线性方程组

证明
由 r ( A) r ( A b) 知 A X = b 有解，
组
即存在 x~1, x~2 ,, x~n ，使得
x~1 A1 x~2 A2 x~n An b .
(1) 若 r n , 则 A1, A2 , , An 线性无关， 故 b 只能由 A1, A2 , , An 的惟一地线性表示， 即 A X = b 的解是惟一的。
即得 念
第 二、线性方程组解的存在性与惟一性
四 章
1. 线性方程组解的存在性
2. 线性方程组解的惟一性 P112 定理4.2 (2) 线
性 定理 设 r ( A) r ( A b) r , 则 r n A X = b 有惟一解。
方 程
P123
4
§4.1 线性方程组的基本概念
第 一、线性方程组的几种表示形式
四 章
1. 线性方程组的一般形式
2. 线性方程组的矩阵形式 P111 线
性
方
程
组
简记为 A X b ,
其中 A 称为系数矩阵， A~ ( A b) 称为增广矩阵。
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§4.1 线性方程组的基本概念
第 一、线性方程组的几种表示形式
若 A X = b 有解，
组
则 b 可由 A1 , A2 , , An 线性表示，
故向量组 A1 , A2 , , An 与 A1 , A2 , , An , b 等价，
即得 r ( A) r ( A b).
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§4.1 线性方程组的基本概念
第 二、线性方程组解的存在性与惟一性
四 章
1. 线性方程组解的存在性
线 定理 线性方程组 A X = b 有解的充要条件是 r ( A) r ( A b).

第三章 线性方程组§1消元法现在来讨论一般线性方程组，所谓一般线性方程组是指形式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++.,,221122222212111212111s n sn s s n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a （1） 的方程组，其中n 21x , ,x ,x ⋯代表n 个中未知量，s 是方程的个数， ij a (i =1,2,…,s,j=1,2,…,n)称为方程组的系数，j b (j=1,2,…,s)称为常数项。

方程组中未知量的个数与方程的个数s 不一定相等。

系数ij a 的第一个指标i 表示它在第i 个方程,第二个指标j 表示它是j x 的系数。

所谓方程（1）的一个解就是指由n 个数n k k k ,,,21 组成的有序数组（n k k k ,,,21 ），当解集合。

如果两个方程组有相同的n 21x , ,x ,x ⋯分别用n k k k ,,,21 代入后，（1）中每个等式都变成恒等式。

方程组（1）的解的全体称为它的解集合。

解方程组实际上就是找出它全部的解，或者说，求出它的解集合。

如果两个方程姐有相同的解集合，它们就称为同解的。

显然，如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项，那么这个线性方程组就基本上确定了，确切的说，线性方程组（1）可以用下面的矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛s sn s s n n b a a a b a a a b a a a 21222222112211 （2） 来表示。

实际上，有了（2）之后，除去代表未知量的文字外，线性方程组（1）就确定了，而采用什么文字来代表未知量当然不是实质性的。

在中学所学的代数里我们学过用加减消元法和代入消元法解二元、三元线性方程组。

实际上，这个方法比用行列式解方程组更具有普遍性。

下面就来介绍如何用一般消元法解一般线性方程组。

先看一个例子。

例如，解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+-.522,4524,132321321321x x x x x x x x x第二个方程减去第一个方程的2倍，第三个方程减去第一个方程，就变为⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=+-.42,241323232321x x x x x x x第二个方程减去第三个方程的2倍，把第二第三个方程的次序交换，即得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=+-.6,42,132332321x x x x x x这样，我们就容易求出方程组的解为（9，-1，-6）。

c1 , c2 为任意常数
其中
1 1 1 0 ξ = c1 + c2 为对应齐次线性方程组的通解 0 2 1 0 1 2 0 η = 1 为非齐次线性方程组的特解 2 0
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例 已知 α1 = (1, 4, 0, 2)T α 2 = ( 2, 7,1, 3)T α 3 = ( 0,1, 1, a)T β = ( 3,10, b, 4)T 问:(1) a,b为何值时,β 不能由 α1 , α 2 , α 3 线性表示 (2) a,b为何值时,β 可以由 α1 , α 2 , α 3 线性表示,并写出 表达式 例 设线性方程组
x1 = 0 , x2 = 0 , , xn = 0 即 x = (0 , 0 , , 0)T 必为方程组的一个解向量
称零解.
有时,齐次线性方程组还有非零解.
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2 求解齐次线性方程组
2.1 齐次线性方程组有非零解的条件
定理一: 定理一:n 元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解(仅有零解) A 的列向量 α1 , α 2 , , α n 线性相关(无关)
x = η + k1ξ1 + k 2ξ 2 + + k n rξ n r (k1 , k 2 , , k n r为任意常数)
~
即 非齐次线性方程组的通解=非齐次线性方程组的一个特解 +对应齐次线性方程组的通解
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3.3 求解非齐次线性方程组 求解非齐次线性方程组——消元法 消元法
通过例题理解 例:求解线性方程组
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3 求解非齐次线性方程组
3.1 非齐次线性方程组的讨论
非齐次线性方程组 Ax = b ( b ≠ 0 ) 解的情况有三种 (1)无解 (2)有唯一解 (3)有无穷多组解

3. 设1 a1 , a2 , a3 , 2 b1 , b2 , b3 , 3 c1 , c2 , c3 ,
T T T
则下列三条直线: L1 : a1 x b1 y c1 0, L2 : a2 x b2 y c2 0, L : a x b y c 0, 3 3 3 3 ( A) 1 , 2 , 3线性相关; ( B ) 1 , 2 , 3线性无关; (C ) r 1 , 2 , 3 r 1 , 2 ; ( D ) 1 , 2 , 3线性相关,1 , 2线性无关.
因此, AX b和BX Pb同解, 故为等价的线性方程组
注:
定理表明对增广矩阵作 行初等变换不改变方 程组的解
三、线性方程组的向量形式
设矩阵A [a ij ]mn 是线性方程组的系数矩 阵 , 用Ai 记A 的第i列, 即 Ai [a 1i ,a 2 i ,,a mi ]T , i 1,2,, n
(1) 若1 , 2 , 3不共面，则方程组只有 零解X [0,0,0]T
( 2) 若1 , 2 , 3 共面但不共线，则垂直 于 i , i 1,2,3的 向量X均是解，这些解彼此平 行
( 3) 若1 , 2 , 3 共线，则以 i 为法向的平面是所有向 量 都是解, 即解向量组成一个平面
证
定理1： n 元齐次线性方程组 Amn x 0 有非零解
x1 A1 x2 A2 xn An 0有非零解
A1 , A2 ,, An 线性相关 rA1 , A2 ,, An n
即r A n
的充分必要条件是系数 矩阵的秩 R A n.
注： n 元齐次线性方程组 Amn x 0 仅有零解