2018届惠州市高三第三次调研考试理科数学试卷及答案

惠州市2018届高三第三次调研考试数 学(理科）本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

参考公式：如果事件A B 、互斥，那么()()()P A B P A P B +=+如果事件A B 、相互独立，那么()()()P AB P A P B =一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1． 若复数2(32)(1)a a a i -++-是纯虚数，则实数a 的值为（ ）A .1B .2C .1或2D .1-2．已知集合{|2}xS y y ==，集合{|ln(1)0}T x x =-<，则S T ⋂=（ ）A .φB .(0,2)C .(0,1)D . (1,2)3．设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则=24a S （A .2B .4C .152D .1724. 执行右边的程序框图，若0.8p =，则输出的n =（ ）A .3B .4C .5D .65. 设椭圆22221(0,0)x y m n m n +=>>的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为（ ）A ．2211612x y +=B ．2211216x y +=C ．2214864x y +=D ．2216448x y +=6．某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时到14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时到12时的销售额为（ ）A . 6万元B ．8万元C ．10万元D ．12万元7. 右图是一个几何体的三视图，根据图中数据可得该几何体的表面积是（ ）A ．9πB ．10πC ．11πD ．12π8．已知函数3()),f x x x =-则对于任意实数,(0)a b a b +≠,则()()f a f b a b++的值为（ ）A ．恒正 B.恒等于0 C ．恒负 D. 不确定二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分） （一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．9．设随机变量ξ服从正态分布(3,4)N ，若(23)(2)P a P a ξξ<-=>+，则a 的值为 ．10. 已知向量(0,1,1)a =- ，(4,1,0)b =，||a b λ+=且0λ>，则λ= ．11. 某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为 ．（用数字作答）12. 若0,0a b ≥≥，且当001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，，时，恒有1ax by +≤，则以a ,b 为坐标点(,)P a b 所形成的平面区域的面积等于 ．俯视图正(主)视图 侧(左)视图FAEDBC13. 对于*n N ∈，将n 表示为1101102222k k k k n a a a a --=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯，当i k =时，1i a =；当01i k ≤≤-时，i a 为0或1. 定义n b 如下：在n 的上述表示中，当012,,,,k a a a a ⋅⋅⋅中等于1的个数为奇数时，1n b =；否则0n b =.则3456b b b b +++= ．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。

14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆2cos ρθ=的圆心到直线cos 2ρθ=的距离是____________．15.（几何证明选讲选做题）如图,已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ,E 是AB 延长线上一点,且DF CF ==::4:2:1AF FB BE =,若CE 与圆相切,则线段CE 的长为 ．三、解答题：（本大题共6小题，满分80分．须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤．） 16．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A 为锐角,记角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，设向量(cos ,sin ),m A A = (cos ,sin )n A A =- ，且m 与n 的夹角为3π．（1）计算m n ⋅的值并求角A 的大小；（2）若a c ==ABC ∆的面积S ．17．（本题满分12分）甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中3人答对的概率分别为221,,332，且各人回答正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分． （1）求随机变量ξ的分布列和数学期望；（2）用A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求()P AB ．18.（本小题满分14分）如图，平行四边形ABCD 中，AB BD ⊥，2AB =，BD =BD 将BCD ∆折起，使二面角A BD C --是大小为锐角α的二面角，设C 在平面ABD 上的射影为O ． （1）求证：AB //OD ；（2）当α为何值时，三棱锥C OAD -的体积最大？最大值为多少？19．（本小题满分14分）正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足:222(1)()0n n S n n S n n -+--+=． (1)求数列{}n a 的通项公式n a ; (2)令221(2)n n n b n a +=+,数列{}n b 的前n 项和为nT ，证明:对于任意的*n N ∈,都有564n T <．20．（本小题满分14分）如图，已知动圆M 过定点(0,1)F 且与x 轴相切，点F 关于圆心M 的对称点为F '，动点F '的轨迹为C ．（1）求曲线C 的方程；（2）设00(,)A x y 是曲线C 上的一个定点，过点A 任意作两条倾斜角互补的直线，分别与曲线C 相交于另外两点P 、Q ， 证明：直线PQ 的斜率为定值．21．（本小题满分14分） 已知函数(),xf x e kx x R =-∈．（1）若k e =，试确定函数()f x 的单调区间；（2）若0k >，且对于任意x R ∈，(||)0f x >恒成立，试确定实数k 的取值范围；D C OABCD（3）设函数()()()F x f x f x =+-，求证：1*2(1)(2)()(2)()n n F F F n e n N +⋅⋅⋅>+∈．惠州市2018届高三第三次调研考试数学 (理科）参考答案与评分标准一．选择题：共8小题，每小题5分，满分40分1.【解析】1.由2320a a -+=且01≠-a 得2a =，选B ；2.【解析】集合{}{}|3213|12A x x x x =-≤-≤=-≤≤，集合B 为函数1(1)y g x =-的定义域，所以{}|1B x x =>，所以A B = （1，2]。

故选D3【解析】解：414421(1)1215122a q S qa a q ---===-故选C4.【解析】解：1110.8248++>，因此输出 4.n =故选B 5.【解析】抛物线28y x =的焦点为（2，0），∴椭圆焦点在x 轴上且半焦距为2，∴2142m m =⇒=，∴2224212n =-=，∴椭圆的方程为2211612x y +=故选A 。

6.【解析】设11时到12时的销售额为x 万元，依设有2.50.10100.40x x =⇒=，选C 7. 【解析】从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，其表面及为22411221312.S ππππ=⨯+⨯⨯+⨯⨯=故选D8.【解析】【答案】A解析:,可知函数0)x 1x ln()x ()x 1x ln(x )x (f )x (f 2323=++--+-+-=-+所以函数为奇函数,同时，01x 1x 3)x ('f 22>++=也是递增函数,注意到)b (a )b (f )a (f b a )b (f )a (f ----=++，所以0b a )b (f )a (f >++同号,所以,选A 二．填空题：共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题． 9．37=a 10．3 11．14 12．1 13．1 14．1 15． 279.【解析】因为3＝μ，所以32)2()32(=++-a a 得37=a10.【解析】由题意(4,1,)λ+-λλa b =2216(1)29(0)λλλ⇒+-+=>3λ⇒=11. 【解析】6人中选4人的方案4615C =种，没有女生的方案只有一种，所以满足要求的方案总数有14种。

12. 【解析】本小题主要考查线性规划的相关知识。

由1ax by +≤恒成立知，当0x =时，1by ≤恒成立，∴01b ≤≤；同理01a ≤≤，∴以a ,b 为坐标点(,)P a b所形成的平面区域是一个正方形，所以面积为1.13.【解析】依题意有 0121213⨯+⨯=，03=b ；0122020214⨯+⨯+⨯=，14=b ；0122120215⨯+⨯+⨯=，05=b ；0122021216⨯+⨯+⨯=，06=b .故16543=+++b b b b14.【解析】曲线θρcos 2=即()2211x y -+=，表示圆心在（1，0），半径等于1的圆，直线cos 2ρθ=即直线2=x ，故圆心到直线的距离为1。

15.【解析】设x BE =，则x FB x AF 2,4==，由FC DF FB AF ⋅=⋅得21=x 。

又EA EB CE ⋅=2得27=CE 三、解答题：16. （本小题满分12分）解：（1）1,== m 1,==n∴⋅⋅m n=m n π1cos.32⋅= ··················· 3分 22cos sin cos2A A A ⋅-= m n=，1cos 2.2A ∴= ························· 5分π0,02π,2A A <<<<ππ2,.36A A ∴== ······················· 7分（2）(法一) a c ,π,6A =及2222cos a b c bc A =+-,2733b b ∴=+-, 即1b =-(舍去)或 4.b = ········ 10分故1sin 2S bc A == ·················· 12分(法二) a c π,6A =及sin sin a cA C=,sin sinc A C a ∴==. ················· 7分 a c > , π2C ∴<<,cos C ==π1sin sin(π)sin()cos622B A C C C C =--=+=+=sin 4sin a B b A ∴==. ··················· 10分故1sin 2S bc A == ················· 12分17（本小题满分12分）解：（1）解法一：由题意知，ξ的可能取值为0，1，2，3，且 …………1分30321(0)1327P C ξ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭，213222(1)1339P C ξ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭，…………3分223224(2)1339P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33328(3)327P C ξ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭．…………5分所以ξ的分布列为ξ的数学期望为124801232279927E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．…………7分解法二：根据题设可知，2~33B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，…………3分因此ξ的分布列为3333222()1333k kkk k P k C C ξ-⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0123k =，，，．…………5分因为2~33B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，所以2323E ξ=⨯=．…………7分 （2）解法一：用C 表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D 表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以AB C D = ，且C D ，互斥，又…………8分22322211121111()133332332332P C C ⎛⎫⎛⎫⎡⎤=⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦4103=，…………10分333521114()33323P D C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，…………11分由互斥事件的概率公式得4551043434()()()333243P AB P C P D =+=+==．…………12分解法二：用k A 表示“甲队得k 分”这一事件，用k B 表示“乙队得k 分”这一事件，0123k =，，，． 由于事件30A B ，21A B 为互斥事件，故有30213021()()()()P AB P A B A B P A B P A B ==+ ．由题设可知，事件3A 与0B 独立，事件2A 与1B 独立，…………10分因此30213021()()()()()()()P AB P A B P A B P A P B P A P B =+=+3221322222211211123433232323243C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．…………12分 18（本小题满分14分）解: (1)∵CO ⊥平面ABD ，BD CO ⊥，…1分 ∵SD BD ⊥，O CO SD = …3分 面ＳＣＤ⊥∴BD …4分又COD 面ＯＤ⊆ ∴OD BD ⊥， ……5分BD AB ⊥ ……6分∴OD //AB . ……7分（2）由题知OD 为CD 在平面ABD 上的射影，∵BD CD ⊥，CO ⊥平面ABD ，∴BD OD ⊥， ∴ODC α∠=， …………8分111332C AOD AOD V S OC OD BD OC -∆=⋅=⋅⋅⋅⋅ ………9分sin cos 66OD OC CD CD αα=⋅=⋅⋅⋅ ………10分sin 2α=， ………12分 当且仅当sin 21α=，即45α=︒时取等号， ………13分∴当45α=︒时，三棱锥O ACD -． ……14分说明：向量法酌情给分 19（本小题满分14分）(1)解:由222(1)()0n n S n n S n n -+--+=,得2()(1)0n n S n n S ⎡⎤-++=⎣⎦. ………2分由于{}n a 是正项数列,所以20,n n S S n n >=+. …………3分于是112,2a S n ==≥时,221(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=. ………5分 综上,数列{}n a 的通项2n a n =. …………………6分(2)证明:由于2212,(2)n n nn a n b n a +==+. …………7分 则222211114(2)16(2)n n b n n n n ⎡⎤+==-⎢⎥++⎣⎦. …………9分 222222222111111111111632435(1)(1)(2)n T n n n n ⎡⎤=-+-+-++-+-⎢⎥-++⎣⎦… ……11分])2n (1)1n (1211[161222+-+-+=…………13分 645)211(1612=+<. …………14分 20（本小题满分14分）解：（1）（法1）设),('y x F ，因为点)1,0(F 在圆M 上， 且点F 关于圆心M 的对称点为'F ，所以)21,2(+y x M ， …………1分 且圆M 的直径为22)1(|'|-+=y x FF ．…………2分由题意，动圆M 与y 轴相切，所以2)1(2|1|22-+=+y x y ，两边平方整理得：y x 42=，所以曲线C 的方程y x 42=． ……………………………………6分 （法2）因为动圆M 过定点)1,0(F 且与x 轴相切，所以动圆M 在x 轴上方，连结'FF ，因为点F 关于圆心M 的对称点为'F ，所以'FF 为圆M 的直径． 过点M 作x MN ⊥轴，垂足为N ，过点'F 作x E F ⊥'轴，垂足为E （如图6－1）．在直角梯形'EOFF 中，1|'||||'|||2||2|'|+=+===E F FO E F MN MF F F ， 即动点'F 到定点)1,0(F 的距离比到x 轴的距离1．…………………3分又动点'F 位于x 轴的上方（包括x 轴上），所以动点'F 到定点)1,0(F 的距离与到定直线1-=y 的距离相等．故动点'F 的轨迹是以点)1,0(F 为焦点，以直线1-=y 为准线的抛物线． 所以曲线C 的方程y x 42=． ……………6分（2）①（法1）由题意，直线AP 的斜率存在且不为零，如图6－2．设直线AP 的斜率为k （0≠k ），则直线AQ 的斜率为k -． ………………7分 因为),(00y x A 是曲线C ：y x 42=上的点，所以4200x y =，直线AP 的方程为)(402x x k x y -=-． 由⎪⎩⎪⎨⎧-=-=)(440202x x k x y y x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==4200x y x x 或⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=4)4(4200k x y kx x ，所以点P 的坐标为)4)4(,4(200k x k x +-+-，……………9分 以k -替换k ，得点Q 的坐标为)4)4(,4(200k x k x +--． ……………10分 所以直线PQ 的斜率23216)4()4(4)4(4)4(00002020x k kx k x k x k x k x k PQ-=-=+----+--+=为定值．………14分（法2）因为),(00y x A 是曲线C ：y x 42=上的点，所以4200x y =，)4,(20x x A ． 又点P 、Q 在曲线C ：y x 42=上，所以可设)4,(211x x P ，)4,(222x x Q ， ……7分 而直线AP ，AQ 的倾斜角互补，所以它们的斜率互为相反数，即22220120214444x x x x x x x x ---=--，……9分 26-图整理得0212x x x -=+．……10分 所以直线PQ 的斜率122122PQ x x 4x 4x k --=…11分4x x 21+=…13分 00242x x -==-…14分为定值．………14分 21（本小题满分14分）解：（1）由e k =得()e e x f x x =-，所以()e e x f x '=-．……2分由()0f x '>得1x >，故()f x 的单调递增区间是(1)+∞，， 由()0f x '<得1x <，故()f x 的单调递减区间是(1)-∞，…………4分 （2）由()()f x f x -=可知()f x 是偶函数．于是()0f x >对任意x ∈R 成立等价于()0f x >对任意0x ≥成立．……5分 由()e 0x f x k '=-=得ln x k =．①当(01]k ∈，时，()e 10(0)x f x k k x '=->->≥． 此时()f x 在[0)+∞，上单调递增．故()(0)10f x f =>≥，符合题意．…6分 ②当(1)k ∈+∞，时，ln 0k >．当x 变化时()()f x f x '，的变化情况如下表：由此可得，在[0)+∞，上，()(ln )ln f x f k k k k =-≥． 依题意，ln 0k k k ->，又11e k k >∴<<，． 综合①，②得，实数k 的取值范围是0e k <<．……9分（3）()()()e e xxF x f x f x -=+-=+ ，……10分12()()F x F x ∴=12121212121212()()e e e e e e 2e 2x x x x x x x x x x x x x x +-+--++-+++++>++>+，…11分1(1)()e 2n F F n +∴>+，2e )1n (F )2(F 1n +>-+，…2e )1(F )n (F 1n +>+，由此得，21[(1)(2)()][(1)()][(2)(1)][()(1)](e 2)n n F F F n F F n F F n F n F +=->+ ………13分故12(1)(2)()(e2)n n F F F n n +*>+∈N ，．…………14分。