排列与组合知识点

第二节排列与组合[备考方向要明了]考什么怎么考1.理解排列组合的概念．2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．3.能利用排列组合知识解决简单的实际问题.1.排列组合概念及排列数、组合数公式一般不单独考查．2.排列组合的应用问题是高考的热点内容，独立命题，题多为选择、填空题，如2012年陕西T8，安徽T10，辽宁T5等.[归纳·知识整合]1．排列与排列数公式(1)排列与排列数(2)排列数公式A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！(n－m)！(m，n∈N*，m≤n)．(3)排列数的性质A n n＝n！；A0n＝1；0！＝1.[探究] 1.排列与排列数有什么区别？提示：排列与排列数是两个不同的概念，排列是一个具体的排法，不是数，而排列数是所有排列的个数，是一个正整数．2．组合与组合数公式(1)组合与组合数(2)组合数公式C m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！＝n！m！(n－m)！(m，n∈N*，m≤n)．(3)组合数性质①C0n＝1；②C m n＝C n－mn ；③C m n＋1＝C m n＋C m－1n.[探究] 2.如何区分一个问题是排列问题还是组合问题？提示：看选出的元素与顺序是否有关，若与顺序有关，则是排列问题，若与顺序无关，则是组合问题．[自测·牛刀小试]1．12名选手参加校园歌手大奖赛，大赛设一等奖、二等奖、三等奖各一名，每人最多获得一种奖项，则不同的获奖种数是()A．123B．312C．A312D．12＋11＋10解析：选C从12名选手中选出3名获奖并安排奖次，共有A312种不同的获奖情况．2．异面直线a，b上分别有4个点和5个点，由这9个点可以确定的平面个数是() A．20 B．9C．C39D．C24C15＋C25C14解析：选B分两类，第一类在直线a上任取一点与直线b可确定C14个平面；第二类在直线b上任取一点与直线a可确定C15个平面．故可确定C14＋C15＝9个不同的平面．3．将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排两名学生，那么互不相同的分配方案共有()A．252种B．112种C．20种D．56种解析：选B不同的分配方案共有C27C55＋C37C44＋C47C33＋C57C22＝112种．4．从4名男生和3名女生中选出4人担任奥运志愿者，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有________种．解析：(间接法)共有C47－C44＝34种不同的选法．答案：345．如图M，N，P，Q为海上四个小岛，现要建造三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方法有________种．解析：M，N，P，Q共有6条线段(桥抽象为线段)，任取3条有C36＝20种方法，减去不合题意的4种．则不同的方法有16种．答案：16排列问题[例1]3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数：(1)选其中5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体站成一排，男、女各站在一起；(4)全体站成一排，男生不能站在一起；(5)全体站成一排，甲不站排头也不站排尾．[自主解答](1)问题即为从7个元素中选出5个全排列，有A57＝2 520种排法．(2)前排3人，后排4人，相当于排成一排，共有A77＝5 040种排法．(3)相邻问题(捆绑法)：男生必须站在一起，是男生的全排列，有A33种排法；女生必须站在一起，是女生的全排列，有A44种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有A22种排法，由分步乘法计数原理知，共有N＝A33·A44·A22＝288种．(4)不相邻问题(插空法)：先安排女生共有A44种排法，男生在4个女生隔成的五个空中安排共有A35种排法，故N＝A44·A35＝1 440种．(5)先安排甲，从除去排头和排尾的5个位中安排甲，有A15＝5种排法；再安排其他人，有A66＝720种排法．所以共有A15·A66＝3 600种排法．本例中若全体站成一排，男生必须站在一起，有多少中排法？解：(捆绑法)即把所有男生视为一个元素，与4名女生组成5个元素全排，故有N＝A33·A55＝720种．———————————————————解决排列类应用题的主要方法(1)直接法：把符合条件的排列数直接列式计算；(2)特殊元素(或位置)优先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置；(3)捆绑法：相邻问题捆绑处理的方法，即可以把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列，同时注意捆绑元素的内部排列；(4)插空法：不相邻问题插空处理的方法，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中；(5)分排问题直排处理的方法；(6)“小集团”排列问题中先集体后局部的处理方法；(7)定序问题除法处理的方法，即可以先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列．1．一位老师和5位同学站成一排照相，老师不站在两端的排法()A．450B．460C．480 D．500解析：选C先排老师有A14种排法，剩下同学有A55种排法．共有A14A55＝480种排法．2．排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单．(1)任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？(2)歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？解：(1)先排歌唱节目有A55种，歌唱节目之间以及两端共有6个空位，从中选4个放入舞蹈节目，共有A46种方法，所以任两个舞蹈节目不相邻的排法有A55·A46＝43 200种方法．(2)先排舞蹈节目有A44种方法，在舞蹈节目之间以及两端共有5个空位，恰好供5个歌唱节目放入．所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有A44·A55＝2 880种方法.组合问题[例2]要从5名女生，7名男生中选出5名代表，按下列要求，分别有多少种不同的选法？(1)至少有1名女生入选；(2)至多有2名女生入选；(3)男生甲和女生乙入选；(4)男生甲和女生乙不能同时入选；(5)男生甲、女生乙至少有一个人入选．[自主解答](1)法一：至少有1名女生入选包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男，5女．由分类加法计数原理知总选法数为C15C47＋C25C37＋C35C27＋C45C17＋C55＝771种．法二：“至少有1名女生入选”的反面是“全是男代表”，可用间接法求解．从12名人中任选5人有C512种选法，其中全是男代表的选法有C57种．所以“至少有1名女生入选”的选法有C512－C57＝771种；(2)至多有2名女生入选包括如下几种情况：0女5男，1女4男，2女3男，由分类加法计数原理知总选法数为C57＋C15C47＋C25C37＝546种．(3)男生甲和女生乙入选，即只要再从除男生甲和女生乙外的10人任选3名即可，共有C22C310＝120种选法；(4)法一：男生甲和女生乙不能同时入选包括以下几种情况：男生甲入选女生乙不入选；男生甲不入选女生乙入选；男生甲和女生乙都不入选．由分类加法计数原理知总选法数为C410＋C410＋C510＝672种．法二：间接法：从12人中选出5人，有C512种选法，从除去男生甲和女生乙外的10人中任选3人有C310种选法，所以“男生甲和女生乙不能同时入选”的选法有C512－C22C310＝672种；(5)间接法：“男生甲、女生乙至少有一个人入选”的反面是“两人都不入选”，即从其余10人中任选5人有C510种选法，所以“男生甲、女生乙至少有一个人入选”的选法数为C512－C510＝540种．———————————————————组合两类问题的解法(1)“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”、“最多”的问题：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法或间接法都可以求解．通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．3．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有()A．30种B．35种C．42种D．48种解析：选A法一：可分两种互斥情况：A类选1门，B类选2门或A类选2门，B类选1门，共有C13C24＋C23C14＝18＋12＝30种选法．法二：总共有C37＝35种选法，减去只选A类的C33＝1种，再减去只选B类的C34＝4种，共有30种选法．排列、组合的综合应用[例3]有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列的选法数：(1)有女生但人数必须少于男生；(2)某女生一定担任语文科代表；(3)某男生必须包括在内，但不担任数学科代表；(4)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表．[自主解答](1)先选后排，先选可以是2女3男，也可以是1女4男，先取有C35C23＋C45C13种，后排有A55种，共有(C35C23＋C45C13)·A55＝5 400种．(2)除去该女生后，先取后排，有C47·A44＝840种．(3)先选后排，但先安排该男生，有C47·C14·A44＝3 360种．(4)先从除去该男生该女生的6人中选3人有C36种，再安排该男生有C13种，选出的3人全排有A33种，共C36·C13·A33＝360种．———————————————————求解排列、组合综合题的一般思路排列、组合的综合问题，一般是将符合要求的元素取出(组合)或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列．其中分组时，要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标准．4．4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内．(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？ (2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？ (3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？解：(1)为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”，即把4个球分成2,1,1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步乘法计数原理，共有C 14C 24C 13×A 22＝144种．(2)“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法．(3)确定2个空盒有C 24种方法，4个球放进2个盒子可分成(3,1)，(2,2)两类，第一类有序不均匀分组有C 34C 11A 22种方法；第二类有序均匀分组有C 24C 22A 22·A 22种方法． 故共有C 24⎝⎛⎭⎫C 34C 11A 22＋C 24C 22A 22·A 22＝84种．1个识别——排列问题与组合问题的识别方法 识别方法排列若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，即排列问题与选取元素顺序有关组合若交换某两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选取元素顺序无关3点注意——求解排列、组合问题的三个注意点(1)解排列、组合综合题一般是先选后排，或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个原理作最后处理．(2)解受条件限制的组合题，通常用直接法(合理分类)和间接法(排除法)来解决．分类标准应统一，避免出现重复或遗漏．(3)对于选择题要谨慎处理，注意等价答案的不同形式，处理这类选择题可采用排除法分析选项，错误的答案都是犯有重复或遗漏.创新交汇——几何图形中的排列组合问题1．排列、组合问题的应用一直是高考的热点内容之一，高考中除了以实际生活为背景命题外，还经常与其他知识结合交汇命题．2．解答此类问题应注意以下问题：(1)仔细审题，判断是排列问题还是组合问题；(2)对限制条件较为复杂的排列组合问题，可分解为若干个简单的基本问题后再用两个原理来解决；(3)由于排列组合问题的答案一般数目较大，不易直接验证，可采用多种不同的方法求解，看结果是否相同来检验．[典例](2011·湖北高考)给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色．当n≤4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：由此推断，当n＝6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有________种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有________种(结果用数值表示)．[解析](1)当n＝6时，如果没有黑色正方形有1种方案，当有1个黑色正方形时，有6种方案，当有两个黑色正方形时，采用插空法，即两个黑色正方形插入四个白色正方形形成的5个空内，有C25＝10种方案，当有三个黑色正方形时，同上方法有C34＝4种方案，由图可知不可能有4个，5个，6个黑色正方形，综上可知共有21种方案．(2)将6个正方形空格涂有黑白两种颜色，每个空格都有两种方案，由分步计数原理一共有26种方案，本问所求事件为(1)的对立事件，故至少有两个黑色正方形相邻的方案有26－21＝43种．[答案]2143[名师点评]1．本题有以下创新点(1)命题背景的创新：本题以平面几何中的着色问题为背景，让学生根据所给图形，归纳探究着色问题．(2)考查方式的创新：在切入点上一改往日直来直去的文字语言叙述，而是以图形语言的形式呈现，考查了学生对图形语言的理解能力及数学应用意识与应用能力．2．解决本题的关键点(1)由n＝1,2,3,4时，黑色正方形互不相邻的着色方案种数的规律，归纳n＝6时的情况；(2)求至少有两个黑色正方形相邻的着色方案种数可考虑利用对立事件求解．3．解决与图形有关的排列组合问题的注意事项需要强化对图形语言的理解训练，强化常用方法的训练，理解体会解题中运用的数学思想和方法，才能快速正确地解决排列组合问题．[变式训练](2012·安徽高考)6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品．已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为()A．1或3B．1或4C．2或3 D．2或4解析：选D不妨设6位同学分别为A，B，C，D，E，F，列举交换纪念品的所有情况为AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，共有15种．因为6位同学之间共进行了13次交换，即缺少以上交换中的2种．第一类，某人少交换2次，如DF，EF没有交换，则A，B，C交换5次，D，E交换4次，F交换3次；第二类，4人少交换1次，如CD，EF没有交换，则A，B交换5次，C，D，E，F交换4次．一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．(2012·辽宁高考)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为()A．3×3！B．3×(3！)3C．(3！)4D．9!解析：选C利用“捆绑法”求解．满足题意的坐法种数为A33(A33)3＝(3！)4.2．(2012·新课标全国卷)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有()A．12种B．10种C．9种D．8种解析：选A先安排1名教师和2名学生到甲地，再将剩下的1名教师和2名学生安排到乙地，共有C12C24＝12种安排方案．3．在“神九”航天员进行的一项太空实验中，先后要实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有()A．24种B．48种C．96种D．144种解析：选C当A出现在第一步时，再排A，B，C以外的三个程序，有A33种，A与A，B，C以外的三个程序生成4个可以排列程序B、C的空档，此时共有A33A14A22种排法；当A 出现在最后一步时的排法与此相同，故共有2A33A14A22＝96种编排方法．4.如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、的填法共有()A．192种B．128种C．96种D．12种解析：选C可分三步：第一步，填A、B方格的数字，填入A方格的数字大于B方格中的数字有6种方式(若方格A填入2，则方格B只能填入1；若方格A填入3，则方格B 只能填入1或2，若方格A填入4，则方格B只能填入1或2或3)；第二步，填方格C的数字，有4种不同的填法；第三步，填方格D的数字，有4种不同的填法．由分步计数原理得，不同的填法总数为6×4×4＝96.5．两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有()A．10种B．15种C．20种D．30种解析：选C分三种情况：恰好打3局，有2种情形；恰好打4局(一人前3局中赢2局，输1局，第4局赢)，共有2C23＝6种情形；恰好打5局(一人前4局中赢2局，输2局，第5局赢)，共有2C24＝12种情形．所有可能出现的情形共有2＋6＋12＝20种．6．(2012·山东高考)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为()A．232 B．252C．472 D．484解析：选C若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色则有C14×C14×C14＝64种，若2张同色，则有C23×C12×C24×C14＝144种；若红色卡片有1张，剩余2张不同色，则有C14×C23×C14×C14＝192种，剩余2张同色，则有C14×C13×C24＝72种，所以共有64＋144＋192＋72＝472种不同的取法．二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．某公司计划在北京、上海、兰州、银川四个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该公司不同的投资方案种数是________(用数字作答)．解析：由题意知按投资城市的个数分两类：①投资3个城市即A34种．②投资2个城市即C23A24种，共有不同的投资方案种数是A34＋C23A24＝60.答案：608．(2013·武汉模拟)某车队有7辆车，现要调出4辆按一定顺序出去执行任务．要求甲、乙两车必须参加，且甲车要先于乙车开出有________种不同的调度方法(填数字)．解析：先从除甲、乙外的5辆车任选2辆有C25种选法，连同甲、乙共4辆车，排列在一起，先从4个位置中选两个位置安排甲、乙，甲在乙前共有C24种，最后，安排其他两辆车共有A22种方法，故不同的调度方法为C25·C24·A22＝120种．答案：1209．(2013·宜昌模拟)某省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展．某校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为________(用数字作答)．解析：设五名同学分别为甲、乙、丙、丁、戊，由题意，如果甲不参加“围棋苑”，有下列两种情况：(1)从乙、丙、丁、戊中选一人(如乙)参加“围棋苑”，有C14种方法，然后从甲与丙、丁、戊共4人中选2人(如丙、丁)并成一组与甲、戊分配到其他三个社团中，有C24A33种方法，这时共有C14C24A33种参加方法．(2)从乙、丙、丁、戊中选2人(如乙、丙)参加“围棋苑”，有C24种方法，甲与丁、戊分配到其他三个社团中有A33种方法，这时共有C24A33种参加方法．综合(1)(2)，共有C14C24A33＋C24A33＝180种参加方法．答案：180三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．已知10件不同的产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有4件次品为止．(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第十次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？解：(1)先排前4次测试，只能取正品，有A46种不同测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有C24·A22＝A24种测试方法，再排余下4件的测试位置，有A44种测试方法．所以共有不同的测试方法A46·A24·A44＝103 680种．(2)第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现，所以共有不同的测试方法A14·C16·A44＝576种．11．从1到9的9个数字中取3个偶数4个奇数，试问：(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有几个？(3)(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？解：(1)分三步完成：第一步，在4个偶数中取3个，有C34种情况；第二步，在5个奇数中取4个，有C45种情况；第三步，3个偶数，4个奇数进行排列，有A77种情况．所以符合题意的七位数有C34C45A77＝100 800个．(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有C34C45A55A33＝14 400个．(3)上述七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有C34C45A33A44A22＝5 760个．12.编号为A，B，C，D，E的五个小球放在如图所示的五个盒子里，要求每个盒子只能放一个小球，且A球不能放在1,2号，B球必须放在与A球相邻的盒子中，不同的放法有多少种？解：根据A球所在位置分三类：(1)若A球放在3号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C，D，E，则根据分步乘法计数原理得，此时有A33＝6种不同的放法；(2)若A球放在5号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C，D，E，则根据分步乘法计数原理得，此时有A33＝6种不同的放法；(3)若A球放在4号盒子内，则B球可以放在2号，3号，5号盒子中的任何一个，余下的三个盒子放球C，D，E，有A33＝6种不同的放法，根据分步乘法计数原理得，此时有A13 A33＝18种不同的放法．综上所述，由分类计数原理得不同的放法共有6＋6＋18＝30种．1．甲、乙、丙3人站在共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________(用数字作答)．解析：当每个台阶上各站1人时有A33C37种站法，当两个人站在同一个台阶上时有C23C17 C16种站法，因此不同的站法种数有A33C37＋C23C17C16＝210＋126＝336种．答案：3362．如图所示的四棱锥中，顶点为P，从其他的顶点和各棱中点中取3个，使它们和点P在同一平面内，不同的取法种数为()A．40B．48C．56 D．62解析：选C满足要求的点的取法可分为3类：第1类，在四棱锥的每个侧面上除点P外任取3点，有4C35种取法；第2类，在两个对角面上除点P外任取3点，有2C34种取法；第3类，过点P的四条棱中，每一条棱上的两点(除P外)和与这条棱异面的其中一条棱的中点也共面，有4C12种取法．所以，满足题意的不同取法共有4C35＋2C34＋4C12＝56种．3．某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1个，每人值班1天．若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有多少种？解：依题意，满足甲、乙两人值班安排在相邻两天的方法共有A22A66＝1 440种，其中满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丙在10月1日值班的方法共有A22A55＝240种；满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丁在10月7日值班的方法共有A22A55＝240种；满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丙在10月1日值班、丁在10月7日值班的方法共有A22A44＝48种．因此满足题意的方法共有1 440－2×240＋48＝1 008种．。