【人教A版】高中选修2-1数学：1.4.1全称量词~1.4.2存在量词-教学课件

由方程x2－ax＋4＝0无实根，可知a2－16<0，即a2<16，即－4<a<4，
当堂训练
1.下列命题中，不是全称命题的是 答案 解析 A.任何一个实数乘以0都等于0 B.自然数都是正整数 C.每一个向量都有大小
√D.一定存在没有最大值的二次函数
D选项是特称命题.
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2.命 题 p： ∃x∈N， x3<x2； 命 题 q： ∀a∈(0， 1)∪(1， ＋ ∞)， 函 数 f(x)＝
全称命题：
①对所有的自然数x，2x是偶数； ②对一切的自然数x，2x是偶数； ③对每一个自然数x，2x是偶数； ④任选一个自然数x，2x是偶数；
⑤凡自然数x，都有2x是偶数.
(2)特称命题：∃x0∈N，p(x0). 解答
特称命题： ①存在一个自然数x0，使得2x0是偶数； ②至少有一个自然数x0，使得2x0是偶数； ③对有些自然数x0，使得2x0是偶数； ④对某个自然数x0，使得2x0是偶数； ⑤有一个自然数x0，使得2x0是偶数.
(2)表示 将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M 表示.那么，全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为 _∀_x_∈__M__，__p_(x_)_，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”.
(3)全称命题的真假判定 要判定全称命题是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立， 但要判定全称命题是假命题，只需举出一个x0∈M，使得p(x0)不成立即可.
语句P无法判断真假，不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了 “所有的”，可以判断真假，是命题.语句P是命题Q中的一部分. (2)常见的全称量词有哪些？(至少写出五个). 答案
常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给” “所有的”“凡是”等.
梳理
(1)概念 短语“ 所有的 ”“ 任意一个 ”在逻辑中通常叫做 全称 量词，并用符号 “∀”表示.含有全称量词的命题，叫做全称命题 .
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规律与方法
1.判断全称命题的关键：一是先判断是不是命题；二是看是否含有全称 量词. 2判定全称命题的真假的方法.定义法：对给定的集合的每一个元素x， p(x)都为真；代入法：在给定的集合内找出一个x0，使p(x0)为假，则全称 命题为假. 3.判定特称命题真假的方法：代入法，在给定的集合中找到一个元素x0， 使命题p(x0)为真，否则命题为假.
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4.特称命题“∃x0∈R，|x0|＋2≤0”是_假___命题.(填“真”或“假”)
答案 解析
不存在任何实数，使得|x|＋2≤0，所以是假命题.
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5.若命题“∃x0∈R， ＋mx0＋2m－3<0”为假命题，则实数m的取值范围 是_[_2_，__6_]_. 答案 解析 由 已 知 得 “∀x∈R， x2＋ mx＋ 2m－ 3≥0”为 真 命 题 ， 则 Δ＝ m2－ 4×1×(2m－3)＝m2－8m＋12≤0，解得2≤m≤6，即实数m的取值范围 是[2，6].
f(x1)>f(x2)”为真命题，则下列结论一定成立的是 答案 解析
A.a≥0
√B.a<0
C.b≤0
D.b>1
函数f(x)＝|2x－1|的图象如图所示： 由图可知f(x)在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞) 上为增函数，∴要满足存在x1，x2∈[a，b]且x1<x2， 使得f(x1)>f(x2)为真命题，则必有a<0，故选B.
知识点二 存在量词、特称命题
思考
观察下面的两个语句，思考下列问题： P：m>5；Q：存在一个m0∈Z，m0>5. (1)上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？ 答案
语句P无法判断真假，不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了 “存在一个”，可以判断真假，是命题.语句P是命题Q中的一部分. (2)常见的存在量词有哪些？(至少写出五个) 答案
要判定一个特称命题是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使 p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题.
题型探究
类型一 全称命题与特称命题的判断
命题角度1 全称命题与特称命题的不同表述 例1 设p(x)：2x是偶数，试用不同的表述方式写出下列命题： (1)全称命题：∀x∈N，p(x)； 解答
反思与感悟
判断一个命题是全称命题还是特称命题的关键是看量词.由于某些全称命 题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应 的量词符号正确表达命题.
跟踪训练2 判断下列命题是全称命题还是特称命题，并用符号“∀”或 “∃”表示下列命题. (1)自然数的平方大于或等于零； 解答 是全称命题，表示为∀x∈N，x2≥0.
反思与感悟
要判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，
证明p(x)都成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那 么这个全称命题就是假命题. 要判定特称命题“∃x0∈M，p(x0)”是真命题，只需在集合M中找到一个 元素x0，使p(x0)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在， 那么这个特称命题就是假命题.
常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些” “ 有一个”“对某个”“有的”等.
梳理
(1)概念 短语“ 存在一个 ”“ 至少有一个 ”在逻辑中通常叫做 存在 量词，并用 符号“∃”表示.含有存在量词的命题，叫做特称命题 .
(2)表示 特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”可用符号简记为_∃_x_0_∈__M_，__ p(x0) ，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”. (3)特称命题真假判定
反思与感悟
全称解题时注意理解.
跟踪训练1 “有些整数是自然数”这一命题为_特__称___命题.(填“全称” 或“特称”) 答案 解析 依据特称命题的构成易得.
命题角度2 全称命题与特称命题的识别 例2 判断下列命题是全称命题，还是特称命题： (1)凸多边形的外角和等于360°； 解答 可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，故为全称命题. (2)有的向量方向不定； 解答 含有存在量词“有的”，故是特称命题. (3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1. 解答 含有全称量词“任意”，故是全称命题.
假命题，如边长为1的正方形，其对角线的长度为 ， 就不能用正有 理数表示.
(4)存在一个实数x0，使得等式 ＋x0＋8＝0成立； 解答 假命题，方程x2＋x＋8＝0的判别式Δ＝－31<0，故方程无实数解. (5)∀x∈R，x2－3x＋2＝0； 解答 假命题，只有x＝2或x＝1时，等式x2－3x＋2＝0才成立. (6)∃x0∈R， －3x0＋2＝0. 解答 真命题，x0＝2或x0＝1，都能使等式 －3x0＋2＝0成立.
反思与感悟
已知含量词的命题真假求参数的取值范围，实质上是对命题意义的考查. 解决此类问题，一定要辨清参数，恰当选取主元，合理确定解题思路. 解决此类问题的关键是根据含量词命题的真假转化为相关数学知识，利 用函数、方程、不等式等知识求解参数的取值范围，解题过程中要注意 变量取值范围的限制.
跟踪训练4 若方程x2＋ax＋1＝0，x2＋2ax＋2＝0，x2－ax＋4＝0中至少 有一个方程有实根，求a的取值范围. 解答 由方程x2＋ax＋1＝0无实根，可知a2－4<0，即a2<4，即－2<a<2，
loga(x－1)的图象过点(2，0)，则
√A.p假q真 B.p真q假
C.p假q假 D.p真q真
答案 解析
∵x3<x2，∴x2(x－1)<0，∴x<0或0<x<1，故命题p为假命题，易知命题q 为真命题，故选A.
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3.已 知 函 数 f(x)＝ |2x－ 1|， 若 命 题 “存 在 x1， x2∈[a， b]且 x1<x2， 使 得
类型三 利用全称命题和特称命题求参数的值或取值范围 例4 已知下列命题p(x)为真命题，求x的取值范围. (1)命题p(x)：x＋1>x； 解答 ∵x＋1>x，∴1>0(此式恒成立)，∴x∈R. (2)命题p(x)：x2－5x＋6>0； 解答
∵x2－5x＋6>0，∴(x－2)(x－3)>0， ∴x>3或x<2. (3)命题p(x)：sin x>cos x. 解答
(2)圆x2＋y2＝1上存在一个点到直线y＝x＋1的距离等于圆的半径； 解答
(3)有的函数既是奇函数又是增函数； 解答 是特称命题，∃f(x)∈{函数}，f(x)既是奇函数又是增函数.
解答
类型二 全称命题与特称命题的真假的判断 例3 判断下列命题的真假. (1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P； 解答 真命题. (2)存在一个函数，既是偶函数又是奇函数； 解答 真命题，如函数f(x)＝0，既是偶函数又是奇函数. (3)每一条线段的长度都能用正有理数来表示； 解答
跟踪训练3 判断下列命题的真假： (1)有一些奇函数的图象过原点； 解答 该命题中含有“有一些”，是特称命题.如y＝x是奇函数，其图象过原点， 故该命题是真命题. (2)∃x0∈R，2 ＋x0＋1<0； 解答 该命题是特称命题.
故该命题是假命题.
(3)∀x∈R，sin x＋cos x≤ . 解答 该命题是全称命题.
1.4.1 全称量词 1.4.2 存在量词
学习目标
1.理解全称量词与存在量词的含义. 2.理解并掌握全称命题和特称命题的概念. 3.能判定全称命题和特称命题的真假并掌握其判断方法.
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
问题导学
知识点一 全称量词、全称命题
思考
观察下面的两个语句，思考下列问题： P：m≤5；Q：对所有的m∈R，m≤5. (1)上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？ 答案