浙教版初中数学1.2 二次函数的图象(2)2017年秋同步练习(含答案)
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1.2 二次函数的图象(二)
1．如果将抛物线y ＝x 2＋2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的函数表达式是(C ) A. y ＝(x －1)2＋2 B. y ＝(x ＋1)2＋2 C. y ＝x 2＋1 D. y ＝x 2＋3
2．将抛物线y ＝－2x 2＋1向右平移1个单位，再向上平移1个单位，则所得的抛物线的函数表达式为(C )
A. y ＝－2(x ＋1)2
B. y ＝－2(x ＋1)2＋2；
C. y ＝－2(x －1)2＋2
D. y ＝－2(x －1)2＋1 3．抛物线y ＝a (x ＋1)2＋2的一部分如图所示，该抛物线在y 轴右侧部分与x 轴的交点坐标是(B )
(第3题)
A.⎝⎛⎭⎫12，0
B.(1，0)
C.(2，0)
D.(3，0) 4．在平面直角坐标系中，二次函数y ＝a (x －h )2(a ≠0)的图象可能是(D )
5．若把函数y ＝x 的图象记为E (x ，x )，函数y ＝2x ＋1的图象记为E (x ，2x ＋1)……则E (x ，x 2＋1)可以由E (x ，x 2)怎样平移得到(A )
A. 向上平移1个单位
B. 向下平移1个单位
C. 向左平移1个单位
D. 向右平移1个单位
6．如图，把抛物线y ＝x 2沿直线y ＝x 平移2个单位后，其顶点在直线上的点A 处，求平移后抛物线的函数表达式．
(第6题)
【解】 ∵点A 在直线y ＝x 上， ∴可设点A (m ，m )．
∵OA ＝2， ∴m 2＋m 2＝(2)2, 解得m ＝1(负值舍去)， ∴点A (1，1)，
∴抛物线的函数表达式为y ＝(x －1)2＋1.
7．一个二次函数，其图象由抛物线y ＝1
2x 2向右平移1个单位，再向上平移k (k ＞0)个单
位得到，平移后的图象过点(2，1)，求k 的值．
【解】 抛物线y ＝12x 2向右平移1个单位，再向上平移k 个单位，得y ＝1
2(x －1)2＋k .
又∵过点(2，1)，∴12(2－1)2＋k ＝1，解得k ＝1
2
.
8．如图，点A ，B 的坐标分别为(1，4)和(4，4)，抛物线y ＝a (x －m )2＋n 的顶点在线段AB 上运动，与x 轴交于C ，D 两点(点C 在点D 的左侧)．若点C 的横坐标最小值为－3，则点D 的横坐标最大值为(D )
(第8题)
A.－3
B.1
C.5
D.8
【解】 当点A (1，4)为顶点时，点C 的坐标为(－3，0)，∴y ＝a (x －1)2＋4. 将点C 的坐标代入，得0＝a (－3－1)2＋4，
∴a ＝－1
4
.
当点B (4，4)为顶点时，点D 的横坐标有最大值， 此时y ＝－1
4
(x －4)2＋4.
当y ＝0时，可求得x 1＝0，x 2＝8. ∴此时点D 的坐标为(8，0)．
9．如果一种变换是将抛物线向右平移2个单位或向上平移1个单位，我们把这种变换称为抛物线的简单变换．已知抛物线经过两次简单变换后的一条抛物线是y ＝x 2＋1，则原抛物线的函数表达式不可能是(B )
A. y ＝x 2－1
B. y ＝(x ＋3)2－4
C. y ＝(x ＋2)2
D. y ＝(x ＋4)2＋1
【解】 y ＝x 2－1，先向上平移1个单位得到y ＝x 2, 再向上平移1个单位可以得到y ＝x 2＋1，故A 正确．
y ＝(x ＋3)2－4无法经两次简单变换得到y ＝x 2＋1，故B 错误．
y ＝(x ＋2)2先向右平移2个单位得到y ＝(x ＋2－2)2＝x 2, 再向上平移1个单位得到y ＝x 2
＋1，故C 正确．
y ＝(x ＋4)2＋1先向右平移2个单位得到y ＝(x ＋4－2)2＋1＝(x ＋2)2＋1，再向右平移2个单位得到y ＝x 2＋1，故D 正确．
故选B.
10．二次函数y ＝2
3x 2的图象如图所示，点A 0位于坐标原点，点A 1，A 2，A 3，…，A 2017
在y 轴的正半轴上，点B 1，B 2，B 3，…，B 2017在二次函数y ＝2
3x 2位于第一象限的图象上．若
△A 0B 1A 1，△A 1B 2A 2，△A 2B 3A 3，…，△A 2016B 2017A 2017都为正三角形，则△A 2016B 2017A 2017的边长为__2017__．
(第10题)
【解】 设△A 0B 1A 1的边长为2a ，则易得点B 1(3a ，a )，将点B 1的坐标代入y ＝2
3
x 2，
得a ＝23×3a 2，解得a ＝12
(a ＝0舍去)．
∴△A 0B 1A 1的边长为1.
设△A 1B 2A 2的边长为2b ，则易得点B 2(3b ，1＋b )，将点B 2的坐标代入y ＝2
3x 2，得1
＋b ＝23×3b 2，解得b ＝1(b ＝－12
舍去)．
∴第二个正三角形的边长为2.
同理，可求得第三个正三角形的边长为3， ……
∴△A 2016B 2017A 2017的边长为2017.
11．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝x 2＋1
4与y 轴相交于点A ，点B 与点O
关于点A 对称．
(第11题)
(1)点B 的坐标为⎝⎛⎭
⎫0，12． (2)过点B 的直线y ＝kx ＋b (k ＜0)与x 轴相交于点C ，过点C 作直线l 平行于y 轴，P 是直线l 上一点，且PB ＝PC ，求线段PB 的长(用含k 的式子表示)，并判断点P 是否在抛物线上．
(3)在(2)的条件下，若点C 关于直线BP 的对称点C ′恰好落在该抛物线的对称轴上，求此时点P 的坐标．
【解】 (1)∵抛物线y ＝x 2＋1
4与y 轴相交于点A ，
∴点A ⎝
⎛⎭⎫0， 14. ∵点B 与点O 关于点A 对称， ∴BA ＝OA ＝1
4
，
∴OB ＝1
2
，即点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，12.
(2)∵点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫0， 12， ∴直线的函数表达式为y ＝kx ＋1
2.
令y ＝0，得kx ＋12＝0，解得x ＝－1
2k ，
∴OC ＝－1
2k .
∵PB ＝PC ，
∴点P 只能在x 轴上方．
(第11题解①)
如解图①，过点B 作BD ⊥l 于点D ，设PB ＝PC ＝m ， 则BD ＝OC ＝－12k ，CD ＝OB ＝1
2.
∴PD ＝PC －CD ＝m －1
2
.
在Rt △PBD 中，由勾股定理，得PB 2＝PD 2＋BD 2, 即m 2
＝⎝⎛⎭⎫m －122＋⎝⎛⎭⎫－12k 2
，解得m ＝14＋14k
2， ∴PC ＝14＋1
4k
2，
∴点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－12k ， 14＋14k 2. 把x ＝－12k 代入y ＝x 2＋14，得y ＝14＋1
4k 2，
∴点P 在抛物线上． (3)如解图②，连结CC ′.
(第11题解②)
∵l ∥y 轴， ∴∠OBC ＝∠PC B.
又∵PB ＝PC ， ∴∠PCB ＝∠PBC ， ∴∠PBC ＝∠OB C.
∵点C ，C ′关于BP 对称，且点C ′在抛物线的对称轴上，即在y 轴上， ∴∠PBC ＝∠PBC ′，
∴∠OBC ＝∠PBC ＝∠PBC ′＝60°. ∴∠BCO ＝30°，△BCP 是等边三角形． ∵OB ＝1
2，∴PC ＝BC ＝1，
∴OC ＝
32
， ∴点P 的坐标为⎝⎛⎭
⎫
32，1.。
