江苏省苏州市昆山市2018-2019学年高一下学期期中数学试卷 注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.若直线和2310x y ++=互相平行，则a =（ ）A.23-B.23C.32-D.322.在△ABC 中，若(a +c)(a −c)=b(b +c)，则∠A=（ ） A. 900 B. 600 C. 1200 D. 15003.已知三个球的体积之比为1:8:27，则它们的表面积之比为 （ ）A.1:2:3B.1:4:9C.2:3:4D.1:8:274.如果直线90x by ++=经过直线56170x y --=与直线4320x y ++=的交点，那么b 的值等于（ ）A.2B.3C.4D.55.三个互不重合的平面把空间分成六个部份时，它们的交线有（ ）A.1条B.2条C.3条D.1条或2条 6.设a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题①若//,//a b αα，则//a b ；②若//,a a αβ⊥，则αβ⊥；③,a b a α⊥⊥，则//b α；④若,,ab a b αβ，则αβ⊥． 其中正确的命题的个数是（ ）A.0个B.1个C.2个D.3个 7.在ABC 中，若lgsin lgcos lgsin lg 2A B C --=，则该三角形的形状是( )A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形 8.在平面直角坐标系内，过定点P 的直线l ：ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线m ：x －ay ＋3＝0相交于点M ，则|MP |2＋|MQ |2＝（ ）A.2 C.5 D.109.函数sin cos y a x b x =-的一个对称中心为,04π⎛⎫⎪⎝⎭，则直线0ax by c 的倾斜角大小为（ ）A.4πB.3πC.23πD.34π 10.一个透明封闭的正四面体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正四面体，则水面在容器中的形状可能是：①正三角形②直角三形③正方形⑤梯形，其中正确的个数有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个11.已知ABC 中，1,AB AC ==BC 所在直线为l ，点D 为直线l 上异于B 、C 上任一点设ABD △的外接圆面积为1S ，ACD △的外接圆面积为2S ，则12:S S 为（ ）A. B.1∶2 C.1∶4 D.不是定值12.在等腰直角三角形ABC 中，2AB AC ==，点P 是边AB 上异于A 、B 的一点，光线从点P 出发，经BC 、CA 反射后又回到点P （如图所示），若光线QR 经过ABC 的重心，则AP =（ ）A.1B.12C.23D.43第II 卷（非选择题）二、填空题13.已知点2,1P 和直线:2l y x =+，则点P 到直线l 的距离为_______.14.__________.15.在ABC 中，1,30BC AC A ==∠=︒，则ABC 面积为__________.16.当θ取遍所有值时，直线cos sin 64x y πθθθ⎛⎫⋅+⋅=++⎪⎝⎭所围成的图形的面积为_________.三、解答题17.已知三角形ABC 的顶点坐标为()()()1,5,2,1,4,3A B C ---，M 是BC 边上的中点（1）求中线AM 的长；（2）求AB 边上的高所在直线方程.18.已知锐角ABC 的面积等于3,4AB AC ==.（1）求A 的值；（2）求()cos A B -的值.19.如图，在四棱锥P —ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC = ∠BAD =90°，AD ＞BC ，E ，F 分别为棱AB ，PC 的中点.（I ）求证：PE ⊥BC ；（II ）求证：EF //平面P AD .20.如图，在路边安装路灯，灯柱AB 与地面垂直，灯杆BC 与灯柱AB 所在平面与道路垂直，且120ABC ∠=︒，路灯C 采用锥形灯罩，射出的光线如图阴影部分所示，已知60ACD ∠=︒，路宽()24m AD =，设灯柱高()m AB h =，()3045ACB θθ︒︒∠=≤≤（1）求灯柱的高h （用θ表示）；（2）若灯杆BC 与灯柱AB 所用材料相同，记所用材材料的长度为S ，求S 关于θ的函数表达式，并求出S 的最小值.21.如图，正方体1111ABCD A B C D -，棱长为a ，E ，F 分别为AB 、BC 上的点，且AE BF x ==.（1）当x 为何值时，三棱锥1B BEF -的体积最大？（2）求三棱椎1B BEF -的体积最大时，二面角1B EF B --的正切值；（3）求异面直线1A E 与1B F 所成的角的取值范围.22.如图，平面直角坐标系内，O 为坐标原点，点A 在x 轴正半轴上，点B 在第一象限内，60AOB ∠=︒.（1）若AB 过点M ，当OAB 的面积取最小值时，求直线AB 的斜率；（2）若4AB =，求OAB 的面积的最大值；（3）设,OA a OB b ==，若114a b+=，求证：直线AB 过一定点，并求出此定点坐标.参考答案1.D【解析】1.根据两直线平行的条件求解． 由题意12231a =≠，解得32a =． 故选：D ．2.C【解析】2.∵ (a +c)(a −c)=b(b +c)∴ a 2−c 2=b 2+bc 即：b 2+c 2−a 2=−bc则cosA=b 2+c 2−a 22bc =−12 ，∵00<A <1800 ，∴A =1200，选C. 3.B【解析】3.试题因为三个球的体积之比为1:8:27，根据体积公式可得半径之比为1:2:3，再由求得面积公式可得其表面积之比为1:4:9，故选择B4.D【解析】4.求出两直线的交点坐标，代入含参数的直线方程可得参数值．由561704320x y x y --=⎧⎨++=⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，所以1290b -+=，5b =． 故选：D ．5.D【解析】5.画图可得，当三个平面两两相交或有两个平面平行时满足题意当三个平面两两相交（交线重合）或有两个平面平行时满足题意，由图可得它们的交线有1条或2条，故选：D6.C【解析】6.根据线面间的位置关系判断．棱柱上底面上相邻的两条棱所在直线与下底面平行，但这两条直线相交，①错；//a α，过a 作平面γ与α交于直线c ，则//a c ，又a β⊥，所以c β⊥，而c α⊂，所以αβ⊥，②正确；,a b a α⊥⊥，则b α⊂或//b α，③错；,,a b a b αβ，如图，不妨设a b A =（如果,a b 不相交，平移到相交位置即可），直线,a b 确定一个平面，设此平面与平面α交于直线c （BC ），与平面β交于直线d （CD ，同时设l αβ=（,αβ不可能平行），l 与直线,a b 确定的平面交于点C ， 则由a α⊥得a c ⊥，a l ⊥，同理b d ⊥，b l ⊥，又a b ⊥，则90CBA BAD CDA ∠=∠=∠=︒，∴90BCD ∠=︒，由a l ⊥，b l ⊥得l ⊥平面ABCD ，所以,l BC l CD ⊥⊥，所以BCD ∠是二面角l αβ--的平面角，所以是二面角l αβ--是直二面角，αβ⊥，④正确．共有两个命题正确．故选：C ．7.A【解析】7. 利用对数的运算法则可求得sin 2cos sin A B C=⋅，利用正弦定理求得cos B ,根据余弦定理求得cos B 的表达式进而建立等式，整理求得b c =,判断出三角形为等腰三角形.lgsin lg cos lgsin lg 2A B C --=，sin 2cos sin A B C∴=⋅, 由正弦定理可得sin sin a c A C =， sin ,cos sin 2A a a B C c c∴=∴=， 222cos 22a c b a B ac c+-∴==， 整理得22,c b c b ==， ABC ∆∴的形状是等腰三角形，故选A.8.D【解析】8.先计算P （0，1），Q （－3，0），再根据垂直关系得到|MP |2＋|MQ |2＝|PQ |2计算得到答案. 由题意知P （0，1），Q （－3，0）∵过定点P 的直线ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线x －ay ＋3＝0垂直，∴MP ⊥MQ ，∴|MP |2＋|MQ |2＝|PQ |2＝9＋1＝10.故选：D9.D【解析】9. 首先根据函数的对称性，得到(0)()02f f π+=，从而有a b =，再利用直线的斜率为1a k b=-=-，结合倾斜角的取值范围求得结果. 令()sin cos y f x a x b x ==-因为函数sin cos y a x b x =-的一个对称中心为,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以有(0)()02f f π+=，所以0b a -+=，即a b =， 所以直线0ax by c 的斜率1a k b=-=-， 设其倾斜角为(0)ααπ≤<，所以有tan 1k α==-，所以34πα=， 故选：D.10.C【解析】10.根据已知，任意转动这个正四面体，则水面在容器中的形状即为作一截面将正四面体截成体积相等的两部分，根据截面性质作图即可得到答案．解：根据已知，任意转动这个正四面体，则水面在容器中的形状即为作一截面将正四面体截成体积相等的两部分，根据对称性和截面性质作图如下：观察可知截面不可能出现直角三角形.故选：C11.B【解析】11.根据正弦定理求出三角形外接圆半径，然后可得面积比．设ABD △的外接圆半径为R ，ACD △的外接圆半径为r ，由正弦定理得2sin AB R ADB =∠，2sin AC r ADC=∠，∵D 在直线BC 上且不与,B C 重合，∴180ADC ADB ∠+∠=︒或ADC ADB ∠=∠，∴sin sin ADB ADC ∠=∠，∴R AB r AC ==，2212212S R R S r r ππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 故选：B ．12.C【解析】12.建立直角坐标系，设点P 的坐标，可得P 关于直线BC 的对称点P 1的坐标，和P 关于y 轴的对称点P 2的坐标，由P 1，Q ，R ，P 2四点共线可得直线的方程，由于直线QR 过ABC 的重心，利用代入法可得关于a 的方程，解之可得P 的坐标，进而可得AP 的值． 建立如图所示的直角坐标系：可得(2,0),(0,2)B C ，故直线BC 的方程为2x y +=， ABC 的重心为020002(,)33++++，即22(,)33设(,0)P a ，其中02a <<，则点P 关于直线BC 的对称点1(,)P x y ，满足()0222011a x y y x a++⎧+=⎪⎪⎨-⎪⋅-=-⎪-⎩， 解得22x y a =⎧⎨=-⎩，即1(2,2)P a -，P 关于y 轴的对称点2(,0)P a -， 由光的反射原理可知P 1，Q ，R ，P 2四点共线， 直线QR 的斜率为k ()20222a a a a ---==--+，故直线QR 的方程为2()2a y x a a-=++， 由于直线QR 过ABC 的重心22(,)33，代入化简可得2320-=a a ，解得23a =，或0a =（舍去），故2(,0)3P ，故23AP = 故选：C【解析】13.利用点到直线的距离公式即可求得结果.由:2l y x =+可得20x y -+=，则点P 到直线l的距离为2d ==，【解析】14.由三个面的面积求得长、宽、高，再由长方体的对角线就是外接球直径可得．设长方体三条棱长分别为,,a b c，由题意ab ac bc ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，解得1a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩d =．【解析】15.由正弦定理求得B ，再得C ，从而得三角形面积．在ABC 中，由正弦定理得sin sin AC BC B A =，∴sin 30sin 12AC A B BC ︒===， 因为AC BC >，所以B A >，所以60B =︒或120︒，60B =︒时，90C =︒，1122ABCS=⨯=，120B =︒时，30C =︒，11sin 3024ABC S =⨯︒=△．4．16.36π【解析】16.把直线方程变形后发现，直线到定点(1,1)的距离相等，因此可得所有这些直线围成的图形，从而得出其面积．cos sin 66sin cos 4x y πθθθθθ⎛⎫⋅+⋅=+=++ ⎪⎝⎭，即(1)cos (1)sin 6x y θθ-+-=，点(1,1)M 到直线的距离为6d ==，所以点M 到这些直线的距离都是6，因此所有这些直线围成的图形是以(1,1)M 为圆心，6为半径的圆，面积为2636S ππ=⨯=．故答案为：36π．17.（1）AM =2）6220x y +-=.【解析】17.（1）由中点坐标公式和两点的距离公式可得答案；（2）根据两点的斜率公式和两直线垂直其斜率间的关系可求得AB 边上的高所在直线方程的斜率，从而得出直线方程.（1）设M 的坐标为()00,x y ，则由中点坐标公式得0024131,122x y -+-+====，故(1,1)M ，所以AM ==（2）因为直线AB 的斜率为51612AB k +==-+，设AB 边的高所在直线的斜率为k ，则有(6)1AB k k k ⋅=⋅-=-，∴16k =-. 所以AB 边高所在直线方程为13(4)6y x -=--即6220x y +-=.18.（1）3A π=；（2【解析】18.（1）由面积公式可得sin A =，从而得出角A 的值； （2）由余弦定理求出边BC ，再由正弦定理求出sin B ，进而求出cos B ，再由两角差的余弦公式求出()cos A B -即可.（1）∵11sin 34sin 22ABCSAB AC A A =⋅⋅=⨯⨯⨯=∴sin A =，又ABC 是锐角三角形，∴3A π=.（2）由余弦定理2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅∴BC ==由正弦定理得sin sin AC A B BC ⋅==又B 为锐角，得cos 13B ==，∴1cos()cos cos sin sin 2A B A B A B -=+=+=19.（I ）证明见解析． （II ）证明见解析．【解析】19.（I ）证明：∵PA ABCD ⊥平面，∴PA ⊥BC∴BC ⊥平面PAB又PE ⊂平面PAB ∴BC ⊥PE.（II ）证明：取CD 中点G ，连结FG ，EG ，∵F 为PC 中点，∴FG//PD∴FG//平面PAD ； 同理，EG//平面PAD∴平面EFG//平面PAD. ∴EF//平面PAD.20.（1）()16sin 23045h θθ︒︒=≤≤，；（2）()16sin 260S θ︒=+；最小值8)m .【解析】20.（1）由已知得60,30BAC CAD θθ∠=︒-∠=︒+，又60,90ACD ADC θ∠=︒∠=︒-，在ACD 中和在ABC 中，，运用正弦定理可得可求得答案；（2）在ABC中，运用正弦定理可得28sin 2BC θθ=-，运用三角恒等变换和三角函数的性质可求得最小值.（1）由已知得60,30BAC CAD θθ∠=︒-∠=︒+，又60,90ACD ADC θ∠=︒∠=︒-， 在ACD △中，sin sin AD AC ACD ADC=∠∠，∴24cos sin 60AC θθ︒==， 在ABC中，sin sin 16sin 2sin120AC AB θθθθ︒===，即()16sin 23045h θθ︒︒=≤≤； （2）在ABC 中，()sin 6028sin 2sin sin sin120AC BC ACBC BAC B θθθ︒︒-=⇒==-∠，则()+8sin 216sin 260S AB BC θθθ︒==+=+， 因为3045θ︒≤≤︒，所以1202+60150θ≤≤，当45θ=︒时，S取到最小值8)m .21.（1）2a x =；（2）3）0,3π⎛⎤⎥⎝⎦.【解析】21.（1）直接将三棱锥1B BEF -的体积用x 表示出来，再求二次函数的最大值；（2）取EF 中点O ，由（1）知，E ，F 为,AB BC 中点时，三棱锥1B BEF -的体积最大，连接1,BO B O ，说明1BOB ∠即为二面角1B EF B --的平面角，再求出1BOB ∠的正切值；（3）在AD 上取点H 使AH BF AE ==，则1HA E ∠（或补角）是异面直线1A E 与1B F 所成的角，再解三角形，用x 表示出1cos HA E ∠，从而求出异面直线1A E 与1B F 所成的角的取值范围.解：（1）因为正方体1111ABCD A B C D -，所以1BB ⊥平面ABCD 所以()122211()()3266624B BEFa a a a a V a x x a a x x x ax x -⎡⎤⎛⎫=⋅-⋅⋅=-=-+=--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 当2ax =时，三棱锥1B BEF -的体积最大. （2）取EF 中点O ，由（1）知，E ，F 为,AB BC 中点时，三棱锥1B BEF -的体积最大.所以11,BE BF B E B F ==，因此BO EF ⊥，1B O EF ⊥， 所以1B OB ∠就是二面角1B EF B --的平面角. 在Rt BEF △中112222BO EF a ==⋅=， 在1Rt BB O中，11tan BB B OB BO∠== 三棱椎1B BEF -的体积最大时，二面角1B EF B --的正切值为. （3）在AD 上取点H 使AH BF AE ==，则在正方形ABCD 中，所以11HF A B =，11//HF A B ，所以11//A H B F ， 所以1HA E ∠（或补角）是异面直线1A E 与1B F 所成的角.在1Rt A AH 中，1A H =在1Rt A AE △中，1A E =在Rt HAE 中，HE =，在1HA E 中，22221112211cos 2A H A E EH a HA E A H A E a x +-∠==⋅+，因为0x a <≤，所以22222a x a a <+≤，所以222112a x a≤<+， 所以11cos 12HA E ≤∠<，所以103HA E π<∠≤所以异面直线1A E 与1B F 所成的角的取值范围为0,3π⎛⎤⎥⎝⎦.22.（1）2）3）证明见解析，定点坐标为38⎛ ⎝⎭.【解析】22.（1）当直线AB 斜率不存在时，求出B 点坐标得三角形面积，当AB 斜率存在时，设直线AB 为(3)y k x -=-，由题意可得0k ≠，然后求出A x ，B y ，由0,0A B x y >>得k的取值范围，计算出面积12A B S x y =，令1t =-，换元后利用函数的性质求得S 取最小值时的k 值；（2）设2,03OAB πθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭，则23OBA πθ∠=-，用正弦定理表示出,OA OB ，把OABS表示为θ的函数，由三角函数知识求得最大值；（3）写出,A B 坐标，(,0)A a，1(,)22B b ，AB 斜率不存在进写出AB 方程，AB 斜率存在时，写出AB 方程，可得AB 斜率不存在时方程也适合此式，代入114b a=-，化方程为1a的方程，由它关于a 恒成立可得定点坐标． 解：（1）因为O 为坐标原点且60AOB ∠=︒，则OB所在直线方程为y =， 当直线AB 斜率不存在时，直线AB 方程为3x =，点B坐标为，OAB的面积为2， 当直线AB 斜率存在时，设直线AB为(3)y k x =-，由题意可得0k ≠， 令0y =，解得3A x =+，联立y =，可得B y = 由0A x >得k 0<或k >0B y >得k <或k >k 0<或k > 所以OAB的面积1111)3222A B S x y k k ⎛-=⋅=⋅-= ⎝⎭=令1t =-，则(,1)(2,)t ∈-∞-⋃+∞，则2222112121191248t S t t t t t ====---⎛⎫---++ ⎪⎝⎭因为11(1,0)0,2t ⎛⎫∈-⋃ ⎪⎝⎭，所以当114t =-时，面积最小， 此时4t =-14-=-，则k =OAB 的面积的最小值时AB 所在的直线的斜率为.（2）下面用弧度表示角，设2,03OAB πθθ⎛⎫∠=<<⎪⎝⎭，则23OBA πθ∠=-，由正弦定理得2sin sin sin 33ABOBOA ππθθ==⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以2,3OA OB πθθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，因此12sin sin sin 2333OKESOA OB ππθθ⎛⎫=⋅⋅=⋅- ⎪⎝⎭1sin 2θθθ⎫=⋅+⎪⎝⎭21cos sin 2θθθ⎫=+⎪⎝⎭1cos24θ⎫-=+⎪⎝⎭2sin 2136πθ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 当262ππθ-=即3πθ=时，OAB的面积的最大，最大值为（3）因为,,3OA a OB b AOB π==∠=，所以(,0),2bA aB ⎛ ⎝⎭， 所以当直线AB 斜率不存在时，即2ba =时，直线AB 方程为x a =（①）， 当直线AB 斜率存在时，即2ba ≠时，直线AB方程为2()2y x a b a =--，整理可得02y ay x b ⎫+--=⎪⎝⎭（②）（①满足②，所以对0,0a b >>②都成立）， 同时除以ab得110222y y x b a ⎛⎫⋅+-⋅-= ⎪⎝⎭③， 又因为114a b+=，所以114b a =-代入③整理得31402y y a ⎫-⋅+-=⎪⎝⎭，对于任意0a >都成立，所以302240x y y -=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得38x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以直线AB过定点，定点坐标为3,88⎛ ⎝⎭.。
