动量和能量的综合应用

专题八 动量和能量的综合应用
考情动态分析
动量和能量都是高中物理的主干知识和重点内容，将动量和能量内容相结合，可以命出综合性强、能力要求高、思路方法灵活且具有一定难度的综合题，便于考查考生的分析、推理、综合、知识迁移等多种能力，因此，常以压轴题的形式出现在历年的高考试卷中. 用动量和能量的观点处理问题是高考考查的重点和热点，高考题中每年都有一定数量的动量和能量综合应用的题目.譬如2006年天津理综卷的第23题，重庆理综卷的第25题，2005年高考对该部分知识的考查主要集中在计算题中，如天津理综第24题、江苏物理卷第18题及广东物理卷第18题等，由此可见该专题知识在高考中的地位. 考点核心整合
1.涉及能量转化的规律主要有动能定理（W=ΔE k )、机械能守恒定律（E p1+E k1=E p2+E k2)及能的转化和守恒定律（E 初=E 末）；涉及动量的规律有动量定理（F ·t=Δp)和动量守恒定律（p 初
=p 末）.
能量是标量，与之相联系的动能定理、机械能守恒定律和能的转化和守恒定律方程均为
代数方程.涉及做功的，一定要注意做功的正负及相应的符号，熟记各种力做功同相应能量转化的关系：合外力做的功与动能的变化相联系（W 合=ΔE k )、重力做的功同重力势能的变化相联系（W G =-ΔE p ）、弹力做的功同弹性势能的变化相联系（W 弹=-ΔE p 弹）、重力和弹力以外的力做的功同机械能的变化相联系（W 外=ΔE ）.
动量是矢量，与之相联系的动量定理、动量守恒方程都是矢量方程，建立此类方程时，都要明确正方向，并正确地用“+”“-”号表示各矢量的方向. 同一物体动能和动量的大小关系：E k =
m
p
22
或p=k mE 2.
在处理所有的力学问题时，应优先考虑两大守恒定律（动量守恒定律及能的转化和守恒定律），其次考虑两大定理（动能定理和动量定理）. 2.碰撞问题是动量、能量综合应用的典型问题.由于一般碰撞中总能满足内力远远大于外力，所以动量守恒方程是处理碰撞问题的首选方程.在一般的碰撞中，总会有一定的机械能损失，不同情况下的碰撞中，损失的机械能不同.弹性碰撞中可认为无机械能的损失，完全非弹性碰撞中机械能的损失最多.在实际判断某碰撞现象是否可能存在时，碰撞前后的机械能比较常是重要的依据之一.
3.利用动量观点和能量观点解题应注意下列问题： ①动量定理和动量守恒定律是矢量表达式，还可写出分量表达式，而动能定理和能量守恒定律是标量表达式，绝无分量表达式.
②从研究对象上看动量定理既可研究单体，又可研究系统，但高中阶段一般用于单体，动能定理在高中阶段只能用于单体.
③动量守恒定律和能量守恒定律是自然界最普遍的规律，它们研究的是物体系统，在力学中解题时必须注意动量守恒的条件及机械能守恒的条件.在应用这两个规律时，当确定了研究的对象及运动状态变化的过程后，根据问题的已知条件和要求解的未知量，选择研究的两个状态列方程求解.
④中学阶段凡可用力的观点解决的问题，若能用动量观点或能量观点求解，一般都要比力的观点要简便，而中学阶段涉及的曲线运动（a 不恒定）、竖直面内的圆周运动、碰撞等，就中学知识而言，是不可能单纯用力的观点就能解决的. 考题名师诠释 【例1】如图1-8-1所示，A 、B 两小球在光滑水平面上分别以动量p 1=4 kg ·m/s 和p 2=6 kg ·m/s
（向右为参考正方向）做匀速直线运动，则在A 球追上B 球并与之碰撞的过程中，两小球的动量变化量Δp 1和Δp 2可能分别为（ ）
图1-8-1
A.-2 kg ·m/s,3 kg ·m/s
B.-8 kg ·m/s,8 kg ·m/s
C.1 kg ·m/s,-1 kg ·m/s
D.-2 kg ·m/s,2 kg ·m/s 解析：两球碰撞中动量守恒，即Δp 1+Δp 2=0.据此可排除选项A.又碰撞中B 球所受冲量方向和其初动量方向相同，其动量只能增大，即Δp 2应大于零，据此可排除选项C. 另外，碰前两球总动能E k =
2
1
22
2
12
1
18822m m m p m p +
=
+
,而对选项B ，碰后总动能E k ′
=
2
1
2
2
221
2
119882)
(2)
(m m m p p m p p +=∆++
∆+＞E k ,不可能.对选项D ，碰后总动能E k ′
=
2
1
322m m +
,再结合碰前应有v A ＞v B ,即
1
4m ＞
2
6m ,所以m 1＜
3
2m 2,代入E k 和选项D 对应的
E k ′,结果亦不矛盾.故只有选项D 可能.
点评：两小球间碰撞结果将同时受到“动量守恒”“动能不可能增大”及相关的“运动学与动力学规律”的制约.分析此类问题时，应将上述制约因素均考虑到.
【例2】(2006天津高考，23)如图1-8-2所示，坡道顶端距水平面高度为h,质量为m 1的小物块A 从坡道顶端由静止滑下，进入水平面上的滑道时无机械能损失，为使A 制动，将轻弹簧的一端固定在水平滑道延长线M 处的墙上，另一端与质量为m 2的挡板B 相连，弹簧处于原长时，B 恰 位于滑道的末端O 点.A 与B 碰撞时间极短，碰后结合在一起共同压缩弹簧，已知在OM 段A 、B 与水平面间的动摩擦因数均为μ,其余各处的摩擦不计，重力加速度为g,求
(1)物块A 在与挡板B 碰撞前瞬间速度v 的大小；
(2)弹簧最大压缩量为d 时的弹性势能E P （设弹簧处于原长时弹性势能为零）
.
图1-8-2
解析：(1)由机械能守恒定律，有 m 1gh=
2
1m 1v 2 ①
v=gh 2 ② (2)A 、B 在碰撞过程中内力远大于外力，由动量守恒，有 m 1v=(m 1+m 2)v ′ ③ A 、B 克服摩擦力所做的功
W=μ(m 1+m 2)gd ④
由能量守恒定律，有
2
1(m 1+m 2)v ′2=E p +μ(m 1+m 2)gd ⑤
解得E p =
2
12
1
m m m +gh-μ(m 1+m 2)gd ⑥
答案：（1）gh 2 (2)
2
12
1
m m m +gh-μ(m 1+m 2)gd
点评：对物理过程较复杂的题目，应按物理过程的延续顺序、过程特点将其划分为多个子过程来处理，通过过程间的衔接量将其有机关联，使问题得以解决. 链接·提示
两物体碰后结合在一起或有相同速度，意味着碰撞过程有机械能的损失.
【例3】(2006重庆高考，25)如图1-8-3半径为R 的光滑圆形轨道固定在竖直面内.小球A 、B 质量分别为m 、βm(β为待定系数）.A 球从左边与圆心等高处由静止开始沿轨道下滑，与静止于轨道最低点的B 球相撞，碰撞后A 、B 球能达到的最大高度均为4
1R ，碰撞中无机
械能损失.重力加速度为g.试求：
图1-8-3
（1）待定系数β;
(2)第一次碰撞刚结束时小球A 、B 各自的速率和B 球对轨道的压力；
(3)小球A 、B 在轨道最低处第二次碰撞刚结束时各自的速度，并讨论小球A 、B 在轨道最低处第n 次碰撞刚结束时各自的速度.
解析：（1）碰撞中无机械能损失，即mgR=4
mgR
+4
mgR β得
β=3
(2)设A 、B 碰撞后的速度分别为v 1、v 2,则
2
1mv 12=
4
mgR
2
1βmv 22=
4
mgR
β
设A 球碰前速度为v 0，则mgR=
2
1mv 20
设向右为正、向左为负，由动量守恒得mv 0=mv 1+βmv 2 v 1=gR 2
1-
,方向向左 v 2=
gR 2
1,方向向右
设轨道对B 球的支持力为N ，B 球对轨道的压力为N ′,方向竖直向上为正、向下为负，
则N-βmg=βm
R
v 2
2
N ′=-N=-4.5mg,方向竖直向下
(3)设A 、B 球第二次碰撞刚结束时的速度分别为V 1、V 2，则-mv 1-βmv 2=mV 1+βmV 2 mgR=
2
1mV 12
+
2
1βmV 22
解得V 1=-gR 2,V 2=0
(另一组解：V 1=-v 1,V 2=-v 2不合题意，舍去）
当n 为奇数时，小球A 、B 在第n 次碰撞刚结束时的速度分别与其第一次碰撞刚结束时相同； 当n 为偶数时，小球A 、B 在第n 次碰撞刚结束时的速度分别与其第二次碰撞刚结束时相同. 答案：（1）β=3 (2)v 1=gR 2
1
,方向向左，v 2=
gR 2
1，方向向右；-4.5mg,方向竖直向下
(3)V 1=-gR 2,V 2=0
当n 为奇数时，小球A 、B 在第n 次碰撞刚结束时的速度分别与其第一次碰撞刚结束时相同. 当n 为偶数时，小球A 、B 在第n 次碰撞刚结束时的速度分别与其第二次碰撞刚结束时相同. 点评：对物理情景分析透彻，对机械能守恒定律、动量守恒定律及牛顿运动定律的有机结合，对数学知识的熟练应用，是解决此类综合问题的关键.。