多层网络上的流行病传播

网络流行病传播模型的构建与分析研究第一章概述网络流行病传播是指在网络环境中，信息、观点或行为通过网络渠道迅速传播、扩散的过程。

随着网络的快速发展和普及，网络流行病传播成为了一个热点研究领域。

本文旨在探讨网络流行病传播模型的构建与分析方法，以期得出对网络流行病传播规律的深入理解。

第二章经典网络流行病传播模型2.1 层次传播模型层次传播模型是最早被提出的网络流行病传播模型之一。

该模型将网络中的节点划分为不同的层级，层级之间的节点之间存在传播关系。

这种模型适用于描述信息在互联网中的传播，如社交媒体平台的信息传播。

2.2 SIS模型SIS模型是一种经典的流行病传播模型，该模型将网络节点分为易感染者（Susceptible）和已感染者（Infected）。

在该模型中，节点可以在某一时刻由易感染者转变为已感染者，同时也可以由已感染者恢复成易感染者。

该模型适用于描述非永久性传染病的传播，如普通感冒。

2.3 SIR模型SIR模型是在SIS模型的基础上进行改进的流行病传播模型，将网络节点分为易感染者、已感染者和康复者（Recovered）。

在该模型中，节点可以在某一时刻由易感染者转变为已感染者，同时也可以由已感染者转变为康复者，康复者具有免疫力。

该模型适用于描述疫苗防治效果的传染病，如麻疹。

第三章网络流行病传播模型的构建方法3.1 数据收集与预处理构建网络流行病传播模型的第一步是数据收集与预处理。

需要收集与研究对象相关的网络数据，如社交媒体平台的用户关系、行为数据等。

对于大规模网络数据，需要进行预处理，如节点聚类、降维等，以提高计算效率。

3.2 模型参数设定在构建流行病传播模型时，需要设定一些模型参数，如感染概率、康复概率等。

这些参数的设定需要基于实际数据或经验推测，并经过参数敏感性分析以保证模型的合理性和有效性。

3.3 传播规则建模传播规则的建模是网络流行病传播模型的核心。

需要根据研究对象的特点确定信息、观点或行为的传播方式和规则，如节点之间的连接方式、节点对信息的接受程度等。

㊀㊀㊀㊀㊀１０２㊀传染病ＳＩＲ模型在多层网络上动力学行为分析传染病ＳＩＲ模型在多层网络上动力学行为分析Һ曹㊀蓉１㊀唐㊀甜２㊀童细心∗１㊀（１．汕头职业技术学院自然科学系，广东㊀汕头㊀５１５０４１㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀２．桂林电子科技大学电子电路国家级实验教学示范中心，广西㊀桂林㊀５４１００４）㊀㊀ʌ摘要ɔ许多现实世界中的网络都是相互关联和依赖的，如水陆空组成的交通网络和不同群体构成的社会网络等，由此形成具有复杂的拓扑结构和动力学性态的多层次网络，但此类网络上的传染病动力学还缺乏相关研究结果．根据平均场理论提出了一个多层耦合网络上的传染病ＳＩＲ模型，以刻画传染病在多个种群或社区之间的传播过程．首先给出模型的基本再生数和全局动力学行为，接着分析耦合结构和感染力对传播阈值和疫情的影响．结果表明发病率的相变取决于有网络拓扑结构合传播参数构成的临界值，而相互关联结构更容易造成疫情扩散，且内部接触比交叉接触更容易引起疾病暴发．ʌ关键词ɔ多层网络；传染病平均场模型；动力学行为；基本再生数ʌ基金项目ɔ广西自然科学基金（２０１７Ａ０３０３１３６９９），汕头职业技术学院２０１６年院级科研课题（ＳＺＫ２０１６Ｙ１５）引㊀言随着小世界和无标度性质在众多现实系统和结构中的发现，复杂网络近十多年逐渐变成了一个强大的科学工具，用以描述各种社会㊁经济㊁生物等系统的拓扑结构，能更好地拟合异质结构，并更客观地刻画动力学和结构的关联特点．因现实网络并不是单独存在，而是相互依赖，且一个大系统往往蕴含多个层带不同拓扑和功能的网络，由此形成了一类新的复杂系统，即多层耦合网络．这类网络广泛存在于大型系统，如物流网，交通网和社团等，有着广泛的应用背景和研究价值，比如分析路面的交通载量和电网的停电事件．探索多层耦合网络的结构特点和动力学性质是近十年的研究热点，此类网络正在不断地被用于刻画传染病在多种种群如人和动物之间的传播，并获得了一些新的进展，Ａｌｌａｒｄ等人利用键渗流理论模拟了多层网络上的传染病扩散过程；Ｆｕｎｋ等人根据物理机制建立了一个叠加网络上的疾病传播的建模方案，Ｄｉｃｋｉｓｏｎ等人通过耦合网络上的传染病ＳＩＲ模型，发现强耦合会使疾病扩散至整个网络，而弱耦合会出现一个混合相图，使疾病只能在一个子网络上传播．Ｓａｕｍｅｌｌ⁃Ｍｅｎｄｉｏｌａ等人通过多层网络上的平均场模型，子网耦合能使疾病更容易暴发．传染病动力学模型也越来越多地被用于研究网络传播性质，但多层结构和接触模式对传播动力学的影响还缺乏系统分析．本文利用平均场近似在两层网络相互作用的网络上建立一个传染病ＳＩＲ模型，利用微分方程理论和数值模拟分析模型的动力学性态，建立传染病动力学和层次网络结构的关系．主要回答２个问题：什么条件会引起传染病在层次网络上的暴发？子网内部和之间的耦合方式和节点的接触模型如何影响着传染病的传播和扩散？上述问题的答案有助于更好地认识传染病在多群体之间的传播规律．一㊁数学模型首先根据子系统的耦合关系，给出一个由两个相互依赖的子网络Ａ和Ｂ构成的复杂网络，每个子网由一个群体（节点）以及它们的连接（边）构成．不同群体的接触模式的差异性对应两种不同的连接方式，一种表示同一子网内的个体连接（内部连边），另一种表示不同子网之间的个体连接（交叉连边），故每个节点对应两个度．因为群体内部和交叉的连接的异质性和多样性，所以整个网络具有异常复杂的拓扑结构．此网络可以表示多种现实系统，如性接触网络，其中Ａ，Ｂ分别表示男性和女性的性接触网络，子网内部连接表示同性接触，交叉连接表示异性接触，如果节点是双性恋，则同时存在内部和交叉连接；也可表示媒介和宿主的接触模式，Ａ表示宿主如人，Ｂ表示媒介如动物，交叉连接表示宿主和媒介之间的接触．下面用参数表示具体的网络结构．度（ｉ，ｊ）表示有ｉ条边与子网Ａ连，有ｊ条边与子网Ｂ连．度（ｉ，㊃）表示有ｉ条边与Ａ连，度（㊃，ｊ）表示有ｊ条边与Ｂ连．ＮＸｉ，ｊ表示子网Ｘ上度为（ｉ，ｊ）的节点数．ＳＸｉ，ｊ，ＩＸｉ，ｊ和ＲＸｉ，ｊ分别表示网Ｘ上度为（ｉ，ｊ）的易感㊁染病和康复的节点数量．ＰＸ（ｉ，ｊ）表示任取一个Ｘ子网的节点其度为（ｉ，ｊ）的概率，即度分布． ｋ⓪１１和 ｋ⓪１２分别表示子网Ａ连接子网Ａ和Ｂ内节点的平均度． ｋ⓪２１和 ｋ⓪２２分别表示子网Ｂ连接子网Ａ和Ｂ内节点的平均度．根据以上定义，子网Ｘ上所有的易感㊁染病和康复的节点数分别是ＳＸ＝ðｉðｊＳＸｉ，ｊ，ＩＸ＝ðｉðｊＩＸｉ，ｊ，ＲＸ＝ðｉðｊＲＸｉ，ｊ，子网Ｘ的所有节点数是ＮＸ＝ＳＸ＋ＩＸ＋ＲＸ．假设网络是度不相关的，即任何一个节点的连接度与邻居的连接度无关，则对于任意的ｉ和ｊ子网Ｘ的联合度分布分别为ＰＸ（ｉ，ｊ）＝ＮＸｉ，ｊＮＸ，子网Ｘ边界度分布为ＰＸ（ｉ，㊃）＝ðｊＰＸ（ｉ，ｊ）和ＰＸ（㊃，ｊ）＝ðｉＰＸ（ｉ，ｊ），以上Ｘ可取为子网Ａ和Ｂ．另外，两个子网的平均度（φ＝１）和度的二阶矩（φ＝２）为ｋφ⓪１１＝ðｉφＰＡ（ｉ，㊃）， ｋφ⓪１２＝ðｊφＰＡ（㊃，ｊ），ｋφ⓪２１＝ðｉφＰＢ（ｉ，㊃）， ｋφ⓪２２＝ðｊφＰＢ（㊃，ｊ），忽略个体的出生和死亡，则子网络的节点总数ＮＡ和ＮＢ保持不变．在子网间的交叉连接中，Ａ连接Ｂ的边数等于Ｂ连接Ａ的边数，由此可得ＮＡ ｋ⓪１２＝ＮＢ ｋ⓪２１．这表明如果Ａ连接Ｂ的平均度比Ｂ连接Ａ的平均度大，则Ａ的节点数大于Ｂ㊀㊀㊀１０３㊀㊀的节点数，这意味着异质网络上交叉连接不均匀的子网络拥有更多的节点数．下面利用仓室ＳＩＲ模型拟合疾病在此网络上的传播，把群体按状态划分成三个仓室：染病者（Ｓ）㊁易感者（Ｉ）和康复者（Ｒ）．在每一个时间步，各个节点处于这三种状态之一．传播过程如下：子网Ａ（Ｂ）的一个易感节点通过连边与子网Ａ和Ｂ的染病节点连接，分别以概率λ１１和λ２１（λ１２和λ２２）被感染变成染病者，经过平均染病期１μ１１μ２()后康复．此动力学的时间演化过程可用以下高维的微分方程系统模拟：ｄＩＡｇ，ｈ（ｔ）ｄｔ＝λ１１ｇＳＡｇ，ｈ（ｔ）ðｉｉ（ðｊＩＡｉ，ｊ（ｔ））ðｉｉ（ðｊＮＡｉ，ｊ）＋λ２１ｈＳＡｇ，ｈ（ｔ）ðｉｉ（ðｊＩＢｉ，ｊ（ｔ））ðｉｉ（ðｊＮＢｉ，ｊ）－μ１ＩＡｇ，ｈ（ｔ），ｄＲＡｇ，ｈ（ｔ）ｄｔ＝μ１ＩＡｇ，ｈ（ｔ），ｄＩＢｋ，ｌ（ｔ）ｄｔ＝λ１２ｋＳＢｋ，ｌ（ｔ）ðｊｊ（ðｉＩＡｉ，ｊ（ｔ））ðｊｊ（ðｉＮＡｉ，ｊ）＋λ２２ｌＳＢｋ，ｌ（ｔ）ðｊｊ（ðｉＩＢｉ，ｊ（ｔ））ðｊｊ（ðｉＮＢｉ，ｊ）－μ２ＩＢｋ，ｌ（ｔ），ｄＲＡｇ，ｈ（ｔ）ｄｔ＝μ２ＩＡｇ，ｈ（ｔ），ìîíïïïïïïïïïïïïï（１）以上表示的是各个状态的人群数量变化的动力学模型，设ｓＸｇ，ｈ＝ＳＸｇ，ｈＮＸｇ，ｈ，ρＸｇ，ｈ＝ＲＸｇ，ｈＮＸｇ，ｈ和ｒＸｇ，ｈ＝ＩＸｇ，ｈＮＸｇ，ｈ，表示对应的密度，则模型可简化成等价的密度模型：ｄρＡｇ，ｈ（ｔ）ｄｔ＝（λ１１ｇ１１（ｔ）＋λ２１ｈ２１（ｔ））（１－ρＡｇ，ｈ（ｔ）－ｒＡｇ，ｈ）－μ１ρＡｇ，ｈ（ｔ），ｄρＡｇ，ｈ（ｔ）ｄｔ＝μ１ρＡｇ，ｈ（ｔ），ｄρＢｋ，ｌ（ｔ）ｄｔ＝（λ１２ｋ１２（ｔ）＋λ２２ｌ２２（ｔ））（１－ρＢｋ，ｌ（ｔ）－ｒＢｋ，ｌ）－μ２ρＢｋ，ｌ（ｔ），ｄρＢｇ，ｈ（ｔ）ｄｔ＝μ２ρＢｇ，ｈ（ｔ），ìîíïïïïïïïïïï（２）模型（１）和（２）刻画了两层耦合网络上的传染病ＳＩＲ传播模型．若只存在一个子网络Ａ，那么模型（１）就变成经典网络上的ＳＩＲ模型；另外，若不存在内部连接，则网络Π变成了一个二分图；如果λ２２＝０，即子网Ｂ内部的接触不传染疾病，那么模型也可以表示某些媒介宿主传染病如登革热，其中媒介（如蚊子）之间不能相互感染．二、数学分析首先我们分析传染病模型中的重要的参数，即基本再生数，其表示一个病人在其染病期平均能够感染的人数．基本再生数作为传播阈值，能够量化传染病潜在的传播能力．同质网络上的基本再生数可表示为Ｒ０＝ｃβＤ，其中ｃ是接触率，β是感染概率，Ｄ是平均感染期，而在异质网络上ｃ表示网络的异构性ｃ＝ ｋ２⓪ｋ⓪．大规模且有无标度结构的网络会使得ｃ很大，由此导致Ｒ０＞１，此时疾病将不可控．本文建立的模型忽略了种群的出生和死亡，根据ＳＩＲ模型的特点，最后疾病会灭绝，只剩下易感节点和康复节点，但在疾病消亡之前，不同的网络结构和模型参数会决定是否有过大暴发，其条件即为基本再生数．下面利用下一代生成矩阵，求解模型的基本再生数，经过一系列的等价变换，下一代生成矩阵可写成Γ＝λ１１ðｉ，ｊｉ２ＰＡ（ｉ，ｊ）μ１ ｋ⓪１１λ１１ðｉ，ｊｉｊＰＡ（ｉ，ｊ）μ１ ｋ⓪１１００００λ２１ðｉ，ｊｉ２ＰＢ（ｉ，ｊ）μ２ ｋ⓪２１λ２１ðｉ，ｊｉｊＰＢ（ｉ，ｊ）μ２ ｋ⓪２１λ１２ðｉ，ｊｉｊＰＡ（ｉ，ｊ）μ１ ｋ⓪１２λ１２ðｉ，ｊｊ２ＰＡ（ｉ，ｊ）μ１ ｋ⓪１２００００λ２２ðｉ，ｊｉｊＰＢ（ｉ，ｊ）μ２ ｋ⓪２２λ２２ðｉ，ｊｊ２ＰＢ（ｉ，ｊ）μ２ ｋ⓪２２æèççççççççççöø÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷㊀㊀㊀㊀㊀１０４㊀㊀㊀当网络是度不相关时，矩阵可进一步简化为Γ＝λ１１ ｋ２⓪１１μ１ ｋ⓪１１λ１１μ１ ｋ⓪１２００００λ２１ ｋ２⓪２１μ２ ｋ⓪２１λ２１μ２ｋ⓪２２λ１２μ１ ｋ⓪１１λ１２ ｋ２⓪１２μ１ ｋ⓪１２００００λ２２μ２ ｋ⓪２１λ２２ ｋ２⓪２２μ２ ｋ⓪２２æèççççççççççöø÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷设ρ（Γ）为矩阵Γ的特征值，则模型的基本再生数为Ｒ０＝ρ（Γ）．由此得主要的理论结果：假设模型初始时刻的暴发规模不大，则当Ｒ０＜１时，发病规模将会持续降低而至于灭绝；而若Ｒ０＞１，则传染病会经历一个发病高峰期后慢慢消亡．基本再生数Ｒ０得不到其具体表达式，但由Ｐｅｒｒｏｎ⁃Ｆｒｏｂｅｎｉｕｓ定理可知，Ｒ０小于矩阵Γ每一行之和的最大值，并大于每一行之和的最小值．这意味着，基本再生数受到每个子网络的异质性参数ｃ及平均度的控制，因此异质性强和平均度大的结构都会使得多层网络容易传播疾病．三㊁数值分析下面用数值模拟进一步探索传播动力学．对于动物传染病，宿主的接触模式通常具有异质性，而动物的交互作用具有同质性，对应了两种接触网络，随机网络和无标度网络．随机网络类似于均匀网络，其度分布满足泊松特性，而无标度网络是非常不均匀的，其度分布满足无标度特性．设Ａ（Ｂ）是子网Ａ（Ｂ）的内部接触模式，ＡＢ（ＢＡ）是子网Ａ连接Ｂ（Ｂ连接Ａ）的交叉接触模式．所有的图中子网Ａ和Ｂ具有相同的节点数．基本再生数Ｒ０和总的感染人数ρＡ和ρＢ能反映流行病学的重要性质，图１和图２表明了感染概率和接触模式对它们的影响．由图１和图２可知，在任何的网络结构下感染率的增大都会使得Ｒ０和感染规模增大，而无标度结构会使其增加更快．若所有的子网具有相同的结构，则内部感染和交叉感染对Ｒ０的作用相等，但若增加内部感染率（λ１１或λ２２），会导致更大的Ｒ０和暴发规模，而交叉感染病（λ１２和λ２１）则作用不明显，主要原因是内部感染率有双重反应，感染同一子网的其他节点也可以被其他节点感染，而交叉感染率只有单个方向的作用．图１㊀感染率对基本再生数的影响，其中λ１１＝λ２２（内部感染），λ１２＝λ２１（交叉感染）图２㊀感染率对染病规模的影响ρ＝ρＡ＋ρＢ２四㊁结㊀论本文建立了一个两层耦合网络上的传播模型，并求解了模型的基本再生数，给出了疫情暴发的条件，并揭示了基本再生数与网络结构合传播参数的关系．结果表明传播阈值受网络的异质性和平均度控制，这与单个网络和二分图网络只受异质性影响不同，说明层次结构对传播动力学的特殊性．另外多层网络具有多个子结构，其中最异质的那个子结构网络对传播起决定作用．特别地，我们发现内部接触比交叉接触更容易导致疾病传播，这也说明了同性恋在性病传播中的关键作用．ʌ参考文献ɔ［１］汪小帆，李翔，陈关荣．网络科学导论［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１２．［２］郑国庆，唐清干，祝光湖．带接种免疫的网络传染病的有效度模型［Ｊ］．数学的实践与认识，２０１５（１５）：３１５－３２２．［３］马知恩，周义仓，王稳地，等．传染病动力学的数学建模与研究［Ｍ］．北京：科学出版社，２００４．。

复杂网络中的传播与控制研究复杂网络是指由大量节点和复杂连接构成的网络系统，例如社交网络、交通网络、物流网络等。

这些网络在现代社会中扮演着越来越重要的角色，而其中信息传播和控制是最为关键的问题。

本文将从传播和控制两个方面入手，探讨复杂网络中的传播与控制研究。

一、复杂网络中的信息传播在复杂网络中，信息传播是最为普遍的现象之一，例如病毒传播、新闻传播、舆论传播等。

研究信息传播规律不仅对了解网络内部结构有所裨益，也为我们理解社会交流和文化传承提供重要参考。

1.信息传播模型信息传播模型是描述信息在复杂网络中传递的数学模型。

最基本的模型是传染病传播模型，它假定网络中每个节点都有一定的感染概率，通过节点之间的相互联系，疾病就在网络内部传递。

传染病传播模型可以通过大量仿真实验研究网络中疾病的传染规律，进而制定预防和控制策略。

另一个重要的信息传播模型是市场传播模型。

这个模型研究的是在复杂网络上商品销售的传播动力学。

其基本假设是人们购买商品受到邻居的信息影响，进而造成“热点效应”，促使更多的人购买。

市场传播模型的研究有利于我们理解市场的运作规律和设计更好的营销策略。

2.信息传播规律信息传播规律是描述信息在网络中传递的定量模型。

其中最为关键的是信息传播速度和影响范围。

首先是信息传播速度。

在网络中，信息传播速度和网络结构的紧密程度有关，即节点之间的连接强度越大，信息传播速度越快。

其次是信息传播的影响范围，即信息从一个节点开始扩散，到达多少个节点之后能够消失。

影响范围的大小与节点的度数分布有关，节点度数越大，其对信息传播的影响范围也越大。

二、复杂网络中的控制除了了解信息传播规律，如何有效地控制网络也是重要的研究方向之一。

例如，如何在社交网络上传播正能量、如何在物流网络上提高物流效率，都需要我们寻找有效的控制方法。

1.网络控制模型网络控制模型是指在复杂网络上实现控制的数学模型。

其中常见的控制方式包括两类：单层控制和多层控制。