满足①，故排除B．由于y＝cos（2x+），在上，2x+∈[﹣，]，故y＝cos（2x+）在上没有单调性，故排除C．对于y＝sin（2x﹣）的最小正周期为＝π；当时，函数取得最大值为1，故图象关于直线对称；在上，2x﹣∈[﹣，]，故y＝sin（2x﹣）在上是增函数，故D满足题中的三个条件，故选：D．10．（5分）在△ABC中，若＝，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【解答】解：∵cos B＝，cos A＝，∴a2+c2﹣b2＝2ac•cos B，b2+c2﹣a2＝2bc•cos A，∴＝＝＝，又＝，∴＝＝，即sin A cos A＝sin B cos B，∴sin2A＝sin2B，又A和B都为三角形的内角，∴2A＝2B或2A+2B＝180°，即A＝B或A+B＝90°，则△ABC为等腰三角形或直角三角形．故选：D．11．（5分）已知点P为△ABC所在平面内一点，且满足＝λ（+）（λ∈R），则直线AP必经过△ABC的（）A．重心B．内心C．垂心D．外心【解答】解：∵＝λ（+），两边同乘以向量，得•＝λ（+）•＝λ（+）＝λ（+）＝λ（﹣||+||）＝0．∴⊥，即点P在在BC边的高线上，∴P的轨迹过△ABC的垂心．故选：C．12．（5分）如图，由四个边长为1的等边三角形拼成一个边长为2的等边三角形，各项点依次为，A1，A2，A3，…A6则的值组成的集合为（）A．{﹣2，﹣1，0，1，2}B．C．D．【解答】解：对向量分成以下几种类型：边长为1的小三角形边上的向量，只需找一个小三角形A1A2A4，它其它小三角形边上的向量相等；大三角形A1A3A6边上的向量，和它的中线上的向量，所以有：，，，，，，，，，，，，，，，；∴所有值组成的集合为{1，﹣1，}．故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知变量x，y，满足：，则z＝2x+y的最大值为4．【解答】解：作出约束条件表示的可行域如图：由z＝2x+y得y＝﹣2x+z．由图形可知当直线y＝﹣2x+z经过B点时，直线的截距最大，即z最大．解方程组，得B（1，2）．∴z的最大值为z＝2×1+2＝4．故答案为：4．14．（5分）已知数列2，，，，，…，则是该数列中的第14项．【解答】解：数列2，，，，，…，可化为：，，…，数列的第n项为：，故是第14项．故答案为：14．15．（5分）不等式≥0的解集为[﹣3，﹣2）∪[1，3）．【解答】解：原不等式等价变形为，利用穿根法如图，得到不等式的解集为[﹣3，﹣2）∪[1，3）；故答案为：[﹣3，﹣2）∪[1，3）．16．（5分）E，F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点，则tan∠ECF＝，cos∠BCF＝．【解答】解：取AB中点D，连接CD，设AB＝6，则AC＝BC＝3，由余弦定理可知cos45°＝＝＝，解得CE＝CF＝，再由余弦定理得cos∠ECF＝＝＝，∴sin，∴tan∠ECF＝＝．cos∠DCF＝cos＝＝，sin∠DCF＝sin＝＝，cos∠BCF＝cos（45°﹣∠DCF）＝cos45°cos∠DCF+sin45°sin∠DCF＝（）＝．故答案为：，．二、解答题（17题10分，其它各题每题12分，共70分）17．（10分）已知等比数列{a n}的各项均为正数，a2＝8，a3+a4＝48．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝log4a n．证明：{b n}为等差数列，并求{b n}的前n项和S n．【解答】（Ⅰ）解：设等比数列{a n}的公比为q，依题意q＞0．∵a2＝8，a3+a4＝48，∴a1q＝8，．两式相除得q2+q﹣6＝0，解得q＝2，舍去q＝﹣3．∴．∴数列{a n}的通项公式为．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得．∵，∴数列{b n}是首项为1，公差为的等差数列．∴．18．（12分）已知函数f（x）＝1﹣2sin2（x﹣），x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）判断函数f（x）在区间上是否为增函数？并说明理由．【解答】解：（本小题满分13分）（Ⅰ）因为＝…（3分）＝sin2x，…（5分）所以函数f（x）的最小正周期．…（7分）（Ⅱ）结论：函数f（x）在区间上是增函数．…（9分）理由如下：由，解得，所以函数f（x）的单调递增区间为，（k∈Z）．…（12分）当k＝0时，知f（x）在区间上单调递增，所以函数f（x）在区间上是增函数．…（13分）19．（12分）已知函数（1）若0＜a＜1，求f（a）+f（1﹣a）的值；（2）求的值．【解答】解：（1）∵函数，∴f（a）+f（1﹣a）＝．（2）∵f（a）+f（1﹣a）＝1，∴＝．20．（12分）等差数列{a n}的各项均为正数，a1＝3，前n项和为S n，{b n}为等比数列，b1＝1，且b2S2＝64，b3S3＝960．（1）求a n与b n；（2）求和：．【解答】解：（1）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则d为正整数，a n＝3+（n﹣1）d，b n＝q n﹣1依题意有①解得，或（舍去）故a n＝3+2（n﹣1）＝2n+1，b n＝8n﹣1（2）S n＝3+5+…+（2n+1）＝n（n+2）∴＝＝＝21．（12分）已知函数f（x）＝2cos2+cos（ωx+），（其中ω＞0的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值，并求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若f（A）＝﹣，c＝3，△ABC的面积为6，求△ABC的外接圆面积．【解答】解：（Ⅰ）由已知得f（x）＝1+cosωx+cosωx﹣sinωx＝1+cosωx﹣sinωx＝1﹣sin（ωx﹣），于是有＝2．∴函数f（x）的单调递减区间[k]，k∈Z．（Ⅱ）由（Ⅰ）以及已知可得，即sin（2A﹣）＝，所以A＝，△ABC的外接圆的半径为，△ABC的外接圆的面积为．22．（12分）已知点（x，y）是区域，（n∈N*）内的点，目标函数z＝x+y，z的最大值记作z n．若数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，且点（S n，a n）在直线z n＝x+y上．（Ⅰ）证明：数列{a n﹣2}为等比数列；（Ⅱ）求数列{S n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）∵目标函数对应直线l：z＝x+y，区域，（n∈N*）表示以x轴、y轴和直线x+2y＝2n为三边的三角形，∴当x＝2n，y＝0时，z的最大值z n＝2n∵（S n，a n）在直线z n＝x+y上∴z n＝S n+a n，可得S n＝2n﹣a n，当n≥2时，可得a n＝S n﹣S n﹣1＝（2n﹣a n）﹣[2（n﹣1）﹣a n﹣1]化简整理，得2a n＝a n﹣1+2因此，a n﹣2＝（a n﹣1+2）﹣2＝（a n﹣1﹣2）当n＝1时，a n﹣2＝a1﹣2＝﹣1∴数列{a n﹣2}是以﹣1为首项，公比q＝的等比数列；（Ⅱ）由（I）得a n﹣2＝﹣（）n﹣1，∴a n＝2﹣（）n﹣1，可得S n＝2n﹣a n＝2n﹣2+（）n﹣1，∴根据等差数列和等比数列的求和公式，得即数列{S n}的前n项和T n＝，（n∈N*）．。

绝密★启用前【百强校】2015-2016学年新疆哈密地区二中高二下期末考英语卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：94分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、阅读理解（题型注释）阅读理解。

A group of kids at McIntyre Elementary School, in Pittsburgh, Pennsylvania, have created a special bench to make sure their fellow classmates aren’t left out on the playground. Called the “Buddy Bench”, students can use the seat as a safe and support ive place to let others know they’d like to be included in playtime, but may be too shy to ask.The concept of the Buddy Bench is simple: Students who want to partake in playground games and activities, but may feel hesitant, can take a seat, which signifies(表明) to other children on the playground that they may need something extra to encourage them to participate. The idea for the bench came about last year, when Farrell, school counselor at McIntyre Elementary, was conducting a leadership group to help students overcome shyness and gain confidence. Four fourth-grade students came up with the idea for the Buddy Bench in this workshop, and worked with Farrell to draft a letter to present to the Parent Teacher Staff Organization to make the bench a reality. T he PTSO approved the students’ proposal, and试卷第2页，共12页installed(安装) a bright metal bench with a cheerful sign that reads “Buddy Bench” on the school’s playground.Since it was installed on Nov. 16, the bench has been effective. The simple concept has resonated with(引起共鸣) the students, and already has created a better environment within the school community.“Each day, I go to see the buddy bench working,” Farrell said. “The lessons they are learning now will benefit them their entire lives. It is simply a beautiful example of kids wanting to be kind and continue to be kind every day.” 1、Who is Buddy Bench created for? A ．Students who love games and activities. B ．Students who want and continue to be kind. C ．Students who are left out on the playground. D ．Students who ar e in Farrell’s leadership group.2、What does the underlined word “they” in the last paragraph refer to? A ．The PTSO. B ．Buddy Bench users.C ．The workshop members.D ．Farrell and teachers. 3、Which of the following statements can show “the bench has been effective”? A ．The workshop kids have set a good example. B ．More and more creative ideas have come up.C ．The PTSO has decided to provide more buddy benches.D ．Some shy students have found friends on the playground.阅读理解。

新疆哈密地区第二中学2016-2017学年高二下学期期末考试（理）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分） 1、已知复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2、若集合， ，则（ ）A. B. C. D.3、中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，此日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见此日行数里，请公仔仔细算相还”，其意思为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问第二天走了（ ）A. 96里B. 48里C. 192 里D. 24里 4、一个几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A. B.C. D.则的最大值为( )5、已知，满足A. 3B. 4C. 6D. 7231iz i-=+i z {}2,4,6,8A =2{|9180}B x x x =-+≤A B ⋂={}2,4{}4,6{}6,8{}2,86、从5名学生中选出4名分别参加A ，B ，C ，D 四科竞赛，其中甲不能参加C ， D 两科竞赛，则不同的参赛方案种数为( )A. 24B. 48C. 72D. 1207、某班数学课代表给全班同学出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题。

甲：我不会证明。

乙：丙会证明。

丙：丁会证明。

丁：我不会证明。

根据以上条件，可以判定会证明此题的人是（ ）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁 8、某程序框图如图所示，运行该程序时，输出的S 值是（ ）A ． 44B ． 70C ． 102D ． 1409、已知双曲线的右顶点为，过右焦点的直线与的一条渐近线平行，交另一条渐近线于点，则（ ）A. B. C. D.10、已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等，则AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦值等于（ ）A.B. C.D.11、已知函数，则（）A. 当，有极大值为B. 当，有极小值为111ABC A B C 223264104C. 当，有极大值为0D. 当，有极小值为012、如图，△ABC 的外接圆的圆心为O ，AB ＝2，AC ＝3，则·等于( )A. B. C ．2 D ．3二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13、已知随机变量，随机变量，则 ． 14、函数的值域是 ．15、已知等差数列的前项和，满足，则数列的前项和 ．16、若经过抛物线焦点的直线与圆相切，则直线的斜率为 ．三、解答题（17题10分，其它各题每题12分，共70分） 17、已知的内角的对边分别为，．（1）若，求；（2）若，，求．18、2016年1月2日凌晨某公司公布的元旦全天交易数据显示，天猫元旦当天全天的成交AO BC1~(5,)3B ξ21ηξ=-()E η=23sin22cos 1y x x =+-{}n a n n S 350,5S S ==-21211n n a a -+⎧⎫⎨⎬⎩⎭5050T =24y x =l ()2244x y -+=l金额为315.5亿元.为了了解网购者一次性购物情况，某统计部门随机抽查了1月1日100名网购者的网购情况，得到如下数据统计表，已知网购金额在2000元以上（不含2000元）的频率为0.4.（I ）先求出的值，再将如图4所示的频率分布直方图绘制完整；（II ）对这100名网购者进一步调查显示：购物金额在2000元以上的购物者中网龄3年以上的有35人，购物金额在2000元以下（含2000元）的购物者中网龄不足3年的有20人，请填写下面的列联表，并据此判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为网购金额超过2000元与网龄在3年以上有关？参考数据：参考公式：，其中.19、如图，已知四棱锥的底面为菱形，，，.（Ⅰ）线段AB 上是否存在点M ，使AB 平面PCM ？并给出证明.x y p q ，，，22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++（Ⅱ）求二面角的余弦值.20、已知点，椭圆E ：的离心率为，F 是椭圆的焦点，直线AF 的斜率为，O 为坐标原点． （1）求椭圆E 的方程；（2）设过点A 的直线与椭圆E 相交于P ，Q 两点，当的面积最大时，求直线的方程．21、已知函数f （x ）=me x ﹣lnx ﹣1．（1）当m=1时，求曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程； （2）当m≥1时，证明：f （x ）＞1．选做题：请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做则按所做的第一题记分． 22、在直角坐标系中，已知曲线（为参数），在以为极点，轴正)2,0(-A )0(12222>>=+b a by a x 23332l OPQ ∆l xOy 12:{sin x cos C y αα==αO x半轴为极轴的极坐标系中，曲线，曲线. （1）求曲线与的交点的直角坐标；（2）设点，分别为曲线，上的动点，求的最小值.23、已知；（1）判断的大小； （2）若，求证：中至少有一个的值小于2．参考答案1、【答案】C2、【答案】B3、【答案】A4、【答案】A5、【答案】D6、【答案】C22:cos 42C πρθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭3:2sin C ρθ=1C 2C M A B 2C 3C AB 00>>y x 、xy y x +++1)1)(1(与2>+y x yxx y ++11、7、【答案】A 8、【答案】C 9、【答案】A 10、【答案】C 11、【答案】D 12、【答案】B13、【答案】14、【答案】 15、【答案】16、【答案】 17、【答案】（1）；（2）.（1）由已知，结合正弦定理得：，于是或（舍）．因为，所以，，．（2）由题意及余弦定理可知， 由（1）得即，联立解得，．所以，.18、【答案】（I ）因为网购金额在2000元以上（不含2000元）的频率为0.4，所以网购金额在的频率为，即，且， 从而，，相应的频率分布直方图如图所示：73[]22-，5099-255±[2500,3000]0.40.30.1-=0.1q =1000.110y =⨯=15x =0.15p=（II ）相应的列联表为：由公式， 因为，所以据此列联表判断，在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为网购金额超过2000元与网龄在3年以上有关.19、【答案】 (Ⅰ)当m 是AB 的中点时，AB ⊥平面PCM∵AP=PB ∴AB ⊥PM 又△ACB 中，AB=BC,∠ABC=60°∴△ABC 是正三角形∴AB ⊥CM 又PM∩CM=M ∴AB ⊥平面PCM (Ⅱ)（Ⅱ）由，，易求得，，∴，以为坐标原点，以，，分别为轴，轴，轴建立空间直坐标系，则，，，，∴，，设平面的一个法向量为，则，，∴，∴，，∴设平面的一个法向量为，则，，∴，∴，，∴∴，∵二面角为钝角，∴二面角的余弦值为.22⨯222()100(3520405) 5.56()()()()40607525n ad bc k a b c d a c b d -⨯-⨯===++++⨯⨯⨯5.56 5.024>20、【答案】（1）． （2）由题可知，直线的斜率存在，故设：，，．将代人中整理得 当即时，，． 从而． 点O 到直线PQ 的距离，所以的面积， 设，则，，，当且仅当 即时等号成立，且满足．所以，当的面积最大时，的方程 或． 21、【答案】（1）解：当m=1时，f （x ）=e x﹣lnx ﹣1，所以．…所以f （1）=e ﹣1，f'（1）=e ﹣1．…所以曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为y ﹣（e ﹣1）=（e ﹣1）（x ﹣1）．即y=（e ﹣1）x ．…（2）证法一：当m≥1时，f （x ）=me x ﹣lnx ﹣1≥e x﹣lnx ﹣1．要证明f （x ）＞1，只需证明e x﹣lnx ﹣2＞0．… 以下给出三种思路证明e x﹣lnx ﹣2＞0． 思路1：设g （x ）=e x﹣lnx ﹣2，则．设，则，1422=+y x l l 2-=kx y ),(11y x P ),(22y x Q 2-=kx y 1422=+y x 01216)41(22=+-+kx x k 0)34(162>-=∆k 432>k1416221+=+k k x x 1412221+=k x x =-+=2121x x k PQ 1434144)(1222212212+-+=-++k k k x x x x k122+=k d POQ ∆==∆PQ d S POQ211434422+-k k t k =-3420>t tt t tPQ d S POQ 4444212+=+==∆44≥+tt 2=t 27±=k 0>∆POQ ∆l 227-=x y 227--=x y所以函数h（x）=在（0，+∞）上单调递增．…因为，g'（1）=e﹣1＞0，所以函数在（0，+∞）上有唯一零点x0，且．…因为g'（x0）=0时，所以，即lnx0=﹣x0．…当x∈（0，x0）时，g'（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，g'（x）＞0．所以当x=x0时，g（x）取得最小值g（x0）．…故．综上可知，当m≥1时，f（x）＞1．…思路2：先证明e x≥x+1（x∈R）．…设h（x）=e x﹣x﹣1，则h'（x）=e x﹣1．因为当x＜0时，h'（x）＜0，当x＞0时，h'（x）＞0，所以当x＜0时，函数h（x）单调递减，当x＞0时，函数h（x）单调递增．所以h（x）≥h（0）=0．所以e x≥x+1（当且仅当x=0时取等号）．…所以要证明e x﹣lnx﹣2＞0，只需证明（x+1）﹣lnx﹣2＞0．…下面证明x﹣lnx﹣1≥0．设p（x）=x﹣lnx﹣1，则．当0＜x＜1时，p'（x）＜0，当x＞1时，p'（x）＞0，所以当0＜x＜1时，函数p（x）单调递减，当x＞1时，函数p（x）单调递增．所以p（x）≥p（1）=0．所以x﹣lnx﹣1≥0（当且仅当x=1时取等号）．…由于取等号的条件不同，所以e x﹣lnx﹣2＞0．综上可知，当m≥1时，f（x）＞1．…（若考生先放缩lnx，或e x、lnx同时放缩，请参考此思路给分！）思路3：先证明e x﹣lnx＞2．因为曲线y=e x与曲线y=lnx的图象关于直线y=x对称，设直线x=t（t＞0）与曲线y=e x，y=lnx分别交于点A，B，点A，B到直线y=x的距离分别为d1，d2，则．其中，（t＞0）．①设h（t）=e t﹣t（t＞0），则h'（t）=e t﹣1．因为t＞0，所以h'（t）=e t﹣1＞0．所以h（t）在（0，+∞）上单调递增，则h（t）＞h（0）=1．所以．②设g（t）=t﹣lnt（t＞0），则．因为当0＜t＜1时，g'（t）＜0；当t＞1时，g'（t）＞0，所以当0＜t＜1时，g（t）=t﹣lnt单调递减；当t＞1时，g（t）=t﹣lnt单调递增．所以g（t）≥g（1）=1．所以．所以．综上可知，当m≥1时，f（x）＞1．…证法二：因为f（x）=me x﹣lnx﹣1，要证明f（x）＞1，只需证明me x﹣lnx﹣2＞0．…以下给出两种思路证明me x﹣lnx﹣2＞0．思路1：设g（x）=me x﹣lnx﹣2，则．设，则．所以函数h（x）=在（0，+∞）上单调递增．…因为，g'（1）=me﹣1＞0，所以函数在（0，+∞）上有唯一零点x 0，且．… 因为g'（x 0）=0，所以，即lnx 0=﹣x 0﹣lnm ．…当x ∈（0，x 0）时，g'（x ）＜0；当x ∈（x 0，+∞）时，g'（x ）＞0．所以当x=x 0时，g （x ）取得最小值g （x 0）．…故．综上可知，当m≥1时，f （x ）＞1．…思路2：先证明e x ≥x+1（x ∈R ），且lnx≤x+1（x ＞0）．… 设F （x ）=e x ﹣x ﹣1，则F'（x ）=e x﹣1．因为当x ＜0时，F'（x ）＜0；当x ＞0时，F'（x ）＞0，所以F （x ）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．所以当x=0时，F （x ）取得最小值F （0）=0．所以F （x ）≥F （0）=0，即e x ≥x+1（当且仅当x=0时取等号）．…由e x ≥x+1（x ∈R ），得e x ﹣1≥x （当且仅当x=1时取等号）．… 所以lnx≤x ﹣1（x ＞0）（当且仅当x=1时取等号）．…再证明me x﹣lnx ﹣2＞0．因为x ＞0，m≥1，且e x ≥x+1与lnx≤x ﹣1不同时取等号， 所以me x﹣lnx ﹣2＞m （x+1）﹣（x ﹣1）﹣2=（m ﹣1）（x+1）≥0．综上可知，当m≥1时，f （x ）＞1．…22、【答案】（1）由得曲线的普通方程为． 由，得曲线的直角坐标系方程为．由，2{sin x cos y αα==1C ()2111x y x +=-≤≤2cos 42πρθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭2C 10x y ++=21{10x y x y +=++=得，解得或（舍去）．所以点的直角坐标为．（2）由，得曲线的直角坐标方程为，即． 则曲线的圆心到直线的距离为． 因为圆的半径为1，所以．23、【答案】（1）∵，∴，此即 ，其中当且仅当时，两个式子的值才相等； （2）假设都不小于2，即，且，从而，，两式相加得，∴，与已知条件矛盾，从而假设不正确，原命题正确．220x x --=1x =-2x =M ()1,0-2sin ρθ=3C 2220x y y +-=()2211x y +-=3C ()0,110x y ++=01122d ++==3C min ||21AB =-00>>y x 、xy y x +++1)1)(1(与2>+y x y x x y ++11、y x x y ++11、21≥+xy 21≥+y x x y 21≥+y x 21≥+)(22y x y x +≥++2≤+y x。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若集合}02|{2<--=x x x A ，{2,0,1},B =-则A B 等于（ ）A. }1,0{B. {}2C.{1,0}-D.{1,0,1}- 【答案】A 【解析】试题分析：由题意得2{|20}{|12}A x x x x x =--<=-<<，所以{0,1}A B = ，故选A ． 考点：集合的运算．2.若复数z 满足i 1i +=⋅z (i 是虚数单位)，则z 的共轭复数是（ ）A ．i 1--B ．i 1+C ．i 1+-D ．i 1- 【答案】B考点：复数的运算及共轭复数的概念．3.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）A ．1y x =+B ．2y x =- C ．1y x=D ．||y x x = 【答案】D 【解析】试题分析：由题意得，函数1y x =+是非奇非偶函数；函数2y x =-是偶函数；函数在(,0),(0,)-∞+∞是单调递减的奇函数，故选D ．考点：函数的性质．4.执行如图所示的程序框图，如果输入1a =-，2b =-，则输出的a 的值为（ ）A.16B.8C.4D.2【答案】B 【解析】试题分析：由题意得，若输入1a =-，2b =-；则第一次不满足条件6a >，则2a =；第二次不满足条件6a >，则224a =⨯=；第二次不满足条件6a >，则428a =⨯=；此时满足条件6a >，输出8a =，故选B ． 考点：程序框图． 5.在区间[]0,π上随机地取一个数x ,则事件“1sin 2x ≤”发生的概率为（ ）A. 13B.23C.12D.34【答案】A考点：几何概型及其概率的计算．6.若点()ααsin ,cos P 在直线x y 2-=上，则sin 2α的值等于（ ）A.54-B.54 C.53- D.53【答案】A 【解析】试题分析：因为()ααsin ,cos P 在直线x y 2-=上，所以sin cos αα=-，即tan 2α=-，所以2222sin cos 2tan 4sin 22sin cos sin cos 1tan 5ααααααααα====-++，故选A ． 考点：三角函数的基本关系式的应用．7.已知函数x x x f cos sin )(-=的图象，则把函数()f x 的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，再向右平移3π，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的一条对称轴方程为（ ） A.6x π= B.4x π= C.3x π=D.116x π=【答案】D考点：三角函数的图象变换． 8.设等比数列{}n a 前n 项和为n S ，若0841=+a a ，则43S S ＝（ ） A.－53 B.157C.56D.1514【答案】C 【解析】试题分析：设等比数列{}n a 的公比为q ，则3141118802aa a a q q +=+=⇒=-，所以123443123a a a a S S a a a +++=++ 23231111221111516a a q a q a q q q q a a q a q q q ++++++===++++，故选C ．考点：等比数列．9.已知实数,x y 满足1033000x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则32z x y =+的最大值为（ ）A ．2 B. 3 C.12 D. 15 【答案】C考点：简单的线性规划问题．10.下图为某几何体的三视图，图中四边形为边长为1的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体体积为（ ）A ．16B ．45C ．15D ．56【答案】D 【解析】试题分析：由三视图可知，给定的几何体是一个正方体，挖去一个四棱锥所得的组合体，正方体的边长为1，所以正方体的体积为1，四棱柱的体积为11111326⨯⨯⨯=，所以组合体的体积为15166V =-=，故选D ． 考点：几何体的三视图、体积的计算．【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的三视图的应用，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，本题的解答中，得出给定的几何体是一个正方体，挖去一个四棱锥所得的组合体是解答的关键．11.已知()2,21x xf x ax =++若(ln3)2,f =则1(ln )3f 等于（ ） A.2- B.1- C.0 D. 1 【答案】B考点：函数奇偶性的应用．【方法点晴】本题主要考查了河南省的奇偶性的应用、函数值的求解，其中解答中涉及到实数指数幂的化简与运算、对数的运算与化简、函数奇偶性的判定与证明，解答中根据函数的解析式，得出()()1f x f x +-=（定值）是解答此类问题的关键，着重考查学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题．12.设21F F 、分别为椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>与双曲线222112211:1(0,0)x y C a b a b -=>>的公共焦点,它们在第一象限内交于点M ,︒=∠9021MF F ,若椭圆的离心率3=4e ,则双曲线2C 的离心率1e 的取 值为（ ）A.92B.2C.32D.54【答案】B 【解析】试题分析：由椭圆与双曲线的定理，可知121212,2MF MF a MF MF a +=-=，所以11MF a a =+，21MF a a =-，因为︒=∠9021MF F ，所以222124MF MF c +=，即22212a a c +=，即22111()()2e e +=，因为34a =，所以1e =B ． 考点：椭圆与双曲线的简单的几何性质．【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程、双曲线的标准方程、椭圆与双曲线的简单的几何性质的应用，其中解答中涉及到椭圆和双曲线的定义、直角三角形的勾股定理等知识点的考查，解答中利用椭圆与双曲线的定义，得出1121,MF a a MF a a =+=-是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13．已知向量(1,1),(2,2),t t =+=+m n 若()()+⊥-m n m n ，则t = .【答案】3-考点：向量的数量积的运算． 14.某单位为了了解用电量y 度与气温x C 之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表由表中数据得回归直线方程ˆˆˆybx a =+中ˆ2b ≈-，预测当气温为4-C 时，用电量约为___________度． 【答案】68 【解析】试题分析：由题意得，18131012434386410,4044x y ++-+++====，回归直线方程恒过点(,)(10,40)x y =，代入回归直线方程，解得ˆ60a=，所以回归直线方程为ˆ260yx =-+，将4x =-代入回归直线的方程，得ˆ2(4)6068y =-⨯-+=． 考点：回归直线方程的应用．15.在锐角△A B C 中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，若2sin b a B =，则角A 等于________. 【答案】6π考点：正弦定理的应用．【方法点晴】本题主要考查了正弦定理的应用、以及特殊角的三角函数值问题，其中解答中涉及到解三角形中的边角互化，转化为三角函数求值的应用，解答中熟练掌握正弦定理的变形，完成条件的边角互化是解答的关键，注重考查了分析问题和解答问题的能力，同时注意条件中锐角三角形，属于中档试题．16.设1a >，若函数2()log ()a f x ax x =-在区间1[,4]2上是增函数，则a 的取值范围是 ． 【答案】(2,)+∞ 【解析】试题分析：因为1a >，所以函数2()l o g ()a f x a x x=-是增函数，由函数2()l o g ()a f x a x x =-在区间1[,4]2上是增函数，所以2ax x -在区间1[,4]2上是增函数，且当12x =时函数值为正，所以112211042a a ⎧≤⎪⎪⎨⎪->⎪⎩，解得2a >，所以实数a 的取值范围是(2,)+∞．考点：对数函数的性质．【方法点晴】本题主要考查了对数函数的单调性与特殊点，解答本题的关键是根据复数函数的单调性判断出内层函数的单调性，由二次函数的性质得出参数的不等式组，即可求解参数的取值范围，其中本题的一个易错点是忘记真数为正数，导致答案出错，解答知要注意等价的转化，着重考查了转化与化归思想和推理与运算能力，属于中档试题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）已知曲线 y = x 3+ x －2 在点 P 0处的切线 1l 平行直线4x －y －1=0，且点 P 0 在第三象限． （1）求P 0的坐标；（2）若直线 1l l ⊥ , 且 l 也过切点P 0 ,求直线l 的方程. 【答案】(1)(1,4)--；(2)4170x y ++=．试题解析：⑴由y=x 3+x －2，得y ′=3x 2+1，由已知得3x 2+1=4，解之得x=±1.当x=1时，y=0;当x=－1时，y=－4. 又∵点P 0在第三象限, ∴切点P 0的坐标为 (－1,－4).⑵∵直线1l l ⊥,1l 的斜率为4,∴直线l 的斜率为14-, ∵l 过切点P 0,点P 0的坐标为 (－1,－4) ∴直线l 的方程为14(1)4y x +=-+即4170x y ++=. 考点：利用导数研究曲线在某点处的切线方程． 18.（本小题满分12分）已知点)sin ,cos 1(αα+P ，参数],0[πα∈，点Q 在曲线C ：)4sin(29πθρ+=上．（1）求点P 的轨迹方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）求点P 与点Q 之间距离的最小值．【答案】(1)()2211x y -+=（0y ≥），9x y +=；(2)1．【解析】试题分析：(1)先将1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩和曲线9:)4C ρπθ=+消去参数或利用极坐标与直角坐标的关系化得点P 的轨迹方程和曲线C 的直角坐标方程即可；(2)先求出半圆22(1)1(0)x y y -+=≥的圆心(1,0)到直线90x y +-=的距离，从而利用点P 与点Q 之间的距离的最小值为d r -．试题解析：解(1)由1cos,sin,xyαα=+⎧⎨=⎩得点P的轨迹方程 (x-1)2+y2=1(y≥0),又由ρ=9)4πθ+，得ρ=9sin cosθθ+, ∴sin cosρθρθ+=9．∴曲线C的直角坐标方程为 x+y=9．(2)半圆(x-1)2+y2=1(y≥0)的圆心(1，0)到直线x+y=9的距离为所以｜PQ｜min．考点：参数方程化为普通方程；圆的最值问题．19.（本小题满分12分）如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点，Ｅ为BC的中点.（1）求证：BD⊥平面AB1E；（2）求三棱锥C－ABD的体积.【答案】(1)证明见解析；试题解析：（1）∵棱柱ABC－A1B1C1是正三棱柱，且E为BC的中点，∴平面ABC⊥平面BCC1B1，又AE⊥BC且AE⊂平面ABC,∴AE⊥平面BCC1B1而D为CC1中点，且BD⊂平面BCC1B1∴ AE⊥BD由棱长全相等知Rt△BCD≌Rt△B 1BE, 即111+=+90CBD B EB BB E B EB ∠∠∠∠=︒， 故BD⊥B 1E, 又AE ⋂B 1E ＝E ， ∴BD⊥平面AB 1E（2）C ABD A CBD V V --= 111213323BCD S AE ∆=⋅=⨯⨯⨯=考点：直线与平面垂直的判定与证明；三棱锥的体积．20.（本小题满分12分）已知曲线194:22=+y x C ，直线⎩⎨⎧-=+=ty t x l 222:（t 为参数）． （1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（2）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求PA 的最大值与最小值．【答案】(1)260x y +-=；试题解析：（1）曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩，，（θ为参数）直线l 的普通方程为260.x y +-= 5分（2）曲线C 上任意一点(2cos ,3sin )p θθ到l 的距离为3sin 6.d θθ=+-则)6sin 30d PA a θ==+-︒，其中a 为锐角，且4tan .3α=当sin()1θα+=-时，PA 取得最大值，最大值为当sin()1θα+=时，PA 取得最小值，最小值为10分 考点：参数方程化为普通方程；参数方程的应用．21.（本小题满分12分）椭圆E 的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率为12．点P （1，32）、A 、 B 在椭圆E 上，且PA →＋PB →＝mOP →（m ∈R ）． （1）求椭圆E 的方程及直线AB 的斜率；（2）当m ＝－3时，证明原点O 是△PAB 的重心，并求直线AB 的方程．【答案】(1)13422=+y x ，12-；(2)证明见解析，220x y ++=．试题解析：（1）由2221a b e -==41及149122=+b a解得a 2=4，b 2=3， 椭圆方程为13422=+y x ； 设A （x 1,y 1）、B （x 2,y 2），由OP m PB PA =+得（x 1+x 2-2，y 1+y 2-3）=m （1，23），即⎪⎩⎪⎨⎧+=++=+m y y mx x 23322121又1342121=+y x ，1342222=+yx ，两式相减得212332434*********-=++⨯-=++⨯-=--=mm y y x x x x y y k AB ;（2）由（1）知，点A （x 1,y 1）、B （x 2,y 2）的坐标满足⎪⎩⎪⎨⎧+=++=+m y y m x x 23322121，点P 的坐标为（1，23）, m=-3， 于是x 1+x 2+1=3+m=0，y 1+y 2+23=3+23m +23=0， 因此△PAB 的重心坐标为（0，0）．即原点是△PAB 的重心． ∵x 1+x 2=-1，y 1+y 2=-23，∴AB 中点坐标为（21-，43-）， 又1342121=+y x ，1342222=+yx ，两式相减得214321211212-=++⨯-=--=y y x x x x y y k AB ;∴直线AB 的方程为y+43=21-（x+21）,即x+2y+2=0． 考点：椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的位置关系．【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质、直线与椭圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到向量的运算、直线与圆锥曲线的点差法的应用、直线的斜率公式和直线方程的求解，解答中合理运用椭圆的方程及其简单的几何性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题． 22.（本小题满分12分）已知函数2)1(2)(-+-=x a e x x f x）（. （1）讨论)(x f 的单调性；（2）若)(x f 有两个零点，求a 的取值范围.【答案】(1)当0a ≥时，()f x 在(),1-∞单调递减，在()1,+∞单调递增，当02ea -<<时，()f x 在()()(),ln 2,1,a -∞-+∞单调递增，在()()ln 2,1a -单调递减，当2ea =-时，()f x 在(),-∞+∞单调递增，当2ea <-时，()f x 在()()(),1,ln 2,a -∞-+∞单调递增，在()()1,ln 2a -单调递减；(2)()0,+∞．(i)设0a ≥，则当(),1x ∈-∞时，()'0f x <；当()1,x ∈+∞时，()'0f x >. 所以在(),1-∞单调递减，在()1,+∞单调递增. (ii)设0a <，由()'0f x =得x=1或x=ln(-2a).①若2e a =-，则()()()'1xf x x e e =--，所以()f x 在(),-∞+∞单调递增. ②若2ea >-，则ln(-2a)<1,故当()()(),ln 21,x a ∈-∞-+∞ 时，()'0f x >；当()()ln 2,1x a ∈-时，()'0f x <，所以()f x 在()()(),ln 2,1,a -∞-+∞单调递增，在()()ln 2,1a -单调递减.③若2ea <-，则()21ln a ->，故当()()(),1ln 2,x a ∈-∞-+∞ 时，()'0f x >，当()()1,l n 2x a∈-时，()'0f x <，所以()f x 在()()(),1,ln 2,a -∞-+∞单调递增，在()()1,ln 2a -单调递减.(2)(i)设0a >，则由(I)知，()f x 在(),1-∞单调递减，在()1,+∞单调递增. 又()()12f e f a =-=，，取b 满足b<0且ln 22b a<， 则()()()23321022a f b b a b a b b ⎛⎫>-+-=->⎪⎝⎭，所以()f x 有两个零点. (ii)设a=0，则()()2xf x x e =-所以()f x 有一个零点.(iii)设a<0，若2ea ≥-，则由(I)知，()f x 在()1,+∞单调递增. 又当1x ≤时，()f x <0，故()f x 不存在两个零点；若2ea <-，则由(I)知，()f x 在()()1,ln 2a -单调递减，在()()ln 2,a -+∞单调递增.又当1x ≤时()f x <0，故()f x 不存在两个零点.综上，a 的取值范围为()0,+∞.考点：利用导数研究函数的单调性；函数的零点判定定理．【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、函数的零点判定定理，其中解答中涉及到导数的运算、不等式的求解等知识点的考查，解答中求出()f x 的导数，讨论当0a ≥，2e a <-和02ea -<<三种情况分类讨论是解答关键，着重考查了分类讨论思想和函数与方程思想，以及转化与化归思想，试题有一定的难度，属于难题．。